1

HIDROMEHANIKA

Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ.

2

•HIDRAULIKA:

•Poseban dio Mehanike fluida

•Grčke riječi (hydor = voda; eulos = cijev)

•Proučava: zadatke ravnoteže i kretanje tečnosti (fluida)

•Fluid = materija koja se kontinuirano deformiše (teče pod dejstvom tangen. napona)

•Podjela na: a) HIDROSTATIKA

b) HIDRODINAMIKA

-HIDROSTATIKA: zakoni mirovanja i ravnoteže tečnosti

-HIDRODINAMIKA: zakoni kretanja tečnosti i zakoni kretanja čvrstih tijela u tečnosti

•HIDROMEHANIKA:

•Proučava opšte zakone mehaničkog kretanja i mirovanja tečnosti

3

MEĐUNARODNI SISTEM MJERNIH JEDINICA

OSNOVNE SI JEDINICE:

4

IZVEDENE SI JEDINICE

5

DOPUŠTENE JEDINICE IZVAN SI

6

OSNOVNE FIZIČKE OSOBINE TEČNOSTI

• Fizičke osobine tečnosti:

1) GUSTINA

2) TEŽINA

3) STIŠLJIVOST (KOMPRESIBILNOST)

4) UNUTARNJE TRENJE (VISKOZNOST)

5) PRITISAK PARA

6) POVRŠINSKI NAPON

7) KAPILARNOST

•Prvih 5 fizičkih osobina su veoma bitne (o njima ćemo govoriti)

•POVRŠINSKI NAPON (steže površinski sloj dvije različite tečnosti zbog dejstva sila molekula unutar tečnosti)

•KAPILARNOST (pod dejstvom sile površinskog napona tečnost se podiže ili spušta u cijevima malog prečnika)

7

1) GUSTINA

• Oznaka ρρρρ (kg/m3)

• Pokazuje raspodjelu mase tečnosti u zapremini

• Matematska definicija:

Granična vrijednost odnosa mase ∆m (kg) i zapremine ∆V (m3), koji u sebi sadrži ovu masu kada posmatrana V teži 0.

•Gustina tečnosti u svim tačkama V tokom vrema ista HOMOGENA TEČNOST

•Gustina tečnosti: f-ja (p, t)

•Voda: ρ=1000 kg/m3 (za t=4oC i normalni atmosferski pritisak)

(ρ=1000 kg/m3 uzimamo u hidrauličkim proračunima)

8

•Mjerenje gustine fluida može se obaviti na različite načine:- mjerenjem mase poznate zapremine (piknometri)- hidrostatičkim mjerenjima (Vestfalova vaga i sl)- pomoću U-cevi,- hidrometrom i dr.

Hidrometar Vestfalova (Westphal) vaga U cijev

958,40983,24998,23999,13999,70999,99999,87Gustina ρ(kg/m3)

1006020151040Temperatura

(oC)

Gustina vode u f-ji t:

9

2) TEŽINA

* Dejstvo sile teže na određenu V predstavlja težinu te V tečnosti:

•g = vektor ubrzanja polja sile teže (m/s2)

•Uzimamo g=9,81 m/s2 (homogena tečnost, const. ubrzanje polja sile teže unutar V)

gmG ⋅= gdmdG ⋅=Za elem. djelić sa ∆∆∆∆V:

dVgdG ⋅⋅= ρ

V

m=ρ

V

gm

V

G ⋅==γ g⋅= ργ

⋅

23s

m

m

kg

3

m

N

γγγγ – specifična težina 10

3) STIŠLJIVOST

•Pod dejstvom okomite sile F, tečnost mijenja svoju V

•Nakon prestanka dejstva sile F, posmatrana V poprima prvobitnu vrijednost

Stišljivost tečnosti

11

•Stišljivost tečnosti izražava se koeficij. stišljivosti (kompresibilnosti) – Ks (m2/N)

•Ks = granična vrijednost odnosa promjene V tečnosti (∆V / V) i promjene p (∆p) koji tu promjenu V uzrokuje, kada posmatrana ∆V teži 0:

•Predznak (-) : znači da povećanje p odgovara smanjenju V i obratno

•Prema zakonu održanja mase: ∆∆∆∆V uzrokuje ∆ρ∆ρ∆ρ∆ρ, i iz uslova m=ρρρρV=const.

odnosno:

dobijamo:

12

•Recipročna vrijednost Ks označava se sa E (N/m2) i zove se PROSTORNI ILI ZAPREMINSKI MODUL ELASTIČNOSTI

•E predstavlja i promjenu ρρρρ tečnosti usljed promjene normalne sile

•Stišljivost vode veoma mala (ipak, 100 x veća nego kod čelika)

•U praksi se stišljivost vode može zanemariti (jednostavniji proračuni; dobri rezultati)

•Kod vodnog udara (znatno povećanje p) voditi računa o stišljivosti

•I druge tečnosti su uglavnom nestišljive

•Gasovi vrlo stišljivi

13

4) UNUTARNJE TRENJE

•Osobina tečnosti da pruža otpor promjeni oblika

•Veoma važna osobina (unutarmolekularne sile u tečnosti)

•Pri kretanju slojeva tečnosti prema susjednim slojevima, u tečnosti nastaju sile trenja

•Sloj tečnosti koji se pomiče brže, povlači susjedni sloj koji se sporije pomiče

•Zbog sila trenja dolazi do promjene mehaničke energije tečnosti u toplinsku energiju

14

Jednostavno smičuće strujanje tečnosti

Slika gore (eksperiment):

-tečnost između dvije beskonačne i paralelne i bliske ploče

-donja ploča miruje, gornja usljed dejstva smičuće sile F hor. se kreće brzinom v=v0

-Zbog viskoznosti: v djelića tečnosti u dodiru sa pločama = v ploča (djelići fluida u donjoj ploči miruju (v=0), a uz gornju ploču kreću se v=v0 kao i ploča

-Ako L između ploča nije prevelika ili ako v0 nije prevelika, imamo linearni profil v

-Ograničenje L između ploča i v osigurava slojevito strujanje (laminarno strujanje)

-Linearni profil v gradijent v je const. u svim tačkama presjeka (dolazi do istog smičućeg naprezanja):

15

ττττ – smičući napon (N/m2)

µµµµ – dinamički koef. unutarnjeg trenja (dinamički koef. viskoznosti) (Ns/m2)

dv/dz - gradijent brzine (1/s)

Gradijent brzine pokazuje koliko se gornji sloj brzo pomiče u odnosu na donji

•Količnik između din. koeficijenta unutarnjeg trenja µµµµ i ρρρρ zove se

KINEMATIČKI KOEFICIJENT UNUTARNJEG TRENJA:

16

•Koeficijent νννν (m2/s) nazvan zbog svoje dimenzije (ulaze samo kinematičke veličine)

•Vrijednost νννν mijenja se promjenom t tečnosti

•Tečnost kod koje se usljed dejstva vanjskih sila ne javljaju smičući naponi zove se IDEALNE TEČNOSTI

•U prirodi imamo tzv. REALNE TEČNOSTI (imaju smičuća naprezanja)

•Nekad zbog pojednostavljenja možemo uzeti da tečnost ima osobine idealne tečn.

dinamička ili apsolutna viskoznost određuje dinamiku nestišljivih fluida,

kinematička viskoznost dobijemo kada dinamičku viskoznost podijelimo sa gustinom fluida,

zapreminska ili masena viskoznost određuje dinamiku stišljivih fluida,

ekstenziona viskoznost predstavlja koeficijent viskoznosti kada je primjenjen napon istezanja,

smičuća viskoznost predstavlja koeficijent viskoznosti kada je primjenjen tangencijalni napon.

Postoje slijedeće viskoznosti – unutarnje trenje:

Viskoznost vode u ovisnosti od temperature

2,822 x 10-43,550 x 10-45,471 x 10-47,978 x 10-41,003 x 10-31,308 x 10-3Viskoznost

(Pa*s)

1008050302010

Temperatura

(oC)

18

5) TLAK PARA

•Tečnosti isparavaju (f-ja p i t) radi izmjene kinetičke energije molekula

•Iznad površine tečnosti stvara se karakterističan TLAK PARA

•Kod vode: TLAK VODENIH PARA pvp (N/m2)

•Lokalno isparavanje vode: kod toka vode p padne na p vodenih para

•Mjehurići vodene pare nošeni tokom dođu do mjesta većih p i dolazi do njihovog naglog kondezovanja i javlja se nagla promjena ρρρρ i veliki udar pritiska (ova pojava se zove KAVITACIJA)

•KAVITACIJA: mehanički oštećuje hidrotehničku opremu (pumpe, turbine ...)

19

HIDROSTATIKA

•Proučava zakone mirovanja tj. ravnoteže tečnosti

•Tečnost u ravnoteži: uticaj vanjskih sila (sila teže i sila inercije)

•Vanjske sile su oblici zapreminskih sila

•Površinske sile: atmosferski pritisak (djeluje u otvorenim posudama i tokovima)

HIDROSTATIČKI PRITISAK

•Definicija: pod uticajem vanjskih sila unutar tečnosti nastaje stišljivo naprezanje

•Jedinica mjere: N/m2

p = F / A (N/m2 = Pa)

•Pritisak od 1 Pa je veoma mali (u praksi koristimo veće jedinice)

•Koristimo jedinicu “bar” (1 bar = 105 Pa = 102 kPa = 0,1 MPa)

20

•Zakonitost mirovanja fluida: najstarija saznanja mehanike fluida.

•U stanju mirovanja fluida postavlja se zadatak utvrđivanja međusobnog uticaja tri osnovne veličine:- pritiska p- gustine ρ i- spoljnih sila F koje deluju na fluid.

•Unutrašnje sile u fluidu iskazuju se pritiskom.

•Pritisak: skalarna veličina i iskazuje dejstvo sile po jedinici površine.

•Spoljne sile: posljedica okruženja fluida (po jednici mase fluida)

21

•U fluidu u mirovanju sile su okomite na površinu s kojom je fluid u kontaktu → sile pritiska.

22

Pascalov zakon

•Pascalov zakon: U svakoj tački mirnog, nestlačivog fluida pritisak je jednak.

23

Pascalov zakon → princip rada hidrauličkih uređaja (dizalica, kočnice, ...)

24

•Zadatak statike fluida: utvrditi uslove mirovanja svih djelića u određenom fluidu.

•Kao i u mehanici čvstih tijela: treba naći uslov ravnoteže svih sila koje deluju na fluid.

•Posmatra se proizvoljna fluidna zapremina (sl. dole) koja je sastavni dio ukupne Vfluida. •Na svaki elementarni fluidni djelić zapremine dV djeluje spoljna sila ρFdV.

•Ukupna spoljnja sila u uočenoj fluidnoj zapremni iznosi:

OJLEROVA JEDNAČINA ZA MIRAN FLUID

25

•Unutrašnja sila na fluidnoj zapremini dejstvuje po njenim granicama jer se dejstvo pritiska između elementarnih fluidnih delića dV potire.

•Unutrašnja sila na uočenu fluidnu zapreminu djeluju po omotaču te zapremine.

•Elementarna sila dejstvuje na elementarnu površinu i ona iznosi pdA.

•Znak minus potiče od suprotnog usmjerenja sile u odnosu na jedinični vektor površine.

•Ukupna sila na cijeloj površini uočene fluidne zapremine iznosi:

•Uslov ravnoteže fluida: zbir svih sila koje djeluju na uočenu fluidnu zapreminu = 0

26

OSNOVNA JEDNAČINA MIROVANJA TEČNOSTI

Sile na elementarnu V (dV) fluida koji miruje

• Pretpostavke za izvođenje:

1) Gustina fluida const. (ρρρρ=const)

2) Težina G jedina zapreminska sila

3) Djeluje samo pritisak (p), a smičićih napona nema

27

•Dinamička j-na za elementarnu V fluida (za smjer z-ose):

težina elementarne V tečnosti (zapreminska sila)

površinske sile na gornjoj i donjoj površini elem. V

(1)

•Iz j-ne (1) dobijamo:

•Dijeljenjem sa dzdAz imamo:(2)

28

•Dinamičke j-ne možemo napisati i za ose x i y (ortogonalne ose u horiz. ravni).

•U horizontalnoj ravni nema zapreminskih sila, pa su dinamičke j-ne:

(3)

•Iz j-na (3) vidimo da se p ne mijenja u hor. ravni

•J-na (2) transformiše se u običnu diferencijalnu j-nu:

•Ova j-na se može napisati u obliku:

•Nakon integrisanja dobijemo osnovnu j-nu hidrostatike:

(4)

29

p/ρρρρg + z = ΠΠΠΠ

ΠΠΠΠ = pijezometarska visina

Π= zbir geometrijske visine posmatrane tačke u odnosu na referentnu ravan (z) i visine hidrostatičkog pritiska u istoj tački (p/ρρρρg)

•Pijezometri (pijezometarske cijevi): mjerenje visine kroz koju se izražava hidrostatički pritisak tečnosti (p/ρρρρg)

•Pijezometarske cijevi: staklene (obično) cijevi otvorene na vrhu (npr. spojene sa rezervoarima ili cijevima)

30

•U nekoj tački A (prema j-ni (4)) pritisak iznosi:

•Dubina tečnosti hA je jednaka zA:

•Pritisak u tački A:

31

• Osnovna j-na hidrostatike: možemo posmatrati i kroz zakon održanja energije, tj:

� ΠΠΠΠ = potencijalna energija jedinice težine tečnosti i sastoji se od:

1) Energije položaja jednice težine tečnosti (z)

2) Energije hidrostatičkog pritiska jedinice težine tečnosti (p/ρρρρg)

• Na osnovu j-ne hidrostatike: ΠΠΠΠ svake tačke u tečnosti (u spojenom sistemu u stanju mirovanja) = const.

32

REZIME – OSNOVNI POJMOVI I PRAVILA HIDROSTATIKE

•Hidrostatika se bavi ponašanjem tečnosti u stanju mirovanja. •Tečnosti uvijek zauzimaju oblik suda u kome se nalaze i ne trpe napone na smicanje. •Dejstvo tečnosti na zid suda uvek mora biti normalno na njegovu površinu. •Slobodna površina tečnosti uvijek je upravna na rezultantnu silu koja na nju djeluje.•Ako na tečnost, u sudu, djeluje samo gravitaciona sila slobodna površina tečnosti je u horizontalnom položaju.

Pascalov zakon:U izolovanoj tečnosti, pritisak se podjednako prenosi u svim pravcima. Ovaj pritisak se naziva hidrostatički pritisak.

33

U proučavanju stanja tečnosti, polazi se od slijedećih činjenica:1) tečnost je nestišljiva (tačnije, gotovo nestišljiva); 2) tečnost uvijek poprima oblik suda u kome se nalazi; 3) spoljašnja sila uvijek djeluje normalno na slobodnu površinu tečnosti,

(na primjer, sila teže).

Zakon o hidrostatičkom pritisku:Pritisak fluida koji miruje u polju sile teže, zove se hidrostatički pritisak i dat je izrazom:

p2 - p1 = ρg(y2 −y1) = ρgh

p2 je pritisak na nivou y2p1 je pritisak nivou y1Fg = mg je sila teže

34

Hidrostatički pritisak na dnu suda zavisi samo od visine vertikalnog stuba tečnosti, a ne i od oblika suda (slika dole).

-Sila kojom tečnosti deluju na tijela potopljena u njih naziva se silom potiska.

-Po intenzitetu sila potiska je jednaka težini tijelom istisnute tečnosti.

-Napadna tačka sile potiska nalazi se u težištu potopljenog dijela tijela.

-Za homogena i simetrična tijela napadna tačka je u centru simetrije.

-Smjer dejstva je nasuprot smjera gravitacione sile

-Ukoliko je gustina tijela veća od gustine tečnosti tijelo tone, ako je manja tijelo pliva, a ako su gustine iste tijelo je u ravnoteži i ostaje u mjestu na kom se postavi.

POTISAK KOD TEČNOSTI:

Hidrostatički pritisak je isti na dnu za sva tri suda

35

ρ i Vp gustina tečnosti i zapremina potopljenog dijela tijela.

POVRŠINSKI NAPON:

-Molekuli u tečnostima, koje nisu izložene dejstvu spoljašnjih sila, nalaze se u okruženju istorodnih molekula na nekom ravnotežnom rastojanju.

-Ukoliko tečnost sabijamo molekuli dolaze na rastojanja manja od ravnotežnog i među njima se javljaju odbojne međumolekulske sile koje su reda veličine 1038 puta većeg inteziteta od gravitacione sile kojom se privlače.

36

-Spontana težnja, u prirodi, za minimumom potencijalne energije usloviće da slobodna površina tečnosti ima minimalnu vrijednost.

-Kap vode teži sfernom obliku, jer od svih tijela iste zapremine sfera ima najmanju površinu.

-Ovaj efekat smanjivanja granične površine javlja se između bilo koja dva fluida i naziva se površinski napon.

Sferni oblik kapi vode na listovima biljaka

37

-Rad koji vrši sila površinskog napona pri kretanju površinskih molekula je:

gde je;∆S=∆s·l promjena površine, ∆s dimenzija površine koja se mijenja, F sila površinskog napona, l dužina linije razgraničenja fluida,αααα koeficijent proporcionalnosti

Sila površinskog napona uvijek je:

1) tangencijalna na slobodnu površinu tečnosti

2) normalna na liniju razgraničenja (ili tangentu na liniju razgraničenja) u tački djelovanja.

38

-Nivo tečnosti u kapilari je na visini h iznad slobodne površine tečnosti. -Poluprečnik kapilare r i poluprečnik meniskusa Rzaklapaju ugao θ, što je ujedno i ugao kvašenja tečnosti (ugao koji meniskus zaklapa sa zidom kapilare).

-Obrazovana površina tečnosti u kapilari naziva se meniskus.

p0 vrijednost pritiska iznad meniskusa, a takođe i iznad slobodne površine tečnosti.p je pritisak neposredno ispod meniskusa.

KAPILARNE POJAVE: a) nivo tečnosti u kapilari veći od nivoa tečnost u koju je kapilara uronjena i

b) nivo tečnosti u kapilari manji nego nivo tečnosti u koju je kapilara uronjena

39

-Nivo tečnosti u kapilari je na visini h ispod slobodne površine tečnosti. -Poluprečnici kapilare i meniskusa su u relaciji kao i u prethodnom slučaju.

p0 vrijednost pritiska iznad meniskusa, a takođe i iznad slobodne površinetečnosti. p je pritisak neposredno ispod meniskusa. Veza između pritisaka p i p0 je slijedećeg oblika:

-Kapilara je svaka cijev poluprečnika manjeg od 1mm.

-U njima se tečnost ne ponaša po zakonu spojenih sudova, odn. nivo tečnosti u kapilari nije isti kao u slobodnoj površini tečnosti u koju je kapilara uronjena.

40

KAPILARNOST:

-Granica tečnosti i čvrstog tijela

-Odnos kohezionih i adhezionih sila

41

HIDROSTATSKI PARADOKS:

Ako je visina stupca fluida jednaka u svim posudama, u kojoj posudi je pritisak fluida na dno posude najveći ? Količina fluida u svakoj posudi ne mora biti nužno jednaka!

PITANJE:

Pritisak p je jednak na dno svake posude !!!

42

ZAKON SPOJENIH POSUDA:

Koliki je pritisak u tačkama A, B, C, D ?

U međusobno spojenim posudama nivo tečnosti u svim posudama je isti bez obzira na oblik posude hidrostatički pritisak jednak u svim tačkama na jednakoj dubini.

43

Imamo dvije različite tečnosti: ρ1 i ρ2

-Prema principu spojenih posuda rade uređaji za mjerenje pritiska

-Uređaji za mjerenje pritiska: manometri, barometri (tlakomjeri)

44

NAČELO RADA MANOMETRA (korištenje zakona za hidrostatski pritisak):

45

VRSTE PRITISAKA

1. Apsolutni pritisak p:Ukupni pritisak u nekoj tački fluidnog prostora.

2. Atmosferski pritisak pa:Pritisak koji vlada u okolnom vazduhu. Pri normalnim termodinamičkim uslovima uzima se da on iznosi pa= 101325 Pa.

3. Nadpritisak ili manometarski pritisak pm:Razlika između apsolutnog pritiska i atmosferskog pritiska, ako je apsolutni pritisak veći od atmosferskog:

pm = p - pa

4. Podpritisak ili vakuumetarski pritisak pv:

Razlika između atmosferskog pritiska i apsolutnog pritiska, ako je atmosferski pritisak veći od apsolutnog.

pv = pa – p

46

Definicija nadpritiska i podpritiska

47

OSOBINE HIDROSTATIČKOG PRITISKA:

• Dvije osnovne osobine:

1) Sila je uvijek normalna na površinu na koju djeluje

2) U datoj tačci pritisak djeluje podjednako u svim pravcima

MJERENJE PRITISKA:

Apsolutni pritisak (paps) je jednak zbiru pritiska (p) i atmosferskog pritiska (patm), prema:

•Apsolutni pritisak je uvek pozitivan.•Atmosferski, ili barometarski pritisak: posljedica postojanja atmosfere.•Njegova veličina zavisi od meteoroloških uslova i nadmorske visine (uvijek +)•Normalni atmosferski pritisak na morskoj površini je oko 1,014 bar.•Za mjerenje atmosferskog pritiska koriste se barometri.

48

•Pritisak se mjeri na različite načine (f-ja vrste fluida i veličine pritiska). •Najjednostavniji i pouzdan način mjerenja malih nadpritisaka i podpritisaka je pomoću U – cevi.

Mjerenje pritiska pomoću U - cijevi

49

Mikromanometar sa kosom U-cijevi

•Za preciznija mjerenja veoma malih nadpritiska i podpritisaka koristi se mikromanometar sa kosom cijevi. •Jedan krak U-cevi je nagnut pod poznatim uglom α. Ako je ovaj ugao manji, preciznost očitavanja je veća. •Ovaj mikromanometar najčešće služi za mjerenja razlika između dva pritiska. •Razlika se određuje očitavanjem dužine l i sljedećim izračunavanjem:

50

•Za određivanje većih nadpritisaka i podpritisaka u praksi se najčešće koriste manometri sa Burdonovom cijevi.

•Funkcioniše na elastičnom deformisanju savijene cijevi.•Cijev (poz.1) se pod dejstvom pritiska elastično deformiše tako da se “ispravlja”, ata deformacija se prenosi na mehanizam (poz. 3,4,5 i 6), što ima za posljedicu zakretanje kazaljke (poz. 7). •Na kalibrisanoj skali (poz. 8) očitava se vrijednost pritiska.

•Elastična cijev je elipsastog poprečnog preseka.

Manometar sa Burdonovom cevi

- Pritisak, p, je pozitivan ako je veći od atm.:(p > patm ) p > 0,

- Pritisak, p, je negativan ako je manji od atm.:(p < patm ) p < 0.

51

SILA PRITISKA NA RAVNE POVRŠINE

•Tečni fluidi nalaze se u posudama, rezervoarima i sl.

•Zbog prisustva hidrostatičkog pritiska oni pritiskaju zidove rezervoara.

•Treba poznavati intenzitet tog dejstva.

•Dejstvo na neku konkretnu potoljenu površinu manifestuje se rezultujućom silom pritiska.

•Bitno: saznati gde je napadna tačka te sile.

•Površina na koju dejstvuje sila pritiska fluida ravna (jednostavan slučaj u odnosu na slučaj kada je ta površina zakrivljena).

52

•Posmatramo ravnu površinu A koja se nalazi na ravni π, koja je nagnuta pod uglom α u odnosu na ravan slobodne površine tečnosti gustine ρ.

•Pravougli koordinatni sistem postavlja se tako da je osa x u preseku ravni ππππ i ravni slobodne površine tečnosti.

•Osa y nalazi se u ravni slobodne površine tečnosti.

•Osa z usmerena je naniže.

Pritisak tečnosti na ravne površine

53

•Hidrostatički pritisak tečnosti u bilo kojoj tački prostora koju zauzima tečnost, na osnovu jednačine statike fluida je:

•Elementarna površina dA u posmatranoj površini A. Sila pritiska na tu površinu je:

dP = p dA = ρgzdA

* Proračun ukupne sile pritiska P na površinu A (integral prethodne jednačine):

•Izraz = statički moment inercije površine A u odnosu na x,y-ravan, i iznosi:

zC najkraće rastojanje težišta C do slobodne površine tečnosti (x,y-ravan). 54

•Sila pritiska =

* Bilo koja od j-na (gore) može poslužiti da se odredi intenzitet sile hidrostatičkogpritiska na datu površinu.

* Pri tome je pC vrednost hidrostatičkog pritiska u tački C, koja je težište površine A.

55

PRIMJER:

•Treba odrediti pritisak p u homogenoj tečnosti na dubini h (prema slici za tečnost u otvorenoj posudi):

a) Otvorena posuda sa tečnošću b) Vertikalne sile na izdvojeni dio

•Položaj 1 = proizvoljna tačka na dubini h

•Položaj 2 = na površini tečnosti (vlada vanjski pritisak po)

•U hidrotehnici: vanjski pritisak obično kao atmosferski pa

•Uzimamo: po = pa

56

•Zamislimo: iz tečnosti u stanju mirovanja izdvojimo dio (valjak) površine dA i visine h

•Za uslov ravnoteže (održavanje mirovanja) usmjeru z-ose na osnovice valjka djeluju sile F1 i F2 preko pritisaka p i pa, kao i vlastita težina valjka FG.

•Tada imamo:

F1 = sila unutarnjeg pritiska na donju osnovicu valjka

F2 = sila atmosferskog (vanjskog) pritiska na gornju osnovicu valjka

FG = vlastita težina valjka

•Nakon sređivanja izraza (gore) dobijemo: (1)

Izraz (1) = veličina hidrostatičkog pritiska u tečnosti na dubini h (uvijek p >= 0).

57

* Hidrostatički pritisak u nekoj tački tečnosti ISTI u svim smjerovima u toj tačci.

* Relativni hidrostatički pritisak (pr) = razlika punog (apsolutnog) i atmosferskog:

pr > pa (predpritisak u tečnosti)

pr < pa (podpritisak – vakuum u tečnosti, pv)

•Kod vakuuma pritisak manji od atmosferskog

•Vrijednost pritisak vakuuma uvijek pozitivna:

58

RAZDIOBA PRITISKA I SILA PRITISKA

•Grafički prikaz razdiobe hidrostatičkog pritiska na neku površinu zove se DIJAGRAM PRITISKA

•Diferencijana sila pritiska uvijek okomita na površinu

•Dijagram (ukupnog) pritiska crta se okomito na površinu

•Razdioba pritiska raste linearno sa dubinom

•Zadaci u hidrostatici (problemi):

-Traži se sila kojom tečnost djeluje na neku ograničenu P

-U svakoj tački površine odredimo pritisak (nacrtamo dijagram pritiska)

-Često u zadacima:

lakše odrediti ukupnu silu pritiska preko njene horizontalne i vertikalne

komponente

(treba provesti analizu hidrostatičkog pritiska po komponentama sile pritiska)

59

* Razdioba pritiska i sila pritiska: na ravnim i zakrivljenim površinama

* Zakrivljena površina (primjer):

Dijagram pritiska i sila pritiska na zakrivljenu površinu

a) Geometrija površine b) Dijagram pritiska i ukupna sila pritiska c) Dijagram pritiska horizontalne

komponente sile pritiska i horizontalna komponenta sile pritiska d) Dijagram pritiska vertikalne komponente sile pritiska i vertikalna komponenta sile pritiska

60

•Vrijednost pritiska (relativnog) u pojedinim tačkama površine:

•Hidrostatički pritisak UVIJEK djeluje okomito na površinu

•Ukupna sila pritiska sa površinom zatvara ugao različit od 90o

•Kod ravnih i cilindričnih površina: ukupna sila pritiska okomita na površinu

Dijagram pritiska i ukupna sila pritiska

a) Ravna površina b) Cilindrična površina

* Ukupna sila F:

61

•Horizontalna komponenta sile pritiska = težini tijela pritiska formiranog iznad projekcije posmatrane površine na vertikalnu ravan sa ordinatama koje odgovaraju vertikalnim udaljenostima od tačaka posmatrane površine do slobodne površine tečnosti

•Vertikalna komponenta sile pritiska = težini tečnosti koja se nalazi iznad posmatrane površine

62

ARHIMEDOV ZAKON I PLIVANJE TIJELA

* Poznato je da tijela, koja se zarone u tečnost, nisu "tako teška", kao što subila prije zaranjanja.

* Očigledno je da dejstvo hidrostatičkih sila prouzrokuje sile koje djeluju naviše,tako da rezultujuća sila, koja djeluje na tijelo, postaje manja od težine G ili se izjednačava sa nulom.

•Proučavanje zasnovano je na analizi sila hidrostatičkog pritiska koje djeluju na tijelo.

•Tijelo zapremine V zaronjeno je u tečnost gustine ρ (slika):

Analiza dejstva sila pritiska na telo koje je zaronjeno u mirnu tečnost

63

•Analiza: posmatranje elementarne zapremine zaronjenog tijela, dimenzija dx, dy i dz, (nalazi se na dubini z).

•Na ovu elementarnu V djeluju sile pritiska sa svih strana.

•Bočne sile pritiska koje dejstvuju na površine dxdz su međusobno jednake jer su na istoj dubini, (suprotnog su smjera i poništavaju se).

•Isto važi i za sile koje djeluju na površini dydz.

•Na elementarnoj površini dxdy koja se nalazi dublje (dole) djeluje nešto veća sila nego na onu koja se nalazi gore.

•Ako se primjeni već prikazana j-na ( ) na ovaj slučaj može se izraziti rezultujuća sila dP:

P = ρ g zC A

dP = - ρgzdxdy + ρg(z+dz)dxdy

•Sređivanjem dobijamo:

dP = ρgdzdxdy = ρgdV

64

* Rezultujuća sila za cjelokupnu zapreminu V: P = ρ g V

IZRAZ ZA SILU P JE ARHIMEDOV ZAKON

•Rezultujuća sila P naziva se sila pritiska (ili kraće pritisak).

•Intenzitet sile pritiska koja djeluje na tijelo zavisi od gustine tečnosti u koju jetelo zaronjeno i od njegove V.

•Sila pritiska usmjerena je uvijek naviše.

•U ovoj analizi tečnost je smatrana nestišljivom (ρ = const).

65

•Ukupna sila pritiska P na potpuno zaronjeno tijelo može biti veća, manja ili jednaka težini tela G (tijela plivaju, tonu ili lebde).

1. slučaj - tijelo pliva (pod a):

-Uslov za plivanje tijela je da je P > G. -Kada je to tako tijelo će jednim dijelom isplivati na površinu toliko dok se dejstvo hidrostatičkog pritiska ne smanji dotle da se izjednači sa težinom G. -Dejstvo hidrostatičkog pritiska - sila P', u ovom slučaju je posljedica hidrostatičkog pritiska na okvašenu površinu A. -Važiće G = P’.

66

2. slučaj – tijelo lebdi (pod b):

-Sila pritiska jednaka je sili težini tijela P = G. -Tijelo će biti potpuno okvašeno, ali ne mora da potone do dna.

3. slučaj – tijelo tone (pod c):

-Sila pritiska je manja od težine tijela P < G.

67

PONAŠANJE TIJELA KOJA PLIVAJU:

-Težište C ispod napadne tačke sile pritiska D tijelo će stabilno plivati (stabilna ravnoteža).

-Slučaj kada se tijelo izvede iz ravnoteže; pojavljuje se spreg sila P i G (one su na rastojanju l) koji rezultuje momentom M koji teži da tijelo vrati u ravnotežu (labilno plivanje). Napadna tačka sile pritiska ispod težišta i ako se tijelo izvede iz ravnoteže ono rotira i plivanje je nestabilno (labilno).

-Sila napadne tačke sile pritiska D poklapa sa težištem C, ne pojavljuje se nikakav rezultujući moment, (tijelo rotira dok na njega djeluje dodatna spoljnja sila). 68

UZGON:

Tijelo uronjeno u homogenu tečnost

a) Oblik tijela b) Dijagram pritiska horizontalnih komponenata sile pritiska c) d) Dijagrami pritiska vertikalnih komponenata sile pritiska e) Dijagram rezultujućeg pritiska i rezultujuća sila pritiska

Rezultujuća vertikalna komponenta sile pritiska zove se UZGON.

•Uzgon: prvi spoznao Arhimed (250 p.n.e.)

•Na svako tijelo uronjeno u tečnost djeluje uzgon usmjeren vertikalno uvis

•Uzgon: jednak težini tečnosti istisnute tijelom u vodi

69

SILA UZGONA NA GRANICI DVA FLUIDA:

Tijelo koje pliva na granici dva fluida

Slika: plivanje tijela na razdjeljenoj P dva fluida gustina ρ1 i ρ2 (apsolutno mirovanje)

•Gustina ρ1 < ρ2 (vektor masene sile uvijek gleda prema gušćem fluidu)

•Za ρ1 = ρ2 (pri izračunavanju sile uzgona ona se može zanemariti) i bilo bi:

Sila Fb uzgona:

70

•Ako tijelo miruje: rezultantna sila i rezultantni M na tijelo = 0, i tada:

-Sila Fb1 ima hvatište u težištu V1 (tačka C1)

-Sila Fb2 ima hvatište u težištu V2 (tačka C2)

-Sila težine = u težištu T (centar mase) tijela

-Očito je da suma sila Fb1 i Fb2 = težina tijela i tačke C1 i C2 na istoj vertikali kroz T ili će biti jedna lijevo, a druga desno od tačke T

•Tijelo pliva: ako mu je ρ0 > od gustine ρ1, a manja od ρ2

•Tijelo čija je ρ0 > ρ2: potonut će u fluid gustine ρ2

•Tijelo čija je ρ0 < ρ1: isplivalo bi na slobodnu P fluida gustine ρ1

71

REZIME – OSNOVNA JEDNAČINA HIDROSTATIKE

Osnovna j-na hidrostatike

Pritisak u jednoj neprekidnoj V fluida const. ρρρρ u stanju mirovanja pod dejstvom sile teže zavisi samo od visinskog položaja.

Što dublje pritisak se povećava

ρρρρ = gustina fluida (const. za jedan fluid)

z = položajna kota (vezuje se za tačku ili hor. ravan unutar jednog fluida

Izbor kote z je potpuno proizvoljan (z=0 NULTA KOTA)

ΠΠΠΠ = pijezometarska kota

Π (nivo gdje je hidrostatički p = 0; Π const. za jedan fluid)

72

PRIMJENA OSNOVNE JEDNAČINE HIDROSTATIKE

- postupci rješavanja zadataka -

(1) Otvoreni sud sa jednom tečnosti

1. Izaberemo nultu kotu (z=0)

2.2.2.2. ΠΠΠΠ kota se uvijek nalazi na slobodnoj površini tečnosti (pa=0)

3. Hidrostatički pritisak u bilo kojoj tački tečnosti možemo izračunati primjenom osnovne j-ne hidrostatike

pB=ρρρρg(ΠΠΠΠ-zB)

73

(2) Zatvoreni sud

1. Izaberemo nultu kotu (z=0)

2. Zanemaruje se ρρρρ vazduha te je p u vazduhu const. Pritisak na kontaktu vazduha i tečnosti = pritisku u bilo kojoj tački vazduha pA=pvaz

3. Na osnovu poznatog p u tački A računamo ΠΠΠΠ kotu za tečnost

ΠΠΠΠ = zA + pA/ρρρρg

74

(3) Otvoreni sud sa više tečnosti

1. Izaberemo nultu kotu (z=0)

2. Polazimo od poznate ΠΠΠΠ kote tečnosti gustine ρρρρ1 (slobodna površina): ΠΠΠΠ1=zA

3. Biramo tačku na kontaktu dvije tečnosti (B) i posmatramo je kao tačku tečnosti čiju ΠΠΠΠ kotu znamo: pB=ρρρρ1g(ΠΠΠΠ1-zB)

4. Na osnovu poznatog p u zajedničkoj tački dvije tečnosti (B) računamo ΠΠΠΠ kotu za tečnost gustine ρρρρ2: ΠΠΠΠ2=zB+pB/ρρρρ2g

5. p u vazduhu je const (pvaz=0) te je p u bilo kojoj tački (D) = p na kontaktu između vazduha i tečnosti (C): pC=ρρρρ2g(ΠΠΠΠ2-zC)=pD

75

Napomena:

-U hidrotehnici uobičajno umjesto p koristiti visinu pritiska (p / ρρρρg) (m)

-Dijagram visine pritiska za tečnost uvijek zaklapa ugao 45o sa horizontalom

76

(4) Živin manometar

1. Izaberemo nultu kotu (z=0)

2. Postupak isti kao prethodni primjer (poznata ΠΠΠΠ kota jednog fluida – živa)

3. Na osnovu poznate ΠΠΠΠ kote Hg računamo p u tački na kontaktu dva fluida (B):

pB=ρρρρžg(ΠΠΠΠž-zB)

4. Na osnovu poznatog p u zajedničkoj tački dva fluida računamo ΠΠΠΠ kotu za fluid gustine ρρρρ: ΠΠΠΠ=zB+pB/ρρρρg

77

(5) Otvoreni manometar

1. Izaberemo nultu kotu (z=0)

2. Otvoreni manometar pokazuje hidrostatički p tečnosti na koti na kojoj se nalazi manometar (zM): pM=ρρρρg(ΠΠΠΠ-zM)

3. Otvoreni manometar je samo specijalni slučaj diferencijalnog manometra kod koga je p sa jedne strane = 0

78

(6) Diferencijalni manometar

1. Izaberemo nultu kotu (z=0)

2. Diferencijalni manometar je uređaj koji mjeri razliku hidrostatičkih pritisaka na koti na kojoj se nalazi membrana: ∆∆∆∆pM=pM

+ - pM-

pM+=ρρρρ2g(ΠΠΠΠ2-zM)

pM-=ρρρρ1g(ΠΠΠΠ1-zM)

79

HIDRODINAMIKA

HIDRODINAMIKA: proučava kretanje tečnosti i čvrstih tijela u tečnosti

Definisanje kretanja tečnosti: poznavati raspored v i p u svim tačkama strujnog polja i njihovu promjenu u f(t)

Zbog jednostavnijeg računa: pojam IDEALNE tečnosti

IDEALNA TEČNOST:

-Potpuno nestišljiva

-Odsustvo temperaturnog širenja

-Odsustvo viskoziteta tj. sila trenja pri kretanju

80

•Proučavanje kretanja fluida: veoma složen zadatak.

•Opšti slučaj kretanja potrebno je voditi računa o velikom broju veličina u cijeloj Vkoju zauzima fluid, a koje su f(t).

•Zbog ove složenosti proučavanje se može pojednostavljivati na nekoliko načina: -Idealizacije modela fluida pomažu da se matematički jednostavnije opiše kretanje ili mirovanje fluida. -U slučaju kretanja fluida, pored p, ρρρρ i spoljnih sila pojavljuje se v kretanja čestica fluida. -Viskoznost se manifestuje tokom kretanja fluida.

•Istorijski: mehanika fluida u domenu kretanja razvijala se u dva pravca:

1. Lagranžev (Joseph-Louis Lagrange) princip zasnovan na posmatranju čestice fluida koja se kreće, (kao u mehanici čvrstih tijela). Princip se sastoji u tome da se čestica fluida "prati" tokom njenog kretanja.

2. Ojlerov (Ledonhard Euler) princip zasnovan na posmatranju cjelokupnog prostora koji zauzima fluid. "Prate " se promjene svih bitnih veličina u nekoj tački prostora koji zauzima fluid. Fluid se smatra potpuno plastičnom (deformabilnom) materijom koja u potpunosti ispunjava prostor.

81

•Pojednostavljenje kretanja fluida jednostavniji matematičko opisivanje (često se može usvojiti tako da se posmatrani parametri fluida u posmatranoj tački fluidnog prostora ne mijenjaju tokom vremena).

•U ovakvom slučaju ovakvo kretanje je stacionarno ("ustaljeno").•Kada se posmatrane veličine u nekoj tački mijenjaju tokom vremena kretanje je nestacionarno ("neustaljeno").

OSNOVNI POJMOVI KRETANJA TEČNOSTI:

Osnovni pojmovi kretanja fluida 82

•Putanja: geometrijsko mjesto tačaka kroz koje je prošao fluidni djelić. U oštem slučaju to je kriva linija po kojoj se kretao posmatrani fluidni djelić. Naziva se i "trag" kretanja fluidnog djelića. Pri stacionarnom kretanju strujnica i putanja se podudaraju (poklapaju) (slika a).

•Strujno vlakno: skup ("zbir") strujnica i predstavlja elementarnu (diferencijalnu) strujnu cijev (slika b).

•Strujna cijev: konačni zbir strujnih vlakana (slika c).

•Strujni tok: zbir više strujnih cijevi koje razgranjavaju i spajaju (razgranate cijevne mreže, rijeke sa kanalima i sl) (slika d).

83

PROTOK:

•Protok = količina fluida koja protekne kroz posmatranu površinu presjeka u ∆∆∆∆t.

•Definicija protoka može se odrediti na osnovu definicije gustine:

Definisanje protoka

ds – elementarni pređeni put

dA – elementarna površina

dm – elementarna masa

84

•Protok: maseni i zapreminski

•Maseni protok se definiše na osnovu j-ne:

-dττττ je elementarno vrijeme, koje je proteklo tokom prelaska puta ds, -ds/dττττ je trenutna brzina fluida u posmatranoj tački.

•Zapreminski protok određuje se:

85

JEDNAČINA KONTINUITETA

•Opšti zakon klasične fizike o održanju mase (materije) primjenjen na strujanje fluida= jednačina kontinuiteta.

•Slučaj stacionarnog kretanja:•Prethodno je definisan maseni protok fluida. •Posmatramo elementarno strujno vlakno (sl. dole): maseni protok duž njega će biti jednak, zato što se "masa ne može dobiti ni izgubiti". •Zbog toga važi:

Proticanje fluida kroz strujno vlakno

dm1 = dm2 = ... = dm = const (A)

86

* Na osnovu izraza za maseni protok:

* J-nu (A) može pisati: ρ1v1dA1 = ρ2v2dA2 = ... = ρvdA = const (B)

•J-na (B) je tražena jednačina kontinuiteta u elementarnom obliku.

•Kod nestišljivog fluida, (ρ =const), j-na se pojednostavljuje:

* Za strujnu cijev treba sabrati Q kroz strujna vlakna od kojih je cijev sastavljena

* Ukupni maseni protok kroz strujnu cijev je:

* Za nestišljiv fluid:

(C)

(D)

87

* J-na kontinuiteta za strujnu cijev se formuliše za: m=const ili Q=const

•Za praktičnu primjenu j-ne kontinuiteta koristimo pojam srednje brzine u strujnoj cijevi.

•Srednja v definiše se na slijedeći način:

•Izraz u zagradi je skalarni proizvod vektora.

•Jednostavnije vsr:

v = komponenta brzine normalna na P poprečnog presjeka strujne cijevi.

Komponente v različitog intenziteta po presjeku.

(E)

88

Vrijednost normalne komponente brzine je različita po presjeku strujne cijevi

* Vrijednost integrala iz j-ne (E) jednaka je ukupnom protoku:

•U mehanici fluida postoje i druge definicije vsr, koje se primenjuju u specifičnim slučajevima.

* J-na kontinuiteta za stacionarno strujanje kroz strujnu cijev:

(F)

89

* Nestišljivi fluidi (ρ=const): (G)

* Primjer strujne cijevi (mijenja se A presjeka):

* J-na kontinuiteta: (H)

90

OSNOVNA J-NA KRETANJA FLUIDA

(OJLEROVA DIFERENCIJALNA J-NA ZA KRETANJE FLUIDA)

•Uzmimo: neviskozan fluid u stacionarnom tečenju

•J-na statike fluida:

To je vektorska j-na i naziva se Ojlerova jednačina za miran fluid. Skalarni oblik ove j-ne u pravouglom Dekartovom koordinatnom sistemu glasi:

•Rešenje Ojlerove j-ne za miran fluid jednostavno ako je ρ = const (nestišljivi fluid) ili poznata funkcija ρ= ρ (p).

91

•Kretanje neviskoznih fluida: spoljne sile i inercijalne sile. •One su posljedica Njutnovog zakona:

•Za jediničnu masu fluida ovaj zakon glasi:

•Dinamička j-na ravnoteže fluida = ravnoteža unutrašnjih i spoljnih sila (statika fluida) i ravnoteža inercijalnih sila:

•Vektorska j-na razlaže se u skalarni oblik, u pravouglom Dekartovom koordinatnom sistemu:

(1)

(2)

(3) 92

Kada j-nu (1) pomnožimo sa dx; j-nu (2) sa dy; j-nu (3) sa dz:

Sabiranjem ove tri j-ne dobijamo:

Preuređenjem ove j-ne dobijamo:

Dobijamo komponente brzine u pravcima pojedinih koordinata. Uočavamo totalni diferencijal pritiska dp.

(4)

93

J-na (4) dobija slijedeći oblik:

Brzina fluida u nekoj tački:

(5)

Nakon diferenciranja i dijeljenja sa 2, j-na (5) poprima oblik:

odnosno

(6)

J-na (6) je Ojlerova jednačina za kretanje fluida.(važi za stacionarno strujanje i za neviskozni fluid).

Ojlerova diferencijana jednačina kretanja je opšti zakon 94

BERNOULLI-eva JEDNAČINA

•Temeljna važnost

•U hidraulici najveća primjena

•Primjena za ustaljeno (stacionarno) i neustaljeno (nestacionarno) tečenje

•Puni izražaj kod strujanja realne tečnosti

BERNOULLI-EVA J-NA IDEALNE TEČNOSTI

•Pretpostavka: ustaljeno tečenje, nestišljiva tečnost, bez temp. širenja i viskoziteta

•Djelovanje: vlastita težina FG, sila pritiska FN i sila tromosti Ft

•Bernoulli-eva j-na u visinskom obliku:

95

zi – visina položaja posmatrane tačke (m)

pi – pritisak u istoj tački (N/m2)

ρ – gustina tečnosti (kg/m3) g – ubrzanje polja sile teže (m/s2)

vi – srednja brzina u presjeku toka (m/s)

H=Esp – energetska visina (m) 96

•Energetska visina (H=Esp) = energija jedinice mase tečnosti uzete s obzirom na

proizvoljno odabranu horizontalnu ravan kao referentnu ravan.

•Bernoulli-eva j-na = zakon stalnosti specifične mehaničke (potencijalne i kinetičke) energije idealne tečnosti u strujanju

•Član z = visina svih položaja različitih tačaka toka iznad referentne ravni

•Član z = GEOMETRIJSKA (GEODETSKA) VISINA POLOŽAJA

•Član p/ρρρρg = TLAČNA VISINA

•Član v2/2g = BRZINSKA VISINA

97

•Zbroj z+p/ρρρρg = prostorna tzv. PIJEZOMETARSKA LINIJA (ΠΠΠΠ)

•Do ΠΠΠΠ će se podići voda u manjoj cijevi spojenoj na cijev

•U vodovodnoj mreži: razvod vode po vertikali moguć jedino do ΠΠΠΠ linije

•Promjena ΠΠΠΠ linije (z+p/ρρρρg) po jedinici dužine = PIJEZOMETARSKI PAD

•Bernoulli-eva j-na za idealnu tečnost: za sve tačke zadane linije toka je suma tri visine (visine položaja, tlačne visine i brzinske visine) STALNA VELIČINA

•Realna tečnost: postoji trenje (specifična mehanička energija duž toka opada)

•Razlog opadanju: jedan dio energije se bespovratno pretvara u toplinsku energiju prilikom savladavanja otpora koji se javljaju u realnoj tečnosti prilikom tečenja

98

BERNOULLI-EVA JEDNAČINA REALNE TEČNOSTI

•Ustaljeno tečenje nestišljive tečnosti (visinski oblik Bernoulli-eve j-ne) između dva presjeka:

� ααααi = CORIOLISOV KOEFICIJENT (KOEFICIJENT KINETIČKE ENERGIJE)

� ααααi = odnos stvarne kinetičke E sekundne mase tečnosti prema kinetičkoj E određenoj iz uslova da su v u svim tačkama proticajne P = vsr

•U hidrotehnici (strujanje u cijevima): αααα=1,0

•U hidrotehnici (otvoreni vodotoci) αααα=1,1

(1)

99

� ∆∆∆∆H = dio specifične E utrošen na savladavanje otpora strujanju tečnosti (m)

� ∆∆∆∆H = rad svih sila otpora koji se odnosi na jedinicu mase viskozne tečnosti pri njenom strujanju iz presjeka 1 u presjek 2

•J-na (1) sadrži ZAKON ODRŽANJA ENERGIJE (“ZOE”)

•“ZOE” primjenjen na tečnosti: ukupna promjena E posmatrane V tečnosti u t jednaka je radu svih sila koje u tom vremenu djeluju na tečnost

(1)

100

� ΠΠΠΠ linija može duž toka rasti, a linija E uvijek opada (razlika od idealne tečnosti)

•Jednoliki pad E linije: odnos gubitaka ∆∆∆∆H (m) prema dužini dionice ∆∆∆∆L (m) na kojoj nastaje gubitak zove se HIDRAULIČKI PAD (IE)

•Za primjenu Bernoulli-eve j-ne kod realnih tečnosti moramo odrediti hidrauličke gubitke (simbol ∆∆∆∆H)

101

VRSTE STRUJANJA

•Tečnosti struje "uređeno" ili "haotično“

•Posmatranju vode koja ističe iz slavine:

•Kada se slavina malo otvori, na gornjem dijelu toka, blizu izlaznog dijela slavine, voda struji "uređeno". •Malo niže počinje "haotično" kretanje vode.

•Utvrđeno da vrsta strujanja utiče na ukupne gubitke fluidne energije pri strujanju.

•Zapaženo je da pri većim brzinama fluida dolazi do pojave "haotičnog" strujanja.

102

STRUJANJE (TEČENJE) TEČNOSTI:

•Strujanje vode u prirodi je neustaljeno (nestacionarno)

•Neustaljeno (nestacionarno) strujanje:

•v i p se mijenjaju f(t)

•v=v(x,y,z,t) p=p(x,y,z,t)

•Ustaljeno (stacionarno) strujanje:

•v i p su const. tokom t

•v=v(x,y,z) p=p(x,y,z)

•Jednoliko (ravnomjerno) strujanje:

•Poseban slučaj ustaljenog strujanja

•Raspored v i p u jednom presjeku ostaju isti duž cijelog toka

•Nejednako (neravnomjerno) strujanje:

•Opšti slučaj ustaljenog strujanja i veličina poprečnog profila se mijenja

103

• Strujanje tečnosti:

a) Strujanje pod pritiskom: npr. vodovodna mreža – strujanje se odvija pod dejstvom razlike pijezometarskih pritisaka u vodi

b) Strujanje sa slobodnim nivoom: npr. u rijekama, kanalima, kanalizacionoj mreži –formira se pod dejstvom zemljine teže

Na slobodnoj površini vode vlada atmosferski pritisak.

• U ovisnosti od v i νννν tečnosti i D protočnog presjeka imamo:

1) Laminarno strujanje: strujnice tečnosti imaju paralelan tok i ne miješaju se

2) Turbulentno strujanje: strujnice tečnosti imaju vrtložan tok

104

•Reynolds proučavao fenomen “uređenog” i “haotičnog” strujanja.

•U osnovni tok fluida upuštao je obojeni fluid iz posebnog rezervoara. •Ekperimentisao sa različitim fluidima (i tečnim i gasovitim). •U eksperimentima mijenjao v strujanja osnovnog fluida. •Ekperimentisao i sa različitim prečnicima cijevi u kojoj je strujao fluid. •Izveo veoma veliki broj eksperimenata. •Zapazio da promena režima strujanja zavisi od vrste fluida, odnosno njegove viskoznosti, od v strujanja i od D cijevi u kojoj fluid struji. •"Uređeno" strujanje je nazvao laminarno strujanje.•“Haotično" je nazvao turbulentno strujanje.

•Postupnim povećavanjem brzine fluida u cijevi dostizao je moment kada je laminarno strujanje prelazilo u turbulentno. •Na velikom broju ponovljenih eksperimenata za isti fluid i za istu cijev, uvijek pri određenoj v fluida dolazilo je do promjene režima strujanja. •Njegov veliki doprinos nauci bio je taj što je uspio da utvrdi kriterijum pri kome dolazi do prelaska laminarnog u turbulentno strujanje. •Taj kriterijum kasnije je nazvan baš po Rejnoldsu i zove se Rejnoldsov broj. •Definisan na sledeći način:

105

Reynoldsov eksperiment

Rejnoldsov eksperiment (1 – posuda sa obojenim fluidom, 2 – strujna cev)

106

•Reynolds ekperimentima utvrdio: promena režima strujanja nastajala je pri tačno određenoj vrijednosti Reynoldsovog broja, bez obzira na vrstu fluida, v fluida i D cijevi.

•Laminarno strujanje uvijek je postojalo za vrijednosti Re ≤ 2320. •Turbulentno strujanje uvijek je postojalo pri strujanjima za koje je bilo Re ≥10000. •Pažljivim povećanjem v strujanja iznad Re = 2320 može se održati laminarno strujanje, ali je ono nestabilno, i lako se promeni u turbulentno.

•Ako se snižava vrijednost Reynoldsovog broja ispod 10000 može da postoji turbulentni režim.

•Zbog ovih činjenica strujanje u području definisanim opsegom 2320 ≤ Re ≥ 10000naziva se prelazni režim strujanja. •U ovom području moguće je da postoji i laminarno i turbulentno strujanje.

•Na osnovu ovoga imamo:

107

•Režim strujanja utiče na brzinsko polje fluida u cijevi. •Ovo polje naziva se i profil v fluida u cijevi.

•Ako je strujanje fluida u cijevi laminarno profil v fluida u cijevi definisan je parabolom.

•U slučaju turbulentnog strujanja profil v je ravnomjerniji, ali pri tome treba znati da je uz zidove cijevi strujanje laminarno, a u jezgru cevi je turbulentno.

•Između laminarnog i turbulentnog područja nalazi se područje prelaznog režima strujanja.

108

ODREĐIVANJE GUBITAKA FLUIDNE ENERGIJE

•Proširena Bernoulli-eva j-na, koja se odnosi na viskozni fluid pruža mogućnost za razne proračune strujanja:

•Treba poznavati član jednačina:

•Veliki broj istraživača radio je na određivanju vrijednosti ovog člana j-ne. •Ovi gubici se određuju eksperimentalno. •Uniformnost određivanja gubitaka fluidne energije je postignuta tako što se uzimada je gubitak fluidne energije proporcionalan kinetičkoj energiji fluida.

•Za svaki pojedinačni uzrok nastanka gubitka eksperimentom je utvrđeno na koji način on zavisi od kinetičke energije fluida.

109

-ξi = koeficijent otpora, koji se određuje eksperimentalno.

-Specifičnost pojedinih vrsta otpora iskazana je vrijednošću ovog koeficijenta.

-Generalno, gubici fluidne energije razvrstavaju se u dvije vrste:-Prva vrsta gubitaka su oni koji nastaju pri strujanju kroz prave cijevi, a druga vrsta je ona koja nastaje zbog promjene pravca strujnica i zbog promjena lokalnih v fluida. Ova druga vrsta gubitaka naziva se lokalni gubici fluidne energije.

110

Gubici fluidne energije pri strujanju kroz prave cijevi

•Uticaj većeg broja faktora

•Nikuradze eksperimentima utvrdio da su to slijedeći faktori:e – hrapavost unutrašnje površine cijevi,d – prečnik cijevi,νννν – kinematska viskoznost,v – brzina fluida il – dužina cijevi.

Hrapavost unutarnje površine cijevi

•Nikuradze postavio slijedeću zavisnost:

e/d = relativna hrapavost

111

•Darcy je postavio izraz za linijske gubitke:

λ = koeficijent trenja u pravim cijevima. •Dalja istraživanja usmjerena ka iznalaženju načina određivanja koeficijenta trenja λλλλ.

•Značajan doprinos u ovoj oblasti dao je Mudi (Moody).

•Moody:- obradio područje laminarnog, prelaznog i turbulentnog strujanja- za laminarni režim utvrdio da hrapavost ne utiče na koeficijent trenja. - kod laminarnog režima strujanja (Re ≤ 2320) koeficijent trenja se određuje na slijedeći način:

•Koeficijent trenja zavisi od v, D cijevi i kinematske viskoznosti.•U slučaju turbulentnog strujanja proračun gubitaka nešto složeniji.

(B)

(A)

112

•Mudi (Moody) nastavio istraživanja Nikuradze-a i formirao dijagram, na osnovu koga se određuje koeficijent trenja (Mudijev dijagram).

•Dijagram je izrađen u logaritamskim koordinatama.

•Na apscisi je Rejnoldsov broj Re, a na ordinati koeficijent trenja λλλλ. •Obe kordinate su logaritamske.

•U lijevom dijelu dijagrama je laminarno područje (Re ≤ 2320).

•Linija zavisnosti koeficijenta trenja od Rejnoldsovog broja je prava zbog logaritamskih koordinata. •Ta zavisnost je, inače, hiperbola.

•U desnom dijelu dijagrama, za Re ≥ 2320, povučene su linije različitih relativnih hrapavosti e/d.

113

Moody-ev dijagram

114

•Procedura određivanja koeficijenta trenja, u nekom konkretnom slučaju, je slijedeća:

1.Izračunavanje vrijednosti Reynoldsovog broja,2.Određivanje režima strujanja,3.Ako je Re ≤ 2320, strujanje je laminarno i koristi se jednačina (B),4.Ako je Re ≥ 2320, strujanje je prelazno ili turbulentno. (određuje relativnahrapavost e/d).

•Na bazi ove vrijednosti se pronalazi odgovarajuća kriva u Mudijevom dijagramu. •Ako je potrebno obavlja se interpolacija.

•Sa apscise gde je nanešena izračunata vrednost Reynoldsovog broja povlači se vertikalna prava linija do presjeka sa određenom linijom relativne hrapavosti. •Iz tačke tog presjeka povlači se horizontalna prava do ordinate gde se očitava vrednost koeficijenta trenja λλλλ.

•Nakon određivanja koeficijenta trenja koristi se izraz (A) za određivanje gubitaka fluidne energije u pravim cijevima.

(B) (A)

115

•Cijevi nisu kružnog poprečnog preseka:- Reynoldsov broj se izračunava na osnovu hidrauličkog radijusa:

Rh = hidraulički radijus.

Rh se određuje na sledeći način:

A = P poprečnog presjeka

O = okvašeni obim poprečnog presjeka

116

117

LOKALNI GUBICI FLUIDNE ENERGIJE

•Zbog promjene pravca strujnica i zbog promjene v strujanja na pojedinim mjestima duž strujanja javljaju se dodatni, lokalni gubici fluidne energije.

•Primjeri za to: skretanje fluida (koljeno), cijevni zatvarači (ventili, zasuni i slavine), proširenja cijevi, suženja cijevi, filteri, račve itd

•Lokalni gubici:

ξ = koeficijent lokalnog otpora.

ξ : određuje se pomoću literature, u kojoj su sistematizovani različiti slučajevi i date vrednosti za koeficijent lokalnog otpora. 118

a) Gubitak energije na spoju kraja cijevi i rezervoara:

-Spoj cijevi i rezervoara (slika)

-U cijevi teče voda brzinom v1 i ima kinetičku energiju v12/2g

-Poprečni presjek R >> poprečni presjek cijevi D sva kinetička energija transformiše se u toplotu

-Koeficijent lokalnog gubitka energije na izlazu iz cijevi ξξξξizl:

119

- Energija koja se izgubi na izlazu (Eizl):

-Vrijednost koeficijenta lokalnog gubitka na izlazu iz cijevi (ξξξξizl) NE MOŽE se promijeniti.

-Želimo smanjiti fubitke energije (Eizl) zbog npr. proizvodnje električne energije u HE,

onda poprečne presjeke na izlazu cijevi treba postepeno proširiti (slika dole)

120

-Cijev sa difuzorom (kraj cijevi se širi i tu imamo brzinu v2 < v1)

-Koeficijent lokalnog gubitka (ξξξξizl) je isti

-BITNO: zbog smanjenja brzine (v2) smanjuje se i Eizl

-Ugao difuzora (αααα) određuje se hidrauličkim modelskim ispitivanjima

121

b) Gubitak energije na suženju cijevi

- Smanjenje poprečnog presjeka cijevi

- Na mjestu suženja, pri tečenju fluida nastaje gubitak energije

- Gubitak na suženju sastoji se iz dva dijela:

1. U prvom dijelu dolazi do suženja poprečnog presjeka struje u pravcu tečenja te nastaje manji dio ukupnog gubitka energije ∆∆∆∆E1

2. U drugom dijelu, u pravcu tečenja, poprečni presjeci struje se šire i stvaraju drugi i veći dio gubitka energije ∆∆∆∆E2. 122

-Poprečni presjek je najuži na presjeku “S”

-Presjek “S” usljed kontrakcije mlaza poprečni presjek manji od presjeka manje cijevi

Zaključak:

Struja vode lakše “prati” suženje od proširenja

Smanjenje energije na suženju (∆∆∆∆Esuz):

Prema eksperimentima, koeficijent gubitka energije na suženju (ξξξξsuz):

(A)

(B)

123

c) Gubitak energije na ulazu u cijev

- Spoj R i cijevi, gdje fluid ulazi u cijev, shvatamo kao suženje

- Mogući razni oblici ulaza u cijev:

a) Oštroivični ulaz

b) Upuštena cijev u R

c) Pravolinijski oblikovani ulaz

d) Hidraulički oblikovan ulaz

a) b) c) d)

124

a) Oštroivični ulaz: važe izrazi (A) i (B)

- U R, v zanemarljiva i D1 teži beskonačnosti, te je lokalni gubitak na ulazu:

- Koeficijent lokalnog gubitka na ulazu:

b) Cijev upuštena u R:

-Djelići fluida teže ulaze u cijev trajektorije više odstupaju od pravih linija

-Lokalni gubici veći od oštroivičnog ulaza

-Koeficijent lokalnog gubitka energije ξξξξul:

(C)

Važi izraz (C) !!!

125

c) Pravolinijski oblikovan ulaz:

- Smanjuju se lokalni gubici energije

Važi izraz (C) !!!

d) Hidrauličko oblikovanje ulaza u cijev:

- Znatno smanjuje koeficijent lokalnog gubitka pa tako i gubitak energije

Važi izraz (C) !!!

ZAPAŽANJE:

Oblikovanjem ulaza cijevi u R možemo smanjiti lokalne gubitke energije na ulazu !

126

d) Gubitak energije na kružnoj krivini

- Strujanje fluida u cijevi koja ima kružnu krivinu (koljeno)

-Strujanje u koljenu: osnovno (kao i kod prave cijevi) i sekundarno

-U krivini se formiraju dva helikoidna strujanja (simetrična u odnosu na osu cijevi)

-Posljedica ovakvog strujanja: max. v se premještaju prema spoljnoj strani

-p na spoljnoj strani krivine uvijek > od unutrašnje strane

127

- Koeficijent lokalnog gubitka energije na krivini:

- Uticaj Re broja na gubitak energije u krivini NIJE toliko značajan

- Npr. u hrapavoj cijevi turbulencija je jače izražena uticaj Re na lokalne gubitke energije manji od uticaja za glatku cijev

128

e) Gubitak energije na zatvaraču

Koeficijenti lokalnih gubitaka i zatvarača:

a) Leptirasti zatvarač

b) Pločasti zatvarač

c) Loptasti zatvarač

d) Tablasti zatvarač

a) b)

c) d)

-Zatvarači na cijevima prouzokuju lokalne gubitke energije

-Tip zatvarača f-ja veličine lokalnih gubitaka

129

REZIME

TEČENJE U CIJEVIMA POD PRITISKOM – osnovne jednačine

•Podrazumijevamo slijedeće:

-Fluid nestišljiv (ρρρρ=const)

-Ustaljeno tečenje (δδδδ/δδδδt=0)

1) JEDNAČINA KONTINUITETA:

-Načelo o nepromjenjivosti mase primjenjeno na fluidnu struju između dva presjeka

v – srednja brzina u presjeku

A – površina poprečnog presjeka

Q – protok V fluida u jedinici t130

2) ENERGETSKA JEDNAČINA:

- Načelo o održanju mehaničke energije primjenjeno na fluidnu struju između dva presjeka

Ukupna energija fluidne struje u uzvodnom presjeku = ukupnoj energiji fluidne struje u nizvodnom presjeku, uvećanoj za gubitke energije od uzvodnog do nizvodnog presjeka.

Ukupna energija fluidne struje po jedinici težine u uzvodnom presjeku (potencijalna + kinetička)

Ukupna energija fluidne struje po jedinici težine u nizvodnom presjeku (potencijalna + kinetička)

Gubici energije po jedinici težine od uzvodnog do nizvodnog presjeka

131

Vrste gubitaka:λ – koeficijent trenja

ξ – koeficijent lokačnog gubitka

L – dužina cijevi

D – prečnik cijevi

v – srednja brzina u presjeku

BITNA NAPOMENA:

U formuli (obrascu) za računanje lokalnih gubitaka uzimamo NIZVODNU BRZINU, osim kod izlaza cijevi u rezervoar gdje se uzima brzina u cijevi.

Kod potopljenog izlaza cijevi u rezervoar, koeficijent lokalnog gubitka UVIJEK je ξξξξizl=1.

132

DINAMIČKA JEDNAČINA – jednačina održanja količine kretanja

Dinamička j-na za V između presjeka 1 i 2

133

Proračun protoka kada imamo poznat raspored brzina u=u(r):

u – brzina u tački na udaljenosti r od centra cijevi

dr – debljina kružnog prstena sa const brzinom u

v – srednja brzina v=Q/A

134

HIDRAULIČKE MAŠINE – izmjena energije između fluida i čvrste pokretne granice

1) PUMPE (hidrauličke mašine koje predaju energiju fluidu)

Hp – visina dizanja pumpe (Hp=E2 – E1)

ηp – koeficijent korisnog dejstva pumpe

Np – snaga pumpe (W) Np=ρρρρgQHp / ηηηηp

135

2) TURBINE (hidrauličke mašine koje prenose energiju sa fluida na turbinu)

HT – spuštanje ili pad turbine (HT=E1 – E2)

ηT – koeficijent korisnog dejstva agregata

NT – snaga turbine (W) NT=ρρρρgQHTηηηηT

136

TURBINA = hidraulička mašina kojom se mehanička energija fluida prenosi na obrtno kolo

Slika:

E i Π Π Π Π linija uzvodno i nizvodno od turbine

Prema slici: razlika energije uzvodno i nizvodno od turbine iznosi

H – smanjenje energije ili “pad”

- Ako se fluid mase m spusti za visinu h njegova potencijalna E (Ep) mijenja se za:

137

-Masa fluida: m = ρ∆ρ∆ρ∆ρ∆V

-Smanjenje potencijalne energije u jedinici vremena:

Količnik ∆∆∆∆V / ∆∆∆∆t je jednak proticaju Q, te imamo:

Kinetička energija:

- Ako fluid mase m ima brzinu strujanja v, njegova kinetička energija Ek:

Smanjenje kinetičke energije (Sk) u jedinici vremena:

(a)

(b)

138

- Iz j-na (a) i (b) smanjenje energije u jedinici vremena = snaga:

odnosno:

Snaga turbine:ηηηηt – koef korisnog dejstva turbine (ηt < 1)

Gubici energije u turbini su posljedica:

-Trenja u ležajevima

-Gubitaka vode za hlađenje

-Hidrauličkih gubitaka u turbini (trenje i lokalni gubici)

139

Snaga generatora: ηηηηg – koef korisnog dejstva generatora (ηηηηg < 1)

Gubici energije u generatoru:

-Pri pretvaranju mehaničke E u električnu E

-Kada se dio mehaničke E pretvara u toplotnu E

140

USTALJENO ISTICANJE

• Isticanje kroz oštrobridne otvore

• Oštrobridni otvor = rubovi otvora zaoštreni tako da d stijenke ne utiče na oblik mlaza

• Slučajevi isticanja:

a) Isticanje kroz male i velike (visoke) otvore

b) Nepotopljeno (slobodno) i potopljeno isticanje

Ustaljeno isticanje kroz mali otvor: a) nepotopljeno isticanje b) potopljeno isticanje c) suženje mlaza

141

Ustaljeno isticanje kroz visoki otvor: a) geometrija isticanja b) geometrija otvora

•Podjela isticanja prema veličini otvora: f-ja ∆∆∆∆v u poprečnom presjeku mlaza

•Mali otvori: v praktično const. u poprečnom presjeku mlaza

•Mali otvori: tlačna visina H iznad otvora je velika u usporedbi sa dimenzijama otvora

•Visoki otvori: razlika v na gornjoj i donjoj slobodnoj strujnici mlaza je znatna

142

• Podjela prema načinu isticanja mlaza:

a) Nepotopljeno isticanje = mlaz slobodno ističe u atmosferu

b) Potopljeno isticanje = otvor se nalazi ispod nivoa donje vode

ISTICANJE KROZ MALE OTVORE:

•Strujnice u otvoru nisu paralelne

•Na određenoj udaljenosti od otvora zakrivljenost strujnica se smanjuje paralelne

•Pri tome nastaje smanjenje presjeka mlaza

•Suženi presjek = presjek najbliži otvoru u kojem je isticanje sa praktično usporednim strujnicama

•Ac (m2) = površina suženog presjeka mlaza

•A (m2) = površina otvora

Koeficijent suženja (kontrakcije)

143

•Problem kod analize isticanja kroz otvore:

-Određivanje v isticanja (vc) u suženom presjeku mlaza

-Određivanje protoka isticanja (Q)

•Za određivanje ovih veličina polazimo od Bernoulli-eve j-ne za presjeke A-A i C-C

(referentna ravan 0-0)

Pretpostavljamo slobodno isticanje idealne tečnosti:

Ustaljeno isticanje kroz mali otvor: a) nepotopljeno isticanje b) potopljeno isticanje c) suženje mlaza

144

vci = v isticanja idealne tečnosti u suženom presjeku mlaza

vc = stvarna v isticanja u suženom presjeku mlaza (vc < vci)

ϕϕϕϕ = koeficijent brzine

Iz j-ne kontinuiteta:

Nakon uvršavanja, dobijamo protok, Q:

To je proizvod koeficijenta brzine (ϕϕϕϕ) i koeficijenta suženja (ec) prikazan koeficijentom isticanja (µµµµ)

145

•Za primjenu navedenih izraza poznavati vrijednost koeficijenata ϕ i ec, odnosno µ.

•Koeficijenti se određuju eksperimentalnim istraživanjima

•Istraživanja Altšulja (1970): dijagram vrijednosti koeficijenta ϕ, ec i µ za kružne otvore u f-ji Re broja

•Sa dijagrama: Re > 100000 koeficijenti imaju stalne vrijednosti

Vrijednost koeficijenata isticanja kroz male otvore

146

NEUSTALJENO ISTICANJE

•Kod isticanja iz rezervoara pod promjenjivim p

•Kada se nivo tečnosti u rezervoaru smanjuje prilikom isticanja

•Isticanje kroz potopljen otvor u prostor sa tečnosti u kojem se nivo mijenja

a) nepotopljeno isticanje b) potopljeno isticanje

•I pod a) i pod b) u svakom trenutku se mijenjaju aktivni pritisak i Q, tj. v

•Zbog toga strujanje je nestacionarno

147

•Karakteristika: - pretpostavlja se lagana vremenska promjena nivoa tečnosti

- polazi se od j-na za ustaljeno strujanje

•Vrijeme promjene tlačne visine od H1 do H2 (prethodna slika):

Iz ovog izraza relacija za određivanje vremena pražnjenja rezervoara (posude) ili vremena izjednačenja nivoa tečnosti u rezervoarima (ako uzmemo H2=0):

I za ove izraze važi ograničenje u smislu promjenjivosti koef. isticanja, µµµµ, u f-ji tlačne visine tj. t

148

ISTICANJE PREKO PRELIVA I ISPOD ZAPORNICA

PRELIV: HG u kojem voda struji pod dejstvom razlike p nastale zbog bočnog

suženja ili pregrađivanja korita

ISTICANJE PREKO PRELIVA: strujanje vode na takvom jednom dijelu HG

ZAPORNICA: uređaj za ispuštanje (regulaciju) vodnih protoka i za zatvaranje nekih protočnih elemenata HG

ISTICANJE ISPOD ZAPORNICE: strujanje vode ispod takvog uređaja

149

ISTICANJE PREKO PRELIVA

Klasifikacija preliva prema:

1) Profilu preliva: - oštrobridni preliv

- preliv praktičnog profila (poligonalnog i krivolinijskog obrisa)

- preliv sa širokim pragom

2) Tlocrtnom položaju praga preliva u odnosu na smjer strujanja:

- okomiti preliv

- kosi preliv

- bočni preliv

- krivolinijski preliv

150

3) Tlocrtnom prilazu vodotoka ka prelivu:

- preliv bez bočnog suženja (L okomitog preliva=B vodotoka)

- preliv sa bočnim suženjem (L preliva < B vodotoka)

4) Načinu spajanja prelivnog mlaza sa donjom vodom (NDV)

- nepotopljeni preliv (NDV ne utiče na prelivni Q)

- potopljeni preliv (NDV umanjuje tj. utiče na prelivni Q)

5) Obliku poprečnog presjeka po kruni preliva:

- pravougaoni preliv

- trouglasti preliv

- trapezni preliv

- kružni preliv

- parabolični preliv

151

•Karakteristika svih preliva:

-prilikom hidrauličkog proračuna polazimo od opšte j-ne preliva (proizilazi iz Bernolli)

•Prelivni protok (Q):

a) nepotopljeno prelivanje

b) potopljeno prelivanje

bp – dužina preliva mjerena od dužine fronte preliva (m)

H – geometrijska prelivna visina (m)

Ho – energijska visina (m)

mo, m – koeficijenti protoka na prelivu (zavise od konstrukcije samog preliva)

σp – koeficijent potopljenosti ovisan o uslovima potopljenosti i vrsti preliva

g – ubrzanje polja sile teže (m/s2)

•Osnovni zadatak kod hidrauličkog proračuna preliva = definisanje koef. mo ili m i σp 152

ISTICANJE PREKO OŠTROBRIDNOG PRELIVA:

•Rubovi praga zaoštreni taka da d stijenke praga ne utiče na oblik prelivnog mlaza

•Relativne dimenzije mlaza oštrobridnog preliva određene eksperimentima

A) NEPOTOPLJENO ISTICANJE PREKO OŠTROBRIDNOG PRELIVA

- Bez bočnog suženja i sa okomitim položajem praga (pokus Bazaina 1898)

- Bazain obuhvatio raspon veličina:

153

•Bazain izveo empirijsku formulu za koeficijent protoka na prelivu:

p1 – visina praga mjerena sa NGV

•Za preliminarne proračune uzimamo: mo = 0,42

154

B) POTOPLJENO ISTICANJE PREKO OŠTROBRIDNOG PRELIVA

•Nastaje kada su ispunjena dva uslova:

hb – dubina DV (m)

p – visina praga mjerena sa strane DV (m)

z – razlika nivoa GV i DV (m)

•Drugi uslov (b) osigurava da se kod prelivanja ne pojavi odbačeni vodni skok

155

Kritične vrijednosti odnosa z i p za uslov potopljenosti oštrobridnog preliva

•Potopljenost oštrobridnog preliva uzima koeficijent potopljenosti, σp.

� σp (po Bazainu) nezavisan od bočnog suženja:

hp – nadvišenje NDV iznad krune preliva (m)

156

ISTICANJE PREKO PRELIVA PRAKTIČNIH PROFILA KRIVOLINIJSKIH OBRISA:

• Prema obrisu krivolinijski prelivi su:

a) Bezvakuumski prelivi

b) Vakuumski prelivi

-BEZVAKUUMSKI PRELIV: Profil preliva se podudara sa donjim obrisom (konturom) slobodnog prelvnog mlaza.

-VAKUUMSKI PRELIV: Između površine preliva i slobodnog prelivnog mlaza postoji slobodan prostor (tu nastaje podpritisak).

-Vakuumski preliv: nestabilnost prelivnog mlaza, vibracije objekta

-Praksa: većinom se grade bezvakuumski prelivi

157

ISTICANJE PREKO PRELIVA SA ŠIROKIM PRAGOM

•Složena pojava

•Tok u pragu nije kontinualno promjenjiv (izraženo kod većeg odnosa s/H)

•s = širina krune preliva II sa tokom

•Naglašeno kod potopljenih preliva

Nepotopljeno isticanje preko preliva sa širokim pragom:

-Dubina na pragu h(m) < hcr na pragu (h < hcr) pragovi s/H < 7 (uži pragovi)

-H > hcr : široki pragovi s/H=8 do 10 (valovit skok na pragu – slika a3)

158

ISTICANJE ISPOD ZAPORNICA

• Isticanje ispod zapornica:

a) Nepotopljeno isticanje (slobodno)

b) Potopljeno isticanje

a) Nepotolpljeno isticanje b) Potopljeno isticanje

Posmatramo (sa slike):

-isticanje ispod zapornice kroz pravougaoni presjek bez praga

-ravno dno (I=0)

159

A) NEPOTOPLJENO ISTICANJE ISPOD ZAPORNICA

* Uslovi za ispunjenje (ispunjen bar jedan):

-Mlaz isticanja prelazi u miran tok u suženom presjeku pomoću odbačenog vodnog skoka

-Dno vodotoka iza otvora ima pad (I > Icr)

Uslov za slobodno isticanje:

hb – dubina u koritu donje vode (m)

hc – dubina u suženom presjeku (m)

ϕ – koef. brzine (ϕ = 0,95 do 0,97 zapornica bez praga)

H0 – energijska visina (m)

160

Dubina u suženom presjeku mlaza:

az – visina otvora (podizanje zapornice) (m)

bz – širina otvora (m)

Ac – površina suženog presjeka mlaza isticanja (m2)

εc – koef. vertikalnog oštrobridnog suženja

Vrijednosti εc u f-ji visine otvora:

U tabeli: H = dubina ispred otvora (tlačna visina)

161

Brzina vc (nepotopljeno isticanje) - pomoću Bernoulli-eve j-ne:

Proticaj (nepotopljeno isticanje):

m = ϕεϕεϕεϕεc (koeficijent isticanja)

162

B) POTOPLJENO ISTICANJE ISPOD ZAPORNICA

•Nastanak: ako u suženom presjeku je dubina hz tako da je:

hc < hz < hb (slučaj potopljenog vodnog skoka)

•Proticaj kroz otvor zapornice glasi:

µµµµ – koeficijent isticanja (isti kao i kod nepotopljenog isticanja)

•Dubina iza zapornice hz glasi:

•Ako uvedemo oznaku:

•Dobijamo:

163

MJERENJE BRZINE I PROTOKA FLUIDA

•Razvijen veoma veliki broj odgovarajućih metoda. •Potrebno je mjeriti od veoma malih do veoma velikih brzina i protoke. •Potrebno je mjeriti brzine i protoke u cijevima, ali i brzine u otvorenim tokovima. •Veoma veliki broj različitih fluida (neki su hemijski agresivni, a neki ne).•Neki fluidi su provodnici električne struje, a neki ne. •Veliki broj različitih metoda i instrumenata za mjerenje. •Metode mjerenja brzine i protoka fluida mogu se podijeliti u slijedeće grupe:

1. Direktno mjerenje protoka tečnosti,2. Mjerenje protoka prigušnicama,3. Mjerno koljeno,4. Mjerenje brzine fluida pomoću zaustavnog pritiska,5. Mjerila sa lebdećim tijelom - rotametri6. Turbinska mjerila protoka,7. Indukciono mjerilo protoka,8. Ultrazvučno mjerilo brzine i protoka,9. Termalne metode mjerenja brzine,10. Vrtložno mjerilo protoka,11. Anemometri,12. Zapreminske metode mjerenja protoka itd.

164

1. Direktno mjerenje protoka tečnosti

•Ova metoda je nastarija, najtačnija i direktna. •Može se primjenjivati samo u veoma malom broju tehničkih slučajeva. •Sastoji se u odmjeravanju zapremine tečnosti pomoću menzure i hronometra •Primjenjiva samo za tečnosti. •Kada postoji mogućnost, pomoću menzure se mjeri zapremina tečnosti ∆V, koja je istekla u određenom vremenu ∆ττττ, a zapreminski protok odredi se na slijedećinačin:

Q=∆∆∆∆V / ∆τ ∆τ ∆τ ∆τ (m3/s)

165

2. Mjerenje protoka prigušnicama

•U cijev postavimo element, za koji nam je potpuno poznata zavisnost gubitka fluidne energije od protoka moguće odrediti protok ako se odredi gubitak pritisne energije. •Gubitak pritisne energije posredno se iskazuje smanjenjem pritiska. •U stručnoj literaturi ova veličina naziva se pad pritiska pri strujanju. •Element koji se postavlja u cijev naziva se prigušnica. •Postoji veoma veliki broj prigušnica koje se postavljaju u cijev sa svrhom mjerenja protoka. •Prigušnice su standardizovane. •Mada postoji veći broj standardnih prigušnica, najčešće su tri vrste: mjerna prigušnica, mlaznica i Venturi cev

•Razlika pritiska ∆p mjeri se ispred i iza mjerne prigušnice ili mlaznice.

•U slučaju Venturi cijevi razlika pritisaka mjeri se ispred nje i u najužem preseku.

•Ovako izmjerena razlika pritiska služi da se odredi protok.

166

•Protok se određuje prema izrazu:

ε - koeficijent ekspanzije,α - protočni koeficijent,A2 (m2) – površina poprečnog preseka u suženom dijelu,∆p (Pa) – izmjereni pad pritiska iρ (kg/m3) – gustina fluida

•Koeficijent ekspanzije ε uzima u obzir stišljivost fluida. •Ova osobina dolazi do izražaja, pri ovakvom načinu mjerenja, u slučaju brzina gasova koje su bliske brzini zvuka. •U ostalim slučajevima može se uzeti da je ε ≈ 1.

•Koeficijent protoka α određuje se na bazi Rejnoldsovog broja i konstrukcionih dimenzija prigušnice iz posebnih tabela, koje su sastvani dio standarda.

167

Oblik mjernih prigušnica:

Mjerne prigušnice (a - mlaznica, b - mjerna prigušnica, c-Venturi cijev)

Maseni protok određuje se na bazi poznate gustine fluida:

•Upotreba ove metode mjerenja protoka dosta je raširena u praksi i naučnim istraživanjima = precizna.

168

3. Mjerno koljeno za mjerenje protoka

•Mjerno koljeno: jednostavna metoda, koristi se efekt razlike pritiska fluida u poprečnom presjeku, pri strujanju kroz koljeno cijevi.

•Na slici prikazana promjena pritiska u poprečnom presjeku koljena.

•Na osnovu izmjerena razlike pritiska na spoljnjoj i unutrašnjoj strani koljena (∆p)određujemo protok:

Ak – mjerna konstanta, (određuje se baždarenjem)

169

4. Mjerenje brzine fluida pomoću zaustavnog pritiska

-Mjerenje brzine strujanja fluida moguće primjenom Bernoulli-eve j-ne. -Osnovni princip mjerenja: Pitova cijev (Pitot) -Princip mjerenja:

Bernoulli-eva j-na

z1 = z2Na strujnici u tački 2 fluid se zaustavlja, tj. brzina fluida v2 = 0. Na osnovu ovoga imamo:

170

-Prandtl je unapredio Pitovu cijev pojednostavio mjerenje razlike pritiska.

-Na Prandtlovoj cijevi postoje male rupice sa strane kroz koje dolazi signal pritiska p1.

-Mjeri se razlika pritisaka ∆p.

-Ova razlika pritiska se često naziva dinamički pritisak.

-Pritisak p1 naziva se statički pritisak, a pritisak p2 totalni prtisak.

Prandtlova cijev

171

-Princip uravnoteženja uzgonske sile (sile otpora tijela strujanju fluida), sile pritiska i težine tijela koje se postavi u vertikalnu struju fluida.

-Uglavnom se primenjuje za mjerenje protoka tečnosti.

-Mjerilo se baždari, pri čemu se određuje konstanta baždarenja k.

-Protok se očitava sa strane konusne staklene cijevi na izbaždarenoj skali.

5. Mjerenje sa ledbećim tijelom (rotametar)

Rotametar 172

-Ova mjerila pogodna kada je potrebno trenutno poznavanje protoka tečnosti

-Zavisnost protoka od položaja lebdećeg tijela u cijevi je:

k – koeficijent baždarenja

173

6. Turbinsko mjerenje protoka

-U cijevni element postavlja se mjerna turbina.

-Učestalost obrtanja turbine zavisna od v, odnosno Q fluida.

-Sa strane se postavlja senzor koji registruje učestalost obrtanja turbine.

Turbinsko mjerenje protoka (presjek – lijevo, spoljni izgled – u sredini, mjerna turbina –desno, 1 – tijelo,2 – mjerna turbina, 3 – oslonci)

- Q srazmjeran učestalosti obrtanja:

k – koeficijent baždarenja 174

-U cijevi postavljeni predajnici i prijemnici ultra zvuka, (vidi sliku). -Ova mjerenja: na postojeće cijevi (velika prednost). -Mana: relativno skupa.

7. Ultrazvučno mjerenje protoka

-Kretanje zvuka niz struju fluida brže nego uz struju zbog prenosne brzina fluida. -Uz mjerilo ugrađena oprema koja registruje razliku tih brzina. -Razlika tih brzina ∆f zavisna od brzine fluida:

175

-Poznata je zavisnost učestalosti otkidanja laminarnog graničnog sloja od brzine kretanja fluida = fenomen Karmanovih vrtloga.

-Prepreka u struji fluida, iza nje će periodično da se kreću vrtlozi čija učestalost zavisi od v fluida.

-Dugo vremena trebalo da se tehnički tačno i pouzdano registruju vrtlozi.

-Registrovanje vrtloga danas rješeno veoma precizno (veoma preciznih merila)

8. Vrtložno mjerenje protoka

176

- Bazirano na mjerenju zapremine fluida koji protiče kroz cevovod. - Dvije osnovne grupe mjerila:a) klipna mjerila b) rotaciona mjerila

- Najmasovnije rotaciono zapreminsko mjerilo protoka (vodomjerni sat).

9. Zapreminsko mjerenje protoka

Klipno mjerenje protoka

1-klip 2-cilindar 3-mjerni zasun

Rotaciono zapreminsko mjerenje protoka