1

STUDENTEXAMENS-NÄMNDEN

MATEMATIKPROVLÅNG LÄROKURS

25.9.2013

Högst tio uppgifter får lösas. Uppgifter som markerats med en stjärna (*) ger maxi-malt 9 poäng, övriga uppgifter maximalt 6 poäng.

PITKÄ  SYKSY, 20.3.       

1. a)  Lös ekvationen  2 26 2 9. x x x   

b)  Lös ekvationen 2

21 1 .1 1

x xx x

 

c)  Skriv polynomet  2 9 14 x x   som en produkt av polynom av första graden.   

2. a)  För vilka värden på variabeln  x  får derivatan av polynomet  4 3( ) P x x x x  värdet 1? b)  Bestäm alla integralfunktioner till funktionen 4 cos(4 )x x . c)  Det positiva talet  a  är  25 procent mindre än talet  b. Hur många procent större är talet       b  än talet  a?   

3. a)  Bestäm närmevärdet för vinkeln mellan vektorerna   2 a i j   och   3 b i j  med en         tiondels grads noggrannhet. b)   För vilket värde på parametern  s  är vektorerna   2 a i j  och   (1 ) c si s j  paral‐       lella?   

4. Vi drar en  tangent  till kurvan  2y kx  och en annan  tangent  till kurvan  2( 2) y k x  och båda tangenterna dras genom kurvornas skärningspunkt. För vilka värden på parametern k  är tangenterna vinkelräta mot varandra?   

  

5. Från  punkten  (1 1 0)A , ,   förflyttar  vi  oss  9  längdenheter  i  samma  riktning  som  vektorn 

2 2 i j k   till punkten  B    Från denna punkt  förflyttar vi oss 10  längdenheter  i  samma 

riktning som vektorn 3 4i k  till punkten  .C  Bestäm koordinaterna för punkten C .      

.

6. Bisektrisen  till  vinkeln  C   i  triangeln ABC   skär  sidan AB   i  punkten  .D   För  avstånden mellan  punkterna  gäller  6,CD   4AD   och  3.DB   Bestäm  de  exakta  värdena  för längderna av triangelns sidor  AC  och BC . 

                                                   

7. Beräkna integralen 

23

0. x x dx  

  

8. I en två dagars turnering deltog totalt 329 riddare. Första dagen var 302 riddare närvarande och  andra  dagen  285. Med  vilken  sannolikhet  var  en  riddare  som  deltog  i  turneringen närvarande båda dagarna?   

9. I det begränsade området mellan kurvorna  2 xy e  och  2 xy x e  placeras en sträcka som är  parallell  med  y‐axeln  enligt  figuren.  Bestäm  den  största  möjliga  längden  av  denna sträcka.  Ange  svaret  både  som  exakt  värde  och  som  närmevärde  med  två  decimaler.    

                                              

D B

C

A

2

D BA

C

10. På ett bord  ligger  tre  lika stora bollar och varje boll vidrör de  två övriga. På dessa bollar placeras  en  fjärde  likadan  boll,  som  vidrör  alla  de  tre  ursprungliga  bollarna.  Vilken  är konstruktionens höjd? Ange  som  svar det exakta  värdet uttryckt med hjälp  av bollarnas radie.  

                                     

11. Anta att  

                                     sin då 0

( ) 1 då 0.

x xf x x

x

, ,

,  

Beräkna närmevärdet av integralen 

1

0( ) f x dx  genom att använda trapetsmetoden och fem 

delintervall.    

12. Vi betecknar 2

29 1( ) .

3 5 2

xR x

x x Bestäm gränsvärdet 

a)   lim ( )xR x  

b) 

13

lim ( )x

R x

 

   

3

12.

10.

11.

13.13. Visa genom att använda indirekt bevisföring att talet  3 2  inte är ett rationellt tal.    

14. Vi undersöker en kurva i planet. Kurvans ekvation är  2 22 2 3 2 2 4 0. x y xy x y  a)  Bestäm skärningspunkterna mellan kurvan och koordinataxlarna. (2 p.) b)  Visa att alla skärningspunkter ligger på samma cirkel och bestäm ekvationen för denna 

cirkel. (3 p.) c)  En rät linje går genom origo och medelpunkten för cirkeln i deluppgift b. I vilka punkter   

skär denna linje den ursprungliga kurvan? (2 p.) d)  Är den ursprungliga kurvan en cirkel? (2 p.)   

15. Formeln  ( ) 2 sin 2 k kkf x x  definierar för varje  0 1 2, , , k  funktionen  : .kf R R  

a)   Rita graferna till funktionerna  0 ,f   1f   och  2f  i intervallet [ , ] . (2 p.) 

b)   Beräkna integralerna 

0( ) ,

kf x dx  då  0 1 2., ,k  (2 p.) 

c)    Bestäm det exakta värdet av uttrycket  0 0

( )

n

n kk

A f x dx för varje  0 1 2, , , n  (3 p.) 

d)   Beräkna gränsvärdet  lim .

nnA A  (2 p.) 

                                 

Bild: Pekka Alestalo 2012

13. Visa genom att använda indirekt bevisföring att talet  3 2  inte är ett rationellt tal.    

14. Vi undersöker en kurva i planet. Kurvans ekvation är  2 22 2 3 2 2 4 0. x y xy x y  a)  Bestäm skärningspunkterna mellan kurvan och koordinataxlarna. (2 p.) b)  Visa att alla skärningspunkter ligger på samma cirkel och bestäm ekvationen för denna 

cirkel. (3 p.) c)  En rät linje går genom origo och medelpunkten för cirkeln i deluppgift b. I vilka punkter   

skär denna linje den ursprungliga kurvan? (2 p.) d)  Är den ursprungliga kurvan en cirkel? (2 p.)   

15. Formeln  ( ) 2 sin 2 k kkf x x  definierar för varje  0 1 2, , , k  funktionen  : .kf R R  

a)   Rita graferna till funktionerna  0 ,f   1f   och  2f  i intervallet [ , ] . (2 p.) 

b)   Beräkna integralerna 

0( ) ,

kf x dx  då  0 1 2., ,k  (2 p.) 

c)    Bestäm det exakta värdet av uttrycket  0 0

( )

n

n kk

A f x dx för varje  0 1 2, , , n  (3 p.) 

d)   Beräkna gränsvärdet  lim .

nnA A  (2 p.) 

                                 

4

*14.

*15.

13. Visa genom att använda indirekt bevisföring att talet  3 2  inte är ett rationellt tal.    

14. Vi undersöker en kurva i planet. Kurvans ekvation är  2 22 2 3 2 2 4 0. x y xy x y  a)  Bestäm skärningspunkterna mellan kurvan och koordinataxlarna. (2 p.) b)  Visa att alla skärningspunkter ligger på samma cirkel och bestäm ekvationen för denna 

cirkel. (3 p.) c)  En rät linje går genom origo och medelpunkten för cirkeln i deluppgift b. I vilka punkter   

skär denna linje den ursprungliga kurvan? (2 p.) d)  Är den ursprungliga kurvan en cirkel? (2 p.)   

15. Formeln  ( ) 2 sin 2 k kkf x x  definierar för varje  0 1 2, , , k  funktionen  : .kf R R  

a)   Rita graferna till funktionerna  0 ,f   1f   och  2f  i intervallet [ , ] . (2 p.) 

b)   Beräkna integralerna 

0( ) ,

kf x dx  då  0 1 2., ,k  (2 p.) 

c)    Bestäm det exakta värdet av uttrycket  0 0

( )

n

n kk

A f x dx för varje  0 1 2, , , n  (3 p.) 

d)   Beräkna gränsvärdet  lim .

nnA A  (2 p.) 

                                 

PITKÄ SYKSY näkövamma, 23.4.

6. Kolmion ABC kulman C puolittaja leikkaa sivun AB pisteessä .D Pisteiden välisille etäi-syyksille on voimassa 6,CD 4AD ja 3.BD Määritä kolmion sivujen AC ja BC pi-tuuksien tarkat arvot.

9. Käyrien 2 xy e ja 2 xy x e väliin jäävään rajoitettuun alueeseen asetetaan y-akselin suuntainen jana, jonka päätepisteet ovat käyrillä. Määritä tämän janan suurin mahdollinen pituus. Anna vastauksena tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo.

10. Pöydällä on kolme samankokoista palloa, joista kukin koskettaa kahta muuta. Niiden päälle asetetaan neljäs samanlainen pallo, joka koskettaa kaikkia kolmea alkuperäistä palloa. Mi-kä on rakennelman korkeus? Anna vastauksena tarkka arvo pallojen säteen avulla lausut-tuna.

15. Kaava ( ) 2 sin 2 k kkf x x määrittelee jokaisella 0 1 2, , ,k funktion : .kf R R

a) Laske integraalit

0( ) ,

kf x dx kun 0 1 2., ,k (3 p)

b) Määritä lausekkeen 0 0

( )

n

n kk

A f x dx tarkka arvo kaikilla 0 1 2, , ,n (3 p)

c) Laske raja-arvo lim .

nnA A (3 p)