26

11. Решимо једначину 2x – 1 = 5 – x.(*)

2x – 1 + x = 5 – x + x Провера:2 ∙ 2 – 1 = 5 – 24 – 1 = 3.3 = 3.Број 2 је решење дате једначине.

2x + x – 1 = 5 + 03x – 1 + 1 = 5 + 13x + 0 = 6 3x = 6 x

33

36=

x = 2.12. Реши једначину:

1) 1 1,5x2 + = ; 2) 4x + 2 = 3x – 1; 3) 2x x

2 4 =- ; 4) 1x31 =- - .

13. Да ли су следеће једначине еквивалентне? Провери решавањем.1) 0x

3 31 =- и 2x – 1 = 1; 2) 3 1,5x 2

1+ = и x 21= ;

3) 1 0x4

3 2+ + = и 2x = 4; 4) 1x2

2 =- и x = 0.

14. 1) Реши једначину:а) 0,5 1x x2

1 =- - ; б) x21

43=- ; в) 2 ∙ (x – 1) = 0,5; г) (x – 1)2 – 2 = x2 + 2.

2) Дат је скуп {–2, –1, 0, 1, 21 , 2}. Који елемент тог скупа је решење једначине:

а) 1x2

4+ = ; б) 2 1 0,5 1x 21=- - ; в) , 0,75x

20 5+

= ; г) 3 x 1 23$ =- -^ h .

2.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом

Наведимо неке примере израза: 3; –0,5; 0; 3 ; 2x – 1; x2; 2x – 3(x – 1); x + 2y – 1; x1 ;

x 16

2+

итд.

Међу њима има оних који су линеарни, а има и оних који то нису. Нису линеарни: x2; x1 ;

x 16

2+

, а остали јесу.

Под линеарним изразима подразумевамо реалне бројеве и све полиноме првог степена.

За полиноме такође знамо да се применом неких својстава реалних бројева, могу довести на тзв. сређени облик. Тако, на пример, за полином 2x – 3 ∙ (x – 1), тј. за тај линеарни израз по x, биће:2x – 3 ∙ (x – 1) = 2x – 3 ∙ x – 3 ∙ (–1) (дистрибутивни закон)= (2 – 3) ∙ x + 3 (дистрибутивни закон, као и –3 ∙ (–1) = 3)= –1 ∙ x + 3 (јер је 2 – 3 = –1)= –x + 1.

* У даљем решавању једначина изоставља се знак еквиваленције (⇔) и навођење правила о екви-валентним једначинама. Тачност резултата се проверава на крају.

27

математикA за VIII разред основне школе

Даље, на основу транзитивности једнакости добијамо

2x – 3(x – 1) = –x + 1.

Десна страна последње једнакости је сређени облик линеарног израза на левој страни.

Уопште, важи тврђење о сређеном облику линеарног израза: Нека је A(x) линеарни израз по x. Тада постоје a, b ∈ R тако да је A(x) = ax + b.

15. 1) Дати су изрази: 3x + 1; –2x; 0 x 21$ - ; x

1- ; x , x ≥ 0; x22 ; a

432

; 2πr; πr2; 2a + 2b; a ∙ b.

Који од њих су линеарни, а који то нису?

2) Доведи на сређени облик линеарне изразе:

а) 2 2 1x x21$ +- - -` j ; б) 2 ∙ (1 – x) – (x – 2).

Познате су ти неке линеарне једначине.

Пример 1

а) x + 4 = 6; б) x – 2 = –1; в) 2x = –8; г) 1x2 =- ; д) –2x + 3 = 1 – x; ђ) 0,25x2

1 1 41$ =- -^ h .

Пример 2

Дате су линеарне једначине: x – 1 = 0,5; –2x + 0,5 = 6x – (1 – x); 4a = 12; 2y – 1 = y; 0 ∙ z = 2 и сл. Прве две су линеарне по x, трећа је по a, четврта по y, а пета је линеарна једначина по z.

Пример 3

Уочимо линеарну једначину по x: –4x + 3(x – 1) = 2(x + 1) – 3.Сређени облици израза леве и десне стране те једначине јесу: –x – 3, односно 2x – 1. Изврши то сређивање.На основу својства једнакости (једнаке изразе замењујемо једнаким) добијамо да је полазна једначина еквивалентна са једначином –x – 3 = 2x – 1.Сада, додавањем израза –2x левој и десној страни једначине добијамо једначину: –3x – 3 = – 1. (Даље, додавање –3), биће: –3x = –4; (множењем са –1), добија се 3x = 4.Полазна једначина је еквивалентна са једначином 3x = 4.

28

Тиме смо проблем решавања полазне једначине свели на решавање једначине 3x = 4, која је једноставнија од полазне.

Нека је A = B линеарна једначина по x. Тада постоје реални бројеви a и b такви да је: A = B еквивалентно са ax = b.

За једначину облика ax = b каже се да је сређена једначина. Тиме је проблем решавања сваке линеарне једначине сведен на проблем решавања одговарајуће сређене једначине.

Пример 4

Примери сређених линеарних једначина су: 6x3

1 = ; 4a = 8; 2πr = 12π; 2x2 $ =- ; 0 ∙ x = 3; 0 ∙ x = 0 итд.

16. 1) Напиши неке линеарне једначине у сређеном облику.

2) Напиши неке линеарне једначине у облику који није сређен.

17. Одреди сређену једначину еквивалентну са једначином:

1) x – 2,5 = 2x + 0,5; 2) 1 1x x2 4+ = - ;

3) 2(x + 2) = –2(x – 1); 4) 3x x x21

3 = +- - ; 5) 2 3 1x x x2 1 =- - -` j .

18. Реши једначине из задатка 17 и провери добијени резултат.

19. Покажи да су једначине еквивалентне: 1) x = 2 и 2x – 5 = – 1; 2) 4x – 1 = 3 и x

2 31

65+ = ;

3) x = 0 и x x21

52

32

31

54$ $+ =-` j .

Реши задатак на два начина!

20. Замени једначину еквивалентном једначином једноставнијом за решавање:

1) 2x – 4 = x + 2; 2) ;

3) 1 x x1 1 22 2+ = +- - ^^ hh ; 4) x x4

332

91

125 2 1$ $=- -` ^j h.

21. Уочили смо да се решавање линеарних једначина с једном непознатом своди на решавање сређене једначине облика

ax = b, x непозната и a, b ∈ R.Тада у свим случајевима можемо описати скуп решења:

29

математикA за VIII разред основне школе

За једначину ax = b важи тврђење: 1° Ако је a ≠ 0, тада једначина има јединствено решење број a

b .Заиста: а) –2x = 6; x 2

6=- , па је решење –3;

б) 0x21 = ; 0x

210= = , па је број 0 решење једначине. Провера: 0 02

1 $ = , тј. 0 = 0, што

потврђује да је 0 решење дате једначине.

Да је број ab јединствено решење једначине ax = b, гарантује то што број a ≠ 0 има једин-

ствени инверзни број a1 . Тако имамо:

a ax a b1 1$ $= , тј. x ab= .

2° Ако је a = 0 и b = 0, тада једначина ax = b постаје 0 ∙ x = 0, што је тачно за сваки реалан број x.

3° Ако је a = 0 и b ≠ 0, тада једначина ax = b постаје: 0 ∙ x = b а она нема решењa у скупу реал-них бројева.

Пример:

а) 0 ∙ (–2) = 0; x = –2, па је решење једначине број –2. б) x 2= ; 0 02$ = итд.Значи, сваки реалан број x је решење једначине ax = b.

Пример:

а) 0 ∙ x = 4; 0 = 4, што је нетачно. б) 0 x 2

1$ =- , 0 21=- , нетачно.

У овом случају једначина ax = b нема решења (скуп решења је празан скуп).22. 1) Реши једначину 1 0,5x x2

1 = +- и покажи да има јединствено решење.2) Скуп реалних бројева је скуп решења једначине 1x x

41

82 8=- - . Покажи.

3) Једначина x + 1 = x – 2 нема решења. Покажи.

Решења:

1) 1,5x21 =- итд.

2) 1 1x x41

41=- - ⇔ 1 1x x4

141 =- - ⇔ 0x4

141 $ =-` j ⇔ 0 ∙ x = 0.

Сваки реалан број x је решење дате једначине. 3) x – x = –2 – 1 ⇔ (1 – 1) ∙ x = –3 ⇔ 0 ∙ x = –3.Не постоји реалан број x такав да је производ 0 ∙ x једнак –3. Значи, једначина нема решења.

30

23. Одреди скуп решења једначине:1) 0,5 x 2

1=- - ; 2) 0,25x4 =- ; 3) 1 1x

41 =- - ;

4) 4 2 , , 2x x2 0 25 0 5$+ = +-^ h ; 5) 6(x – 2) = (2x – 4) ∙ 3; 6) 1 x x21

3=- - .

24. Реши једначину:1) 0,2 ,

, 1x 0 770 7

+ =- - ; 2) 1x x3 4 =- - ; 3) 1 1x x

2 2= +- ;

4) 0,5x21 =- ; 5) 0,5 0,5x

21 =- - ; 6) 2(x – 1) – (x – 1) = 0,5;

7) (x – 1)2 – x2 = 2 – x; 8) 4x x x45

23

62+ + = +- ; 9) h2 – 1 – (h – 1)2 = 10;

10) x x x21

31

41

21

31

41=- - - -` ` `j j j; 11) 2 1 3x x x x x x2 2 4 2 3

5 1+ =- - - - -

-^^ ^hh h ;

12) x x x x42

21

43

22 32 2

=-

- -- -^ ^ ^h h h ; 13) : :11 9x111 264 17 42 5 12$+ =- - -` ^j h8 B$ . .

25. 1) Коју вредност мора имати број a да би разлика израза a32 1+^ h и a5

1 3 4+^ h износила –0,4?

2) Ако је у једначини n природан број, онда је и решење једначине по x природан број. Докажи.

а) 2x – n = n2; б) x – n2 = –x – n.

2.4. Примена

Једначине се користе за решавање различитих задатака у пракси (физици, геометрији, техничким наукама итд).Задаци (проблеми) биће формулисани „обичним“ речима.

Пример 1

Једна страница правоугаоника је 3 cm, а обим 18 cm, одреди дужине страница (сл. 1).

Сл. 1

3cm

A B

D C

x

Пример 2

Збир два броја је 21. Један број је два пута већи од другог. Наћи те бројеве.Основни захтев се састоји у томе да се услови задатка исказани обичним „речима“ преведу на тзв. „језик једначина“.