41

3.1. Однос тачке и праве, тачке и равни. Одређеност праве и равни

Настанак геометрије повезује се са развојем културе премеравања тла у древном Египту, Вавилону и Грчкој. Отуда потиче и њен назив: geo (грч.) – земља, metreo – мерити. Ова грана математике бави се проучавањем ликова у равни и тела у простору, и даље се развија а њене методе стално усавршавају.*Упознали смо основне геометријске објекте: тачка, права, раван, као и неке аксиоме:

А1. Две различите тачке A и B одређују тачно једну праву (AB).А2. Три тачке које не припадају истој правој одређују тачно једну раван.А3. Постоји само једна права p која садржи тачку M ван праве a која је паралелна правој a.

* О великанима који су допринели развоју геометрије види уџбенике за VI и VII разред истих аутора.

Талес из Милета

(624–548. пре н. е.)Еуклид

(330–275. пре н. е.)Хилберт Давид

(1862–1943)

ТАЧКА.

ПРАВА. РАВАН

42

Слика 1

1) 2)

3)

CB

AA

Bα

γ

p

a

aa p

b

Познати су ти такође и неки геометријски објекти изведени (дефинисани) помоћу основних аксиома и неких односа тачака, правих и равни, као на пример: дуж, угао, полуправа, полу-раван, троугао, многоугао, круг и др.Сви наведени објекти, а и многи други, делови су једне равни (каже се и „леже“ у једној равни).У овом разреду упознаћемо неке геометријске објекте (фигуре) који неморају да припадају једној равни. Такви су коцка, квадар, лопта и др.Проучавање просторних геометријских објеката има велики образовни и практични значај. Ми живимо и радимо у тродимензионалном простору, па је тим пре неопходно да се упоз-намо са објектима и предметима који служе људима.Већ аксиома А2 илустрована моделима има одређену улогу (сл. 2).

Такође, држач апарата за нивелацију при мерењу има три „ноге“ а не две или четири (сл. 3).

Слика 2

CA B

α

Слика 3

Наведимо још неке аксиоме:

А4 – Ако две тачке праве p припадају равни α, тада све тачке праве p припадају равни α, тј. p ⊂ α (сл. 4).

43

математикA за VIII разред основне школе

Ако права p и раван α имају само једну заједничку тачку A, онда се каже да права p сече раван α (говори се – продире раван) у тачки A (сл. 5).

Слика 4

p

mB

S

A

α

Слика 5

pB

A Cα

А5 – Свака права садржи бар две тачке, А6 – Свака раван садржи бар три тачке које нису на истој правој. А7 – Постоје бар четири тачке које нису све у истој равни (сл. 6).

D ∉ α; M ∈ α; S ∉ α

А8 – Ако две равни α и β имају једну заједничку тачку M, онда оне имају бар још једну зајед-ничку тачку A (тј. имају заједничку праву MA).

Пресечна права тих равни је права MA (сл. 7).

Слика 6

B

D

M

A

C

α

α(ABC)D∉αM∈αS∉α

Слика 7

M Aa

βα

1. Узми модел равни (картон) и неку праву у тој равни. Обртањем тог модела око праве настају разни положаји те равни. Значи, кроз једну праву може се поставити више равни чији је она део (сл. 8).

p

β

γα

Слика 8

44

2. 1) Једном правом a одређено је много (безброј) равни. Узми модел књиге или свеске.

У примерима 3, 4 и 5 дати су неки начини задавања равни који истовремено представљају и важна тврђења о одрeђености равни.

3. Права и тачка која не припада тој правој одређују тачно једну раван (сл. 9).

Слика 9

p

1)

A

B

n 2 1

C

α α α

α

a

A

B

C

αβ

γ

2)

Доказ. На правој p постоје бар две тачке A и B, и постоји тачка C која није на p. Три тачке A, B, C одређују тачно једну раван α. Да је права p у равни α следи из аксиоме А4. Да је раван α једина тражена раван следи из аксиоме А2. Тиме је тврђење доказано. Уочио/ла си да су за доказ коришћене аксиоме А2, А4 и А5.На слици 92 је илустровано да права a и редом тачке A, B, C одређују по једну раван (α, β, γ).4. Две различите праве a и b које се секу у тачки O, одређују тачно једну раван (сл. 10). Доказ

се изводи на исти начин као у задатку 3. Напиши образложење.5. Две паралелне различите праве a и b, одређују тачно једну раван α (сл. 11). Докажи.

Слика 10

aA

B

b

O

α

Сл. 11A

C

bB

a

α

6. На слици 12 приказана је коцка.1) Уочи равни ACA1C1 и BDB1D1.2) Колико је укупно правих одређено тачкама ABCDB1?

7. Дате су четири тачке, од којих било које три нису на истој правој.1) Колико укупно правих одређују те тачке?2) Колико укупно равни одређују те тачке?

45

математикA за VIII разред основне школе

8. На слици 13 приказан је квадар.

1) Колико је укупно равни одређено теменима A, B, D, H?

Слика 12 A

A1

D1

D

B

B1

C

C1

Слика 13 A

D

B

C

E

H G

F

9. 1) Нацртај кружницу и седам различитих тачака на њој. Колико је укупно правих одређено тим тачкама?

2) Нацртај правилан дванаестоугао. Колико је укупно правих одређено његовим теме-нима?

3) Уради исти задатак за правилан n-тоугао.10. Колико је укупно равни одређено са четири праве које се секу у једној тачки, ако никоје

три не припадају истој равни?11. Колико је укупно равни одређено са три паралелне праве које нису у истој равни?12. Колико је укупно равни одређено са четири паралелне праве, ако никоје три не припадају

истој равни?13. 1) Нацртај квадрат ABCD. Тачка S није у равни квадрата. Колико је укупно равни одређено

тим тачкама?2) Уради исти задатак за правилан шестоугао A1, A2, ..., A6 и тачку S.3) Покушај да решиш исти задатак за правилан n-угао A1, A2, ..., An и тачку S.

14. Колико је равни одређено са 6 тачака у простору, од којих ма које 3 не припадају једној правој, а ма које 4 не припадају једној равни.

3.2. Однос праве и равни. Нормална права на раван

Многи предмети и кућни апарати имају облик квадра. Често и собе имају облик квадра. Уочио/ла си на њима моделе равни, правих, тачака.Неке праве секу поједине равни, неке су у другим равнима, а неке праве су паралелне неким равнима.Тако на квадру на сл. 14 имамо:– Права OH(r) сече раван ABC у тачки O, а раван EFG у тачки H.– Права DB (p) је у равни ABC, а права BG (s) је у равни BCG. Оне су подскупови тих равни.

– Праве p и q су паралелне.