HIDROMEHANIKA

Akad. god. 2008/09. (30+30+15)

LITERATURA:• V.Jović: Osnove hidromehanike(AGG

Split, 2007)• Živko Vuković: Osnove hidrotehnike 1-1

(1996)

• Predavanja+vježbe• Zbirke zadataka- raspoložive, zadaci na

web stranicama GF Osijek

HIDRAULIKA – znanost koja proučava oblike i zakone mehaničkog gibanja i relativnog mirovanja tekućina i bavi se primjenom tih zakona u hidrotehnici (hidor+aulon, gr.)

Povijesno-zasnovana na empiriji i kvantitivnom rješavanju problema bez analiza uzroka pojava i problema

HIDROMEHANIKA ( MEHANIKA FLUIDA)- dio mehanike općenito (dio fizike) i razvoj je ovisio o razvoju matematičkog aparata, cilj je kvalitativna analiza problema

OSNOVNA PODJELA:

• HIDROSTATIKA

• HIDROKINEMATIKA

• HIDRODINAMIKA

ZNAČENJE I PRIMJENA• U HIDROTEHNICI – znanstvenoj disciplini koja proučava

tehničke aspekte:

A) korištenja voda- zahvaćanje, crpljenje i uporaba površinskih i podzemnih voda za različite namjene, vodoopskrbu, energetske svrhe, navodnjavanje, za uzgoj riba, plovidbu, sport i rekreaciju

B) zaštite od štetnog djelovanja voda- mjere za obranu od poplava, zaštitu od leda, erozija i bujica, melioracijska odvodnja,regulacije vodotoka

C) zaštite voda kao prirodnog resursa ( kvalitativno i kvantitativno)- mjere zaštite voda od onečišćenja u cilju zaštite života i zdravlja ljudi i zaštite okoliša (odvodnja otpadnih voda, uređaji za pročišćavanje, revitalizacija vodotoka)

POVIJEST• Navodnjavanje –prije 5000 godina• Vodovodi-prije 2000 godina• Začetnik hidraulike –Arhimed (250 g.p.n.e)• 16.st.: “O kretanju i mjerenju vode”-L.da Vinci

-kretanje vode u kanalima• Stevinus- hidrostatika na stijenku posude• Pascal- pronošenje tlaka unutar fluida• Newton- zakon istjecanja fluida

• 18.st – D. Bernoulli –osnove suvremene hidraulike• Euler- osnove matematičke hidrodinamike, tj.

hidromehanike ( Navier, Stokes, Lagrange)• Francuski hidrauličari – Darcy, Dupuit, Bazin• Njemači- Weisbach• Engleski- Reynolds • u 19. i 20. st. razlika nestaje – od čiste empirije

hidraulika prerasta u znanost koja koristi metode matematičke i eksperimentalne analize + HIDROLOGIJA- znanost koja proučava vremensku i prostornu pojavu vode na zemlji i zakone njezinog stalnog kruženja

• Suvremena hidromehanika – mat. modeliranje složenih problema,(!) fizikalno modeliranje

• Ekohidraulika, hidroinformatika-nove discipline

1. OSNOVNE FIZIKALNE OSOBINE TEKUĆINA

• TEKUĆINA (FLUID)=tvar koja neprestano mijenja svoj oblik (teče) pri tangencijalnim naprezanjima (komponenti površinske sile/površina)

• TVARI KOJE SE NEPREKIDNO DEFORMIRAJU POD DJELOVANJEM POSMIČNIH SILA

• MIJENJANJE OBLIKA=strujanje tekućine• Podjela na: KAPLJEVINE ( voda, ulje, nafta ...) i

PLINOVE( zrak, kisik, uglj. dioksid, metan....)• OSNOVNA RAZLIKA: u veličini promjene volumena pri

promjeni tlaka • Proučavanje u hidraulici: na razini CONTINUUMA

(neprekidne sredine) koji zadržava neprekidnost fizikalnih svojstava

A) GUSTOĆA

- raspodjela mase tekućine u volumenu- Homogena ili nehomogena tekućina- Ovisi o tlaku i temperaturi dm/dV ( kg/m3)- TEŽINA-djelovanje sile teže na volumen

tekućine

- FG=gdV ( N)

B) STLIŠLJIVOST (STLAČIVOST,KOMPRESIBILNOST)

= osobina tekućine da pod djelovanjem normalne površinske sile mijenja svoj volumen

• pri tlaku od 1 kg/cm2 i temperaturi od 0oC volumen vode smanjuje se za 1/20.000, a pri 100o C za 1/25 000 MODUL ELASTIČNOST se povećava s porastom temperature

• za praktičnu primjenu voda je NESTLAČIVA (izuzetak vodni udar)

B) STIŠLJIVOST (KOMPRESIBILNOST)E= modul elastičnosti=ovisnost tlaka i

relativne volumenske deformacije

• PRIMJER:Odredite promjenu volumena 1,0m3 vode ako se prisutni tlak poveća za 20 bara. Temperatura vode je 26,7 oC.

• Modul elastičnosti vode ( tv=26,7 oC)

=2,24 x 109 Pa ( 1 Pa=N/m2; 1bar=105Pa )

0,89mm voderazine sniženje je tadam 11x x 1

volumenaposuda je ako

00089,01024,2

11020 39

5

3

3 2

mx

xx

E

dpVdV

mNPa

mm

Pa

VdVdp

E

• Stišljivost kapljevina znatno MANJA od stišljivosti plinova

• Stišljivost kapljevina znatno VEĆA od stišljivosti krute tvari

C) UNUTARNJE TRENJE (VISKOZNOST)

• Opisuje unutarnji otpor kretanju tekućine

• pri kretanju tekućine nastaje trenje između čestica tekućine, i tekućine i površine preko koje kapljevina struji

• transformacija energije

POKUS:

• Uz uvjete: dp/dx=0, laminarno strujanje

- koeficijent proporcionalnosti koji se naziva DINAMIČKI KOEFICIJENT VISKOZNOSTI ( za newtonske tekućine je const.)

• dv/dz-gradijent brzine u smjeru okomitom na strujanje=brzina deformacije

• LINEARNA OVISNOST=KINEMATIČKI koeficijent

viskoznosti ( mijenja se promjenom temperature)

)/(

)(

)/(

2

2

sm

Ndz

dvAF

mmNdz

dv

•1. apsolutno elastično tijelo- nema deformacija ni pod kakvim opterećenjem ( dv/dz=0, =)

• 2. realno elastično tijelo- ponaša se po Hookovom zakonu i ima neke deformacije

• 3. idealno plastično tijelo – podnose tang. napone do neke vrijednosti, a potom se linearno deformiraju

REOLOŠKI DIJAGRAM• Reologija-znanost o tečenju tvari

pod djelovanjem posmičnih sila

• 4.      nenwtonske tekućine – deformiraju se nelinerano – tangencijalni naponi nisu proporcionalni tangencijalnim deformacijama

• 5.      newtonske tekućine - ponašaju se u skladu s izrazom (1) i tang. naponi su proporcionalni gradijentu brzine. Nagib pravca ovisi o dinamičkom koeficijentu viskoznosti

• 6.      IDEALNA TEKUĆINA

uslijed djelovanja vanjskih sila ne javljaju se posmična (tangencijalna) naprezanja

• IDEALNA TEKUĆINA• uslijed djelovanja vanjskih sila ne

javljaju se posmična (tangencijalna) naprezanja

• apsolutno nestlačiva• molekule tekućine nisu pod

djelovanjem sile kohezije nego se slobodno kreću nezavisno jedna od druge

• nema djelovanja temperature (koef. temp. širenja = 0)

=const. • postoje tlačna naprezanja

• ne postoji, ali se pretpostavka o idealnom fluidu opravdava u nekim analizama

• REALNA TEKUĆINA• = const. s obzirom na

promjenu temperature • = const. s obzirom na

promjenu tlaka•  osim tlačnih naprezanja

postoje vlačna i tangencijalna naprezanja ( ne smiju se zanemariti )

ZA RJEŠAVANJE HIDRAULIČKIH PROBLEMA PODRAZUMIJEVAMO:

a)     voda je nestlačivab)     volumen ne ovisi o promjeni

temperaturec)      voda ne daje otpor vlačnim i

tangencijalnim silamad)     voda nema površinskog

naponae)     voda ne stvara pare

D) POVRŠINSKI NAPON

• bitan kod izučavanja problema kapilarnosti, a proizlazi iz fizikalnog svojstva tekućine da smanjuje svoju površinu na minimum

• stanje ravnoteže sve sile u jednoj točki se poništavaju (A)

• na površini (B), ostaju sile površinskog napona ( sile

unutarnjeg tlaka)• kod cijevi malog promjera

(promjera manjeg od 12mm)

E) TLAK PARA• ovisno o tlaku i temperaturi javlja se isparavanje zbog

izmjene kinetičke energije i iznad površine kapljevine se

• javlja tlak para • pojam kavitacije

OSNOVNE FIZIKALNE OSOBINE VODE KOD

NORMALNOG ATMOSFERSKOG TLAKA TEMP. VODE

T(oC)

GUSTOĆA

(kg/m3)

MODUL ELASTIČNOST

IE x107

(N/m2) 

KINEMATIČKA VISKOZNOST

x106

(m2/s)

TLAK VODENIH PARA

pvp x104

(N/m2)

0 999,84 202 1,792 0.06

4 1000,00 203 1,519 0,09

10 999,70 210 1,308 0,12

20 998,20 219 1,007 0,25

50 988,05 230 0,556 1,26

100 958,35 237 0,296 10,33

2.HIDROSTATIKA• Ravnotežno stanje

elementarnog volumena tekućine-Sila P prezentira odbačeni dio elementarnog volumena tekućine tako da se i dalje nalazi u stanju ravnoteže

• Sila P naziva se SUMARNI HIDROSTATSKI TLAK i djeluje na površinu dA( sumarni jer prezentira silu koja djeluje po cijeloj površini ABCD )p=P/dA = srednji intenzitet tlaka u točki

• p= hidrostatski tlak u točki tekućine koja je u stanju mirovanja

OSNOVNA SVOJSTVA HIDROSTATSKOG TLAKA

1. SILA HIDROSTATSKOG TLAKA UVIJEK DJELUJE NORMALNO ( OKOMITO) NA PROMATRANU POVRŠINU

• DOKAZ:

?

• p= po veličini i smjeru je hidrostatski tlak na elementarnu površinu A

• komponenta u smjeru osi y py=pcos mora biti jednaka 0 jer nema kretanja prema dolje (stanje mirovanja )

  cos =0 a to je moguće samo

ako je kut =90o

 

• KUT IZMEĐU TLAKA p I STIJENKE POSUDE MORA BITI =90o

• Vektor ili skalar?

2. HIDROSTATSKI TLAK U NEKOJ TOČKI DJELUJE

U SVIM SMJEROVIMA JEDNAKO

• trostrana prizma (tekućine) infinitezimalninih dimenzija dx,dy,dz

• prema 1. Svojstvu: na svaku stijenku djeluje sila hidrostatskog tlaka okomito na nju (Px,Py,Pz) i sila gravitacije G=1/2 g dxdydz

G

• a)   projekcije na os x

px dy dz –pu cos du dz = 0

px dy dz – pu dy dz = 0 px=pu • b)   projekcije na os ypy dx dz – pu sin du dz –1/2 g dx dy dz = 0

py dx dz – pu dx dz - 1/2 g dx dy dz = 0

py – pu – ½ g dy = 0 py=pu (posljednji član je zanemarivo mali ) 

• c)   sile hidrostatskog tlaka koje djeluju na površine ABC i DEF su jednake po veličini i suprotne po predznaku te se poništavaju, te ostaje

px = py = pu

ZAKLJUČAK: p=f( x,y,z, )

• Veličina hidrostatskog tlaka u nekoj točki ovisi o vrsti tekućine ( njezinoj gustoći ) i o položaju ( koordinatama) točke na koju djeluje

OSNOVNA JEDNADŽBA HIDROSTATSKOG TLAKA

• elementarni djelić volumena u mirovanju visine h i površine pop. presjeka dA

• SILE : sile gravitacije, po

(pretlak) i p (presječena površina) 

• a)     projekcija na os y 

podA-pdA+ghdA = 0

• po –p+gh = 0 

p= po+gh ( N/m2 ili Pa)

b) projekcija na os xbočne sile su jednake po veličini i suprotne po smjeru

• HIDROSTATSKI TLAK U NEKOJ TOČKI TEKUĆINE JEDNAK JE TLAKU NA POVRŠINI +TEŽINA STUPCA TEKUĆINE ČIJA JE BAZA JEDINICA POVRŠINE, A VISINA JEDNAKA DUBINI NA KOJOJ SE PROMATRANA TOČKA NALAZI ( U ODNOSU NA POVRŠINU)

 • ako na površini djeluje

atmosferski tlak (po=pa) tada jednadžba glasi

 p= gh ( N/m2) • GRAFIČKI PRIKAZ JEDNADŽBE:

p= po+gh

• Za h=0 p=po

• Za h=h1 p= po+gh1 TLAK RASTE LINEARNO S

DUBINOM 

KOD SLOBODNE VODNE POVRŠINE 

• Za h=0 p=pa

• Za h=h1 p= pa +gh1 TLAK RASTE LINEARNO S

DUBINOM

 

MJERNE JEDINICE

• p= dP/dA ( N/m2) = 1 Pa ( pascal) • p= dP/dA ( N/m2) x 10-5 bara 

• pa= 1 bar =105 Pa (što odgovara tlaku vodnog stupca od

10,33 m pri 4oC)

APSOLUTNI I RELATIVNI TLAK

podtlak Nadtlak, pretlak

Relativni tlak

Apsolutni tlak

-po

0 po=101325Pa

0

VAKUUM

PIJEZOMETARSKI TLAK

• p= pa +gh 

 

• visina h daje razliku tlakova u promatranoj točki i atmosferskog tlaka tj. pokazuje za koliko je tlak u nekoj točki veći od atmosferskog – PIJEZOMETARSKA VISINA (PIJEZOMETARSKI TLAK)

p> pa

PIJEZOMETARSKI TLAK

• visina h daje razliku tlakova u promatranoj točki i atmosferskog tlaka tj. pokazuje za koliko je tlak u nekoj točki veći od atmosferskog – PIJEZOMETARSKA VISINA (PIJEZOMETARSKI TLAK)

p= pa +gh 

 

p> pa

VAKUUM (POTLAK)  - ako je vanjski tlak manji od

atmosferskog koji daje razliku između atmosferskog tlaka (pa) i stvarnog tlaka (p)

 

pV = pa - p

p< pa

PRIMJER:-    u točki A tlak mora biti jednak i iz

cijevi i izvan cijevi tj: 

pa = p+ghv

 

  g

p

g

ppah

vv

ZAKON SPOJENIH POSUDA• visine različitih tekućina

u spojenim posudama obrnuto su proporcionalne njihovim specifičnim težinama, pri čemu površine posuda nisu važne

 • pa+1gh1=pa+2gh2

1gh1=2gh2

 • Što se događa ako je

1=2=?

PASCALOV ZAKON• = tlak vanjskih sila na površinu

tekućine koja se nalazi u stanju mirovanja RAVNOMJERNO se prenosi na sve točke tekućine u posudi ( hidrauličke preše) 

• h1=h2=h, A1MA2

 • ako se silom P1 djeluje na manji

presjek A1 pronosi se tlak p=P1/A1 do klipa većeg presjeka A2, pa je P2=pA2

• Sila P2 se povećala za onoliko puta koliko je puta presjek 2 veći od presjeka 1

1

212A

APP

PRIMJER: Odredite silu hidrostatskog tlaka na dno posude

EULEROV HIDROSTATIČKI PARADOKS

• Sila hidrostatskog tlaka na dno posude JEDNAK je za sve posude i iznosi:

 P=gh A

 • Ako je = const, A=const, h=const.

OPĆA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA HIDROSTATIKE

• p=f(x,y,z, )• Elementarni djelić

volumena dimenzija(dx,dy,dz)

=const, hidrostatski tlak u točki A iznosi p

dzz

pdyy

pdxx

pdp

• UNUTARNJE SILE• - prirast tlaka između ovih površina BCDE i FGHJ

p/x dx ( u smjeru osi x)

 

 -jer se točka A nalazi na polovici razmaka površina BCDE i FGHJ – analogno za ECHJ i BDGF

• -za površine BFCJ i DEHG

 

dxx

pp

dxx

pp

2

12

1

dyy

pp

dyy

pp

2

1

2

1

dzz

pp

dzz

pp

2

12

1

VANJSKE (volumenske) SILE• -gravitacije i sila inercije• - neka je K rezultanta akceleracije vanjskih sila, a njene

komponente X,Y,Z

 • K=X+Y+Z • projekcija na os x……Xdxdydz =SILA

( gustoća x akceleracija x volumen)= SILA • os y……………Ydxdydz • os z……………Zdxdydz

 • SUMARNO ZA OS x…..

0

0

02

1

2

1

02

1

2

1

Xx

p

Xdxdydzdxdydzx

p

Xdxdydzdxdydzx

ppdydzdxdydz

x

ppdydz

Xdxdydzdydzdxx

ppdydzdx

x

pp

0 Yy

p 0 Z

z

p

Zz

pZ

z

p

Yy

pY

y

p

Xx

pX

x

p

1

1

1

•EULEROVE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE RAVNOTEŽE TEKUĆIH TIJELA ILI OPĆE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE HIDROSTATIKE

 •

DEFINICIJA: Gradijent ( promjena ) tlaka tekućine u nekom smjeru jednak je produktu gustoće i komponente akceleracije vanjskih sila u istom smjeru.

SUMARNI TLAK TEKUĆINE NA HORIZONTALNU POVRŠINU

• p=dP/dA - tlak na jedinicu površine, a na ukupnu površinu:

•  •

 •  

Ako se h i A ne mijenjaju P=const.

•A1=A2

• P=ghA1 = ghA2

pdAP

ghAP

SUMARNI TLAK TEKUĆINE NA RAVNU KOSU POVRŠINU

• -hidrostatski tlak u točki A p=gh, a na neku elementarnu površinu dA kod h= l sin

• dP=pdA = ghdA = =gl sin dA

 • na cijelu površinu A: • P=dP = gl sin dA = g

sin ldA•   ldA – moment elementa

površine dA s obzirom na os y

ldA = loA• lo= udaljenost težišta površine A od osi y • P= g sin loA• lo sin = ho = vertikalna dubina težišta 

P= ghoA • VELIČINA SUMARNOG TLAKA NA RAVNU POVRŠINU

“A” JEDNAKA JE TEŽINI VODNOG TIJELA ČIJA JE BAZA POVRŠINA “A”, A VISINA JEDNAKA VERTIKALNOJ DUBINI TEŽIŠTA ( U ODNOSU NA POVRŠINU VODE) 

• SMJER: smjer dP= pdA je kao i tlak normalan na površinu dA, pa je i rezultanta P NORMALNA NA POVRŠINU A

CENTAR SUME TLAKA

• Elementarna površina dA=dl x b• dP=ghdlb=glsindlb• Statički moment:• dPl= gl2sindlb• Za cijelu površinu A:dPl= gsinbdl l2

bdl l2=Iy gsin=suma produkta površine i kvadrata udaljenosti od osi y=moment inercije I površine A s obzirom na os y

• Plc= gAholc= gAlo sin lc

CENTAR SUME TLAKA• Centar sume tlaka leži na osi simetrije ako je

površina A ima s obzirom na os y I y gsin=glo A sin lc

 

lc = hvatište sile sumarnog tlaka leži ispod težišta površine A na koju djeluje za veličinu (t/Alo)

coo

t

o

otc

o

yc

llAlAl

All

All

2

• ako veličina lo izraz t/Alo0 pa je lo = lc što znači

da se na nekoj dubini težište površine A poklapa s

hvatištem sile sumarnog tlaka

- -ako je površina A horizontalna tada je lo =0 ( =0 ) jer

se površina A s površinom vode siječe u

beskonačnosti pa je opet lo =lc, odnosno, hvatište sile poklapa se s težištem površine A

coo

t

o

otc hh

AhAh

Ahh

2

PRIMJER:Pravokutni zatvarač ima dimenzije 1,5x2,0 m. Kolika mora biti sila F da bi se

zatvarač podigao?

SUMARNI TLAK TEKUĆINE NA ZAKRIVLJENU POVRŠINU

• HORIZONTALNA KOMPONENTA – ukupnog hidrostatskog tlaka na zakrivljenu površinu jednaka je sumarnom tlaku na vertikalnu projekciju te površine

• VERTIKALNA KOMPONENTA – jednaka je težini vodnog tijela koje omeđuju površina tekućine i granična površina tijela na koju vertikalna komponenta djeluje. Ako je vodno tijelo REALNO predznak je pozitivan, a ako je FIKTIVNO, predznak je negativan

PRIMJER:

• Odredite silu hidrostatskog tlaka na valjak uronjen u rezervoar s dvije različite tekućine ( gustoća ulja iznosi 870 kgm3). Dužina valjka iznosi 6 m.

kN7,83

kN8,570,6)2,14

1(81,9870

2

kN 25,9

trokut)xb-isječsj kružni(81,910002

kN2,269,366,10

kN9,360,62,12

2,181,9870

kN6,100,66,02

6,081,91000

2)4

1(

P

)08,16,02

1

6

1(

yy

xxuy

y

xvy

xx

xxxxtux

xxxxtvx

PP

brgP

xbrgP

PP

AghP

AghP

osti)zakrivljen središte kroz prolazi (sila

22

4,17

31,07,83

2,26tg

7,877,832,2622

x

y

yx

P

P

kNPPR

UZGON= sumarni vertikalni tlak tekućine sa smjerom prema gore čija je veličina jednaka težini istisnute tekućine

- hvatište se nalazi u težištu uronjenog tijela

Px= ghoAx Px =ghoAy Ax=Ay

Py=gV -Py =GVABCEF +Py =GVADCEF

Py=-Py -(+Py) =gVABCEF-gVADCEF

Py=gVABCD

PRIMJER: Betonski zid dužine 50 m, širine 2,0 m i visine 6,0 m je 3,5 m duboko u vodi. Kolika je težina

zida u vodi (bet=2500kg/m3)?

• PLIVANJE • - svako tijelo potpuno ili djelomično uronjeno u tekućinu nalazi se

pod djelovanjem sile gravitacije ( težina-G) i

 1. G-Py > 0 t g> vg Težina tijela je veća od uzgona (težine istisnute tekućine)- TIJELO TONE

 2. G-Py < 0 ; tg< vg Rezultanta prema gore – TIJELO PLIVA NA POVRŠINI

 3. G = Py; tg= vg Stanje ravnoteže – TIJELO PLUTA