4. PROBLEM ELEKTROENERGETSKOG BILANSAideje obe vrste regulacije: 1 -- regulacija aktivnih snaga i učestanosti i 2 -- regulacija napona (i reaktivnih snaga). Njihova suština prikazana

4. PROBLEM ELEKTROENERGETSKOG

BILANSA

Bilans energije je osnovni problem u svakom energetskom sistemu (sistemu uglja, nafte, gasa, elektroenergetskom sistemu...). U ovoj glavi se obrañuje bilans električne energije u elektroenergetskom sistemu -- elektroenergetski bilans. On se globalno sastoji od angažovanja elektrana (raspoložive proizvodnje) radi pokrivanja zadate (poznate) potrošnje potrošača, odnosno, taj bilans se sastoji od uspostavljanja ravnoteže izmeñu proizvodnje i potrošnje, s uključenim gubicima električne energije. Energetski bilans uopšte, odnosno količina proizvedene (EG) i potrošene energije (ED), za izabrani period (dan, mesec, godina,...), u jednom sistemu -- državi, može se iskazati jednom od sledeće tri relacije: E E E E E EG D G D G D< ∨ = ∨ > . (4.1)

U načelu, čak i bez uzimanja u obzir standardne institucije uvoza i izvoza energije, proizvedena energija u izabranom vremenskom periodu može biti u svakoj od tri relacije (4.1). Npr., količina proizvedene nafte u jednoj godini može biti veća od potrošene, pa da se količina koja nije potrošena (višak) akumulira za idući period. Ili obrnuto, proizvodnja može biti manja od potrošnje, tako što se manjak nadoknañuje iz akumulacija iz prošlih perioda. I naravno, relacija jednakosti tih količina je očigledna mogućnost. Prva suštinska karakteristika električne energije je ta da je kod nje isključivo moguća relacija jednakosti, i to za svaki period, pa i jedinični (godina, mesec, dan, sat,...): ( ) ( ) .E EG el D el= (4.2)

To je posledica činjenice da na današnjem nivou tehničko-tehnološkog razvoja Sveta, nema komercijalno upotrebljivih postupaka (tehničkih rešenja) za neposrednu i efikasnu akumulaciju električne energije u relativno velikim količinama. Mogućnosti za akumulaciju u vidu olovnih i ostalih vrsta akumulatora (posredna akumulacija električne energije u vidu hemijske energije) nisu ekonomski isplative. Ostale ekonomski isplative akumulacije (npr. one u vidu vode u jezerima akumulacionih i reverzibilnih elektrana, deponija uglja, rezervoara nafte, itd.) samo su posredne akumulacije -- dakle to nisu neposredne akumulacije električne energije. Ako relacija (4.2) u elektroenergetici mora nužno biti zadovoljena za ma koji vremenski period, dakle i u jedinici vremena, tada elektroenergetski bilans postaje bilans snaga električne energije. Tako bilans električne energije u ma kom vremenskom periodu izvodi se iz bilansa snaga jednostavnim integraljenjem ovog drugog u vremenu. U tom smislu, u izlaganjima koja slede, razmatraće se samo bilans snaga električne energije. Druga suštinska karakteristika naizmenične električne energije, po kojoj se ona razlikuje od ostalih oblika energije, jeste reaktivna energija (snaga). Otud, umesto s jednom bilansnom relacijom, elektroenergetski bilans se iskazuje s dve relacije tipa jednakosti:

P t P t Q t Q tG D G D( ) ( ), ( ) ( ),= = (4.3)

kojima se izražava nužnost da se u svakom trenutku t električna energija proizvodi s onom aktivnom i reaktivnom snagom s kojima se i troši. Naravno, u potrošnju aktivne i

4. PROBLEM ELEKTROENERGETSKOG BILANSA 157

reaktivne snage uračunati su i gubici obe snage, koji nastaju na "putu tih snaga" od generatora do potrošača. Iz prve suštinske karakteristike električne energije (nužnost bilansa snaga, a ne samo energije) sledi činjenica da je problem bilansa električne energije dinamički problem. To znači da se električne snage, koje se bilansiraju, menjaju u vremenu. Te promene su izazvane promenama potrošnje u vremenu (i prostoru). Da bi se bilans snaga održavao, nužno je promene potrošnje pratiti s odgovarajućim promenama proizvodnje. Promene proizvodnje ne mogu spontano da prate promene potrošnje, ako ništa drugo ono iz sledećeg razloga: nakon povećanja potrošnje u sistemu nema spontanih akcija za povećanje dotoka vode (ili pare) u odgovarajuće turbine da bi se povećana potrošnja pokrila. Ovo je dovoljan razlog da se obradi problem regulacije u elektroenergetskim sistemima, koji je problem već otvoren u paragrafu 3.1.2. Tamo su motivisani razlozi za tu regulaciju. Ona je u elektroenergetskim sistema dvojaka: 1 -- regulacija aktivnih snaga i učestanosti i 2 -- regulacija napona (i reaktivnih snaga). Tek kada se u sistemu raspolaže s tim (automatskim) regulacijama, permanentni elektroenergetski bilans (snaga) postaje moguć. Problem elektroenergetskog bilansa je u ovoj glavi obrañen u sledeća četiri paragrafa: 4.1. Regulacija elektroenergetskih sistema

4.2. Postavka problema bilansa snaga

4.3. Rešenje problema bilansa snaga

4.4. Rezime četvrte glave

4.1. Regulacija elektroenergetskih sistema

Regulacija elektroenergetskih sistema u ovom paragrafu je obrañena u njenom najelementarnijem obliku. To je urañeno s ciljem da se stekne samo uvid, tj. da se shvate ideje obe vrste regulacije: 1 -- regulacija aktivnih snaga i učestanosti i 2 -- regulacija napona (i reaktivnih snaga). Njihova suština prikazana je na primeru najednostavnijeg elektroenergetskog sistema sa slike 4.1.

Slika 4.1 -- Jednostavan elektroenergetski sistem za demonstraciju regulacije aktivnih snaga i učestanosti i regulacije napona (i reaktivnih snaga).

158 OSNOVI ELEKTROENERGETIKE

Sistem se sastoji od jedne elektrane, tj. od jednog bloka generator-transformatora, s turbinom kao pogonskom mašinom -- PM, jednog voda i jednog potrošača osmog nivoa. Potrošač se s prenosne mreže napaja preko regulacionog transformatora.

Regulacija aktivnih snaga i učestanosti

S obzirom na dinamičku prirodu potrošnje (ona se menja u vremenu), u tački 3.1.2 je konstatovano da je pad učestanosti neposredan -- spontan rezultat povećanja potrošnje aktivne snage (ili smanjenja proizvodnje usled ispada iz pogona nekog od generatora sistema), i obrnuto -- učestanost raste pri smanjenju potrošnje. Dakle, spontana dinamika elektroenergetskog sistema pri povećanju potrošnje za posledicu bi imala smanjenje učestanosti sve do kolapsa ("raspada") sistema. Da bi se taj raspad prevenirao u elektroenergetske sisteme se ugrañuje automatska regulacija aktivnih snaga i učestanosti. Ona se realizuje automatskim regulatorima koji saglasno sa svojim zakonima regulacije deluju na turbinske zatvarače u smislu povećanja (smanjenja) dotoka vode ili pare u odgovarajuće turbine (pogonske mašine sinhronih generatora). Ti regulatori su na slici 4.1 označeni s ARPM. Njihov uobičajeni zakon regulacije je prikazan na slici 4.2 -- karakteristika 1. To znači da, ako elektroenergetski sistem radi u stacionarnom stanju sa nominalnom učestanošću (fn=50 Hz), elektrana se nalazi u radnoj tački A, sa snagom proizvodnje PG=PGA. Ta snaga je upravo jednaka potrošnji aktivne snage P2

' zajedno s gubicima na vodu ∆P i transformatoru ∆PT. Karakteristika 1 govori još o tome kako će automatski regulator pogonske mašine (ARPM) delovati kada se iz ma kojih razloga učestanost sistema počne menjati: njime će obezbeñivati odgovarajući dotok (vode, pare) u turbinu upravo toliki da snaga generatora bude jednaka ordinati karakteristike 1, za radnu učestanost sistema nanetu na apscisi dijagrama na slici 4.2.

Slika 4.2 -- Zakon regulacije turbinskog regulatora.

Neka u situaciji u kojoj se nalazi sistem (radna tačka generatora je A) doñe do promene potrošnje za IZNOS ∆PP (npr, priključen je novi potrošač na sistem). Spontana reakcija sistema jeste početak pada učestanosti (tačka 3.1.3), od nominalne fn na levo, saglasno sa strelicom na slici 4.2. Sada prinudno (automatski) stupa u dejstvo regulator ARPM, kojim se, za tekuću vrednost učestanosti na apscisi, obezbeñuje snaga proizvodnje elektrane saglasno s karakteristikom 1. Dakle, radna tačka elektrane će se kretati od tačke A prema tački B. Kad se proizvodnja elektrane poveća za iznos priključene potrošnje ∆PP (sa uključenom promenom gubitaka izmeñu režima koji odgovaraju tačkama a i B), pad


učestanosti se zaustavlja. Sada sistem radi u novom stacionarnom režimu, s novim bilansom aktivnih snaga. Reprezent tog režima jeste radna tačka elektrane B. Ono što tom (novom) bilansu nedostaje jeste učestanost sistema koja nije više nominalna. Tako, nakon zaustavljanja pada učestanosti i realizacije novog bilansa snaga u sistemu, regulacija ipak još uvek nije završena. to znači da učestanost treba da se daljim delovanjem regulacije vrati na nominalnu. To je nužno da bi se elektroenergetski sistem vratio u referentnu situaciju (s referentnom -- nominalnom učestanošću), u odnosu na koju treba procenjivati nove debalanse sistema. Vraćanje učestanosti na nominalnu vrednost, iz režima sistema čiji je reprezent radna tačka B, može se jednostavno učiniti promenom zakona regulacije elektrane tako što joj se, umesto karakteristike 1, nametne karakteristika 2. Ta karakteristika može biti paralelna s prvom (kao što je to prikazano na slici 4.2), ali njena ordinata za nominalnu učestanost ()presek sa ordinatnom osom dijagrama) svakako mora biti veća upravo za prethodno nastali debalans u sistemu ∆PP. Taj debalans nije teško utvrditi na osnovu razlike izmeñu ordinata tačaka B i A, odnosno kao proizvod: .αtgfP ⋅∆−=∆ (4.3) pri čemu znak "--" znači da je u pitanju manjak proizvodnje (proizvod αtgf ⋅∆ je pozitivan broj pošto je promena učestanosti negativna isto kao i tangens tupog ugla). Očigledno je da je karakteristika 2 takva da je elektrana "prinuñena" da za istu učestanost daje snagu za ∆PP veću nego kada bi na regulatoru bila podešena karakteristika 1. U trenutku kada se karakteristika na regulatoru promeni (sa 1 na 2), elektrana, odnosno sistem prelaze u novu radnu tačku C -- slika 4.2. Prelaz iz radne tačke B u C praktično je trenutan, tj. on traje onliko vremena koliko je potrebno da se turbinski zatvarač otvori saglasno s karakteristikom 2. U radnoj tački C je očigledno da u sistemu ima viška aktivne snage (PGC > PGB). To za spontanu sistemsku posledicu mora imati porast učestanosti; a ovaj porast, sa svoje strane, za posledicu ima prinudno (automatsko) smanjenje proizvodnje elektrane, odnosno kretanje radne tačke sistema od C ka D, saglasno sa strelicom na slici 4.2. Očigledno je da će se dinamika sistema izazvana delovanjem regulacije završiti u tački D u kojoj je PGD = PGB, kada je realizovan isti bilans aktivnih snaga kao u tački B, ali sada s nominalnom učestanošću. To je rezultat izbora karakteristike 2 koja je, u odnosu na karakteristiku 1, po ordinati nominalne učestanosti podignuta upravo za nastali debalans aktivnih snaga ∆PP. Na ubrzavanje rotora generatora i turbine prilikom prelaza iz radne tačke C u D, utrošeno je upravo onoliko energije koliko je iz njih iscrpljeno prilikom njihovog usporavanje, tj., prilikom prelaza sistema iz radne tačke A u B. S ovim je završen ciklus regulacije aktivne snage i učestanosti razmatranog elektroenergetskog sistema. Taj ciklus se sastoji od dva koraka: 1 -- zaustavljanje pada učestanosti realizacijom bilansa aktivnih snaga na učestanosti koja nije nominalna (prelaz iz radne tačke A u B) i odreñivanje nastalog debalansa aktivnih snaga (∆ ∆P f tg= − ⋅ α) i 2 -- vraćanje učestanosti na nominalnu, tj. realizacija novog bilansa snaga s nominalnom učestanošću, promenom karakteristike regulacije na ARPM. Korak 1 čini tzv. primarnu regulaciju, a korak 2 -- sekundarnu regulaciju aktivnih snaga i učestanosti. U okviru napred opisanog regulacionog ciklusa potrebno je istaći način odreñivanja nastalog debalansa. Naime, debalans snaga u sistemu se odreñuje na osnovu podataka koji su neposredno -- direktno dostupni ARPM (npr., promena snage elektrane, ili što je uobičajeno -- promena učestanosti sistema, uz poznat nagib njihove karakteristike regulacije).


Svaka drugačije zasnovana regulacija aktivnih snaga, npr. ona koja bi bila zasnovana na ma kako složenom informacionom sistemu kojim bi se povezali svi potrošači i sve elektrane, s ciljem da se s potrošača elektranama prenose informacije o njihovim promenama potrošnje, te tako usaglašava proizvodnja svih elektrana s promenljivom potrošnjom svih potrošača, za elektroenergetske sisteme s vrlo mnogo potrošača, ali i s više elektrana koje učestvuju u regulaciji, bila bi besmislena. Kada je u pitanju uobičajen elektroenergetski sistem -- sistem s više potrošača i elektrana koje učestvuju u regulaciji aktivnih snaga i učestanosti, napred opisani princip regulacije se samo kvantitativno usložnjava. Napred opisanom automatskom regulacijom aktivnih snaga i učestanosti, kontinualno se obezbeñuje bilans aktivnih snaga u elektorenergetskim sistemima, s nominalnom učestanošću, nezavisno od dinamičke prirode potrošnje -- njene promene u vremenu (i prostoru).

Regulacija napona (i reaktivnih snaga)

U tački 3.1.2 navedena je osnovna motivacija za regulaciju napona potrošača. To je šteta koju elementarni potrošači električne energije (električni aparati) trpe usled odstupanja napona od nominalne vrednosti. Ona (šteta) neposredan je razlog ustanovljavanju tehničkih ograničenja na napone s kojima se električna energija isporučuje elementarnim potrošačima. Ta ograničenja se dalje prenose i na sve ostale delove distributivnih mreža -- na potrošače svih nivoa, s ciljem da se obezbede potrebni naponi na elementarnim potrošačima. To je razlog što je uobičajeno da potrošači osmog nivoa, kao što je onaj prikazan na slici 4.1, započinju s regulacionim transformatorima. Taj regulacioni resurs je namenjen održavanju modula napona na njegovom sekundaru -- U2

' -- na unapred specificiranoj vrednosti, koja je dovoljno visoka da se preveniraju loše naponske prilike dublje u distributivnoj mreži (koja počinje na tom mestu). Automatsko održavanje modula napona na sekundaru regulacionog transformatora, na unapred specificiranoj vrednosti, zadatak je njegovog automatskog regulatora napona -- ARNT. Njime se automatski kontroliše pozicija regulacione sklopke, tj. odnos transformacije regulacionog transformatora. Tako, "nezavisno" od naponskih prilika na primaru regulacionog transformatora (slika 4.1) i snage potrošnje razmatranog potrošača (osmog nivoa), modul napona U2

' ostaje konstantan. Naravno, pomenuti termin "nezavisno" važi samo u okvirima regulacionih (fizičkih) mogućnosti transformatora. Ako se na primaru transformatora, dakle u prenosnoj mreži, ne obezbedi napon koji pripada tim okvirima, tada se ni specificirana vrednost napona U2

' ne može realizovati. Obezbeñenje napona u prenosnim mrežama, u tačkama u kojima su priključeni potrošači osmog nivoa (na primarima odgovarajućih regulacionih transformatora), u napred opisanim okvirima, zadatak je sinhronih generatora -- elektrana (blok generator-transformatora) elektroenergetskih sistema. Elektranama se, osim aktivne snage, proizvodi i napon. Naponi na njihovim priključcima za prenosnu mrežu treba da su na takvim vrednostima kako bi naponi u tačkama u kojima su priključeni potrošači bili u opisanim okvirima; to načelo mora da bude ispoštovano u svim normalnim režimima elektroenergetskih sistema, s ma kako malom ili velikom potrošnjom, pri čemu se padovi napona od elektrana do potrošača menjaju u najširim mogućim dijapazonima. U vezi s konkretnim primerom sistema sa slike 4.1, modul napona elektrane U1 treba da bude takav da modul napona U2, uvažavajući pad napona na vodu (elementarnoj


prenosnoj mreži), ne bude izvan regulacionih mogućnosti transformatora razmatranog potrošača osmog nivoa. To načelo mora da bude ispoštovano za svaki režim potrošača, od režima s minimalnom do režima s maksimalnom potrošnjom, kada se padovi napona na vodu menjaju u najširem mogućem dijapazonu. S druge strane, naponi na generatoru, pa i u celoj prenosnoj mreži ne smeju biti suviše visoki -- iznad tehnički dozvoljenih vrednosti, s obzirom na to da bi takvi naponi destruktivno delovali na opremu sitema u smislu da ih ona uopšte ne može podneti, ili pak, ako može, tada u smislu skraćenja njenog nominalnog veka trajanja, odnosno perioda remonta.46 Održavanje unapred specificiranih napona elektrana na priključcima za prenosnu mrežu, dakle napona iza blok transformatora, zadatak je regulatora sinhronih generatora -- ARNG.47 . Kada je u pitanju uobičajen elektroenergetski sistem -- sistem s više potrošača i elektrana koje učestvuju u regulaciji napona, zajedno s više potrošača osmog nivoa, snabdeven regulacionim transformatorima, napred opisani princip regulacije ostaje isti: na svakoj elektrani se održava dovoljno visok modul napona, a svakim se regulacionim transformatorom održava takoñe dovoljno visok napon na njegovom sekundaru -- na ulazu u potrošač osmog nivoa. Na osnovu napred izloženog, očigledno je da su sinhroni generatori u elektranama i regulacioni transformatori dve osnovne vrste resursa za regulaciju napona u elektroenergetskim sistemima. Prvima se generiše globalni, dovoljno visok naponski profil u prenosnim mrežama, a drugima se održavaju moduli napona na ulazima u distributivne mreže na konstantnim i dovoljno visokim vrednostima, tako da se preveniraju loše naponske prilike dublje u tim mrežama, te se tako, na kraju, obezbeñuju kvalitetni naponi na elementarnim potrošačima. Osim napred opisane dve osnovne vrste, ostali klasični resursi za regulaciju napona elektroenergetskih sistema su: sinhroni kompenzatori, baterije kondenzatora i reaktivni (induktivni) kalemi -- prigušnice. U novije vreme te tri vrste klasičnih alterniraju se modernim ureñajima -- tzv. "statičkim izvorima reaktivne snage", tj. generatorima napona -- "statičkim VAR sistemima". Ovi poslednji su zasnovani na idejama savremene energetske elektronike. Sve tri navedene vrste ureñaja (u klasičnoj ili modernoj varijanti) izlaze iz okvira materije koja se ovde razmatra. Napred opisanom automatskom regulacijom napona, kontinualno se obezbeñuje bilans snaga u elektorenergetskim sistemima, s naponima unutar tehničkih granica (kako u prenosnim, tako i u distributivnim mrežama, odnosno na elementarnim potrošačima), nezavisno od dinamičke prirode potrošnje -- njene promene u vremenu (i prostoru). Dakle, smisao obe napred opisane regulacije -- regulacija aktivnih snaga i učestanosti i regulacija napona (i reaktivnih snaga) -- u tome je da se prevenira spontana reakcija sistema na promene potrošnje, koja može dovesti do kolapsa elektroenergetskog sistema, odnosno do njegovog pogona s učestanošću i naponima koji nisu unutar tolerantnih tehničkih granica. Naime, tim se regulacijama obezbeñuje ne samo kontinualan bilans snaga u vremenu (praćenje promenljive potrošnje odgovarajućom proizvodnjom), već i bilans s odgovarajućim kvalitetom -- s nominalnom učestanošću i naponima unutar tolerantnih tehničkih granica.

46Niski naponi u prenosnim mrežama su uzrok nestabilnosti elektroenergetskih sistema. Taj problem izlazi iz okvira materije koja se ovde razmatra. 47To je regulator pobude sinhronog generatora. Njegov smisao i delovanje izlaze iz okvira materije koja se ovde razmatra.


4.2 Postavka problema bilansa stacionarnih snaga električne energije

Neka se razmatra linearan, uravnotežen elektroenergetski sistem prikazan na slici 4.3a. Sa N je označen broj elektrana -- blokova generator-transformatora (E), a sa M broj potrošača osmog nivoa (D) koji počinju s regulacionim transformatorima. Svi čvorovi u kojima nema ni proizvodnje ni potrošnje uključeni su u potrošačke, tako što su proglašeni potrošačima nulte aktivne i reaktivne snage. Za podsistem prenosa se smatra da je jedinstvenog naponskog nivoa -- nema transformatora. Najjednostavnija varijanta elektroenergetskog sistema -- jedan generator (N=1) i jedan potrošač (M=1), povezani najjednostavnijim podsistemom prenosa -- jednim vodom, prikazana je na slici 4.3b. [Napomena: Ovaj elektroenergetski sistem ne zadovoljava princip sigurnosti (n-1). On je prikazan samo radi pojednostavljivanja izlaganja vezanih za bilans snaga.]

(a)

(b)

(c)


(d)

Slika 4.3 -- Složen elektroenergetski sistem (a) i njegova najjednostavnija varijanta (b, c i d).

Problem bilansa snaga u elektroenergetskom sistemu u narednim izlaganjima će se postavljati u više koraka, od globalne postavke, pa do njegovog detaljnog opisa.

Globalni opis problema bilansa snaga

Problem bilansa snaga se sastoji od pokrivanja zadate (poznate) potrošnje zajedno s gubicima, s jedne strane, s proizvodnjom električne energije raspoloživom na generatorima u sistemu, s druge strane. Taj problem se definiše na linearnom, uravnoteženom elektroenergetskom sistemu, u simetričnom, stacionarnom režimu. Taj problem glasi: • Neka se razmatra napred opisani elektroenergetski sistem u stacionarnom režimu

zadate -- nominalne učestanosti. • Neka su zadati svi potrošači D1,..., DM , tj. neka se znaju potrošnje PDj i QDj na

visokonaponskim stranama svih regulacionih transformatora (j=1,2,...M). Neka se pomoću tih transformatora održavaju moduli napona njihovih sekundara na napred specificiranim vrednostima. Na primeru jednostavnog elektroenergetskog sistema prikazanog na slici 4.3b, modul napona na sekundaru regulacionog transformatora U2

' pomoću regulacionog transformatora održava se na specificiranoj vrednosti, dok se aktivna i reaktivna snaga potrošača na VN strani regulacionog transformatora dobijaju uvažavanjem i gubitaka u transformatoru: P2 =P2'+∆P2; Q2 =Q2'+∆Q2.

• Neka su sumarne raspoložive aktivne i reaktivne snage svih generatora dovoljne da se bilansira -- zadovolji zadata sumarna potrošnja aktivne i reaktivne snage, zajedno s odgovarajućim gubicima.

• Neka se sve elektrane mogu po želji opterećivati i po aktivnim i po reaktivnim snagama proizvodnje. (Napomena: Njihove proizvodnje su jednake odgovarajućim proizvodnjama njihovih generatora, umanjenim za gubitke u blok-transformatorima.)

• Potrebno je izabrati proizvodnju aktivne i reaktivne snage na svakom generatoru da bi se pokrili zahtevi potrošača, uvažavajući pri tom i gubitke u podsistemu prenosa.

Problem bilansa snaga može se razložiti na četiri potproblema:

1. potproblem: Izabrati proizvodnje aktivnih snaga svih elektrana; 2. potproblem: Izabrati proizvodnje reaktivnih snaga svih elektrana; 3. potproblem: Izabrati naponske prilike (radne napone) u elektroenergetskom sistemu; 4. potproblem: Izabrati referencu s obzirom na fazne stavove (uglove) u elektro-

energetskom sistemu.

Prva dva potproblema direktno pripadaju problemu bilansa snaga. Treći potproblem je zasnovan na činjenici da se taj bilans može realizovati s različitim


naponskim prilikama. Naime, s generatorima, kao proizvoñačima napona, sistemu se mogu diktirati različite naponske prilike (vrednosti modula napona u čvorovima sistema), a da se potrošačima isporučuje zahtevana električna energija (snaga). Reč je o tome da se naponi ma kog modula (iz odreñenog dijapazona) mogu regulacionim transformatorima, koji se nalaze na ulazima u potrošače osmog nivoa, transformisati u napone zahtevanih modula. Dakle, očigledno je da postoji sloboda u izboru naponskih prilika u prenosnoj mreži (koje diktiraju generatori), a da se potrebe potrošača zadovolje. U izboru tih naponskih prilika se sastoji treći potproblem. Tako, i ovaj problem pripada problemu bilansa snaga. Četvrti potproblem je inherentan svakom električnom kolu u stacionarnom režimu kojeg čine naizmenične veličine. Naime, on je vezan za trenutak početka razmatranja stacionarnog režima u kojem se realizuje problem (stacionarnog) bilansa snaga.

Sada se problem bilansa snaga elektroenergetskog sistema može izraziti sa sledeće dve bilansne relacije:

P P PGii

N

Djj

M

= =∑ ∑= +

1 1∆ (bilans aktivnih snaga u elektroenergetskom sistemu ), (4.4)

Q Q QGii

N

Djj

M

= =∑ ∑= +

1 1∆ (bilans reaktivnih snaga u elektroenergetskom sistemu ),

(4.5)

pri čemu su sa ∆P i ∆Q označeni gubici aktivne i reaktivne snage u celom elektroenergetskom sistemu, respektivno, u razmatranom stacionarnom režimu. Oni su jednaki sumama respektivnih gubitaka na svim elementima sistema. Gubici aktivne snage su uvek istog znaka, a znak gubitaka reaktivne snage se može menjati zavisno od režima sistema. (Zašto i kako?) U vezi s relacijom (4.4) nužno je primetiti sledeće: • Kako je potrošnja aktivne snage svakog potrošača PDj, j=1,2,...M, poznata, to je

poznata i njihova suma. • Proizvodnja aktivne snage generatora PGi, i=1,2,...N, može se po želji birati (u okviru

zadatih, dovoljno velikih mogućnosti generatora). • Gubici snage ∆P nisu unapred poznati; oni zavise od tokova snaga (struja) u

prenosnoj mreži, koji nisu unapred poznati. • Dakle, ako se ne znaju gubici aktivne snage ∆P, to se za poznatu sumu potrošnji,

nikako ne mogu unapred kvantifikovati proizvodnje na svim generatorima.

Ista četiri stava važe i za drugu bilansnu relaciju (4.5) -- za reaktivne snage. Dakle, problem bilansa snaga je, za sada, sveden na kvantifikaciju bilansnih relacija (4.4) i (4.5). Na ovom mestu se otvara suštinsko pitanje tog problema, koje je zasnovano na praksi u elektroenergetskim sistemima. Naime, gubici i aktivnih i reaktivnih snaga ne prelaze iznose od nekoliko procenata (do 5%) od ukupne potrošnje sistema, ma kako bio on veliki ili mali. Štaviše, oni se prilično dobro mogu proceniti. Greška procene je tako mala, da se obe bilansne relacije (4.4) i (4.5) mogu prilično dobro kvantifikovati. To znači da je moguće da se prilično dobro raspodeli zadata potrošnja i procenjeni gubici (i aktivne i reaktivne snage) na sve generatore. Ako je tako, onda u čemu je problem bilansa snaga? Ovaj momenat je suštinski za taj problem; otud toliko elektroenergetskog intelekta uloženog u proteklih nekoliko decenija u problem bilansa snaga. Naime, sve i da se potpuno precizno mogu unapred utvrditi gubici (∆P i ∆Q), dakle, sve i da se unapred mogu zadati proizvodnje (aktivne i reaktivne snage) na svim generatorima, ono što


suštinski ostaje nepoznato jeste režim elektroenergetskog sistema, tj. režim s kojim će se taj, sada "poznati" bilans snaga realizovati. A taj režim se sastoji od napona u svim čvorovima sistema, od struja i snaga u svim njegovim granama itd. Njega neposredno diktiraju (odreñuju) unapred zadate proizvodnje aktivnih i reaktivnih snaga (odnosno napona) generatora. Tako diktirani, ali unapred nepoznati naponi u ostalim čvorovima sistema, mogu biti izvan tehnički tolerantnih opsega (npr. veći od onih za koje je predviñena oprema -- izolacija u podsistemu prenosa). Slično je i sa strujama. I one nisu unapred poznate, ali mogu biti iznad tehnički tolerantnih granica (npr. struja voda može biti iznad granice koja je odreñena presekom njegovih provodnika). Dakle, nepoznati režim s kojim se realizuje bilans zadatih snaga potrošnje i proizvodnje u elektroenergetskom sistemu suštinsko je pitanje koje se nalazi u osnovi problema bilansa snaga. Otud i najčešći alternativni naziv za ovaj problem: problem tokova snaga i naponskih prilika ili jednostavno problem tokova snaga.

4.3 Rešenje problema bilansa snaga

Pošto se problem bilansa snaga sastoji od napred navedena četiri potproblema, to se i njegovo rešenje sastoji od postavke i rešenja ta četiri potproblema:

Prvi potproblem

Kako je napred ustanovljeno, iako se poznaju potrošnje svih potrošača (PDj, j=1,2,..M), pošto se ne poznaju gubici aktivne snage u sistemu, ne mogu se unapred zadati proizvodnje svih generatora. Klasičan postupak za rešenje ovog potproblema je vrlo jednostavan. On se sastoji od zadavanja proizvodnji aktivnih snaga na svim generatorima, osim na jednom, bilo kom. Dakle, u daljoj obradi problema bilansa snaga, aktivna snaga proizvodnje jedino tog generatora neće biti unapred poznata. Njena vrednost, saglasno s relacijom (4.4) mora da bude jednaka razlici ukupne potrošnje aktivne snage s gubicima, s jedne strane, i sumarne proizvodnje aktivnih snaga na svim preostalim generatorima, s druge strane. Tom snagom će se, dakle, bilansirati potrošnja (s gubicima) i proizvodnja aktivnih snaga u sistemu. Ovo razmatranje važi za ma kako složen elektroenergetski sistem, te tako i za njegovu najjednostavniju varijantu prikazanu na slici 4.3b (jedan generator i jedan potrošač). Na taj način, u bilansnoj relaciji aktivnih snaga (4.4), za sada ima dve nepoznate veličine: ukupni gubici sistema (∆P) i aktivna snaga jednog od generatora (vrednosti svih ostalih veličina su poznate). Tako, globalni bilans aktivnih snaga u sistemu, za sada, nije poznat. Treba napomenuti da se u prethodnom izlaganju ne tvrdi da se proizvodnja i tog jednog generatora, odnosno gubici aktivne snage, ne mogu odrediti, već samo da se ona ne može unapred zadati zajedno s proizvodnjama ostalih generatora. Napred opisani prvi potproblem formalizuje se sledećom definicijom:

Definicija: Jedan od generatorskih (proizvodnih) čvorova u elektroenergetskom sistemu, u kome se unapred ne specificira proizvodnja aktivne snage (ostavlja se nepoznatom), naziva se "balansnim čvorom s obzirom na aktivne snage".

Napomena: Uvoñenjem institucije balansnog čvora s obzirom na aktivne snage razmatranog elektroenergetskog sistema, globalno je rešen prvi od četiri ustanovljena potproblema problema bilansa (tokova) snaga. Pod tim rešenjem se ne podrazumeva da je


aktivna snaga balansnog čvora i eksplicite kvantifikovana, ali je ona odreñena u smislu da se, u narednom tretmanu problema bilansa snaga može i izračunati. Za jednostavan elektroenergetski sistem prikazan na slici 4.3b, evidentno je da je

čvor broj 1 balansni čvor s obzirom na aktivne snage. Dakle, za zadatu potrošnju P2' , ne

može se unapred specificirati i proizvodnja aktivne snage elektrane priključene u čvoru broj 1.

Drugi potproblem

Identično razmatranje kao za aktivne, može se sprovesti i za reaktivne snage. Naime, na osnovu poznatih potrošnji reaktivnih snaga svih potrošača (QDj, j=1,2,...M), ali i nepoznatih gubitaka reaktivne snage sistema, mogu se unapred specificirati proizvodnje svih generatora osim jednog -- bilo kojeg.

Definicija: Jedan od generatorskih (proizvodnih) čvorova u elektroenergetskom sistemu, u kome se unapred ne specificira proizvodnja reaktivne snage (ostavlja se nepoznatom), naziva se "balansnim čvorom s obzirom na reaktivne snage".

Napomena uz definiciju balansnog čvora s obzirom na aktivne snage, u analognoj formi, važi i za ovu definiciju. Za jednostavan elektroenergetski sistem prikazan na slici 4.3b, evidentno je da je čvor broj 1 balansni čvor i s obzirom na reaktivne snage. Dakle, za zadatu potrošnju reaktivne snage Q2

' , ne može se unapred specificirati i proizvodnja reaktivne snage elektrane priključene u čvoru broj 1.

Treći potproblem

Ideja za rešenje trećeg potproblema nalazi se u težnji da se na potrošačima osmog nivoa -- na sekundarima odgovarajućih regulacionih transformatora imaju unapred specificirani moduli napona, nezavisni od naponskih prilika -- režima u podsistemu prenosa elektroenergetskog sistema. Ako se na svim elektranama održavaju "dovoljno visoki" naponi, takvi da naponi na visokonaponskim stranama regulacionih transformatora, s kojima se ulazi u potrošače osmog nivoa, budu unutar njihovih regulacionih mogućnosti, tada se naponi, na ulazu u potrošačka područja, mogu realizovati na unapred specificiranim vrednostima. [Pod regulacionim mogućnostima regulacionih transformatora podrazumevaju se naponi unutar opsega napona koji se pomoću njih mogu transformisati u napone zahtevanih vrednosti na njihovim sekundarima.] Praksa govori da su vrednosti napona na elektranama od 5 do 10% iznad nominalnih napona mreža na koje su priključene, dovoljno visoki. Dakle, sloboda izbora napona na generatorima je prilično velika. Ta sloboda, odnosno njeno korišćenje, svakako je velika pogodnost koja je na raspolaganju prilikom rešavanja problema bilansa snaga. Korišćenje te slobode nije predmet koji se obrañuje u ovoj knjizi. Ma kako izvršen izbor naponskih prilika, tj. režima elektroenergetskog sistema s kojim će se realizovati razmatrani bilans snaga, za ova razmatranja će biti sasvim dovoljan. Na osnovu prethodnih razmatranja je očigledno da je nužno unapred specificirati modul napona bar na jednom generatorskom čvoru. Time se vrši izbor tj. predspecifiraju se globalne naponske prilike režima s kojim se želi realizovati razmatrani bilans snaga u


elektroenergetskom sistemu. S terminom "bar na jednom" iskazuje se nužnost. Da postoji mogućnost za diktiranje naponskih prilika u elektroenergetskom sistemu i iz svih ostalih generatora očigledno je. Obrada takve (generalne) varijante izlazi iz okvira ove knjige. S tom nužnošću se rešava ovde razmatrani treći potproblem bilansa snaga. To rešenje se formalizuje sledećom definicijom:

Definicija: Čvor s unapred izabranim -- specificiranim modulom napona, naziva se "referentnim čvorom s obzirom na module napona".

Za jednostavan elektroenergetski sistem prikazan na slici 4.3b, evidentno je da čvor broj 1 mora biti referentni čvor s obzirom na module napona. Dakle, na njemu se unapred specificira modul napona U1. Time su predodreñene (specificirane) naponske prilike s kojima će se realizovati bilans snaga u elektroenergetskom sistemu. Svakoj drugoj specificiranoj vrednosti modula napona čvora broj 1 odgovaraju odreñene, ali drugačije naponske prilike (režimi) s kojima će se realizovati bilans snaga za zadatu -- istu potrošnju.

Četvrti potproblem

Problem bilansa snaga se uobičajeno, pa i u ovoj knjizi razmatra na matematičkom modelu elektroenergetskog sistema (a ne na nekom fizičkom analogonu, odnosno na "živom" elektroenergetskom sistemu). Kako je elektroenergetski sistem sveden na uobičajeno električno kolo (treća glava), to se njegov model može prikazati električnom ekvivalentnom šemom, a ova odgovarajućim matematičkim relacijama -- matematičkim modelom. (Taj model svakako mora biti zasnovan na Kirchhoff-ovim zakonima.) Pošto je reč o elektroenergetskom sistemu u stacionarnom režimu (sve veličine u njegovoj ekvivalentnoj šemi su naizmenične). Da bi se odredio početak njegovog razmatranja, potrebno je ustanoviti referentnu veličinu, odnosno referentni fazor. U tu svrhu se može izabrati ma koja veličina razmatranog stacionarnog režima. Koristeći se tom slobodom, u problemu bilansa snaga se za referentnu veličinu bira fazor faznog napona u ma kom od trofaznih čvorova razmatranog elektroenergetskog sistema. (Napomena: elektroenergetski sistem u simetričnom režimu može se prikazati pofazno -- po jednoj fazi. Neka je to faza a.) U tom smislu, rešenje i četvrtog potproblema se formalizuje sledećom definicijom:

Definicija: Trofazni čvor s unapred izabranim -- specificiranim faznim stavom fazora faznog napona faze a, naziva se "referentnim čvorom s obzirom na fazne stavove (uglove)".

Za jednostavan elektroenergetski sistem prikazan na slici 4.3b, referentni čvor s obzirom na fazne stavove (uglove) može biti ma koji od čvorova broj 1 ili 2. Pošto su napred obrañena sva četiri potproblema problema bilansa snaga, sada se može prići njegovoj preciznijoj formulaciji. Obradom četiri potproblema ustanovljena su četiri čvora. To su:

• balansni čvor s obzirom na aktivne snage, • balansni čvor s obzirom na reaktivne snage, • referentni čvor s obzirom na module napona, • referentni čvor s obzirom na fazne stavove.

Prilikom njihovog ustanovljavanja nije nametnut nikakav uslov za izbor tih čvorova, osim da su to generatorski (ma koji), s izuzetkom referentnog čvora s obzirom


na uglove. Ovaj poslednji može biti i potrošački. S obzirom na slobodu izbora tih čvorova, problem bilansa snaga se u daljem razmatranjima tretira tako da se atributi sva četiri čvora integrišu u jedinstven generatorski čvor:

Definicija: Generatorski čvor sa sledeća četiri atributa: 1 -- on je balansni s obzirom na aktivne snage (nepoznata proizvodnja aktivne snage), 2 -- balansni s obzirom na reaktivne snage (nepoznata proizvodnja reaktivne snage), 3 -- referentni s obzirom na module napona (poznat modul napona) i 4 -- referentni s obzirom na fazne stavove (poznat fazni stav fazora faznog napona faze a), naziva se

"balansni čvor".

U razmatranjima koja slede, balansni čvor će biti indeksiran (numerisan) brojem jedan -- to je prvi od N+M čvorova u elektroenergetskom sistemu. Saglasno s tim, detaljnija formulacija problema bilansa (tokova) snaga glasi: 1. Neka se razmatra uravnotežen elektroenergetski sistem sa N generatorskih i M

potrošačkih čvorova (slika 4.3a), u stacionarnom simetričnom režimu, s nominalnom učestanošću;

2. Neka se poznaju potrošnje aktivnih i reaktivnih snaga u svih M potrošačkih čvorova; 3. Neka se fiksiraju proizvodnje aktivnih i reaktivnih snaga na izabranih (N--1) od

ukupno N čvorova u kojima su priključene elektrane -- generatorski čvorovi; 4. Neka se napred izostavljeni generatorski čvor indeksira jedinicom i neka se on

proglasi balansnim čvorom, tj.: -- balansnim s obzirom na aktivne snage, -- balansnim s obzirom na reaktivne snage, -- referentnim s obzirom na module napona, -- referentnim s obzirom na fazne stavove;

5. Potrebno je proračunati celokupni režim razmatranog elektroenergetskog sistema, odnosno odrediti:

-- fazore napona u svim čvorovima, -- fazore struja u svim granama, -- tokove aktivnih i reaktivnih snaga u svim granama, -- snage proizvodnje aktivne i reaktivne snage u balansnom čvoru,

-- gubitke aktivne i reaktivne snage u svim elementima i u celom sistemu, itd. Ovim je problem bilansa (tokova) snaga zaokružen s praktično svim relevantnim detaljima koji taj bilans čine. Rešenjem postavljenog zadatka (pod rednim brojem 5), kvantifikovao bi se režim elektroenergetskog sistema u kojem je zahtevana (zadana) potrošnja (s uključenim nepoznatim gubicima ∆P i ∆Q) zadovoljena pomoću raspoloživih generatora. Ili drugim rečima: kvantitativno bi se odredio stacionarni režim za realizaciju razmatranog bilansa snaga elektroenergetskog sistema, koji je kvalitativno odreñen u prve četiri tačke postavke problema. U vezi s odreñivanjem celokupnog režima elektroenergetskog sistema, uvodi se sledeća definicija:

Definicija: Pod "stanjem" jednog sistema podrazumeva se skup minimalnog broja veličina s kojima je u potpunosti i jednoznačno odreñen njegov režim.

Radi odreñivanja stanja elektroenergetskog sistema, ovde se uvodi sledeći stav:

Stav: Ako se poznaju fazori napona (njihovi moduli i uglovi) u svim čvorovima elektroenergetskog sistema, tada se mogu izračunati sve preostale veličine u sistemu, tj. može se rekonstruisati celokupan režim elektroenergetskog sistema


(fazori struja i tokovi snaga u svim granama, snage proizvodnje u balansnom čvoru, gubici snage u svim elementima, gubici snage u celom sistemu itd.).

Fazor struje u rednoj grani koja se nalazi izmeñu čvorova i i j (npr. vodu, pošto po pretpostavci koja je napred uvedena, u prenosnoj mreži nema transformatora), može se odrediti na osnovu poznatih napona čvorova $ $U Ui ji , kao i parametara razmatrane grane $Z R jXij ij ij= + i $ / /Y G jBij ij ij= +2 2 (parametri vodova su obrañeni u paragrafu 3.2) --

slika 4.4a: $ $ $ ,I I Iij ij

rijo= + (4.6)

pri čemu su:

$$ $

( ); $ $ $ $ ( / / ).I

U UR jX

I U Y U G jBijr i j

ij ijijo

i ij i ij ij=−+

= ⋅ = +2 2 (4.7)

(a)

(b)

Slika 4.4 -- Ekvivalentne šeme za rekonstrukciju režima elektroenergetskog sistema u granama (a) i čvorovima (b).

Monofazna snaga asocirana trofaznoj grani izmeñu čvorova i i j, kod čvora i, može se izraziti relacijom: $ $ $ .*S P jQ U Iij ij ij i ij= − = (4.8)

Monofazna snaga proizvodnje u balansnom čvoru (slika 4.4b) je:

$ $ ,S P jQ S jj

N M

1 1 1 12

= − ==

+

∑ (4.9)

a njena trostruka vrednost (3 1$S ) predstavlja trofaznu snagu balansnog čvora. Trofazni

gubici snage u rednoj grani koja se nalaze izmeñu čvorova i i j su -- slika 4.4a:

∆ ∆P R I G U U Q X I B U Uij ij ijr

ij i j ij ij ij ij i j= + + = − ⋅ +332

332

2 2 2 2 2 2$ ( $ $ ); $ ( $ $ ) . (4.10)

Trofazni gubici snage u celom sistemu su:


∆=∆

∆=∆ ∑ ∑∑ ∑

+

=

+

≠=

+

=

+

≠=

MN

i

MN

ijj

ij

MN

i

MN

ijj

ij QQPP1 11 1 2

1;

2

1. (4.11)

Iste vrednosti gubitaka mogu se dobiti kao razlike sumarnih proizvodnji i sumarnih potrošnji korespondentnih snaga:

∆ ∆P P P Q Q QGii

N

Djj

M

Gii

N

Djj

M

= − = −= = = =∑ ∑ ∑ ∑

1 1 1 1; , (4.12)

pri čemu su gubici aktivne snage uvek veći od nule, dok gubici reaktivne snage mogu biti veći, manji ili jednaki nuli:

∆ ∆ ∆ ∆P Q Q Q> > ∨ = ∨ <0 0 0 0; . (4.13)

Činjenicu da su gubici aktivne snage uvek veći od nule nije potrebno posebno tumačiti. Kod gubitaka reaktivne snage situacija je, meñutim, drugačija. Naime, vodovi su elementi elektroenergetskog sistema koji na svojim rednim indiktivnostima troše, a na otočnim kapacitivnostima proizvode reaktivnu energiju (snagu): potrošnja je srazmerna s kvadratom struje ("ωLI 2"), a proizvodnja s kvadratom napona ("U 2/ωC") -- druga od relacija (4.10). Za ovu raspravu treba konstatovati sledeće: 1 -- struja voda (I) "radikalno" se menja saglasno s njegovim opterećenjem (od nulte vrednosti pri praznom hodu, do punog iznosa pri maksimalnom opterećenju); 2 -- napon voda (U) ne menja se značajno u odnosu na njegovu nominalnu vrednost (u pitanju su promene od desetak procenata u odnosu na nominalnu vrednost, nezavisno od opterećenja voda). Dakle, s porastom opterećenja voda -- raste njegova potrošnja reaktivne snage, a proizvodnja te snage se praktično ne menja. Tako, za mala opterećenja vodova (npr. u noćnim režimima), vodovi u sistemu više proizvode nego što troše reaktivnu snagu -- oni su u takvim režimima ("malih opterećenja") "generatori" reaktvne snage. I obrnuto, u režimima "velikih opterećenja", vodovi su "potrošači" reaktivne snage. Saglasno s tim, očigledno je da postoji opterećenje voda pri kojem je njegova potrošnja reaktivne snage jednaka s njegovom proizvodnjom. To opterećenje se naziva prirodnim. Tako, u načelu, kada je elektroenergetski sistem (njegovi vodovi) u režimu iznad prirodnog, tada podsistem prenosa troši reaktivnu snagu, a u suprotnom slučaju -- on je proizvodi. Otud i zavisnost znaka gubitaka reaktivne snage u podsistemu prenosa od režima sistema. Kada su ti gubici pozitivni, tada se generatorima mora proizvoditi reaktivna snaga za potrošače uvećana za te gubitke; kada su oni negativni, generatorima se proizvodi reaktivna snaga za potrošače umanjena za te gubitke. U prethodnom izlaganju je konstatovano da se na osnovu fazora napona u svim čvorovima može rekonstruisati celokupan režim elektroenergetskog sistema. To znači, saglasno s poslednjim stavom, da skup fazora napona svih čvorova sistema može biti proglašen stacionarnim stanjem elektroenergetskog sistema. Alternativno stacionarno stanje elektroenergetskog sistema se sastoji od modula i faznih stavova fazora napona svih čvorova sistema. Dakle, osnovni cilj rešenja problema bilansa (tokova) snaga elektroenergetskog sistema je da se izračunaju fazori napona u svim njegovim čvorovima. Za najjednostavniji elektroenergetski sistem s dva čvora (slike 4.3b, c i d), problem bilansa (tokova) snaga glasi:

1 -- Razmatra se elektroenergetski sistem s jednim generatorskim (br. 1) i jednim potrošačkim čvorom (br. 2);


2 -- Neka se poznaju potrošnje aktivne i reaktivne snage u potrošačkom čvoru (PD i QD, koje su usmerene tako da "odlaze iz sistema");

3 -- Pošto se u sistemu nalazi samo jedan generator, to se izostavlja specifikacija proizvodnje aktivne i reaktivne snage u njemu;

4 -- Taj (generatorski) čvor, numerisan jedinicom, proglašava se: -- balansnim s obzirom na aktivne snage (PG =?), -- balansnim s obzirom na reaktivne snage (QG =?), -- referentnim s obzirom na module napona (U1 =U1

o), -- referentnim s obzirom na uglove (θ1

o =0). (Vrednosti U1

o i θ1o poznate su -- unapred specificirane; modul napona je isti za sve

tri faze, a fazni stav se odnosi na fazu a.)

5 -- Zadatak je: proračunati celokupan režim električnog kola prikazanog na slici 4.3d, odnosno proračunati nepoznate veličine stanja (veličine stanja su: | $ |, , | $ |,U U1 1 2 2θ θ ,

a nepoznate su | $ |U2 2i θ ). Definitivno, problem bilansa (tokova) snaga elektroenergetskog sistema sveden je na modelovanje i proračun standardnog, monofaznog električnog kola -- pogonske ekvivalentne šeme sistema. Za jednostavan elektroenergetski sistem s dva čvora (slika 4.3b), to kolo, kada je vod tretiran samo svojim rednim parametrima, prikazano je na slici 4.3d. Za proračun električnih kola kojima je ekvivalentiran elektroenergetski sistem svakako se mogu koristiti Kirchhoff-ovi zakoni, ili neke od njihovih implikacija, npr. metod potencijala čvorova.

Opis režima elektroenergetskog sistema primenom metoda nezavisnih potencijala čvorova

DODATI IZVOðENJE METODA NEZAVISNIH NAPONA

Metod nezavisnih potencijala čvorova (ili samo netod potencijala čvorova) ovde se izlaže u formi primerenoj modelovanju elektroenergetskih sistema prikazanih monofaznim reprezentima -- pogonskim šemama. U tom smislu se razmatra monofazno električno kolo s (n+1) čvorova prikazano na slici 4.5a. Na primeru k-tog čvora, prikazana je situacija svakog od (n+1) čvorova kola. Na slici su prikazane samo grane izmeñu čvora k i ostalih čvorova. Meñusobne veze ostalih čvorova nisu eksplicirane. Specifičnost tog kola je u tome da se idealni izvori (naponski ili strujni) nalaze isključivo izmeñu čvora (n+1) i ostalih čvorova. Dakle, izmeñu čvorova k i j, k≠n+1 ∧ j≠n+1, nema idealnih izvora. [Tim izvorima se interpretiraju generatori (G) i potrošači (D), s odgovarajućim transformatorima priključeni na razmatrani elektroenergetski sistem.] Ti izvori nisu eksplicirani na slici 4.5a. Njih treba, ako ih uopšte ima, zamisliti paralelno s admitansama izmeñu čvorova (n+1) i ostalih. Njima se generišu naponi ili struje u čvorove. Na primeru čvora k, jedan od elemenata nacrtanih u zagradi -- elektranu ili potrošač -- treba jednostavno priključiti izmeñu čvora k i (n+1)-og (ako takvog elementa uopšte ima).


(a)

(b)

Slika 4.5 -- Monofazno električno kolo sa n čvorova od kojih je (n+1)-vi čvor proglašen čvorom nultog (referentnog) potencijala (a) i uobičajeni prikaz s "razvučenim" čvorom nultog potencijala (b).

Saglasno s metodom potencijala čvorova potrebno je jedan od razmatranih (n+1) čvorova kola proglasiti tačkom referentnog potencijala (čvor "nultog" potencijala). Neka je to čvor (n+1), tj., neka je njegov potencijal jednak nuli. To isto kolo je prikazano i na slici 4.5b, ali na formalno praktičniji, uobičajen način -- s "razvučenim" čvorom referentnog potencijala. Generatori napona ili struja u čvorove (idealni naponski i strujni izvori) ponovo nisu eksplicirani. Grane kola, u opštem slučaju, čine otpornosti, induktivnosti i kapacitivnosti (R, L i C elementi). Oni se, u admitantnom obliku, mogu prikazati na sledeći način:


ji1n21j1n21ijBGY ijijij ≠+=+=+= ;,...,;,...,,ˆ . (4.14)

Neka se definišu potencijali čvorova kola u odnosu na tačku nultog potencijala -- naponi čvorova:

$ , , ,... .U k nk = 12 (4.15)

Oni mogu biti rezultat idealnih naponskih izvora priključenih izmeñu tih čvorova i čvora nultog potencijala, ili pak, ako takvih izvora nema, tada su ti potencijali rezultat režima u kolu, pobuñenog idealnim izvorima priključenim u ostale čvorove. Uz potencijale čvorova definišu se i injektirane struje u čvorove kola. To su struje idealnih izvora, odnosno potrošača, priključenih izmeñu čvora (n+1) i ostalih čvorova. Njihovi referentni smerovi su "ka ostalim čvorovima". Tako, one se iz čvora k "rasprostiru" po granama kola. To su struje:

$ , , ,..., .I k nk = 12 (4.16)

Matematički model ovog kola, saglasan s metodom potencijala čvorova, glasi:

$ $ $ ,I Y Un n n nx x x1 1= ⋅ (4.17)

pri čemu su sa $Inx1 i $Unx1 označene matrice-kolone injektiranih struja u čvorove kola i napona čvorova, respektivno:

[ ] [ ]$ $ , $ ,... $ , $ $ , $ ,... $ ,I Un nT

n nT

I I I U U Ux x1 1 2 1 1 2= = (4.18)

(sa T je označena operacija transponovanja matrica). Sa $Yn nx je označena ("nodalna") matrica admitansi kola:

$

$ $ $

$ $ $

$ $ $

.Yn n

n

n

n n nn

y y yy y y

y y y

x =

11 12 1

21 22 2

1 2

L

L

M O

L

(4.19)

Ona je simetrična matrica: $ $Y Yn n n nT

x x= , (ako u razmatranom kolu nema kontrolisanih izvora). Ako u razmatranom kolu nema kontrolisanih izvora (elektromagnetnih sprega, idealnih transformatora, itd.) matrica admitansi je simetrična matrica koja se trivijalno

generiše. Njeni elementi su:

$ $ , , ,... ; , ,... ; ;

$ $ , , ,... ,

y Y i n j n i j

y Y k n

ij ij

kk kiii k

n

=− = = ≠

= ==≠

+

∑

∆

∆

12 12

121

1 (4.20)

ili narativno: vandijagonalni elementi matrice admitansi jednaki su admitansama grana s promenjenim znacima, a dijagonalni su jednaki sumama svih admitansi koje se stiču u korespondentne čvorove. Sada se metod potencijala čvorova (4.17), koristeći se elementima matrice admitansi, može predstaviti u sledećem skalarnom obliku:

$ $ $ , , ,... .I y U k nk kii

n

i= ==∑

112 (4.21)


Interpretacija elektroenergetskog sistema kolom prikazanim na slici 4.5b zasniva se na sledećim činjenicama: 1 -- uravnotežen elektroenergetski sistem u simetričnom režimu može se prikazati monofaznim reprezentom; pri tom su elektromagnetske sprege izmeñu faza trofaznih elemenata sistema eliminisane uvoñenjem pogonskih parametara; 2 -- blok transformatori su zajedno s generatorima integrisani u elektranu, pa su elektrane priključene na podsistem prenosa; tako se idealni transformatori iz ekvivalentnih šema blok-transformatora ne ekspliciraju u monofaznom reprezentu elektroenergetskog sistema (slika 4.2a); 3 -- slično je s potrošačima; to su potrošači osmog nivoa, u koje su inkorporirani njihovi regulacioni transformatori (slika 4.5b), pa se ni njihovi idealni transformatori ne ekspliciraju; 4 -- razmatra se podsistem prenosa jedinstvenog naponskog nivoa, pa u njemu nema transformatora. Dakle, u monofaznom reprezentu elektroenergetskog sistema nema niti elektromagnetskih sprega niti kontrolisanih izvora tipa idealnih transformatora, pa se simetrična matrica admitansi (4.19) trivijalno generiše. Prilika je sada da se i formalno postavi pitanje broja čvorova elektroenergetskog sistema. Naime, neutralna tačka predstavlja četvrti čvor svakog trofaznog čvora. Ona je "razvučena" po celom sistemu, te do sada nije posebno isticana prilikom brojanja trofaznih čvorova elektroenergetskog sistema. Kada se s trofaznog elektroenergetskog sistema sa n trofaznih čvorova (svaki sa svojim četvrtim neutralnim čvorom) preñe na pofazni -- pogonski prikaz, svih n trofaznih čvorova se svodi na n monofaznih, a neutralna tačka ostaje kao (n+1)-vi čvor. U vezi s metodom potencijala čvorova potrebno je ustanoviti (naglasiti) i činjenicu da matematički model kola s (n+1)-vim čvorom, napisan saglasno s tim metodom ima dimenziju n. Osim toga, pošto je reč o linearnom elektroenergetskom sistemu, impedanse, odnosno admitanse njegovih elemenata ne zavise od napona i struja sistema. To za rezultat ima da i matrica admitansi $Y (4.19) nije zavisna od matrica-kolona $ $U Ii (4.18). Saglasno s tim, matematički model elektroenergetskog sistema (4.17), odnosno (4.21) linearan je. Radi pojednostavljenja izlaganja u vezi s rešenjem problema tokova snaga, primena metoda potencijala čvorova, zajedno s njenim implikacijama, biće izložena na najjednostavnijem elektroenergetskom sistemu kojeg čine dva čvora. To će rešenje zatim biti jednostavno generalisano na sistem s proizvoljnim brojem čvorova.

Slika 4.6 -- Pofazni prikaz jednostavnog elektroenergetskog sistema s dva čvora.

Jednostavan elektroenergetski sistem s dva čvora (jedan generatorski -- čvor br. 1 i jedan potrošački -- čvor br. 2), meñusobno povezana vodom -- slika 4.3d, u obliku


pogodnom za modelovanje na napred opisani način, prikazano je na slici 4.6. Na njoj je, umesto sa (n+1), tj. sa 2+1=3, čvor referentnog potencijala indeksiran sa "0". Njegov matematički model glasi:

$

$

$ $

$ $

$

$,

II

y yy y

UU

1

2

11 12

21 22

1

2

=

⋅

(4.22)

pri čemu elementi matrice admitansi iznose:

$ $ $ $ ; $ $ ;$ $ $ ; $ $ $ $ .

y Y Y Y y Y

y y Y y Y Y Y11 10 12 12 12 12

21 12 12 22 20 12 12

= + = = −= = − = + =

(4.23)

Sada je potrebno da se matematički opis (model), saglasan s metodom potencijala čvorova (4.17), odnosno (4.22) -- za jednostavan sistem s dva čvora, razmotri s praktičnog aspekta, tj. s aspekta njegove primenljivosti za opis i rešenje problema bilansa snaga elektroenergetskog sistema. Na osnovu materije izložene u paragrafima 3.1 i 3.4, može se respektivno zaključiti da se potrošači i generatori elektroenergetskog sistema opisuju sa snagama (aktivnim i reaktivnim), a ne s odgovarajućim strujama. S obzirom na to, oblik modela (4.17), odnosno (4.22) nije praktično primenljiv. Neka se zato, u svrhu generisanja odgovarajućeg (primenljivog) matematičkog modela, matrična relacija (4.22)

pomnoži s leve strane dijagonalnom matricom diag[ ]$ , $* *U U1 2 :

$

$

$

$

$

$

$ $

$ $

$

$,

*

*

*

*U

UII

UU

y yy y

UU

1

2

1

2

1

2

11 12

21 22

1

2

00

00

⋅

=

⋅

⋅

(4.24)

odnosno:

$ $

$ $

$

$

$ $

$ $

$

$,

*

*

*

*U IU I

UU

y yy y

UU

1 1

2 2

1

2

11 12

21 22

1

2

00

=

⋅

⋅

(4.25)

odnosno:

+−

= +

+

$ /$ /

$ ( $ $ $ $ )$ ( $ $ $ $ )

.*

*SS

U y U y UU y U y U

G

D

33

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2 (4.26)

odnosno u skalarnom obliku:

$ / $ $ $ , , ,*S U y U kk k kii

i3 121

2

= ==∑ (4.27)

pri čemu je sa $Sk označena injektirana kompleksna snaga u čvor k:

$ $ $ ,S P jQ S Sk k k Gk Dk= − =+ −∆

(4.28)

gde su sa Pk i Qk označene injektirana aktivna snaga i injektirana reaktivna snaga u čvoru k. Sve tri snage su detaljno obrañene u tekstu koji sledi, prilikom generalizacije rešenja problema bilansa snaga na sistem s proizvoljnim brojem čvorova. Očigledno je da se matematički model elektroenergetskog sistema s dva čvora, u stacionarnom režimu sastoji od dve kompleksne, odnosno četiri realne relacije. U tim relacijama figurišu četiri kompleksne, odnosno osam realnih varijabli. Ta je situacija prikazana u tabeli 4.1. Četiri kompleksne, odnosno osam realnih varijabli mogu se sagledati s aspekta postavke problema bilansa snaga i njegova četiri potproblema:


• Potrošač je poznat: P P Q QD D2 2= − = −; (na osnovu postavke problema bilansa snaga);

• Čvor br. 1 je balansni, te su njegova aktivna i reaktivna snaga nepoznate veličine: P1 =PG =? i Q1 =QG =? (rešenje 1. i 2. potproblema); on je referentni s obzirom na module napona -- 3. potproblem ( | $ |U1 se održava na unapred specificiranoj vrednosti U o

1 pomoću sinhronog generatora) taj čvor je referentni s obzirom na fazne stavove -- uglove (θ1=0) -- 4. potproblem.

Tabela 4.1 -- Varijable asocirane čvorovima jednostavnog elektroenergetskog sistema s dva čvora.

Čvor broj 1 Čvor broj 2 kompleksne varijable $ , $S U1 1 $ , $S U2 2

realne varijable P Q U1 1 1 1, , ,θ P Q U2 2 2 2, , ,θ

Tako, od osam realnih varijabli modela problema bilansa snaga:

P Q U P Q U1 1 1 1 2 2 2 2, ; , ; , ; , ;θ θ (4.29)

četiri podvučene su poznate. Za izračunavanje četiri preostale varijable na raspolaganju su dve kompleksne (4.27), odnosno četiri odgovarajuće realne relacije:

P U y U k

Q U y U k

k k ki ii

k k ki ii

/ Re $ $ $ , , ,

/ Im $ $ $ , , .

*

*

3 12

3 12

1

2

1

2

=

=

= −

=

=

=

∑

∑ (4.30)

Ove relacije su rezultat primene metoda potencijala čvorova (4.17) za opis režima elektroenergetskog sistema s dva čvora. Time je definitivno zaokruženo rešenje zadatka (5), odnosno ceo napred formulisani problem bilansa snaga u razmatranom elektroenergetskom sistemu s dva čvora. U prvoj relaciji (k=1), nalaze se sve četiri nepoznate varijable, a u drugoj (k=2) samo dve (U2, θ2). Druga relacija glasi:

$ / $ ( $ $ $ $ ),*S U y U y U2 2 21 1 22 23= + (4.31)

odnosno:

− − = +( / / ) $ $ $ .*P jQ y U U y UD Do3 3 21 1 2 22 2

2 (4.32)

Neka se za napon u čvoru dva, odnosno njegovu konjugovanu vrednost uvedu sledeće oznake:

$ $ .*U e jf U e jf2 2= + ⇒ = − (4.33)

Sada se relacija (4.32) može pisati u obliku:

− − = + − + + +( / / ) ( ) ( ) ( )( ),P jQ g jb U e jf g jb e fD Do3 3 21 21 1 22 22

2 2 (4.34)

odnosno razdvojiti na dve realne relacije:

− = + + +

= − + +P g U e b U f g e g f

Q b U e g U f b e b fD

o o

Do o

/ ,

/ ,

3

321 1 21 1 22

222

2

21 1 21 1 222

222

(4.35)


pri čemu su članovi matrice impedansi $ $y y21 22i iskazani preko odgovarajućih susceptansi -- b i konduktansi -- g ( $y g jb= + ). Značenje relacija (4.35) može se sagledati iz sledećeg: za zadatu potrošnju (PD i QD), kao i za "dovoljno dobro" izabran napon na ulazu u sistem -- na elektrani -- U1

o, odreñeno je celokupno stanje -- režim elektroenergetskog sistema, tj odreñeni su realni (e) i imaginarni (f) delovi napona $U2 , što uz poznati napon $U1 čini razmatrani režim elektroenergetskog sistema potpuno poznatim. Sistem relacija (4.35) čine, dakle, dve nelinearne, algebarske, realne, simultane jednačine s dve nepoznate veličine: e i f. Na ovom mestu se neće detaljnije ulaziti u proceduru kojom se takav sistem jednačina rešava. Taj problem će biti generalno obrañen kasnije. Nakon rešenja relacija (4.35) po nepoznatim veličinama e i f sledi:

$ ( , ),U e jf U2 2 2= + ⇔ θ (4.36)

odakle se dosta jednostavno mogu proračunati i nepoznata aktivna i reaktivna snaga generatora na osnovu jedne kompleksne (odnosno dve realne) relacije:

P jQ U y U y U P QG Go o

G G− = + ⇒3 1 11 1 12 2( $ $ $ ) ( , ). (4.37)

Rešenjem relacija (4.36) i (4.37) praktično je rešen zadatak (5) iz postavke problema bilansa snaga. A saglasno sa stavom da se iz poznatih fazora napona svih čvorova (u prethodnom primeru su bila dva čvora) može rekonstruisati celokupni režim razmatranog elektroenergetskog sistema, problem bilansa snaga rešen je u potpunosti. Struja voda je:

$ $$

$ $ $ , $ $ $ ( $ )./I IU UR jX

I a I I a I a ev va

o

vb va vc vaj= =

−+

⇒ = = =− −1 2 1 2 2 3π (4.38)

Snage $ $S S12 21i koje idu iz čvora 1 u čvor 2, odnosno obrnuto, iznose:

$ ; $ ( ).S P jQ S P jQG G D D12 21= − = − − (4.39)

Te dve snage nisu jednake ( $ $S S12 21≠ ) zbog toga što duž voda postoje gubici (∆P12 i ∆Q12). Tako, injektirane snage u čvorove 1 i 2, respektivno, su:

$ $ ; $ $ .S S S S1 12 2 21= = − (4.40)

Gubici aktivne i reaktivne snage su:

∆ ∆P RI Q XIv v122

1223 3= =; , (4.41)

odnosno:

∆ ∆P P P Q Q QG D G D= − = −; . (4.42)

Tada se i globalni bilans snaga može kvantifikovati relacijama:

.

,

QQQ

PPP

DG

DG

∆+=

∆+= (4.43)

Konačno, rešenje problema bilansa snaga u elektroenergetskom sistemu se svodi na konstituisanje modela sistema i njegovo kvantitativno rešenje, odnosno rešenje sistema kompleksnih jednačina (4.27), odnosno sistema realnih jednačina (4.30). Sistemi nelinearnih, algebarskih, realnih, simultanih jednačina rešavaju se primenom standardnih iterativnih metoda (postupaka): Gauss-Saidel-ov,


Newton(Raphson)-ov metod... . Za rešavanje sistema nelinearnih jednačina tipičnih za modele elektroenergetskog sistema (4.35), najefikasnijim se pokazuje Newton(Raphson)-ov iterativni metod.

Newton(Raphson)-ov iterativni metod za rešavanje sistema nelinearnih

jednačina

O Newton-u: Nearer the gods no mortal may approach. (Bliže bogovima nijedan smrtnik ne može prići.)

U ovom delu će biti prikazan Newton(Raphson)-ov iterativni metod za rešavanje prvo jedne nelinearne jednačine, pa dve, a zatim će biti primenjen za obradu modela tokova snaga elektroenergetskog sistema ma kojih dimenzija. Neka se razmatra jedna nelinearna jednačina s jednom nepoznatom veličinom: a f x= ( ), (4.44)

pri čemu je a poznata a x nepoznata veličina. Analitički oblik funkcije f je poznat. Tu jednačinu treba rešiti po nepoznatoj veličini x. U tu svrhu se ovde koristi Newton(Raphson)-ov iterativni metod. On će biti prikazan na dva načina: grafički i analitički. Grafička interpretacija data je na slici 4.7.

Slika 4.7 -- Grafička interpretacija Newton(Raphson)-ovog iterativnog metoda.

Taj metod se sastoji od sledećih koraka: 1. Pretpostavi se rešenje jednačine (4.44), npr. u tački x1 -- početna (prva) aproksimacija

rešenja te jednačine. 2. Odredi se vrednost funkcije u toj tački -- f(x1) -- i kroz nju povuče tangenta na krivu

f(x); ta tangenta predstavlja linearnu aproksimaciju funkcije f(x); ona je označena sa f 1(x).

3. Rešenjem linearne jednačine a f x= 1( ) , umesto nelinearne (4.44), dobija se drugo rešenje x2 -- druga aproksimacija rešenja jednačine (4.44).

4. Ponavljanjem postupka iz koraka 2, ustanovljavanjem linearne aproksimacije f 2(x), te rešavanjem odgovarajuće linearne jednačine, dobija se treća aproksimacija rešenja x3, itd.

5. Postupak se zaustavlja kada je: 1 -- razlika izmeñu dve uzastopne aproksimacije rešenja dovoljno "mala" i 2 -- kada je mala razlika izmeñu vrednosti funkcije u tekućoj aproksimaciji rešenja i poznate veličine a "mala". Kriterijum za zaustavljanje postupka može se eksplicirati na sledeći način:


x x f x a hh hx

hf− ≤ ∧ − ≤ =− 1 1 2 3ε ε( ) , , , , ... , (4.45)

pri čemu su brojevi εx i εf po želji izabrani "mali" brojevi, a h je redni broj iteracije. Pod iteracijom se podrazumeva postupak izvoñenja naredne aproksimacije na osnovu vrednosti tekuće aproksimacije rešenja. Nakon zaustavljanja postupka, (h+1)-va aproksimacija rešenja jednačine (4.44) se "proglašava" njenim rešenjem. Kvalitet (tačnost) tog rešenja je utoliko veći, ukoliko je kriterijum za zaustavljanje postupka strožiji -- manji brojevi εx i εf . U toj situaciji, kada je postupak zaustavljen zbog zadovoljenja kriterijuma (4.45), kaže se da je postupak konvergirao. Utvrñivanje niza sukcesivnih aproksimacija rešenja -- x1, x2, x3, ...-- koji vodi ka rešenju jednačine naziva se konvergencijom postupka. U slučaju da jednačina (4.44) nema rešenja (situacija na slici 4.8a), kada bi se opisani postupak primenio on bi divergirao. Osim problema divergencije metoda, kada jednačina koja se rešava nema rešenje (slika 4.8a), još dva problema treba akcentirati. Oni su ilustrovani na slici 4.8b. Prvi se odnosi na situaciju kada jednačina ima više (tri) rešenja -- x1

+, x2+ i x3

+ (problem višeznačnosti rešenja). U toj situaciji Newton(Raphson)-ov metod treba primeniti s posebnom pažnjom. Naime, ako se s početnom aproksimacijom krene iz vrednosti x', tada će postupak konvergirati prema rešenju x1

+; ako se s postupkom krene iz aproksimacija x" ili x"', tada će postupak konvergirati ka rešenjima x2

+ ili x3+, respektivno. Dakle, od izbora

početne aproksimacije, kada je u pitanju jednačina s više rešenja, zavisi rešenje koje će postupkom biti nañeno. Najčešći slučajevi korišćenja ovog postupka u praksi se odnose na probleme kada je od više rešenja postavljene jednačine (modela sistema) od interesa samo jedno. Tada je potrebno postupak započeti s korektno izabranom početnom aproksimacijom koja će voditi upravo ka traženom rešenju. U uobičajenim praktičnim problemima to je moguće učiniti pošto se obično zna ne samo red veličine, već i približna vrednost rešenja problema. Drugi od dva nagoveštena problema primene metoda takoñe je ilustrovan na slici 4.8b. On se odnosi na nužnost da funkcija f(x), osim što treba da je diferencijabilna u svakoj aproksimaciji njenog rešenja do kojeg se stiže primenom metoda, njeni izvodi u tim tačkama moraju biti različiti od nule. Inače realizacija postupka u aproksimaciji rešenja s nultim izvodom (aproksimacija x1 na slici 4.8b) ne bi bila moguća.

(a) (b)

Slika 4.8 -- Problem egzistencije (a) i problem jednoznačnosti rešenja (b).


Kada je u pitanju izbor početne aproksimacije, od suštinskog značaja za Newton(Raphson)-ov metod je činjenica da on konvergira utoliko brže, ukoliko je aproksimacija rešenja bliža rešenju. Ta činjenica je od presudne važnosti za izbor upravo tog metoda prilikom rešavanja problema bilansa snaga elektroenergetskih sistema. Naime, u osnovi problema bilansa snaga leži proračun modula i faznih stavova fazora napona u čvorovima elektroenergetskih sistema. Na sistem nelinearnih jednačina po tim nepoznatim veličinama svodi se model problema tokova snaga -- relacije (4.30). Pošto su moduli fazora napona čvorova elektroenergetskog sistema, u ma kom normalnom režimu, vrlo bliski nominalnim vrednostima, a njihovi fazni stavovi odstupaju meñusobno za svega nekoliko stepeni, to je Newton(Raphson)-ov iterativni postupak moguće započeti s aproksimacijom rešenja koja je "vrlo blizu" samog rešenja problema. Sada se može prići analitičkoj interpretaciji Newton(Raphson)-ovog metoda. Aproksimirati funkciju pravom -- tangentom u jednoj njenoj tački znači: 1 -- razviti funkciju u Taylor-ov red u okolini te tačke, 2 -- aproksimirati red (funkciju) s članovima reda koji sadrže izvode ne više od prvog. Razvoj funkcije f(x) u Taylor-ov red, u okolini (usvojene) početne aproksimacije rešenja x1, glasi:

f x f xdfdx

xd fdx

xx x x x

( ) ( )! !

( ) ,= + ⋅ + ⋅= =

12

221

1121 1

∆ ∆ K (4.46)

pri čemu je:

∆x x x= − 1, (4.47)

gde je x isti argument kao u funkciji f(x). Smisao Taylor-ovog reda je u tome da se jednim njegovim delom (s izabranim brojem prvih članova) može aproksimirati funkcija koja je njime predstavljena: ako se uzmu prva dva člana (uključivo član s prvim izvodom), tada se funkcija aproksimira pravom (tangentom); ako se uzmu tri člana, tada se funkcija aproksimira parablolom, itd. Što se više članova reda uključi u aproksimaciju, odnosno što je okolina oko tačke u kojoj se funkcija razvija u red manja, to je aproksimacija "bolja", odnosno, manje se razlikuje od same funkcije. Sada se Newton(Raphson)-ov postupak, kako je napred rečeno, nastavlja aproksimacijom funkcije s prva dva člana, odnosno rešavanje nove aproksimativne jednačine:

a f xdfdx

xx x

= + ⋅=

( ) ,1 1

1∆ (4.48)

pri čemu je:

∆x x x1 2 1= − . (4.49)

S x1 je obeležena tačka oko koje je funkcija razvijena u red -- početna aproksimacija rešenja nelinearne jednačine (4.44). S x2 (dvojka je superskript a ne stepen) označena je vrednost argumenta x za koju je aproksimacija funkcije jednaka vrednosti a. Dakle, upravo je ta vrednost nova -- "bolja" aproksimacija rešenja jednačine (4.44). Jednačina (4.48) je linearna jednačina po nepoznatoj veličini ∆x1. Vrednosti funkcije i njenog prvog izvoda u tački x1 poznate su (poznat je analitički oblik funkcije). Njeno rešenje glasi:

∆xa f x

dfdx

x x

11

1

=−

=

( ), (4.50)


[Napomena: Upravo iz ove relacije se vidi napred postavljeni zahtev o egzistenciji nenultog prvog izvoda funkcije f(x).] S ovim je završena prva iteracija Newton(Raphson)-ovog postupka. Sada se postupak ponavlja uzimajuči aproksimaciju x2 za početnu:

x x x2 1= + ∆ . (4.51)

Postupak se završava (konvergirao je) u h-toj iteraciji, kada su zadovoljeni unapred zadati kriterijumi (4.45). Vrednosti veličina ε se biraju saglasno s problemom koji se rešava, i tačnošću s kojom se želi rešiti problem. Problem bilansa snaga na najjednostavnijim elektroenergetskom sistemu s dva čvora napred je sveden na sistem od dve nelinearne, algebarske, realne, simultane jednačine (4.35). Prikaz postupka za njegovo rešenje je odložen, pa se to upravo sada čini. Oblik tih jednačina glasi:

a F x yb H x y==

( , ),( , ),

(4.52)

pri čemu su analitički oblici funkcija F i H poznati. Generalizacija Newton(Raphson)-ovog postupka na sistem više jednačina je trivijalna. Potrebno je slediti istu logiku kao u slučaju jedne jednačine. Obe funkcije se aproksimiraju "ravnima" u okolini početne aproksimacije rešenja -- x1 i y1. Tada, umesto da se rešavaju originalne jednačine, rešavaju se njihove linearne aproksimacije (uz očigledne potrebne uslove u vidu egzistencije prvih parcijalnih izvoda u aproksimacijama rešenja):

a F x yF

xx

F

yy

b H x yH

xx

H

yy

x xy y

x xy y

x xy y

x xy y

= + ⋅ + ⋅

= + ⋅ + ⋅

==

==

==

==

( , )! !

,

( , )! !

,

1 1 1 1

1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∆ ∆

∆ ∆

(4.53)

pri čemu su:

∆ ∆x x x y y y1 2 1 1 2 1= − = −, . (4.54)

Sistem od dve linearne jednačine (4.53) rešava se po nepoznatim veličinama ∆x1 i ∆y1, a potom se iz relacija (4.54) utvrñuje nova -- "bolja" aproksimacija rešenja -- x2 i y2. Pri tom je očigledno da je postupak moguće sprovesti samo ako su četiri parcijalna izvoda sadržana u relacijama (4.53) takva da postoji jednoznačno rešenje tih jednačina (analogon uslova o nenultom izvodu u primeni postupka pri rešavanju jedne jednačine). Utvrñujući novu aproksimaciju rešenja -- x2 i y2 za početnu, postupak se iterativno ponavlja sve do zadovoljenja unapred izabranih kriterijuma konvergencije:

x x y y

F x y a H x y b

h hx

h hy

h hF

h hH

− ≤ − ≤

− ≤ − ≤

− −1 1ε ε

ε ε

, ;

( , ) , ( , ) . (4.55)

Problem tokova snaga postavljen je i rešen Newton(Raphson)-ovim metodom na primeru elektroenergetskog sistema s dva čvora u Prilogu 1. Ovde se on rešava pojednostavljeno (što je takoñe urañeno u Prilogu 1). U tu svrhu parametri voda su izabrani tako da jedna od dve simultane jednačine (4.35) postane linearna s jednom nepoznatom veličinom, pa se tako problem bilansa snaga može i analitički rešiti. To pojednostavljenje glasi: zanemarene su (proglašene nulom) sve aktivne otpornosti voda


(R=0). Takav tretman voda, pošto su već zanemarene otočne odvodnosti (G=0), implicira nulte vrednosti svih realnih delova elemenata matrice admitansi $Y (4.22):

g g g g11 12 21 22 0= = = = . (4.56)

Tada se relacije (4.35) mogu predstaviti u obliku:

− =

= + +P b U f

Q b U e b e b fD

o

Do

/ ,

/ .

3

321 1

21 1 222

222

(4.57)

U prvoj od relacija (4.57) figuriše samo jedna nepoznata veličina, pa se ona može jednostavno izračunati:

fP

b UD

o= −

3 21 1

. (4.58)

Koristeći se tim rešenjem drugoj od relacija može da se da sledeći oblik:

b e b U e b f QoD22

221 1 22

2 3 0+ + − =( / ) , (4.59)

odakle se, kao rešenje kvadratne jednačine, ima:

eb U b b b f Q

b

oD

1221 1 21

222 22

2

22

4 3

2=− ± − −( ) ( / )

. (4.60)

Kada se reši ova kvadratna jednačina treba izabrati onu vrednost za e (e1 ili e2) za koju se imaju približno jednaki naponi na vodu ( $ $U U2 1≈ ), što je jedino "prirodno" rešenje problema. Na osnovu tako poznatih napona (stanja) elektroenergetskog sistema:

$ , $ ,U e jf U U jo2 1 1 0= + = + (4.61)

može se rekonstruisati celokupni režim sistema, odnosno rešen je problem bilansa snaga za elektroenergetski sistem s dva čvora.

Generalizacija rešenja problema bilansa snaga na elektroenergetski sistem sa L čvorova

Elektroenergetski sistemi manjih država se sastoje od nekoliko desetina čvorova naponskih nivoa, npr., 400 kV, 220 kV i/ili 110 kV; elektroenergetski sistemi srednje veličine imaju i po nekoliko stotina, dok veći -- interkonektivni elektroenergetski sistemi (što je danas uobičajena situacija), imaju i po nekoliko hiljada čvorova. Neka se, ponovo, razmatra složen elektroenergetski sistem sa slike 4.3a (N generatora i M potrošača). Neka je podsistem prenosa jedinstvenog naponskog nivoa. (Njega čine samo vodovi, tj. nema interkonektivnih transformatora.) Neka su svi čvorovi indeksirani od jedinice -- generatorski čvor (balansni), pa sve do L, L=N+M, potpuno proizvoljno, ne vodeći računa o njihovoj prirodi (da li su to generatorski ili potrošački čvorovi, odnosno čvorovi u kojima nema ni generatora niti potrošača -- potrošački čvorovi nultih potrošnji, koji se nalaze u podsistemu prenosa, na mestima "grananja" prenosne mreže.). Situacija u kojoj se nalazi svaki od ovih čvorova, na primeru k-tog čvora prikazana je na slici 4.9.


Slika 4.9 -- Situacija k-tog čvora u elektroenergetskom sistemu sa L čvorova.

Problem bilansa (tokova) snaga za ovakav elektroenergetski sistem postavljen je u paragrafu 4.1. Rešenje tog problema svodi se na postavku matematičkog modela elektroenergetskog sistema sa slike 4.9 i njegovo rešenje. Taj model, saglasan s metodom potencijala čvorova (4.17), glasi:

$ $ $I Y ULx LxL Lx1 1= ⋅ , (4.62)

odnosno (4.21):

$ $ $ , , ,..., ,I y U k Lk kii

L

i= ⋅ ==∑

112 (4.63)

pri čemu su članovi matrice admitansi generisani na sledeći način (4.20):

$ $ , , ,..., , , ,..., , ;

$ $ $ , , ,..., .

y Y k L i L k i

y Y Y k L

ki ki

kk kiii k

L

okiii k

L

= − = = ≠

= + ==≠

=≠

∑ ∑

12 12

121 1

(4.64)

Ako se matrična relacija (4.62) pomnoži s leva dijagonalnom matricom

diag [ ]$ , $ ,... $* * *U U UL1 2 , odnosno svaka od skalarnih relacija (4.63) sa $ *Uk , k=1,2,...L, dobija

se matematički model elektroenergetskog sistema sa L, tj. N+M čvorova, u stacionarnom stanju:

$ / $ $ $ , , ,... ,*S U y U k Lk k kii

L

i3 121

= ==∑ (4.65)

pri čemi je uvedena definicija injektirane kompleksne snage u čvor k (sa znakom "+" kada joj je referentni smer od zemlje prema čvoru, i obrnuto -- kada joj je referentni smer od čvora k):

$ ( $ $ ) .S S S P jQk Gk Dk k k=+ − = −∆

(4.66)


Iz definicije (4.66) očigledno je da za generatorske čvorove, kod kojih je referentni smer snage njihove proizvodnje usvojen prema čvoru sistema, injektirana snaga glasi:

)(ˆˆGkGkGkk jQPSS −+=+= (u čvoru k je priključena samo elektrana). (4.67)

za potrošačke čvorove važi obrnuto:

)(ˆˆDkDkDkk jQPSS −−=+= (u čvoru k je priključen samo potrošač). (4.68)

Dakle, u vezi sa sistemom relacija (4.65) može se konstatovati sledeće: on se sastoji od L kompleksnih relacija bilansa kompleksnih snaga u svih L čvorova sistema, odnosno od 2L respektivnih realnih relacija bilansa aktivnih i reaktivnih snaga u tih L čvorova:

P U y U k L

Q U y U k L

k k ki ik

L

k k ki ik

L

/ Re $ $ $ , , ,... ,

/ Im $ $ $ , , ,... .

*

*

3 12

3 12

1

1

= +

=

= −

=

=

=

∑

∑ (4.69)

Kao što u relacijama (4.64) figuriše 2L kompleksnih veličina ( $ , $S Uk k , k=1,2,...,L), tako u 2L realnih relacija (4.67) figuriše 4L realnih veličina (Pk, Qk, Uk, θk, k=1,2,...,L), odnosno, u vidu skupa:

{ }P Q U P Q U P Q U P Q UL L L L1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3, , , ; , , , ; , , , ,... , , , .θ θ θ θ (4.70)

Prvi čvor je balansni i za njega važi:

P P Q Q

U UG G

o o

1 1 1 1

1 1 1 1 0

= = = =

= = =

?, ? ;

, .θ θ (4.71)

Preostali čvorovi su ili generatorski ili potrošački, pa za njih važi:

Pk= {+ PGK , k je generatorski čvor,

Pk= {− PDk , k je potrošački čvor;

Qk= {+QGk , k je generatorski čvor (vrednost QGK može biti pozitivna, (4.72) negativna ili nula), Qk= {−QDk , k je potrošački čvor;

Uk L

k k= ==

?, ?,, ,... .

θ2 3

Dakle, podvučene veličine -- elementi skupa (4.70), poznate su. Ako se izostave relacije za balansni čvor, onda se preostale (2L--2) realne relacije modela glase:

P U y U g X k L

Q U y U g X k L

k k ki ii

L

k

k k ki ii

L

k

/ Re $ $ $ ( ), , ,... ,

/ Im $ $ $ ( ), , ,... ,

* '

* ''

3 2 3

3 2 3

1

1

= +

= =

= −

= =

=

=

∑

∑ (4.73)

pri čemu su sa gk'(X) i gk"(X) označene funkcije simultanih nepoznatih veličina. Tih veličina ima 2L--2. One su sažete u skupu:

{ }X U U UL L= θ θ θ2 2 3 3, , , ,... , . (4.74)


Sada se sistem relacija (4.93) može prestrukturirati na sledeći način:

P g x k L

Q g x k Lk k

k k

/ ( ), , ,... ,

/ ( ), , ,... ,

'

''

3 2 3

3 2 3

= == =

(4.75)

P U y U

Q U y U

i ii

L

i ii

L

1 1 11

1 1 11

3

3

/ Re $ $ $ ,

/ Im $ $ $ .

*

*

= +

= −

=

=

∑

∑ (4.76)

Relacija (4.75) i (4.76) ima 2L. One čine matematički model tokova snaga elektroenergetskog sistema sa L čvorova. On je podeljen na dva dela: 1 -- relacije (4.74) čine dominantni deo modela; 2 -- relacije (4.76) čine trivijalni deo modela (razlozi za ovakve nazive slede). Tako, problem je sveden na rešenje (2L--2) realne, algebarske, nelinearne, simultane relacije tipa (4.75), po (2L--2) nepoznatih veličina iz skupa X (4.74) -- dominantni deo modela tokova snaga, koji sadrži fazore napona svih čvorova osim prvog -- balansnog. Pošto je fazor napona balansnog čvora poznat, to se nakon rešenja sistema relacija (4.73) po odgovarajućim nepoznatim X (4.74), poznaju fazori napona u svim čvorovima elektroenergetskog sistema -- stanje sistema. To znači da se može rekonstruisati celokupan režim elektroenergetskog sistema: aktivna i reaktivna snaga elektrane u balansnom čvoru PG1=P1 i QG1=Q1 -- trivijalni deo modela tokova snaga, gubici aktivne i reaktivne snage sistema, kao i sve ostale veličine režima s kojim se realizuje razmatrani bilans snaga (postupak za rekonstrukciju je već izložen). Time je rešen problem bilansa (tokova) snaga, tj., mogu se kvantifikovati relacije:

P P P

Q Q Q

kk G

kk D

kk G

kk D

∈ ∈

∈ ∈

∑ ∑

∑ ∑

= +

= +

∆

∆

,

, (4.77)

pri čemu su sa G i D označeni skupovi indeksa svih čvorova u kojima su priključene elektrane, odnosno potrošači, respektivno. Suštinski momenat prilikom napred opisane obrade problema tokova snaga jeste rešavanje dominantnog dela modela tokova snaga, tj. sistema od (2L--2) realnih, algebarskih, nelinearnih, simultanih jednačina (4.75). One se, kako je već ustanovljeno, rešavaju primenom Newton(Raphson)-ovog iterativnog metoda. Taj metod je u prethodnom tekstu izložen na sistemu od dve jednačine s dve nepoznate veličine, a sada se on generalizuje na problem pomenute (2L--2) jednačine (4.75). Saglasno s tim metodom, desne strane jednačina (4.75) treba razviti u Taylor-ov red, u okolini početne, ili neke od već dostignutih (poznatih) aproksimacija rešenja, npr. u okolini h-te aproksimacije rešenja:

{ }X U U Uh h h h hLh

Lh= θ θ θ2 2 3 3, , , ,... , . (4.78)

Tada nelinearne jednačine (4.75) treba aproksimirati linearnim. To se postiže zadržavanjem članova do onih koji sadrže prve parcijalne izvode. Ta linearna aproksimacija sistema nelinearnih jednačina (4.75), u okolini aproksimacije rešenja Xh, glasi:

P g Xg X g X

UU k Lk k

h k

i X X

ih k

i X X

ih

i

L

h h

/ ( )( ) ( )

, , ,..., ,'' '

3 2 32

= + ⋅ + ⋅

=

= ==∑ ∂

∂θθ

∂∂

∆ ∆ (4.79)


Q g Xg X g X

UU k Lk k

h k

i X Xih k

i X Xih

i

L

h h

/ ( )( ) ( )

, , ,..., ,"" "

3 2 32

= + ⋅ + ⋅ +

=

= ==∑ ∂

∂θθ

∂∂

∆ ∆ (4.80)

ili u matričnom obliku:

[ ] [ ] [ ]∆ ∆S J XL

h

L L

h

L

h

( ) ( ) ( ) ( ),

2 2 1 2 2 2 2 2 2 1− − − −= ⋅x x x

(4.81)

pri čemu korišćene oznake matrica imaju sledeća značenja:

[ ]∆S P g X Q g X P g X Q g X

P g X Q g X

h h h h h

Lh

Lh T

= − − − −

− −

[ / ( ), / ( ); / ( ), / ( );

/ ( ), / ( )] ;

' " ' "

' "2 2 2 2 3 3 3 3

2 2

3 3 3 3

3 3

K (4.82)

H NJ L

h h

h h22 22

22 22

H NJ L

h h

h h23 23

23 23

L

L

H N

J LL

hL

h

Lh

Lh

2 2

2 2

[J]h =H N

J L

h h

h h32 32

32 32

H N

J L

h h

h h33 33

33 33

L

L

H N

J LL

hL

h

Lh

Lh

3 3

3 3 , (4.83)

M M M M O M M

H N

J LLh

Lh

Lh

Lh

2 2

2 2

H N

J LLh

Lh

Lh

Lh

3 3

3 3

L

L

H N

J LLLh

LLh

LLh

LLh

pri čemu su:

Hg X

kih k

i X X h

==

∂∂θ

' ( ), N

g XUki

h k

i X X h

==

∂∂

' ( ), (4.84)

Jg X

kih k

i X X h

==

∂∂θ

" ( ), L

g X

Ukih k

i X X h

==

∂∂

" ( ), (4.85)

k L i L= =2 3 2 3, ,..., ; , ,..., ;

[ ] [ ]∆ x U U U U U Uh h h h h h h h h

Lh

Lh

Lh

Lh T

= − − − − − −+ + + + + +θ θ θ θ θ θ21

2 21

2 31

3 31

31 1, ; , ;..., , . (4.86)

Matrica kolona [∆S]h je poznata veličina. Njene elemente čine razlike poznatih levih strana jednačina (4.75) i funkcije g X g Xk k

' "( ) ( )i , k=2,3,...,L, primenjene nad poznatim argumentima X=X h. Kvadratna matrica [J]h je takoñe poznata veličina. Ona se sastoji od parcijalnih izvoda funkcija poznatih analitičkih oblika, primenjenih nad poznatim argumentima: X=X h. Ona je poznata kao Jacobi-jan sistema nelinearnih jednačina (4.75) u tački X=X h. Matrica kolona [∆X]h nije poznata. Ona se sastoji od razlika korigovanih (nepoznatih) i vrednosti tekuće (poznate) aproksimacije rešenja sistema nelinearnih jednačina (4.75). Tu matricu treba izračunati iz sistema linearnih jednačina (4.81). Taj sistem je formulisan u kanoničnom -- standardnom obliku. Metod za njegovo rešavanje će biti izložen u tekstu koji sledi. Kada je njegovo rešenje poznato (izračunato), tada se tekuća (h-ta) aproksimacija rešenja (X h) sistema nelinearnih jednačina (4.75) može korigovati i dobiti naredna -- "bolja" [(h+1)-va]:

[ ] [ ] [ ]X X Xh h h+ = +1 ∆ , (4.87)

odnosno:

θ θih

ih

ih

ih

ih

ihU U U i L+ += + = + =1 1 2 3∆θ ∆, , , ,..., , (4.88)


pri čemu je skup X u relaciji (4.87) prikazan odgovarajućom matricom-kolonom zbog korektnog zapisa relacije. Primena opisanog Newton(Raphson)-ovog metoda započinje zadavanjem -- izborom početne aproksimacije rešenja sistema nelinearnih jednačina (4.74) -- X 1. Kako je već elaborirano, to nije teško učiniti. Naime, moduli napona u svim čvorovima meñusobno su bliski, ali bliski i nominalnoj vrednosti napona podsistema prenosa; fazni stavovi fazora napona svih čvorova su takoñe meñusobno bliski, pa tako su bliski i faznom stavu fazora napona balansnog čvora (a ovaj je poznat -- unapred specificiran). Tako, uobičajena početna aproksimacija rešenja sistema nelinearnih jednačina (4.75), koja se pokazuje vrlo kvalitetnom, glasi: početne aproksimacije modula napona svih čvorova (osim balansnog) izabrati jednakim nominalnoj vrednosti napona prenosne mreže; početne aproksimacije faznih stavova fazora napona svih čvorova izabrati jednakim faznom stavu fazora napona balansnog čvora (dakle, za razmatranu situaciju, jednaki nuli). Za napred izabranu početnu aproksimaciju, Newton(Raphson)-ov iterativni metod primenjen za rešavanje sistema nelinearnih jednačina (4.75) konvergira uobičajenuo u nekoliko iteracija (4 do 5, tj., h≤5), bez obzira na dimenzije elektroenergetskog sistema. Pod konvergencijom metoda, kako je već naglašeno, podrazumeva se zadovoljenje sledećih uslova:

θ θ ε ε

ε ε

θih

ih

ih

ih

U

k kh

P k kh

Q

U U i L

P g X Q g X k L

+ +− ≤ − ≤ =

− ≤ − ≤ =

1 1 2 3

3 3 2 3

, , ,..., ,

( ) , ( ) , , ,..., ,' " (4.89)

pri čemu su ε ε ε εθ, ,U P Qi brojevi s unapred specificiranim, "dovoljno malim"

vrednostima, da dostignuta aproksimacija rešenja [(h+1)-va] zadovoljava praktične potrebe obrañivača problema bilansa snaga. Suštinski momenat primene Newton(Raphson)-ovog iterativnog metoda za rešavanje sistema nelinearnih jednačina jeste rešavanje sistema linearnih jednačina (4.81). Onoliko koliko je Newton(Raphson)-ov metod suštinski za rešavanje sistema nelinearnih jednačina, toliko je Gauss-ov metod sukcesivnih eliminacija suštinski za rešavanje sistema linearnih jednačina. Onoliko koliko je Newton(Raphson)-ov metod favorit meñu odgovarajućim metodima, toliko je Gauss-ov metod favorit meñu metodima za rešavanje sistema linearnih jednačina, kada su u pitanju modeli elektroenergetskih sistema i njihove linearne aproksimacije, respektivno48. Mada suštinski, kao i Newton(Raphson)-ov, Gauss-ov metod sukcesivnih eliminacija je prikazan u Prilogu 2. To je učinjeno zato što je za njegovo izlaganje izabrana prilično ekstenzivna forma koja bi odvlačila pažnju čitalaca ove knjige od osnovnog problema koji se razmatra -- problema bilansa snaga. Težina (atraktivnost) problema bilansa snaga se najbolje može ilustrovati time da se matematički model elektroenergetskog sistema sa 300 (2000) čvorova sastoji od 600 (4000) relacija, sa 600 (4000) nepoznatih veličina. Sve te relacije su nelinearne, praktično simultane, pa se ne mogu rešavati bez računara. Pored toga, za simulacije nad tekućim (aktuelnim) režimima -- režimima iz "realnog vremena", ove proračune je potrebno uraditi dovoljno brzo (ponekad su to delovi sekunda) da ne bi razmatrani režimi izgubili aktuelnost. Moderni, vrlo sofisticirani računarski postupci za rešavanje opisanih modela elektroenergetskih sistema, takvi su da su pomenuti problemi dimenzionalnosti apsolutno 48I prvi i drugi metod se prilikom obrade modela elektroenergetskih sistema retko koriste u originalu. Za potrebe tih obrada, iz osnovnih varijanti su izvedene varijante primerene upravo modelima elektroenergetskih sistema, s ciljem da se iskoriste sve pogodnosti koje pruža forma tih modela. Te alternative izlaze iz okvira ove knjige.


savladani. U tu svrhu se koriste tzv. tehnike retkih matrica, tehnike retkih vektora, tehnike numeracije jednačina i nepoznatih veličina linearnih sistema, sistemi linearnih jednačina se rešavaju bez eksplicitne inverzije odgovarajućih matrica, itd.

Problem izbora snaga generatora

U gore utvrñenom problemu bilansa (tokova) snaga naglašene su dve slobode izbora: 1 -- izbor opterećenja (proizvodnji aktivnih i reaktivnih snaga), tj. angažovanja generatora i 2 -- izbor naponskih prilika u elektroenergetskim sistemima, s kojima se mogu realizovati bilansi električne energije (snage), tj. mogu se pokrivati zadate potrebe potrošnje. Zavisno od izbora opterećenja (angažovanja) elektrana, da bi se namirile potrebe potrošača, menjaju se troškovi za gorivo u elektroenergetskim sistemima. S promenom naponskih prilika sistema, za iste snage potrošnje, menjaju se i gubici električne energije u odgovarajućim režimima s kojim se bilansi realizuju, pa se tako opet indirektno menjaju troškovi za gorivo u elektroenergetskim sistemima. Svaka sloboda izbora, u načelu, znači mogućnost zadovoljenja još jednog zahteva -- kriterijuma. Naime, na primeru problema tokova snaga, ta se sloboda može iskoristiti, npr., za minimizaciju cene proizvodnje električne energije (troškova za gorivo u elektranama), minimizaciju gubitaka pri njenom prenosu, minimizaciju nekog globalnog kriterijuma kojim su obuhvaćena prethodna dva, itd. Generalno, korišćenje slobode izbora u opisanom smislu matematički se formuliše kao problem optimalnog bilansa (tokova) snaga elektroenergetskih sistema. U razmatranjima koja slede biće postavljena jedna varijanta problema bilansa snaga, s korišćenjem slobode izbora angažovanja elektrana u smislu minimizacije troškova proizvodnje električne energije. Ona je zasnovana na činjenicama da proizveden kWh:

• različito košta od elektrane do elektrane (u jednoj se troši ugalj, u drugoj nafta ili gas, odnosno voda, itd.),

• prenosi se na različite udaljenosti, generišući pri tom gubitke, čija je veličina srazmerna tim udaljenostima.

Dakle, u okviru bilansa snaga, za zadate aktivne i reaktivne snage svih potrošača, potrebno je izabrati aktivne snage svih elektrana takve da se minimiziraju troškovi proizvodnje električne energije. To je tipičan optimizacioni problem s ograničenjima (tipa vezanog ekstremuma). Očigleno je da ovaj problem pripada kontekstu ekonomičnosti elektroenergetskog sistema, i to njegovoj drugoj komponenti -- ekonomičnom pogonu. Minimizacija cene proizvodjne električne energije (snage) u elektroenergetskom sistemu, u kojem se za zadate potrošnje želi načiniti bilans snaga, može se formulisati na sledeći način:

min min ( ) ,F P c PP

k G

k k kk Gk

=

∈ ∈∑ (4.90)

pri čemu je sa G označen skup indeksa čvorova u kojima su priključene elektrane, a sa F kriterijumska funkcija, koju treba minimizirati izborom snaga proizvodnji elektrana Pk, k∈G, a sa funkcijom ck(Pk) označeni su jedinični troškovi, tj. troškovi po jedinici proizvodnje koji su svakako funkcija snage proizvodnje elektrane. (Napomena: Slična je situacija i s automobilom. Naime, najmanje goriva se potroši ako se odreñeno rastojanje


preñe brzinom koja odgovara maksimalnom momentu. Na istom rastojanju će se potrošiti više goriva ako se ono preñe brzinom koja odgovara nekom drugom momentu.) Trivijalno rešenje optimizacionog (minimizacionog) problema (4.90) jeste da se električna energija uopšte ne proizvodi (Pk=0, k∈G). Pošto to nije problem koji se razmatra, već treba troškove minimizirati a da se realizuje bilans snaga u razmatranom elektroenergetskom sistemu, to se kritrerijumu (4.90) moraju pridružiti sledeća ograničenja "tipa jednakosti" -- relacije bilansa snaga u svim čvorovima sistema, pa tako i u celom sistemu:

P U y U

Q U y U k L

k k ki ii

L

k k ki ii

L

= +

= −

=

=

=

∑

∑

Re $ $ $ ,

Im $ $ $ , , ,... .

*

*

1

112

(4.91)

Dakle, problem koji je postavljen glasi: zadata je potrošnja svih M potrošača u razmatanom elektroenergetskom sistemu; odrediti (kvantifikovati) proizvodnje N elektrana tako da se pokrije potrošnja s gubicima u podsistemu prenosa (4.91),. ali s najmanjom cenom proizvodnje električne energije (4.90). Druga od gore pomenutih sloboda -- sloboda izbora naponskih prilika nije korišćena prilikom postavke ovog optimizacionog zadatka. Tako, problem naponskih prilika u sistemu se rešava saglasno s rešenjem koje je već opisano u okviru osnovnog zadatka bilansa (tokova) snaga -- fiksiranjem modula napona u balansnom čvoru (i, eventualno, u ostalim generatorskim čvorovima, i to po želji). Gore postavljeni problem je matematički formulisan u vidu problema minimuma funkcije (4.90), s ograničenjima (4.91). To je klasičan problem traženja vezanog ekstremuma funkcije. On se rešava formulacijom Lagrange-ove (proširene kriterijumske) funkcije:

,ˆˆˆImˆˆˆRe

)(

),..,,,;,...,,,,;,(

**∑ ∑

∑++

∑−+

+∑=

===∈

∈ ∈ ==

∈

Gk Gki

L

1ikikkki

L

1ikikkk

kkGk

k

kkkkk

UyUQUyUP

PcP

L21kL32kUGkP

µν

µνθΦ

(4.92)

i nalaženjem njenog apsolutnog minimuma. Pošto je to funkcija od (N+4L--2) nepoznate veličine, njen minimum je odreñen s isto toliko jednačina koje se dobijaju izjednačavanjem s nulom sledećih njenih izvoda:

∂∂∂∂

∂∂θ

∂∂ν

∂∂µ

Φ

Φ Φ

Φ Φ

Pk G

Uk L k L

k L k L

k

k k

k k

= ∈

= = = =

= = = =

0

0 2 3 0 2 3

0 12 0 12

; ,

, , ,... , , , ... ,

, , ,... , , , ,... .

(4.93)

Prilikom ustanovljavanja (N+4L--2) argumenta funkcije (4.92), uvažene su sledeće dve, već napomenute činjenice: 1 -- modul napona balansnog čvora -- U1 -- unapred je, po želji zadat, pošto se formulacijom razmatranog problema ne zalazi u optimizacioni problem vezan za izbor naponskih prilika u sistemu; 2 -- fazni stav modula napona jednog fazora napona u ma kom stacionarnom (naizmeničnom) režimu treba da se fiksira s ciljem


da se izabere trenutak početka razmatranja režima; to je modul fazora faznog napona (faze a) balansnog čvora, odnosno ugao θ1 je unapred poznat. Argumenti, tj. nepoznate veličine koje treba izračunati su:

• N nepoznatih snaga generatora Pk , k∈G; • 2L--2 nepoznata modula napona s njihovim faznim stavovima -- Uk, θk, k=2,3,...L; • 2L nepoznatih Lagrange-ovih multiplikatora -- ν µk k, (oni nisu od neposrednog

interesa).

Za njihovo rešenje na raspolaganju je isto toliko -- (N+4L--2) realnih, algebarskih, nelinearnih, simultanih jednačina (4.93). S ovim je formulisana jedna varijanta problema optimalnog bilansa snaga, tj., problema optimalnih tokova snaga. napomena: Gore opisani optimizacioni problem je postavljen u njegovoj najjednostavnijoj formi. Naime, prilikom njegove postavke nije voñeno računa o tome da proizvodnja elektrana (generatora) podleže donjim i gornjim granicama. Snage elektrana, ako ničim drugim nisu ograničene s donje strane, onda one svakako ne mogu biti manje od nule.49 S gornje strane, elektrana ne može raditi sa snagom većom nego što je ona za koju je elektrana konstruisana, odnosno većom nego što to dotok vode ili pare u odgovarajuću turbinu dozvoljavaju. Dakle, svakoj elektrani se moraju nametnuti ograničenja na njenu snagu proizvodnje P m -- s donje strane i P M s gornje strane. Ta ograničenja treba uključiti u matematički model problema, tj. ograničenja tipa jednakosti treba proširiti (4.91) i sa sledećim ograničenjima tipa nejednakosti:

P P P k Gmk

M≤ ≤ ∈, . (4.94)

Takvom formulacijom problema prevenirale bi se situacije da se u njegovom rešenju nañu snage izvan ograničenja (4.94). Formalizam za rešavanje optimizacionih problema s ograničenjima tipa nejednakosti izlazi iz okvira ove knjige.

4.4 Rezime četvrte glave

Energetski bilans je osnovni problem energetike, uopšte. On se raspreže na više potproblema -- bilanse energije po vrstama. U ovoj glavi je razmotren elektroenergetski bilans -- bilans električne energije. On je specifičan u odnosu na ostale energetske bilanse, zbog sledeća dva suštinska momenta:

1. Pošto se danas ne raspolaže s ekonomičnim tehničkim rešenjem za akumulaciju električne energije u dovoljno velikim količinama, to se taj bilans mora realizovati u svakom trenutku; dakle, elektroenergetski bilans se svodi na bilans snaga, čijom se integracijom u vremenu dobija onaj prvi.

2. Bilans snaga električne energije se realizuje u dve komponente -- bilans aktivnih i bilans reaktivnih snaga. Dakle, taj problem je dvodimenzioni (za razliku od situacije kod ostalih energetskih oblika).

Bilans snaga elektroenergetskih sistema je dinamički problem (menja se u vremenu). To je posledica permanentne promene potrošnje. Te promene je nužno pratiti odgovarajućom proizvodnjom, kao i kontrolom napona u prenosnoj mreži s ciljem da se,

49Vrednosti minimalnih i maksimalnih snaga elektrana rezultat su većeg broja, manje ili više složenih fenomena, ali, za ova razmatranja, sasvim je dovoljno samo imati saznanje o njima.


osim isporuke dovoljne količine, električna energija isporučuje potrošačima s odgovarajućim naponima. Radi automatskog praćenja te dinamike, u elektroenergetske sisteme su uvedene dve regulacije: 1 -- regulacija aktivnih snaga i učestanosti i 2 -- regulacija napona (i reaktivnih snaga). Oni su obrañeni u paragrafu 4.1 ("Regulacija elektroenergetskih sistema"). Vrlo značajan momenat problema bilansa snaga sastoji se od sledećeg: za zadovoljenje potrošnji svih potrošača, vrlo se precizno mogu unapred estimirati (proceniti) proizvodnje aktivnih i reaktivnih snaga svih generatora (pošto se gubici obe snage u sistemu mogu prilično dobro proceniti); ipak se problem bilansa snaga mora postaviti i rešiti pošto se čak i za poznate potrošnje i proizvodnje svih potrošača i generatora, ne mogu unapred znati i tokovi energije (snage) u podsistemu prenosa. Otud i čest naziv ovog problema: problem tokova snaga. Taj problem je postavljen u paragrafu 4.2 ("Postavka problema bilansa snaga"). Kao neposredan cilj postavke problema tokova snaga ustanovljeno je odreñivanje (kvantifikovanje) fazora (modula i faznih stavova) napona u svim čvorovima sistema. Taj skup veličina predstavlja stanje elektroenergetskog sistema, s obzirom da se iz njih može rekonstruisati celokupan režim sistema. Formalizam za postavku i rešenje problema bilansa (tokova) snaga zasniva se na instituciji balansnog čvora (paragraf 4.3 -- "Rešenje problema bilansa snaga"). Tom čvoru su asocirana četiri atributa: 1 -- on je balansni s obzirom na aktivne snage [njegovom (unapred nepoznatom) aktivnom snagom se namiruje ukupna potrošnja s gubicima aktivne snage, s jedne strane, i sumarna proizvodnja na svim ostalim generatorima s druge strane]; 2 -- on je balansni s obzirom na reaktivne snage (u smislu koji je analogan s prethodnim); 3 -- tom čvoru se daje uloga referentnog s obzirom na module napona u celom sistemu, tj. u njemu se unapred fiksira modul napona (u smislu da se bar iz jednog čvora u elektroenergetskom sistemu diktiraju naponske prilike -- globalni nivo napona -- s kojima se želi realizovati bilans snaga); 4 -- taj čvor je referentni s obzirom na fazne stavove (uglove) u kolu s kojim je zamenjen (ekvivalentiran, modelovan) razmatrani elektroenergetski sistem (ovaj momenat je inherentan modelovanju svakog električnog kola u prostoperiodičnom -- stacionarnom režimu). Rešenje problema tokova snaga je svedeno na primenu Newton(Raphson)-ovog iterativnog metoda za rešavanje sistema realnih, algebarskih, nelinearnih, simultanih jednačina, a taj metod na primenu Gauss-ovog metoda sukcesivnih aproksimacija, za rešavanje sistema isto takvih, ali sada linearnih jednačina. Defintivno, problem bilansa (tokova) snaga je genaralisan u vidu problema optimalnog bilansa snaga. Od više praktičnih varijanti, izabrana je ona da se bilans snaga realizuje s minimumom troškova proizvodnje električne energije. Osim optimizacije, na osnovnom problemu bilansa snaga zasniva se vrlo veliki broj praktičnih problema iz domena stacionarne elektroenergetike. To su: procena sigurnosti, procena (estimacija) tekućeg režima sistema, analiza stabilnosti sistema, itd.

Documents

4. PROBLEM ELEKTROENERGETSKOG BILANSAideje obe vrste regulacije: 1 -- regulacija aktivnih snaga i učestanosti i 2 -- regulacija napona (i reaktivnih snaga). Njihova suština prikazana