50 Cau PTHPTBPT Giai Chi Tiet

8/18/2019 50 Cau PTHPTBPT Giai Chi Tiet

1/35

Tài liu phương trình-h phương trình-bt phương trình

Phương trình-H phương trình-Bt phương trình dành cho lp 10

Tác gi: Nguyn Văn Quc Tun - Lp B – K112 - Đi Hc Y Hà Ni

Các bài toán trong tài liu là do Tun tng hp 1 s din đàn, 1 s tài liu,. . . v phnli gii thì đa s là do Tun gii li nhưng 1 s câu là do nhác quá :3 nên chép i nguyênli gii ca nó. Vì th nên tài liu có gì sai sót mong các bn ghóp ý đ chnh sa li.

Tài liu này Tun vit tng 1 bn ( Đng hi là ai nhé :v ). Bên cnh đó hi vng các bncó 1 tài liu đ có th tham kho thêm. Chúc các bn hc tt.

Bài 1. Gii phương trình sau:

√ x + 3 + √ 3x + 1 = 2√ x + √ 2x + 2

Li gii:

Điu kin: x ≥ 0

Ta có: √ 3x + 1 − √ 2x + 2 = 2√ x − √ x + 3

⇐⇒ 3x + 1 + 2x + 2 − 2√ 6x2 + 8x + 2 = 4x + x + 3 − 4√ x2 + 3x⇐⇒ √ 6x2 + 8x + 2 = 2√ x2 + 3x⇐⇒ 6x2 + 8x + 2 = 4 (x2 + 3x)⇐⇒ 2x2 − 4x + 2 = 0 ⇐⇒ x = 1

Vy nghim ca phương trình đã cho là: x = 1


x 3√

35

−x3 x + 3

√ 35

−x3 = 30

Li gii:

Đt 3√

35 − x3 = y ⇐⇒ x3 + y3 = 35

Kt hp vi phương trình ban đu ta có h: x3 + y3 = 35

xy (x + y) = 30⇐⇒

(x + y)3 − 3xy (x + y) = 35xy (x + y) = 30

⇐⇒

(x + y)3 = 125

xy (x + y) = 30⇐⇒

x + y = 5

xy = 6⇐⇒

x = 3

x = 2

1 Nguyn Văn Quc Tun


2/35


Vy nghim ca phương trình là:

x = 3

x = 2


16x4 + 5 = 6 3√

4x3 + x

Li gii:

Ta có V T > 0 nên điu kin đ phương trình đã cho có nghim là V P > 0 ⇐⇒ x > 0

Áp dng bt đng thc Cosi cho 3 s dương ta có:

6 3√

4x3 + x = 2.3. 3 (4x3 + x) .1.1 ≤ 2 4x

3 + x + 1 + 1

Mt khác ta có:

16x4 + 5 ≥ 2 4x3 + x + 1 + 1 ⇐⇒ 16x4 − 8x3 − 2x + 1 ≥ 0 ⇐⇒ (2x − 1)2 4x2 + 2x + 1 ≥ 0Do đó: V T ≥ V P khi đó

16x4 + 5 = 6 3√

4x3 + x

⇐⇒ 4x3 + x = 1

2x − 1 = 0 ⇐⇒ x =

1

2

Vy phương trình đã cho có nghim duy nht là x = 1

2


3

x2 − 1 + 4x = 4x√ 4x − 3Li gii:

Điu kin: x ≥ 34

Ta có:3

x2 − 1 + 4x = 4x√ 4x − 3 ⇐⇒ 3x2 + 4x − 3 = 4x√ 4x − 3

⇐⇒ 3x2 − 4x√ 4x − 3 + 4x − 3 = 0 ⇐⇒

x − √ 4x − 3

3x − √ 4x − 3

= 0

⇐⇒

x =√

4x − 33x =

√ 4x − 3 ⇐⇒

x2 = 4x − 39x2 = 4x − 3 ⇐⇒

x = 3

x = 1



3/35


Vy nghim ca phương trình đã cho là:

x = 3

x = 1

Bài 5. Gii h phương trình sau: √ x + 1 + 3y

.x + (3y2 + 1)

√ x + 1 − 51y − 27 = 7y3 + 36y2

x2 + y2 + 3x + 5y + 10 = 0

Li gii:

Điu kin: x ≥ −1

Đt: √

x + 1 = a (a ≥ 0)

Thay a2 − 1 = x vào phương trình th nht ta đưc(a + 3y) (a2 − 1) + (3y2 + 1) a − 51y − 27 = 7y3 + 36y2⇐⇒ a3 + 3a2y + 3ay2 = 7y3 + 36y2 + 54y + 27⇐⇒ a3 + 3a2y + 3ay2 + y3 = 8y3 + 36y2 + 54y + 27⇐⇒ (a + y)3 = (2y + 3)3 ⇐⇒ a = y + 3 ⇐⇒ y = a − 3 ⇒ y = √ x + 1 − 3

Th xung phương trình th 2 ta đưc: x2 + 4x + 5 =√

x + 1

Đt √

x + 1 = y + 2 (y ≥ −2)

Khi đó ta có h phương trình:

x2 + 4x + 3 = y

y2 + 4y + 3 = x⇐⇒

x2 − y2 + 5 (x − y) = 0

x2 + 4x + 3 = y

⇐⇒

(x − y) (x + y + 5) = 0x2 + 4x + 3 = y

⇐⇒

x = y

x2 + 3x + 3 = 0(V N )

Vy h phương trình đã cho vô nghim.


2x

− 1 +√

3x

− 2 =√

8x2

− 2x

− 2Li gii:

Điu kin: x ≥ 23



4/35


Bin đi phương trình đu tr thành:

2x − 1 + √ 3x − 2 =

2(2x − 1)2 + 2(3x − 2)

Đt: 2x − 1 = a a ≥

1

3

√ 3x − 2 = b (b ≥ 0)

Khi đó phương trình đã cho tr thành:

a + b =√

2a2 + 2b2 ⇐⇒ a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ (a − b)2 = 0 ⇐⇒ a = bT đó ta có:

2x − 1 = √ 3x − 2 ⇐⇒ 4x2 − 4x + 1 = 3x − 2 ⇐⇒ 4x2 − 7x + 3 = 0 ⇐⇒

x = 1

x = 3

4


x = 1

x = 3

4

Bài 7. Gii h phương trình sau:

6x

y − 2 = √ 3x − y + 3y (1)

2

3x + √ 3x − y = 6x + 3y − 4 (2)

Li gii:

Điu kin:

3x ≥ y = 03x +

√ 3x − y ≥ 0

Ta có:

(1) ⇐⇒ 2 (3x − y) = y√ 3x − y + 3y2 ⇐⇒ 2 (3x − y) − y√ 3x − y − 3y2 = 0

⇐⇒ 2√

3x

−y

−3y √ 3x − y + y = 0 ⇐⇒

2√

3x − y = 3y√ 3x − y = −y

Trưng hp 1: 2√

3x − y = 3y thì

2√

3x − y = 3y2

3x +

3y

2 = 6x + 3y − 4 ⇐⇒

2√

3x − y = 3y6x + 3y ≥ 0

2 (6x + 3y) = 6x + 3y − 4⇐⇒

2

√ 3x − y = 3y

6x + 3y = 8

Trưng hp 2: √ 3x − y = −y thì √

3x − y = −y2

3x +√

3x − y = 6x + 3y − 4 ⇐⇒ √

3x − y = −y2√

3x − y = 6x + 3y − 4



5/35


⇐⇒ √

3x − y = −y−2y = 6x + 3y − 4 ⇐⇒

√ 3x − y = −y

6x + 5y = 4

T đây các bn t tìm ra nghim.


√ 2x2 + x + 9 +

√ 2x2 − x + 1 = x + 4

Li gii:

Xét x = −

4 không phi là nghim ca phương trình khi đó ta bin đi phương trình như sau:

√ 2x2 + x + 9 +

√ 2x2 − x + 1 = x + 4

⇐⇒ 2x + 8√ 2x2 + x + 9 − √ 2x2 − x + 1 = x + 4

⇐⇒ √ 2x2 + x + 9 − √ 2x2 − x + 1 = 2

Kt hp vi phương trình ban đu ta có h:

√ 2x2 + x + 9 −√

2x2

−x + 1 = 2

√ 2x2 + x + 9 + √ 2x2 − x + 1 = x + 4⇒ 2√ 2x2 + x + 9 = x + 6⇐⇒ 4 (2x2 + x + 9) = x2 + 12x + 36

⇐⇒ 7x2 − 8x = 0 ⇐⇒

x = 0

x = 87

Th li ta thy tha mãn.

Vy nghim ca phương trình đã cho là

x = 0

x = 8

7


x +

5 +

√ x − 1 = 6

Li gii:

Điu kin: x ≥ 1



6/35


Bin đi phương trình đã cho như sau:

x +

5 +

√ x − 1 = 6 ⇐⇒ x − 1 +

5 +

√ x − 1 = 5

Đt: √ x − 1 = a

5 +√

x − 1 = b (a ≥ 0, b ≥ 5)

Khi đó ta có: a2 + b = 5

b2 = a + 5⇐⇒

a2 + b = 5

a2 − b2 + a + b = 0 ⇐⇒

a2 + b = 5

(a + b) (a − b + 1) = 0

⇐⇒ a2 + b = 5

a + b = 0

a − b + 1 = 0⇐⇒

a2 + b = 5 a2 − a − 5 = 0a2 + a + 1 = 5

⇐⇒

a2 + b = 5 a =

1 ± √ 212

a = −1 ± √ 17

2

⇐⇒

a = −1 + √ 17

2

b = 1 +

√ 17

2

T đó ta tính đưc x = 11 − √ 17

2 .

Vy x = 11 − √ 17

2 là nghim duy nht ca phương trình đã cho.


√ 1 − x2 =

2

3 − √ x

2

Li gii:

Điu kin:

1 − x2 ≥ 0

x ≥ 0 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1

Đt:

a = √

x

b = 2

3 − √ x

a ≥ 0, b ≤ 2

3

Khi đó ta có h mi.



7/35


a + b =

2

3√ 1 − a4 = b2

⇐⇒ a + b =

2

3a4 + b4 = 1

⇐⇒

a + b = 2

3(a2 + b2)

2

−2a2b2 = 1

⇐⇒

a + b = 2

3

(a + b)2 −2ab

2

−2a2b2 = 1

⇐⇒

a + b = 23

4

9 − 2ab

2

− 2a2b2 = 1⇐⇒

a + b = 23

2a2b2 − 169

ab − 6581

= 0

⇐⇒

a + b = 2

3

ab = 8 − √ 194

18

a + b = 2

3

ab = 8 +

√ 194

18

a, b là nghim ca phương trình

y2 −

2

3y +

8 − √ 19418

= 0

y2 − 23

y + 8 +

√ 194

18 = 0 (V N )

T đó ta tìm đưc nghim duy nht ca phương trình đã cho là: x = 1

9

−2 +

2√

194 − 6 +

97

2


x + 3 = 2

(3y − x) (y + 1) (1)√

3y − 2 −

x + 5

2 = xy − 2y − 2(2)

Li gii:

Điu kin:

y ≥ 23

x ≥ −5(3y − x) (y + 1) ≥ 0 ⇐⇒

y ≥ 23

x ≥ −53x − y ≥ 0

Ta có:

(1) ⇐⇒ 3 (y + 1) − (3y − x) = 2√ 3y − x.√ y + 1⇐⇒

2√

y + 12 − 2√ 3y − x.√ y + 1

+√

y + 12 − √ 3y − x2 = 0

⇐⇒ 2√ y + 1 √ y + 1 − √ 3y − x+ √ y + 1 − √ 3y − x √ y + 1 + √ 3y − x = 0⇐⇒ √ y + 1 − √ 3y − x 3√ y + 1 + √ 3y − x = 0⇐⇒

√ y + 1

−

√ 3y

−x = 0

0 = 3√ y + 1 + √ 3y − x > 0 (L) ⇐⇒ √ y + 1 = √ 3y − x ⇐⇒ x = 2y − 1(3)



8/35


Thay (3) vào (2) ta đưc

√ 3y − 2 − √ y + 2 = 2y2 − 3y − 2

⇐⇒ 2 (y − 2)√ 3y − 2 + √ y + 2 = (y − 2)(2y + 1)

⇐⇒ (y − 2) 2√

3y−

2 +√

y + 2 − (2y + 1) = 0

⇐⇒ y = 2 ⇒ x = 32√

3y − 2 + √ y + 2 − (2y + 1) = 0 (4)

Và (2) ⇐⇒ 2 − (2y + 1) √ 3y − 2 + √ y + 2 = 0 (5)Do

y ≥

2

3 ⇒ (2y + 1) √ 3y − 2 +

√ y + 2 ≥ 2.

2

3 + 1 2

3 + 2

⇐⇒ − (2y + 1) √ 3y − 2 + √ y − 2 ≤ −73

8

3

Mà 2 − (2y + 1) √ 3y − 2 + √ y − 2 ≤ 2 − 73

8

3


9/35


y2 − x2 = 1

x2 + y2 − xy = 1 ⇐⇒

x2 + y2 − xy = y2 − x2y2 − x2 = 1

⇐⇒ 2x2 − xy = 0y2

− x2

= 1 ⇐⇒

x = 0

2x = y

y2 − x2 = 1 ⇐⇒

x = 0

y = ±1

x = ±

1

√ 3y =

±2√ 3

Th li thì h phương trình có các nghim: (x; y) = (0; 1) ,

1√ 3

; 2√

3

Lưu ý: Bài toán đưc gii hoàn chnh nhưng ti sao li phi th li nghim. đây vì khi binđi phương trình th nht chúng ta không đt điu kin nên sau khi gii ra nghim chúng ta phi

th li. Mt khác nu chúng ta không đt điu kin mà bình phương thì dùng du ⇒ nhé.


4√

x2 + x + 1 = 1 + 5x + 4x2 − 2x3 − x4 (1)

Li gii:

Ta có: (x2 + x + 1)2 = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1

Khi đó(1) ⇐⇒ 4

√ x2 + x + 1 = −x2 + x + 12 + 7 x2 + x + 1− 5

Đt: a =√

x2 + x + 1 (a > 0)

Khi đó phương trình đã cho tr thành:

a4 − 7a2 + 4a + 5 = 0 ⇐⇒ a2 − a − 1 a2 + a − 5 = 0 ⇐⇒ a =

1 +√

5

2

a = −1 + √ 21

2

Vi a = 1 +

√ 5

2 thì

√ x2 + x + 1 = 1 +

√ 5

2 ⇐⇒ x2

+ x − 1 +

√ 5

2 = 0 ⇐⇒ x = −1

± 3 + 2√

5

2



10/35


Vi a = −1 + √ 21

2 thì

√ x2 + x + 1 =

−1 + √ 212

⇐⇒ x2 + x + −9 +√

21

2 = 0 ⇐⇒ x = −1 ±

19 − 2√ 212


x =

−1 ±

3 + 2√

5

2

x = −1 ±

19 − 2√ 212


16x2 − 23x + 10 = (x + 2)√

4x2 + 4x − 7

Li gii:

Điu kin:

x ≥

−1 + 2√ 22

x ≤ −1 − 2√

2

2

Ta có:

16x2 − 23x + 10 = (x + 2) √ 4x2 + 4x − 7

⇐⇒ 4x2 + 4x

−7

−(4x

−3)

√ 4x2 + 4x

−7 + (5x + 1)

√ 4x2 + 4x

−7

−(5x + 1) (4x

−3) = 0

⇐⇒ √ 4x2 + 4x − 7 + 5x − 1 √ 4x2 + 4x − 7 − (4x − 3) = 0⇐⇒

√ 4x2 + 4x − 7 + 5x − 1 = 0√ 4x2 + 4x − 7 − (4x − 3) = 0 ⇐⇒

√ 4x2 + 4x − 7 = 1 − 5x√ 4x2 + 4x − 7 = 4x − 3

⇐⇒

x ≤

1

54x2 + 4x − 7 = 25x2 − 10x + 1

x ≥ 3

44x2 + 4x − 7 = 16x2 − 24x + 9

⇐⇒

x ≤

1

521x2 − 14x + 8 = 0

x ≥ 3

412x2 − 28x + 16 = 0

⇐⇒ x = 43

x = 1


x = 43

x = 1


3√

12x2 + 46x − 15 − 3√

x3 − 5x + 1 = 2x + 2

Li gii:

Đt: a = 3√

12x2 + 46x − 15, b = 2x + 1, c = 3√ x3 − 5x + 1



11/35


Ta có:3√

12x2 + 46x − 15 − 3√ x3 − 5x + 1 = 2x + 2⇐⇒ 3√ 12x2 + 16x − 15 − (2x + 1) = 3√ x3 − 5x + 1 + 1⇐⇒ 12x

2 + 46x − 15 − (2x + 1)3a2 + ab + b2

= x3 − 5x + 2

c2 − c + 1

⇐⇒

−8(x3 − 5x + 2)

a2

+ ab + b2

= x3 − 5x + 2

c2

− c + 1⇐⇒ (x3 − 5x + 2)( 8a2 + ab + b2

+ 1

c2 − c + 1 ) = 0

⇐⇒

x = 2x = −1 + √ 2

x = −1 − √ 2


x = 2

x = −1 + √ 2x = −1 − √ 2

Bài 16. Gii phương trình sau:√ x2 + x + 1 +

√ 4x2 + x + 1

√ 5x2 + 1 −

√ 2x2 + 1

= 3x2

Li gii:

Bin đi phương trình đu tr thành:

√ x2 + x + 1 +

√ 4x2 + x + 1

√ 5x2 + 1 − √ 2x2 + 1 = 3x2

⇐⇒ √ x2 + x + 1 + √ 4x2 + x + 1 .3x2 = 3x2 √ 5x2 + 1 + √ 2x2 + 1⇐⇒

x = 0√

x2 + x + 1 +√

4x2 + x + 1 =√

5x2 + 1 +√

2x2 + 1

Mt khác:

√ x2

+ x

+ 1 +

√ 4

x2

+ x

+ 1 =

√ 5

x2

+ 1 +

√ 2

x2

+ 1⇐⇒ √ 5x2 + 1 − √ 4x2 + x + 1 = √ 2x2 + 1 − √ x2 + x + 1⇐⇒ x

2 − x√ 5x2 + 1 +

√ 4x2 + x + 1

= x2 − x√

2x2 + 1 +√

x2 + x + 1

⇐⇒

x2 − x = 0√ 2x2 + 1 +

√ x2 + x + 1 =

√ 5x2 + 1 +

√ 4x2 + x + 1

⇐⇒

x = 1

x = 0√ 2x2 + 1 =

√ 5x2 + 1

⇐⇒

x = 0

x = 1


x = 0

x = 1



12/35


Bài 17. Gii bt phương trình sau:

(x + 1) (x − 3)√

−x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2

Li gii:

Điu kin:

x ≥ 3x ≤ −1

Bin đi bt phương trình như sau:

(x + 1) (x − 3) √ −x2 + 2x + 3 < 2 − (x − 1)2⇐⇒ (x2 − 2x − 3) √ −x2 + 2x + 3


13/35


Vy nghim ca h phương trình là: x = 0


(3 − x) √ x − 1 + √ 5 − 2x ≥ √ −x3 + 10x2 − 34x + 40 (1)

Li gii:

Điu kin: 1 ≤ x ≤ 52

Ta có:

(1) ⇐⇒ 2 (3 − x)

(x − 1)(5 − 2x) ≥ −2x3 + 17x2 − 47x + 44⇐⇒ 2√ −2x3 + 17x2 − 48x + 45.√ x − 1 ≥ (−2x3 + 17x2 − 48x + 45) + (x − 1)

⇐⇒ √

−2x3

+ 17x2

− 48x

+ 45 −√

x− 1

2

≤ 0⇐⇒ √ −2x3 + 17x2 − 48x + 45 = √ x − 1⇐⇒ −2x3 + 17x2 − 49x + 46 ⇐⇒ x = 2 (T M )

Vy nghim ca bt phương trình là: x = 2


5√ x − 1 + 3√ x + 8 = −x3 + 1

Li gii:

Ta có x = 0 là 1 nghim ca phương trình.

Mt khác:

Trưng hp 1. Vi x > 0 thì ta có: 5√

x

−1 + 3

√ x + 8 > 5

√ 0

−1 + 3

√ 0 + 8 = 1 trong khi đó

−x3 + 1 < 1 do đó phương trình đã cho vô nghim.

Trưng hp 2. Vi x


14/35



1

2x +

x

y =

3x + 3√

y

4x2 + 2y (1)

4x + y =√

2x + 6 − 2√ y (2)

Li gii:

Điu kin:

−3 ≤ x = 0

y > 0

Đt: √ y = z (z > 0) khi đó phương trình (1) tr thành:

2x2 + z 2

xz 2 =

3x + 3z

2x2 + z 2 ⇐⇒ (2x2 + z 2)2 = xz 2 (3x + 3z )

⇐⇒ 4x4 + 4x2z 2 + z 4 = 3x2z 2 + 3xz 3

⇐⇒ 4x4 + x2z 2

−3xz 3 + z 4 = 0

⇐⇒ 4

x

z

4

+

x

z

2 − 3. x

z + 1 = 0 ⇐⇒

2x

z − 1

2

.

x

z

2

+ x

z + 1

= 0

⇐⇒ 2x = z ⇒ 2x = √ y

Thay vào phương trình còn li ta đưc:

4x2 + 8x =√

2x + 6

⇐⇒ x > 0

16x4

+ 64x3

+ 64x2

= 2x + 6

⇐⇒

x > 0

8x4 + 32x3 + 32x2 − x − 3 = 0

⇐⇒

x > 0

(2x2 + 3x − 1)(4x2 + 10x + 3) = 0⇐⇒ x = −3 +

√ 17

4 ⇒ y = 13 − 3

√ 17

2

Vy nghim ca h phương trình là: (x; y) =−3 + √ 17

4 ; 13 − 3√ 17

2

Bài 22. Gii phương trình sau:√ x + 3 − √ x + 1

x2 +

√ x2 + 4x + 3

= 2x

Li gii:




15/35


Ta có phương trình đã cho tương đương vi:

2√ x + 3 +

√ x + 1

x2 +

(x + 3) (x + 1)

= 2x

⇐⇒ x2 +

(x + 3) (x + 1) = x√

x + 3 +√

x + 1

⇐⇒

x − √ x + 3

x − √ x + 1

= 0

⇐⇒

x =√

x + 3

x =√

x + 1⇐⇒

x ≥ 0x2 − x − 3 = 0

x ≥ 0x2 − x − 1 = 0

⇐⇒ x = 1 + √ 132

x = 1 +

√ 5

2


x = 1 +

√ 5

2

x = 1 +

√ 13

2

Ps: Bài toán nay mình đã làm mt khá nhiu thi gian nhưng đăng lên din đàn và nhìn đáp ánli thy khá là cơ bn. Do đó mình rút ra 1 kinh nghim là khi làm chúng ta nên s dngcác bin đi đơn gin, không nên s dng các bin đi phc tp, bin bài toán tr nênkhó khăn.


√ 1 + x2 + x4 + x =

√ x − x3

Li gii:

Điu kin:

0 ≤ x ≤ 1−∞ < x ≤ −1

Xét vi x = 0 không phi là nghim ca phương trình.

Vi x ∈ (0; 1] ta có:

x

1

x2 + x2 + 1 + x = x

1

x − x ⇐⇒

1

x2 + x2 + 1 + 1 =

1

x − x

Đt

1

x − x = t ⇒ t4 = 1

x2 + x2 − 2 khi đó phương trình đã cho tr thành:

√ t4 + 3 + 1 = t ⇐⇒

t − 1 ≥ 0

t4 + 3 = t2 − 2t + 1 ⇐⇒ t = −1 (loai)

Xét vi (−∞; −1] ta có−

1

x2 + x2 + 1 + 1 = −

1

x − x



16/35


Tương t ta có:

1

x − x = t ⇒ t4 = 1

x2 + x2 − 2

Khi đó

−√ t4 + 3 + 1 = −t ⇐⇒

t + 1 ≥ 0t4 + 3 = t2 + 2t + 1

⇐⇒ t = 1 (T M )

Vi

t = 1 ⇒ 1x − x = 1 ⇐⇒ x2 + x − 1 = 0 ⇐⇒

x =

−1 + √ 52

(loai)

x = −1 − √ 5

2

⇐⇒ x = −1 −√

5

2

Vy phương trình đã cho có nghim là x = −1 − √ 5

2


x√

x + 7 − 2x√

x > 4

x +

4

x − 2

Li gii:

Điu kin x > 0.

Bt phương trình đã cho tương đương vi.

x2 − 2x + 7 > 4√ x2 − 2x + 4 ⇐⇒ x2 − 2x + 4 − 4√ x2 − 2x + 4 + 3 > 0

⇐⇒ √

x2

−2x + 4

−1

√ x2

−2x + 4

−3 > 0 ⇐⇒

√ x2 − 2x + 4 < 1

√ x2

− 2x + 4 > 3⇐⇒ x2 − 2x − 5 > 0 ⇐⇒

x > 1 +

√ 6

x 1 +√

6


x + 3

2 − 3x22 = 2Li gii:



17/35


Đt: 2 − 3x2 = y ta có h x + 3y2 = 2

y + 3x2 = 2⇐⇒

x = 2 − 3y2y = 2 − 3x2

⇐⇒ x − y = 3x2 − 3y2

y = 2 − 3x2

⇐⇒

x = y

y = 1 − 3x

3y = 2 − 3x2

Vi y = x thay vào phương trình còn li ta đưc 3x2 + x − 2 = 0 ⇐⇒ x = −1

x = 2

3

Vi y = 1 − 3x

3 thì ta có:

1

−3x

3 = 2 − 3x2

⇐⇒ 3x2

− x − 5

3 = 0 ⇐⇒ x = 1

±√

21

6


x = −1x =

2

3

x = 1 ± √ 21

6


√ 3x2 − 12x + 5 ≤ √ x3 − 1 + √ x2 − 2x

Li gii:

Điu kin: x ≥ 2

Bt phương trình đã cho tương đương vi:

3x2

− 12x + 5 ≤ x3

− 1 + x2

− 2x + 2 (x − 1) (x2 + x + 1) x (x − 2)⇐⇒ x3 − 2x2 + 10x − 6 + 2 (x − 1) (x − 2). (x2 + x + 1) x ≥ 0⇐⇒ (x3 + x2 + x) − 3 (x2 − 3x + 2) + 2√ x2 − 3x + 2.√ x3 + x2 + x ≥ 0⇐⇒ 1 − 3. x

2 − 3x + 2x3 + x2 + x

+ 2

x2 − 3x + 2x3 + x2 + x

≥ 0

Đt: a =

x2 − 3x + 2x3 + x2 + x

(a ≥ 0) thì lúc đó ta có:

1 − 3a2 + 2a ≥ 0 ⇐⇒ −13

≤ a ≤ 1 ⇐⇒ a ≤ 1⇐⇒ x2 − 3x + 2 ≤ x3 + x2 + x⇐⇒ x3 + 4x − 2 ≥ 0



18/35


Nhn thy vi x ≥ 2 luôn đúng.

Vy nghim ca bt phương trình là: x ≥ 2


4x2 − 7x − 19 =√

4x2 − 4x − 14

Li gii:

Điêu kin:

x ≥ 1 +√

15

2

x ≤ 1 −√

15

2

Bin đi phương trình đã cho như sau:4x2 − 7x − 19 = √ 4x2 − 4x − 14

⇐⇒

(4x2 − 7x − 19)2 = 4x2 − 4x − 144x2 − 7x − 19 ≥ 0

⇐⇒

16x4 + 49x2 + 361 − 56x3 − 152x2 + 266x = 4x2 − 4x − 144x2 − 7x − 19 ≥ 0

⇐⇒

16x4 − 56x3 − 107x2 + 270x + 375 = 04x2 − 7x − 19 ≥ 0

⇐⇒

(x2 − 2x − 5)(16x2 − 24x − 75) = 04x2 − 7x − 19 ≥ 0 ⇐⇒

x = 1 ± √ 6

x = 3 ± 2√ 21

44x2 − 7x − 19 ≥ 0

⇐⇒ x = 1 + √ 6

x = 3 − 2√ 21

4

Vy nghim ca phương trình là

x = 1 +

√ 6

x = 3 − 2√ 21

4


2x23 − √ 9 + 2x2 < x + 21

Li gii:

Điu kin: −9

2 ≤ x = 0



19/35


Ta có:2x2

3 − √ 9 + 2x2 < x + 21⇐⇒ x

2

9 + x − 3√ 9 + 2x < x + 21⇐⇒ x2


20/35



x =√

3 − x.√ 4 − x + √ 5 − x.√ 4 − x + √ 3 − x.√ 5 − x

Li gii:

Điu kin: x ≤ 2Bin đi phương trình tr thành:

√ 3 − x √ 2 − x + √ 4 − x+ √ 4 − x.√ 2 − x − x = 0

Đt:

√ 2 − x = a√ 4 − x = b ⇒

a2 + b2

2 = (3 − x)

(a + b)2

2 − 3 = −x + √ 4 − x.√ 2 − x

(a < b)

Khi đó phương trình đã cho tr thành h phương trình sau:

a2 + b2

2 (a + b) +

(a + b)2

2 = 3

a2 − b2 = −2

⇒ −32

(a2 − b2) =

a2 + b2

2 (a + b) +

(a + b)2

2

⇐⇒

−3

2

(a + b) (a

−b) = (a + b)

a2 + b2

2

+ a + b

2

⇐⇒ a + b = 0−3

2 (a − b) =

a2 + b2

2 +

a + b

2

⇐⇒ −2a + b =

a2 + b2

2

⇐⇒

b ≥ 2a4a2 − 4ab + b2 = a

2 + b2

2

⇐⇒

b ≥ 2a7a2 − 8ab + b2 = 0 ⇐⇒

b ≥ 2a a = b

7a = b

⇒

√ 4 − x ≥ 2√ 2 − x √

4 − x = √ 2 − x7√

2

−x =

√ 4

−x

⇐⇒ √ 4 − x ≥ 2√ 2 − x

49(2 − x) = 4 − x ⇐⇒ x = 47

24

Vy nghim ca phương trình là: x = 47

24


√ 5x2 + 14x + 9 −

√ x2 − x − 20 = 5√ x + 1

Li gii:

Điu kin: x ≥ 5



21/35


Ta bin đi như sau:

P T ⇐⇒ √ 5x2 + 14x + 9 = √ x2 − x − 20 + 5√ x + 1⇐⇒ 5x2 + 14x + 9 = x2 − x − 20 + 25 (x + 1) + 10√ x2 − x − 20.√ x + 1⇐⇒ 4x2 − 10x + 5 − 10 (x − 5) (x + 1).√ x + 4 = 0⇐⇒ 4 (x2 − 4x − 5) − 5 4 (x

2 − 4x − 5).√ x + 4 + 6 (x + 4) = 0⇐⇒ 4 (x2 − 4x − 5) − 3√ x + 4 4 (x2 − 4x − 5) − 2√ x + 4 = 0⇐⇒

4 (x2 − 4x − 5) = 3√ x + 4 4 (x2 − 4x − 5) = 2√ x + 4 ⇐⇒

4x2 − 25x − 56 = 04x2 − 20x − 36 = 0 ⇐⇒

x = 8

x = 5 +

√ 61

2


x = 8

x = 5 +

√ 61

2


x − √ y + 2 = 32

y + 2 (x − 2) √ x + 2 = −74

Li gii:

Điu kin: x ≥ −2; y ≥ −2

Đt: u =√

x + 2; v = √

y + 2 vi u, v ≥ 0 h tr thành

u2 − v = 72

(1)

v2 + 2 (u2 − 4) u = 14

(2)

Th (1) vào (2) ta đưc: u2 − 7

2

2

+ 2u3 − 8u = 14

⇐⇒ u4 + 2u3 − 7u2 − 8u + 12 = 0

⇐⇒ (u − 1) (u − 2) (u2

+ 5u + 6) = 0⇐⇒ u = 1 ∨ u = 2

Vì u2 + 5u + 6 > 0, ∀u ≥ 0.

Vi u = 1 ⇒ v = −52

không tha mãn

Vi u = 2 ⇒

v = 1

2 ta tìm đưc

x = 2

y = −7

4

Vy nghim ca h phương trình là:

x = 2

y = −74



22/35


Bài 33. Gii h phương trình sau: x2y2 − 2x + y2 = 02x2 − 4x + 3 + y3 = 0

Li gii:

Ta có: x2y2 − 2x + y2 = 02x2 − 4x + 3 + y3 = 0 ⇐⇒

y

2 = 2x

1 + x2

2(x − 1)2 + 1 + y3 = 0

Vì 2x

1 + x2 ≤ 1 (∀x ∈ R) nên −1 ≤ y ≤ 1

Khi đóy ≥ −1 ⇐⇒ 1 + y3 ≥ 0 ⇐⇒ 2(x − 1)2 + 1 + y3 ≥ 0

⇐⇒

x − 1 = 01 + y3 = 0

⇐⇒

x = 1

y = −1

Th li vào h phương trình đã cho tha mãn

Vy nghim ca h phương trình là: (x; y) = (1; −1)

Bài 34. Gii phương trình sau: 12xy + 12 (x

2 + y2) + 9

(x + y)2 = 85

6x (x + y) + 3 = 13 (x + y)

Li gii:

Điu kin x + y = 0.

Vit li h phương trình thành:

9

x + y +

1

x + y

2

+ 3(x − y)2 = 103

3

x + y +

1

x + y

+ 3 (x − y) = 13

Đt

a = x + y +

1x + y

(|a| ≥ 2)b = x − y

ta có:



23/35


9a2 + 3b2 = 103

3a + 3b = 13⇐⇒

2b2 − 13b + 11 = 0

3a = 13 − 3b ⇐⇒

a =

10

3b = 1

a =

−76

b = 11

2

(loai)

Khi đó x + y +

1

x + y =

10

3x − y = 1

⇐⇒ (x; y) =

2

3; −1

3

, (2; 1)

Vy nghim ca h phương trình là: (x; y) = 2

3; −1

3 , (2; 1)Bài 35. Gii phương trình sau:

x2 − 2√

15 − x2 + x

= 15 − 3√

15x − x3 − 4√ x

Li gii:

Điu kin: 0 ≤ x ≤ √ 15

Đt:

a = √ 15 − x2

b = √

x(a, b ≥ 0) khi đó phương trình đã cho tr thành:

a2 − 3ab − 4b + 2 (a + b2) = 0⇐⇒ a2 + 2b2 − 3ab + 2 (a − 2b) = 0⇐⇒ (a − 2b) (a − b) + 2 (a − 2b) = 0

⇐⇒

a = 2b

a = b − 2

Vi: a = 2b thì

√ 15 − x2 = 2√ x ⇐⇒ 15 − x2 = 4x ⇐⇒

x = −2 + √ 19

x = −2 − √ 19 (loai)

Vi a = b − 2 khi đó √ 15 − x2 = √ x − 2

Mt khác:

0 ≤ x ≤√

15 ⇒ √ x − 2 ≤ √

15 − 2 < √

16 − 2 = 0



24/35


nên phương trình đó vô nghim.

Vy phương trình đã cho có nghim là x = −2 + √ 19

Bài 36. Gii h phương trình:

√ 7x + y − √ 2x + y = 4

2√

2x + y − 710

√ 5x + 10y = 2

Li gii:

Đt:

√ 7x + y = a

√ 2x + y = b (a, b

≥ 0)Ta có:

5x + 10y = −3 (7x + y) + 13 (2x + y)= −3a2 + 13b2 ⇒ √ 5x + 10y = √ −3a2 + 13b2

Khi đó ta có h phương trình mi:

a − b = 4

2b − 7

10√ −3a2

+ 13b2

= 2

⇐⇒

a = b + 4

2b − 710

√ 10b2 − 24b − 48 = 2

⇐⇒

a = b + 4

20b − 20 = 7√ 10b2 − 24b − 48

⇐⇒

a = b + 4

b ≥ 190b2

−376b

−2752 = 0

⇐⇒

a = 12

b = 8⇒

7x + y = 144

2x + y = 64

⇐⇒

x = 16

y = 32

Vy nghim ca h phương trình đã cho là:

x = 16

y = 32


x + 2

3x − 1

5 = 4

4

x4 + 4

20



25/35


Li gii:

Điu kin: x ≥ 13

Áp dng bt đng thc Cosi ta có:

x + 2

3x − 15

≤ x + 3x − 15

+ 1 = 8x + 45

Mt khác:

4 4

x4 + 4

20 ≥ 8x + 4

5 ⇐⇒ 4

x4 + 4

20 ≥ 2x + 1

5

⇐⇒ 125(x4 + 4)

4 ≥ 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1

⇐⇒ 61x4

− 128x3

− 96x2

− 32x + 496 ≥ 0⇐⇒ (x − 2)2 (61x2 + 116x + 124) ≥ 0 (∀x ∈ R)

Do đó:

4 4

x4 + 4

20 ≥ x + 2

3x − 1

5

Du bng xy ra khi: x = 2

Vy nghim ca phương trình là: x = 2.

Bài 38. Gii bt phương trình sau: x (x + 2)

(x + 1)3 − √ x≥ 1

Li gii:

Điu kin: x ≥ 0.

Vi x ≥ 0 thì

(x + 1)3 − √ x > 0.



26/35


Khi đó ta có bt phương trình đã cho tương đương:

BP T ⇐⇒ x (x + 2) ≥ (x + 1)3 − √ x⇐⇒ x2 + 2x ≥ x3 + 3x2 + 4x + 1 − 2 (x + 1) √ x2 + x⇐⇒ (x + 1)

x2 + x + 1 − 2√ x2 + x

≤ 0

⇐⇒ x2 + x + 1

−2√

x2 + x

≤ 0

⇐⇒ √ x2 + x − 12 ≤ 0⇐⇒ √ x2 + x = 1 ⇐⇒ x = −1 ±

√ 5

2

Kt hp vi điu kin ta có nghim ca bt phương trình là: x = −1 + √ 5

2 .

Bài 39. Gii h phương trình sau: (x2 + y2) (x + y + 1) = 25 (y + 1)

x2 + xy + 2y2 + x − 8y = 9

Li gii:

H phương trình đã cho tương đương:

(x2 + y2) (x + y + 1) = 25 (y + 1)

x2 + y2 + x (y + 1) + (y + 1)2 − 10 (y + 1) = 0 .

D thy y = −

1 không phi là nghim ca h phương trình.

Chia c 2 v phương trình mt và hai cho y + 1 ta đưc h mi:

(x2 + y2) (x + y + 1)

y + 1 = 25

x2 + y2

y + 1 + x + y + 1 = 10

Đt a =

x2 + y2

y + 1 , b = x + y + 1 khi đó h phương trình đã cho tr thành: ab = 25

2 + b = 10⇐⇒ a = b = 5 ⇐⇒

x2 + y2 = 5 (y + 1)

x + y + 1 = 10

⇐⇒

x = 3

y = 1

x = −3

2

y = 11

2

Vy nghim ca h phương trình đã cho là: (x; y) = (3; 1) ,−3

2 ;

11

2



27/35


Bài 40. Gii h phương trình sau: (x + y)

√ x − y + 2 = x + 3y + 2

(x − y) √ x − y + 2 = (x + y + 1) √ x + y − 2

Li gii:

Điu kin:

x − y ≥ −2

x + y ≥ 2

Đt

a = x + y (a ≥ 2)

b = √

x − y + 2 (b ≥ 0) ⇐⇒

a = x + y

b2 − 2 = x − yH phương trình đã cho tr thành

ab = 2a − b2 + 4

(b2 − 2) b = (a + 1) √ a − 2 ⇐⇒ a (2 − b) + (2 + b) (2 − b) = 0(b2 − 2) b = (a + 1) √ a − 2

b = 2

a + b + 2 = 0 (V N )

(b2 − 2) b = (a + 1) √ a − 2⇐⇒

b = 2

(a + 1)√

a − 2 = 4

⇐⇒

b = 2 a = 3

a = 2

⇒

x = 5

2

y = 1

2

Vy nghim ca h phương trình đã cho là (x; y) =

5

2; 1

2

.

Bài 41. Gii h phương trình sau: √ x − y + √ x − 1 = y − 1 (1)

1 − (y − 1)2√ x − 1 = (y − x) (y − 1) (2)

Li gii:

Điu kin:

x ≥ yx ≥ 1

Ta bin đi phương trình 1 trưc nhé. Nhm nhm thy liên hp xut hin nhân t nên ta làmnhư sau:

Trưng hp 1: Vi √

x − y = √ x − 1 ⇐⇒ y = 1 thay xung phương trình (2) không tha mãn.

Trưng hp 2: Vi √ x − y = √ x − 1 ⇐⇒ y = 1 ta có:



28/35


(1) ⇐⇒ 1 − y√ x − y − √ x − 1 = y − 1 ⇐⇒

√ x − y − √ x − 1 = −1

⇐⇒ √ x − y + 1 = √ x − 1 ⇐⇒ y − 2 = 2√ x − y ⇐⇒

y ≥ 2x =

y2 + 4

4

Thay xun phương trình (2) ta đưc:

1 − (y − 1)2

y2

4 =

y − y

2 + 4

4

(y − 1)

⇐⇒ 1 − (y − 1)2. y2

= (4y − y2 − 4) (y − 1)

4

⇐⇒ y3 + y2

−6y = 0

⇐⇒ y = 0

y = 2

y = −3⇐⇒ y = 2 ⇒ x = 2

Vy nghim ca h phương trình đã cho là: (x; y) = (2; 2)


2 +√

x√

2 +

2 +√

x+

2−

√ x

√ 2 −

2 − √ x = √ 2

Li gii:

Điu kin: 0 < x ≤ 4.

Đt:

2 +√

x = a, 2 −√

x = b a, b ≥ 0; b =√

2Ta có: ab =

√ 4 − x, a2 + b2 = 4.

Phương trình đã cho tr thành:

a2√ 2 + a

+ b2√

2 − b =√

2

⇐⇒ a2√ 2 − a2b + b2√ 2 + ab2 = √ 2 2 − b√

2 + a√

2 − ab⇐⇒ √ 2 (a2 + b2 + ab − 2) − ab (a − b) = 2 (a − b)⇐⇒ √ 2 (ab + 2) = (a − b) (ab + 2)⇐⇒ a − b = √ 2 ⇐⇒ a2 + b2 − 2ab = 2⇐⇒ ab = 1 ⇐⇒ √ 4 − x = 1 ⇐⇒ x = 3



29/35




x

√ 5 − x

2

+ y

5 − 4y2

= 3√ 5 − x2 +

5 − 4y2 = 6 − x − 2y

Li gii:

Điu kin:

−√ 5 ≤ x ≤ √ 5−√ 5

2 ≤ y ≤

√ 5

2

Ta có:

HP T ⇐⇒ x√

5 −x2

+ y

5 − 4y2

= 3x + √ 5 − x2 + 2y +

5 − 4y2 = 6

Đt: x +

√ 5 − x2 = a

2y +

5 − 4y2 = b

⇐⇒

a2 = 5 + 2x√

5 − x2b2 = 5 + 4y 5 − 4y

2

⇐⇒

x√ 5 − x2 = a2

− 52y

5 − 4y2 = b2 − 5

4

Khi đó ta có h mi:

a2 − 52

+ b2 − 5

4 = 3

a + b = 6⇐⇒

2a2 + b2 = 27

a + b = 6

⇐⇒

3a2 − 12a + 9 = 0a + b = 6

⇐⇒

a = 3b = 3

a = 1

b = 5

Vi:

a = 3b = 3 ⇒

x = 2

x = 1 y = 1y =

1

2

⇐⇒ (x; y) = (2; 1) ,2; 1

2

, (1; 1) ,

1;

1

2



30/35


Vi:

a = 1

b = 5h phương trình vô nghim.

Vy nghim ca h phương trình là:

(x; y) = (2; 1) ,2; 1

2 , (1; 1) ,1; 1

2Bài 44. Gii phương trình sau:

√ 2x + 4 − 2√ 2 − x = 12x − 8√

9x2 + 16

Li gii:

Điu kin

−2

≤ x

≤ 2

Bin đi phương trình đu thành√

2x + 4 − 2√ 2 − x = 12x − 8√ 9x2 + 16

⇐⇒ 6x − 4√ 2x + 4 + 2

√ 2 − x =

12x − 8√ 9x2 + 16

⇐⇒ x = 23

2√

2x + 4 + 2√

2 − x = √ 9x2 + 16

Mt khác:

2√

2x + 4 + 2√

2 − x = √ 9x2 + 16⇐⇒ 9x2 + 8x − 32 = 16

2 (4 − x2)

⇐⇒ 9x2 − 32 = 8

2

2 (4 − x2) − x

⇐⇒ (9x2 − 32)

2

2 (4 − x2) + x

= 8 (32 − 9x2)⇐⇒ (9x2 − 32)

2

2 (4 − x2) + x + 8

= 0

⇐⇒ 9x2 = 32

2

2 (4 − x2) + x + 8 = 0 (V N ) ⇐⇒ x = ±4√

2

3

Th li ta có nghim ca phương trình đã cho là:

x =

2

3

x = 4

√ 2

3


(x − 2) 1 + 3xy

= 2x − y

y2

1 + 3x

y = 2x2 + y2 − 4x



31/35


Li gii:

Điu kin:

1 +

3x

y ≥ 0

y = 0Trưng hp 1:

1 + 3x

y = 0 ⇒

1 +

3xy

= 0

2x − y = 0⇐⇒

y = −3x2x − y = 0 ⇐⇒ x = y = 0 (loai)

Trưng hp 2:

1 + 3x

y = 0

Chi 2 v ca 2 phương trình cho nhau ta đưcx

−2

y2 =

2x

−y

2x2 + y2 − 4x⇐⇒ 2x3 − 8x2 − xy2 − 2y2 + 8x + y3 = 0⇐⇒ (x + y − 2)(2x2 − 2xy + y2) = 0

⇐⇒ x = −y + 2

2

x2 − xy + y

2

4

+

y2

2 = 0

⇐⇒ x = −y + 2

2

x − y2

2

+ y2

2 = 0 (V N )

⇐⇒ x =

−y + 2

Thay vào ta có:

−y

1 + 3 (−y + 2)

y = −3y + 4

⇐⇒ y −2y + 6

y = 3y − 4

⇐⇒

3

4 ≤ y ≤ 3

9y2

−24y + 16 =

−2y2 + 6y

⇐⇒

34 ≤ y ≤ 3

y = 2y =

8

11

⇐⇒ y = 2 ⇒ x = 0

Vy nghim ca h phương trình là: (x; y) = (0; 2)

Bài 46. Gii h phương trình sau: 2

√ x + 3y + 2 − 3√ y = √ x + 2 (1)√

4 − x + √ y − 1 = x2 − 3y + 9 (2)



32/35


Li gii:

Điu kin:

x + 3y + 2 ≥ 0y ≥ 1−2 ≤ x ≤ 4

Ta có:(1) ⇐⇒ 2√ x + 3y + 2 = √ x + 2 + 3√ y ⇐⇒ 4 (x + 3y + 2) = x + 2 + 9y + 6√ x + 2.√ y⇐⇒ 3 (x + 2) − 6√ x + 2.√ y + 3y = 0 ⇐⇒ √ x + 2 − √ y2 = 0 ⇐⇒ x + 2 = y

Thay xung phương trình (2) ta đưc

√ 4 − x + √ x + 1 = x2 − 3 (x + 2) + 9 ⇐⇒ √ 4 − x + √ x + 1 = x2 − 3x + 3

⇐⇒ √

4 − x −−x

3 + 2

+√

x + 1 − x

3 + 1

= x2

− 3x

⇐⇒4 − x −

−x3

+ 2

2

√ 4 − x +

−x3

+ 2

+ x + 1 −x

3 + 1

2

√ x + 1 +

x3

+ 1 = x2 − 3x

⇐⇒−x2

9 +

x

3√

4 − x +−x

3 + 2

+−x2

9 +

x

3√ x + 1 +

x3

+ 1 = x2 − 3x

⇐⇒

x2

−3x = 0

−1√

4 − x +−x

3 + 2

+ −1√ x + 1 +

x3

+ 1 = 9 ⇐⇒ x = 0

x = 3

Vy nghim ca h phương trình là (x; y) = (0; 2) , (3;5)


(13 − 4x) √ 2x − 3 + (4x − 3) √ 5 − 2x = 2 + 8√ 16x − 4x2 − 15

Li gii:

Điu kin: 3

2 ≤ x ≤ 5

2.

Đt: a =

√ 2x − 3

b =√

5

−2x

(a, b ≥ 0) ⇒

2a2 + 3 = 4x − 32b2 + 3 = 13

−4x

Mt khác: a2 + b2 = 2; ab =√

16x − 4x2 − 15.



33/35


Do đó phương trình đã cho tr thành:

(2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = 2 + 8ab

⇐⇒ (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = a2 + b2 + 8ab⇐⇒ 2ab (a + b) + 3 (a + b) = (a + b)2 + 6ab⇐⇒ (a + b − 3)(2ab − a − b) = 0

⇐⇒

a + b = 3

a + b = 2ab⇐⇒

√ 16x − 4x2 − 15 = 72 (V N )√ 16x − 4x2 − 15 = 1

⇐⇒ x = 2 (T M )



x2 + 5x + 7 = 7√

x3 + 1

Li gii:


Bin đi tương đương phương trình đu ta có:

x2 + 5x + 7 = 7√ x3 + 1⇐⇒ x2 + 5x + 7 = 7 (x + 1) (x2 − x + 1)

⇐⇒ (x2 − x + 1) − 7

(x + 1) (x2 − x + 1) + 6 (x + 1) = 0

⇐⇒ √

x2 − x + 1 = 6√ x + 1√ x2 − x + 1 = √ x + 1 ⇐⇒

x2 − x + 1 = 36 (x + 1)

x2 − x + 1 = x + 1

⇐⇒

x2 − 37x − 35 = 0x2 − 2x = 0 ⇐⇒

x = 37 ± √ 1509

2x = 2

x = 0


x = 37 ± √ 1509

2x = 2

x = 0


(x + y)(x + 4y2 + y) + 3y4 = 0 x + 2y2 + 1 − y2 + y + 1 = 0

(x, y ∈

R)

Li gii:



34/35


Điu kin: x + 2y2 + 1 ≥ 0

Phương trình th nht ca h tương đương vi:

(x + y)2 + 4(x + y)y2 + 3y4 = 0 ⇐⇒ (x + y + y2)(x + y + 3y2) = 0.

TH 1: x = −y − y2 thay vào phương trình th 2 ca h ta đưc

y2 − y + 1 − y2 + y + 1 = 0

⇐⇒

y2 − y + 1 = −1(loai) y2 − y + 1 = 2.

⇐⇒ y2 − y − 3 = 0

⇐⇒ y =

1 ± √ 132

.

Vi y = 1 − √ 13

2 thì x = −4 + √ 13 và vi y = 1 +

√ 13

2 thì x = −4 − √ 13.

TH 2: x = −y − 3y2. thay vào phương trình 2 ca h ta đưc

−y2 − y + 1 − y2 + y + 1 = 0⇐⇒ −y

2 − y + 1 = y2 − y − 1

⇐⇒ y2 − y − 1 ≥ 0−y2 − y + 1 = (y2 − y − 1)2⇐⇒

y2 − y − 1 ≥ 0y(y + 1)(y2 − 3y + 3) = 0

⇐⇒ y = −1.

Suy ra x = −2

Vy h phương trình có nghim là:

(x; y) =

−4 +

√ 13;

1 − √ 132

,

−4 −

√ 13;

1 +√

13

2

, (−2; − 1) .


x −

1

x +

1 − 1

x ≥ x

Li gii:



35/35


Điu kin:

x ≥ 1−1 ≤ x

Documents

50 Cau PTHPTBPT Giai Chi Tiet