Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Zadatak 181 (Manuel, srednja škola)
Koliko iznosi zbroj rješenja jednadžbe ( ) ( ) ( )3 2
2 5 7 5 7 5 2 0?x x x⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − =
33 31 25 23. . . .
2 2 2 2A B C D− − − −
Rješenje 181
Ponovimo!
( ) ( ) ( )33 3 2 2 3
,2
3 3 .2 3
a b a b a a b b a b a a b a b b− = − ⋅ + ⋅ + + = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
( )2 2
, , .2
1,2
n a c a d b c a c a d b ca b a a b b n
b d b d b d b d
⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅+ = + ⋅ ⋅ + = + = − =
⋅ ⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.
0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =
Neka je
( )3 2
f x a x b x c x d= ⋅ + ⋅ + ⋅ +
polinom trećeg stupnja, a x1, x2, x3 njegove nultočke. Tada vrijede Vièteove formule:
1 2 3 1 2 1 3, ,
2.
3 1 2 3
b c dx x x x x x x x x x x x
a a a+ + = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ = −
1.inačica
( ) ( ) ( )zamjena3 2 3 2
2 5 7 5 7 5 2 25
0 7 7 2 0x x x tt
tx
t+ =
⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − = ⇒ ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ − = ⇒
( ) ( )3 2 3
2 2 7 7 0 2 1 7 1 0t t t t t t⇒ ⋅ − − ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 1 1 7 1 0 1 2 1 7 0t t t t t t t t t⇒ ⋅ − ⋅ + + − ⋅ ⋅ − = ⇒ − ⋅ ⋅ + + − ⋅ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )1 02 2
1 2 2 2 7 0 1 2 5 2 0 .2
2 5 2 0
tt t t t t t t
t t
− =⇒ − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ = ⇒ − ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⇒
⋅ − ⋅ + =
• Riješimo prvu linearnu jednadžbu.
1 0 1.1
t t− = ⇒ =
• Riješimo drugu kvadratnu jednadžbu.
2 , 5 , 22
2 2 5 2 022 5 2 0
42 , 5 , 2
2,3 2
a b c
t tt t
b b a ca b c t
a
= = − =
⋅ − ⋅ + =⋅ − ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒
− ± − ⋅ ⋅= = − = =
⋅
( ) ( )2
5 5 4 2 2 5 25 16 5 9
2,3 2,3 2,32 2 4 4t t t
− − ± − − ⋅ ⋅ ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⋅
2
5 3 82
22 2 25 3 4 4.12,3 5 3 24
3 23 3 34 4
8
4
2
4
tt t t
tt
t t t
+== = =
±⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− == = =
Vraćamo se zamjeni.
1 45 1 1 51 1zamjena
2 5 2 2 5 32 2
1 11 1 55 53 2 22
5
2 1
t xx x
t x x x
x xt x
x t
= = −+ = = −
= ⇒ ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − ⇒
+ = = −= =
+ =
−
4 41 1
3 3 .2 2
1 10 9
32 2
x x
x x
x x
= − = −
⇒ = − ⇒ = −
−= = −
Zbroj rješenja jednadžbe iznosi:
( )9 9 4 3 9
4 3 4 31 2 3 1 2 3 1 2 32 2 1 1 2
x x x x x x x x x+ + = − + − + − ⇒ + + = − − − ⇒ + + = − − − ⇒
8 6 9 23.
1 2 3 1 2 32 2x x x x x x
− − −⇒ + + = ⇒ + + = −
Odgovor je pod D.
2.inačica
Preoblikujemo zadanu jednadžbu i uporabimo Vièteovu formulu.
( ) ( ) ( )3 2
2 5 7 5 7 5 2 0x x x⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − = ⇒
( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 2
2 3 5 3 5 5 7 2 5 5 7 5 2 0x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + − = ⇒
( ) ( ) ( )3 2 2
2 15 75 125 7 10 25 7 5 2 0x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + + ⋅ + − = ⇒
3 2 22 30 150 250 7 70 175 7 35 2 0x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ − ⋅ − + ⋅ + − = ⇒
3 23 2 2 23 87 108 0
2 23 87 108 0 .2 , 23 , 87 , 108
x x xx x x
a b c d
⋅ + ⋅ + ⋅ + =⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + = ⇒
= = = =
Sada je:
23.
1 2 3 1 2 3 2
bx x x x x x
a+ + = − ⇒ + + = −
Odgovor je pod D.
3.inačica
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2
2 5 7 5 7 5 2 0 2 5 2 7 5 7 5 0x x x x x x⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − = ⇒ ⋅ + − − ⋅ + + ⋅ + = ⇒
( )( ) ( ) ( )( )3
2 5 1 7 5 5 1 0x x x⇒ ⋅ + − − ⋅ + ⋅ + − = ⇒
3
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2
2 5 1 5 5 1 1 7 5 5 1 0x x x x x⇒ ⋅ + − ⋅ + + + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − = ⇒
( ) ( )( ) ( ) ( )2
2 5 1 5 5 1 7 5 4 0x x x x x⇒ ⋅ + − ⋅ + + + + − ⋅ + ⋅ + = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2
2 4 10 25 5 1 7 5 4 0x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + − ⋅ + ⋅ + = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2
2 4 11 31 7 5 4 0x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + − ⋅ + ⋅ + = ⇒
( ) ( ) ( )( )24 2 11 31 7 5 0x x x x⇒ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ + = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2 24 2 22 62 7 35 0 4 2 15 27 0x x x x x x x⇒ + ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ − = ⇒ + ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⇒
4 0.
22 15 27
x
x x
+ =⇒
⋅ + ⋅ +
• Riješimo prvu linearnu jednadžbu.
4 0 4.1
x x+ = ⇒ = −
• Riješimo drugu kvadratnu jednadžbu.
2 , 15 , 272
2 2 15 27 022 15 27 0
42 , 15 , 27
2,3 2
a b c
x xx x
b b a ca b c x
a
= = =
⋅ + ⋅ + =⋅ + ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒
− ± − ⋅ ⋅= = = =
⋅
215 15 4 2 27 15 225 216 15 9
2,3 2,3 2,32 2 4 4x x x
− ± − ⋅ ⋅ − ± − − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⋅
15 3 123
22 2 215 3 4 4.92,3 15 3 184
12
4
18
43 23 3 34 4
xx x x
xx
x x x
− += −= = − = −
− ±⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− − = −= = − = −
Zbroj rješenja jednadžbe iznosi:
( )9 9 4 3 9
4 3 4 31 2 3 1 2 3 1 2 32 2 1 1 2
x x x x x x x x x+ + = − + − + − ⇒ + + = − − − ⇒ + + = − − − ⇒
8 6 9 23.
1 2 3 1 2 32 2x x x x x x
− − −⇒ + + = ⇒ + + = −
Odgovor je pod D.
Vježba 181
Koliko iznosi umnožak rješenja jednadžbe ( ) ( ) ( )3 2
2 5 7 5 7 5 2 0?x x x⋅ + − ⋅ + + ⋅ + − =
. 54 . 54 . 108 . 108A B C D− −
Rezultat: B.
Zadatak 182 (Marljivi dečki, Magnusgymnasium)
Riješi jednadžbu 2
2 3 2 0.x x⋅ − ⋅ − =
Rješenje 182
4
Ponovimo!
Za realni broj x njegova je apsolutna vrijednost (modul) broj │x│ koji određujemo na ovaj način:
, .
, 0
0
x xx
x x
≥=
− <
Ako je broj x pozitivan ili nula, tada je on jednak svojoj apsolutnoj vrijednosti. Za svaki x, x ≥ 0,
vrijedi │x│= x.
Ako je x negativan broj, njegova apsolutna vrijednost je suprotan broj – x koji je pozitivan. Za svaki x,
x < 0, je │x│= – x.
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zadanu kvadratnu jednadžbu preoblikujemo u dvije: jednu u slučaju kada je x ≥ 0, a drugu za x < 0.
• slučaj x ≥ 0
20 ,2 2 3 2 0
2 3 2 02
2 , 3 , 22 3 2 0
x x xx x
x xa b cx x
≥ =⋅ − ⋅ − =
⇒ ⋅ − ⋅ − = ⇒ ⇒= = − = −⋅ − ⋅ − =
2 , 3 , 2
24
1,2 2
a b c
b b a cx
a
= = − = −
⇒ ⇒− ± − ⋅ ⋅
=⋅
( ) ( ) ( )2
3 3 4 2 2 3 9 16 3 25
1,2 1,2 1,22 2 4 4x x x
− − ± − − ⋅ ⋅ − ± + ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⋅
3 5 82
11 1 13 5 4 411,2 3 5 24
2 22 2 24 4
8
4
2
4
xx x x
xx
x x x
+== = =
±⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− = −= = − = −
21uvjet
0 nema sm2.1 1
2isla
2
x
xxx
=
⇒ ⇒ ⇒ == −≥
• slučaj x < 0
( )0 ,
2 22 3 2 0 2 3 2 0
22 3 2 0
x x xx x x x
x x
< = −
⇒ ⋅ − ⋅ − − = ⇒ ⋅ + ⋅ − = ⇒⋅ − ⋅ − =
2 , 3 , 22
2 3 2 02
42 , 3 , 2
1,2 2
a b c
x xb b a c
a b c xa
= = = −
⋅ + ⋅ − =⇒ ⇒ ⇒
− ± − ⋅ ⋅= = = − =
⋅
( )2
3 3 4 2 2 3 9 16 3 25
1,2 1,2 1,22 2 4 4x x x
− ± − ⋅ ⋅ − − ± + − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⋅
5
3 5 21
1 1 13 5 4 4 1 21,2 3 5 84
222 2 24 4
2
4
8
4
x x xx
x
xx x x
− += = =
=− ±⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
− −= −= = − = −
nema smislauvjet
0
1
1 2 2.2
22
x
xx
x
=⇒ ⇒ ⇒ =
= −<
−
Vježba 182
Riješi jednadžbu 2
2 3 2.x x⋅ − ⋅ =
Rezultat: x1 = 2, x2 = – 2. Zadatak 183 (4A, 4B, TUPŠ)
Riješite nejednadžbu ( ) ( )2
2 1 3 2 1 2 0x x⋅ − + ⋅ ⋅ − + > i napišite rješenja uz pomoć intervala.
Rješenje 183
Ponovimo!
Metoda testiranja točaka
Kako odrediti je li kvadratna funkcija 2
y a x b x c= ⋅ + ⋅ + pozitivna, negativna ili nula?
• Najprije odredimo njezine realne nultočke tako da riješimo kvadratnu jednadžbu
20.a x b x c⋅ + ⋅ + =
• Nultočke dijele brojevni pravac (skup realnih brojeva, R) na intervale.
• Iz svakog intervala izaberemo po jedan x i uvrstimo ga u 2
0.a x b x c⋅ + ⋅ + = Predznak
dobivene vrijednosti određuje predznak za cijeli interval.
• Intervali koji imaju traženi predznak rješenje su problema.
( ) ( )2 2 2
2 , ., 0,a bn n n
a b a a b b a b a b a b cc c
− = − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ > > ⇒ >
Za broj x0 kažemo da je nultočka (korijen) funkcije f ako vrijedi
( ) .00
f x =
Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.
0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Neka je U univerzalni skup, te A i B proizvoljni skupovi koji su podskupovi skupa U. Tada je:
A B∪ unija skupova A i B,
A∪ B = { }:x U x A ili x B∈ ∈ ∈ unija skupova A i B
Unija dva ili više skupa je skup koji se sastoji od svih elemenata zadanih skupova.
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
.a c a d b c
b d b d
⋅ − ⋅− =
⋅
6
Preoblikujemo zadanu nejednadžbu.
( ) ( )2 2
2 1 3 2 1 2 0 4 4 1 6 3 2 0x x x x x⋅ − + ⋅ ⋅ − + > ⇒ ⋅ − ⋅ + + ⋅ − + > ⇒
12 2 2
4 4 6 0 4 4 6 0 2 02 43x x x x x x x x⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ > ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ > ⇒ ⋅ + ⋅+ − >+ ⇒
/ : 22 2
4 2 0 2 0.x x x x⇒ ⋅ + ⋅ > ⇒ ⋅ + >
Zatim nađemo nultočke kvadratne jednadžbe.
( )002 12 0 2 1 0
2 1 0 2 1
xxx x x x
x x
==⋅ + = ⇒ ⋅ ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒
⋅ + = ⋅ = −
/ : 2
010
1 .12 1
2 2
xx
x x
==
⇒ ⇒⋅ = − = −
Nultočke ucrtamo na os x.
0-
1
2
+ ∞∞∞∞- ∞∞∞∞
EF
U točkama 1
i 02
− vrijedi jednakost =, pa one nisu rješenja naše stroge nejednakosti >. Zato ih nismo
popunili.
• Odaberemo x manji od 1
,2
− na primjer x = – 1 i uvrstimo ga u 2
2 .y x x= ⋅ +
( ) ( )1 2
2 1 1 2 1 1 2 1 1 .2
20
xy y y y
y x x
= −⇒ = ⋅ − + − ⇒ = ⋅ − ⇒ = − ⇒ =
= ⋅>
+
Rezultat je pozitivan što znači da je 2
2y x x= ⋅ + pozitivno na cijelom intervalu 1
, .2
− ∞ −
Upišimo + iznad tog intervala 1
, .2
− ∞ −
+
0-
1
2
+ ∞∞∞∞- ∞∞∞∞
EF
• Odaberemo x između 1
i 0,2
− na primjer 1
4x = − i uvrstimo ga u
22 .y x x= ⋅ +
1 21 1 1 1 1 1
4 2 24 4 16 4
216 42
2
xy y y
y x x
= −⇒ = ⋅ − + − ⇒ = ⋅ − ⇒ = ⋅ − ⇒
= ⋅ +
1 1 1 2 1.
8 4 80
8y y y
−⇒ = − ⇒ = ⇒ <= −
Rezultat je negativan što znači da je 2
2y x x= ⋅ + negativan na cijelom intervalu 1
, 0 .2
−
7
Upišimo - iznad tog intervala1
, 0 .2
−
-+
0-
1
2
+ ∞∞∞∞- ∞∞∞∞
EF
• Odaberemo x veći od 0, na primjer x = 1 i uvrstimo ga u 2
2 .y x x= ⋅ +
1 22 1 1 2 1 1 2 3 01 .
22
xy y y y
y x x
=⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅ + ⇒ = + =
= ⋅>⇒
+
Rezultat je pozitivan što znači da je 2
2y x x= ⋅ + pozitivno na cijelom intervalu 0, .+ ∞
Upišimo + iznad tog intervala 0, .+ ∞
+-+
0-
1
2
+ ∞∞∞∞- ∞∞∞∞
EF
Nejednadžba
22 0,x x⋅ + >
odnosno polazna nejednadžbe
( ) ( )2
2 1 3 2 1 2 0x x⋅ − + ⋅ ⋅ − + >
vrijedi za
1i 0.
2x x< − >
Zapis rješenje uz pomoć intervala glasi:
1, 0, .
2x ∈ − ∞ − + ∞∪
+-
+
0-
1
2
+ ∞∞∞∞- ∞∞∞∞
EC
Vježba 183
Riješite nejednadžbu ( ) ( )2
2 1 3 2 1 2 0x x⋅ − + ⋅ ⋅ − + < i napišite rješenja uz pomoć intervala.
Rezultat: 1
, 0 .2
−
Zadatak 184 (Zvone, tehnička škola)
Odredite sva realna rješenja jednadžbe 4
5 135 0.y y⋅ − ⋅ =
Rješenje 184
Ponovimo!
8
( )1
:, , .n n n n m n m
a b a b a a a a a−
⋅ = ⋅ = =
( ) ( )3 3.
2 2a b a b a a b b− = − ⋅ + ⋅ +
Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.
0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Diskriminanta kvadratne jednadžbe
20a x b x c⋅ + ⋅ + =
je broj
24 .D b a c= − ⋅ ⋅
• Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja.
• Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.
• Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja.
( )/ :4 4 4 3
5 135 0 5 135 0 27 0 1 275 0y y y y y y y y⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒
( )( ) ( ) ( )( )3 21 3 0 1 3 1 3 3 0y y y y y y⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2 21 3 1 3 9 0 1 3 9 3 1 0y y y y y y y y⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + = ⇒
0
1 3 0 .
29 3 1 0
y
y
y y
=
⇒ − ⋅ =
⋅ + ⋅ + =
Prva jednadžba
rješenje je0 0 .1
realnoy y= ⇒ =
Druga jednadžba
( )/ :1
1 3 0 3 1 3 3 rješenje je realno1 .3
y y y y−− ⋅ = ⇒ − ⋅ = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ =
Treća jednadžba
2 9 , 3 , 12 29 3 1 09 3 1 0 3 4 9 1
29 , 3 , 1 4
a b cy yy y D
a b c D b a c
= = =⋅ + ⋅ + =
⋅ + ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒ = − ⋅ ⋅ ⇒= = = = − ⋅ ⋅
0 rješenja nisu realna već konjugirano kompl9 36 27 eksni bro vi.jeD D⇒ = − ⇒ = <−
Vježba 184
Odredite sva realna rješenja jednadžbe 4
2 16 0.y y⋅ − ⋅ =
Rezultat: 1
0, .2
Zadatak 185 (Ante, tehnička škola)
Kvadratna jednadžba x2 + b · x + c = 0 ima dvostruko rješenje x1 = x2 = – 5. Koliki je
koeficijent b te kvadratne jednadžbe?
Rješenje 185
Ponovimo!
9
( )21 2 2
, .2,n m n m
a a a a a a b a a b b+
= ⋅ = + = + ⋅ ⋅ +
( )22 2
2 , 0, .0n
a a b b a b a n a− ⋅ ⋅ + = − ≠ ⇒ =
Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) ima oblik
( )2
,f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +
gdje su a ≠ 0, b i c realni brojevi. Broj a naziva se vodeći koeficijent polinoma drugog stupnja, b
linearni koeficijent, a c slobodni koeficijent polinoma.
Poučak o jednakosti polinoma:
Dva polinoma jednaka su ako i samo ako su istog stupnja i ako su im koeficijenti uz iste potencije
jednaki.
Faktorizacija kvadratnog trinoma
Svaki se kvadratni trinom može napisati u obliku
( ) ( )21 2
,a x b x c a x x x x⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ −
gdje su x1 i x2 rješenja pripadne kvadratne jednadžbe a · x2 + b · x + c = 0.
Graf kvadratne funkcije
( )2
, 0f x a x b x c a= ⋅ + ⋅ + ≠
je parabola
2.y a x b x c= ⋅ + ⋅ +
Tjeme T najniža je točka parabole i parabola je otvorena prema gore ako je a > 0.
Tjeme T najviša je točka parabole i parabola je otvorena prema dolje ako je a < 0.
Za broj x0 kažemo da je nultočka (korijen) funkcije f ako vrijedi
( ) .00
f x =
Kvadratna funkcija (polinom drugog stupnja)
( )2
,f x a x b x c= ⋅ + ⋅ +
ima ekstrem u točki s apscisom
0 2.
bx
a= −
⋅
Ekstrem je minimum ako je a > 0, maksimum ako je a < 0.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Diskriminanta kvadratne jednadžbe
20a x b x c⋅ + ⋅ + =
je broj
24 .D b a c= − ⋅ ⋅
• Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna rješenja.
• Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.
• Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja.
1.inačica
Kvadratna jednadžba x2 + b · x + c = 0 ima dvostruko rješenje x1 = x2 = – 5 pa vrijedi rastav.
( ) ( ) 51
21 22
x b x c x x x x x x+ ⋅ = = −+ = − ⋅ − ⇒ ⇒
( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2
5 5 5 5x b x c x x x b x c x x+ ⋅ + = − − ⋅ − − ⇒ + ⋅ + = + ⋅ + ⇒
10
( )jednakost
polino
22 2 25 10 2
ma5x b x c x x b x c x x⇒ + ⋅ + = + ⇒ + ⋅ + = + ⋅ + ⇒ ⇒
1010 .
25rješenje
bb
c
=⇒ ⇒ =
=
2.inačica
Pripadna kvadratna funkcija dana je pravilom
( )( )
22
.1 , ,
f x x b x cf x x b x c
a b b c c
= + ⋅ += + ⋅ + ⇒
= = =
Njezin graf je parabola okrenuta otvorom uvis jer je a = 1 > 0.
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
- 5
y
x
A
Budući da kvadratna jednadžba ima dvostruko rješenje x1 = x2 = – 5, kvadratna funkcija ima dvostruku
nultočku x0 = – 5 pa apscisa tjemena glasi x0 = – 5.
Dalje imamo:
15 5 5 5 10.
5 2 1 2 2 2/ 2
0 20
a b b b b
ab
x
bx
=⇒ ⇒ − == − ⋅
⋅− ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= − ⋅
3.inačica
Odredimo koeficijente kvadratne jednadžbe.
22 0
0 .1 , ,
x b x cx b x c
a b b c c
+ ⋅ + =+ ⋅ + = ⇒
= = =
Budući da je x = – 5 rješenje jednadžbe, uvrstit ćemo u nju tu vrijednost.
( ) ( )2
205 5 0 25 5 0 5 25.
5
x b x cb c b c c b
x
+ ⋅ + =⇒ − + ⋅ − + = ⇒ − ⋅ + = ⇒ = ⋅ −
= −
Kvadratna jednadžba ima dvostruko realno rješenje pa njezina diskriminanta mora biti jednaka nuli.
22 24 0
4 1 0 4 0.1
b a cb c b c
a
− ⋅ ⋅ =⇒ − ⋅ ⋅ = ⇒ − ⋅ =
=
Iz sustava jednadžbi dobijemo vrijednost koeficijenta b.
11
( )metoda
zamjene
5 25 2 24 5 25 0 20 100 0
24 0
c bb b b b
b c
= ⋅ −⇒ ⇒ − ⋅ ⋅ − = ⇒ − ⋅ + = ⇒
− ⋅ =
( )2
10 0 10 0 10.b b b⇒ − = ⇒ − = ⇒ =
Vježba 185
Kvadratna jednadžba x2 + b · x + c = 0 ima dvostruko rješenje x1 = x2 = – 4. Koliki je
koeficijent b te kvadratne jednadžbe?
Rezultat: b = 8.
Zadatak 186 (Ispravak zadatka)
Riješite jednadžbu: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 3 4 ... 11 385.x x x x x+ + + + + + + + + + =
U zbirci je zadatak napisan kao ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 3 4 .. 3. 1 51 .x x x x x+ + + + + + + + + + =
Zahvaljujem kolegi Tiboru na uočenoj pogrešci.
Rješenje 186
Ponovimo!
( )( )12 2 2
2 1 2, 3 4 ...2
.n n
a b a a b b n⋅ +
+ = + ⋅ ⋅ + + + + + + =
( ) ( )1 2 12 2 2 2 21 2 3 4 ...
6.
n n nn
⋅ + ⋅ ⋅ ++ + + + + =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2
1 2 3 4 ... 11 385x x x x x+ + + + + + + + + + = ⇒
2 2 2 2 22 1 4 4 6 9 8 16 ... 22 121 385x x x x x x x x x x⇒ + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ + + + + ⋅ + = ⇒
( ) ( )2
11 2 4 6 8 ... 22 1 4 9 16 ... 121 385x x x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + + + + + = ⇒
( ) ( )2 2 2 2 2 211 2 1 2 3 4 ... 11 1 2 3 4 ... 11 385x x⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + + + + + + + + + + + = ⇒
( ) ( ) ( )11 11 1 11 11 1 2 11 1211 2 385
2 6x x
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ +⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⇒
11 12 11 12 23 11 12 11 232 211 2 385 11 385
122
2 62 6x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + = ⇒
2 211 11 12 11 2 23 385 11 132 506 385x x x x⇒ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⇒
2 211 132 506 385 0 11 132 121 0x x x x⇒ ⋅ + ⋅ + − = ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⇒
22 2 12 11 0
11 132 121 0 12/ : 11 01 , 1
12 , 11
1x x
x x x xa b c
+ ⋅ + =⇒ ⋅ + ⋅ + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ ⇒
= = =
12
1 , 12 , 112
12 12 4 1 11 12 144 442
4 1,2 1,22 1 21,2 2
a b c
x xb b a c
xa
= = =− ± − ⋅ ⋅ − ± −
⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=
⋅
12 10 2
1 112 100 12 10 2 21,2 1,2 12 10 222 2
2 22 2
x x
x x
x x
− += = −
− ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒
− −= = −
2
2
22
2
11 1.
112
2
x x
xx
= − = −⇒ ⇒
= −= −
Vježba 186
Riješite jednadžbu: ( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 3 5.x x x+ + + + + =
Rezultat: 1, 3.1 2
x x= − = −
Zadatak 187 (Lara, gimnazija)
Automobil i autobus krenuli su istodobno na put dug 360 km. Automobil je u prosjeku vozio
15 km / h brže od autobusa pa je stigao 48 minuta ranije. Kolika je bila prosječna brzina autobusa?
Rješenje 187
Ponovimo!
11 60 min 1, .min
60h h= =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
48 4360 , , 15 / , 48 min
60
48
60 5s km v v v km h t h h hab b
= = + ∆ = = = =
Vremena za koja automobil i autobus prijeđu put s iznose:
• automobil
15
s st ta a
v va b
= ⇒ =+
• autobus
.s
tb v
b
=
Budući da je automobil stigao ∆t vremena ranije od autobusa, vrijedi:
13
4 360 360 4
15 5 15 5
s st t tab v v v v
b b b b
− = ∆ ⇒ − = ⇒ − = ⇒+ +
( )( ) ( )
5 15/
4
360 360 4450 15 450 15
15 5v v v vb b b bv v
b b
v vb b⇒ − = ⇒ ⋅ + − ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ++⋅ ⇒
+
2 2450 6 750 450 15 450 6 750 1450 5v v v v v v
b b b b b bv vb b
⇒ ⋅ + − ⋅ = + ⋅ ⇒ = +− ⋅+ ⋅⋅ ⇒
2 2 26 750 15 15 6 750 15 6750 0v v v v v v
b b b b b b⇒ = + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ − = ⇒
( )
1 , 15 , 67502
15 6 750 02
41 , 15 , 6 750
1,2 2
a b cv vb b
b b a cva b cb a
= = = −+ ⋅ − =
⇒ ⇒ ⇒− ± − ⋅ ⋅== = = −
⋅
( )( )
( )2
15 15 4 1 6 750 15 225 27 000
1,2 1,22 1 2v vb b
− ± − ⋅ ⋅ − − ± +⇒ = ⇒ = ⇒
⋅
( ) ( )( )
( )
15 165
115 27 225 15 165 2
1,2 1,2 15 1652 2
2 2
vb
v vb b
vb
− +=
− ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒
− −=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
150
2
180 nema smisla
2
150751 12 1
75 .180 90
22 22
v v vb b b kmvb hvv v bb b
= = =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =
= −= − = −
Prosječna brzina autobusa bila je 75 km / h.
v + 15v
.
Vježba 187
Automobil i autobus krenuli su istodobno na put dug 360 km. Autobus je u prosjeku vozio
15 km / h sporije pa je automobil stigao 48 minuta ranije. Kolika je bila prosječna brzina autobusa?
Rezultat: 75 km / h.
Zadatak 188 (Lara, gimnazija)
Lara ☺ do posla vozi 45 km. Ako poveća prosječnu brzinu za 5 km / h, stići će 6 minuta ranije
nego obično. Odredite kojom prosječnom brzinom obično vozi na posao.
Rješenje 188
Ponovimo!
11 60 min 1, .min
60h h= =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
,s
s v t tv
= ⋅ ⇒ =
gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.
14
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
6 145 , , 5 / , 6 min
1 2 1 60 10
6
60s km v v v km h t h h h= = + ∆ = = = =
Vremena za koja Lara vozi sporije ili brže na putu s iznose:
• sporija vožnja brzinom v1
11
st
v=
• brža vožnja brzinom v2
.2 2 5
2 1
s st t
v v= ⇒ =
+
Budući da je bržom vožnjom stigla ∆t vremena ranije nego obično, vrijedi:
45 45 1
1 2 5 5 101 1 1 1
s st t t t
v v v v− = ∆ ⇒ − = ∆ ⇒ − = ⇒
+ +
( ) ( ) ( )/ 1045 45 1
450 5 450 51 1 1 15 10 1
11
1
5v vv v v vv v
⋅ ⋅ ⋅ +⇒ − = ⇒ ⋅ + − ⋅ = ⋅ + ⇒+
2 2450 2 250 450 5 450 2 250 5
1 1 1 1 1 1450
1 1v v v v v vv v⇒ ⋅ + − ⋅ = + ⋅ ⇒ =⋅ +−+ ⋅⋅ ⇒
2 2 22 250 5 5 2 250 5 2 250 0
1 1 1 1 1 1v v v v v v⇒ = + ⋅ ⇒ + ⋅ = ⇒ + ⋅ − = ⇒
( )
1 , 5 , 2 2502
5 2 250 01 1 2
41 , 5 , 2 250
1 1,2 2
a b cv v
b b a ca b c v
a
= = = −+ ⋅ − =
⇒ ⇒ ⇒− ± − ⋅ ⋅= = = − =
⋅
( )( )
( )2
5 5 4 1 2 250 5 25 9 000
1 11,2 1,22 1 2v v
− ± − ⋅ ⋅ − − ± +⇒ = ⇒ = ⇒
⋅
( ) ( )( )
( )
5 95
1 15 9 025 5 95 21 11,2 1,2 5 952 2
1 2 2
v
v v
v
− +=
− ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒
− −=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
90451 11 1 12 1
45 .1100 50
1 21 1
90
2
100 nema smisl2 222
a
v v vkm
vhvv v
= = =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ =
= −= − = −
Prosječna brzina je obično 45 km / h.
15
Vježba 188
Ana do posla vozi 45 km. Ako poveća prosječnu brzinu za 5 km / h, stići će 6 minuta ranije
nego obično. Odredite iznos veće brzine kojom vozi na posao.
Rezultat: 50 km / h.
Zadatak 189 (Vibrato et pizzicato ☺☺☺☺, gimnazija)
Riješi jednadžbu: ( ) ( )2 2 2
.x a x a b b x a b− ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅
Rješenje 189
Ponovimo!
( ),1
.0, ,,2mn m n m n n m
a a a a a a a a a a+ ⋅
= ⋅ = = = ≥
( ) ( ),2 22 2 2
2 .a a a b a a b b− = + = + ⋅ ⋅ +
( ) .2 2 2 2
2 2 2a b c a b c a b a c b c+ + = + + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( ) ( )2 2 2 2 2 3 2 3
x a x a b b x a b x a x a b b x a b− ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒
( )2 2 3 2 3 2 2 2 3 30 0x a x a b b x a b x a b x a b a b⇒ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = ⇒ − + ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒
( )
( )
2 2 2 3 30
2 2 3 31 , ,
x a b x a b a b
a b a b c a b a b
− + ⋅ + ⋅ − ⋅ =
⇒ ⇒
= = − + = ⋅ − ⋅
( )2 2 3 31 , ,
24
1,2 2
a b a b c a b a b
b b a cx
a
= = − + = ⋅ − ⋅
⇒ ⇒− ± − ⋅ ⋅
=⋅
( )( ) ( )( ) ( )2
2 2 2 2 3 34 1
1,2 2 1
a b a b a b a b
x
− − + ± − + − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
⇒ = ⇒⋅
( ) ( )2
2 2 2 2 3 34
1,2 2
a b a b a b a b
x
+ ± + − ⋅ ⋅ − ⋅
⇒ = ⇒
2 2 4 2 2 4 3 32 4 4
1,2 2
a b a a b b a b a bx
+ ± + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⇒ = ⇒
2 2 4 2 2 4 3 2 2 34 4 2 4
1,2 2
a b a a b b a b a b a bx
+ ± + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⇒ = ⇒
16
( ) ( )2
2 2 2 2 2 2 2 22 2
1,2 1,22 2
a b a a b b a b a a b b
x x
+ ± − ⋅ ⋅ − + ± − ⋅ ⋅ −
⇒ = ⇒ = ⇒
( )
( )
2 2 2 22 2 2 22
2
1 12 2
2 2 2 22 2 2 222
2 22 2
a b a a b ba b a a b b
x x
a b a a b ba b a a b bx
x
+ + − ⋅ ⋅ −+ + − ⋅ ⋅ −
= =
⇒ ⇒ ⇒
+ − + ⋅ ⋅ ++ − − ⋅ ⋅ −=
=
2 2 2 22 2
1 12 2
2 2 2 22 2
2 22 2
2 2
2 2
a a a b a a a bx x
b a b b
b b
b a b bx
ax
a
+ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅= =
⇒ ⇒ ⇒
+ −
−+ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ += =
( )
( )
( )
( )
222 2
1 1 12 2
2 22 22 22 2
2
2
22
2
a a b a a ba a bx x x
b a b b a ba b b x xx
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −⋅ − ⋅ ⋅= = =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ + ⋅ = ==
( )
( )
1.
2
x a a b
x b a b
= ⋅ −⇒
= ⋅ +
Vježba 189
Riješi jednadžbu: ( ) ( )2 2 2
.x a a b x b x a b+ ⋅ ⋅ − = ⋅ + ⋅
Rezultat: ( ) ( ), .1 2
x a a b x b a b= ⋅ − = ⋅ +
Zadatak 190 (Vibrato et pizzicato ☺☺☺☺, gimnazija)
Riješi jednadžbu:
2 2 2
.2
x b x a b a x x a
x a b xx a x b x a b
+ + − − ⋅ +− =
− −− ⋅ − ⋅ + ⋅
Rješenje 190
Ponovimo!
( ) ( )2 2 2
0, ., ,a b a b a b a a a a b a b+ ⋅ − = − = ≥ ⋅ = ⋅
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
metoda
grupir
2 2
2 a ja
2
n
x b x a b a x x a
x a b xx a x b x a b
+ + − − ⋅ +− = ⇒ ⇒
− −− ⋅ − ⋅ + ⋅
17
( ) ( )
2 2 2
2
x b x a b a x x a
x a b xx a x b x a b
+ + − − ⋅ +⇒ − = ⇒
− −− ⋅ + − ⋅ + ⋅
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
x a x a
x b x a b a x x a x b x a b a x x a
x a x x a b x a b x x a x b b x
+ + − − ⋅ + + + − − ⋅ +⇒ − = ⇒ − = ⇒
− ⋅ − − ⋅ − ⋅ −− − − ⋅ −−
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0x b x a b a x x a x b x a b a x x a
x a x a x b b x x a x a x b b x
+ + − − ⋅ + + + − − ⋅ +⇒ − = ⇒ − − = ⇒
− − ⋅ − − − − ⋅ − −
( ) ( )
2 2 2
0.x b x a b a x x a
x a x a x b x b
+ + − − ⋅ +⇒ − + =
− − ⋅ − −
Rasprava! Budući da nazivnik ne smije biti jednak nuli, slijedi:
0.
0
x a x a
x b x b
− ≠ ≠⇒
− ≠ ≠
Dalje pišemo:
( ) ( )
2 2 2
0x b x a b a x x a
x a x a x b x b
+ + − − ⋅ +− + = ⇒
− − ⋅ − −
( ) ( )( ) ( )
2 2
/
2
0x b x a b a x x a
x a x a x bx a
x bx b
+ + − − ⋅ +⇒ − + = ⇒
− − ⋅⋅ − ⋅ −
− −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
0x b x b x a b a x x a x a⇒ + ⋅ − − + − − ⋅ + + ⋅ − = ⇒
2 2 2 2 2 2 20x b x a b a x x a⇒ − − − + + ⋅ + − = ⇒
2 2 2 22 2 2 2 2 20 0a a x x a a a x x ax b x b⇒ − + ⋅ + − = ⇒ − + ⋅ + −− + =− ⇒
2 22 02 2
2 02
1 , , 2
x a x ax a x a
a b a c a
+ ⋅ − ⋅ =⇒ + ⋅ − ⋅ = ⇒ ⇒
= = = − ⋅
( )2 2 21 , , 2 4 1 2
2 1,24 2 11,2 2
a b a c a a a a
xb b a c
xa
= = = − ⋅ − ± − ⋅ ⋅ − ⋅
⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅
=⋅
2 2 28 9 3
1,2 1,2 1,22 2 2
a a a a a a ax x x
− ± + ⋅ − ± ⋅ − ± ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
3 2
1 1 12 2
3 4
2 2 22 2
2
2
4
2
a a a ax x x
a a a ax x x
− + ⋅ ⋅ ⋅= = =
⇒ ⇒ ⇒ ⇒− − ⋅ ⋅ ⋅
= = − = −
18
nije rješenje zbog rasp1
2 .2
2
ravex ax a
x a
=⇒ ⇒ = − ⋅
= − ⋅
Vježba 190
Riješi jednadžbu:
2 2 2
.2
x b x a x a b a x
x a b x x a x b x a b
+ + + − − ⋅= +
− − − ⋅ − ⋅ + ⋅
Rezultat: 2 .x a= − ⋅
Zadatak 191 (2B, TUPŠ)
Riješi jednadžbu pri čemu su a i b realni brojevi: ( )2 2 2 20.a b x a b x a⋅ ⋅ − + ⋅ + =
Rješenje 191
Ponovimo!
( ) ( ), , ,2 2 1
.mn m n m n n m
a a a a a a a a a+ ⋅
− = = ⋅ = =
( ) ( )2 22 2 2 2 2
2 2, , ., 0a b a a b b a a b b a b a a a+ = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = − = ≥
.
na n m
ama
−=
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( )( )
( )
2 2 2 20
2 2 2 20
2 2 2, ,
a b x a b x a
a b x a b x a
a a b b a b c a
⋅ ⋅ − + ⋅ + =
⋅ ⋅ − + ⋅ + = ⇒ ⇒
= ⋅ = − + =
( )2 2 2, ,
24
1,2 2
a a b b a b c a
b b a cx
a
= ⋅ = − + =
⇒ ⇒− ± − ⋅ ⋅
=⋅
( )( ) ( )( )2
2 2 2 2 24
1,2 22
a b a b a b a
x
a b
− − + ± − + − ⋅ ⋅ ⋅
⇒ = ⇒⋅ ⋅
( )2
2 2 2 2 2 24
1,2 22
a b a b a b
x
a b
+ ± + − ⋅ ⋅
⇒ = ⇒⋅ ⋅
( ) ( )2 2
2 2 2 2 2 2 2 22 4
1,2 22
a b a a b b a b
x
a b
+ ± + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅
⇒ = ⇒⋅ ⋅
19
2 2 4 2 2 4 2 22 4
1,2 22
a b a a b b a bx
a b
+ ± + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅⇒ = ⇒
⋅ ⋅
( )2
2 2 2 22 2 4 2 2 4
2
1,2 1,22 22 2
a b a ba b a a b b
x x
a b a b
+ ± −+ ± − ⋅ ⋅ +
⇒ = ⇒ = ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⋅
( )( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 21 2
21,2 2 2 2 2 22
2 22
a b a b
xa b a b
a bx
a b a b a b
x
a b
+ + −
=+ ± −
⋅ ⋅⇒ = ⇒ ⇒
⋅ ⋅ + − −
=
⋅ ⋅
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 12 2 22 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 22
2
2 2
2 2
a b a b a a a ax x x
a b a b a b
a b a b b b b bx x x
a b a b a b
b b
a a
+ + − + += = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ − + + + += = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+
−
⋅
−
22
2
22
22
1 12 2 1 22.
2 1222 22
22
2
a
a a ax x x
a b b b
b xx xa
a b a
b
b
⋅ ⋅= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ ⇒ ⇒
⋅ ⋅ == =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Vježba 191
Riješi jednadžbu pri čemu su a i b realni brojevi: 2 2 2 2
0.a b x a x b x a⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ + =
Rezultat: 1
, .1 22
ax x
ab
= =
Zadatak 192 (2B, TUPŠ)
Riješi jednadžbu pri čemu su a i b realni brojevi: ( ) ( )2 2 2 20.a b x b a x a b− ⋅ − − ⋅ + ⋅ =
Rješenje 192
Ponovimo!
( ) ( ) ( ) ( ), ,2 2 2
,2
.n n n
a a a b a b a b a b a b a b a b− = − = + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
( ) ( )2 22 2 2 2 2
, 0 2 2, , .a a a a b a a b b a a b b a b= ≥ + = + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = −
,1
.n m n m
a a a a a+
= ⋅ =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
20
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 20
2 2 2 20
2 2 2, ,
a b x b a x a b
a b x b a x a b
a a b b b a c a b
− ⋅ − − ⋅ + ⋅ =
− ⋅ − − ⋅ + ⋅ = ⇒ ⇒
= − = − − = ⋅
( ) ( )2 2 2, ,
24
1,2 2
a a b b b a c a b
b b a cx
a
= − = − − = ⋅
⇒ ⇒− ± − ⋅ ⋅
=⋅
( )( ) ( )( ) ( )
( )
222 2 2 2
4
1,2 22
b a b a a b a b
x
a b
− − − ± − − − ⋅ − ⋅ ⋅
⇒ = ⇒⋅ −
( ) ( )
( )
2 22 2 2 24
1,2 22
b a b a a b a b
x
a b
− ± − − ⋅ ⋅ ⋅ −
⇒ = ⇒⋅ −
( ) ( )
( )
2 22 2 2 24
1,2 22
b a a b a b a b
x
a b
− ± − − ⋅ ⋅ ⋅ −
⇒ = ⇒⋅ −
( ) ( )( ) ( )
( )
2 22 24
1,2 22
b a a b a b a b a bx
a b
− ± − ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ −⇒ = ⇒
⋅ −
( ) ( ) ( )
( )
2 2 22 24
1,2 22
b a a b a b a b a bx
a b
− ± − ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ −⇒ = ⇒
⋅ −
( ) ( ) ( )
( )
22 2 224
1,2 22
b a a ba b a ba bx
a b
− ± ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅=
⋅
−⇒
−
−⇒
( ) ( )( )( )
2 22 24
1,2 22
b a a b a b a b
x
a b
− ± − ⋅ + − ⋅ ⋅
⇒ = ⇒⋅ −
( ) ( )
( )
2 22 24
1,2 22
b a a b a b a bx
a b
− ± − ⋅ + − ⋅ ⋅⇒ = ⇒
⋅ −
( ) ( )
( )
22 24
1,2 22
b a a b a bx
a b
a b− ± ⋅ + − ⋅ ⋅⇒ = ⇒
⋅ −
−
( )
( )
2 2 2 22 4
1,2 22
b a a b a a b b a bx
a b
− ± − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅⇒ = ⇒
⋅ −
21
( )
( )
( ) ( )
( )
22 22 2 2 22
1,2 1,22 22 2
b a a b a bb a a b a a b bx x
a b a b
− ± − ⋅ −− ± − ⋅ − ⋅ ⋅ +⇒ = ⇒ = ⇒
⋅ − ⋅ −
( ) ( )
( )
( )
( )
22 2 2 2
1,2 1,22 22 2
b a a b a b b a a bx x
a b a b
− ± − ⋅ − − ± −⇒ = ⇒ = ⇒
⋅ − ⋅ −
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 22 2
1,2 1,22 22 2
b a b a b a b a b ax x
a b a b
− ± − − ⋅ + ± −⇒ = ⇒ = ⇒
⋅ − ⋅ −
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )1,2 1,22 2
2 2
b a b a b a b a b a b ax x
a b b a
− ⋅ + ± − − ⋅ + ± −⇒ = ⇒ = ⇒
⋅ − ⋅ −
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )1,2 1,2 222
b a b a b a b ax x
b ab a
b a ⋅ + ± − + ±− −⇒ = ⇒ = ⇒
⋅ −⋅ −
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 12 2 2
2 22 2 22
b a b a b a b a b bx x x
b a b a b a
b a b a a ab a b ax xx
b a b
a a
b b
ab a
+ + − + + − += = =
⋅ − ⋅ − ⋅ −⇒ ⇒ ⇒ ⇒
+ − + + ++ − −= ==
⋅ − ⋅⋅
+
−−
−
−
( )
( )
( )
( )
2
1 1 1
2
2.
2
2 2 22 2
2
2
b b bx x x
b a b a b a
a a ax x x
b a b a b a
⋅ ⋅= = =
⋅ − ⋅ − −⇒ ⇒ ⇒
⋅ ⋅= = =
⋅ − ⋅ − −
Vježba 192
Riješi jednadžbu pri čemu su a i b realni brojevi: ( ) ( )2 2 2 20.a b x a b x a b− ⋅ + − ⋅ + ⋅ =
Rezultat: , .1 2
b ax x
b a b a= =
− −
Zadatak 193 (2B, TUPŠ)
Riješi jednadžbu pri čemu su a i b realni brojevi: ( )2 2 22 0.x a x a b− ⋅ ⋅ + − =
Rješenje 193
Ponovimo!
( ) ( ), ,2
, .2 2
, 0n n n
a a a b a b a b a b a a a− = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ≥
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
22
( ) ( )2 2 22 02 2 2
2 02 2
1 , 2 ,
x a x a bx a x a b
a b a c a b
− ⋅ ⋅ + − =− ⋅ ⋅ + − = ⇒ ⇒
= = − ⋅ = −
2 21 , 2 ,
24
1,2 2
a b a c a b
b b a cx
a
= = − ⋅ = −
⇒ ⇒− ± − ⋅ ⋅
=⋅
( ) ( ) ( )2 2 22 2 4 1
1,2 2 1
a a a b
x
− − ⋅ ± − ⋅ − ⋅ ⋅ −
⇒ = ⇒⋅
2 24
2 2 2 22 4 4 4 2 4
1,2 1 22 2
4
,
a a a bx x
aa ba⋅ ± ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ± + ⋅⇒ = ⇒
⋅ − ⋅= ⇒
2 22 4 2 4 2 2
1,2 1,2 1,22 2 2
a b a b a bx x x
⋅ ± ⋅ ⋅ ± ⋅ ⋅ ± ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
( ) ( )2
1,2 1,2 1,2
22
22
2
2
a b a ba bx x x
⋅ ± ⋅ ±⋅ ± ⋅⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
1.
1,22
x a bx a b
x a b
= +⇒ = ± ⇒
= −
Vježba 193
Riješi jednadžbu pri čemu su a i b realni brojevi: ( )2 2 22 0.x a x b a− ⋅ ⋅ − − =
Rezultat: , .1 2
x a b x a b= + = −
Zadatak 194 (2B, TUPŠ)
Zadana je kvadratna jednadžba i jedno njezino rješenje x1. Izračunaj vrijednost parametra m.
( )2
1 2 6 0 , 3.1
m x x m x+ ⋅ + ⋅ − ⋅ = =
Rješenje 194
Ponovimo!
Parametar
Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 2002.
Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka
funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata.
Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 1983.
Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
( ) [ ] ( )32 2
1 2 6 0 1 3 2 3 6 0m x x mxm m+ ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⇒ ⇒ + ⋅ + ⋅ − ⋅ == ⇒
( )1 9 6 6 0 9 9 6 6 0 9 6 9 6 3 15m m m m m m m⇒ + ⋅ + − ⋅ = ⇒ ⋅ + + − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ = − − ⇒ ⋅ = − ⇒
/ :3 315 5.m m⇒ ⋅ = − ⇒ = −
23
Vježba 194
Zadana je kvadratna jednadžba i jedno njezino rješenje x1. Izračunaj vrijednost parametra m.
( )2
1 2 6 0 , 2.1
m x x m x+ ⋅ + ⋅ − ⋅ = =
Rezultat: m = 4.
Zadatak 195 (2B, TUPŠ)
U ovisnosti o parametru m opiši vrstu rješenja kvadratne jednadžbe ( )2
1 3 2 0.m x x+ ⋅ + ⋅ − =
Rješenje 195
Ponovimo!
, 0 , ., 0a b a b
a b c a b cc c c c
> > ⇒ > < > ⇒ <
Parametar
Vladimir Anić, Ivo Goldstein, Rječnik stranih riječi, Novi Liber, Zagreb, 2002.
Veličina, obično realna varijabla, čije vrijednosti služe za razlikovanje elemenata nekog skupa točaka
funkcija, jednadžbi ili drugih matematičkih objekata.
Bratoljub Klaić, Rječnik stranih riječi, Nakladni zavod MH, Zagreb, 1983.
Veličina o kojoj ovisi funkcija ili oblik krivulje.
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Diskriminanta kvadratne jednadžbe
20 , 0a x b x c a⋅ + ⋅ + = ≠
je broj
24 .D b a c= − ⋅ ⋅
• Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna i različita rješenja.
• Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.
• Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja.
Uočimo da mora biti
( )2
1 3 2 0 1 .10m x x m m+ ⋅ + ⋅ − = ≠ ⇒ ≠ −⇒ +
Dalje imamo:
( )( )
2 1 , 3 , 21 3 2 021 3 2 0
241 , 3 , 2
a m b cm x xm x x
D b a ca m b c
= + = = −+ ⋅ + ⋅ − =+ ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⇒ ⇒
= − ⋅ ⋅= + = = −
( ) ( ) ( )2
3 4 1 2 9 8 1 9 8 8 8 17.D m D m D m D m⇒ = − ⋅ + ⋅ − ⇒ = + ⋅ + ⇒ = + ⋅ + ⇒ = ⋅ +
Opisi:
• 17
8 17 0 8 17 80 /7 ,81 :8
m m m mD ⇒ ⋅ + > ⇒ ⋅ > − ⇒ ⋅ > > −> − ⇒
jednadžba ima dva realna i različita rješenja.
• 17
8 17 0 8 17 80 /7 ,81 :8
m m m mD ⇒ ⋅ + = ⇒ ⋅ = − ⇒ ⋅ = = −= − ⇒
jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.
• 17
8 17 0 8 17 80 /7 ,81 :8
m m m mD ⇒ ⋅ + < ⇒ ⋅ < − ⇒ ⋅ < < −< − ⇒
jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja.
24
Vježba 195
U ovisnosti o parametru m opiši vrstu rješenja kvadratne jednadžbe
( )2
1 2 2 0.m x m x m− ⋅ + ⋅ ⋅ + + =
Rezultat: 1m ≠
2, jednadžba ima dva realna i različita rješenja,m <
2, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje,m =
2, jednadžba ima kompleksno konjugirana rješenja.m > −
Zadatak 196 (2B, TUPŠ)
Odredi jednadžbe tangenata na parabolu 2
2 2 2y x x= ⋅ + ⋅ + koje prolaze točkom A(1, – 12).
Rješenje 196
Ponovimo!
( )2 2 2
2 .a b a a b b− = − ⋅ ⋅ +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅ Jednadžba pravca oblika
y k x l= ⋅ +
naziva se eksplicitni oblik jednadžbe pravca ili kraće, eksplicitna jednadžba pravca. Broj k naziva se
koeficijent smjera pravca. Broj l nazivamo odsječak pravca na osi y.
Diskriminanta kvadratne jednadžbe
20 , 0a x b x c a⋅ + ⋅ + = ≠
je broj
24 .D b a c= − ⋅ ⋅
• Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna i različita rješenja.
• Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.
• Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja.
Budući da točka A pripada tangenti (pravcu), uvrstit ćemo njezine koordinate u jednadžbu pravca
(tangente) y = k · x + l.
( ) ( ), 1, 1212 1 12 12 12 .
A x y Ak l k l k l l k
y k x l
= −⇒ − = ⋅ + ⇒ − = + ⇒ + = − ⇒ = − −
= ⋅ +
Jednadžba tangente ima oblik
1212 .
l ky k x k
y k x l
= − −⇒ = ⋅ − −
= ⋅ +
Da bismo odredili presjek pravca (tangente) i parabole moramo riješiti sustav jednadžba.
metoda
komparacije
222 2 2
2 2 2 1212
y x xx x k x k
y k x k
= ⋅ + ⋅ +⇒ ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ − − ⇒
= ⋅ − −
( )2 2
2 2 2 12 0 2 2 14 0.x x k x k x k x k⇒ ⋅ + ⋅ + − ⋅ + + = ⇒ ⋅ + − ⋅ + + =
Ova jednadžba ima jedno rješenje (dvostruko realno rješenje), ako je D = 0.
25
Zato slijedi:
( )( )
22 2 14 02
2 2 14 02 , 2 ,
2014
0
4
x k x kx k x k
a b k c k
D
b a c
⋅ + − ⋅ + + =⋅ + − ⋅ + + = ⇒ ⇒ ⇒
= =
>
>− − ⋅+ ⋅=
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 4 2 14 0 2 8 14 0k k k k⇒ − − ⋅ ⋅ + = ⇒ − − ⋅ + = ⇒
22 2 12 108 0
4 4 112 8 0 12 108 01 , 12 , 108
k kk k k k k
a b c
− ⋅ − =⇒ − ⋅ + − − ⋅ = ⇒ − ⋅ − = ⇒ ⇒
= = − = −
( ) ( ) ( )1 , 12 , 108 2
12 12 4 1 1082
4 1,2 2 11,2 2
a b c
kb b a c
ka
= = − = −− − ± − − ⋅ ⋅ −
⇒ ⇒ = ⇒− ± − ⋅ ⋅ ⋅=
⋅
12 24
112 144 432 12 576 12 24 21,2 1,2 1,2 12 242 2 2
2 2
k
k k k
k
+=
± + ± ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⇒
−=
36181 12 1
.12 6
22 2
36
2
12
22
k k k
kk k
= = =⇒ ⇒ ⇒
= −= − = −
Računamo odsječak l.
• 12
12 18 301 118
l kl l
k
= − −⇒ = − − ⇒ = −
=
• ( )12
12 6 12 6 6.2 2 26
l kl l l
k
= − −⇒ = − − − ⇒ = − + ⇒ = −
= −
Jednadžbe tangenata glase:
• 18
3018 30y k x l y x
k
l= ⋅ + ⇒ ⇒ = ⋅
=
−−
=
• 6 6.6
6
ky k x l y x
l
= −
== ⋅ + ⇒ ⇒ = − ⋅
−−
Vježba 196
Odredi koeficijente smjerova tangenata na parabolu 2
2 2 2y x x= ⋅ + ⋅ + koje prolaze točkom
A(1, 11).
Rezultat: 11, 5.1 2
k k= = −
Zadatak 197 (2B, TUPŠ)
Ako su x1 i x2 rješenja jednadžbe2
0x p x q+ ⋅ + = izračunaj ( )2
.1 2
x x−
+
Rješenje 197
Ponovimo!
,1
.1
,
n na a n n
n an nb b a
−= = =
26
Jednadžba oblika
0,2
a x b x c⋅ + ⋅ + =
(a ≠ 0, b i c su realni brojevi) naziva se kvadratna jednadžba. Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje kvadratne jednadžbe.
Rješenja x1 i x2 kvadratne jednadžbe
20a x b x c⋅ + ⋅ + =
zadovoljavaju Vièteove formule:
,2
.1 2 1
b cx x x x
a a+ = − ⋅ =
1 , ,22 0
01 2 11 , , 1 2
a b p c qpx p x q
x p x q x xbx xa b p c q
a
= = =+ ⋅ + =
+ ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒ + = − ⇒+ = −= = =
.1 2
x x p⇒ + = −
Sada je:
( )( ) ( )
2 1 1 1.
1 2 2 2 2
1 2
x x
ppx x
−+ = = =
−+
Vježba 197
Ako su x1 i x2 rješenja jednadžbe2
0x p x q+ ⋅ + = izračunaj ( )1
.1 2
x x−
+
Rezultat: 1
.p
−
Zadatak 198 (2B, TUPŠ)
Znajući da su m i n rješenja jednadžbe 2
0x x c+ − = pojednostavnite izraz
3 3 2 25 5 .I m n m n m n= + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
Rješenje 198
Ponovimo!
( ) ( ) ( )23 3 2 2 2
, ,2
1.2
na b a b a a b b a a b b a b n+ = + ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ + = + =
,1
.:n m n m
a a a a a−
= =
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Jednadžba oblika
0,2
a x b x c⋅ + ⋅ + =
(a ≠ 0, b i c su realni brojevi) naziva se kvadratna jednadžba. Svaki broj x (realan ili kompleksan) koji
zadovoljava tu jednadžbu naziva se rješenje kvadratne jednadžbe.
Rješenja x1 i x2 kvadratne jednadžbe
20a x b x c⋅ + ⋅ + =
zadovoljavaju Vièteove formule:
,2
.1 2 1
b cx x x x
a a+ = − ⋅ =
3 3 2 25 5I m n m n m n= + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
27
( ) ( ) ( )2 2
5I m n m m n n m n m n⇒ = + ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒
( ) ( ) ( )2 2
2 3 5I m n m m n n m n m n m n⇒ = + ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒
( ) ( )( ) ( )2 2
2 3 5I m n m m n n m n m n m n⇒ = + ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒
( ) ( )( ) ( )2
3 5I m n m n m
bm n
an m n
ma
m nc
n
⇒ = + ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ ⇒
+ = −
⋅ =
220
1 , 13
,5
b b c c bI
a a a a
x c
a b c ca
x⇒ = − ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ −
+ − =
=⇒
−⇒
= =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2
1 1 1 23 5 1 1 3 5 1
1 1 1 1 1
c cI I c c
− −⇒ = − ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⇒ = − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⇒
( ) ( )1 1 3 5 1 3 5 1 8 .I c c I c c I c⇒ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒ = − − ⋅ − ⋅ ⇒ = − − ⋅
Vježba 198
Znajući da su m i n rješenja jednadžbe 2
1 0x x+ − = pojednostavnite izraz
3 3 2 25 5 .I m n m n m n= + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
Rezultat: 7.
Zadatak 199 (Katarina, srednja škola)
Zadana je kvadratna jednadžba ( ) ( )1 2 2p x x x p x⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ + pri čemu je x nepoznanica, a p
neki realni broj. Za koje p jednadžba ima realna rješenja?
Rješenje 199
Ponovimo!
( )21 2 2 2
2 0, , ,, .n m n m
a a a a a a a b b a b a a R+
= ⋅ = − ⋅ ⋅ + = − ≥ ∈
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Diskriminanta kvadratne jednadžbe
20 , 0a x b x c a⋅ + ⋅ + = ≠
je broj
24 .D b a c= − ⋅ ⋅
• Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna i različita rješenja.
• Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje.
• Ako je D < 0, jednadžba ima kompleksno – konjugirana rješenja.
Preoblikujemo jednadžbu tako da je zapišemo u općem obliku:
( ) ( )2 2
1 2 2 2 2 2p x x x p x p x p x x p x⋅ ⋅ + + = ⋅ ⋅ + ⇒ ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⇒
2 2 2 22 2 2 0 2 2 0p x p x x p x p x x p x⇒ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ = ⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = ⇒
28
( ) ( )2 2 2
2 2 0 2 2 0p x x p x p x p x⇒ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = ⇒ − ⋅ − ⋅ + = ⇒
( )2 2 , , 22 2 0
242 , , 2
a p b p cp x p x
D b a ca p b p c
= − = − =− ⋅ − ⋅ + =⇒ ⇒ ⇒
= − ⋅ ⋅= − = − =
( ) ( ) ( )2 2 2
4 2 2 8 2 8 16D p p D p p D p p⇒ = − − ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅ − ⇒ = − ⋅ + ⇒
( )2
4 .0D p⇒ = − ≥
Budući da je D ≥ 0, zaključujemo da jednadžba uvijek ima realna rješenja za svaki realni broj p.
Vježba 199
Zadana je kvadratna jednadžba ( ) ( )1 2 2p x x x p x⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + − pri čemu je x nepoznanica, a p
neki realni broj. Za koje p jednadžba ima realna rješenja?
Rezultat: .p R∈
Zadatak 200 (Sonja, maturantica)
Riješite jednadžbu: 3 2
12 13 13 12 0.x x x⋅ − ⋅ − ⋅ + =
Rješenje 200
Ponovimo!
( ) ( ),1 3 2 2
, .3
:n m n m
a a a a a a b a b a a b b−
= = + = + ⋅ − ⋅ +
Zakon distribucije množenja prema zbrajanju.
( ) ( ), .a b c a b a c a b a c a b c⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ +
Da bi umnožak bio jednak nuli, dovoljno je da jedan faktor bude jednak nuli.
0 0 ili 0 il .i 0a b a b a b⋅ = ⇔ = = = =
Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik tog razlomka podijeliti istim brojem različitim od nule i
jedinice
, 0 ., 1a n a
n nb n b
⋅= ≠ ≠
⋅
Kubna jednadžba ima oblik
3 2.0 , 0a x b x c x d a⋅ + ⋅ + ⋅ + = ≠
Kubna jednadžba općenito ima tri rješenja.
( ) ( )3 2 3 212 13 13 12 0 12 12 13 13 0x x x x x x⋅ − ⋅ − ⋅ + = ⇒ ⋅ + + − ⋅ − ⋅ = ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
12 1 13 1 0 12 1 1 13 1 0x x x x x x x x⇒ ⋅ + − ⋅ ⋅ + = ⇒ ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ + = ⇒
( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 12 1 13 0 1 12 12 12 13 0x x x x x x x x⇒ + ⋅ ⋅ − + − ⋅ = ⇒ + ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ = ⇒
( ) ( )1 02
1 12 25 12 0 .2
12 25 12 0
xx x x
x x
+ =⇒ + ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⇒
⋅ − ⋅ + =
Riješimo prvu jednadžbu (linearnu jednadžbu).
1 0 1.1
x x+ = ⇒ = −
Riješimo drugu jednadžbu (kvadratnu jednadžbu).
29
12 , 25 , 122
2 12 25 12 0212 25 12 0
412 , 25 , 12
2,3 2
a b c
x xx x
b b a ca b c x
a
= = − =
⋅ − ⋅ + =⋅ − ⋅ + = ⇒ ⇒ ⇒
− ± − ⋅ ⋅= = − = =
⋅
( ) ( )2
25 25 4 12 12 25 625 576 25 49
2,3 2,3 2,32 12 24 24x x x
− − ± − − ⋅ ⋅ ± − ±⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒
⋅
425 7 32
22 2 225 7 324 24.
2,3 25 7 18
3
324
3
2
24
18
23 3 324 4 442
xx x x
x
x x x x
+== = =
±⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
−= = = =
Vježba 200
Riješite jednadžbu: 3 2
6 7 7 6 0.x x x⋅ − ⋅ − ⋅ + =
Rezultat: 2 3
1 , , .1 2 33 2
x x x= − = =