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1. Einleitung
− Numerische Simulationen als wichtiges Werkzeug heutiger Ingenieurtätigkeit zur Vorhersage des Material- und Bauteilverhaltens mechanisch (Deformation, Versagen, Schwingungen, …) thermisch elektrostatisch und –dynamisch → Optimierung → Numerische Simulationen oft preisgünstiger als Experimente
− Numerisches Verfahren: Näherungsweise (oder exakte) Lösung eines mathematischen Problems in einer endlichen Anzahl von Schritten, typischerweise zur Ausführung auf einem Computer. − Bsp: Heron-Verfahren für Quadratwurzeln, gewöhnliches
Iterationsverfahren − Nötig: mathematisches Modell (eigentliche Physik !!!)
Ziel dieser Vorlesung: Überblick über numerische Verfahren
2
1.1 Motivation
Klassifizierung mechanischer Probleme
Klasse Beispiel Anmerkungen
Randwertproblem (RWP) lineare Stabtheorie ()′ := d()dx
(ÊA(x)u′(x))′ + n(x) = 0 DGL
u(0) = 0 Beispiel für vollständigen SatzEAu′(L) = F von RBD (Randbedingungen)
Euler-Bernoulli-Balken
(ÊI(x)w′′(x))′′ − q(x) = 0 DGL
w(0) = 0, w(L) = 0, Beispiel für vollständigen Satzw′(0) = 0, EIw′′(L) = 0 von RBD
Kirchhoffsche Plattentheorie ∆() := ∂2()
∂x21+ ∂
2()∂x22
∆∆w(x1, x2) =p(x1,x2)k(x1,x2)
DGL
RBD
Anfangswertproblem(AWP)
erzwungene Schwingung einerPunktmasse
(̇) := d()dt
ẍ(t) + cmx(t) = F (t) DGL
x(t0) = x0 Beispiel für vollständigen Satzẋ(t0) = v0 von AB (Anfangsbedingungen)
Eigenwertproblem KnickenEIwIV(x) + Fw′′(x) = 0 DGL
RBD
AnfangsrandwertproblemARWP
Stab, linear elastisch unter dyn.Belastung
c2 = E/ρ
u′′(x, t) = 1c2ü(x, t) DGL
RBD + AB
1
FEM beim Stab: Konvergenz mit steigender
Elementanzahl
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x/l
EA
u/(n
0l2 )
Elemente: 1Elemente: 2Elemente: 4exakt
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x/l
P/(
n 0l)
Elemente: 1Elemente: 2Elemente: 4exakt
1
FEM-Programm
Hauptprogramm
• verwaltet Knoten-Elementzuordnung Ae
(”Netztopologie“)
• Berechnung:
1. Aufruf der Elementroutine für jedes Element e
⇒ liefert Ke, p̂
e
2. Zusammenbau von K und p̂ mittels Ae
3. Einbau der Randbedingungen
– natürliche RB: Einsetzen in F̂ an entsprechender Stelle
– wesentliche RB: Streichen von entsprechenden Zeilen und Spalten in K,
p̂ und F̂ (siehe 2.5.1)
4. Lösen d. globalen GLS: u = K−1 ·(p̂+ F̂
)5. ggf. nachträgliche Verarbeitung (
”Post-processing“) in Elementroutine mit
Lösung ue = Ae · u
Elementroutine
• enthält die schwache Formulierung des RWP (eigentliche”Physik“ !!!)
• enthält Ansatzfunktionen N und Ableitungen B
• führt entsprechende Integrale aus∫ξ
(·) dξ = . . .
• ggf. nachträgliche Berechnung, z.B. Dehnung ε = u′ = B ·ue, Längskraft P = EAε
Vorteile der FEM
• getrennte Verarbeitung in Hauptprogramm und Elementroutine
⇒ Formulierung d. RWP im Hauptprogramm nicht benötigt
⇒ Kopplung bereichsweise verschiedener RWP durch verschiedene Elementroutinen– verschiedenes Materialverhalten (elastisch, elastisch-plastisch, viskos, . . . )
– verschiedene DGLs (rein mechanisch, mechanisch-thermisch, akustisch, . . . )
⇒ große Flexibilität der FEM
1
2xF�
1x
3x
t
d
Ω∂
Ω
MotivationKlassifizierungStabFEM_KonvergenzFEM_programmESZEVZ