3. Měření momentu setrvačnosti metodou torzních kmitů

Úkoly:

a) určete direkční moment spirálové pružiny v přístroji k realizaci torzních kmitů;

b) určete moment setrvačnosti těles (koule, disku, válce, dutého válce, tyče) vůči dané ose otáčení výpočtem a metodou torzních kmitů;

c) určete moment setrvačnosti tělesa (kruhové desky), jejíž osa otáčení nepro-chází těžištěm (ověřte platnost Steinerovy věty);

Pomůcky

Světelná brána s čítačem, přístroj k realizaci torzních kmitů, tělesa různých tvarů (koule, disk, válec, dutý válec, tyč se dvěma závažími), deska s otvory, délkové měřidlo, posuvné měřítko, siloměr.

Princip měření

Základní rovnicí pro otáčení tuhého tělesa je druhá věta impulsová

dt

bdM

rr

= , (1)

kde br

je moment hybnosti tělesa, Mr

je výsledný moment vnějších sil působících na těleso (oba momenty vztahujeme k témuž bodu). Ze vztahu (1) plyne pro otáčení tuhého tělesa ko-lem pevné osy rovnice

( ) MJdt

d rr

=ω , (2)

v níž J je moment setrvačnosti tělesa vůči dané ose a ω úhlová rychlost otáčení. Z rovnice (2) vyplývá, že při otáčení charakterizuje vlastnosti tělesa fyzikální veličina moment setrvačnosti, obdobně jako hmotnost charakterizuje vlastnosti tělesa při posuvném pohybu. Z této analogie vyplývá důležitost měření momentu setrvačnosti při studiu otáčivého pohybu těles.

Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů, resp. tělesa se spojitě rozloženou hmotností, můžeme vypočítat následujícími způsoby: jestliže se tuhé těleso otáčí kolem osy okamžitou

Prostudujte doporučenou literaturu:

BROŽ, J. Základy fyzikálních měření. 1. vyd. Praha: SPN, 1983, čl. 2.2, 2.2.1, 2.2.2;

HLAVI ČKA, A. a kol. Fyzika pro pedagogické fakulty, 1. díl. 2. vyd. Praha: SPN, 1971, s. 178-180;

HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 1 – Mechanika. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2000, s. 109-115.

úhlovou rychlostí ω, přičemž jednotlivé elementy mi vzdálené od osy o r i mají okamžité rych-losti vi = r iω, získá těleso kinetickou energii

JrmvmW iiiiK2222

21

21

21 ωω === ∑∑ , (3)

kde veličina ∑ = Jrm ii2 je moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení.

Jestliže se jedná o těleso, jehož hmotnost je spojitě rozložená, pak moment setrvačnosti určí-me ze vztahu

∫= mrJ d2 , (4)

kde r je vzdálenost elementu o hmotnosti dm od osy otáčení.

Jak je známo, moment setrvačnosti závisí nejen na hmotnosti tělesa a jejím rozložení kolem osy, ale také na poloze osy. Moment setrvačnosti je symetrický tenzor druhého řádu, který je dán šesti nezávislými složkami. Jsou to momenty setrvačnosti vůči osám x, y, z, tj. Jxx, Jyy, Jzz a deviační momenty Jxx, Jyz, Jzx. Pro každý bod tuhého tělesa a samozřejmě též pro každou volbu soustavy souřadné mají složky momentu setrvačnosti jiné hodnoty.

V každém bodu tělesa existují nejméně tři navzájem kolmé osy (hlavní osy setrvačnosti), vůči kterým jsou deviační momenty nulové (hlavní momenty setrvačnosti). Má-li homogenní těle-so nějakou geometrickou osu symetrie, splývá tato osa s hlavní osou setrvačnosti.

Při konkrétních měřeních nás většinou zajímá určení momentu setrvačnosti vůči ose pevně dané v tělese. Nejmenší moment setrvačnosti J0 přísluší té ose, která prochází těžištěm tělesa. Vypočteme ho podle vztahu (2)

∫= mrJ d20 . (5)

Moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející bodem A, která je ve vzdále-nosti a od těžiště vypočítáme podle Steinerovy věty

20 maJJ += , (6)

kde J0 je moment setrvačnosti vůči ose, která prochází těžištěm rovnoběžně s danou osou a m je hmotnost celého tělesa.

Pro homogenní těleso jednoduchého geometrického tvaru je nejrychlejší a často také nejpřes-nější vypočítat moment setrvačnosti vůči dané ose přímo ze vzorce (5). Určení momentu setr-vačnosti se po vypočtení integrálu redukuje na zvážení tělesa a změření jeho rozměrů.

Postup měření

1) Nejprve určíme velikost direkčního momentu Dr

spirálové pružiny v přístroji pro realizaci torzních kmitů. Experimentální uspořádání je znázorněno na obr. 1.

Obr. 1

Do přístroje upevníme dlouhou tyč se dvěma závažími, která posuneme do určité vzdálenosti od osy otáčení (obr. 1). Je nezbytné, abychom tyč upevnili co nejpřesněji v její kolmé ose otáčení a zajistili, aby závaží byla umístěna symetricky vzhledem k ose otáčení.

Tyč se závažími otočíme o 180º (volíme např. kladný směr otáčení, tj. proti směru hodinových ručiček). Siloměrem, uchyceným do očka těsně za závažím, změříme sílu a výpočtem určíme moment síly M

r, kterým tyč udržíme v rovnovážné poloze. Při měření je nutné siloměr držet

tak, aby svíral pravý úhel s tyčí. Moment Mr

, který zkroutí pružinu o úhel ϕ, je v rovnováze s opačně namířeným momentem pružiny ZM

r, pro který v oblasti platnosti Hookeova zákona

platí

ϕDM z

rr−= . (7)

Konstantu úměrnosti Dr

nazýváme direkční moment (jednotka Nm/rad).

Měření provedeme stejným způsobem i pro záporný smysl otáčení a opakujeme ho stejným způsobem i pro nejméně dva další úhly (např. 360º a 540º, větší úhly nevolíme!!!), opět jak v kladném, tak v záporném směru otáčení. Abychom dosáhli co největší přesnosti, stejné mě-ření provedeme ještě alespoň pro dvě další vzdálenosti závaží od osy otáčení. Pro každou

vzdálenost tak získáme 6 hodnot momentů ZMr

, celkem tedy budeme mít 18 hodnot. Pro kaž-dý úhel stočení péra vypočteme průměrnou hodnotu ze zjištěných momentů.

Velikost direkčního momentu zjistíme tak, že sestrojíme graf závislosti Mz(ϕ). Grafem závis-losti proložíme regresní přímku a z regresních koeficientů zjistíme velikost konstanty úměr-nosti (direkčního momentu D) v jednotkách Nm/rad.

2) Určíme moment setrvačnosti těles (koule, disku, válce, dutého válce a tyče) vůči dané ose otáčení. Moment určíme nejprve výpočtem podle příslušného vzorce. Potřebné hodnoty určíme změřením těle-sa a jeho zvážením.

Měrně lze moment setrvačnosti tělesa vůči ose procházející těžištěm stanovit metodou torzních kmitů. Jednotlivá tělesa upevníme k přístroji tak, jak znázorněno na obr. 2.

Obr. 2

Před měřením je třeba ke každému tělesu připevnit papírovou značku, která při torzních kmi-tech protíná dráhu paprsku infračerveného světla (v klidové poloze musí značka tuto dráhu protínat, před začátkem měření je nutné tuto polohu pečlivě nastavit a před každým dalším měření ji znovu zkontrolovat!). Těleso vychýlíme o 180º a necháme torzně kmitat. Pomocí měřiče připojeného ke světelné bráně změříme dobu kyvu τ tělesa (polovina doby kmitu T). Toto měření opakujeme pětkrát v kladném a pětkrát v záporném smyslu otáčení tělesa.

Z pohybové rovnice tělesa (viz analogie s pohybovou rovnicí harmonického oscilátoru, ana-logické veličiny m ↔ J, K (tuhost pružiny) ↔ D (direkční moment))

02

2

=+ ϕϕJ

D

dt

d (8)

lze určit dobu kmitu

D

JT π2= . (9)

Odtud pak vypočteme moment setrvačnost J vůči zvolené ose otáčení. Získanou hodnotu momentu setrvačnosti tělesa porovnáme s hodnotou zjištěnou výpočtem. Měření provedeme stejným způsobem pro všechna další tělesa (u tyče provádíme měření bez závaží) .

3) Ověříme platnost vztahu (6) provedením měření podle obr. 3.

Obr. 3

Moment setrvačnosti J0 desky vypočteme ze vztahu (6). Platí pro něj

20 maJJ −= . (10)

Měření doby kmitu T kruhové desky provedeme stejným způsobem jako to bylo popsáno v bodě 2. Polohu osy měníme pomocí otvorů, které jsou od sebe vzdáleny vždy o stejnou hodnotu a. Ze vztahů (6) a (9) lze odvodit rovnici vztah mezi dobou kmitu T a vzdálenosti mezi otvory a

)(4 2

0

22 maJ

DT += π

. (11)

Steinerovu větu ověříme tak, že hodnotu získanou pro J0 z rovnice (6) srovnáme s hodnotou J0, vypočtenou z rovnice (11).

Úkoly:

Zjistěte z literatury vztahy pro určení momentů setrvačnosti těles vzhledem k vybraným osám. Zopakujte si, jak byste tyto vztahy odvodili.