36135435 Sinais Senoidais Tensao e Corrente Alternadas CEFET SC

Centro Federal de Educao Tecnolgica de Santa Catarina Gerncia Educacional de Eletrnic a Tenso e Corrente Alternadas SINAIS SENOIDAIS: Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi Terceira Edio Florianpolis Maro, 2006.

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 2 SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi Ver so 3.0 17 de maro de 2006 NOTA DO AUTOR Esta apostila um material de apoio didtico utilizado pelo autor nas suas aulas da s disciplinas ministradas na Gerncia Educacional de Eletrnica do Centro Federal de Educao Tecnolgica de Santa Catarina (CEFET/SC). Este material no tem a pretenso de e sgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado. Tem por objeti vo facilitar a dinmica de aula, com expressivos ganhos de tempo, alm de dar uma pr imeira orientao e compreenso aos alunos sobre o assunto abordado. Este trabalho foi construdo com base nas referncias bibliogrficas, citadas ao longo do texto, nas no tas de aula e na experincia do autor na abordagem do assunto com os seus alunos. Em se tratando de um material didtico elaborado por um professor de uma Instituio Pb lica de Ensino, so permitidos o uso e a reproduo do texto, desde que devidamente ci tada a fonte. O aluno deve desenvolver o hbito de consultar, estudar e, se possvel , adquirir a Bibliografia Referenciada original para melhores resultados no proc esso de aprendizagem. Quaisquer contribuies, correes e crticas construtivas a este tr abalho sero bemvindas pelo autor. Agradeo a todos aqueles que fizerem uso deste ma terial, em especial aos meus alunos, razo deste material e do meu trabalho. Prof. Fernando Luiz Rosa Mussoi [email protected] Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 3 ndice NOTA DO AUTOR .................................................................. ...................................................................2 1. TENSO E C ORRENTE ALTERNADAS SENOIDAIS ................................................... .................6 2. GERAO DE CORRENTE ALTERNADA ................................ ......................................................7 2.1. INDUO ELETROMAGNTICA . ................................................................................ ..........................7 2.2 - PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO DO GERADOR DE CORRENT E ALTERNADA. ...................................9 2.3 TENSO E FREQNCIA DO GERADOR.. ................................................................................ ..........13 2.4 - GERADORES DE CORRENTE ALTERNADA ............................. ...........................................................16 3. PARMETROS DA FOR MA DE ONDA DA TENSO E DA CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL ............................ ................................................................................ ....................................20 3.1. VALOR DE PICO: ..................... ................................................................................ ..........................20 3.2. PERODO (T): ................................... ................................................................................ .................21 3.3. FREQNCIA (F): ........................................... ................................................................................ ...21 3.4. FREQNCIA ANGULAR OU VELOCIDADE ANGULAR (): ............................. ....................................22 3.5. FUNO MATEMTICA DA TENSO E DA CORRENTE AL TERNADA SENOIDAL. ..............................24 3.5.1. Tenso Instantnea: ...... ................................................................................ ............................25 3.5.2. Corrente Instantnea: ...................... ................................................................................ .........27 3.6. VALOR MDIO ..................................................... .............................................................................28 3.7. VALOR EFICAZ............................................................... ...................................................................30 3.8. FATOR DE FORMA ...................................................................... .......................................................33 3.9. FASE INICIAL E DE FASAGEM ANGULAR. ............................................................... ...........................33 3.10. OSCILOSCPIO ................................. ................................................................................ ...............36 3.11. EXERCCIOS: .............................................. ................................................................................ .....37 4. NMEROS COMPLEXOS...................................................... ............................................................41 4.1. PLANO CARTES IANO COMPLEXO................................................................... ...................................41 4.2. FORMA RETANGULAR OU CARTESIANA ...... ................................................................................ .....43 4.3. FORMA POLAR ....................................................... ...........................................................................45 4. 4. CONVERSO ENTRE FORMAS ........................................................ ....................................................46 4.4.1. Converso de Retangu lar para Polar ................................................................. ......................46 4.4.2. Converso de Polar para Retangular ............... ........................................................................47 4.5. OPERAES MATEMTICAS COM NMEROS COMPLEXOS ............................................ ....................48 4.5.1. Conjugado Complexo ............................... ................................................................................ .48 4.5.2. Recproco ou Inverso de um nmero complexo .............................. ..........................................49 4.5.3. Adio e Subtrao de nmeros complexo s .............................................................................. 49 4.5.4. Multiplicao de nmeros complexos .........................................

..............................................49 4.5.5. Diviso de nmeros complexos ............................................................................... ..................50 4.5.6. Potenciao de nmeros complexos.......................... ................................................................51 4.6. EXERCCIOS ............................................................................... .......................................................51 5. REPRESENTAO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS ............................................................ 54 5.1 INTRODUO .................................................................. ...................................................................54 5.2. FASOR ............................................................................... ................................................................56 5.3. REPRESEN TAO FASORIAL COM NMEROS COMPLEXOS ................................................. .............60 5.4. OPERAES MATEMTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS ......... ..................................63 5.5. TABELA RESUMO ........................ ................................................................................ ......................66 5.6. EXERCCIOS: ........................................ ................................................................................ .............67 6. RELAES ENTRE TENSO E CORRENTE ALTERNADAS NOS ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOS.................................................................... ....................................................................70 Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 4 6.1. RESISTOR EM CORRENTE ALTERNADA ............................................ .................................................70 6.1.1. Exerccios:............ ................................................................................ .....................................75 6.2. CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADA.... ................................................................................ ......75 6.2.1. Reatncia Capacitiva Xc: ......................................... .................................................................80 6.2.2. Lei d e Ohm para o Capacitor em Corrente Alternada.................................... ..........................81 6.2.3. Resposta em freqncia para o Capacitor ........ ........................................................................84 6.2.4 . Modelo do Capacitor Real ..................................................... ...................................................85 6.2.5. Exerccios:.......... ................................................................................ .......................................85 6.3. INDUTOR EM CORRENTE ALTERNADA.... ................................................................................ ..........86 6.3.1. Reatncia Indutiva XL: ....................................... .......................................................................90 6.3.2. Lei de Ohm para o Indutor em corrente alternada ............................... ....................................92 6.3.3. Resposta em freqncia para o Indutor ................................................................................ ....94 6.3.4. Modelo do Indutor Real ........................................... .................................................................95 6.3.3. Exercc ios:............................................................................ .....................................................96 6.4. IMPEDNCIA .......... ................................................................................ ...........................................96 6.4.1. Diagrama de Impedncias e Trin gulo de Impedncias ........................................................101 6. 4.2. Associao de Impedncias: ...................................................... .............................................104 6.4.3. Tabelas-resumo ......... ................................................................................ ..............................106 6.4.4. Exerccios .............................. ................................................................................ ..................108 6.5. ADMITNCIA............................................. ................................................................................ ......108 6.5.1. Associaes de Admitncias........................................... .........................................................109 6.5.2. Diagrama de Admitncias....................................................................... ................................110 6.6. ANLISE DE CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNAD A .....................................................................111 6.6.1 . Anlise de Circuitos RC ........................................................ ..................................................111 6.6.2. Anlise de Circuitos RL.............................................................................. .............................114 6.6.3. Anlise de Circuitos RLC ................. ................................................................................ .......116 6.6.4. Exerccios:..................................................... ..........................................................................122 7. POTNCIA E ENERGIA ELTRICA EM CORRENTE ALTERNADA.................................. ..124 7.1. POTNCIA INSTANTNEA .................................................... ...........................................................124 7.2. POTNCIA MDIA O U POTNCIA ATIVA ................................................................. ........................127 7.3. ESTUDO DA POTNCIA NO RESISTOR, NO INDUTOR E NO C APACITOR. ..........................................129 7.3.1. Potncia no Resisto r............................................................................... .................................129 7.3.2 - Potncia no Indutor Ideal ........... ................................................................................ ...........132 7.3.3. Potncia no Capacitor Ideal ................................

...................................................................135 7.3.4. Po tencia na Impedncia de um circuito misto ........................................ ................................138 7.4. POTNCIA APARENTE E TRINGULO DE POTNCIAS .. ....................................................................140 7.4.1. T ringulo de Potncias .............................................................. .............................................141 7.5. FATOR DE POTNCIA E ENERGIA ................................................................................ ....................143 7.5.1. Energia Eltrica .................................. ................................................................................ ....144 7.6 - NOTAO COMPLEXA DA POTNCIA ........................................... ..................................................144 7.7. RELAES ENTRE P E Q E OS ELEMENTOS PASSIVOS R, L E C.................................................... ....146 7.8. CORREO DO FATOR DE POTNCIA:........................................... ..................................................150 7.9. EXERCCIOS ............ ................................................................................ ........................................153 8. EXERCCIOS E PROBLEMAS PROPOSTOS... ............................................................................156 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS: ........................................................ .........................................170 ANEXOS ............................ ................................................................................ ......................................171 A.1. RELAES TRIGONOMTRICAS............... .............................................................................172 A.2. DERIVADA.................................................................. ....................................................................173 A.3. MED IO DA DEFASAGEM USANDO OSCILOSCPIO ................................................ .....................175 A.4. ESPECTRO DE FREQNCIAS............................... ...........................................................................176 A .5. SRIES DE FOURIER............................................................. ...........................................................177 Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 5 A.6. TEOREMA DA MXIMA TRANSFERNCIA DE POTNCIA ..................................... ...........................182 A.6.1. Transferncia de Potncia em Circuitos de Corr ente Contnua.............................................182 A.6.2. Transferncia d e Potncia em Circuitos de Corrente Alternada..................................... .......182 A.6.3. Exerccios Propostos: .......................................... ...................................................................183 A.8. FATO R DE DESLOCAMENTO E TAXA DE DISTORO HARMNICA ...................................... .........184 A9. INFORMAES RELEVANTES ............................................ ..............................................................185 Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 6 1. TENSO E CORRENTE Uma forma de onda de idade e a polaridade mo as formas de onda + t + t + t Figura 1.1 formas de onda alternadas e peridicas ALTERNADAS SENOIDAIS um sinal de tenso ou corrente alternada aquela onde a intens alteram-se ao longo do tempo. Em geral so sinais peridicos co apresentadas na figura 1.1

Uma Corrente Alternada (ICA) aquela que inverte, periodicamente, o sentido no qu al est circulando. Ela tambm varia a intensidade continuamente no tempo. Uma Tenso Alternada (VCA) aquela que inverte, periodicamente, a polaridade da tenso. J Tenso ou Corrente Alternada Senoidal aquela cuja forma de onda representada por uma se nide. Dizemos que um sinal senoidal. A forma de onda peridica mais importante e de maior interesse a alternada senoidal de tenso e de corrente, porque a energia ge rada nas usinas das concessionrias e a maioria dos equipamentos usam tenso e corre nte alternadas senoidais. A maior parte da energia eltrica consumida gerada e dis tribuda na forma de tenso e corrente alternadas para os consumidores que so as resi dncias, o comrcio e, principalmente, as indstrias. A principal razo pela qual a ener gia eltrica gerada e distribuda em grande escala ser em tenso e corrente alternadas que ela apresenta uma facilidade tanto na gerao como na transformao dos nveis de te so (elevao ou reduo). Para transportar a energia a longas distncias necessrio elev tenso a nveis que chegam a 750kV, para reduzir as perdas no transporte (principalm ente por Efeito Joule). Nos centros de consumo a tenso novamente reduzida e distr ibuda aos consumidores. Os motores de corrente alternada so construtivamente menos complexos que os motores de corrente contnua. Isto uma grande vantagem pois, red uz custos e cuidados com a manuteno. Por isso so os mais baratos e os mais usados n os equipamentos. Outra importante razo a caracterstica tpica de comportamento dos c ircuitos eltricos e seus elementos passivos (R, L e C) quando submetidos a sinais senoidais. O tratamento matemtico permite que os mesmos teoremas de anlise de cir cuitos de corrente contnua (CC) possam ser aplicados anlise de circuitos com sinai s alternados senoidais. Alm disso, os sinais senoidais de tenso e de corrente so mu ito estudados porque so, em muitos casos, a base para vrios outros sinais. Isto qu er dizer que muitos sinais podem ser analisados pela combinao de mais de um sinal senoidal. O objetivo desta apostila apresentar o processo de gerao da corrente alt ernada senoidal e especificar as suas caractersticas, parmetros e terminologias, b em como processos matemticos para anlise do comportamento dos elementos passivos ( resistor, capacitor e indutor) em circuitos de corrente alternada senoidal. Prof. Fernando L. R. Mussoi

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SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 7 2. GERAO DE CORRENTE ALTERNADA No estudo do Eletromagnetismo j foram vistos os princpios da Induo Eletromagntica. Pa ra entender a produo de uma onda (sinal) senoidal devemos conhecer bem os princpios das tenses e correntes induzidas:

2.1. INDUO ELETROMAGNTICA Quando a regio onde um circuito eltrico se encontra apresenta uma variao de fluxo ma gntico, surge nesse circuito, uma corrente eltrica. Este fenmeno chamado de induo el tromagntica. Esta corrente induzida circuila no circuito devido uma diferena de po tencial (tenso), chamada de fora eletromotriz induzida (FEM), ou simplesmente, ten so induzida. A induo eletromagntica regida por duas leis: Lei de Lenz e Lei de Farad ay, j estudadas. A Lei de Faraday diz que a Fem (tenso) induzida mdia em um circuit o igual ao resultado da diviso da variao do fluxo magntico numa bobina com N espiras pelo intervalo de tempo em que ocorre, com sinal trocado. Ou seja, quanto mais o fluxo variar num intervalo de tempo, tanto maior ser a tenso induzida. e= onde: N t

e fora eletromotriz induzida (tenso induzida) [V] /t taxa de variao do fluxo mag tempo [Wb/s] N nmero de espiras. A Lei de Lenz diz que o sentido da corrente ind uzida tal que origina um fluxo magntico induzido, que se ope variao do fluxo magnt indutor. N S S N N S N S N Corrente I S Corrente Nula (I=0) Corrente I a) m parado no induz corrente b) m se aproximando c) m se afastando

igura 2.1.1 Induo Eletromagntica

Por exemplo, na figura 2.1.1 a aproximao do im provoca um aumento do fluxo magntico perto da bobina. Conseqentemente comea a circular, na bobina, uma corrente que cri a um campo magntico com polaridade inversa ao do im. O campo criado tenta impedir Prof. ernando L. R. Mussoi CE ET/SC Gerncia Educacional de Eletrnica

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a aproximao do im, tenta parar o im, para manter o fluxo magntico constante (variao fluxo nula). Quando o m se afasta, o efeito contrrio e a corrente induzida tem o se u sentido alternado. Um condutor se movimentando num campo magntico tambm produz v ariao de fluxo magntico e sofre, consequentemente, induo magntica de corrente. H tr dies fundamentais que devem existir antes que uma tenso possa ser produzida por mag netismo. Deve haver um CONDUTOR no qual a tenso ser induzida. Deve haver um CAMPO MAGNTICO na vizinhana do condutor. Deve haver movimento relativo entre o campo e o condutor. De acordo com estas condies, quando o condutor (ou condutores) se MOVER atravs de um campo magntico de maneira que as linhas de campo o atravesse, eltrons DENTRO DO CONDUTOR sero estimulados em uma direo ou outra. Assim, uma fora eletromo triz, ou tenso eltrica, induzida (criada). Sabemos que: = B A sen onde: - luxo magntico [Wb] B intensidade do campo magntico [T] A ondutor [m2] - ngulo de incidncia da linhas de campo no condutor [o ou rad] Ou sej a, o luxo magntico depende da intensidade do campo magntico, da rea do condutor at ingida pelas linhas do campo magntico e do ngulo em ue estas linhas atingem o con dutor. O sentido da corrente induzida num condutor em movimento dentro de um cam po magntico pode ser dado pela Regra da Mo Direita (Regra de Fleming), como indica a igura 2.1.2. Figura 2.1.2 Determinao do sentido da corrente induzida com o uso da Regra da Mo Di reita [2]. Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 9 As iguras 2.1.3 e 2.1.4 indicam algumas situaes de induo de corrente num condutor e o seu sentido, em uno da polaridade magntica e do sentido do movimento do conduto r. N N N S Corrente Induzida Nula (a) S Corrente Induzida Mxima (b) S Corrente Induzida (c) Figura 2.1.3 Movimento de um condutor dentro de um campo magntico. A amplitude da corrente induzida depende do ngulo no ual o condutor corta as linhas de luxo [ 2]. N N S S (a) S (b) N (c) Figura 2.1.4 Mudar a direo do movimento ou a polaridade do campo muda o sentido da corrente induzida [2]. 2.2 - PRINCPIO DE FUNCIONAMENTO DO GERADOR DE CORRENTE ALTERNADA. Um gerador de corrente alternada unciona com base na induo de ora eletromotriz nu m condutor em movimento dentro de um campo magntico. Para entender o seu unciona mento considere-se o es uema da igura 2.2.1, onde uma espira gira dentro de um campo magntico, gerando uma tenso (FEM) e uma corrente induzidas. Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 10 Eixo Espira a B N b Terminais da Espira Sentido de rotao S Figura 2.2.1 Gerador de Corrente Alternada Elementar: espira girando num campo m agntico

A igura 2.2.2(a) ilustra , passo a passo, a induo de uma corrente na espira do ge rador de corrente alternada elementar da igura 2.2.1. Em t1 os condutores a e b esto se movimentando paralelamente ao luxo magntico (com sentidos opostos). Como nenhuma linha de luxo cortada =0O=180O, nenhuma tenso ou corrente induzida. No i nstante t2, o movimento dos condutores j corta as linhas de luxo magntico em um d eterminado ngulo e uma tenso induzida e esta proporciona uma corrente induzida com o sentido indicado, dado pela regra da mo direita. No instante t3 o movimento do s condutores corta as linhas de luxo perpendicularmente (ngulo de 90o) e a variao do luxo mxima. A tenso induzida mxima e, portanto, h o pico de corrente induzida. m t4, o movimento dos condutores corta as linhas de luxo magntico em um determin ado ngulo e uma tenso menor induzida. Como o ngulo complementar a 2 a tenso induzi igual a do instante t2. Em t5 os condutores a e b esto novamente se movimentando paralelamente ao luxo magntico (com sentidos opostos) e nenhuma tenso ou corrente induzida. Neste ponto, a primeira meia volta da espira produziu a orma de onda de corrente induzida apresentada na igura 2.2.2(b). O eixo vertical indica a i ntensidade da corrente (ou da tenso) induzida em cada instante. O eixo horizontal indica os instantes de tempo ou o ngulo do movimento da espira no campo magntico. Como: = B A sen com a variao do ngulo devido ao movimento de giro da espira no c o magntico, o luxo tem uma variao senoidal e, portanto, como a tenso induzida depen de da variao do luxo, ela assumir um comportamento tambm senoidal. Como a tenso e a corrente induzidas dependem da variao do luxo e este varia de acordo com o seno d o ngulo de incidncia das linhas no condutor da espira ( = B.A.sen) devido ao movimen to giratrio da espira, a orma de onda resultante peridica a cada volta (cclica) e tem a orma senoidal. Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 11 a =0 = 0 e=0 0 0 e0 = 90 = mx e mx 0 0 e0 =0 = 0 e=0 o o o o o Instante t1 N b a N S b N S Instante t2 N S Instante t3 N a S b S b S Instante t4 N a N S Instante t5 b N a S (a) v(V) i (A) t1 o 0 t2 t3 o 90 t4

t5 o 180 t (s)

A igura 2.2.3 representa a segunda meia volta da espira. Nota-se ue, do instan te t5 para t6 a direo na ual o condutor corta o luxo invertida. Portanto, a pola ridade da tenso induzida invertida e, conse entemente, o sentido da corrente alter nado, ormando, a partir da, o semiciclo negativo da orma de onda, pelo mesmo pr ocesso anterior. A igura 2.2.4 indica a orma de onda senoidal produzida pelo g iro de 360o (2. rad) de um condutor de uma es ira em um cam o magntico. O eixo ver tical indica a am litude da tenso (FEM) induzida. O eixo horizontal ode re resen tar o tem o que a forma de onda leva ara com letar um ciclo inteiro ( erodo). Ca da instante de tem o est relacionado com a osio angular do condutor no cam o magnti co. Quando o eixo horizontal indicar diretamente a osio angular em graus, chamamo s de ngulo eltrico. A vantagem de se indicar o eixo horizontal em graus em vez de unidades de tem o que os graus eltricos inde endem da velocidade com que a es ira gira no cam o magntico (e conseqentemente da freqncia e do erodo). Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

(b) Figura 2.2.2 Gerao de Corrente: (a) primeira meia volta da espira [1]; (b) e onda do sinal gerado.

orma d

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 12 b =0 = 0 e=0 0 0 e0 = 90 = mx e = mx 0 0 e0 =0 = 0 e=0 o o o o o Instante t5 N a b N S a N S Instante t6 N S Instante t7 N b S a S a S Instante t8 N b N S Instante t9 a N b S (a) v(V) i (A) 180o 270o 360o t5 t6 t7 t8

t9 t (s) (b) Figura 2.2.3 Gerao de Corrente: (a) segunda meia volta da espira [1]; (b) orma de onda do sinal gerado. A corrente alternada resultante do processo de induo magntica, no gerador estudado, tem a orma senoidal, isto , a corrente varia no tempo periodicamente tanto em i ntensidade como em sentido, a cada 360o, como indica a igura 2.2.5. O mesmo oco rre para a FEM induzida: uma tenso ue varia periodicamente, em intensidade e pol aridade. A amplitude da tenso e da corrente induzidas nas bobinas depende: do nmer o de espiras das bobinas rotativas; da velocidade na ual as bobinas se moviment am; da densidade do luxo do campo magntico. Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 13 N Tenso Induzida 5 6 7 4 3 2 1 12 1 2 4 + 6 7 8 x 8 B x 9 10 11 x 10 Tempo 1 12 x x S Figura 2.2.4 Gerando uma onda senoidal atravs do movimento de rotao de um condutor dentro de um campo magntico [2]. i (A) Mximo (pico +) t (s) 0 o 90 o 180 o 270 o 360

o Mnimo (pico -) tempo para uma o rotao (360 ) Perodo Figura 2.2.5 - Gr ico da corrente produzida pelo gerador. 2.3 TENSO E FREQNCIA DO GERADOR Observando as iguras 2.2.2 e 2.2.3 podemos concluir ue o luxo magntico na espi ra varia de um mximo positivo (+) em t3, a um mximo negativo (-) em t7, passando por zero durante meia volta da espira no campo magntico. Assim, a amplitude de variao do luxo magntico na espira em meia volta dado por: = + max ( max ) = 2 Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


Essa variao ocorre durante um dado intervalo de tempo t. Considerando a quantidade de rotaes por minuto (rpm), temos a relao: t 60s (1min) assim: rotao n rotae t = 30 n No gerador das figuras 2.2.2 e 2.2.3 temos apenas dois plos magnticos produzindo u m = 2 em meia volta. Se tivermos um nmero p de plos teremos: = p sendo a ora eletromotriz induzida proporcional ao nmero de espiras e = N substituindo t e = N p 30 n assim e = N onde: p n 30

e ora eletromotriz (tenso) mdia induzida [V]; - luxo magntico por plo [Wb]; p de plos; n velocidade [rpm]; N nmero de espiras O gerador de dois plos da igura 2. 2.2 e 2.2.3 completa um ciclo a cada rotao. Em cada segundo teremos n/60 rotaes. Ass im: 2 plos p plos equacionando, temos: n/60 rotaes por segundo f rotaes por segun f= onde: np 120

f freqncia da tenso induzida em ciclos por segundo, Hertz [Hz]; p nmero de plos; n tao em rpm. Substituindo esta equao na anterior, temos para a tenso induzida: Prof. ernando L. R. Mussoi CE ET/SC Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 15 e = 4 N A igura 2.3.1 mostra dois geradores com o campo magntico girante no rotor e a ar madura ixa no estator. O primeiro apresenta 8 plos e o segundo 2 plos. Como ambos giram a mesma velocidade, o gerador de mais plos produz um sinal de maior re ncia do ue o outro. Assim, para uma dada re ncia desejada (como 60Hz, por exemplo), um gerador de mais plos pode girar a uma velocidade menor. Geradores de 8 e de 2 plos girando a mesma velocidade Gerador de 8 plos Gerador de 2 plos Figura 2.3.1 Nmero de plos magnticos in luencia a re ncia da tenso gerada. Nos circuitos eltricos, onte de tenso alternada senoidal e onte de corrente alte rnada senoidal so representadas como mostra a igura 2.4.2. Na conveno adotada, a p olaridade da tenso e o sentido da corrente indicado se re erem ao semiciclo posit ivo. + v(t) ~ + i(t) ~ + Figura 2.4.2 smbolo e conveno para polaridade de ontes de tenso e de corrente alter nadas senoidais. Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 16 2.4 - GERADORES DE CORRENTE ALTERNADA A igura 2.4.1 apresenta as partes essenciais de um gerador de corrente alternad a elementar. chamado de elementar por ue possui apenas uma espira. Figura 2.4.1 Gerador CA. A espira em movimento conectada carga atravs de anis cole tores e escovas [2]. Um gerador real consiste de muitas espiras em srie e em paralelo ormando conjunt os de bobinas. O conjunto das bobinas num gerador chamado enrolamento, ue monta do em torno de um ncleo de ao silcio (material erromagntico) e ue constitui a cham ada armadura, onde induzida a ora eletromotriz (tenso). O campo magntico produzido no gerador da igura 2.4.1 criado por um m permanente. Nos geradores comerciais, o campo magntico criado por um eletrom alimentado por uma onte de corrente contnua. O rotor a parte ue gira. O estator a parte ue permanece estacionria. Nos gerad ores de corrente alternada a armadura pode estar no rotor ou no estator Nos gera dores de corrente alternada de grande potncia, encontrados nas usinas, a armadura ixa no estator e o campo magntico ue gira em torno delas, como mostra a igura 2.4.2 e tambm a igura 2.3.1. Como h um movimento relativo entre elas, h a induo ele tromagntica. Figura 2.4.2 Gerador de Corrente Alternada de Plos Girantes e Armadura Estacionria . Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


No gerador CA de armadura giratria o sinal CA gerado levado carga atravs de anis co letores e escovas deslizantes, como mostra a igura 2.4.1. A armadura giratria en contrada somente em alternadores de baixa potncia devido limitao de corrente nos ani s coletores e escovas. O gerador CA de campo giratrio tem o enrolamento de armadu ra estacionrio e o enrolamento de campo girante no rotor (o campo magntico criado por bobinas eletroms). A vantagem da armadura estacionria ue a tenso gerada pode s r conectada carga diretamente, sem necessidade de anis coletores e escovas. Isso possibilita gerao de grandes nveis de tenso e de corrente (alta potncia), pois os ani e escovas s permitem operao em baixas tenses e correntes. O estator consiste de um ncleo de erro laminado com os enrolamentos da armadura embutidos neste ncleo, com o mostrado na Figura 2.4.3. O ncleo a armadura do estator. Ncleo Laminado Armadura do Estator Enrolamentos da armadura Figura 2.4.3 Armadura do Estator de um gerador de corrente alternada. Todos os geradores, grandes ou pe uenos, de corrente alternada ou de corrente co ntnua, re uerem uma onte de potncia mecnica para girar seus rotores. Esta onte de energia mecnica chamada de onte primria. Fontes primrias so divididas em duas clas ses: para gerador de alta velocidade e baixa velocidade. Turbinas a Vapor e a Gs so ontes primrias de alta velocidade, en uanto m uinas de combusto interna (como mo tores a exploso), turbinas hidrulicas em uedas de gua e turbinas elicas (hlices) so onsideradas ontes primrias de baixa velocidade. O tipo de onte primria tem um pa pel importante no projeto de alternadores, desde ue a velocidade ual o rotor g irado determina certas caractersticas de construo do alternador e operao. A igura 2. 4.4 mostra uma turbina hidrulica acionando um gerador. Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 18 Figura 2.4.4 Turbina hidrulica acionando mecanicamente o gerador.

Alternadores so avaliados de acordo com a tenso para a ual eles so projetados e pe la mxima corrente ue so capazes de ornecer. O produto da tenso alternada pela cor rente alternada de projeto do gerador ornece a capacidade de potncia gerada, cuj a unidade o Volt-Ampre. A corrente mxima ue pode ser ornecida por um alternador depende da mxima perda de calor ue ele pode suportar na armadura. Esta perda de calor ( ue uma potncia eltrica perdida, principalmente por E eito Joule) age a uec endo os condutores e, se excessiva, destri o seu isolamento, podendo causar m oper ao ou curto-circuito. Sistemas de re rigerao so incorporados em grandes geradores par a limitar o a uecimento. Quando um alternador sai da brica, este j destinado para um trabalho muito espec ico. A velocidade para a ual projetado para girar, a te nso ue produzir, os limites de corrente, e outras caractersticas de operao so conhec das. Esta in ormao normalmente estampada em uma placa de especi icaes para ue o usu io conhea suas caractersticas. A igura 2.4.5 mostra dois tipos de rotores para ge radores de plos girantes e armadura estacionria. O primeiro ade uado para turbinas de alta velocidade como a uelas acionadas por vapor ou gs. A segunda para turbin as de baixa velocidade como a uelas acionadas por turbinas hidrulicas e motores d e exploso. Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 19 Anis Coletores Rotor de alta velocidade (>1200rpm) Seo Transversal: Rotor de Plos Salientes para baixa velocidade (0); - argumento (ngulo) do vetor desde o eixo horizontal , medido no sentido anti-horrio. Observao: O smbolo usado para indicar o argumento de um nmero complexo na orma p e l-se:com ngulo de ou com argumento de. Os ngulos do argumento so sempre obtidos a partir do eixo das abscissas x e deve s er adotada a seguinte conveno: ngulos positivos (+) so medidos no sentido anti-horrio a partir do eixo horizontal x. ngulos negativos (-) so medidos no sentido horrio a partir do eixo horizontal x.

C = 5 30 o x, Re Figura 4.3.1 soluo do exemplo 4.3.1(a) b) C = 5 -30o

ver igura 4.3.2. y, Im = 30 z=5 o x, Re o C = 5 -30 Figura 4.3.2 soluo do exemplo 4.3.1(b) c) C = -5 30o = 5 210o Pro . Fernando L. R. Mussoi ver igura 4.3.3. CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

Exemplo 4.3.1: representar os nmeros complexos no plano. a) C = 5 4.3.1. y, Im z=5 = 30 o

30o ver

igura

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 46 y, Im = +210 o x, Re z=5 C = 5 210 o Figura 4.3.3 soluo do exemplo 4.3.1(c) Observao: Um sinal negativo no mdulo indica uma direo oposta, ou seja:

( ) 4.4. CONVERSO ENTRE FORMAS Pela igura 4.1.3 podemos observar ue as ormas retangular e polar esto associad as atravs das relaes trigonomtricas do tringulo retngulo ormado pelo vetor z e suas rojees ortogonais x e y, como est gri ado na igura. A orma retangular composta pe las projees ortogonais real (x) e imaginria (y), ou seja, os catetos adjacente e op osto ao ngulo do tringulo retngulo xyz, respectivamente. 4.4.1. Converso de Retangular para Polar Para trans ormar um nmero complexo da orma retangular para a orma polar, deseja mos obter a hipotenusa z e o ngulo a partir dos catetos adjacente x e oposto y do tringulo retngulo xyz. Atravs das relaes trigonomtricas, temos:

z = x2 + y2 sabemos ue, tg = y x

y = tg 1 x conclumos que um nmero com lexo na forma olar : y C = z = x 2 + y 2 tg 1 x Exem lo 4.4.1: converter os nmeros com lexos da forma retangular ara a forma ol ar: a) C = 60 + j80 Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

ento o argumento da

orma polar pode ser dado pelo ngulo:

z2 = x2 + y2 assim, a hipotenusa do tringulo retngulo xyz o mdulo da por:

orma polar e pode ser dado

C = z = z

180 o

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 47 z = 60 2 + 80 2 = 100 80 = tg 1 = 53,13 o 60 C = 100 53,13 o b) C = 5 j5

z= ( 5)2 + 7 2 = 8,6 7 o = tg 1 = 54,46 5 C = 8,6 125,54o Observao: Se o nmero com lexo deve a arecer no segundo, terceiro ou quarto quadrantes, deve mos convert-lo ara estes quadrantes e determinar o ngulo a ro riado a ser associa do com o seu mdulo. No exem lo 4.4.1(c) o nmero 5+j7 a arece no 2o quadrante e ort anto o ngulo de 54,46o deve ser associado a este quadrante ou seja 180o+(-54,46o) = 125,54o.

4.4.2. Converso de Polar ara Retangular Para transformarmos um nmero com lexo da forma olar ara a forma retangular, des ejamos obter o cateto adjacente x e o cateto o osto y a artir da hi otenusa z e do ngulo do tringulo retngulo xyz indicado na igura 4.1.3. Atravs das relaes trig mtricas, temos: cos = x z assim, o cateto adjacente ue representa o nmero real x, pode ser dado por; x = z cos e sen = y z assim, o cateto oposto

ue representa o nmero imaginrio y, pode ser dado por;

y = z sen conclumos ue um nmero complexo na orma retangular : C = x + jy = z cos + j(z sen ) Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

z = 5 2 + ( 5) 2 = 50 = 5 2 5 o = tg 1 = 45 5 C = 5 2

45 o c) C =

5 + j


a) C = 200 45o x = 200 cos 45 o = 141,42 y = 200 sen 45 o = 141,42 C = 141,42 + j141,42 b) C = 30 -240o x = 30 cos 240 o = 15 y = 30 sen 240 o = 25,98 C = 15 + j25,98 4.5. OPERAES MATEMT CAS COM NMEROS COMPLEXOS Para podermos operar algebricamente nmeros complexos, devemos lembrar de algumas relaes. Sabemos que, para um nmero imaginrio: j = 1 fazendo: j2 = ento: ( 1)2 = 1 j 2 = 1 e ainda: j j 1 1 j = = j 2 = 1 = j j j j ento: 1 = j j 4.5.1. Conjugado Complexo O conjugado de um nmero complexo, representado por C*, pode ser determinado simpl esmente pela mudana do sinal da parte imaginria na forma retangular ou do sinal do ngulo na forma polar. Seja: C = x + jy = z ento o conjugado C* dado por: C * = x jy = z Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

Exemplo 4.4.2: converter os nmeros complexos da ar:

orma polar para a orma retangul

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 49 Exemplo 4.5.1: determine o conjugado dos nmeros complexos: a) C = 5 + j7 b) C = 100 -30o C* = 5 j7 C* =100 +30o 4.5.2. Recproco ou Inverso de um nmero complexo O recproco ou o inverso de um nmero complexo, represent do por C-1 d do por: C 1 = 1 1 1 0 o = = C x + jy z Essa diviso de nmeros complexos ser estudada no item 4.5.5.

A regra para soma ou subtrao de nmeros complexos na orma retangular : Somam-se ou subtraem-se algebricamente as partes reais e as partes imaginrias, se paradamente. Assim: C1 + C 2 = ( x 1 + jy 1 ) + ( x 2 + jy 2 ) = ( x 1 + x 2 ) + j( y 1 + y 2 ) C1 C 2 = ( x 1 + jy 1 ) ( x 2 + jy 2 ) = ( x 1 x 2 ) + j( y 1 y 2 ) Exemplo 4.5.2: efetuar as operaes algbricas com nmeros complexos, sendo C1 = 3 + j4 e C2 = 5 + j6: a) C3 = C1 + C2: C3 = C1 + C2 = (3 + j4) + (5 + j6) = (3 + 5) + ( j4 + j6) = 8 + j10 b) C3 = C1 C2: C3 = C1 C2 = (3 + j4) (5 + j6) = (3 5) + (j4 j6) = 2 j2 c) C3 = C1 + C2*: C3 = C1 + C2* = (3 + j4) + (5 - j6) = (3 + 5) + (j4 - j6) = 8 j2

Consideremos dois nmeros complexos n form pol r C1 = z1 1 e C 2 = z 2 2 . E etuemos a multiplicao: Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

4.5.4. Multiplic o de nmeros complexos A multiplic o de nmeros complexos deve ser feit n form pol r. No recomendvel tiplic o n form ret ngul r, embor poss ser re liz d . Multiplic o de nmeros complexos feit n form pol r.

4.5.3. Adio e Subtrao de nmeros complexos A adio (soma) ou subtrao algbricas de nmeros complexos deve ser eita sempre na retangular. No se somam ou se subtraem nmeros complexos na orma polar. Uma trans ormao deve ser eita antes desta operao algbrica. Soma e Subtrao algbrica de nmeros complexos so eitas na orma retangular.

orma

mu

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 50 C1 C 2 = (z1 1 ) (z 2 2 )

C1 C 2 = z1 (cos 1 + jsen1 ) z 2 (cos 2 + jsen 2 ) = z1 z 2 (cos 1 + jsen1 ) jsen 2 ) = = z1 z 2 cos 1 cos 2 + j cos 1 sen 2 + jsen1 cos 2 + j 2 sen1 sen 2 = ( )

= z1 z 2 [(cos 1 cos 2 sen1 sen 2 ) + j(cos 1 sen 2 + sen1 cos 2 )] = Das identidades trigonomtricas conhecidas, temos: cos 1 cos 2 sen1 sen 2 = cos( ) cos 1 sen 2 + sen1 cos 2 = sen(1 + 2 ) Substituindo: C1 C 2 = z1 z 2 [cos(1 + 2 ) + jsen(1 + 2 )] C1 C 2 = z1 z 2 (1 + 2 ) Portanto, a regra para multiplicao de nmeros complexos rma polar : Multiplicam-se os mdulos e somam-se algebricamente os ngulos. Assim: C1 C 2 = z1 1 z 2 Exemplo 4.5.3: e etuar as C2 = 20 30o. a) C3 = C1 x b) C3 = C1 x C2: C3 = C1 * * 2 = z1 z 2 (1 + 2 ) operaes algbricas com nmeros complexos, sendo C1 = 10 45o e C2: C3 = C1 x C2 = 10 45o x 20 30o = 10x20 (45o+30o) = 200 75o x C2 = 10 -45o x 20 30o = 10x20 (-45o+30o) = 200 -15o

Tambm podemos multiplicar nmeros complexos na orma retangular utilizando-se a pro priedade distributiva. Assim: C1 C 2 = ( x 1 + jy 1 ) ( x 2 + jy 2 ) = ( x 1x 2 ) + j( x 1y 2 ) + j( y 1x 2 ) + j 2 ( y 1y 2 ) = = ( x 1x 2 ) + j( x 1y 2 ) + j( y 1x 2 ) + ( 1)( y 1y 2 ) = x 1x 2 y 1y 2 + j ( x 1y 2 + x 2 y 1 ) C1 C 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + j ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Propriedade: o produto de um nmero complexo pelo seu conjugado um nmero real. Seja C=x+jy. Assim: C C * = ( x + jy ) ( x jy ) = x 2 jxy + jxy j 2 y 2 = x 2 ( 1)y 2 C C* = x 2 + y 2 O mesmo raciocnio vlido para a forma polar. 4.5.5. Diviso de nmeros complexos A diviso de nmeros complexos deve ser feita na forma polar. Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC Gerncia Educacional de Eletrnica

Na

orma trigonomtrica:

S NA S SENO DA S: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 51 Diviso de nmeros complexos feita na forma polar. A regra para diviso de nmeros complexos na forma polar : Dividem se os mdulos e subtraem se algebricamente os ngulos. Assim: C1 z z = 1 1 = 1 (1 2 ) C 2 z 2 2 z 2 Exemplo 4.5.4: e etuar as operaes algbricas com nmeros complexos, sendo C1 = 10 45o e C2 = 20 30o. a) C3 = C1 / C2: C3 = C1 / C2 = 10 45o / 20 30o = 10/20 (45o-30o) = 0,5 15o b) C3 = C1 / C2 : C3 = C2 / C1 = 20 30o / 10 -45o = 20/10 (30o-(-45o)) = 2 75o * * 4.5.6. Potenciao de nmeros complexos Consideremos o complexo C = z . Dado o nmero natural no nulo n, temos: C n = C C n = z z ... z[ + + ... + ]

C n = z n (n ) Esta e uao conhecida como Frmula de Moivre. Exemplo 4.5.5: E etue as operaes: a) C = 2 30 o ( ) = (2 ) (3 30 ) = 8 90 3 3 o 2 o b) C = (3 + j4 ) = 3 2 + 2 3 j4 + ( j4 ) = 9 + j24 + j 2 16 = 9 + j24 + ( 1 16 ) = 7 + j24 2 ( ) 4.6. EXERCC OS 4.6.1. a) b) c) d) e) f) g) Represente os nmeros complexos num mesmo plano cartes iano e obtenha a forma polar: C1=5+j2 C2=4 j3 C3= j4 C4= 1 j1 C5=2 C6= 7 j7 C 7 = 4 3 16 4.6.2. Represente os nmeros complexos num mesmo plano cartesiano e obtenha a form a retangular: a) b) C1=5 30o C2=2 180o CEFET/SC Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando L. R. Mussoi

S NA S SENO DA S: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 52 c) d) e) f)

4.6.3. Determine o argumento e o mdulo dos nmeros complexos a seguir e os represen te geometricamente no plano cartesiano: a) b) 4.6.4. a) b) c) d) e) f) g) 4.6.5. 4.6.6. a) b) 4.6.7. 4.6.8. a) b) c) d) 4.6.9. a) b) c) d) e) f) C=j4 C = 2 + j2 3 Faa as operaes algbricas com os nmeros complexos: (6+j5)+(2 j)= (6 j)+(4+j2)= (2,5+j3 ,5) (2,5 j4,5) (4 j).(2+j3)= (1+j).(2 j).(3+j2)= (5+j2)2= (2+j).(j) 1= Calcule a e b, para que (4+j5) ( 1+j3)=a+jb Determine o conjugado de: C=(3+j) (2+j5)= C=( 1 j).(3+j).( 1)= Determine o CC, tal que: 2C+3C*=4 j Dados os complexos C1=3+j4 e C2=6 j8, determine: C1.C2 = C1 C2 = C1/C2 = (2C1+C2)/(C1+C2) = Seja C1 = 2 13 5 o , C 2 = 4 60 o , C 3 = 1 30 o e C4=3 j4, calcule: (C1.C2)/C3= C1+C2 C3= (C1.C3* ) C2= C2/C4= C1 C4*= (3C1.C2).(C3.4C4)/(2C2 C3)=

C1 z

z = 1 1 = 1

(1 2 ) . C 2 z 2 2 z 2

Pro . Fernando L. R. Mussoi

4.6.10. Prove matematicamente plexo na forma polar pelo seu 4.6.11. Prove matematicamente CEFET/SC - Gernci Educ cion

(literal sem nmeros) que o produto de um nmero com conjugado um nmero real igual ao mdulo ao quadrado. (literal sem nmeros) que 4.6.12. C lcule: ) j4= l de Eletrnic

C3=4 45o C4=3 60o C5=6

150o C6=2,5 90o

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 53 b) c) d) e) j5= (1+j)8= (1+j3)5= (1-j)-2= Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica


5. REPRESENTAO FASORIAL DE SINAIS SENOIDAIS Neste captulo ser apresentada uma prtica erramenta gr ica e matemtica ue permitir e acilitar as operaes algbricas necessrias aplicao dos mtodos de clculo e anlise os eltricos ue operem com sinais senoidais de tenso e de corrente de mesma re ncia . Este mtodo az uso de um vetor radial girante denominado Fasor. 5.1 INTRODUO J sabemos ue podemos representar sinais de tenso e de corrente alternadas senoida is atravs das seguintes expresses matemticas no chamado domnio do tempo ou domnio tem poral, pois so uno do tempo: Tenso instantnea: Corrente instantnea: v(t) = Vp . .t V) i(t) = Ip . sen ( .t I)

Estas expresses matemticas para tenses e correntes, na orma trigonomtrica do domnio do tempo, no permitem mtodos prticos para a anlise de circuitos eltricos, pois no so is de serem algebricamente operadas. Exemplo 5.1.1: Sabemos ue potncia eltrica o produto da tenso pela corrente. Obtenh a a e uao da potncia eltrica multiplicando a tenso instantnea v(t)=10sen(100t) pela c rrente instantnea i(t)=2sen(100t-60o): Resolvendo, temos: p( t ) = v( t ) i( t ) = 10sen(100t ) 2sen(100 t + 60 o ) = 20 sen(100 t ) sen(1 00t + 60 o ) A uesto : como multiplicar os dois senos de ngulos di erentes? A resposta est no us o das chamadas identidades trigonomtricas. Algumas delas esto apresentadas no anex o A1. Para o produto de senos temos: sen sen = 1 [cos( ) cos( + )] 2 Assim: p( t ) = 20 sen(100 t ) sen(100 t + 60 o ) = 1 cos100 t 100 t + 2 3 3

( t ) =

1 cos cos 200 t + = 0,5 0,5 cos 200 t + = Podemos concluir que uma sim les multi licao de dois sinais ara a determinao da otn cia num circuito no uma o erao to sim les e evidente. Exem lo 5.1.2: Sabemos que numa malha de um circuito eltrico devemos somar as ten ses. Some os dois sinais de tenso na forma trigonomtrica e obtenha as formas de ond a, sendo v1(t)=10sen(100t)) e v2(t)=15sen(100t+60o). Para somarmos algebricamente tenses senoidais e obtermos a forma de onda resultan te uma soluo ouco rtica e trabalhosa seria fazer esta o erao de soma onto a onto das curvas senoidais, ao longo do eixo das abscissas, como mostra a figura 5.1.1 . Outra soluo seria o erarmos os sinais buscando alguma identidade trigonomtrica. D e ambas as formas, conclumos que esta tarefa no sim les, nem r ida e nem evidente. Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 55 v 1 ( t ) + v 2 ( t ) = 10sen(100 t ) + 15sen(100 t + 60 o ) 25 20 15 10 tenso (V) 5 0 -5 -10 -15 -20 -25 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 graus v1 v2 v1+v2 Figura 5.1.1 soma de senides onto a

Precisamos, ortanto, encontrar uma ferramenta que nos facilite as o eraes algbrica s com sinais senoidais de tenses e correntes ara que ossamos fazer uma anlise r i da e correta de circuitos eltricos. No estudo do ca tulo 3, udemos erceber que o s armetros mais im ortantes dos sinais de tenso e de corrente alternadas so: de Pico: Valor Eficaz: Velocidade Angular: Freqncia: Perodo: Fase Inicial: V e I Vef e Ief f T

S emos ue todo o sistem eltrico do Br sil oper um mesm fre nci (60Hz). O ue diferenci em lgum s regies so s tenses (110; 127; 220; 227V, por exemplo). D mesm form , no mtodo ue ser present do, se tod s s fontes de tenso e de corren te de um circuito possurem mesm fre nci ngul r poderemos omitir n represent tenso v e d corrente i. Sej , por exemplo, o circuito d figur 5.1.2, com trs fon es de tenso ltern d s oper ndo com mesm s fre nci s ngul res =200r d/s, onde: v ) = 10.sen(200.t + 0o) v2(t) = 5,0.sen(200.t + 45o) v3(t) = 20.sen(200.t + 90o)

Tod s s trs fontes present m mesm fre nci ngul r = 200 r d/s. Dest form , n diferenci s tenses e pode ser omitid n represent o de v1, v2 e v3. A diferenci o entre est s tenses dever ser feit , ento, em funo d tenso de pico Vp (ou d ten c z Vef) e do ngulo de f se inici l de c d fonte. Prof. Fern ndo L. R. Mussoi CEFET/SC Gernci Educ cion l de Eletrnic

onto


Ser present do neste c ptulo, um mtodo p r represent o de sin is senoid is, de mesm fre nci , ue permit f cilid de n s oper es lg ric s necessri s nlise e clcu ircuitos de corrente ltern d . Esse mtodo ch m do Represent o F sori l de Sin is S enoid is. v2(t) v1(t) v3(t)

5.2. FASOR Do estudo d Fsic , s emos ue um ponto se desloc ndo em um movimento circul r u niforme (movimento h rmnico) pode ser represent do tr vs de su s projees num pl no c rtesi no form ndo um senide, como mostr figur 5.2.1. A recproc t m m verd d eir , ou sej , um senide pode ser represent d pel s projees de seus pontos como u m ponto gir ndo em um movimento circul r uniforme. Um movimento h rmnico gir trio pode ser descrito por um senide e vice vers . 90o 120o 150o 90o 60o v(t) +VP C 30o C 210o 240o270o300o 330o 360o 180 o VP 0 o 0 o 30 o 60 90 120 150 180 o o o

Figur 5.1.2: circuito com trs fontes de tenso oper ndo mesm fre nci

[1]

o o =t (o, r d) 210o 240o 300o 330o 270 o VP

Figur 5.2.1: Projees de v lores inst ntneos de um sin l senoid l [3] C d ponto de um senide pode ser represent do por um vetor de mdulo const nte num posio diferente, como indic do n figur 5.2.1. A medid ue senide descrit o vetor ssume posies diferentes. Qu ndo senide complet um ciclo, o vetor descreve u um giro completo e se encontr n mesm posio inici l nov mente. Este vetor , por t nto, um vetor gir nte. Se o ciclo d senide foi descrito num d do interv lo de tempo (perodo T), o vetor deu um volt complet no mesmo perodo d senide. Assim, podemos concluir ue p r um d d fre nci f do sin l senoid l, o movimento h rmni co (gir trio) do vetor possui mesm fre nci e, port nto o vetor gir no sentido nti horrio com mesm fre nci ou velocid de ngul r d senide. Prof. Fern ndo L. R. Mussoi

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SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 57 An lis ndo figur 5.2.1 podemos o serv r ue o ponto C, em u l uer posio ngul r do seu movimento gir trio, form um vetor r di l gir nte cujo mdulo const nte e igu l o v lor de pico ( mplitude) d senide. Ento: Um senide pode ser descrit por um vetor r di l gir nte com mdulo igu l su mpli tude (v lor de pico) e mesm fre nci ngul r

A c d ciclo complet do d senide, o vetor r di l gir nte volt su posio inici l. Se o serv rmos projeo do v lor d senide no inst nte inici l t=0 ou n posio ngul r inici l =t=0o, o vetor r di l gir nte est posicion do um determin do ngulo em re l o o eixo x. Aps um perodo T (360o) o v lor est r n mesm posio de p rtid . Podem o serv r ue este ngulo corresponde o ngulo de f se inici l d senide. A c d perodo ou ciclo complet do o vetor r di l gir nte est sempre n mesm posio ngul r inici l . Se o ciclo d senide inici r di nt do, o ngulo de f se inici l 0 positivo. Se o ci clo d senide inici r tr s do, o ngulo de f se inici l 0 neg tivo, conforme ilustr figur 5.2.2. VP v(t) VP V0 t V0 ( ) v(t) VP t V0 ( ) VP V0 Figur 5.2.2: ngulo inici l do vetor r di l gir nte: ( ) di nt do, positivo; ( ) tr s do, neg tivo [3] Consider ndo ue este vetor r di l: gir mesm fre nci ngul r const nte d de origem; possui mesm fre nci f e perodo ue senide de origem; c d volt se encontr n mesm posio inici l correspondente o ngulo de f se inici l d senide d e origem possui um mdulo const nte e igu l o v lor de pico Vp d senide de origem ; Prof. Fern ndo L. R. Mussoi

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SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 58 Ento esse vetor gir nte possui os mesmos p rmetros ue descrevem senide e conside r ndo um d d fre nci , p r defini lo st o seu mdulo e o seu ngulo de f se inic i l. A este vetor r di l gir nte ch m mos de F sor. F sor um vetor r di l gir nte com fre nci , com mdulo igu l o v lor de pico VP e c om ngulo de f se inici l , ue represent um senide de igu is p rmetros.

Assim, os sin is senoid is de tenso e corrente t m m podem ser represent dos tr vs de vetores gir ntes, ch m dos F sor Tenso e F sor Corrente, como indic figur 5.2.2. Um f sor pode ser entendido como um vetor preso em um d s su s extremid des e gir ndo, como os ponteiros de um relgio, um velocid de ngul r d d em r di nos por segundo. Se extremid de pres do vetor gir nte for origem de um p l no c rtesi no x y pode se tr r s projees x e y de c d inst nte do desloc mento de su extremid de livre (pont d set ) neste pl no, como mostr figur 5.2. 1. A projeo do f sor no eixo y um funo seno ue represent mplitude inst ntne d senide result nte, como ilustr figur 5.2.3. A mplitude mxim (v lor de pico) corresponder o mdulo do f sor. Assim, projeo y pode ser d d pel funo senoid l: = v(t) = Vp . sen .t = 0o = 30o = 60o = 90o = 120o = 150o = 180o = 210o = 270o = 300o = 330o = 370o v() = Vp . sen 0o = 0 v() = Vp . sen 60o = 0,866.Vp v() = Vp . sen 90o = 1.Vp v() = Vp . sen 120o = 0,866.Vp v() = Vp . sen 150o = 0,5.Vp v() = Vp . sen 180o = 0 v() = Vp . sen 210o = -0,5.Vp v() = Vp . sen 240o = -0,866.Vp v() = Vp . sen 270o = -1.Vp v() = Vp . sen 300o = -0,866.Vp v() = Vp . sen 330o = -0,5.Vp v() = Vp . sen 370o = 0 ou y = v() = Vp . s en e os v lores inst ntneos ( mplitudes) podem ser c lcul dos d seguinte form : v(t) Projeo y funo senoid l v(t) Vp C F sor vetor gir nte y 0 x t Figur 5.2.3: Di gr m F sori l e s projees do f sor de um sin l senoid l. Prof. Fern ndo L. R. Mussoi

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SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 59 Os f sores so represent dos gr fic mente tr vs de di gr m s f sori is, como mostr figur 5.2.3. Se o di gr m f sori l represent r pen s posio do f sor no in st nte inici l, o seu mdulo corresponde o segmento OC n figur 5.2.3 e represen t o v lor de pico d senide. O ngulo desse f sor corresponde o ngulo de f se inic i l d senide. A projeo so re o eixo y represent mplitude d senide no inst nte inici l t=0. Port nto, funo ue este f sor represent : v() = Vp . sen ( ) ou em do tempo: v(t) = Vp . sen (.t ) Exemplo 5.2.1: Represent r gr fic mente os sin is senoid is tr vs do di gr m f sori l e de su projeo senoid l: v(t) = 10.sen(100t + 0o) V i(t) = 5.sen(100t + 45o) A Soluo: O f sor V correspondente o sin l senoid l v(t) deve ser posicion do so re o eixo x, pois o seu ngulo de f se inici l =0o, e deve ter mdulo igu l 10 unid de s d esc l dot d , como mostr figur 5.2.4. O f sor I correspondente o sin l senoid l i(t) deve ser posicion do +45o p rtir do eixo x e deve ter mdulo de 5 unid des d esc l dot d , como mostr figur 5.2.4. y eixo im ginrio f sor I 5 45o 0 10 x eixo re l f sor V

Observ o: Um di gr m f sori l pode conter um ou vrios F sores (vrios sin is senoid is) desde que sej m todos de mesm freqnci . Exemplo 5.2.2: Do di gr m f sori l d figur 5.2.4, obter def s gem entre os sin is senoid is correspondentes os f sores V e I: Soluo: o f sor corrente I est di nt do de 45o do f sor tenso, pois =4 5o-0o=45o. Tambm podemos dizer ue a tenso est atrasada de 45o da corrente. Exemplo 5.2.3: Um asor de tenso de mdulo 10 descreve uma rotao completa em 0,02s partindo da posio inicial -30o. Determine:

a) o diagrama asorial para o instante inicial e obtenha o comportamento senoida l desse sinal; b) o ngulo em ue a tenso 10V. c) a re ncia angular e a expresso mat mtica para as variaes instantneas desse sinal; d) o valor da tenso no instante t=0s; Soluo: o asor tem mdulo de 10V e parte de -30o (ou /6 rad). Sua re resentao grfica como a resentada na figura 5.2.5(a). Como a fase inicial de = 30o senide come o seu semiciclo positivo no ngulo =+30o. Prof. Fern ndo L. R. Mussoi CEFET/SC Gernci Educ cion l de Eletrnic

Figur 5.2.4: di gr m f sori l p r

os exemplos 5.2.1 e 5.2.2.

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 60 O v lor de pico positivo (10V) ocorrer em 90o+=120o e ssim por di nte, como mostr o grfico d figur 5.2.5( ). Como rot o complet d ps 0,02s, fre nci ngul ode ser determin d por: = 2f = 2 2 = = 314,16rad / s T 0,02

A funo instantnea ara este sinal dada or: v( t ) = VP sen(t + ) = 10sen(314,16 t ) 6 No inst nte t=0s funo senoid l ssum v lor: v( t ) = 10sen(314,16 t ) = 10sen(314,16 0 ) = 10sen( ) = 10 0,5 = 5 6 6

v(0) = y(0) = 10 cos( 30 o ) = 10 ( 0,5) = 5 y v(t) +10 30o v(0)= 5 10 0 -5 30o t(o) 120o 210o 390o (a) -10 (b) Figura 5.2.5: soluo do exem lo 5.2.3. (a) diagrama fasorial e (b) forma de onda 5.3. REPRESENTAO FASORIAL COM NMEROS COMPLEXOS Como vimos, um mtodo mais rtico e eficiente ara re resentao grfica de sinais senoid ais faz uso de um vetor radial girante denominado Fasor. Para que estes fasores ermitam facilidade nas o eraes algbricas dos sinais que eles re resentam, como na a licao dos mtodos de anlise de circuito eltricos de corrente alternada, necessria ferramenta matemtica ara re resentar tais fasores. Esta ferramenta faz uso dos nmeros com lexos e de sua lgebra. Como estudado no ca tulo 4, um nmero com lexo re r esentado na forma retangular (ou forma cartesiana) um nmero com osto or uma art e real e uma arte imaginria: C = x + jy Um nmero com lexo re resentado na forma dial e um ngulo (ou argumento). C=z olar com osto or um mdulo de um vetor ra

onde: Prof. Fern ndo L. R. Mussoi CEFET/SC


T m m podemos o ter o v lor inici l de v(t) p r t=0 tr vs d o eixo vertic l (y) do di gr m f sori l:

projeo do f sor so re


nmero re l y nmero im ginrio j oper dor im ginrio ( j = z mdulo ngulo o Um f sor um vetor r di l tr do desde origem cujo mdulo (comprimento) const nt e corresponde o v lor de pico do sin l senoid l e cujo ngulo form do com o eix d s sciss s corresponde f se inici l do sin l senoid l no inst nte inici l t = 0. Se este f sor, ue um vetor r di l, for tr do num pl no c rtesi no complex o, como mostr do n figur 5.3.1, podemos perce er ue ele form um tringulo retng ulo com o eixo re l x e podemos represent lo m tem tic mente tr vs de nmeros compl exos, t nto n form pol r como n form ret ngul r. 1) y eixo im ginrio y z 0 x

c teto oposto x eixo re l c teto dj cente Figur 5.3.1 represent o de um f sor no pl no c rtesi no complexo.

& V = Vp ou Vp 2 & V= & V = Vef onde:

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& V f sor represent do por um nmero complexo; Vp v lor de pico ( mplitude) do sin l senoid l de origem; do sin l senoid l de origem. Um f sor um nmero complexo n form pol r.

ngulo de f se inici l

v( t ) = Vp sen( t ) pode, ento ser p ss d p r o ch m do domnio f sori l e tr nsform d num f sor rep resent do tr vs de um nmero complexo n form pol r, t l ue o mdulo corresponde um v lor fixo ue identifi ue senide como o v lor de pico ou o v lor efic z ( ue proporcion l o v lor e pico e const nte) e o rgumento corresponde o ngulo d e f se inici l:

Port nto, um funo senoid l no domnio do tempo d d

por:

hipotenus

x . e o

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 62 Import nte: como o v lor efic z (rms), em vez do v lor de pico, us do m is fre en temente n especific o e nlise de dispositivos e circuitos eltricos de corrente lt ern d e ue, p r sin is senoid is vlid e const nte rel o: Vp = Vef 2 , represent o f sori l de sin is senoid is de tenso e corrente pode us r o v lor efic z como mdulo do f sor, perm necendo o mesmo ngulo de f se p r o rgumento. Assim: F sor Tenso: & V = Vef v onde:

& V f sor tenso (Volts); Vef tenso efic z (Volts); v ngulo de f se inici l do sin l senoid l de tenso (gr us ou r di nos) A plic o desse r ciocnio t mbm vlido p r sin is senoid is de corrente ento: F sor Corrente: & = I I ef i onde:

& f sor corrente (Ampres); I Vef corrente efic z (Ampres); i ngulo de f se inici l do sin l senoid l de corrente (gr us ou r di nos) Como um f sor um nmero complexo, t mbm podemos represent-lo n form ret ngul r, us ndo s projees x e y, como mostr figur 5.3.1. A converso de um f sor n form pol r p r form ret ngul r e vice-vers tr vs dos proced imentos present dos no c ptulo 4. Exemplo 5.3.1: N figur 5.2.4, consider ndo-se o eixo x como eixo re l e o eixo y como eixo im ginrio, represent r os f sores tr vs de nmeros complexos, n form pol r e n form ret ngul r. Soluo: p r o f sor V o seu mdulo 10 e o seu ngulo 0o ento n form pol r:

A p r obtermos form ret ngul r devemos obter s projees dos f sores nos eixos x e y. Assim p r o f sor V: x= 10 2 cos 0 o = 10 2 10 2 = 7,07 y= ento: sen0 o = 0 & V = 7,07 + j0 V e p r o f sor I: Prof. Fern ndo L. R. Mussoi CEFET/SC - Gernci

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& 10 0 o = 7,07 0 o V V= 2 e p r o f sor I o seu mdulo 5 e o seu ngulo +45o, ento n & = 5 + 45 o = 3,54 + 45 o I 2

form

pol r:

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 63 x= y= 5 2 5 2 cos 45 o = 2,5 sen45 o = 2,5 ento

) v( t ) = 311 sen(377 t ) V b) i( t ) = 10 2 sen( s( t 15 o ) mV & V = 220 0 o V & = 10 30 o A I & 50 75 o mV V= 2

t + 30 o ) A c) v( t ) = 50 c

) & = 110 60 o A I

i( t ) = 110 2 sen( & ) V = 20 t + 60 o ) A v( t ) = 20 2 sen( t 45 o ) V

45 o V

Domnio do Tempo Domnio F sori l Domnio F sori l Domnio do Tempo

FASOR

FASOR Oper o Alg ric

Funo Inst ntne

de Nmeros Complexos

5.4. OPERAES MATEMTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS A represent o f sori l import nte n nlise de circuitos eltricos pois permite re li z r f cilmente divers s oper es m temtic s entre tenses, correntes e potnci s, sem us r funo do domnio do tempo (expresses trigonomtric s) ou represent o grfic d A represent o trigonomtric permite lgum s oper es m temtic s us ndo e u es ch m dentid des trigonomtric s, m s dificult m os clculos. Consider ndo ue sin is seno id is de tenso e de corrente podem ser represent dos tr vs de f sores e estes, po r su vez, podem ser represent dos por nmeros complexos, podemos oper los tr vs d lge r plicvel os nmeros complexos. Feito isso podemos converter nov mente o f s or result nte p r o domnio do tempo e encontr rmos nov mente um funo senoid l. A figur 5.4.1 represent esse procedimento. F sores podem ser oper dos tr vs d lge r dos nmeros complexos. Form s de Ond

Exemplo 5.3.3: tr nsforme p r

o domnio do tempo os seguintes f sores:

& = 2,5 + j2,5 A I Exemplo 5.3.2: tr nsforme p r

o domnio f sori l os sin is senoid is:

v(t) = VP.sen(t ) i(t) = IP.sen(t ) & V = Vef ef i & V = Vef ef i v &=I v &=I I I

v(t) = VP.sen(t ) i(t) = IP.sen(t )

Figur 5.4.1 seqnci p r oper es lgbric s de sin is senoid is us ndo f sores. Prof. Fern ndo L. R. Mussoi CEFET/SC - Gernci Educ cion l de Eletrnic

Form s de Ond

Funo Inst ntne


A represent o f sori l tr vs de nmeros complexos n form ret ngul r e n form pol r, permite tod s s oper es m temtic s m is diret e f cilmente e segue s mesm s regr s p r oper es com nmeros complexos estud d s em m temtic . Observ o: possvel tr nsform r nmeros complexos d form de pol r p r form ret ng ul r e vice-vers . Por exemplo, podemos tr nsform r um f sor tenso n form pol r p r form ret ngul r e vice-vers , como demonstr do n figur 5.4.2. x = Vef.cos y = Vef.sen & V = Vef FORMA POLAR & Vef = x 2 + y 2

y x & V = x + jy FORMA RETANGULAR Figur 5.4.2 tr nsform o de pol r em ret ngul r e vice vers .

O di gr m f sori l permite somente oper es grfic s de dio e subtr o. El s podem se e liz d s pelo mesmo processo us do p r som e subtr o de vetores tr vs do Mtodo d o P r lelogr mo. Assim como p r os vetores, podemos efetu r som de dois f so res de form grfic ou n ltic , como mostr figur 5.4.3: V1 V2 Figur 5.4.3 som de f sores pelo mtodo do p r lelogr mo VR

O ngulo do f sor result nte pode ser d do por: V2 sen = t n 1 V + V cos 2 1 Exem lo 5.4.1: some e subtraia os sinais senoidais v 1( t ) = 20 2 sen(377 t + 45 o ) e v 2 ( t ) = 40 2 sen(377 t 30 o ) :

& & Soluo: tr nsform ndo em f sores, temos: V1 = 20 45 o V e V2 = 40 30 o V. Como devemos som r e su tr ir os sin is, devemos oper r estes nmeros complexos n form ret ngul r. Assim, tr nsform ndo p r form ret ngul r: Prof. Fern ndo L. R. Mussoi CEFET/SC Gernci Educ cion l de Eletrnic

An litic mente, efetu mos som tr vs d 2 2 VR = V1 + V2 + 2 V1 V2 cos

plic o d

equ o trigonomtric :

=

rctg

Observ o: N not o f sori l ort nto: A lgebr f sori l p r esm freqnci .

funo seno sempre refernci e freqnci no re sin is senoid is plicvel somente p r sin is de m

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 65 & & V1 = 14,14 + j14,14 V e V2 = 34,64 j20 V. F zendo oper o de som temos: & & V1 + V2 = (14,14 + j14,14 ) + (34,64 j20 ) = (14,14 + 34,64 ) + j(14,14 j20 ) = 48,78 j5,86 V F zendo oper o de su tr o temos: & & V1 V2 = (14,14 + j14,14 ) (34,64 j20 ) = (14,14 34,64 ) + j(14,14 + j20 ) = 2 0,5 + j34,14 V Tr nsform ndo os result dos d s oper es p r form pol r, o temos os f sores: & & V1 + V2 = 49,13 6,85 o V & & V1 V2 = 39,82 120 o V Reescrevendo os sin is senoid is no domnio do tempo, temos: v 1( t ) + v 2 ( t ) = 49,13 2 sen(377 t 6,85 o ) V v 1( t ) v 2 ( t ) = 39,82 sen(377 t + 120 o ) V A p rtir dos sin is senoid is no domnio do tempo, s form s de ond podem ser tr d s, como indic figur 5.4.4. Podemos perce er como lge r f sori l f cilit s oper es com os sin is senoid is ue, n form trigonomtric , present m m ior c omplexid de. 80 60 40 tenso (V)

gr us v1 v2 v1+v2 v1 v2 Figur 5.4.4 grfico p r o exemplo 5.4.1. Exemplo 5.4.2: Some os f sores do exemplo 5.4.1 plic ndo s equ es trigonomtric s. 2 2 VR = V1 + V2 + 2 V1 V2 cos = 20 2 + 40 2 + 2 20 40 cos 75 o = 49,13

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V2 sen

20 sen 75 1 o

= t n 1 V + V cos

= tan 40 + 20 cos 75

20 0 0

20 40

60 80 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 66 este ngulo o ngulo entre a resultante e o vetor V1, ento deve ser corrigido termos o ngulo a artir do eixo x: = 30 o + 23,15 o = 6,85 o ento result nte :

30

o 6,85

o 49,13 40 V1+V2 V2 Figur 5.4.5 Som grfic dos f sores do exemplo 5.4.2.

5.5. TABELA RESUMO De cordo com o que estud mos, podemos concluir que h qu tro m neir s de represen t rmos um sin l senoid l: tr vs do grfico d form de ond , do di gr m f sori l, d expresso m temtic trigonomtric e dos f sores. A form de ond represent o m s visu l, mostr ndo v ri o peridic do sin l tr vs dos grficos em funo do tempo o m funo do ngulo. O osciloscpio o instrumento utiliz do p r visu liz rmos form de ond de um sin l eltrico de tenso. O di gr m f sori l um form grfic simplific d de represent rmos o sin l senoid l, permitindo f zermos oper es grfic s de som e subtr o entre vrios sin is de tenso ou entre sin is de corrente. A expresso m temti n form trigonomtric represent funo de form complet , mostr ndo todos os de t lhes do sin l e permite determin o dos seus v lores inst ntneos. A represent o de sin is senoid is tr vs dos f sores utiliz os nmeros complexos e form m is si mplific d d funo, contendo pen s mplitude e o ngulo de f se inici l do sin l. Ess represent o permite f cilmente oper es de som , subtr o, multiplic o e divis vrios sin is eltricos. A t bel 5.5.1 present um resumo d s represent es m temtic s p r os sin is senoid is de tenso e corrente. Prof. Fern ndo L. R. Mussoi

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& VR = 49,13 6,85 o A figur 5.4.5 mostr som grfic V1 20 +45 o

dos f sores do exemplo 5.4.2.

ara ob

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 67 T bel 5.5.1 Represent es M temtic s de Sin is Senoid is Tenso (V) V lor Inst ntneo Corrente (A) Domnio do Tempo Form Trigonomtric F sor

i( t ) = Ip sen( t i ) Domnio F sori l Form Pol r F sor & V = Vef v & = I I ef i Domnio F sori l Form Ret ngul r (C rtesi n ) V lor Efic z & V = Vef cos v + j Vef sen v & = Ief cos i + j Ief sen i I (Mdio Qu drtico, RMS) Vef = Vp 2 Ief = Ip 2

( )

2 b) v 2 ( t ) = 2 115 sen100 t 3 c) v 1( t ) = 311 sen(377 t ) icos e funes abaixo [1]: a) determine o erodo, freqncia, velocidade angular, fase in icial, valor de ico, ico a ico, valor eficaz e valor mdio; b) tome um sinal co mo referncia e verifique as defasagens em cada gru o de sinais; c) re resente os sinal atravs de fasores (forma olar e retangular) e elabore o diagrama fasorial ara cada conjunto de sinais de tenso e corrente; I) v1(t) = 8,0sen(500t + 25o)V; v2(t) = 4,5sen(500t)V; i1(t) = 1,0sen(500t - 135o)A II) i1(t)=10sen(400t+60o)A; i2(t)=8,0sen(400t-45o)A; v1(t)=12sen(400t-45o)V; i3(t)=7,0sen(400t)A. III) v1(t )=5,0sen(400t)V; v2(t)=2,0sen(400t-90o)V; i1(t)=2,5sen(400t-30o)A; v (t)=3,5sen( 400t+180o) 3 IV)

5.6. EXERCCIOS: 5.6.1. Determine os f sores p r os seguintes sin is senoid is e os represente tr vs do di gr m f sori l: ) v 1( t ) = 15 sen 120 t + 30 o

v( t ) = Vp sen( t

v )

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SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS v ,i ( V ,A ) v 1 ( t) v 2 ( t) 68 6 4 2 t (s) 0 0 -2 -4 i 1 ( t) -6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 V) 15 10 5 0 0 -5 -1 0 -1 5 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 i 2 ( t) t ( s) v ,i ( V ,A ) i 1 ( t) v 2 ( t)

, lge ric me tenses gr fic f sori l

& & 5.6.3. Considere os fasores de mesma freqncia V1 = 100 0 o , V2 = 50 10 45 o . I ) F som e su tr o lg ric d s tenses, n form f sori l; ) F te, o produto de c d tenso pel corrente c) F som e su tr o d s mente, tr vs do di gr m tempor l (form s de ond ) e tr vs do di gr m ; Prof. Fern ndo L. R. Mussoi CEFET/SC Gernci Educ cion l de Eletrnic

VI) 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -1 0 i 1 ( t) /4 /2 3 /4 3 /2 2 A ,V ) v 1 (t) i 2 ( t)

t ( r a d /s ) i,v ( 30 o e &1 =

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 69 5.6.4. Consider ndo o di gr m f sori l ixo: ) Escrev s expresses m temtic s no domnio do tempo (inst ntne s); ) Tr ce s curv s senoid is; c) Determine de f s gem e fre nci dos sin is. =120 10 /4 0 7 -7/12 Figura 5.6.4 diagrama fasorial Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica ara o roblema 5.6.4.

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 70 6. RELAES ENTRE TENSO E CORRENTE ALTERNADAS NOS ELEMENTOS PASSIVOS DE CIRCUITOS Sabemos, do estudo da fsica, que uma relao entre causa e efeito no ocorre sem um o o sio, ou seja, a relao entre causa e efeito uma o osio: O osio = Causa Efeito

Nos circuitos eltricos a causa ode ser entendida como a tenso e o efeito o estabe lecimento de uma corrente eltrica. A resistncia eltrica , ortanto, uma o osio. Neste ca tulo sero estudadas as relaes existentes entre as tenses e as correntes alternadas senoidais nos Resistores, nos Ca acitores e nos Indutores e sua forma de re res entao matemtica, alm de como a freqncia dos sinais senoidais afeta as caractersticas com ortamento desses elementos. Esse com ortamento determinado ela caracterstic a de o osio desses com onentes quando submetidos a sinais de tenso e corrente senoi dais. A forma de onda senoidal tem articular im ortncia ois associa naturalment e fenmenos matemticos e fsicos relacionados aos circuitos eltricos: A forma de onda senoidal a nica forma de onda alternada cuja forma no afetada ela s caractersticas de res ostas dos elementos resistivos, indutivos e ca acitivos. Em outras alavras, se a tenso num resistor, indutor ou ca acitor for senoidal, a corrente resultante em cada um tambm ter caractersticas senoidais (e vice-versa). Se uma outra forma de onda for a licada, a res osta ter forma de onda diferente d aquela a licada. A notao fasorial a resentada, juntamente com as relaes entre tenso e corrente nos elementos assivos, ermitir usar ara circuitos com sinais senoida is de tenso e corrente, os mesmos teoremas e conceitos adotados na anlise de circu itos em corrente contnua. A essa anlise chamamos de Res osta Senoidal dos Elemento s Passivos em regime ermanente. Em regime ermanente ois consideramos assado o efeito transitrio dos circuitos, ou seja, sem alterao de sua condio o eracional.

6.1. RESISTOR EM CORRENTE ALTERNADA J foi estudado que um resistor oferece uma o osio assagem da corrente eltrica em um circuito, devido sua resistncia eltrica. Em um circuito eltrico, como mostra a fig ura 6.1.1, a relao entre causa e efeito a resistncia eltrica e ex ressa ela rela re tenso e corrente num resistor , chamada de Lei de Ohm. V + R I Figura 6.1.1 tenso e corrente em um resistor. Assim: R= V I CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando L. R. Mussoi

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 71 onde: R - resistncia do resistor (); V - tenso nos terminais do resistor (V); I - c orrente que atravessa o resistor (A); Seja o circuito da figura 6.1.2, no qual u ma fonte de tenso alternada senoidal v(t)=V .sen(.t + V) liment um resistor R: i(t) ~ v(t) R Figur 6.1.2 circuito resistivo liment do por um tenso senoid l.

S bemos que resistnci eltric um c r cterstic dos m teri is e pode, p r nosso s estudos, ser consider d const nte. Assim: iR ( t ) = v( t ) Vp sen( t + v ) Vp = = sen( t + v ) R R R

Ip = Ento: Vp R

I = V Assim: iR ( t ) = Ip sen( t + I ) Prof. Fern ndo L. R. Mussoi

CEFET/SC


iR ( t ) = Ip sen( noid is v(t) e i(t) o Isto ocorre por ue num , ou sej : tenso zero, te. Assim:

t + V ) O serv se v lor de pico. No h resistor corrente corrente zero; tenso

Como t m m vlid

rel o:

ue nic diferen existente entre s fun diferen nos ngulos de f ses d s du s fun sempre diret mente proporcion l tenso do r , corrente do r e ssim por di n

Pel Lei de Ohm,

rel o entre c us e efeito d d por: R= v( t ) i( t )

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 72 +VP v(t) i(t) +VP +IP +IP 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o /2 3/4 2 o o o 210 240 270 300 330 360o o o =t ( , r d) o IP IP VP tenso em um circuito resistivo.

Se tr rmos s funes tenso vR(t) e corrente iR(t) no resistor, como mostr o grfico d figur 6.1.3, podemos concluir que um resistor, qu ndo submetido um tenso l tern d , produz um corrente eltric com mesm form de ond , mesm freqnci e me sm f se d tenso, porm, com mplitude que depende dos v lores d tenso plic d e d resistnci , conforme Lei de Ohm. Port nto, em um circuito resistivo puro de corrente ltern d (CA) s v ri es n corrente ocorrem em f se com v ri o d tenso plic d . Nos termin is de um resistor, corrente est sempre em f se com tenso:

& VR & I R & & = VR IR R Como R um nmero re l:

VRe f R

& = VRe f V = VRe f ( 0 o ) IR V R R 0 o S emos ue o v lor efic z de um sin l CA corresponde um tenso contnu v lor so re um resistnci . Ento: IRe f = Assim: Prof. Fern ndo L. R. Mussoi CEFET/SC Gernci Educ cion l de Eletrnic

R= resolvendo p r

corrente:

de mesmo

V = I No domnio f sori l

rel o entre

tenso e

corrente determin d por:

VP Figur 6.1.3 Corrente em f se com


& = I IR Re f I Exemplo 6.1.1: A um resistor de 6 a licada uma tenso de senoidal de 12Vef , 60Hz e ngulo de fase inicial zero. a) b) c) d)

Determine a ex resso trigonomtrica e o fasor ara a tenso; Determine a ex resso trig onomtrica e o fasor ara a corrente; Trace as formas de onda ara v(t) e i(t); Tr ace o diagrama fasorial ara a tenso e corrente. Como a freqncia 60Hz, ento a freqn angular determinada or: = 2 f = 2 60 = 377 rad/s Assim, odemos determinar a ex resso da tenso instantnea: v( t ) = 12 2 sen(377 t + 0) = 16,97 sen(377 t ) E o fasor tenso: & V = 12 0 o V V O fasor corrente determinado ela relao: o & & = V = 12 0 = 2 0 o I R 6 A A corrente instantnea : i( t ) = 2 2 sen(377 t + 0) = 2,83 sen(377 t ) A Com as duas formas trigonomtricas ara a tenso v(t) e corrente i(t), odemos atrib uir valores ara a varivel tem o (t) e traar as formas de onda com auxlio de um sof t are de lanilha eletrnica, como mostra a figura 6.1.4. Podemos erceber que a t enso e a corrente esto em fase, como era es erado. A figura 6.1.5 a resenta o diag rama fasorial ara a tenso e corrente no resistor. Mais uma vez ercebemos que a tenso e a corrente esto em fase num circuito resistivo. Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

& = I IR Re f V Podemos m is um vez, port nto, concluir ue o ngulo d smo d tenso: v = i. Reescrevendo:

corrente no resistor o me

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 74 20 15 tenso (V), corrente (A) 10 5 0 0 -5 -10 -15 -20 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 graus v(t)x1 i(t) Figura 6.1.4 Formas de onda de tenso e corrente em fase & = 2 0 o I & V = 12 0 o Figura 6.1.5 Diagrama fasorial ara o exem lo 6.1.1: tenso e corrente em fase no resistor. Observao: ara o exem lo 6.1.1.

Estamos considerando neste estudo, resistncias hmicas constantes, a esar de saberm os que a resistncia ode variar com a tenso a licada (no hmica) e com a tem eratura. Estamos considerando tambm que a resistncia de um resistor inde endente da freqncia a licada. Na verdade um resistor real a resenta uma certa ca acitncia arasita e indutncia dos condutores que so sensveis freqncia do sinal a ele a licado. Geralmen e os nveis de ca acitncia e indutncia so to equenos que seu efeito real no signifi te at a faixa o eracional de megahertz (MHz). Nesta faixa, a curva de resistncia v ersus freqncia ara alguns resistores de filme de carbono a resentada na figura 6. 1.6. Podemos notar que os valores de resistncia diminuem com o aumento da freqncia e este com ortamento mais sensvel ara resistores de maior valor de resistncia nom inal. Este com ortamento se deve s com onentes de ca acitncia e indutncia intrnsecas ao resistor real e que so sensveis freqncia, como ser estudado nos itens osteriore . Neste trabalho continuaremos considerando a resistncia uma constante e tambm ind e endente da freqncia do sinal a licado ara sim lificao das anlises. Porm, o leitor eve ter em mente que estas consideraes devem ser analisadas em circuitos de alta f reqncia. Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 75 R (% do valor nominal) f (escala logartmica) Figura 6.1.6 Com ortamento da resistncia com a freqncia [fonte: Boylestad]. 6.1.1. Exerccios: Dados os circuitos da figura 6.1.5, determine: a. b. c. d. e. O fasor tenso da fo nte; a corrente fornecida ela fonte na forma trigonomtrica e fasorial; a tenso e a corrente em cada resistor (forma trigonomtrica e fasorial) formas de onda da te nso e corrente da fonte e em cada resistor em funo do tem o num mesmo grfico diagram a fasorial com leto. R1=20 ; R2=30 Dados: v1(t) = 220.sen(377.t+90o) ; v2(t) = 100.sen(1000.t+0o) ; v3(t) = 100.sen (1000.t-60o) I) II) III) Figura 6.1.5 circuitos

ara o exerccio 6.1.1.

6.2. CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADA Nos circuitos eltricos, o ca acitor um elemento ca az de armazenar energia eltrica . Sua constituio fsica com osta or duas lacas condutoras metlicas, se aradas or u m material isolante chamado dieltrico. Seu com ortamento eltrico consiste em uma c orrente eltrica (cargas eltricas) entrando em uma das lacas do ca acitor, obrigan do a sada de igual corrente da outra laca or re ulso eletrosttica. Decorrido algu m tem o tem-se cargas armazenadas em ambas as lacas. Este Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 76 acmulo de cargas corres onde uma energia armazenada na forma de cam o eltrico exis tente entre as lacas do ca acitor. Estas cargas armazenadas roduzem um cam o e ltrico de tal forma que se estabelece uma diferena de otencial dd (tenso) entre a s lacas do ca acitor. Um ca acitor s admite corrente em seus terminais enquanto estiver sendo carregado ou descarregado. Quanto mais carga houver no ca acitor m aior ser o cam o eltrico criado e maior ser a diferena de otencial (tenso) existente entre as lacas. A relao entre a quantidade de carga armazenada e a tenso admitida entre as lacas de um ca acitor uma constante chamada Ca acitncia. Ou seja: C= Q V [Farad] Podemos com rovar matematicamente, do estudo dos ca acitores que a energia armaz enada no ca acitor dada or: En = 1 C V2 2 [Joule]

De acordo com o estudo do carregamento e descarregamento5 do ca acitor, feito an teriormente e observando a figura 6.2.1, conclumos que: Em regime ermanente, um ca acitor carregado com orta-se como um circuito aberto em tenso contnua constante , mas ermite a conduo de corrente no circuito ara tenso varivel; A corrente admiti da diretamente ro orcional variao de tenso no tem o, sendo a ca acitncia C, a cons ante de ro orcionalidade, ois: C= dQ dv fazendo: C= dQ dt dQ dt dt = = i( t ) dv dt dt dv dv isolando i(t), a corrente no ca acitor em funo do tem o dada dt

or: iC (t ) = C dv C

A tenso nos terminais de um ca acitor no ode sofrer variaes instantneas bruscas. Se ocorresse uma variao instantnea (dt0) a corrente tenderia a um valor infinito [iC(t)] o que no ossvel fisicamente. Por esse motivo dizemos que o ca acitor se o e varia de tenso; A tenso acumulada nos terminais do ca acitor dada or: vC = 5 1 iC dt C

A corrente no ca acitor ode variar instantaneamente, como odemos observar na f igura 6.2.1(c); S existe corrente no ramo do ca acitor, enquanto existir variao de tenso sobre ele ( ois se V0, ento ic(t)0). Quando a corrente mxima, a tenso nula do a tenso mxima a corrente nula. Este estudo apresentado na referncia bibliogrfica: MUSSOI, .L.R. Capacitores. lo rianpolis: CE ET/SC, 2003. Disponvel em: .cefetsc.edu.br/mussoi

Prof. ernando L. R. Mussoi

CE ET/SC

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SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 77 IC t=t1 t=t3 + (a) (b) + IC VC(V) Vmx IC(A) +Imx t1 t2 t3 t4 t (s) t1 Imx t2 t3 t4 t (s) (c) igura 6.2.1 Transitrio CC de carga e descarga do capacitor: (a) circuito para anl ise do carregamento; (b) circuito para anlise da descarga; (c) curva da Corrente e da Tenso no capacitor em funo do tempo para carga e descarga. Consideremos o circuito da figura 6.2.2 onde um capacitor est conectado a uma fon te de tenso alternada. i(t) E EITO + v(t) CAUSA

+ Capacitor vC(t) OPOSIO

igura 6.2.2 capacitor alimentado por uma tenso alternada senoidal

Na figura 6.2.3, observando a curva da tenso alternada senoidal aplicada sobre o capacitor vemos que os momentos de maior variao da tenso (Vcmx.) ocorrem quando seu v lor est prximo de zero e, portanto, nestes instantes teremos os maiores valores de corrente no ramo do capacitor. Por outro lado, nos instantes em que a tenso est p rxima de seu valor mximo a sua variao muito pequena (Vc 0) o que implica em valor corrente baixo (IC0).

~

Prof. ernando L. R. Mussoi

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SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 78 +VP +IP iC(t) vC(t) iC(t) +VP = 90o vC(t) 30o 60o 90o 120o 150o 180o /2 3/4 2 o o o 210 240 270 300 330 360o o o -90o -60o-30o 0o -/2o =t (o, r d) =+90o -IP -VP -VP Figura 6.2.3 - Corrente e Tenso Senoidais num Capacitor Ideal: corrente adiantada de 90o da tenso. Com base nesse raciocnio, se aplicarmos uma tenso senoidal a um capacitor, como mo stra a igura 6.2.2, veri icaremos ue uando a tenso or crescente, a corrente a ssume seus valores mximos. Quando a tenso or mxima, a corrente nula. A partir dess as observaes podemos concluir ue a corrente resultante no capacitor tambm senoidal e apresenta uma de asagem de 90o com relao tenso, como indica a igura 6.2.3. Port anto: Nos terminais de um capacitor num circuito CA, a corrente sempre estar adiantada de 90o em relao tenso. Desta orma, a representao matemtica da tenso e da corrente no capacitor, na orma t rigonomtrica e asorial a seguinte: vc(t) = Vp . sen (.t + 0o) ic(t) = Ip . sen (.t + 90o) ou ou

Seja o circuito da igura 6.2.2, vamos determinar a corrente no circuito para um a dada tenso no elemento capacitivo. Para circuitos capacitivos, a tenso nos termi nais do capacitor limitada pela taxa na ual as placas do capacitor podem ser ca rregadas ou descarregadas. Em outras palavras, uma variao instantnea na tenso sobre o capacitor impedida pelo ato ue h um re uisito de tempo para carreg-lo (ou desc arreg-lo). Assim: V= di erenciando: dv =

& Vc = Ve

0 o & = I 90 o Ic e

Q C dQ C Pro . Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica

SINAIS SENOIDAIS: TENSO E CORRENTE ALTERNADAS 79 como i C = dQ , desenvolvendo e substituindo, temos: dt dv = dQ dQ dt dQ dt dt = = = iC C C dt dt C C isolando iC: iC = C dv dt

Como capacitncia uma medida da taxa com ue um capacitor armazena carga nas suas placas, para uma dada variao na tenso sobre o capacitor, uanto maior o valor da ca pacitncia, maior ser a corrente capacitiva resultante. A e uao acima indica ue para uma dada capacitncia, uanto maior a taxa de variao da tenso sobre o capacitor, mai or a corrente capacitiva. Se a tenso no varia, no h corrente em seus terminais. Um a umento na re ncia corresponde a um aumento na taxa de variao da tenso no capacitor e a um aumento na sua corrente. A corrente no capacitor , portanto, diretamente pr oporcional re ncia (mais especi icamente, velocidade angular ) e capacitncia do acitor. Pela igura 6.2.2 podemos veri icar ue um aumento na corrente do circui to (e eito) corresponde a uma diminuio na oposio e iC proporcional re ncia angul capacitncia C, a oposio de um capacitor , portanto, inversamente proporcional re n angular (2f) e ca acitncia C. Como: iC = C dv dt

dv C d( Vp sen t ) = = Vp cos t dt dt port nto: iC = C dv C = C Vp cos t dt iC = C Vp cos t f zendo Ip = C Vp e como cos(t ) = sen( t + 90 o ) , temos:

v C ( t ) = Vp se

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36135435 Sinais Senoidais Tensao e Corrente Alternadas CEFET SC