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TEMA 4:

POLINOMIOS

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TEMA 4 : LOS POLINOMIOS

.1.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión a lgebra ica es una

combinación de letras y números l igadas por

los s ignos de las operaciones : ad ición ,

sustracc ión , mult ip l icación , d ivis ión y

potenciación .

Las expresiones algebraicas nos permiten, por

ejemplo, hallar áreas y volúmenes.

Longitud de la circunferencia: L = 2 r, donde r es el radio

de la circunferencia.

Área del cuadrado : S = l2, donde l es e l lado del cuadrado .

Volumen del cubo : V = a3, donde a es la a r is ta del cubo .

.2. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

El va lor númerico de una expresión a lgebra ica ,

para un determinado va lor, es e l núm ero que se obtiene

a l sust i tu ir en é sta por va lor numérico dado y rea l iza r

las operaciones ind icadas.

A = l2

l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm

2

V(a) = a3

a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm

3

3

.3. CLASES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio:Un monomio es una expresión a lgebra ica formada por un so lo

término .

B inomio:Un b inomio es una expresión a lgebra ica formada por dos términos.

Trinomio:Un t r inomio es una expresión a lgebra ica formada por t res té rminos.

Po l inomio:Un po l inomio es una expresión a lgebra ic a formada por más de un

término .

.4. MONOMIOS

Un monomio es una expresión

a lgebra ica en la que las únicas

operaciones que aparecen entr e la s

var iab le s son el producto y la potencia

de exponente natura l .

2x2 y

3 z

Partes de un monomio

Coeficien te: El coef i c i en te del monomio es e l número que

aparece mult ip l i cando a las variab les .

Parte l i t era l: La parte l i t era l e s tá const i tu ida por las le tras

y sus exponentes .

Grado: El grado de un monomio es la suma de todos los

exponentes de las le tras o variab les .

El grado de 2x2 y

3 z es : 2 + 3 + 1 = 6

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Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando

t ienen la misma parte l i tera l .

2x2 y

3 z es semejante a 5x

2 y

3 z

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Sólo podemos sumar monomios semejantes . La suma de los monomios es

o tro monomio que t iene la misma parte l i tera l y cuyo coef ici ente e s la suma de

los coef ic ientes .

2x2 y

3 z + 3x

2 y

3 z = 5x

2 y

3 z

Si los monomios no son semejan tes se

ob t iene un po l inomio .

2x2 y

3 + 3x

2 y

3 z

P roducto de un número por un monomio

El p roducto de un número por un monomio es o t ro monomio semejante cuyo

coef iciente e s e l producto del coef ic iente de monomio por el número .

5 · 2x2 y

3 z = 10x

2 y

3 z

P roducto de monomios

El p roducto de monomios es o t ro monomio que t i ene por coef ici ente el

producto de los coef ic ientes y cu ya parte l i tera l se obtiene mult ip l icando las

potencias que tenga la misma base.

5x2 y

3 z · 2 y

2 z

2 = 10 x

2 y

5 z

3

5

Cociente de monomios

Sólo se pueden d iv id i r monomios con la misma pa r te l i t er al y con el grado del

d ividendo mayor o igual que el grado de la var iab le co rre spond iente del d iviso r .

E l cociente de monomios es o t ro monomio que t iene por coef iciente el

cociente de los coef ic ientes y cuya parte l i tera l se obtiene d iv id iendo las

potencias que tenga la misma base.

Si e l grado del d iviso r es mayor , ob tenemos una f racción a lgebraica.

Potencia de un monomio

Para r ea l izar la po tencia de un monomio se e leva, cada elem ento de és t e , a l

exponente de la po tenc ia .

(2x3)

3 = 2

3(x

3)

3 = 8x

9

(−3x2)

3 = ( -3 )

3(x

2)

3 = −27x

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.5. POLINOMIOS

Un pol inomio es una expres ión algebraica de la fo rma:

P (x) = a n xn

+ a n - 1 xn - 1

+ a n - 2 xn - 2

+ . . . + a 1 x1 + a 0

Siendo a n , a n - 1 . . . a 1 , a o números, l lamados coef ic ientes .

n un número natura l x la variab le o indeterminada.

a n es e l coef ic i ente principa l a o es e l término independiente.

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Grado de un po l inomio

El grado de un po l inomio P (x) es e l mayor exponente a l que se encuentra elevada la

var iab le x .

Va lor numérico de un po l inomio

Es el resu ltado que obtenemos a l sust i tu ir la variab le x por un número cua lquiera .

P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1

P(1 ) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

Clasi f icación de po l inomios

Po l inomio nulo

El po l inomio nulo t iene todos sus coef icient es nulos .

Po l inomio homogéneo

El po l inomio homogéneo t iene todos sus términos o monomios con el mismo grado .

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo

Los términos de un pol inomio heterogéneo son de dist in to grado .

P (x ) = 2x3 + 3x

2 – 3

P o l inomio completo

Un po l inomio completo t iene todos los términos desde el término independiente hasta

el término de mayor grado .

P(x) = 2x3 + 3x

2 + 5x - 3

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Polinomio ordenado

Un po l inomio está ordenado s i lo s monomios que lo forman están escritos de mayor a

menor grado .

P(x) = 2x3 + 5x - 3

Polinomios igua les

Dos po l inomios son igua les s i verif ican:

1Los dos po l inomios t ienen el mism o grado .

2Los coef icientes de los t érminos d el mismo grado son i guales .

P (x ) = 2x3 + 5x - 3

Q(x) = 5x - 3 + 2x3

Polinomios semejantes

Dos po l inomios son semejantes s i verif ican que t ienen la misma par te l i ter al .

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

.6. CLASIFICACIÓN DE POLINOMIOS POR EL NÚMERO DE

TÉRMINOS

Monomio

Es un po l inomio que consta de un só lo monomio . P (x ) = 2x2

B inomio

Es un po l inomio que consta de dos monomios . P (x ) = 2x2 + 3x

Trinomio

Es un po l inomio que consta de t res monomios . P (x ) = 2x2 + 3x + 5

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.7. OPERACIONES CON POLINOMIOS

Suma de po l inomios

Para sumar dos po l inomios se sum an los coef ic iente s de los t érminos del mismo

grado . P (x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x

2 + 2x

3

1Ordenamos los po l inomios, s i no lo es tán.

Q(x) = 2x3 - 3x

2 + 4x

P (x ) + Q(x) = (2x3 + 5x - 3 ) + (2x

3 - 3x

2 + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado .

P (x ) + Q(x) = 2x3 + 2x

3 - 3 x

2 + 5x + 4x - 3

3Sumamos lo s monomios semejan tes .

P (x ) + Q(x) = 4x3- 3x

2 + 9x - 3

La DI FE RE N CI A cons is t e en sumar el opuesto del sustraendo .

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x - 3) − (2x

3 - 3x

2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x - 3 − 2x

3 + 3x

2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x

3 + 3x

2 + 5x− 4x - 3

P(x) − Q(x) = 3 x2 + x – 3

P roducto de po l inomios

P roducto de un número por un po linomio: Es o tro po l inom io que t iene de grado e l

mismo del po l inomio y como coef icient es e l producto de los coef ic ient e s del po l inomio

por e l número .

3 · (2x3 - 3 x

2 + 4x - 2 ) = 6x

3 - 9x

2 + 12x - 6

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P roducto de un monomio por un po l inomio

Se mult ip l ica el monomio po r todos y cada uno de los monomios que forman

el po l inomio .

3 x2 · (2x

3 - 3x

2 + 4x - 2 ) = 6x

5 - 9x

4 + 12x

3 - 6x

2

P roducto de po l inomios

P(x) = 2x2 - 3 Q(x) = 2x

3 - 3x

2 + 4x

Se mult ip l ica cada monomio del primer po l inomio por todos los e lementos segundo

po l inomio .

P (x ) · Q(x) = (2x2 - 3 ) · (2x

3 - 3x

2 + 4x) =

= 4x5 − 6x

4 + 8x

3 − 6x

3 + 9x

2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x

4

+ 2x3 + 9x

2 − 12x

Se obtiene o tro po l inomio cuyo grado es la suma de los

grados de los po l inomios que se mult ip l ican .

.8. IGUALDADES NOTABLES

B inomio a l cuadrado

(a + b)2 = a

2 +2 · a · b + b

2 (a - b )

2 = a

2 - 2 · a · b + b

2

(x + 3 )2 = x

2 + 2 · x ·3 + 3

2 = x

2 + 6 x + 9

(2x − 3 )2 = (2x)

2 − 2 · 2x · 3 + 3

2 = 4x

2 − 12 x + 9

10

Suma por d if erencia

(a + b) · (a − b) = a2 − b

2

(2x + 5 ) · (2x - 5 ) = (2 x )2 − 5

2 = 4x

2− 25