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Calcul des int´ egrales multiples Abdesselam BOUARICH Universit´ e Sultan Moulay Slimane Facult´ e des sciences de Beni Mellal 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

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  • 1. Calcul des intgrales multiples e Abdesselam BOUARICH Universit Sultan Moulay Slimane e Facult des sciences de Beni Mellal e10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 60 50604050 3040 3020201010 00

2. 2 3. Table des mati`res e 1 Intgrales doubles e 1.1 Dnitions et proprits . . . . . . . . . . . . . . . e ee 1.1.1 Construction de lintgrale double . . . . . e 1.1.2 Proprits algbriques de lintgrale double ee e e 1.2 Mthodes de calcul dune intgrale double . . . . . e e 1.2.1 Thor`me de Fibini . . . . . . . . . . . . . e e 1.2.2 Changement de variables . . . . . . . . . . 1.2.3 Formule de Green-Riemann . . . . . . . . . 1.3 Intgrales doubles gnralises . . . . . . . . . . . . e e e e 1.3.1 Cas dune fonction positive . . . . . . . . . 1.3.2 Cas dune fonction de signe quelconque . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .5 6 6 8 9 9 12 14 17 17 202 Intgrales de surfaces e 2.1 Gomtrie ane des surfaces classiques de R3 . . . . . . . . . . . e e 2.1.1 Surfaces dnies par une quation implicite F(x, y, z) = 0 e e 2.1.2 Surfaces paramtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.3 Surfaces de rvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2 Dnition et proprits des intgrales de surfaces . . . . . . . . . e ee e 2.3 Flux dun champ de vecteurs ` travers une surface orientable . . a 2.3.1 Surfaces orientables dans lespace R3 . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Flux dun champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .21 22 22 23 24 28 32 32 33 35. . . . . .39 40 41 41 43 45 473 Intgrales triples e 3.1 Dnition et proprits . . . . . . . . . . e ee 3.2 Mthodes de calcul dune intgrale triple e e 3.2.1 Formule de Fubini . . . . . . . . 3.2.2 Changement de variables . . . . 3.2.3 Thor`me dOstrigradski-Gauss . e e 3.3 Intgrales triples gnralises . . . . . . e e e e. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . 4. 4` TABLE DES MATIERES 5. Chapitre 1Intgrales doubles e Objectifs : Ltude de ce chapitre doit vous permettre de : e 1. savoir calculer une intgrale double en utilisant la formule e de Fubini ; 2. savoir eectuer un changement de variables au sein dune intgrale double ; e 3. savoir appliquer la formule de Green-Riemann ; 4. comprendre que les intgrales doubles gnralises e e e e convergent si elles sont absolument convergente. 6. CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES6Dans ce chapitre, on se propose dtablir des formules avec lesquelles on sera en mesure de e calculer laire dun domaine plan ou le volume dun domaine de lespace R3 qui est limit par le e graphe dune fonction borne f (x, y). Les formules quon va tablir seront appeles intgrales e e e e doubles car, comme on va le voir ; elles seront exprim par deux intgrales simples itres qui e e ee portent la fonction f (x, y) et sur son domaine de dnition. e1.1Dnitions et proprits e e e1.1.1Construction de lintgrale double eDnition 1. On appelle domaine lmentaire du plan R2 toute partie D R2 dnie par e ee e comme suit, D = {(x, y) R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)} o` f1 , f2 : [a, b] R sont deux fonctions continues. u Quand, une partie borne ferme D R2 est runion nie de domaines lmentaires on e e e ee lappellera compacte lmentaire. eeabFigure 1.1 Compacts lmentaires du plan R2 eeConsidrons un domaine lmentaire D = {(x, y) R2 /a x b et f1 (x) y f2 (x)} e ee et f : D R une fonction borne. On dsigne par [c, d] le segment obtenu en projetant le e e domaine D sur laxe Oy. Ensuite, partageons les deux segments [a, b] et [c, d] respectivement en m et n portions, a = x1 < x2 < < xm = betc = y0 < y1 < < yn = d.Il est clair que si pour tout couple dindices 0 i m et 0 j n on pose Ri,j = [xi , xi+1 ][yj , yj+1 ] on dnit ainsi une subdivision du domaine lmentaire D qui sera dsigne e ee e e par, (D) = {(xi , yj ) R2 /0 i m, 0 j n}. Enn, notons que puisque la fonction f : D R est borne les deux nombres rels suivants e e sont donc nis, mi,j = inf{f (x, y)/(x, y) Ri,j }etMi,j = sup{f (x, y)/(x, y) Ri,j }.Dnition 2. Les deux nombres rels suivants sappellent respectivement : somme de Darboux e e infrieure et somme de Darboux suprieure. e e 7. 1.1. DEFINITIONS ET PROPRIETES7et S(f, (D)) = Ri,j D(xi+1 xi )(yj+1 yj )Mi,j(1.2)Figure 1.2 Volume limit par D et le graphe de f (x, y) e Maintenant, puisquon sait que le nombre rel (xi+1 xi )(yj+1 yj )Mi,j (resp. (xi+1 e xi )(yj+1 yj )Mi,j ) mesure le volume du parall`lpipde de base Ri,j et de hauteur Mi,j (resp. ee mi,j ) ; ceci nous permet dinterprter la somme de Darboux suprieure S(f, (D)) comme une e e 3 qui est limite par le domaine lmentaire mesure par exc`s du volume de la domine V R e e ee D et le graphe de la fonction borne f . De mme, on peut interprter la somme de Darboux e e e infrieure (f, (D)) peut tre interprter comme une mesure par dfaut du domaine V. e e e e Dnition 3. On garde les notations introduites ci-dessus. Dans chaque rectangle Ri,j de la e e subdivision (D) on xe un point i,j Ri,j D. Le nombre rel, i=m1 j=n1R(f, (D), i,j ) =i=0j=0f (i,j )(xi+1 xi )(yj+1 yj )(1.3)sappelle somme de Riemann associe ` la fonction borne f et ` la subdivision (D) munie e a e a des points i,j Ri,j D. On vrie facilement que les trois sommes dnies ci-dessus satisfont aux proprits suie e ee vantes : 1. Pour toute subdivision (D) dun domaine lmentaire D [a, b] [c, d] et pour tout ee choix de points i,j Ri,j D on a la double ingalit, e e (f, (D))R(f, (D), i,j )S(f, (D)).(1.4)2. La somme infrieure de Darboux (f, (D)) augmente au fur et ` mesure que la subdie a vision (D) devient ne. 3. Tandis que la somme suprieure de Darboux S(f, (D)) dmunie au fur et ` mesure que e e a la subdivision (D) devient ne. ee e Dnition 4. Soit D R3 un domaine lmentaire et f : D R une fonction borne. e1. On dira que la fonction f est intgrable au sens de Darboux sur le domaine D si ses e sommes de Darboux infrieure et suprieure sont gales, e e e sup{(f, (D))/(D)} = inf{S(f, (D))/(D)}. 2. On dira que la fonction f est intgrable au sens de Riemann sur le domaine D si la e somme de Riemann R(f, (D), i,j ) admet une limite nie quand xi+1 xi et yj+1 yj tendent vers zro. e 3. Si f : D R est intgralble au sens de Riemann ou au sens de Darboux on notera les e trois limits gales, e limxi+1 xi 0 yj+1 yj 0par le symboleR(f, (D), zi,j ) = sup{(f, (D))/(D)} = inf{S(f, (D))/(D)} f (x, y)dxdy qui se lit intgrale double de la fonction f sur le doe 8. CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES8ee Thor`me 1. Soit D R2 un compact lmentaire. Alors toute fonction continue f : D R e e est intgrable au sens de Riemann. e Dmonstration. Admise. e Pour achever ce paragraphe consacr ` la construction de lintgrale double dune fonction ea e borne f : D R, notons quon a les faits suivants : e 1. Si on prend f (x, y) = 1 alors par construction de lintgrale double on dduit que laire e e du domaine D est donne par, e Aire(D) = 2. Lintgrale double e Ddxdy(1.5)Df (x, y)dxdy mesure le volume algbrique du domaine V R3 elimit par le domaine lmentaire D et par le graphe de la fonction borne f . e ee e3. Si par exemple le domaine lmentaire D R2 dsigne une plaque mtallique dont la ee e e densit de masse (resp. temperature) est donne en chaque point (x, y) D par une e e fonction borne f (x, y), alors ; interprter lintgrale double e e ef (x, y)dxdy mesure laDmasse totale (resp. temperature moyenne) de la plaque mtallique D. e1.1.2Proprits algbriques de lintgrale double e e e eDans ce paragraphe, nous donnerons quelques proprits de nature algbrique de lintgrale ee e e double. Ces proprits se dmontrent facilement ` partir des sommes de Darboux et de Rieee e a mann. Proposition 1. Lintgrale double au sens de Riemann dune fonction borne sur un compact e e lmentaire vrie les proprits suivantes : ee e ee 1. Lintgrale double est linaire : e e 2 un domaine lmentaire et f, g : D R deux fonctions intgrales. Alors Soient D R ee e pour tous rels et on a, e (f (x, y) + g(x, y))dxdy = f (x, y)dxdy + DDg(x, y)dxdy D2. Lintgrale double est additif : e Soient D1 et D2 sont deux domaines lmentaires de R2 dont lintersection D1 D2 est ee vide ou gale ` une courbe plane. Alors pour toute fonction intgrable f : D1 D2 R e a e on a, f (x, y)dxdy = D1 D2f (x, y)dxdy + D1f (x, y)dxdy D23. Lintgrale double est croissante : e Si pour tout (x, y) mathcalD on a f (x, y)0 alors,f (x, y)dxdy0;D Si la fonction f (x, y) est positive sur le domaine D alors pour tout sous domaine lmentaire D D on a, eef (x, y)dxdyDf (x, y)dxdy.D Si f, g : D R sont deux fonctions intgrables telles que f (x, y) eg(x, y) sur le 9. 1.2. METHODES DE CALCUL DUNE INTEGRALE DOUBLE9Proposition 2. Soit D un domaine lmentaire et f : D R une fonction borne intgrable. ee e e Alors on a lingalit : e e |Df (x, y)dxdy || f (x, y) | dxdyDEn particulier, si Aire(D) = 0 alors on a1.2sup{| f (x, y) | /(x, y) D}Aire(D) f (x, y)dxdy = 0.DMthodes de calcul dune intgrale double e eCette section sera enti`rement consacre aux mthodes de calcul des intgrales doubles. Pour e e e e assurer une bien assimilation des mthodes que nous avons tudier ci-dessous, nous les avons e e suivi par des exemples de calcul dillustration.1.2.1Thor`me de Fibini e eThor`me 2. Soit D R2 un domaine lmentaire et f : D R une fonction continue. Si e e ee le domaine D est dni par, e {(x, y) R2 /axb, f1 (x)yf2 (x)} = {(x, y) R2 /cyd, g1 (y)xg2 (y)}alors lintgrable double de la fonction f (x, y) est gale `, e e a bf (x, y)dxdy =f2 (x)( aDdf (x, y)dy)dx = f1 (x)g2 (y)( cf (x, y)dx)dy g1 (y)Dmonstration. Ide de la dmonstration : e e e Puisque la fonction f (x, y) est continue son intgrale double ef (x, y)dxdy peut tre donc e Dapproche par la somme de Riemann associe ` une subdivision (D) et un choix de points e e a i,j Ri,j D : i=m1 j=n1R(f, (D), zi,j ) =i=0f (i,j )(xi+1 xi )(yj+1 yj )j=0i=m1 j=n1=[ i=0f (i,j )(yj+1 yj )](xi+1 xi )j=0e e Intuitivement, si dans un premier temps on fait tendre yj+1 yj vers zro dans la quantit mise entre crochet tout en laissant xi+1 xi xe on obtient une intgrale simple de type e f (x, y)dy dont les bornes dpendent naturellement de la variable x. Ainsi, si par suite on efait tendre xi+1 xi vers zro on obtient une intgrale double gale ` litration de deux e e e a e intgrales simples de la forme, e[f (x, y)dy]dx.Corollaire 1. Sur un rectangle D = [a, b] [c, d] lintgrale double dune fonction continue e bf (x, y) est donne par, ef (x, y)dxdy = Dd( adf (x, y)dy)dx = cf (x, y)dx)dy.cEn particulier, si f (x, y) = F(x)G(y) alors on aa bf (x, y)dxdy = ( DExemple 1. 1) Calculons lintgrale double eb(dF(x)dx)( aG(y)dy). c(x2 + y 2 )dxdy o` D dsigne le triangle limit u e e 10. CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES101x x x1 Figure 1.3 TrianglePour calculer lintgrale double donne nous allons appliquer la formule de Fubini. Pour cela e e nous allons dnir le triangle D analytiquement par les ingalits (voir gure) : e e e D = {(x, y) R2 /0 1(x2 + y 2 )dxdy = Dx1x( 01, x 1y1 x}(x2 + y 2 )dy)dxx1 1y 3 1x ] dx 3 x1 0 1 1 1 = (2x2 2x3 + (1 x)3 (1 x)3 )dx 3 3 0 2 3 1 4 1 1 1 = [ x x (1 x)4 + (1 x)4 ]1 = 0 3 2 12 12 3 =[x2 y +2) Calculons laire du domaine circulaire D limit par les deux cercles dquations analytiques e e (voir gure) : x2 + y 2 = R2 et (x R)2 + y 2 = R2 .Figure 1.4 Intersection de deux disquesPour calculer laire du domaine D nous allons appliquer la formule de Fubini ` lintgrale a e double, 11. 1.2. METHODES DE CALCUL DUNE INTEGRALE DOUBLE11Observons que si on dnit le domaine dintgration D en fonction des coordonnes carte e e e siennes x et y par les ingalits, e e 3R 3R 2 D = {(x, y) R / y et R R2 y 2 x R2 y 2 } 2 2 alors grce ` la formule de Fubini on peut crire, a a e R2 y 23R/2Aire(D) = =dxdy = D 3R/2(2 3R/2dy 3R/2RdxR2 y 2R2 y 2 R)dy.Pour calculer lintgrale simple prcdente nous allons eectuer le changement de variable e e e y = R sin(t) avec t [/3, /3] : /3Aire(D) =/3= R2(2R cos(t) R)R cos(t)dt/3/3(1 + cos(2t) cos(t))dt = R2 [t + 3 = R [2 ]. 3 21 /3 sin(2t) sin(t)]/3 22Exercice 1. Soit D R2 une partie borne ferme non vide et f : D R une fonction e ef (x, y)dxdy, dans lesintgrable. Indiquer les bornes dintgration de lintgrale double, e e eDcas suivants : ) D1 = {(x, y) R2 /x a, y b, x + y 1 + a + b} ; ) D2 = {(x, y) R2 /x2 + y 2 ax, x2 + y 2 ay} ; ) D3 = {(x, y) R2 /y x2 , 1 x2 y}.Exercice 2. Dcrire gomtriquement le domaine dintgration D des intgrales doubles done e e e e nes ci-dessous, ensuite, changer lordre de leurs bornes dintgration. e e 3dx 025x2af (x, y)dy, 0dx ax+a1f (x, y)dy,x+adyy2f (x, y)dx, y20y+2dyf (x, y)dx y21Exercice 3. Calculer laire du domaine plan limit par les courbes donnes : e e a) y = 4x x2 , y = x. b) y 2 = 2x, x2 = 6y. c) y = x3 2x, y6x x3 . Exercice 4. Calculer les intgrales doubles suivantes : e a) Db) Dc) Ddxdy o` D = {(x, y) R2 /ax2 uydxdy o` D = {(x, y) R2 /x2 + y 2 ubx2 ,c xyd } avec 0 < a < b et 0 < c < d. x1, x2 + y 2 2y0, x0, y0}.x2 y 2 dxdy o` D est le tringle de sommets O = (0, 0), A = (1, 1) et B = (1, 1). u 12. CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES121.2.2Changement de variablesDans ce paragraphe, tant donn un compact lmentaire D et une fonction continue f : e e ee D R ; on se propose dtudier linuence du changement de variables dans la dnition e egomtrique du domaine D sur lexpression de lintgrale double e e ef (x, y)dxdy.DThor`me 3 (Formule du changement de variables). Soient D et D deux domaines lmene e ee taires du plan R2 . Soit T : D D une application bijective de classe C 1 dont les composantes sont dsignes par (x(u, v), y(u, v)) = T(u, v). e e Si le dterminant de la matrice jacobienne de lapplication T(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) est non e nul sur le domaine D alors pour toute fonction continue, f : D R, on a la formule suivante dite de changement de variables : f (x, y)dxdy = DDf (x(u, v), y(u, v)) |D(x, y) | dudv D(u, v)(1.6)x y x y D(x, y) = dsigne le dterminant de la matrice jacobienne de lapplication e e D(u, v) u v v u direntiable T(u, v) = (x, y). e o` uDmonstration. Dans cette dmonstration, pour guider notre imagination nous travaillerons e e avec la gure suivante : Figure 1.5 Changement de variablesPour calculer lintgrale double e Df (x, y)dxdy nous allons subdiviser le domaine D enutilisant la famille des courbes Ci = T(ui , v) et C = T(u, vj ) (Voir la gure), et puis ; nous j allons considrer la somme de Riemann associe ` la fonction f et aux donnes ci-dessus : e e a e i=m1 j=n1f (i,j )Aire(T(Ri,j )) i=0j=0e o` Ri,j = [ui , ui+1 ] [vj , vj+1 ] D . Rappelons que la somme de Riemann tend vers lintgrale u double de la fonction f (x, y) sur D. Notons que puisque lapplication T : D D est bijective donc on peut trouver des points i,j D tels que T(i,j ) = i,j . Dautre part, observons que si on approche laire du domaine T T T(Ri,j ) par la norme du produit vectoriel (ui , vj ) (ui , vj ), u v x (ui , vj ) u x (ui , vj ) v on peut alors suivante, y (ui , vj ) u y (ui , vj ) v approcherk 0=|x y x y D(x, y) (ui , vj ) (ui , vj ) (ui , vj ) (ui , vj ) |=| (ui , vj ) | u v v u D(u, v)0 la somme de Riemann prcdente de la fonction f par lexpression e ei=m1 j=n1 i=0j=0f T(i,j ) |D(x, y) (ui , vj ) | (ui+1 ui )(vj+1 vj ). D(u, v)Ainsi, si on fait tendre les ui+1 ui et vj+1 vj vers zro on la formule du changement de e 13. 1.2. METHODES DE CALCUL DUNE INTEGRALE DOUBLE13Corollaire 2. Si T(r, ) = (r cos(), r sin()) ralise un changement de variables de D sur D, e alors, pour toute fonction continue f : D D on a la formule de changement de variables en coordonnes polaires : e f (x, y)dxdy =f (r cos(), r sin())rdrd(1.7)DDExemple 2. 1) Calculons lintgrale double e D(1 x2 y 2 )dxdy o` D dsigne le domaine u elimit par le quart du cercle de ration r = 1 centr en (0, 0) et les demies droites x e e en passant en coordonnes polaires : x = r cos() et y = r sin(). e0 et y0Notons quen coordonnes polaires la fonction f (x, y) prend la forme 1 r 2 tandis que le e domaine dintgration D devient D = {(r, )/0 r 1, 0 e 2 . Ainsi, avec ces notations on applique la formule du changement de variables ` lintgrale double donne on obtient : a e e D(1 x2 y 2 )dxdy =D(1 r 2 )rdrd/2=1( 0=0 /2 2 r[0= 2) Calculons lintgrale double e D2 . 8(1 r 2 )rdr)dr4 1 ] d 4 0x2 + y 2 dxdy o` D = {(x, y) R2 /r 2 ux2 + y 2R2 }.En passant en coordonnes polaires x = cos() et y = sin() on obtient : e 2RR3 r 3 ) 3 D 0 r Exercice 5. Calculer les intgrales doubles suivantes en utilisant un changement de variables. e x2 + y 2 dxdy =a) Db)(2 dr)d = 2((x2 + y 2 )dxdy o` D = {(x, y) R2 /x2 + y 2 ux}.dxdy o` D est le domaine limit par la lemniscate de Bernoulli : ( u e D 90x2 y 2 2 x2 y2 + 2) = 2 2. a2 b k h2 60120 1.51503010.51800210330240300 270Figure 1.6 Lemniscate de Bernoulli : (x2 + y 2 )2 = x2 y 2 c) Dd)y dxdy o` D = {(x, y) R2 /x2 + y 2 a2 , x 0, y 0}. u + x2 xy cos( )dxdy o` D = {(x, y) R2 /x + y u 1, x 0, y 1} (Indication : posera2 14. CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES141.2.3Formule de Green-RiemannDans ce paragraphe, nous allons dmontrer la formule de Green-Riemann qui relie les inte e grales double sur un domaine D ` une intgrales curviligne dune forme direntielle de degr un a e e e le long du bord orient du domaine D. Avant quon dmontre la formule de Green-Riemann e e nous allons dabord prciser le sens gomtrique de ladjectif : orient. e e e e Dnition 5. Un domaine plan ( ou surface plane) D R2 est dit orient positivement e e sil reste du ct gauche dun promeneur P qui se dplace dans le sens trigonomtrique le long oe e e du bord D (fronti`re) du domaine D (Voir gure). exy ? y-D1 ?-6D2?6x -y6x ?6 -Figure 1.7 Domaines de R2 orients positivement eNotons que si en particulier la fronti`re dun domaine D est constitue que par une seule e e composante alors pour orienter D positivement il sut quon parcourt sa fronti`re D dans le e sens trigonomtrique. e Thor`me 4. Soit D R2 un domaine lmentaire dont le bord D est orient positivement. e e ee e Si = P(x, y)dx + Q(x, y)dy est une forme direntielle dnie sur le domaine D et de classe e e C 1 alors on a la formule de Green-Riemann : (P(x, y)dx + Q(x, y)dy) = D( DQ P (x, y) (x, y))dxdy x y(1.8)Dmonstration. Supposons que le domaine lmentaire D est dni par les ingalits suivantes, e ee e e e D = {(x, y) R2 /axb, f1 (x)f2 (x)} = {(x, y) R2 /cyyd, g1 (y)xg2 (y)}et parcourant sa fronti`re D dans le sens trigonomtrique pour lorienter positivement (Voir e e la gure).Sous les hypoth`ses prcdentes calculons lintgrale double e e e e DEn eet, si on applique la formule de Fubini on peut crire : eDQ (x, y)dxdy = xdg2 (y)( cg1 (y)Q (x, y))dx)dy xQ (x, y)dxdy. x 15. 1.2. METHODES DE CALCUL DUNE INTEGRALE DOUBLE15B xyy?6 x -AFigure 1.8 Orientation positive du domaine lmentaire D ee d= cdQ(g2 (y), y)dy Q(x, y)dy += C2(Q(g1 (y), y)dy cQ(x, y)dy =Q(x, y).dy DC1De mme la mme faon, si on applique la formule de Fubini a lintgrale double e e c ` e on vrie aisment quon a, e e DP (x, y)dxdy = yDP (x, y)dxdy yP(x, y)dx. DLa formule de Green-Riemann sobtient nalement par soustraction des deux intgrales e Q P doubles prcdentes, e e (P(x, y)dx + Q(x, y)dy) = ( (x, y) (x, y))dxdy. y D D x Corollaire 3. Si = P(x, y)dx + Q(x, y)dy dsigne une forme direntielle de classe C 1 et e e ferme sur le domaine lmentaire D alors son intgrale curviligne e ee e = 0.DCorollaire 4. Laire dun compact lmentaire D R2 est donne par la formule, ee e Aire(D) =1 2D(xdy ydx).(1.9)Dmonstration. Il sut quon applique la formule de Green-Riemann ` la forme direntielle e a e 1 = (xdy ydx) sur le domaine D orient positivement. e 2 Exemple 3. 1) Appliquons la formule de Green-Riemann pour calculer lintgrale curviligne e de la forme direntielle suivante, e = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = Log(2+y x(3y + 7) )dx + dy 2 1+x 2+yle long du cercle de rayon R = 1 centr au point (0, 0) orient positivement. e e 16. CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES16 nous permet dcrire, eQ P )dxdy y D x 3y + 7 1 ( )dxdy y+2 D y+2 =(D= =3dxdy = 3Aire(D) = 3 D2) Calculons laire du domaine D limit par le folium C de Descate qui est dni par le syst`me e e e paramtrique, e 1 t2 1 t2 ,t ) o` u |t| 1 (x(t), y(t)) = ( 1 + t2 1 + t2Observons que les quations paramtriques de la courbe C impliquent quon a e e 1 1 1 y = tx = = (xdy ydx) = (x(tdx + xdt) txdx) = x2 dt 2 2 2Aire(D) = =1 2 1 2C(xdy ydx) 1(x(t))2 dt =11 21( 11 t2 2 ) dt. 1 + t2Maintenant, si dans lintgrale simple prcdente on eectue le changement de variable, e e e tg() = t, on obtient : Aire(D) =1 2/4 (1 tg()2 )2 d = 2 . 1 + tg()2 2Exercice 6. Calculer les intgrales suivantes en utilisant la formule de Green-Riemann. e a) Cb)(2x3 y 3 )dx + (x3 + y 3 )dy o` C dsigne le cercle dquation, x2 + y 2 = 2x. u e e x2 + y 2 dx + y(x + log(x +Cx2 + y 2 ))dy o` C dsigne lellipse dquation, u e ex2 a2+y2 b2= 1.Exercice 7. Calculer laire du domaine D limit par la courbe C dnie ci-dessus. e e x2 y 2 + 2 = 1. a2 b b) C est lhypocyclode dquation x2/3 + y 2/3 = a2/3 (Voir la gure). e a) C est lellipse :Figure 1.9 Lhypocyclo : x = 2 cos(t) + cos(2t), y = 2 sin(t) sin(2t), t [0, 2]. dec) C est la lemniscate de Bernoulli dquation : ( ex2+y2)2 =x2y2. 17. 1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES 90172 60120 1.51503010.51800210330240300 270Figure 1.10 Lemniscate de Bernoulli : r 2 = a2 cos(2), [0, 2]1.3Intgrales doubles gnralises e e e eDans cette section, nous allons tendre la dnition de lintgrale double aux deux cas suie e e vants : 1) D R2 est un domaine born et f : D R est continue mais non borne. e e 2) D R2 est un domaine non born et f : D R est continue et borne. e e1.3.1Cas dune fonction positiveDnition 6. Soit D R2 un ouvert non vide et f : D R+ une fonction positive. On dira e que f est localement intgrable si pour tout compact lmentaire K D lintgrale double e ee e f (x, y)dxdy est un nombre rel ni. eKPuisque on sait que les fonctions continues sont intgrables au sens de Riemann sur les e compacts lmentaires du plan R2 elles sont donc localement intgrables au-dessus de tous les ee e ouvert de R2 . Dnition 7. Soit D R2 un ouvert non vide et f : D R+ une fonction positive localee ment intgrable. Sil existe une famille croissante de compacts lmentaires Kn Kn+1 D e ee telle que, 1. D = 2.Kn , n 0limn+f (x, y)dxdy existe dans R, Knon dira que lintgrale double gnralise e e e ef (x, y)dxdy := limn+DUne intgrale double gnralise non convergente est dite divergente. e e e ef (x, y)dxdy converge. KnThor`me 5. Soit D R2 un ouvert vide et f : D R+ une fonction positive localement e e intgrable. La nature de lintgrale gnralise e e e e ef (x, y)dxdy ne dpend pas du choix de la eDfamille croissante de compacts lmentaires Kn Kn+1 telle que D = ee Dmonstration. Admise. eKn . n 0 18. CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES18 1. Lintgrale double gnralise e e e ef (x, y)dxdy converge. De 2. Il existe une suite croissante de compactes lmentaires Kn Kn+1 dont la runion ee Kn = D telle que la suite numrique en 0f (x, y)dxdy soit majore. eKnDmonstration. 1) implique 2) Est vraie parce que toute suite numrique convergente est e e borne. e 2) implique 1) En eet, puisque la fonction est positive f (x, y) 0 donc si on lint`gre sur les e compacts lmentaires Kn+1 = Kn (Kn+1 Kn ) on obtient les ingalits : ee e e un+1 =f (x, y)dxdy =f (x, y)dxdy +Kn+1f (x, y)dxdyKnun + 0Kn+1 Knqui montrent que la suite numrique un = ef (x, y)dxdy est croissante. Ainsi, comme on Knsait que la suite un est majore dans R elle est donc convergete. e Thor`me 6 (Crit`re de comparaison). Soit D R2 un ouvert non vide ; et soient f, g : D e e e R+ deux fonctions positives et localement intgrables telles que 0 f (x, y) g(x, y), (x, y) e D. Alors on a les propositions : 1. Si lintgrale gnralise e e e e converge.g(x, y)dxdy converge alors lintgrale gnralise e e e e D2. Si lintgrale gnralise e e e ef (x, y)dxdy diverge alors lintgrale gnralise e e e e Ddiverge.xf (x, y)dxdy DExemple 4. 1) Montrons que lintgrale double gnralise, e e e e maine D = {(x, y)/0f (x, y)dxdy D1, y 2Dx}.dxdy , converge sur le dox + y2Kn 1 n1Figure 1.11 Suite croissante de compacts lmentaires de D ee 1 Considrons la suite de compacts Kn = {(x, y)/0 e y 1, y2 x} et intgrons la e n 1 fonction f (x, y) = sur les Kn en appliquant la formule de Fubini : x + y2 1 x1 19. 1.3. INTEGRALES DOUBLES GENERALISEES19e Ainsi, si maintenant on fait tendre lentier n vers + dans la suite numrique un on dduit e dxdy que lintgrale double gnralise e e e e converge vers . 2 2 D x+y 2) Etudions la nature de convergence de lintgrale double gnralise e e e e R2dxdy selon (1 + x2 + y 2 )les valeurs du nombre rel . e Notons que si on consid`re la suite des disques Dn = {(x, y)/x2 + y 2 e passage en coordonnes polaires que : e un = Dn2dxdy (1 + x2 + y 2 )n2 } on obtient apr`s enrdr )d 2 0 0 (1 + r ) 1 n2 dt ( 1), si = 1 = = + 1 (1 + n2 )1 (1 + t) 0 Log(n2 + 1), si = 1 =(Ainsi, si on passe ` la limite sur lentier n dans la suite numrique un on dduit alors que a e e dxdy lintgrale double gnralise e e e e converge si et seulement si le rel 1. e 2 2 R2 (1 + x + y ) +3) Dmontrons que lintgrale simple gnralise I = e e e e e2et dt est convergente. Ensuite,0calculons sa valeur exacte. +a) Lintgrale gnralise simple I = e e e e2et dt converge parce que pour tout rel t1 nous e0avons les ingalits : e e 21tt2 = etet +=+2et dt1net = limn+ 11et dt = lim (en + e1 ) = e1 n++b) Pour calculer la valeur exacte de lintgrale double gnralise I = e e e e2et dt nous allons0 x2 y 2tudier lintgrale double gnralise K = e e e e eedxdy.R+ R+En eet, si on consid`re la suite de compacts Kn = {( x, y)/x e obtient ` passage en coordonnes polaires, a e ex2 y 2/2dxdy =Knn( 02rer dr)d =0 2 (1 en ) = 40, x2 + y 20, yex2 y 2n2 } ondxdy =R+ R+ 4Dautre part, si on consid`re le suite des compacts Ln = [0, n] [0, n] on obtient la suite e numrique : e exun =2 y 2ndxdy =Knn( 02n2ex ey dx)dy = (02ex dx)20dont la limite est gale `, e a 22+2+2 20. CHAPITRE 1. INTEGRALES DOUBLES201.3.2Cas dune fonction de signe quelconqueDnition 8. Soit D R2 un ouvert non vide et f : D R une fonction dont la valeur absolue e | f (x, y) | est localement intgrable. Si lintgrale gnralise e e e e e dira que lintgrale double gnralise e e e eD| f (x, y) | dxdy converge onf (x, y)dxdy convergente absolument. DProposition 4. Soit D R2 un ouvert non vide et f : D R une fonction localement intgrable. Alors les propositions suivantes sont quivalentes : e e 1. Lintgrale double gnralise e e e ef (x, y)dxdy converge. D2. Il existe une suite croissante de compactes lmentaires Kn Kn+1 dont la runion ee e Kn = D telle que la suite numrique eKnn 0| f (x, y) | dxdy soit borne (majore). e eAutrement dit, lintgrale double gnralise dune fonction fonction localement intgrable de e e e e e signe quelconque converge si et seulement si elle converge absolument. Exemple 5. 1) Montrons que lintgrale double gnralise e e e e R2ment convergente.sin(x + y)dxdy est absolu(1 + x2 + y 2 )2| sin(x + y) | 1 , et puisquon sait que linte 2 + y 2 )2 2 + y 2 )2 (1 + x (1 + x dxdy est convergente (voir lexemple prcdent) on en e e grale double gnralise e e e 2 2 2 R2 (1 + x + y ) sin(x + y)dxdy dduit donc que lintgrale gnralise e e e e e converge absolument. 2 2 2 2 (1 + x + y ) R En eet, puisque nous avonssin(x2 + y 2 )dxdy est divergente.2) Montrons que lintgrale gnralise e e e e R2En eet, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de compacts Rn = [n, n] [n, n] e on obtient la suite numrique, e 2un =2nsin(x +y )dxdy = 2( Rnn2sin(x )dx)( nn22cos(y )dy) = 2 0nsin(t) dt) tn2 0cos(t) dt), tqui, dapr`s le thor`me dAbel (voir Cours M122), converge vers un rel ni. e e e e Par contre, si on int`gre la fonction sin(x2 + y 2 ) sur la suite de disques Dn de centre (0, 0) e et de rayon r = n on obtient ainsi une suite de nombres qui diverge : 2sin(x2 + y 2 )dxdy =vn = Dnn( 00sin(r 2 )rdr)d = (1 cos(n2 ))Exercice 8. Trouver la nature des intgrales doubles gnralises suivantes : e e e e a)Log( Db) Dc) Dx2 + y 2 )dxdy avec D = {(x, y) R2 /x2 + y 21}.1 dxdy avec D = {(x, y) R2 /x2 + y 2 1} et a0. + y 2 )a 1 dxdy avec D = {(x, y) R2 /0 x 1, 0 y 2 x}. x + y 2 (x2sin(x2 + y 2 )exExercice 9. Montrer que lintgrale double gnralise e e e e R+ R+2 y 2dxdy est 21. Chapitre 2Intgrales de surfaces e Objectifs : Ltude de ce chapitre doit vous permettre de : e 1. vous familiariser avec la gomtrie ane des surfaces e e 3; classiques de lespace R 2. savoir calculer le plan tangent et dterminer la droite e normale dune surface ; 3. savoir calculer llment daire dune surface donne soit ee e par equation implicite ou paramtrique ; e 4. savoir calculer lintgrale de surface et le ux dchamp de e vecteurs ` travers une surface oriente ; a e 5. savoir appliquer la formule de Stokes. 22. CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES22Gomtrie ane des surfaces classiques de R3 e e2.1 2.1.1Surfaces dnies par une quation implicite F(x, y, z) = 0 e eDnition 9. Soit F : R3 R une fonction de classe C k , k e1.1. Le sous-ensemble (F) = {(x, y, z) R3 /F(x, y, z) = 0} sappelle surface de classe C k dnie par lquation implicite F(x, y, z) = 0. e e 2. On dira que le point (a, b, c) (F) est rgulier si le vecteur gradient gradF(a, b, c) = 0. e Un point (a, b, c) (F) non rgulier (i.e. gradF(a, b, c) = 0) est dit singulier. Quand e la surface (F) ne poss`de aucun point singulier on dira quelle est rguli`re. e e e 3. En un point rgulier M = (a, b, c) (F) on dnit le plan tangent ` (F) par lquae e a e tion ane, (x a)F F F (a, b, c) + (y b) (a, b, c) + (z c) (a, b, c) = 0. x y z(2.1)Lensemble des solutions de cette quation forme un sous-espace vectoriel de dimension e deux ; il se note par TM (F). 4. En un point rgulier M = (a, b, c) (F) on dnit le vecteur normal unitaire au plan e e tangent TM (F) par lexpression, nM =gradF(a, b, c) . // gradF(a, b, c) //(2.2)Exemple 6. Montrons que le sous-ensemble = {(x, y, z) R3 /z(x2 + y 2 + xy + 1) = x + y} est une surface de classe C rguli`re et calculons son plans tangent au point O = (0, 0, 0). e e 1) Suppose quau point M = (x, y, z) on un vecteur gradient gradF(x, y, z) = 0. Avec F = x2 + y 2 + xy + 1 = 0, poss`de au-moins une e cette hypoth`se on dduit que lquation, e e e z 2 + y 2 + xy + 1 dindtermin x gal ` solution rel malgr que le discriminant du trinme x e e o e e e a 3 40. Donc la surface na pas de points singuliers. x = 3y 2) Le plan tangent ane ` au point O = (0, 0, 0) a pour quation, a e xF F F (0, 0, 0) + y (0, 0, 0) + z (0, 0, 0) = 0 = x y + z = 0. x y z1 1 1 Notons que le vecteur unitaire normal au plan tangent TO est gal `, nO = ( , , ). e a 3 3 3 2) Dans cet exemple, on se propose de chercher tous les points singuliers de la surface de classe C dnie par, e = {(x, y, z) R3 /(x2 + y 2 )z = z 2 2x 2y 3}. a) Supposons que le point (x, y, z) est singulier. Donc, (x, y, z) par dnition solution du e syst`me dquations : e e 2xz + 2 = 0 1 z3 = 0 2yz + 2 = 0 = yz + 1 = 0 = (x, y, z) = (1, 1, 1) 2 2 2z = 0 x +y xz + 1 = 0 23. 2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R323b) Au point A = (1, 1, 1) donnons lexpression du plan tangent et dterminons les e coordonnes du vecteur unitairte normal ` . e a Puisque le point A = (1, 1, 1) il est donc rgulier. Le plan ane tangent de la surface e au point A = (1, 1, 1) a pour expression : F F F (1, 1, 1) + (y + 1) (1, 1, 1) + (z + 1) (1, 1, 1) = 0 = y + z + 2 = 0 x y z 2 2 Le vecteur unitaire normal ` au point A = (1, 1, 1) est gal `, nA = (0, a e a , ). 8 8(x 1)2.1.2Surfaces paramtriques eDnition 10. Soit U R2 un ouvert non vide et F : U R3 une application de classe e C k , k 1.1. Le sous-ensemble () = {(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) R3 /(u, v) U} sappelle surface paramtrique de classe C k . e 2. Si au point M = (u0 , v0 ) = (a, b, c) () la famille des vecteurs { (u0 , v0 ), (u0 , v0 )} u v est libre on dira que M = (a, b, c) est un point rgulier sur . Un point (u0 , v0 ) = e (a, b, c) () non rgulier (i.e. e (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) = 0) sera dit singulier. u v 3. On dnit le plan tangent ane de la surface paramtrique () en un point rgulier e e e e M = (u0 , v0 ) = (a, b, c) () par lquation analytique : xa x(u0 , v0 ) u x(u0 , v0 ) vyb y(u0 , v0 ) u y(u0 , v0 ) vzc z(u0 , v0 ) u z(u0 , v0 ) v=0(2.3)et on le note par TM (). 4. Un vecteur normal ` () au point rgulier M = (u0 , v0 ) est donn par le produit a e e (u0 , v0 ) (u0 , v0 ) vectoriel NM = = 0. u v Exemple 7. 1) Montrons que la surface dnie par la paramtrisation, e e (u, v) = ((7 + 5 cos(u)) cos(v), (7 + 5 cos(u)) sin(v), 5 sin(u))pour0u, vest rguli`re. e e En eet, pour tout couple (u, v) [0, 2] [0, 2] le produit vectoriel, (u, v) (u, v) u v= k 5 sin(u) cos(v) 5 sin(u) sin(v) 5 cos(u) (7 + 5 cos(u)) sin(v) (7 + 5 cos(u)) cos(v) 0= 5(7 + 5 cos(u))[cos(u) cos(v) + cos(u) sin(v) sin(u)k] est non nul car sa norme est gale ` 5(7 + 5 cos(u)) e a100.2) a) Cherchons les points singuliers de la surface dnie par la paramtrisation, e e2 24. CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES24Notons que si le point (u, v) singulier on obtient un produit vectoriel nul, (u, v) (u, v) = u v k 3u2 3u2 2v 3v 2 3v 2 2u= 6(u3 + v 3 ) 6(u3 v 3 ) 18u2 v 2 k = 0.Ainsi, puisque les quations u3 +v 3 = 0 et u3 v 3 = 0 ont une seule solution (0, 0) on conclut e donc que le point (0, 0) = (0, 0, 0) est lunique point singulier de la surface . e b) Le plan tangent de la surface au point M = (1, 0) = (1, 1, 0) a pour quation, x1 y1 z 3 3 0 0 0 2= 0 = x y = 0, 2 2 dont le vecteur unitaire normal au point M = (1, 1, 0) est gal ` n = ( e a , , 0). 2 22.1.3Surfaces de rvolution eDnition 11. Soit R3 une surface de classe C k dnit par une quation implicite ou e e e par un syst`me dquations paramtriques ; et soit R3 une droite. On dira que est une e e e surface de rvolution daxe si elle est stable par toutes les rotations R : R3 R3 daxe . e Cest-`-dire, si M alors le cercle (M) qui passe par le point M daxe est enti`rement a e contenu dans (Voir gure). (M)R(0, y, f (y)) = MRFigure 2.1 Surface de rvolution daxe e1. Le cercle (M) sappelle parall`le de la surface de rvolution . e e 2. Le plan qui passe par laxe de rotation sappelle plan mridien. e 3. Lintersection du plan mridien avec la surface sappellent courbes mridiennes : e e C = . Ci-dessous, nous allons exploiter la stabilit dune surface de rvolution par rotation pour e e la paramtrer ou la dnir par une quation implicite cartsienne. Pour simplier nous allons e e e e supposer que laxe de rvolution de la surface donne est gal ` = Oz. Cette hypoth`se est e e e a e 25. 2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R325La courbe mridienne C est dnie par lquation cartsienne, f (x) = z e e e e Observons que si on xe un point M = (x, 0, f (x)) C alors en lui appliquant la rotation dangle [0, 2] daxe Oz on obtient un nouveau point M qui appartient ` la surface de a rvolution (C, Oz) dont les coordonnes paramtriques sont gales ` : e e e e a X = x cos() Y = x sin() Z = f (x) avec x Dom(f ) et [0, 2].En eet, le syst`me des quations paramtriques prcdent dnit compl`tement la surface e e e e e e e de rvolution (C, Oz) engendre par rotation du graphe de la fonction f (x) = z autour de e e laxe = Oz. Notons que les quations paramtriques de la surface de rvolution (C, Oz) nous permet de e e e voir que lquation implicite cartsienne de (C, Oz) est donne par : e e e X2 + Y2 = x2etf (x) = z = f ( X2 + Y2 ) = Z.Figure 2.2 Surface de rvolution daxe Oz eLa courbe mridienne C est dnie par une quation implicite, g(x, z) = 0 e e e Soit C une courbe contenue dans le plan Oxz dnie par par lquation implicite, g(x, z) = 0, e e k avec k o` g est une fonction de classe C u 1. Fixons un point M = (x, 0, z) C et appliquons sur lui une rotation daxe Oz et dangle . Ceci produit donc un point M = (X, Y, Z) qui appartient ` la surface de rvolution (C, Oz) dont la projection sur le plan Oxy dnit un a e e point (X, Y, 0) = (x cos(), x sin(), 0) (Voir la gure). Ainsi, si on remarque que Z = z car la rotation est daxe Oz et que x2 = X2 + Y2 ; lquation implicite g(x, z) = 0 implique que les e point M = (X, Y, Z) est solution lquation, g( X2 + Y2 , Z) = 0. e(x, 0, z) = M M = (X, Y, Z)RFigure 2.3 Surface de rvolution daxe e 26. 26 CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACESConclusion : La surface de rvolution daxe = Oz engendre par rotation de la courbe C e e a ` pour quation implicite cartsienne, g( x2 + y 2 , z) = 0. e e Exemple 8. Soient a0, c0 et r0 des nombres rels xs tels que rmin(a, c). La e e surface de rvolution daxe Oz engendre par le cercle C centr au point (a, 0, c) de rayon r e e e sappelle tore. Son quation implicite est donc donne en fonction des coordonnes cartsi`nne e e e e e 2 + y 2 a)2 + (z c)2 = r 2 . par, ( x La courbe mridienne C est dnie par une quation paramtrique, (t) = (x(t), 0, z(t)) e e e e Avec les mmes ides que ci-dessus, on vrie facilement que la surface de rvolution daxe Oz e e e e engendre par la courbe parmtre C, (C, Oz), peut tre dnie par le syst`me des quations e e e e e e e paramtriques : e X = x(t) cos() Y = x(t) sin() Z = z(t) avec t Dom() et [0, 2].Exemple 9. Soient a0, c0 et r0 des nombres rels xs tels que rmin(a, c). e e Si on paramtrise le cercle C dquation (x a)2 + (z c)2 = r 2 par x = r cos(t) + a et e e z = r sin(t) + c on en dduit que le tore rgulier engendr par C peut tre paramtrer par le e e e e e syst`me des quations suivantes : e e x(t, s) = (r cos(t) + a) cos(s) y(t, s) = (r cos(t) + a) sin(s) z(t, s) = r sin(t) + c Exercice 10. Trouver les quations paramtriques (resp. cartsiennes) dune surface de rvoe e e e lution autour de laxe Oy et Ox. Pour nir ce paragraphe consacre aux surfaces nous donnerons les quations implicites e e cartsi`nnes et implicites de certaines surfaces classique de lespace R3 . e e Exemple 10. A) Sph`re : (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R2 e Puisque la sph`re centre en (a, b, c) et de rayon R peut tre obtenue ` partir de la rvolution e e e a e du cercle (x a)2 + (z c)2 = R2 autour de laxe Oz on dduit donc, de ce qui prc`de, que e e e lquation cartsienne de la sph`re est donne par, (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R2 . e e e e Notons que si on dnit le cercle mridien dquation (xa)2 +(zc)2 = R2 par les quations e e e e paramtriques, e x(t) = R cos(t) + a y(t) = b z(t) = R sin(t) + c on en dduit que la sph`re centre en (a, b, c) et de rayon est paramtre par le syst`me dequae e e e e e tions : x(t, s) = R cos(t) cos(s) + a y(t, s) = R cos(t) sin(s) + b z(t, s) = R sin(t) + c 27. 2.1. GEOMETRIE AFFINE DES SURFACES CLASSIQUES DE R327Figure 2.4 La sph`re S2 de lespace R3 e B) Ellipso de rvolution : de ex2 + y 2 z 2 + 2 =1 a2 bLellipsode de rvolution daxe Oz est une surface de lespace R3 qui sobtient par rotation e dune ellipse contenue dans le plan Oxz par rotation autour de laxe Oz. x2 z 2 Ainsi, si par exemple ; si on fait tourner lellipse dquation cartsi`nne 2 + 2 = 1 autour e e e a b de laxe Oz on obtient une ellipsode de rvolution dont lquation cartsienne est donne par : e e e e x2 + y 2 z 2 + 2 = 1. a2 b C) Hyperbolo de rvolution : de ex2 + y 2 z 2 2 =1 a2 bLhyperbolode de rvolution est une surface de lespace R3 qui sobtient par rotation dune e hyperbole contenue dans le plan Oxz autour de laxe Oz. Par consquent, si on fait tourner lhyperbole dquation cartsi`nne e e e e donc une hyperbolode dquation cartsienne : e ex2 + y 2 z 2 2 = 1. a2 bx2 z 2 2 = 1 elle gn`re e e a2 bFigure 2.5 Hyperbol : x2 + y 2 = z 2 + 1 dePour trouver les quations paramtriques de lhyperbolode de rvolution il sut quon pae e e 2 z 2 = 1, par les quations x(t) = ach(t), y(t) = 0 et ramtrise lhyperbole du plan Oxz, x e e z(t) = b sh(t) : x(t, s) = ach(t) cos(s) y(t, s) = ach(t) sin(s) z(t, s) = bsh(t) D) Parabolo de rvolution ` une seule nappe : z = a(x2 + y 2 ) de e a 28. CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES28Par exemple, si on consid`re la parabole z = ax2 alors par rotation autour de laxe Oz on e obtient une parabolode de rvolution dont lquation cartsi`nne est donne par, z = a(x2 +y 2 ). e e e e eFigure 2.6 Parabolo : x2 + y 2 = z deNotons que si on paramtrise la parabole z = ax2 par les quations x(t) = t, y(t) = 0 et e e z(t) = at2 on dduit alors que la parabolode de rvolution peut tre paramtre par le syst`me e e e e e e dquations : e x(t, s) = t cos(s) y(t, s) = t sin(s) z(t, s) = at2 E) Prabolo de rvolution ` deux nappes : de e ax2 + y 2 z 2 2 = 1 a2 bLa parabolode de rvolution ` deux nappes sobtient par rotation de lhyperbole ` deux e a a z 2 x2 branches 2 2 = 1 autour de laxe Oz. b a F) Cne de rvolution : z = a o ex2 + y 2 + bLa rotation dune droite z = ax + b autour de laxe Oz dnit une surface appele cne de e e o 2 + y 2 + b. rvolution. Son quation cartsienne est donne par, z = a x e e e eFigure 2.7 Cone de rvolution : a(x2 + y 2 ) = z 2 e2.2Dnition et proprits des intgrales de surfaces e e e eDans cette section, tant donne une surface R3 de classe C 1 ; on se propose de trouver e e une formule qui nous permet de calculer son aire ou sa masse quand la densit de masse est e une fonction (x, y, z) continue sur . 1) Cas du graphe dune fonction Soit R3 une surface de classe C 1 dnit comme le graphe dune fonction f : D R dont e le domaine de dnition est un compact lmentaire dni par, e ee e D = {(x, y) R2 /axb, f1 (x)yf2 (x)}Calculons laire de la surface :Figure 2.8 Subdivison dune surface 29. 2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES29Partageons le domaine lmentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] [vj , vj+1 ] D et ee dsignons par i,j le graphe de la fonction f au-dessus de du rectangle Ri,j . Avec ces notations, e il est clair que le nombre rel positif, e i=m1 j=n1R(, n, m) =i=0j=0Aire(i,j )nous donne une mesure approche de la surface . Donc, pour obtenir la valeur exacte de laire e de la surface il sut qu fait tendre laire des rectangles Ri,j tend vers zro. e Pour donner au suite de nombres rels R(, n, m) une expression explicite, nous allons ape procher laire de la portion de surface i,j par laire du paralllogramme dont les cts sont e oe gales aux vecteurs tangents ` la surface au point (ui , vj , f (ui , vj )) donns par : e a e Ui,j = (ui+1 ui )(1, 0,f (ui , vj )) xetVi,j = (vj+1 vj )(0, 1,f (ui , vj )). yAutrement dit, nous allons poser Aire(i,j ) =// Ui,j Vi,j // pour avoir la nouvelle lexpression, i=m1 j=n1R(, n, m) =i=0j=0// Ui,j Vi,j //i=m1 j=n11+(= i=0j=0f f (ui , vj ))2 + ( (ui , vj ))2 (ui+1 ui )(vj+1 vj ) x yqui donne une mesure approche de laire de la surface . En eet, si on fait tend les quantits e e ui+1 ui et vj+1 vj simultanment vers zro on obtient lintgrale double suivante dont la e e e valeurs est gale ` la mesure exacte de laire de la surface : e a 1+( Df 2 f ) + ( )2 dxdy = Aire() x y(2.4)Dnition 12. Soient D R2 un domaine lmentaire et R3 une surface dnit par le e ee e 1. graphe dune fonction f : D R de classe C 1. On dnit le vecteur innitsimal de la surface autour du point M = (x, y, f (x, y)) par e e lexpression : dS = (f f + + k)dxdyn(x, y, z). x y(2.5)o` n(x, y, z) dsigne le vecteur normal unitaire ` calcul au point (x, y, f (x, y)) . u e a e2. On dnit llment innitsimal de surface autour du point M = (x, y, f (x, y)) par e ee e lexpression : d =1+(f 2 f ) + ( )2 dxdy =// dS // . x y(2.6)3. On dnit lintgrale de surface dune fonction continue : R par la formule, e e ff 30. CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES30 2) Cas dune surface paramtre e eComme au paragraphe prcdent, considrons un domaine lmentaire D R2 et une surface e e e ee R3 de classe C 1 dnit par le syst`me dquations paramtriques : e e e e r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),(u, v) D R2Notons que pour trouver la mesure approche de laire de la surface paramtrique il sut e e quon subdivise le domaine lmentaire D en petits rectangles Ri,j = [ui , ui+1 ] [vj , vj+1 ], ee et puis ; on approche laires des portions de surfaces i,j = r(Ri,j ) par la norme du produit vectoriel suivant : r r (ui , vj ) (vj+1 vj ) (ui , vj ) // u v r r = // (ui , vj ) // // (ui , vj ) // sin(i,j )(ui+1 ui )(vj+1 vj ) u vAire(i,j ) = // (ui+1 ui )o` i,j est la mesure de langle dnit par les deux vecteurs u e a ` la surface au point r(ui , vj ).r r (ui , vj ) et (ui , vj ) tangents u vObservons quavec ces notations se si on pose, E(u, v) =//r (u, v) //2 , uF(u, v) =//r 2 // (u, v), vG(u, v) =r r (u, v), (u, v) , u von pourra alors rcrire laire de la portion de surface i,j sous la forme suivante : e r r (ui , vj ) (ui , vj ) //2 = E(ui , vj )F(ui , vj )(sin(i,j ))2 u v = E(ui , vj )F(ui , vj )(1 (cos(i,j ))2 ) = E(ui , vj )F(ui , vj ) G(ui , vj )2 .Aire(i,j )2 = //Finalement, si on consid`re la suite de nombres rels dnis par lexpression : e e e i=n1 j=m1R(, n, m) =i=0j=0Aire(i,j )i=n1 j=m1= i=0j=0E(ui , vj )F(ui , vj ) G(ui , vj )2en faisant tendre les quantits ui+1 ui et vj+1 vj vers zro ; on obtient la formule e e Aire() =DE(u, v)F(u, v) G(u, v)2 dudv(2.8)qui donne la mesure exacte de laire de la surface paramtrique . e Dnition 13. Soit R3 une surface paramtre par lapplication r : D R3 de classe e e e 1. C 1. On dnit le vecteur innitsimal de surface autour du point M = r(u, v) par lexprese e sion : 31. 2.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES INTEGRALES DE SURFACES312. On dnit llment innitsimal de surface autour du point M = r(u, v) par lexe ee e pression : EF G2 dudv =// dS //d =(2.10)r 2 r r r 2 // , F = // // et G =, . u v u v 3. On dnit lintgrale de surface dune fonction continue : R par la formule, e e o` E = // u(x, y, z)d = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) DEF G2 dudv(2.11)Avant quon dveloppe des exemples de calcul des intgrales de surfaces dnies ci-dessus on e e e donnera dabord par deux remarques : 1) Notons que si dsigne une surface dnie comme le graphe dune fonction de classe C 1 , en e e posant r(x, y) = (x, y, f (x, y)) lorsque (x, y) D ; on dnit ainsi un paramtrage de la surface e e dont llment innitsimal de surface autour du point r(x, y) est donn par, ee e e d =1 0 0 1k f x f ydxdy =// (f f , , 1) // dxdy = x y1+(f 2 f ) + ( )2 dxdy. x yAinsi, en consquence de ce calcul ; on dduit que llment innitsimal de surface d ne e e ee e dpend pas de la reprsentation de la surface comme graphe dune fonction ou par un syst`me e e e dquations paramtriques. e e 2) Du fait que lintgrale de surface se calcule moyennant une intgrale double elle est donc e e linaire et additive : e Linarit : e e (af (x, y, z) + bg(x, y, z))d = a f (x, y, z)d + b g(x, y, z)d. Additivit : ef d =f d +1 212f d si lintersection 1 2 est une courbe.Exemple 11. 1) Calculons laire du parabolode = {(x, y, z)/z = x2 + y 2 , 0 Puisque la surface est gale e du domaine D = {(x, y)/x2 + y 2 par, d = 1 0zh}.au graphe de la fonction f (x, y) = x2 + y 2 dnie au-dessus e h}, son lment innitsimal de surface d est donc donn ee e e k 0 2x 1 2ydxdy =4x2 + 4y 2 + 1dxdy.Laire de la surface est maintenant donne par lintgrale : e e Aire() =4x2 + 4y 2 + 1dxdy = 2d = Dh4r 2 + 1rdr = 02 (4h + 1)3/2 . 32) Calculons laire de la sph`re S(O, R) de rayon R0 centre ` lorigine paramtre par e e a e e lapplication 32. CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES32Avec ces donnes on voit que llment innitsimal de surface de la sph`re est gale ` : e ee e e e a d = k R sin() cos() R cos() cos() 0 R cos() sin() R sin() sin() R cos()dd = R2 cos()dd.2Donc, laire de la sph`re S(O, R) est : Aire(S(O, R)) = e 3) Calculons lintgrale de surface e/2( 0R2 cos()d)d = 4R2 ./24z + 1d tendue sur la parabolode : e = {(x, y, z)/z = x2 + y 2h}.Rappelons que dans lexemple 1), nous avons dmontr que llment innitsimal de la e e ee e e e e surface est gale `, d = 4x2 + 4y 2 + 1dxdy. Par consquent, lintgrale de surface donne e a est donc gale `, e a 4z + 1d =4(x2 + y 2 ) + 1 4x2 + 4y 2 + 1dxdy x2 +y 2= 2hh(4r 2 + 1)rdr = (2h2 + h).0Exercice 11. Calculer les intgrales de surfaces suivantes : e ) 1d = Aire(1 ) o` 1 = {(x, y, z)/az = xy, x2 + y 2 u) 2a2 }.(x2 + y 2 )d o` 2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }. u) 3v) 41 + z 2 d o` 3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = a2 , a uxyd o` 4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x uz 0, ya}. 0, z0}.Exercice 12. Calculer laire de la portion dcoupe par le cylindre dquation x2 + y 2 = 2z e e e sur lhmisph`re suprieure centr ` lorigine et de rayon R0. e e e ea2.3 2.3.1Flux dun champ de vecteurs ` travers une surface oriena table Surfaces orientables dans lespace R3Dnition 14. Soit R3 une surface rguli`re de classe C 1 . e e e1. On dira que la surface est orientable si elle est impossible de trouver une courbe ferme e de classe C 1 contenue dans le long de laquelle on pourra dplacer continment un e u vecteur normal N ` depuis un point A et le ramener sur son oppos N au mme a e e point A.2. Soit R3 une surface orientable et M . Un vecteur normal N ` au point M est a a e e dit sortant sil compl`te tout rep`re (v1 , v2 ) tangent ` orient positivement (mme e e orientation que le plan standard Oxy) en un rep`re (v1 , v2 , N) de lepace R3 qui a la e mme orientation que le rep`re canonique Oxyz. En dautres termes, si le produit mixte e e 33. ` 2.3. FLUX DUN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE33 3. Nous dirons quune surface rguli`re est oriente positivement quand elle est munie e e e dun champ de vecteurs normaux sortants. Exemple 12. 1) Le plan, le cylindre et la sph`re sont orientables. Sur ces surfaces on remarque e que toute normale qui perce ces surfaces dnit une face externe (sens positive) et une face e interne (sens ngatif ) (Voir la gure). eFigure 2.9 Orientation du plan, du cylindre et de la sph`re dans R3 non rientable e2) Observons qu si on consid`re un rectangle R = [a, b] [c, d] contenu dans le plan Oxy, en le e tordant suivant deux cts opposes ; alors en collant ses deux autres cts opposes on obtient oe e oe e une surface qui sappelle bande de Mbius. o La bande de Mbius nest pas orientable. Parce que, comme il est indiquer sur la gure, sur o la bande de Mbius on a trac une courbe suivant laquelle on a ramen un vecteur normal o e e e n0 sur son oppos n4 = n0 .Figure 2.10 La bande de Mbius : surfaces de R3 non rientable oEn analysant les exemples de surfaces traites ci-dessus, on dduit que pour voir est-ce quune e e surface donne R3 est orientable ou non , il sut alors quon examine le nombre de faces e de la surface donne. Ainsi, si la surface poss`de deux faces on dduit quelle est orientable e e e mais sil poss`de quune seule face on dduit quelle est non orientable. e e2.3.2Flux dun champ de vecteursDnition 15. Soit U R3 un ouvert non vide, X = (P, Q, R) un champ de vecteurs de classe e C k sur un ouvert U R3 et U une surface de classe C k rguli`re et oriente positivement. e e e On dnit le ux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface U par lintgrale e a e de surface suivante : = X dS =X nd(2.12)o` n dsigne le champ de vecteurs normaux unitaires sortants de la surface . u e Exemple 13. 1) Calculons le ux sortant du champ de vecteur X(x, y, z) = (x, y, z) R3 ` a travers le tetra`dre limit par les plans : x = 0, y = 0, z = 0 et x + y + z = 1. e eFigure 2.11 Le thtrai`re unit de R3 e e e 34. CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES34Puisque le thtradi`re admet quatre faces xy , xz , yz et ; le ux sortant du champ de e e vecteurs X est donc gal ` la somme des ux sortants ` travers les quatre faces du thtrai`re e a a e e (voir gure) :X dS =xyX dS +xzX dS +yzX dS +X dS.a) Flux sortant ` travers les faces xy , zy et xz . a Puisque le vecteur normal unitaire sortant de la surface xy est gal ` k et comme llment e a ee e e innitsimal de surface de xy est donn par dS = kdxdy , on dduit donc que le ux sortant e du champ de vecteurs X ` travers xy est donn par, a exyX dS =x+y 1,z=0zdxdy = 0parce que surxy , z = 0.De la mme faon, on montre que le ux sortant du champ X ` travers les faces xz et zy e c a sont donns par : eyzX dS =y+z 1,x=0xdxdy = 0X dS =, xzb) Flux ` travers la face dquation x + y + z = 1, x a e0, yx+z 1,y=00 et zydxdy = 00.En paramtrisant la face par (x, y) = (x, y, 1xy) on voit que son lment innitsimal e ee e de surface est gal `, e a k 1 0 1 dxdy = ( + + k)dxdy = X dS = (x + y + z)dxdy = dxdy. 0 1 1dS =Ainsi, en consquence de ci qui prc`de, on conclut que le ux ` travers la face du tetra`dre e e e a e est gal `, e a 1 X dS =(x + y + z)dxdy = x+y 11x( 001 dy)dx = . 2c) Le ux total sortant du champ de vecteur X ` travers le tetra`dre est donc gal `, a e e aX dS =xyX dS +xzX dS +yzX dS +1 X dS = . 2 2) Calculons le ux sortant du champ de vecteur X = (x, y, z) ` travers lhmisph`re suprieure a e e e centre ` lorigine (0, 0, 0) et de rayon R. e a Pour identier llment innitsimal de surface associ ` nous allons la paramtriser par ee e ea e lapplication (x, y) = (x, y, R2 x2 y 2 ) avec x2 + y 2 R2 .dS = 1 0 k x R2 x2 y 2dxdy = (x+y + k)dxdy. 35. ` 2.3. FLUX DUN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE35 R2 x2 y 2 on en dduit que le eAinsi, puisque sur lhmisph`re suprieure on a z = e e e produit scalaire (ux innitsimal) : e X dS = (x2 + y 2 R2 x2 y 2R2+ z)dxdy =R2 x2 y 2dxdy.Le ux sortant du champ de vecteurs X ` travers lhmisph`re suprieure est donc gal `, a e e e e adxdyX dS = R2x2 +y 2 R2R2x2y22= R2R( 00rdr )d = 2R3 R2 r 23) Soit 0 un nombre rel x. Calculons le ux sortant du champ de vecteurs X = k e e a ` travers la surface limite par le cylindre 1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = R2 , 0 z e h} et les 2 + y2 2 } et D = {(x, y, h)/x2 + y 2 2 }. disques D1 = {(x, y, 0)/x R R 2 Par additivit de lintgrale de surface, on voit que le ux total du champ de vecteur X = k e e est gal `, e a = X dS =1X dS +D1X dS +D2X dS.Ainsi, puisque sur les disques horizontaux D1 et D2 le vecteur de surface innitsimal est e donn respectivement par dS1 = kdxdy et dS2 = kdxdy on aura donc, e X dS1 = dxdy X dS1 = 2R2 D1 x2 +y 2 R2 D1 = X dS2 = dxdy X dS2 = 2R2 x2 +y 2 R2D20D2Enn, en paramtrisant le cylindre 1 par lapplication (r, ) = (R cos(), R sin(), z) avec e z h et 0 ; on voit que le vecteur innitsimal de surface de 1 est donn par, e e dS = ddz = (R cos() + R sin())ddz. zMais, comme le champ de vecteurs X = k est orthogonal au vecteur de surface dS = (R cos() + R sin())ddz on en dduit donc que le ux du champ de vecteurs X = k ` e a travers le cylindre 1 est nul. Conclusion, le ux total du champ de vecteurs X ` travers la surface est : a 0 2R2 + 2R2 = 0.X dS =Exercice 13. Calculer le ux sortant du champ de vecteurs X ` travers la surface indique. a e ) X1 = zx + zy + y k et 1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = 1, 0 z h}. ) X2 = y + z + xk et 2 = {(x, y, z)/x2 + y 2 = z 2 , 0 z a}. ) X3 = x + y + z k et 3 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 }. v) X4 = x3/2 + y 3/2 + z 3/2 k et 4 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = a2 , x2.3.30, y0, z0}.Formule de StokesThor`me 7. Soit A = P + Q + Rk un champ de vecteurs de classe C 1 dnit sur un ouvert e e e non vide U R3 . Si on dsigne par = Pdx + Qdy + Rdz la forme direntielle associe au e e e champ de vecteurs A alors pour toute surface orientable U de classe C 1 et ayant un bord = non vide orient positivement on a, e 36. CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES36Autrement dit, la circulation dun champ de vecteur A de classe C 1 le long dune courbe ferme est gale au ux sortant du champ rotationnel Rot(A) ` travers toute surface orientable e e a dont le bord = . Dmonstration. Dans cette preuve, on suppose que la surface est paramtre par lapplication e e e 2 sur un domaine lmentaire D de bord C . r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) de classe C ee Notons quavec ces notations, puisque le couple (u, v) parcourt le bord D = C alors le point r(u, v) parcourt la courbe C = on dduit donc que lintgrale curviligne de la forme e e direntielle peut scrire sous la forme : e e = C=x y z x y z +Q + R )du + (P +Q + R )dv u u u v v v C r r Ar du + A r dv. u v C (Pr r Ainsi, si maintenant on pose U = A r et V = A r la formule de Green-Riemann u v permet de transformer la derni`re intgrale curviligne comme suit : e eCArr r du + A r dv = u v = = =Udu + Vdv CV U )dudv v D u A r r A r r ( )dudv u v v u D r r Rot(A r) ( )dudv. u v D (r r )dudv u v est gal au vecteur innitsimal dS associ ` la surface ; on obtient la formule de Stokes, e e e a Finalement, en remarquant que dans lintgrale double prcdente le vecteur ( e e e = CCA dr =Rot(A) dS.Corollaire 5. Soit X = P+Q+Rk un champ de vecteurs de classe C 1 sur un ouvert U R3 . Pour tout couple de surfaces orientables 1 et 2 contenues dans louvert U et qui ont le mme e bord = 1 = 2 on a, 1Rot(X) dS =2Rot(X) dS =Pdx + Qdy + Rdz. CCorollaire 6. Soit = Pdx+Qdy +Rdz est une forme direntielle de classe C 1 sur un ouvert e U R3 . Si est ferme alors pour toute courbe ferme C qui borde une surface orientable e e U (i.e. C = ) on a, = 0.CExemple 14. Calculons lintgrale curviligne de la forme direntielle, e e = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz, le long de la courbe ferme C dnie comme lintersection du plan x + y + z = 1 et le cylindre e e 2 + y 2 = 2x. x Pour calculer lintgrale curviligne e nous allons appliquer au champ de vecteurs, C 37. ` 2.3. FLUX DUN CHAMP DE VECTEURS A TRAVERS UNE SURFACE ORIENTABLE37 et ` la surface orientable dcoupe par le cylindre x2 + y 2 = 2x sur le plan x + y + z = 1. a e e Notons bien que le bord = C. Si on applique la formule de Stokes ` ces donnes on obtient : a e = CC= =A dr =2 3 2 3Rot(A) [(y z) + (y x) + (x y)k] [ + + k]dxdy 0dxdy = 0o` dsigne la projection de la surface sur le plan Oxy. u e Exercice 14. Vrier le thor`me de Stokes pour le champ de vecteurs X dni sur une e e e e surface orientable dont le bord = C = . ) X1 = 2y + 3x z 2 k et 1 = {(x, y, z)/x2 + y 2 + z 2 = 1, z 0}. ) X2 = (y z) + (x3 + yz) 3xy 2 k et 2 = {(x, y, z)/x + y = 1, 0 x, 0 y, 0 z 1}. Exercice 15. En utilisant la formule de Stokes, calculer lintgrale curviligne de la forme e direntielle, e = (y 2 + z 2 )dx + (x2 + z 2 )dy + (x2 + y 2 )dz, le long de la courbe ferme C dnie comme lintersection de la sph`re x2 + y 2 + z 2 = 4y et le e e e 2 + y 2 = 2y. cylindre x 38. 38 CHAPITRE 2. INTEGRALES DE SURFACES 39. Chapitre 3Intgrales triples e Objectifs : Ltude de ce chapitre doit vous permettre de : e 1. savoir calculer une intgrale triple en utilisant la formule e de Fubini ou en eectuant un changement de variables ; 2. savoir calculer le volume dun domaine plonger dans lespace R3 ; 3. savoir appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski ; 4. comprendre quune intgrale triple gnralise converge e e e e si et seulement si elle converge absolument. 40. CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES403.1Dnition et proprits e e eSoit V R3 un domaine born et ferm (i.e. compact) dnit par lexpression, e e e V = {(x, y, z) R3 /(x, y) D, f1 (x, y)zf2 (x, y)},o` D R2 dsigne un domaine lmentaire et f1 , f2 : D R deux fonctions continues. u e ee Dans ce paragraphe, on se propose de calculer la masse total dun solide dont la forme gomtrique est donne par le domaine V et dont la densit de masse est une fonction continue e e e e f : V R. Notons que si on proj`te le domaine V sur les trois axes de lespace R3 on obtient trois e segments [a1 , b1 ] Ox, [a2 , b2 ] Oy et [a3 , b3 ] Oz tels que V [a1 , a2 ] [a2 , b2 ] [a3 , b3 ]. Notons aussi que si on partage respectivement les derniers trois segments en m, n et k segments dextrmits : e e x0 = a1x1 xm = b1 , y0 = a2y1 yn = b2 , et z0 = a3z1 zk = b3 on peut alors dnir des paralllpip`de Pi,j,k = [xi , xi+1 ] [yj , yj+1 ] [zl , zl+1 ] V dont la e ee e runion recouvre le domaine V. eFigure 3.1 Subdivision dun domaine V R3Enn, observons que si dans chaque paralllpip`de Pi,j,k on choisit un point i,j,l on peut ee e alors dnir une somme de Riemann par lexpression, e i=m1 j=n1 i=k1R(f, n, m, k, i,j,l ) =i=0j=0l=0f (i,j,l )(xi+1 xi )(yj+1 yj )(zl+1 zl )que lon peut interprter comme la mesure approche de la masse totale du solide V. e e Dnition 16. Soit V R3 un domaine lmentaire et f : V R une fonction continue. e ee1. On dira que la fonction f est intgrable sur le domaine V si la somme de Riemann qui e lui est associe, e i=m1 j=n1 i=k1R(f, (V), i,j,l ) =i=0j=0l=0f (i,j,l )(xi+1 xi )(yj+1 yj )(zl+1 zl ),(3.1)admet une limite nie lorsque vi,j,l = (xi+1 xi )(yj+1 yj )(zl+1 zl ) (i.e volume du paralllpip`de lmentaire Pi,j,l ) tend vers zro. La limite de la somme de Riemann, ee e ee e quand elle existe, elle sappelle intgrale triple de la fonction f (x, y, z) sur le domaine V e et elle se note, lim R(f, m, n, k, i,j,l ) =vi,j,l 0f (x, y, z)dxdydz.(3.2)V2. Lintgrale triple de la fonction constante f (x, y, z) = 1 sappelle volume algbrique du e e domaine V et se note par, 41. 3.2. METHODES DE CALCUL DUNE INTEGRALE TRIPLE41Lintgrale triple dune fonction continue au-dessus dun domaine lmentaire satisfait aux e ee proprits alg`briques suivantes : ee e Linarit : Pour tout couple de fonctions continues f et g sur un compact lmentaire V, et e e ee pour tout couple de nombres rels a et b on a, e (af (x, y, z) + bg(x, y, z))dxdydz = af (x, y, z)dxdydz + bVVg(x, y, z)dxdydz. VAdditivit : Si V1 et V2 sont deux compacts lmentaires de lespace R3 tels que V1 V2 = e ee ou V1 V2 = est une surface alors on a, f (x, y, z)dxdydz =f (x, y, z)dxdydz +V1 V2V1f (x, y, z)dxdydz. V2Positivit : Si V est un compact lmentaire et f : V R est une fonction continue positive e ee f (x, y, z)dxdydzalors on a,Vg : V R vrient lingalit f e e e0. Plus gnralement, si deux fonctions continues f et e eg alors on a,f (x, y, z)dxdydzg(x, y, z)dxdydz.V3.2 3.2.1VMthodes de calcul dune intgrale triple e e Formule de FubiniThor`me 8 (Formule de Fubini). Soit D R2 un domaine lmentaire et 1 , 2 : D R e e ee deux fonctions continues ; et soit V un compact lmentaire dnit analytiquement par, ee e V = {(x, y, z)/(x, y) D, 1 (x, y)z2 (x, y)}.Lintgrale triple dune fonction continue f : V R est gale ` : e e a 2 (x,y)f (x, y, z)dxdydz = V(f (x, y, z)dz)dxdy(3.4)1 (x,y)DNotons que si le domaine dintgration est dni par lexpression analytique, e e V = {(x, y, z)R3 /(y, z) D , 1 (y, z)x2 (y, z)},alors lintgrale triple dune fonction fonction continue f : V R est donne par la formule e e de Fubini : 2 (y,z)f (x, y, z)dxdydz = V(f (x, y, z)dx)dydz.(3.5)1 (y,z)DDe mme, quand le domaine dintgration est dni par lexpression analytique, e e e V = {(x, y, z)/(x, z) D, 1 (x, z)y2 (x, z)},la formule de Fubini scrit sous la forme : e 2 (x,z)f (x, y, z)dxdydz =(f (x, y, z)dy)dxdz.(3.6) 42. CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES42Figure 3.2 Le domaine V limit par z = x2 + y 2 et z = 4 3(x3 + y 2 ) e Exemple 15. 1) Calculons le volume du domaine lmentaire V R3 qui est limit par les ee e deux parabolodes de rvolution dnies par les quations : z = x2 + y 2 et z = 4 3(x2 + y 2 ). e e eNotons que le domaine V est limit par le graphe des deux fonctions 1 (x, y) = x2 + y 2 et e 2 (x, y) = 4 3(x2 + y 2 ) dnies au-dessus du domaine lmentaire D R2 qui est gale ` e ee e a 2 est limit par la la projection du domaine V sur le plan Oxy. En eet, le domaine D R e projection de la courbe C intersection des graphes des fonctions 1 et 2 . Do` D = {(x, y) u R2 /x2 + y 2 1} et V = {(x, y, z) R3 /(x, y) D, x2 + y 2 z 4 3(x2 + y 2 )}. Maintenant, si on applique la formule de Fubini ` la description analytique du domaine D a on obtient : 43(x2 +y 2 )Volume(V) =dxdydz =(Vdz)dxdy x2 +y 2D= D 2=(4 4(x2 + y 2 ))dxdy 1( 02) Calculons lintgrale triple e0(4 4r 2 )rdr)d = 2.zdxdydz tendue sur le domaine V limit par lhmisph`re e e e e Vsuprieure de centre O = (0, 0, 0) et de rayon R0. eFigure 3.3 Lhmisph`re pleine V limit par x2 + y 2 + z 2 e e eR2 et x0e e Puisque le domaine dintgration V R3 peut tre dni analytiquement par lexpression : e V = {(x, y, z) R3 /0R2 x2 + y 2 , (x, y) D}zavec D = {(x, y) R2 /x2 + y 2 R2 } dsigne la projection du domaine V sur le plan Oxy, en e appliquant la formule de Fubini on peut crire : e 2 2 2 zdxdydz =R y x( y 2 +x2 R2V= y 2 +x2 R2 2 R=( 00xdx)dxdy01 2 (R y 2 x2 )dydz 21 2 R4 (R r 2 )rdr)d = . 2 4Exercice 16. Calculer les intgrales triples suivantes : e a) Vzdxdydz, V = {(x, y, z) R3 /x0, y0, z0, z1 y2, x + y1}. 43. 3.2. METHODES DE CALCUL DUNE INTEGRALE TRIPLE c) Vd) V1 zdxdydz, V = {(x, y, z) R3 /x (1 + x + y + z)3 zdxdydz, V = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2 + z 20, y43 0, zR2 , x2 + y 2 + z 20, x + y + z1}.2Rz}.Exercice 17. a) Calculer lintgrale triple des fonctions x2 , y 2 , z 2 , xy, xz et zy au-dessus de e la boule ferme B = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2 + z 2 1}. e b) En dduire que pour tout triplet de nombres rels (a, b, c) lintgrale de la fonction f (x, y, z) = e e e 4 2 2 2 (a + b + c ). (ax + by + cz)2 est gale ` e a 15 Exercice 18. a) Calculer lintgrale triple des fonctions xy, xz et zy au-dessus du domaine e x2 y 2 z 2 V = {(x, y, z) R3 / 2 + 2 + 2 1, x 0, y 0, z 0}. a b c b) En dduire que lintgrale triple de la fonction g(x, y, z) = xy +yz+zx au-dessus du domaine e e abc V est gale ` e a (ab + bc + ca). 153.2.2Changement de variablesThor`me 9 (Formule de changement de variables). Soient U1 et U2 deux ouverts non vides e e dans lespace R3 ; et soit T : U1 U2 une application bijective de classe C 1 dont lapplication inverse T1 : U2 U1 de T est de classe C 1 (i.e. T est un changement de variables) alors pour tout compact lmentaire V U1 et pour toute fonction continue f : U1 U2 on a la ee formule, f (x, y, z)dxdydz = T(V )Vf T(u, v, w) |D(x, y, z) | dudvdw. D(u, v, w)(3.7)Corollaire 7 (coordonnes cylindriques). Si T(r, , z) = (r cos(), r sin(), z) dsigne le syse e t`me de coordonnes cylindriques dni sur le domaine V alors on a, e e e f (x, y, z)dxdydz =f (r cos(), r sin(), z)rdrdzd.T(V )VCorollaire 8 (Coordonnes sphriques). Si T(r, , ) = (r cos() cos(), r sin() cos(), r sin()) e e dsigne le syst`me de coordonnes sphriques dni sur le domaine V alors on a, e e e e e f (r cos() cos(), r sin() cos(), r sin())r 2 cos()drdd.f (x, y, z)dxdydz = T(V )VExemple 16. 1) Calculons le volume de la boule ferme be rayon R0 centre ` lorigine, e e a V = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2 + z 2R2 }.Pour calculer le volume du domaine V nous allons donc passer en coordonnes sphriques : e e RVolume(V) =dxdydz = V2) Calculons lintgrale triple e2( 0/2( 0/2r 2 cos()d)d)dr =4R3 . 3x2 + y 2 dxdydz tendu sur le cylindre V = {(x, y, z)/x2 + e 44. CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES44Pour calculer lintgrale triple donne nous allons passer en coordonnes cylindriques : e e e Rx2 + y 2 dxdydz = V2( 0h( 02R3 . 3r 2 dz)d)dr =03) Pour tout triplet de nombres rels a0, b0, c0 et d0 calculons lintgrale triple, e e I(a, b, c) = Vxa y b z c (1 x y z)d dxdydz,tendu sur le ttra`dre V = {(x, y, z)/x e e e 0, y 0, z 0, x + y + z 1} en eectuant le changement de variables T(x, y, z) = (X, Y, Z) dont les composantes sont dnies par les e relations, X = x + y + z, XY = y + z et XYZ = z. A partir des relations qui dnissent les composantes X, Y et Z de lapplication T on vrie e e 1 a pour composantes : facilement que lapplication inverse T x = X(1 Y),y = XY(1 Z)etz = XYZ.De mme, on vrie que lapplication T transforme le ttra`dre V en un cube V = [0, 1] e e e e [0, 1] [0, 1] = T(V). Figure 3.4 Transformation dun ttra`dre en cube e eAinsi, puisque le dterminant de la matrice jacobienne de la transformation T1 est gal `, e e a D(x, y, z) = D(X, Y, Z)1Y X 0 Y(1 Z) X(1 Z) XY YZ XZ XY1Y 1 0 = X2 Y Y(1 Z) 1 Z 1 YZ Z 1 1 Y 1 0 Y 1 0 YZ Z 1= X2 Y= X2 Y,donc en appliquant la formule du changement de variables on obtient :I(a, b, c) = Vxa y b z c (1 x y z)d dxdydz [X(1 Y)]a [XY(1 Z)]b [XYZ]c [1 X]d [X2 Y]dXdYdZ=V 1 11= 00 1= 00Xa+b+c+2 Yb+c+1 Zc (1 Y)a (1 Z)b (1 X)d dXdYdZXa+b+c+2 (1 X)d dX1 0Yb+c+1 (1 Y)a dY1 0Zc (1 Z)b dZ.Notons par exemple, si on prend a = b = c = d = 1 on obtient 1I(1, 1, 1) =X5 (1 X)dX1Y3 (1 Y)dY1Z(1 Z)dZ =1. 45. 3.2. METHODES DE CALCUL DUNE INTEGRALE TRIPLE45Exercice 19. Calculer les intgrales suivantes en eectuant un changement de variables convee nable. a) x2 + y 2 + z 2 dxdydz o` V = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2 + z 2 z}. u V1 dxdydz o` V = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2 + z 2 u (x2 + y 2 + z 2 + a2 )2 V 2Rz} et a0.b)V(z + 2)(x2 + y 2 + 1)dxdydz o` V = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2 uVz cos(x2 + y 2 )dxdydz o` V = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2 + z 2 uc) d)1, 0 1, zR2 , x2 + y 2 + z 2 z2}.0}.Exercice 20. a) Calculer le dterminant de la matrice jacobienne de lapplication e T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/4 t1/4 u1/2 , s1/4 t1/2 u1/4 , s1/2 t1/4 u1/4 ). b) En dduire que lapplication ralise un changement de variables. e e b) Montrer que lapplication inverse T1 transforme le domaine V = {(x, y, z) R3 /x4 + y 4 + z4 3xyz, x 0, y 0, z 0} en un domaine V = {(s, t, u) R3 /s + t + u3, s 0, t 0, u 0}. c) Calculer alors le volume du domaine V. Exercice 21. Soit a0 un rel. Calculer le volume du domaine e Va = {(x, y, z) R3 /x5 + y 5 + z 5a2 xyz, x0, y0, z0}en considrant lapplication, T(s, t, u) = (x, y, z) = (s1/5 t1/5 u3/5 , s1/5 t3/5 u1/5 , s3/5 t1/5 u1/5 ). e Exercice 22. Soit a0, b0, c0 et 0 des nombres rels. e 1) Calculer le dterminant de la matrice jacobienne de lapplication, e T(r, , ) = (x, y, z) = (ar(cos() cos()) , br(sin() cos()) , cr(sin()) ). , []0, 2[. 2 2 3) En utilisant le syst`me de coordonnes dnit par lapplication T ; calculer le volume des e e e domaines : x y z 1. V1 = {(x, y, z) R3 /( )3 + ( )3 + ( )3 1}. a b c 3 /( x )2/3 + ( y )2/3 + ( z )2/3 2. V2 = {(x, y, z) R 1}. a b c 2) En dduire que T ralise un syst`me de coordonnes sur R ] e e e e +3.2.3Thor`me dOstrigradski-Gauss e eThor`me 10 (Formule dOstrigradski-Gauss). Soit X = P + Q + Rk un champ de vecteurs e e de classe C 1 dnit sur un ouvert non vide U R3 . Si V U est un domaine lmentaire dont e ee le bord (fronti`re) V = est une surface ferme orientable alors le ux sortant du champ de e e vecteurs X ` travers la surface = V est gal ` lintgrale triple de la divergence du champ a e a e X au-dessus du domaine V :X dS =Div(X)dxdydz. V(3.8) 46. CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES46Corollaire 9. Si un champ de vecteurs X a une divergence nulle, Div(X) = 0, alors son ux sortant ` travers toute surface ferme orientable est nul. a e Corollaire 10. Le ux sortant dun champ de vecteurs rotatinnel X = Rot(A) est nul ` a travers toute surface ferme orientable : e Rot(A) dS = 0.Exemple 17. 1) Calculons le ux du champ de vecteurs X = (z 2 x) xy + 3z k ` travers a la surface ferme limite par les surfaces dquations cartsiennes : e e e e z = 4 y2,x = 0,x = 3,etz = 0.Figure 3.5 Cylindre paraboliquePour calculer le ux demand nous allons appliquer la formule de Gauss-Ostrogradski. e x 3, 0 z 4 y 2 } dont le Considrons le sous-ensemble V = {(x, y, z) R3 /0 e bord est gal ` la surface ferme orientable = V, et puis ; appliquons la formule de Gausse a e Ostrogradski aux donnes V, et X : eX dS =Div(X)dxdydz V= V(2 x)dxdydz3 0( 03=0 2( 04y 22(=0(2 x)dz)dy)dx9 8 (2 x)(4 y 2 )dy))dx = (6 )(8 ) = 8. 2 32) Soit une surface orientable contenue dans le demi-espace suprieur de R3 et qui sappuis e 2 {0} centr ` lorigine et de rayon R0. sur le cercle C R ea Montrons que le ux du champ de vecteurs X = (y 2 + z 2 ) + (x2 + z 2 ) + (x2 + y 2 )k ` travers a une surface est gal ` . e a 2Figure 3.6 FluxObservons que si on consid`re le disque D centr ` lorigine et de rayon R0 alors en e e a posant = D on obtient une surface ferme orientable qui bord un domaine V. Et, ainsi e puisque la divergence du champ de vecteurs X est nulle ; la formule de Gauss-Ostrogradski permet dcrire : eDX dS =X dS +DX dS =Div(X) = 0. VDo`, u 2RR4 47. 3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES47Exercice 23. Calculer le ux sortant du champ de vecteurs X = xz 2 +(x2 yz 3 )+(2xy+y 2 z)k a ` travers la sph`re centre ` lorigine et de rayon R0, e e a a) en appliquant la dnition du ux ; e b) en appliquant le thor`me de Gauss-Ostrogradski. e e Exercice 24. Vrier la formule de Gauss-Ostrogradski aux donnes suivantes : e e a) V1 = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2 + z 2 1, z 0} et X1 = (x2 + y 2 ) + (y 2 + z 2 ) + (z 2 + x2 )k. b) V2 = {(x, y, z) R3 /x + y + z 1, x 0, y 0, z 0} et X1 = xy + yz + zx)k. Exercice 25. En utilisant la formule de Gauss-Ostrogradski montrer que le ux du champ de vecteurs, 1 X= 2 (x + y + z k), 2 + z 2 )3/2 (x + y a ` travers la sph`re centre ` lorigine O = (0, 0, 0) et de rayon R0 est gal ` 4. e e a e a3.3Intgrales triples gnralises e e e eDnition 17. Soit V R3 un ouvert non vide et f : V R+ une fonction positive. On dit e que f est localement intgrable si son intgrale triple existe sur tout compact lmentaire e e ee K V,Kf (x, y, z)dxdydz R.Puisque les fonctions continues sont intgrables sur les compacts lmentaires de R3 ; elles e ee 3. sont donc localement intgrables sur tout ouvert de R e Dnition 18. Soit V R3 un ouvert non vide et f : V R+ une fonction positive locae lement intgrable. Sil existe une famille croissante Kn Kn+1 V de compacts lmentaires e ee telle que 1. V = 2.Kn ; n 0limn+f (x, y, z)dxdydz existe dans R Knnous dirons que lintgrale triple gnralise e e e ef (x, y, z)dxdydz := limn+Vconverge. Une intgrale triple gnralise non convergente est dite divergente. e e e ef (x, y, z)dxdydz KnThor`me 11. Soit V R2 un ouvert vide et f : V R+ une fonction positive localement e e intgrable. La nature de lintgrale triple gnralise e e e e ef (x, y, z)dxdydz ne dpend pas du eVchoix de la famille croissante de compacts lmentaires Kn Kn+1 telle que V = eeKn . n 0Dmonstration. Admise. e Proposition 5. Soit V R3 un ouvert non vide et f : V R+ une fonction localement intgrable. Alors les propositions suivantes sont quivalentes : e e 1. Lintgrale triple gnralise e e e ef (x, y, z)dxdydz converge. D2. Il existe une suite croissante de compactes lmentaires Kn Kn+1 dont la runion ee e 48. CHAPITRE 3. INTEGRALES TRIPLES48Dmonstration. Mme dmonstration que pour les intgrales gnralises triples. e e e e e e e Thor`me 12. Crit`re de comparaison e e e Soit V R3 un ouvert non vide ; et soient f, g : V R+ deux fonctions positives et localement intgrables et telles que 0 e f (x, y, z) g(x, y, z), (x, y, z) V. Alors on a les propositions : 1.g(x, y, z)dxdydz converge impliquef (x, y, z)dxdydz converge.V2.Vf (x, y, z)dxdydz diverge impliquef (x, y, z)dxdydz diverge.VV +2et dt est convergente.Exemple 18. Dmontrons que lintgrale simple gnralise I = e e e e e 0Ensuite, calculons sa valeur exacte. +a) Lintgrale gnralise simple I = e e e e2et dt converge parce que pour tout rel t1 nous e0avons les ingalits : e e +21tt2 = etet =+2et dt1net = limn+ 11et dt = lim (en +e1 ) = e1 n++b) Pour calculer la valeur exacte de cette intgrale gnralise I = e e e e2et dt nous allons0 x2 y 2 z 2tudier lintgrale triple gnralise K = e e e e eedxdydz.(R+ )3z2Notons que si on consid`re la suite de compacts Kn = {(x, y, z)/x e n2 } on obtient, ex2 y 2 z 2/2dxdydz =Kn/2(n(000, y2r 2 er cos()dr)d)d =0 2, x2 + y 2 +0, z n2r 2 er dr =0 4Par consquent, en passant ` la limite sur n on dduit quon a e a e ex2 y 2 z 2dxdydz =(R+ )3 4+2et dt0Dautre part, si on consid`re le suite de compacts Ln = [0, n]3 on obtient la suite numrique : e e exun =2 y 2 z 2ndxdydz = (Lnn2ex dx)(0n2ey dy)(0n2ez dz) = (02et dt)30dont la limite quand lentier n tend vers linni est gale `, e a x2 y 2 z 2e (R+ )3+dxdydz = (t2e 0 dt) = 4+3t2e+dt =0t2e 0dt = 2Dnition 19. Soit V R3 un ouvert non vide et f : V R une fonction dont la valeur abe solue | f (x, y, z) | est localement intgrable. Si lintgrale gnralise e e e e e converge nous dirons que lintgrale triple gnralise e e e eD| f (x, y, z) | dxdydzf (x, y, z)dxdydz convergente ab- 49. 3.3. INTEGRALES TRIPLES GENERALISEES49Proposition 6. Soit V R3 un ouvert non vide et f : V R une fonction localement intgrable. Alors les propositions suivantes sont quivalentes : e e 1. Lintgrale triple gnralise e e e ef (x, y, z)dxdydz converge. V2. Il existe une suite croissante de compactes lmentaires Kn Kn+1 dont la runion ee e Kn = V et telle que la suite numrique eKnn 0| f (x, y, z) | dxdydz soit borne e(majore). e Exercice 26. Dmontrer que les intgrales triples gnralises suivantes convergent. e e e e e exa)2 y 2 z 2dxdydz, V = R3 .Vb) Vdxdydz, V = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2le volume de Vn = {(x, y, z) R3 /x2 + y 2z 2a , 1z 2a , z z1} (Indication : on pourra calculer n} avec n N ).Figure 3.7 Surface dquation : x2 + y 2 = z 2a avec a = 0.7 e