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8/9/2019 326al Sem Integ

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SOLUCIONARIO DE PROBLEMAS DOMICILIARIOS

SEMESTRAL INTEGRAL

PLANA DE LGEBRA MAYO 2010

ECUACIONES CUADRTICAS

Resuelva la siguiente ecuacin de incgnita x.

4 + 4 3 = 0 ; 0 ; > 0RESOLUCIN:

Completando cuadrado en la ecuacin:

( 2 ) = 3 2 = 3 = 2 3

= 2 + 3 = 2 3 . . = { 2 + 3;2 3}RESPUESTA (D)

La ecuacin cuadrtica:3 (2 3) + 3 = 0Tiene: C.S.={}Calcule la suma y producto de valores que puede

tomar k.

RESOLUCIN:

De la ecuacin dada:

3 + (3 2 ) + 3 = 0

Como tiene solucin nica se tiene:

(3 2) 4(3)(3) = 0Operando:4 4 8 + 9 = 0

Entonces:

= 484

= 94RESPUESTA (B)

Si: ( + 1) + ( + 1) + 1 = 0 0Presenta como conjunto solucin a , con

. Halle los valores de

.

RESOLUCIN:

. Si = 1, la ecuacin seria:0 = 1 = ( )

. Si: 1 ( + 1) + ( + 1) + 1 = 0Sera una ecuacin cuadrtica de races: , .Pero por condicin = {, , y como .Entonces las races

, Serian complejas

imaginarias.

< 0 ( + 1 ) 4( + 1)( 1 ) < 0 ( + 1). (-3)< 0Resolviendo por los puntos crticos:

PROBLEMA 1

PROBLEMA 2

NOTA:

Si la ecuacin cuadrtica

+ + = Presenta solucin nica, entonces:

= =

PROBLEMA 3


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SEMESTRAL INTEGRAL


1,3 0 1,3 {0RESPUESTA (NO HAY CLAVE)

Si las races de la ecuacin:

+ + = 0

Son ; entonces Cul es la ecuacin cuyasraces son ( + ) y (. )?RESOLUCIN:

Como son races de la ecuacin cuadrtica + + = 0Aplicado el Teorema de Cardano tenemos:

+ = . = Se desea generar un nueva ecuacin donde

(

+ ), (

. ) sean las races

Entonces:

+ + = 0 + = 0 + ( ) = 0RESPUESTA (A)

Si las ecuaciones cuadrticas en x

( + 3 ) + (3 + 1) = 0(2 3 ) + 3 2 = 0 Tienen el mismo conjunto solucin, indique el

valor de verdad de las proposiciones.

I. + =2/15II. 3=-2 ; 5=4III. 2 8 = 0 es la ecuacin de

C.S.={3 ; 5 }RESOLUCIN

Del problema se tiene:

+ 3

2 3 = 3 + 1

3=

2

= 23 = 45Entonces

I. + =2/15(V)II. 3=-2 ; 5=4(V)III. 2 8 = 0 . . = {3; 5.. (V)

RESPUESTA (C)

PROBLEMA 4

+

= Nota:

Toda ecuacin cuadrtica se genera:

PROBLEMA 5

NOTA:

Si las ecuaciones cuadrticas

+ + = + + = Presentan el mismo conjunto solucin

Entonces: = =

3-1

+


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SEMESTRAL INTEGRAL


Si la ecuacin cuadrtica

1024 ( 8) + = 0

Tiene races simtricas y reciprocas, indique la

relacin correcta

RESOLUCIN

Como la ecuacin presenta races simtrica eso

indica que la suma de races es igual a cero,

entonces:

=0 = 2

Adems nos indican que las races son reciprocas

eso quiere decir que el producto de races es

igual a 1, entonces:1024 = 1Pero como = 2 21024 = 1 = 1 0 : = 5

RESPUESTA (C)

Las ecuaciones cuadrticas

2 + 2 = 0 ( ) 2 + ( 2) 1 = 0 . . ( )

Tienen una raz comn Si: + + = 0Es la ecuacin de C.S.={ , }, indique laalternativa correcta

RESOLUCIN

Como es solucin comn de ( )() entoncesreemplazamos = en las ecuaciones.

2 + 2 = 0 2 + ( 2) 1 = 0

2 1 = 0 = 12

Como ya tenemos = 1 / 2 que es solucincomn de ( )() podemos reemplazarla enambas ecuaciones:

En ()2(12) + 12 2 = 0

= 3

Luego la ecuacin:

+ + = 0Presenta: C.S.= { ;={ ; 3Quiere decir que : ; 3 son sus races:Entonces por Cardano:

PROBLEMA 6

NOTA:

+ =0 =1

PROBLEMA 7

Restamos


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SEMESTRAL INTEGRAL


(

):12 + 3 =

=

72

( ): 12 (3)= = 32RESPUESTA (D)

SISTEMAS DE ECUACIONES

Dado el sistema en variables 2 2 = 4 . . 5 3 = 6 .

Si CS = {( ; ) es su conjunto solucin, halle.RESOLUCIN:

Como el valor pedido corresponde a la segunda

componente de la solucin (el valor de la variable)procedemos a la eliminacin de :Formamos (10) y (. ) 3 2 0 = 4 0 6 = 4 0 6 1 6 03 = 181206 0 RESPUESTA (A)

Indique para qu valor de el sistema: + 2 = 6 ()( 1) + ( + 2) = 2 . . ( )Tiene conjunto solucin CS = {(, )}.RESOLUCIN:

Como CS = {(, ) entonces procedemos areemplazarla en () () = , =

+ 2 = 6( 1) + ( + 2) = 2

Operando tenemos:

( + 2) = 6 ()(2 + 1) = 2 ( )Ahora para encontrar el valor de

Dividimos (*) y (**) en forma vertical:

( )

( )=

( )( ) = 3 = Reemplazando en () tenemos:( +2) = 6 = 10

3

CS = {( ; )}RESPUESTA (D)

Sea:

M = {a / el sistema S tiene infinitas soluciones}PROBLEMA 17

PROBLEMA 15

Restamos

PROBLEMA 16


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SEMESTRAL INTEGRAL


4 + = 4

3() + 9 = 4

RESOLUCIN:

Hallemos el conjunto M que por condicin indica

que el sistema presenta infinitas soluciones,

entonces tenemos que:

4 + = 43() + 9 = 4

Es un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO:

4 = 9 =43 4 ( )

De donde tenemos:

4 =

9

= 36

= 6 = 6Ahora analicemos cada uno de los dos valores de ():.Si: = 6 tenemos:46 = 69 =

436 4

23 = 23 .

.Si: = 6 tenemos:46 = 69 =

436 4

23 430

Como el nico valor de a que hace que el sistema

posea infinitas soluciones es

= 6, tenemos:

= {6RESPUESTA (NO HAY CLAVE)

Se tiene el sistema compatible determinado.

( + 4) + (3 ) = 0 . ( )(3 + ) + ( 4) = 0 . ( )RESOLUCIN:

Procedemos a resolver el sistema en variables

Conozcamos el valor de , eliminando .Formemos: ( 4)() , (3)()( 4)( + 4) + ( 4)(3 ) = 0(3 )(3 + ) + ( 3 )( 4) = 0( 16)x (9 )x = 0( + 25) x = 0 . . ( )Si realizamos un proceso similar para conocer :Formemos: ( + 3)() , (+4)()( + 3)( + 4) + ( + 3)(3 ) = 0( + 4)(3 + ) + ( + 4 )( 4) = 0(9 ) y ( 16) y = 0

PROBLEMA 18

-


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SEMESTRAL INTEGRAL


(2 5 ) y = 0()De () y (), como el sistema es compatibledeterminado, no puede poseer la forma:0x = 0, 0y = 0

+ 25 0 + 25

RESPUESTA (D)

Luego de resolver el sistema

5 + 1 + 32 + 2 = 22 + 1

+ 12 + 2

= 3Sele la alternativa incorrecta.

RESOLUCIN:

Es notable reconocer que hay expresiones en los

denominadores que se repiten por tanto

realicemos el siguiente cambio de variable:

1 + 1 = . . ( )

12 + 2 = . . ( )Ahora tenemos el sistema:

5 + 3 = 2 = 3 Que es mas sencillo de resolver

Multiplicamos por 3 a la segunda ecuacion para

eliminar la variable b:

5 + 3 = 23 3 = 68 = 8 = 1 = 1

ahora al reemplazar en () () tenemos:1 + 1 = 12 + 2 =

+ = 22 = 3Al sumar las ecuaciones tenemos :

3 = 1 = 13 = 73RESPUESTA (E)

La terna ordenada (; ; ) es solucin del

sistema

7 3 + 4 = 1 0 2 + 4 3 = 4 2 = 7 Halle el valor numrico de 4+3+2.

RESOLUCIN:

Para resolver este sistema de 3 variables

busquemos el proceso ms sencillo notemos

que dadas las ecuaciones:

7 3+ 4= 10 ( ) 2 + 4 3 = 4 ( ) 2 = 7 ( ) Formamos: 2()

PROBLEMA 19

PROBLEMA 20

Sumamos

Sumamos


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SEMESTRAL INTEGRAL


2 + 4 3 = 4 z =

5 = 1 8 = Ahora al reemplazar en () () :x 2y =

. . ( )7x 3y =

()Formemos: 7()7x 14y =

7x 3y =

11y = y =

Reemplazando en () tenemos: x = Por lo tanto la solucin del sistema vendra a ser:

( ; ;) = (

;

;

)

4+3+2 = 4()+3( ) +2( )4+3+2 = -13RESPUESTA (D)

Al resolver el sistema

2 = 3 = 4 ( )2x+3y-z=27 . . ( )El valor de

esRESOLUCIN:

Para iniciar la resolucin podemos asignar unvalor a la razn en la proporcin:

= = = kAhora tenemos:

= = 2 = = 3 = = 4 Reemplazamos en () tenemos:2(2k) + 3(3k) (4k) = 27

9k = 27 = 3En consecuencia:

x = 2(3) = 6

y = 3(3) = 9

z = 4(3) = 12

+ = 2RESPUESTA (E)

DESIGUALDADES E INTERVALOS

Sea

= {1;2;3;4;5

Determine el valor de verdad de las siguientesproposiciones.: 1 = 0 : + 1 0: + 1 0 1 0: 1 0

RESOLUCIN:

: Existe = 1 que cumple la condicinque

1 = 0 (V)

PROBLEMA 21

Restamos

PROBLEMA 22


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SEMESTRAL INTEGRAL


q: Si

= { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 entonces

+ 1 {2,5,10,17,26 (V)r: Si + 1 0 1 0 1 1 (F)S: Si = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 entonces 1 {0,3,8,15,24 (V)

RESPUESTA (D)

Dados los conjuntos

= { / 7 < 3 = { / 3 < 7 Calcule el valor de + si se sabe que = < ; >

RESOLUCIN:

Reduciendo = < 0 ; 3 > y = < 3;7

= < 0 ; 3 > De donde = 0 = 3 + = 3RESPUESTA (C)

Dada la coleccin de intervalos.

Determine el equivalente de ,donde

=< ; + 1

RESOLUCIN:

Entonces =q: = 1 ; 5 >r: = 3 ; 1 >

RESOLUCIN:

: = 5; 8 8; 3 > (F)q: = < 3 ; 1 > 1 ; 5 > (F)r: = 1; 5 > 3; 1 > (F)RESPUESTA (E)

Dados los conjuntos = { / > 2 = { / 1 < < 1 0 Halle el mayor valor de

si se sabe que< ; > ( ) = < 2 ; + >

y

= < 1 ; 1 0 >

Entonces = < 2 ; 1 0 >como < ; > ( )

RESOLUCIN:

Tenemos que 2 < 1 02 < 1 < y2 y 1 0

3

7

0

3

M

PROBLEMA 23

PROBLEMA 24

PROBLEMA 25

PROBLEMA 26


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SEMESTRAL INTEGRAL


De donde 1 < 5RESPUESTA (A)

Dados los intervalos no vacos y distintos = < 1 ; + 1 > y = < 2 1 ; 7 .Calcule la suma de los valores enteros de .RESOLUCIN:

+ 1 > 1 2 1 < 7

> 2 < 4 {1,0,1,2,3La suma de valores de n es 5

RESPUESTA (B)

Calcule la longitud del intervalo A. = { / ( 2 1 ) 5 ; 2 7 > RESOLUCIN:

5 2 1 < 27 6 2 < 28 3 < 14

De donde la longitud(A) es: 1 4 3 = 1 1RESPUESTA (B)

DESIGUALDADES E INECUACIONES

Hale el intervalo de variacin de la expresin() = 6 + 1 0 si se sabe que 2, 0.RESOLUCIN:

Primero completamos cuadrados en.

: () = 6 + 1 0 () = 2()(3) + 3 + 1 () = ( 3) + 1 . . ( )Del dato: 2, 0 2 < 0 5 < 3 3 9 ( 3) < 25

1 0 ( 3) + 1 () < 26

1 0 () < 26RESPUESTA (C)

Encuentre la variacin de la expresin

= ( + 5) si se sabe que:. 2 0 < < 8 . . ( ). 2 < < 1 ( ). 5 < < 8 . ( )RESOLUCIN:

Note: =()

En () () por -1. 8 < < 2 0 1 < < 2 8 < < 4 0 . ( )

3 14

Resto 3

Elevo ala 2

Adicionamos 1

Multiplicamos

PROBLEMA 29

PROBLEMA 30

PROBLEMA 27

PROBLEMA 28


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SEMESTRAL INTEGRAL


= +

= + = = 112 + 123 + 134 = 11 12 + 12 13 + 13 14= 11 14Asumamos que hay sumandos: = 112 + 123 + + 1 . ( + 1 )

= 11 12 + 12 13 + + 1 1 + 1 = 11 1 + 1 = Cuando hay Pero por condicin del problema:

11

1 + 1

2125

11 2125 1 + 1 425 1 + 1 4 + 4 2 5 214 Pero como

representa cantidad de sumandos

debe ser entero positivo = 6RESPUESTA (D)

Halle el complemento del conjunto solucin de la

siguiente inecuacin.

5 + 3(1 2 ) 5(4 3 )

RESOLUCIN:

De la inecuacin5 + 3(1 2 ) 5(4 3 )Efectuando

5 + 3 6 2 0 1 5 1 4 1 7 1714Graficando:

,+(C.S) (. ) = , 1714RESPUESTA (C)

Calcule la mxima solucin entera de la

inecuacin:

> Considere < 0 < = .RESOLUCIN:

De la inecuacin despejemos

.

+ > 5 + 5

+ ()(,

> 5 + ()

1714 +-

PROBLEMA 34

PROBLEMA 35


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SEMESTRAL INTEGRAL


< 5 ()

< 5 1. ()Pero por dato: = = 1Reemplazando en () < 5Luego graficando:

: 6RESPUESTA (D)

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SEMESTRAL INTEGRAL


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