8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

1/33

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

2/33

n general, ns, proiectantul trebuie s se asigure c a ales sistemuloptim din analiza tuturor celor candidate.

Calculatoarele au permis inginerului efectuarea unei analize cantita-tive a comportrii sistemelor care pn atunci fuseser examinate numai dinpunct de vedere calitativ. tiinele mecanice au beneficiat i ele de acestmare progres. Analiza strilor de tensiuni i de deformaii din elementelestructurilor de rezisten, analiza mecanismelor, analiza transferului decldur, pentru a nu numi doar cteva domenii, au fcut progrese spec-taculare. n general, atenia cercetrii inginereti este axat asupra dezvolt-rii capacitii de analiz.

n aceast perioad, de accentuare a studiilor de analiz, oinsuficient atenie este acordat dezvoltrii sintezei, sau proiectrii capabiles foloseasc eficient noile metode dezvoltate de analiz. n unele domeniimecanice aceast problem a devenit acut. Dac ne referim la domeniulmecanicii structurilor, s-a ajuns n situaia n care este posibil analiza uneistructuri date, aflat sub aciunea unei solicitri date, pentru a se obinevalorile exacte ale tensiunilor, deformaiilor i frecvenelor naturale. Nu estens evident cum structura poate fi configurat geometric i proporionatpentru a ne asigura c ea este cea mai eficient n satisfacerea cerinelor derezisten impuse.

O problem mult mai dificil este configurarea geometric iproporionarea structurii pentru ca ea s devin eficient n satisfacerea unor

cerine impuse deplasrilor, asupra domeniului de stabilitate i mrimiifrecvenelor proprii de vibraie. Evident, rezolvarea unor astfel de probleme,impune folosirea sistemelor de calcul computerizate.

De asemenea, apare necesar studiul problemei de optim. Ideea decel mai bun intr foarte natural n eforturile de proiectare inginereti. nindustrie ca i n laboratoare, obiectivul este de a maximiza anumite funciilede beneficiu sau profit, cu satisfacerea de restricii ca, de exemplu, alocarearesurselor, cerine de performane i limite umane. De ndat ce funciilebeneficiu sau de msur a costului sunt determinate i restriciile identificate, proiectantul de sistem avnd la ndemn o metodologie de proiectareoptimal este capabil s determine cel mai bun sistem.

Trebuie accentuat c aceast cercetare nu se poate face cu o tehnic

general, de optimizare automat. Mai curnd, este necesar o metodologiede proiectare optim ce poate ajuta inginerul la implementarea concepiilorsale i a-1 ghida n direcia, n care, dac va continua nedefinit, va obineoptimul matematic.

5.2. Sisteme inginereti

Analiznd activitatea inginereasc n contextul n care ne-am

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

3/33

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

4/33

operaiile ce trebuie satisfcute, precum i ordinea lor, astfel nct s fie sa-tisfcute obiectivele sistemului. Aceste funcii devin, la rndul lor, obiectivepentru dezvoltarea subsistemelor. Pentru nceput, identificarea funciilor seface din punct de vedere calitativ. ns, odat ce o funcie sau operaie esteidentificat, ea trebuie s fie descris n termeni cantitativi. De exemplu,dac o funcie trebuie s descrie rapiditatea unui fenomen, atunci perioadade timp n care se desfoar fenomenul i viteza de variaie a acestuiatrebuie s fie specificate.

Pasul urmtor din schema logic prezentat n fig. 5.1 este unuldintre cele mai dificile n procesul proiectrii unui sistem ingineresc, att din

punct de vedere analitic ct i din punct de vedere funcional. Proiectareaconceptual implic identificarea configuraiei de baz a sistemului cuansamblul obiectivelor. n aceast faz este de dorit s nu eliminmsistemele candidate ce pot deveni eficiente.

Este important, de asemenea, s se identifice domeniile de variaieale valorilor parametrilor ce descriu sistemul, astfel nct pentru orice parametru cu valori din domeniul corespunztor, sistemul s satisfacfunciile identificate n pasul precedent. Prin urmare, se identific mulimeaparametrilor ce descriu diverse sisteme admisibile. Experiena proiectantuluieste deosebit de important i poate fi extrem de valoroas la stabilireatehnologiilor implicate n dezvoltarea sistemului.

Proiectarea optim are ca obiectiv alegerea parametrilor rmai

nedeterminai n pasul precedent. Aceti parametri trebuie s aib valori ndomeniile definite de restriciile tehnologice i de funciile sistemului.Criteriul pentru alegerea parametrilor sistemului este, de cele mai

multe ori, minimizarea costului, a greutii, a consumului anumitor materialedeficitare etc.

Metodele pentru alegerea parametrilor sistemului pot, ns, aveaproprietatea ca, dac un optim exist, trebuie consumat un timp destul delung pentru a fi atins printr-un proces de trecere la limit.

Ultima etap, descrierea sistemului, este n realitate numai un pasintermediar. Chiar dac proiectarea sistemului s-a fcut corect, cuparcurgerea tuturor etapelor enumerate mai sus, este posibil ca acesta s nusatisfac beneficiarul sau chiar pe pe proiectantul nsui. Astfel, este posibil

ca beneficiarul s-i aminteasc de unele restricii nespecificate i care nusunt satisfcute de sistemul proiectat, sau ca proiectantul s-i revizuiascunele dintre concepiile iniiale sau chiar executantul s reintroduc alterestricii de natur tehnologic. Apar astfel, probleme de reoptimizare(postoptimizare).

n sfrit, mai trebuie specificat c proiectarea unui sistemingineresc, este un proces caracterizat de faptul c parcurgerea etapelor salepoate declana reacii invers (proces cu legturi feedback). Asta nseamnc dup parcurgerea unei etape este posibil s nu se treac la etapa

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

5/33

urmtoare, ci s se reia procesul de proiectare de la o anumit etapanterioar, sau chiar de la nceput, de attea ori pn cnd sunt ndepliniteanumite restricii, impuse n etapa curent.

Acest proces iterativ de proiectare se oprete cnd se consider csistemul ingineresc este apt pentru a fi aplicat n realitate. Se subliniaz caceast ultim decizie este mai mult de natur uman dect de programarematematic.

5.3. Proiectare optim

Particularitile proiectrii mecanice sunt opuse acelora alesistemelor clasice de control. Mecanismul de lucru folosit n proiectareasistemelor mecanice optime este diferit de cel utilizat n teoria controluluioptimal.

Astfel, teoria controlului optimal studiaz sisteme ce au parametri decontrol cu reacie invers (feedback), cu elemente active ce sesizeaz erorile parametrilor monitorizai la ieire, datorate fluctuaiilor la intrare icorecteaz intrrile astfel nct s extremizeze una sau mai multe funcii cedescriu performaa sistemului.

Proiectarea mecanic optim este o problem de alegere a parametrilor elementelor ce descriu sistemul, fixai pentru toat viaaelementelor, astfel nct sistemul este optim ntr-un anumit sens. n teoria

controlului, acest tip de sistem este numit sistem de control cu bucldeschis.

Unul din sistemele studiate n teoria controlului este sistemulsecvenial, sistem ale crui etape se succed unele dup altele (secvenial) isunt ntr-o ordine prestabilit. Cele mai multe dintre problemele deproiectare mecanic optim sunt de alt gen.

De exemplu, n proiectarea unei structuri de rezisten trebuie s sedetermine tensiunile datorate solicitrilor aplicate, tensiuni interpretate camrimi ce determin i caracterizeaz, totodat, starea structurii. Ele suntdeterminate din probleme cu valori pe contur ce nu sunt procese secveniale,fiind probleme cu valori iniiale.

n unele probleme de proiectare mecanic este posibil s sedefineasc variabile auxiliare, astfel nct ecuaiile fenomenului s formeze o problem cu valori iniiale ce are restricii adiionale. Acest procedeugenereaz, ns, complicaii inutile pentru problem.

n final, este important de semnalat faptul c analiza inginereasc iproiectarea optim inginereasc sunt fundamental diferite.

Astfel, n analiz, se asigur c soluia exist iar metodele numericesunt, n general, stabile. n proiectarea optim, existena unei proiectrinominale ce satisface toate obiectivele nu este asigurat i deci, cu att mai

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

6/33

mult, nu este asigurat existena unei proiectri optimale.Mai mult, chiar cnd optimul exist, metodele numerice de rezolvare

sunt, adesea, foarte sensibile la estimrile iniiale i reclam operatoruluimult intuiie, chiar s manifeste o adevrat art de calcul pentru asigurareaconvergena procesului. Trebuie, totui, subliniat c o abordare pur intuitivpoate conduce ns la rezultate eronate.

5.4. Criterii cantitative pentru determinarea

formei elementelor i sistemelor constructive

5.4.1. Spaiul i subspaiul de proiectare

n cele ce urmeaz ne vom referi strict la cazul structurilor derezisten.

Prin convenie, se consider structura ca fiind un punct ntr-un spaiude proiectare abstract. n acest spaiu, coordonatele punctului corespunztorstructurii sunt dimensiunile geometrice ale acesteia i constantele dematerialul.

Aceste coordonate care vor fi denumite parametrii structurii, pot finumere reale, funcii sau vectori (mulimi total ordonate de numere reale).Pentru o nelegere mai profund a spaiului figurativ de proiectare, se pre-

zint, mai jos, parametrii ce sunt utilizai de proiectant pentru a specifica ostructur.Parametri geometrici: geometria seciunii transversale a elementelor structurale unidi-

mensionale; forma axei longitudinale a elementelor structurale unidimensio-

nale; forma geometric a suprafeei mediane a plcii sau membranei; legea de variaie a grosimii plcii; forma conturului plcii sau mambranei; poziia spaiala nodurilor unei grinzi cu zbrele sau unui cadru; loalizarea spaial a elementelor componente ale structurii.Constante de materialul: modulul de elasticitate; densitatea ; coeficientul de conductivitate i de dilatare termic; coeficienii legilor constitutive cere stabilesc legtura dintre ten-

siuni i deformaiile elsatice, elasto-plastice, vsco-elastice, etc.; tensiunile de cedare ale materialului la diverse solicitri; constantele de oboseal ale materialului;

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

7/33

constantele de anizotropie ale materialului.Starea de pretensionare a unei structuri poate, de asemenea, fi

considerat ca un parametru de calcul.Evident, aceast trecere n revist a parametrilor structurii nu este

complet, ns include parametrii cei mai frecvent utilizai n proiectare.O problem particular generat de optimizarea structurii este aa-

numitulsubspaiu de proiectare.Pentru a clarifica acest concept, s presupunem situaia concret n

care se dorete proiectarea unei grinzi. Pentru nceput, proiectantul decidedinainte dac grinda va fi o grind cu seciune I, sau grind cu zbrele. A-

ceast alegere implic restricii asupra parametrilor de proiectare ca, deexemplu, nlimea maxim a grinzii I. Deasemenea, dei nu este strict ne-cesar, proiectantul i alege dinainte materialul folosit, adugndu-se astfelnoi restricii.

Constantele materialului pot fi introduse printre variabilele deproiectare ce vor fi determinate n procesul de optimizare, ns trebuiesubliniat c puini autori au abordat acest aspect, existnd, evident puinelucrri dedicate acestei probleme.

5.4.2. Subspaiul admisibil

Subspaiul de proiectare ce conine structura satisface un numr decerine, necesar pentru acceptabilitatea funcional a structurii, aflat sub

aciunea solicitrilor ce decurg din ndeplinirea rolului funcional. n general,condiiile impuse asupra rezistenei, rigiditii, duratei de via, etc.,limiteaz rspunsul structurii la solicitarea dat.

Acestea condiii pot fi, ns, concepute ca restricii ce mpartsubspaiul de proiectare ntr-un subspaiu admisibil i un subspaiuneadmisibil.

Printre restriciile cele mai utilizate sunt: tensiuni maxime ; deformaie maxim ; coeficient de siguran maxim la pierderea stabilitii, sau la

rupere; minimum de senzitivitate la imperfeciuni de execuie, de montaj,

etc.; minimumul frecvenei fundamentale de oscilaie proprie; maximul vitezei de deformare n curgerea plastic staionar; maximul duratei de via sub solicitri ciclice; greutate sau volum minim ; rigiditate maxim la diverse solicitri (ncovoiere, torsiune etc.); moment de inerie maxim; solicitri de stabilitate maxim ;

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

8/33

ductilitate maxim la solicitri dinamice.Diferite teorii de rupere sunt luate n consideraie, n concordan i

pe baza unor indicatori de material, solicitare, etc., prin restricii adecvatedin subspaiul de proiectare.

Restriciile sunt exprimate ca limite de funcionale definite pesubspaiul de proiectare, acest subspaiu fiind delimitat numai implicit.

Dificulti de calcul apar atunci cnd solicitrile sunt aleatoare saudinamice, n cazul unor tipuri de solicitri diferite, restriciile fiind diferitepentru fiecare dintre acestea. Acesta este, n mod obinuit, cazul cnd seconsider diferite suprasarcini, n condiii de exploatare.

Cel mai adesea, restriciile asupra limitelor rspunsului nu sunt denatur fizic ci rezult din reglementri sau standarde. Cnd este cazul, oproblem de proiectare optim este cea a senzitivitii soluiei optime la micimodificri n aceste standarde. Privind lucrurile i prin prisma acestui ultimaspect menionat, se pune problema i a optimizrii standardelor sau areglementrilor. n formularea matematic a problemei, restriciile apar nmod obinuit sub form de inegaliti.

Drept restricii se pot considera: ecuaiile de echilibru i de compa-tibilitate, (ecuaii difereniale cu derivate pariale sau ecuaii difereniale or-dinare), inegaliti algebrice de tip unilateral sau bilateral (suprafee, dimen-siuni, momente de inerie etc), tensiuni normale, tangeniale, principale,echivalente, critice la stabilitate elastic, n regim static sau dinamic, defor-

maii locale sau generale, viteza critic de deformare plastic etc., sau de tipizoparametric cum ar fi: volum constant, deformare constant, potenial elas-tic constant etc.

5.4.3. Criterii cantitative pentru determinareaformei

Criteriile cantitative pentru determinarea formei au fost formulate n1963 de V. Krzys, M. Zyczkowski i extinse n 1973 de ctre V. Kolar, V. F.Poterau.

Clasificarea din punctul de vedere al dimensionrii i al determinriiformei are multe aspecte comune cu clasificarea din teoria vibraiilor a

diferitelor sisteme n funcie de numrul gradelor lor de libertate. Astfel,determinarea funciei care depinde de un parametru corespunde unui sistemcu un singur grad de libertate, iar determinarea uneia cu mai muli parametricorespunde unui sistem cu mai multe grade de libertate. Determinareaformei n sensul real corespunde unui sistem cu un numr infinit de grade delibertate.

Din punct de vedere al calitii mai pot fi introduse condiiile derezemare (simplu rezemat, ncastrat parial sau total, articulat, etc.).

n cazul structurilor alctuite din plci sau membrane avnd nervuri

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

9/33

de rigidizare, se poate pune problema distribuirii optime a nervurilor nconcordan cu extremizarea funciilor obiectiv ce definesc optimul formulatpentru structura proiectat.

n cazul obinerii unei caracteristici de anizotropie impuse (aceastafiind, n fond, anizotropia optim), se pune problema dispunerii optime amaterialelor (problema orientrii optime a axelor de anizotropie).

O alt problem deosebit este aceea generat de alegerea optim amaterialelor atunci cnd seciunea este neomogen (betonul armat,materialele plastice armate cu fibre de sticl sau fibre de carbon, etc).

5.5. Formularea matematic a problemelorde optim i metode de optimizare

5.5.1. Formularea matematic a problemelor de

optimizare mecanic

Dup ce variabilele de proiectare au fost alese, problema deproiectare optim poate fi formulat astfel:

S se proiecteze Snct:

=

==

F(S)min,...,n2,1, j0(S)h

,...,m2,1, k0(S)f

j

k

(5.1)

unde S este un punct n spaiul de proiectare, caracterizat de variabilelealese. n multe probleme exist condiiile impuse funcionalelor kf i jh ,datorit restriciilor impuse rspunsului structurii la solicitri, ns unele din-tre acestea pot s fi exprimate prin delimitri ale subspaiului de proiectare.Funcionala obiectiv este notat cu F .

Existena soluiei i a unicitii acesteia, cnd exist, pentruproblema definit, la modul general, prin (5.1), este o chestiune deschis lacare numai n rare cazuri se poate rspunde pe baza intuiiei. Din (5.1)rezult c, dac Seste optim, pentru mici variaii S n domeniul subspa-

iului de proiectare, exist relaiile:

=

==

0F(S)

0(S)a care hindici j l , pt.0(S)h

,...,m2,1, k0(S)f

jj

k

(5.2)

Aceast formulare variaional d condiia necesar pentru existenaunei soluii optime.

Condiiile din formularea variaional (5.2) pot fi exprimate printr-o

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

10/33

alt form mult mai folosit. Se presupune c variabilele de proiectare suntp numere reale, astfel nct spaiul de proiectare poate fi interpretat ca unspaiu euclidian p -dimensional.

Fie So soluie admisibil i S o variaie arbitrar n domeniulsubspaiului de proiectare. Cum 0)S(fk , variaia S este normal latoi vectorii )S(fk ( m,...,2,1k= ). n mod similar, restriciiledescrise prin inegalitile 0)S(hj sugereaz c S nu are component

n direcia pozitiv a lui )S(hj . Prin urmare, se poate deduce c pentru

orice numere reale k i orice 0j , proiecia lui S pe vectorul

==

+n

1j

jj

*m

1k

kk )S(h)S(f (5.3)

este nepozitiv. n rel (5.3), simbolul =

n

1j

*indic faptul c sumarea este

restricionat la acele valori ale indicelui j valorile lui j pentru care0)S(h

j= .Cu alte cuvinte, orice vector care are o component pozitiv pe

direcia vectorului dat de rel. (5.3) se gsete n subspaiul neadmisibil.n scopul descreterii funcionalei obiectiv F , este necesar s se

produc o micare din sens pozitiv n sensul negativ al direciei F .

Dac aceast direcie (- F ) este direcia vectorului dat de rel(5.3), o deplasare n subspaiul admisibil va descrete funcionala obiectiv.Prin urmare, la punctul de optim, - F are direcia identic cu direciavectorului (5.3). Utiliznd acest fapt, se deduce c dac S este soluieoptimal, atunci exist o mulime de numere reale k i de numerenenegative 0j , astfel, nct are loc ecuaia:

==

+=n

1j

jj

*m

1k

kk)S(h)S(f)S( (5.4)

Relaia (5.4) este cunoscut sub numele de condiia Kuhn-Tucker. Seobserv c, dac nu exist restriciile inegaliti, k poate fi interpretat ca

multiplicator Lagrange.Pentru o problem fr restricii, condiia (5.4) se reduce la0= . Ca toate soluiile staionare, ns, condiiile (5.2) i (5.4) nu pot

asigura optimul global.Utilizarea unor teste adiionale asigur ns optimul global. n parti-

cular, dac spaiul de proiectare admisibil este convex i dac funcionalaobiectiv este fie convex, fie concav, atunci unele teoreme ale programriineliniare pot da informaii importante despre optimul global i/sau poziiilesoluiilor posibile.

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

11/33

Pot exista probleme care din punct de vedere matematic sunt totaldiferite de cea formulat prin relaiile (5.1), dar care exprim acelai modelfizic. n acest context, de exemplu, problema determinrii celui mai naltstlp posibil, de material i volum dat (considernd i flambajul sub greuta-tea proprie), este, din punct de vedere principial, identic cu problema deter-minrii volumului minim al stlpului, de material i nlime date. Dei pro-blemele sunt, n fond, identice, formularea lor cu ajutorul relaiilor (5.1) estediferit. Acest lucru nu este banal, deci prezint un interes deosebit, deoare-ce, inevitabil, una din formulri conduce la o soluie mai uor de obinut.

Pentru unele modele speciale de structuri (ca de exemplu o grind

elastic pentru care rigiditatea la ncovoiere este proporional cu masa), cuuna sau mai multe restricii ce sunt caracterizate prin principiile de extremale teoriei structurilor (principiul lui Rayleigh i principiul minimului energi-ei poteniale), condiiile necesare obinute prin metode variaionale pot fi su-plimentate cu condiii suficiente. n dependen de principiul de minim alstructurii cu caracter global sau local, condiia rezultat este, de asemenea,suficient pentru un optim global sau local.

Principiul maximului al lui Pontriaghin, metoda programrii dinamicesau teoria controlului au progresat mult n aplicaiile lor n proiectareaoptim din mecanica structurilor i corpurilor deformabile, aceste metodeoferind n multe cazuri optimul global.

5.5.2. Metode de rezolvareFaptul c formularea direct, dat de rel. (5.1) i formularea variaio-

nal, dat de rel. (5.2) a problemei de proiectare optim sunt esenial diferite,afecteaz alegerea metodelor folosite la rezolvarea problemei.

Din punct de vedere principal, problemele formulate prin rel. (5.1)sunt rezolvate, prin utilizarea unor procedee iterative n care, la fiecare itera-ie se obine o soluie mai bun dect cea obinut la iteraia anterioar.

Problemele formulate variaional conduc, pe de alt parte, la sistemede ecuaii difereniale cu condiii pe contur. Numai n cazuri cu totul excep-ionale (de regul, cnd problema prezint suficiente simetrii), o soluie estedat sub form analitic cunoscut. De regul, se aplic algoritmi pentru ob-inerea de soluii numerice.

Datorit faptului c ecuaiile difereniale sunt adesea neliniare i nuau soluii regulate (adesea apar singulariti pe contur), aceste problemeprezint un grad sporit de dificultate.

n consecin, exist o diferen important ntre formulareavariaional (5.2) i formularea mai general (5.1). Formularea variaionalpoate da o soluie (presupunnd c ea exist) optimal (sau mai curnd,staionar), funcionalele (5.1) fiind aplicate la orice proiectare admisibil.Aceast diferen devine pregnant atunci cnd soluia este singular sau nu

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

12/33

exist. n sens larg, aceasta nseamn c o soluie bazat pe formularea (5.1)poate conduce la o proiectare mai bun, chiar dac nu la cea mai bun.

Procedeele iterative menionate mai sus sunt metodele programriimatematice i cele formulate de R.L. Fox.

Trstura lor comun este generarea unui ir de puncte n subspaiulde proiectare

,...S,...,S,S q21 (5.5)

ncepnd cu un punct arbitrar 1S .

Pasul qS din qq1q SSS +=+ este determinat folosind gradienii

funcionalelor restriciik

f , jh i funcionala obiectiv

n

punctul qS . Diferena ntre diferitele metode const n relaia dintre

gradieni i pasul qS .n cel mai simplu caz, problemele cu restricii liniare i funcionala

obiectiv liniar pot fi rezolvate prin metodele ale programrii liniare. Pentrurestricii liniare i anumite tipuri de funcionale obiectiv neliniare existmetodele programrii ptratice.

Cazurile mult mai generale de probleme neliniare pot fi rezolvate fiecu metode directe,fie cu metode indirecte.

Metodele directe sunt: metoda gradientului proiectat, formulat de J.B. Rosen i E. J.

Haug jr.; metoda direciilor posibile formulat de G. Zoutendijk; metoda SLP, care ntrebuineaz o succesiune de programe

liniare cu limite mobile, formulat de R.E. Grifith i R.A. Stewart.n metoda gradientului proiectat, punctul iniial 1S este ales pe

conturul subspaiului posibil. Calea urmat este determinat prin proiectarealui pe contur (desigur, proiectarea optimal nu poate fi realizat dac

1S este un punct interior). Cnd funcionala obiectiv este neliniar iar

restriciile liniare, aceast metod este foarte eficient.n metoda direciilor posibile 1S se poate lua fie n interior, fie pe

conturul subspaiului posibil. Pasul qS este determinat prin relaia:

qqq DS = (5.6)unde qD este o direcie optimal posibil pe o distan finit, iar qeste un pas de lungime optimal.

Similar, metoda SLP admite accesul n subspaiul admisibil, ns,succesiunea programelor liniare determin direct qS optimal, qi

qD .Problemele formulate prin (5.1) pot fi rezovate avantajos, uneori,

indirect, prin utilizarea unei succesiuni de tehnici de minimizare fr

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

13/33

restricii. Acesat tehnic de lucru este cunoscut sub numele de metodaSUMT i a fost formulat de A. Fiacco i G. Mc. Cormick. Ideea de baz ametodei este aceea de a nlocui restriciile inegaliti cu egaliti obinute prin adugarea de termeni suplimentari la funcionala obiectiv. Sumaobinut se numete funcie de penalitate i se notez cu . Dac seconsider o succesiune de proiectri admisibile, o form cunoscut estenumit funcie de penalitate interioar.

[ ] =j

1

jpp )S(hr)S(F)S( (5.7)

cu numrul pozitiv arbitrar 0rp > . Pentru un p dat, problema

const n minimizarea funciei p pe subspaiul de proiectare.n pasul urmtor, pr este nlocuit printr-un numr pozitiv

p1p rr0 >+ , unde suma este restricionat la

valorile lui j pentru care 0)S(hj > .Cnd funcia de penalitate este aleas, se poate decide asupra

procedeului de minimizare a acestei funcii prin consultarea restriciilor.Formulrile ce folosesc funciile de penalitate pot conduce la

anumite dificulti. n primul rnd, funciile generate pot fi dificil deminimizat, iar n al doilea rnd, minimul local prezent n problema de baznu este zero i poate fi creat un minimum adiional.

n general, o echivalen strict ntre problema iniial i ceatransformat nu poate fi garantat.

Mai trebuie menionat c metodele tratate mai sus au ca alternative

procedee care sunt de natur diferit. Acestea suntprogramarea geometric,formulat de R.J. Duffin, E.L. Peterson i CM. Zener i programareadinamic, formulat de R. Bellman i N. Distefano.

5.6. OPTIMIZAREA ELEMENTELOR LAACIUNI STATICE

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

14/33

5.6.1. Aspecte generale

Problemele de optimizare ale elementelor acionate static au foststudiate nc de Galilei.

Majoritatea lucrrilor aprute utilizeaz metodele calculului variaio-nal (problema Bolza generalizat), teoria controlului optimal, principiul ma-ximului Pontriaghin i metoda lui W. Prager, R.T. Shield.

Metodele de calcul numeric utilizate sunt: metoda diferenelor finite,metoda gradientului sub diverse forme i metoda elementelor finite. n a-ceast prezentare ne limitm doar la studiul elementelor liniar elastice.

Dintre problemele noi abordate se menioneaz problemele tratatede: N. V. Banichuk, care cerceteaz problemele de optimizare ale grinzilor(greutate minim, rigiditate maxim) sub aciunea solicitrilor statice i mo-bile, specificate sau nu, studiate ca probleme minimax, de jocuri diferenialecontra naturii.

Deasemenea, Z. Mroz, A. Garstecki prezint distribuia optim ancrcrii pe o structur, pentru minimul conformrii elastice sau maximulcoeficientului de siguran.

Se deduc criteriile de optim pentru distribuie i poziie nespecificateale ncrcrii, n maniera metodei lui W. Prager, R.T. Shield. Extindereaacestor criterii de optim la domeniul plastic se realizeaz cu uurin.

Z. Mroz, G.I.N. Rozvany studiaz proiectarea optim a grinzilor ale

cror reazeme rigide sau elastice au poziii nespecificate i prin urmare iacestea sunt incluse ca parametri n problemele de optimizare a elementelor.Costul reazemelor este considerat o funcie de reaciune i de poziia ei.

V, B. Grinev, A. P. Filippov, L. Armand aplic sistematic principiulmaximului pentru optimizarea grinzilor de rigiditate maxim sau greutateminim, supuse la diferite restricii.

Optimizarea stlpilor innd cont de fora critic de flambaj a foststudiat de N. Olhoff, S. H. Rasmussen care, cu ajutorul calculului varia-ional, plecnd de la raportul Rayleigh determin forma optim a stlpilorcomprimai, de lungime i volum dat.

Aici se consider modul fundamental de flambaj i dou moduri deflambaj ca i n lucrarea lui J. Kiusalaas.

Optimizarea arcelor circulare i parabolice este considerat nlucrrile lui I. Tadjbakhsh, M. Farshad, T. Y. Na, G. M. Kurajian pentrufora critic de pierdere a stabilitii. Problema este rezolvat cu ajutorulcalculului variaional clasic.

Plcile plane de diferite forme: dreptunghiulare, circulare, eliptice aufost optimizate pentru rigiditate maxim i ncrcri specificate sau nu, de N.V. Banichuk, V. M. Kartvelivili, A.A. Mironov, N. V. Banichuk.

Metoda de rezolvare utilizat este calculul variaional clasic, combi-nat cu metoda gradientului. M. V. Aristov, V. A. Troikii optimizeaz plcile

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

15/33

circulare cu ajutorul principiului maximului i metoda gradientului. Dinproblematica optimizrii pnzelor subiri se menioneaz lucrrile lui M.Zyczkowski, J. Kruselecki, care optimizeaz la greutatea minim, pnzecilindrice subiri nchise solicitate la ncovoierea pur cu ajutorul calcululuivariaional, L.V. Andreev, V.I. Mosakovskii, N. I. Obodan, care optimizeazpnze cilindrice supuse la presiune neuniform, cu principiul maximului, J.M. Boisserie, R. Glowinski care optimizeaz pnzele subiri axial simetricela eforturi unitare minime, iar V. N. Solodovnikov la pierderea stabilitii.

Optimizarea elementelor plane i spaiale cu ajutorul metodei ele-mentelor finite este studiat de G.A. Hegemier. H.T. Tang, J. Oda, H. Haeri,

M. Lemaire, J.C. Cubaud, J.C. Hornbuckle, G.E. Nevill, W. H. Boykin .Probleme ale optimizrii continuului elasticProiectarea optim a structurilor continui sau continui pe poriuni se

poate studia pe dou ci. Pe de o parte structura (sistemul) continuu se poatediscretiza i prin rafinarea subdomeniilor se obine soluia aproximativ op-tim. Pe de alt parte, pentru continuu se pot determina criterii directe deoptim.

Aceste dou ci difer din punct de vedere matematic. Astfel, nprimul caz, variabilele de control i starea structurii continue se prezint prinvectori ntr-un spaiu vectorial finit-dimensional i deci se pot dezvolta pro-cedeele programrii matematice pentru proiectarea optim. Din contr, n aldoilea caz, variabilele de control i starea structurii continui se definesc prin

puncte n spaiul funcional sau prin vectori de dimensiuni infinite. n acestcaz criteriile de optim implic, n general, operatori neliniari i problemelecomplexe matematice rezultate necesit tratare numeric.

Din punct de vedere al aplicaiilor practice este util a se aborda pro-iectarea optim a sistemelor continui cu metoda elementulor finite.

Optimizarea continuului reprezint un domeniu relativ puin cercetati prin urmare n dezvoltare. Astfel, de dat recent sunt lucrrile lui G.A.Hegemier, H.T. Tang, H. Haeri, M. Lemaire, J. C. Cubaud i J. Oda carerezolv unele probleme de optimizare a continuului folosind metodaelementelor finite.

Pentru probleme avnd o singur variabil independent (grinzi,plci circulare), proiectarea optim a continuului const n optimizarea unei

funcionale de cost supus la restricii sub form de ecuaii diferenialeordinare, condiii de contur, restricii, inegaliti i egaliti algebrice. Larezolvarea acestor probleme poate fi aplicat calculul variaional, principiulmaximului Pontriaghin i programarea dinamic Bellman. Primele dou me-tode au fost extensiv folosite n teoria controlului optimal i numai puinexemple au fost prezentate n problemele de proiectare optim a structurilor,G. Szefer, N. Distefano, D.Mangeron, M. N. Oguztoreli, V. F. Poterau. nacest context, este de menionat folosirea intens a calculului variaional, subforma problemei Bolza generalizat, cu restricii inegaliti.

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

16/33

Pentru probleme cu mai multe variabile independente (plci, pnze)principiul maximului i metoda programrii dinamice sunt actualmente pro-hibitive pentru calculul numeric.

Deficienele calculului variaional fiind cunoscute, n cele mai multecazuri au fost obinute numai condiii necesare pentru minimul sau maximulfuncionalei obiectiv, complexitatea matematic fcnd de multe ori tratareaanalitic imposibil.

n unele cazuri abordarea variaional a fost suplimentat cu pro-cedee care dau condiii suficiente pentru minimul sau optimul global, R. T.Shield, W. Prager. Aceste probleme includ proiectarea la greutatea minim

pentru adaptare static elastic, adaptare elastic dinamic, adaptare n defor-marea plastic staionar, for de flambaj elastic, frecven fundamental icapacitate portant la ncrcare, n domeniul plastic.

Tehnica utilizat n aceste probleme corespunde numai dac suntsatisfcute anumite condiii de convexitate i restricii asupra unei mrimi cecaracterizeaz un principiu de minim sau maxim global.

Multe probleme practice nu pot ns s fie optimizate astfel. Unuldin aceste cazuri este proiectarea la greutatea minim a structurilor elasticecu restricii asupra deplasrilor ntr-un punct sau mai multe puncte ale struc-turii. R. T. Shield, W. Prager au dat o formulare mai general, principiuluienergiei poteniale reciproce, iar N.C. Huang principiului energiei comple-mentare reciproce pentru rezolvarea problemei de mai sus.

5.6.2. Grinzi de greutate minim sau rigiditate

maxim

Se consider o grind ncovoiat, de lungime l(fig. 5.2), realizatdintr-un material elastic, omogen i izotrop cu densitatea i modulul deelasticitate longitudinal E . Forele aplicate se gsesc n planul de simetrie

al grinzii.Ecuaia difereniala a axei deformate a grinzii, ncrcate cu o for

distribuit este:

x

l

q1(x)

Fig. 5.2

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

17/33

( ) 0xqdx

ydEI

dx

d12

2

2=

(5.9)

Sistemul de axe este reprezentat n fig. 5.2.Ecuaia diferenial (5.9) se scrie sub forma urmtorului sistem de

ecuaii difereniale de ordinul nti:

qdx

dT,T

dx

dM,

I

M

dx

d,

dx

dy====

(5.10)

Aici ( )( )

E

xqxqq 1== . Grinda are urmtoarele condiii de contur:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0lMbla,0lqblya

00Mb0a,00Tb0ya

4433

2211

=+=+=+=+

(5.11)

Suprafaa seciunii transversale ( )xA satisface dubla inegalitate saurestricie:

( ) ( ) ( )xAxAxA21

(5.12)Momentul de inerie al seciunii transversale a grinzii are forma:

n

0AI = (5.13)

unde 0, este o constant ce depinde numai de forma seciunii transversaleiar n este un numr pozitiv.

De exemplu, pentru cazul unei seciuni transversale dreptunghiulare

cu limea b i nlimea h situat n planul de simetrie al grinzii n carese afl ncrcarea:

Dac b variaz:

1n,A12

hI

2

== (5.14)

Dac h variaz:

3n,Ab12

1I 3

2== (5.15)

n cazul unei seciuni transversale circulare:

2n,A

4

1I 2 ==

(5.16)

Se consider urmtoarea funcional criteriu:

( )=l

0

dxA,T,M,,yfF (5.17)

Rezolvarea problemei de optimizare const n determinarea legii devariaie a ariei seciunii transversale, ( )xA , care este cuprins ntre limitelefixate de inegalitatea (5.12.) i face minim sau maxim funcionala (5.17.).

Se formuleaz pentru problema pus condiiile necesare de optim. Se

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

18/33

introduce notaia

( )A,T,M,,yfdx

dy0 = (5.18)

care mpreun cu condiia de contur ( ) 00y0 = transform problemaLagrange ntr-o problem echivalent, Mayer.

Hamiltonianul, are forma:

fqTM

H 0TMy

++= (5.19)

Sistemul de ecuaii difereniale adjunct se poate scrie sub forma:

0y

H

dx

d

,T

fH

dx

d,

M

f

IM

H

dx

d

,fHdx

d,yf

yH

dxd

0

0

0M0

M

0y0

y

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Condiiile de contur pentru sistemul de ecuaii difereniale adjunct sededuc din relaia de transversalitate, scris pentru extremitile intervalului[ ]l,0 :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] 00yly

0T0lTl0M0lMl00ll0y0lylly

000

TTMM

yy0

=+++++++

Din relaia de transversalitate, folosindu-se condiiile de conturpentru sistemul de ecuaii difereniale iniial i variaiile variabilelor de starela extremitile intervalului, rezult condiiile de contur pentru ecuaiilesistemului adjunct:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 1,0lbla,0lbla

,00b0a,00b0a

04M4y3T3

2M2y1T1

===

==

Se efectueaz urmtoarele schimbri de variabile:

==== MTy ,y,M,TIntroducndu-se aceste noi variabile n sistemul de ecuaii

difereniale adjunct, acesta devine:

dy

df

dx

Td,

dT

dfT

dx

Md,

dM

df

I

M

dx

d,

dT

df

dx

yd=+==+=

(5.20)cu condiiile de contur:

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

19/33

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0lMbla,0lTblya

00Mb0ya,00Tb0ya

4433

2211

=+=+

=+=+

(5.21)

Problema cu valori pe contur, adjunct, descrie grinda iniial alcrei mod de ncrcare depinde de forma funcionalei criteriu. Sub o astfel deform, variabilele adjuncte apar drept soluii ale unei probleme de conturomogen, liniar, antoadjunct a grinzii.

Pentru rezolvarea problemei de optimizare se utilizeaz principiulmaximului.

Se introduc noile variabile n expresia hamiltonianului (5.19) i seobine:

( )A,T,M,,yfI

MMH = (5.22)

Astfel, condiia necesar de optim este dat de sistemele de ecuaiidifereniale iniial (5.10) i adjunct (5.20), n care ( )xA se determin dincondiia de maxim al hamiltonianului (5.22).

Se introduce studiul funcionalei:

( )

=

l

0

0 dxA,T,M,,yfI

MMS

Sistemele de ecuaii difereniale, iniial (5.10) i adjunct (5.20) sepot deduce din condiiile de staionaritate a funcionalelor:

,dxyq2dx

ydEI

2

1S

l

0

1

2

2

2

=

+

+

+

=

l

0

1

2

2

2

dxyqTT

fM

M

ffy

y

fE2

dx

ydEI

2

1S

ce reprezint suma energiilor poteniale de deformaie a grinzii, respectiv ancrcrii exterioare a sistemului iniial, respectiv adjunct. n funcionala S,exist expresia:

=

l

0

,dx

I

MMU

ce reprezint energia potenial de deformaie. Aceast expresie depinde,simetric, de variabilele de stare iniiale i adjuncte. Funcionalele 0S , S iS se coreleaz n cadrul condiiilor necesare de optimizare n urmtoarea

form: pentru un ( )xA dat, din condiia de staionarite a lui S sedetermin variabilele de stare ( ) ( )xT,...,xy ; pentru cunoscutele ( )xA ,

( )xy ,..., ( )xT , din condiia de staionare a lui S se determin variabilele

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

20/33

de stare adjuncte ( )xy ,..., ( )xT ; pentru variabilele de stare iniiale iadjuncte cunoscute ( )xy ,..., ( )xT , ( )xy ,..., ( )xT valoarea optim a lui

( )xA se determin din condiia de maxim a lui 0S . n cazul problemelormai complexe se introduce restricia suplimentar de conservare a volumului

grinzii ==l

0

.constAdxV Pentru determinarea optimului, n acest caz, se

introduce n funcionala (5.17) sub integral, funcia:( ) ( ) kAA,T,M,,yfA,T,M,,yf1 +=

Modificarea funcionalei criteriu nu influeneaz sistemul adjunct deecuaii difereniale ci numai hamiltonianul care devine:

( ) kAA,T,M,,yfI

MMH =

n afar de forele distribuite, asupra grinzilor mai pot aciona fore imomente concentrate.O funcional criteriu general pentru astfel de situaii depinde de valorilevariabilelor de stare n punctele ( )l,0x .Se consider o grind, acionat n punctul ( )l,0x cu o for concentrat

1Q i un moment concentrat 1M . Starea de deformaie a grinzii estedescris n acest caz de urmtorul sistem de ecuaii difereniale:

0dx

dT,Tdx

dM,I

M

dx

d,dx

dy

====

cu condiiile de contur (5.11) i condiiile asociate din punctul 0x :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )++

++

=+=

==

0000

0000

xMMxM,xTQxT

,xx,xyxy (5.23)

unde:

E

MM,

E

QQ 11 == .

Se consider pentru optimizarea grinzii, urmtoarea funcionalcriteriu:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]++

= 00000 xT,xT,...,x,xy,xyfF Sistemul adjunct de ecuaii difereniale are forma:

0dx

Td,T

dx

Md,

I

M

dx

d,

dx

yd ====

n noile variabile adjuncte.Condiiile de contur i de legtur n punctul 0x , pentru variabilele

adjuncte se obin din relaia de transversalitate la extremitile grinzii i npunctul de aplicare a aciunilor concentrate:

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

21/33

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] 00yxyx

xylyx0T0xTx

...0y0xyxxTxlTl...

xyxlyllyxTxT

f...xy

xy

f

00000

00000T00T

y00y00TT

00yy00

0

0

0

=+

+++

+++++

+++

++

+

++

++

+++

+

Folosindu-se condiiile de contur i condiiile de legtur n punctul

0x pentru sistemul de ecuaii difereniale iniiale, se obine rezultatul con-form cruia condiiile de contur pentru variabilele de stare adjuncte coincidcu cele iniiale (5.11), iar condiiile de legtur n punctul 0x au forma:

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

=

=

+

=

+

+

=

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

0000

0

00

0

0

00

0

0

00

0

0

00

0

xx

xTxy

f

xy

fxT

xM

x

f

x

fxM

xxM

f

xM

fx

xxT

f

xT

fxy

(5.24)

5.6.3. Grinzi de rigiditate maxim

n acest caz exist un tip particular de funcional criteriu, fiindcazul n care problema de contur iniial coincide cu cea adjunct. Dinstructura sistemelor de ecuaii, iniial i adjunct urmeaz c pentru aceasta

trebuie s fie satisfcute condiiile : 0Tf =

; 0

Mf =

; 0f = ;

qy

f=

. n consecin, expresia de sub integrala funcionalei criteriu

(5.17) are forma ( ) ( )AqyA,T,M,,yf += , ( )A fiind o funcieoarecare de variabil A .

Funcionala criteriu sau indicile de performan

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

22/33

=l

0

qydxF (5.25)

caracterizeaz rigiditatea grinzii n raport cu fora distribuit.Multe probleme de optimizare a grinzilor, pentru aciuni statice se

pot formula ca probleme Mayer sau Bolza. Astfel ar fi funcionala criteriuurmtoare:

( )lyF= (5.26)Drept exemplu, se cere s se determine ( )xA , corespunztoare

valorii minime a deplasrii extremitii grinzii n consol.

Condiia de conservare a volumului modific funcionala criteriu( ) ( )+=

l

0

dxxAklyF (5.27)

rezultnd o problem Bolza. Se introduce noua variabil 0y descris de

ecuaia diferenial Adx

dy0 = , cu condiia de contur ( ) 00y0 = . Atunci

funcionala criteriu (5.27) are urmtoarea form echivalent:( ) ( )lkylyF 0+= (5.28)

Problema s-a transformat n forma Mayer. Hamiltonianul are n acestcaz forma:

AqTyMH

0TMy += (5.29)

Sistemul de ecuaii difereniale adjunct este urmtorul:

0dx

d,

dx

d,

Idx

d,

dx

d,0

dx

d0

MTTM

y

y =====

(5.30)Condiiile de contur pentru sistemul dat se determin din condiia de

transversalitate la capetele grinzii:( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 00yly0T0

lTl0M0lMl00

ll0y0lyllkylylysgn

000T

TMM

y0

=+

++

+++

(5.31)Din (5.31) rezult condiiile de contur pentru sistemul (5.30):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) k,0lbla,0lysgnblbla

,00b0a,00b0a

04M43y3T3

2M2y1T1

===

==

Fcnd transformarea : ==== MTy ,y,M,T , sistemul de ecuaii adjunct

(5.31) poate fi scris sub forma:

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

23/33

0dx

Td,T

dx

Md,

I

M

dx

d,

dx

yd ==== (5.32)

cu condiiile de contur:( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0lMbla,lysgnblTblya

00Mb0ya,00Tb0ya

44333

2211

=+=+

=+=+

(5.33)

Hamiltonianul, dup schimbarea de variabile menionat, are forma:

kAI

MMH = (5.34)

Se consider grinda o consol ncastrat n seciunea 0x = i liber

pentru lx = , iar ncrcarea ( ) .constqxq == Din sistemele de ecuaiiiniial i adjunct rezult urmtoarele expresii pentru M i M :

( ) ( )2xl2

qxM = ; ( ) ( )xlqsgnxM = .

Momentul de inerie al grinzii se poate scrie sub forma (5.13).Dup maximizarea hamiltonianului (5.34.), rezult, pentru un volum

fixat al grinzii, configuraia optim A (x), sub una din formele:

( ) [ ]

[ ]

=+

l,xx;A

x,0x;xlc

1

A

21

21n

3

(5.35)

[ ]

( ) [ ]

[ ]

= +

l,xx;A

x,xx;xlc

1

x,0x;A

A

21

211n

3

12

(5.36)

unde1n

1

0

qn

k2c

+

=

.

Punctele de comutare 1x i 2x se pot determina pe baza

condiiilor: ( ) 11 AxA = , ( ) 22 AxA = cu relaiile:

( ) 31n

21 cAlx+

= ; ( ) 31n

12 cAlx+

= (5.37)

Condiia 0x1 = corespunde volumului

+

+++

=

+

+

3

1n

2

1

*A

A

4n

3

4n

1nVV (5.38)

Pentru *VVV , configuraia optim a grinzii variaz conform

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

24/33

cu (5.35), unde c este dat de relaia:

4n

1n

3

4n

3

1n

l4n

1n

c

1A

4n

3cV +

+++

+

++

+= (5.39)

Pentru + VVV* , configuraia optim a grinzii are forma (5.36),unde c este dat de:

1n

3

3

4n

13

4n

2AA

4n

3

VVc

+

+++

+

= (5.40)

Ca i n cazul ncrcrii uniform distribuite i n cazul grinziisolicitate de o for concentrat 1Q i un moment concentrat 1M n

punctul ( )l,0x0 , se poate gsi o funcional criteriu pentru care problemade contur iniial i adjunct coincid:

( ) ( )00

xQyxMF += ; ( EMM,EQQ 11 == ) (5.41)Minimizarea funcionalei (5.41) nseamn minimizarea flexibilitii

sau maximizarea rigiditii grinzii n raport cu sistemul dat de ncrcri.Se face observaia c nelesul fizic al funcionalei criteriu (5.41), n

cazul ncrcrilor concentrate, este acelai ca i n cazul ncrcrii distribuite.De aceea se poate formula similar condiia necesar de optimizare sub formde staionaritate a energiei mecanice a grinzii (suma energiei poteniale dedeformaie i a ncrcrii exterioare).

Se consider pentru simplificare, c grinda este ncrcat numai cu ofor concentrat i se studiaz problema de optimizare cu funcionalacriteriu:

( ) ( )lkyxQyF00

+=Din condiia de maxim al hamiltonianului (5.34), exprimat n cazul

coincidenei problemei de contur iniiale i problemei adjuncte i innd contde (5.13), cu 0k , rezult configuraia ( )xA optim:

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

25/33

( )[ ]

( ) [ ]

=

l,xx,xlQl

x

x,0x,Qxl

xl

M

00

0

n dependen de mrimea volumului fixat, configuraia optim sedetermin cu una din expresiile:

[ ]

( )[ ] [ ]( )[ ] [ ]

[ ]

=+

+

l,xx,A

x,xx,xxlc

1x,xx,xxlc

1

x,0x,A

A

41

401n

2

00

011n

2

0

11

(5.43)

[ ]

( )[ ] [ ]

[ ]

( )[ ] [ ]

[ ]

=

+

+

l,xx,A

x,xx,xxlc

1

x,xx,A

x,xx,xxlc

1

x,0x,A

A

42

431n

2

00

322

211n

2

0

11

(5.44)

unde1n

1

2

2

0

nQ

klc

+

=

.

Punctele de comutare se afl din condiiile ( ) 11 AxA = ,( ) 22 AxA = , ( ) 23 AxA = , i ( ) 14 AxA = , argumentele fiind date de:

( ) 21n

1

0

1 cAxl

1

x

+

= , ( ) 21n

2

0

2 cAxl

1

x

+

= , ( ) 21n

2

0

3 cAx

1

lx

+

= i

( ) 21n

1

0

4cA

x

1lx

+

= .

Pentru configuraia optim cu dou puncte de comutare (5.43), dincondiia de conservare a volumului:

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

26/33

( )[ ] ( )[ ] ( )10

x

x

1n

2

00

x

x

1n

2

011Axldxxxl

c

1dxxxl

c

1AxV

4

1

0

1

+++= ++

se deduce ecuaia relativ la parametrul c :

( )( )[ ] 1n

2

002

3n

12

1n

00

xlxl3n

1n

c

1Ac

xlx

l

3n

2V +

++

+++

+=

(5.45)Atunci cnd configuraia optim are patru puncte de comutare (vezi

relaia 5.44), din condiia de conservare a volumului rezult:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )20

x

x

1n

2

00223

x

x

1n

2

011Axldxxxl

c

1Axxdxxxlc

1AxV4

3

2

1

++++= ++

de unde rezult:

( )

+

=

+++

2

3n

12

3n

2

00

AAxlx

l

3n

2

VVc

(5.46)

Condiia 02 xx = corespunde mrimii volumului dat de expresia:

+

+

+

+=

+

+

2

3n

2

1

*

A

A

3n

2

3n

1nVV

Urmeaz c pentru *VVV , configuraia optim se determindin expresia (5.43), unde c rezult din (5.45). Pentru + VVV* confi-guraia optim a grinzii are forma (5.44), cu c dat de relaia (5.46).

n lucrareaAn Optimum Design Problem for the Nonlinear Elastics,I. Tadjbakhsh prezint exemplul unei bare n consol, avnd deplasri mari,pentru care se cere minimul deplasrii maxime. Consola este ncrcat cu ofor concentrat la captul liber i perfect ncastrat n cellalt capt. Singu-ra restricie considerat este cea de volum constant.

Concluziile formulate de autor arat c deplasarea maxim a grinziieste cu 36 % mai mic dect cea a grinzii uniforme cu aceeai ncrcare,

lungime, volum i condiii de contur. Procentajul de reducere a deplasriieste maxim la mici deformaii i descrete cu creterea deplasrii. Deaseme-nea, suprafaa seciunii transversale a grinzii optime variaz foarte puin cumrimea forei aplicate.

n lucrarea The Optimal Euler-Bernoulli Cantilever, autorii G.J.Simitses i T. Kotras prezint minimizarea deplasrii ntr-un punct oarecareal consolei cu restricii de volum constant, suprafa a seciunii transversale (

( ) .constAxA0

= ) i tensiune de ncovoiere ( ( ) .constx 202 = ).

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

27/33

5.6.4. Grinzi de greutate minim

n aceast situaie funcionala obiectiv are forma:

( )dxxAqlFl

0

=Rezolvrile cele mai generale s-au fcut cu principiul maximului,

metoda Bolza generalizat, sau teoria jocurilor. Soluionri exacte ale pro-blemei sunt posibile numai pentru elemente structurale simple. n general, seutilizeaz metodele numerice de calcul (cum ar fi metoda elementelor finite)pentru a determina configuraia optim i punctele singulare impuse de

aciunile concentrate sau de restricii.Se consider o grind n consol de lungime l, din material

omogen, elastic, izotrop cu densitatea i modulul de elasticitatelongitudinal E. Dintre toate grinzile ce au suprafaa seciunii transversalecu variaie continu, i deformaia n captul liber impus, se cere s sedetermine cea de mas minim. Grinda este acionat de o for concentratn captul liber.

Prin urmare, problema este pus sub forma:S se minimizeze masa total a grinzii cu restriciile

( ) ( )

( ) Qdx

ydEI

dx

d,0lM

dx

ydEI

yly,0dx

dy,00y,0

dx

ydEI

dx

d

lx

2

2

2

2

lx

2

2

0

0x

2

2

2

2

=

==

====

==

=

(5.47)

Dintre toate grinzile cu proprietatea cerut, de un interes particulareste cea cu suprafaa seciunii transversale constant 0A (cu momentul

principal de inerie constant, 0I ). Fiind date 0y i Q , 0I rezult dinrelaia cunoscut din Rezistena materialelor:

0

3

0EI3

Qly = (5.48)

Considerndu-se grinda uniform ca referin, problema poate fipus sub form adimensional astfel:

( )=1

0

daF (5.49)

cu restriciile:

( ) 0i = (5.50)

( ) ( ) ( ) ( ) 3i,0i,11,00,001

1=

====

==

(5.50)

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

28/33

unde lx= , 0yy= , 0AAa = i 0IIi = sunt mrimiadimensionale, iar ( ) indic derivarea n raport cu . Este valabil i nacest caz relaia (5.13), rezultnd de aici c ntre i i a exist relaia delegtur:

nai = (5.51)Restriciile (5.50) i (5.50) se pot nlocui prin:

( ) = 13i (5.52)( ) ( ) ( ) 11,00,00 === (5.52)

Se introduce variabila de stare:

( )i

13, == (5.53)

( ) ( ) ( ) 11,00,00 === (5.53)Se introduc multiplicatorii Lagrange y, i se definete

hamiltonianul (problema fiind rezolvat cu principiul maximului):( )

i

13aH y

++= (5.54)

Condiiile necesare sunt:( )

0a

1n31

1n=

+

(condiia de optim) (5.55)

i sistemul de ecuaii difereniale adjunct:yy

,0 == (5.56)

cu( ) 01 = (5.56)

Din (5.56) i (5.56'), rezult:( ) = 1C (5.57)

unde C este o constant ce va fi determinat n continuare.Din relaia (5.55) rezult:

( )[ ] 1n1

21Cn2a += (5.58)

Expresia lui a este folosit pentru a determina din relaiile(5.53) i (5.53') prin integrare:

( )

++

+= +

+

112

1n

2

3n1n

3n

(5.59)

Constanta C are expresia ( )n

1n

3n

1n3

n3

1C

+

++

= i suprafaa

seciunii transversale sau configuraia optim este:

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

29/33

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

30/33

( ) ( )*ny

aaa

13aH +

++=

(5.63)

Multiplicatorii Lagrange sunt ( )xy , ( )x i ( )x , ultimulsatisfcnd condiiile:

( )

( ) *

*

aadaca0x

aadaca0x

>=

=

(5.64)

Condiiile de extrem necesare sunt exprimate de sistemul de ecuaii:( )

0a

1n3-1,,0

1nyy=+

==

+

(5.65)

cu condiia de contur ( ) 01 = , la care se adaug ecuaiile (5.53) icondiiile de contur (5.53').

Din primele dou ecuaii (5.65) i condiia de contur ( ) 01 = ,rezult:

( ) = 1C (5.66)C fiind o constant ce va fi determinat mai jos.

Regiunea 1: 0,aa * => .Din soluia obinut anterior fr considerare restriciei suprafeei

transversale, rezult ad priori, c aceast situaie corespunde intervalului10

1

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

31/33

( )

( )( )

+++=

++=

1

n*

1

23

n*

1

2

n*

C3

1

3

aC

26a

3

C2a

3

(5.70)

1C fiind o constant de integrare.

Abscisa 1 a punctului de tranziie unde aceste dou regiuni se

intersecteaz, la fel ca i cele dou constante i 1C , se determin

punnd condiia ca a , iy

s fie continue n acest punct. Aceastcondiie de continuitate duce la urmtoarea ecuaie, pentru 12 1 = :

( ) ( ) ( ) 0a3nn21n3 n*321nn2

2 =++ + (5.71)

Repartiia suprafeei transversale optime este:

*

1

1n

2

1

*

1

aa:1

1

1aa:0

=

=+

(5.72)

i masa adimensional:

( ) ( )

++

+= +

+

3n

2n

1

*

11 12

1n

1a13n

2

F (5.73)Multe probleme de construcii constau n determinarea configuraiei

optime a grinzilor de greutate minim ce satisfac condiii impuse de rezis-ten i rigiditate. Uzual, optimizarea este investigat ntr-o abordare deter-minist, att tipul de ncrcare aplicat ct i proprietile materialul grinziifiind date. ns, chiar pentru uoare variaii ale condiiilor de contur, soluiaoptim nu mai satisface cerinele de rezisten i restriciile geometrice. Va-riaia poziiei ncrcrii poate, de asemenea, modifica comportarea grinziiproiectat anterior, la aciunea ncrcrilor fixe. Datorit fie acestui fapt, fielipsei unei informaii complete asupra ncrcrilor aplicate sau succesiuniidiferitelor ncrcri este necesar un studiu mai general al problemelor de

optimizare.Studiul poate fi realizat i cu metodele calculului variaional. O altabordare posibil este cea folosind metoda minimax. Problemele n care n-crcarea nu are informaie complet fac parte din aa-numitele jocuri contranaturii.

5.6.5. Grinzi de rigiditate maxim sub aciuneaunei fore concentrate mobile

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

32/33

Se studiaz cazul ncovoierii unei grinzi drepte elastice, simplurezemat la capetele 0x = i lx = . n punctul ( )l0x

8/8/2019 5 Optimizarea structurilor

33/33

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

+

+

+

=