35

математикA за VIII разред основне школе

Пример 5

а) –2 ∙ 1 + 1 ≥ –3 ⇔ –2 ∙ (–2 ∙ 1 + 1) ≤ –3 ∙ (–2), тј. 2 ≤ 6, што је тачно. (C = –2 < 0);

б) 2x ≥ x – 1 ⇔ 2x ∙ (–1) ≤ –1 ∙ (x – 1) (C = –1 < 0).

Знак неједнакости се мења ако се обе стране неједнакости помноже бројем или изразом мањим од нуле.

2.6. Еквивалентност линеарних неједначина и њихово решавање

Неке линеарне неједначине већ смо упознали и решавали.

Ако је бар један од линеарних израза A или B облика ax + b (a, b R), онда је A > B линеарна неједначина са непознатом x.

Пример 1

а) 2x – 1 < 2; б) –x + 1 < 2x – 1.За разне вредности непознате x неједначина се преводи у неједнакост између бројева. Ако се x замени број 1 биће: 2 ∙ 1 – 1 < 2, тј. 1 < 2, што је тачно. У овом случају, за број 1 кажемо да је решење неједначине 2x – 1 < 2. Број 3 није решење те неједначине. Стварно, 2 ∙ 3 – 1 < 2, тј. 5 < 2, што је нетачно.

Решење линеарне неједначине с једном непознатом је сваки реалан број који замењен у нејед-начину уместо те непознате преводи неједначину у тачну бројевну неједнакост. Сви такви бројеви чине скуп решења те неједначине.

Пример 2

Које су вредности непознате x из скупа {–2, –1, 0, 1, 3 , 2, π} решења неједначине x + 1 > 1? Пронађи још нека решења те неједначине.

Као и код једначина, основни проблем за сваку неједначину јесте налажење скупа свих њених решења.

Две неједначине су еквивалентне ако имају исти скуп решења.

36

Користећи својства неједнакости решимо неједначину:–3x – 1 > 8.–3x – 1 > 8 ⇔ –3x – 1 + 1 > 8 + 1 (додато обема странама 1)⇔ –3x > 9 (–1 + 1 = 0; 8 + 1 = 9 – једнаке изразе замењујемо једнаким)

⇔ 9x31 3 3

1$ $1- - -` ^ `j h j (Пази! множимо обе стране са 31- , па се знак > мења у знак <)

⇔ x < –3.Значи, –3x – 1 > 8 ⇔ x < –3. За неједначину x < –3 непосредно „читамо“ решења, а то су сви реални бројеви мањи од –3 (сл. 4).

Сл. 4 x1-3-4

x<-3O

Пример 3

а) Неједначине 2x – 1 ≥ 3x + 2 и 2x ≥ 3x + 3 су еквивалентне. Објасни.б) Неједначине x > 1 и x < 3 нису еквивалентне. Зашто?

За неједначине облика ax > b, ax < b, ax ≥ b и ax ≤ b кажемо да су то сређене неједначине.

Свака линеарна неједначина A ≥ B или A ≤ B се може свести на сређену неједначину облика ax ≥ b, односно cx ≤ d. Аналогна својства имају и и неједначине A < B, A > B.

Пример 4

Одредимо сређену неједначину еквивалентну са неједначином

1 6 2x x21 1+ - .

1 6 2 6 2x x x x21

21 1+1 1+ +- - -^ h (додато –1)

2 5 2 2x x x x21+ 1+ +- (додато 2x)

3,5 5 0x+ 1 + .На крају неједначина

1 6 2 3,5 5x x x21 +1 1+ - .

Сређена неједначина је 3,5x < 5.Даље, (3,5x) : 3,5 < 5 : 3,5 ⇔ x < 7

10 .

Скуп решења дате неједначине су сви реални бројеви мањи од 710 .

Тај скуп решења неједначине представи графички.

37

математикA за VIII разред основне школе

32. За неједначине одреди сређени облик и скуп решења:

1) 2x – 1 ≤ 1; 2) 3x2 2- ; 3) –x + 2 ≥ x – 3.

Нека је ax < b неједначина по x, где су a и b реални бројеви. Тада:

1) Ако је a > 0, онда је x ab1 . Сваки реалан број мањи од a

b је решење неједначине2) Ако је a < 0, онда је решење сваки број већи од a

b .3) За a = 0 и b > 0, онда је решење сваки реалан број.

4) За a = 0 и b ≤ 0, онда та неједначина нема решења.

Пример 1

а) 3 ∙ x < –6; x 361- ; x < –2. б) –2x < 9; x 2

92-

; x > –4,5.

в) За a = 0 и b > 0 нека је 0 ∙ x < 4. Сваки број x помножен бројем 0 је 0, па је 0 < 4.г) За a = 0 и b ≤ 0, тј. 0 ∙ x < 0, па 0 < 0 за сваки реалан број x, што је нетачно. Неједначина нема решења.

33. Решити неједначину:а) x ≤ x; б) x + 2 ≤ x.

Решење:а) x ≤ x; x – x ≤ x – x; (1 – 1) ∙ x ≤ 0; 0 ∙ x ≤ 0.На крају добијамо x ≤ x ⇔ 0 ∙ x ≤ 0. Решење је сваки реалан број.б) x + 2 ≤ x; x + (–x) + 2 ≤ x + (–x); 0 + 2 ≤ 0, тј. 2 ≤ 0, што је нетачно.Та неједначина нема решења. Скуп решења јој је ∅ (празан скуп).34. Следеће неједначине имају исти скуп решења. Докажи.

1) 0,5x x21

43 1- - и x > –0,5. 2) 1x x2

1 2- - и –6x < –6.

Скупове решења представи графички на бројевној правој.35. 1) Неједначине 1x x2

131

312 +- и x < –4 нису еквивалентне. Покажи.

2) Број 2 је решење неједначина x + 1 < –x + 1 и (1 – x)2 > x2– 1. Покажи. Да ли су то екви-

валентне неједначине?36. Реши неједначине 2x

21 1- - и 2x

21 2- - и скупове решења представи графички.

37. Реши неједначину:1) 3 4x x2

1 1- - - ; 2) 1 – (0,04 – 2x) > 0,3;

3) x x611

32

21

3#+ - ; 4) 20x x3

2 7 102

50$-

- -^ h ;

5) (x – 1)2 – (x + 1)2 < 4; 6) (2x – 1)(2x + 1) > (1 – 2x)2 + 2.38. 1) Одреди a тако да израз –2a – 0,5 буде већи од израза a

21- .

2) За које a ће израз 1a21 +-

бити мањи од a1 4

1- -` j?

38

Контролни задатак

А1. Да ли су изрази a 2

131

61=- -` j и b 3

145= - једнаки?

2. За које x су изрази 1x2 +- и 1x

41- - једнаки?

3. Једначине i1: 2 2x21 =- - и i2: x + 1 = 10 су еквивалентне. Провери!

4. Одреди скуп решења једначина:а) –2x + 8 = –2; б) 0,5x x

21

4=- - .

5. Реши неједначину 1 0x21 1- .

РезултатиБ

1. Упореди бројевне вредности израза:a 1 4

3 2 21

34$= - -` `j j и :b 2 3

1 3 21

21

31= + -` `j j.

2. Одреди B тако да бројевна вредност израза 0,5 ,B 1 21 0 25+- -` j буде једнака

нули.3. Дате су једначине:

а) 1x x21

4 =- - ; б) 3 0x x4

8 20 =- - ; в) –x + 5 = –1.

Које од датих једначина су еквивалентне?

4. Реши једначине:а) 0,2 , 1x 0 7

7+ =- - ; б) 1x x3 4 =- - .

5. Одреди скуп решења неједначинеx + 0,5 ≥ 2x – 1,5.

В1. Колико пута је бројевна вредност израза 0,5p 2 1 2

143$ $= -` j мања од вред-

ности израза 1 , ,q 21 4 0 5 0 75$ $= + +^ h ?

2. Упореди бројевне вредности a = –10x2 и b x21 2 2= -^ h за 1x 2

1=- .3. Реши једначине:

а) 0,5x21 =- ; б) 0,5x x

21

4=- - ; в) (x – 1)2 – x2 = 2 – x.

4. Одреди a тако да једначине 1x x32=- - и ax – 1 = 0,5 буду еквивалентне.

5. Одреди скуп решења неједначинеx + 0,5 ≥ 2x – 1,5.

РезултатиА

a > b3x = 9 итд.а) 5; б) 4x < 2

Б1. a = 1; b = 352. B 4

3=-

3. в) x = 6; а) x = 6 итд.4. а) –44; б) –125. x ≤ 2

В291

a < bа) –1; б) 4; в) –1x = 0,5; a = 3x ≤ 2