3. Centru de Masă

8/16/2019 3. Centru de Masă

1/12

Centru de masăCentrul de masă sau centrul maselor este locaţia medie[necesită citare] atuturor maselor sistemului. În cazul unui corp solid, poziţia centrului maselor estedeterminată în raport cu acel corp. Folosirea centrului maselor permite adesea

simplificarea ecuaţiei de mişcare, fiind un punct de referinţă convenabil pentru calcululunor mărimi fizice, precum momentul cinetic sau momentul de inerţie. În multeaplicaţii, ca cele din astrodinamică, corpurile pot fi înlocuite, în scopul analizăriimişcării lor, prin masa lor aplicată în centrul maselor.

Termenul centrul maselor este adesea interschimbabil cu centrul de greutate, dar sunt concepte fizice diferite. ele două centre se suprapun într!unc"mp#ravitaţional uniform, de e$emplu pentru corpurile aflate la suprafaţa %ăm"ntului,deoarece %ăm"ntul este mult mai mare în raport cu corpurile, iar forţele#ravitaţionale pot fi considerate paralele.

Într!un c"mp #ravitaţional neuniform, centrul de greutate se referă la punctul în carese aplică rezultanta tuturor forţelor #ravitaţionale aplicate asupra corpului, iar celedouă centre nu se mai suprapun. &iferenţa este mică dar măsurabilă în ceea cepriveşte, de e$emplu, cuplul #ravitaţional care acţionează asupra sateliţilor artificiali.

'aricentrul se referă de asemenea la centrul maselor.[necesită citare]

În #eneral, centrul maselor unui corp nu corespunde cu centrul #eometric al acestuia,iar acest lucru este e$ploatat de către in#inerii proiectanţi de maşini de sport, făc"ndca centrul maselor să fie c"t mai (os posibil pentru ca maşina să fie c"t mai uşor manevrabilă. )n atlet care e$ecută săritura în înălţime în stilulFosbury Flop, îşi îndoaie corpul de aşa natură înc"t este posibil să şter#ă bara în timp ce centrul său

de masă nu.[*]

Definiţie

Centrul de masă al unui sistem de puncte materiale este punctul în raport cu care momentul static alsistemului este nul. %entru a!l afla ponderăm raza vectoare cu masa ei , sumăm pentru toatemasele sistemului şi divizăm cu masa între#ului sistem, obţinem+

În cazul mediilor continue av"nd densitatea şi masa totală , suma se transformă în inte#rală+

%roiecţiile vectorului de poziţie pe cele trei a$e furnizează coordonatele carteziene ale centrului de masă+

1

https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Loca%C8%9Bie_medie&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Citarea_surselorhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Citarea_surselorhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Mas%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Corphttps://ro.wikipedia.org/wiki/Solidhttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecua%C8%9Bie_de_mi%C8%99care&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Punct_de_referin%C8%9B%C4%83&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/M%C4%83rimi_fizicehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Moment_cinetichttps://ro.wikipedia.org/wiki/Moment_de_iner%C8%9Biehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Astrodinamic%C4%83https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Centru_de_greutate&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/C%C3%A2mp_gravita%C8%9Bionalhttps://ro.wikipedia.org/wiki/C%C3%A2mp_gravita%C8%9Bionalhttps://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83m%C3%A2nthttps://ro.wikipedia.org/wiki/For%C8%9B%C4%83_gravita%C8%9Bional%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/For%C8%9B%C4%83_gravita%C8%9Bional%C4%83https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuplu_gravita%C8%9Bional&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Satelit_artificialhttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Baricentru&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Citarea_surselorhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Citarea_surselorhttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Centru_geometric&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/S%C4%83ritura_%C3%AEn_%C3%AEn%C4%83l%C8%9Bimehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83#cite_note-1https://ro.wikipedia.org/wiki/Momentul_for%C8%9Beihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Momentul_for%C8%9Beihttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Sum%C4%83&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Mecanica_mediilor_continuehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Mecanica_mediilor_continuehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Coordonate_cartezienehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Coordonate_cartezienehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Citarea_surselorhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Mas%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Corphttps://ro.wikipedia.org/wiki/Solidhttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Ecua%C8%9Bie_de_mi%C8%99care&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Punct_de_referin%C8%9B%C4%83&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/M%C4%83rimi_fizicehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Moment_cinetichttps://ro.wikipedia.org/wiki/Moment_de_iner%C8%9Biehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Astrodinamic%C4%83https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Centru_de_greutate&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/C%C3%A2mp_gravita%C8%9Bionalhttps://ro.wikipedia.org/wiki/C%C3%A2mp_gravita%C8%9Bionalhttps://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83m%C3%A2nthttps://ro.wikipedia.org/wiki/For%C8%9B%C4%83_gravita%C8%9Bional%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/For%C8%9B%C4%83_gravita%C8%9Bional%C4%83https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Cuplu_gravita%C8%9Bional&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Satelit_artificialhttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Baricentru&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Citarea_surselorhttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Centru_geometric&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/S%C4%83ritura_%C3%AEn_%C3%AEn%C4%83l%C8%9Bimehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83#cite_note-1https://ro.wikipedia.org/wiki/Momentul_for%C8%9Beihttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Sum%C4%83&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Mecanica_mediilor_continuehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Coordonate_cartezienehttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Loca%C8%9Bie_medie&action=edit&redlink=1


2/12

&acă un corp este omo#en, el are aceeaşi densitate, iar centrul maselor corespunde cu centrul lui#eometric.

Exemple

• entrul de masă a două particule se află pe dreapta care lea#ă centrele lor de masă. entrulde masă se află mai aproape de particula mai #rea.

•

entrul de masă al unui inel cu densitate uniformă se află în centrul inelului, indiferent dematerialul din care este alcătuit.

• entrul de masă al unui triun#hi solid omo#en se află la intersecţia medianelor triun#hiului,care de altfel este şi media celor trei v"rfuri.

• entru de masă al unui dreptun#hi omo#en se află la intersecţia dia#onalelor.

• Într!un corp cu simetrie sferică, centrul de masă se află în centrul #eometric.[] -cest lucru seaplică în mod apro$imativ %ăm"ntului, deoarece densitatea variază considerabil, dar în ad"ncime şi maipuţin în latitudine şi lon#itudine.

• ai #eneral, dacă un corp are un plan de simetrie, centrul maselor se află în acel plan desimetrie. &acă un corp are o a$ă de simetrie, centrul maselor se află pe a$a de simetrie, iar dacă un corpare un centru de simetrie, centrul maselor se află în acel centru de simetrie.

Istoric

onceptul centrului de masă a fost introdus pentru prima dată de fizicianul şi

matematicianul #rec -rhimede. /l a arătat că momentul e$ercitat pe o p"r#hiede mai

multe #reutăţi aflate la diferite distanţe de!a lun#ul ei, este acelaşi cu momentul dat detoate #reutăţile mutate într!un sin#ur punct, centrul lor de masă. În lucrarea Despre

Corpurile Plutitoare el a demonstrat că orientarea corpului plutitor este de aşa natură

înc"t face ca centrul de masă să fie c"t mai (os posibil. - dezvoltat tehnica

matematică de #ăsire a centrului de masă al corpurilor cu densitate uniformă av"nd

diverse forme, în particular pentru triun#hi,emisferă şi pentru trunchiul unui paraboloid

circular .

0e#ea a doua a lui 1e2ton este refomulată în ceea ce priveşte centrul de masă din

prima le#e a lui /uler .

2

https://ro.wikipedia.org/wiki/Mediu_omogenhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Mediu_omogenhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Mediu_omogenhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Densitatehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Median%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Median%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Simetriehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83#cite_note-2https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83m%C3%A2nthttps://ro.wikipedia.org/wiki/Latitudinehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Longitudinehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Longitudinehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Longitudinehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Arhimedehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Momentul_for%C8%9Beihttps://ro.wikipedia.org/wiki/P%C3%A2rghiehttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Despre_Corpurile_Plutitoare&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Despre_Corpurile_Plutitoare&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Triunghihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Sfer%C4%83https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Trunchi&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Paraboloid_circular&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Paraboloid_circular&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Legile_lui_Newton#Principiul_al_II-lea_al_mecaniciihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Mediu_omogenhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Densitatehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Median%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Simetriehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83#cite_note-2https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83m%C3%A2nthttps://ro.wikipedia.org/wiki/Latitudinehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Longitudinehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Arhimedehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Momentul_for%C8%9Beihttps://ro.wikipedia.org/wiki/P%C3%A2rghiehttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Despre_Corpurile_Plutitoare&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Despre_Corpurile_Plutitoare&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Triunghihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Sfer%C4%83https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Trunchi&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Paraboloid_circular&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Paraboloid_circular&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Legile_lui_Newton#Principiul_al_II-lea_al_mecaniciihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler


3/12

Provenienţa centrului de masă

În următoarele ecuaţii de mişcare se presupune că e$istă un sistem de particule

#uvernate de forţe interne şi e$terne. Forţele interioare sunt cauzate de interacţiunea

particulelor din interiorul sistemului, iar forţele e$terioare sunt forţe care îşi au ori#inea

în afara sistemului, dar interacţionează cu particulele din interiorul sistemului. Forţelee$terioare nu apar neapărat datorită unui c"mp uniform sau dintr!un potenţial de forţe.

%entru orice sistem în care nu e$istă forţe e$terne, centrul de masă se mişcă cu

viteză constantă. -cest lucru este valabil pentru toate sistemele cu forţe clasice

interne, c"mp electric, c"mp ma#netic, reacţii chimice, etc. ai precis, acest lucru

este adevărat pentru orice forţe interne care satisfac le#ea a 333!a a lui 1e2ton

4sisteme nedeformabile5.

3mpulsul total pentru orice sistem de particule este dat de+

în care M este masa totală, iar vcm este viteza centrului de masă. 6iteza poate fi

calculată lu"nd derivata funcţie de timp a poziţiei centrului de masă.

7 forţă analoa#ă le#ii a 33!a a lui 1e2ton este+

în care F este suma tuturor forţelor e$terne aplicate sistemului, iar acm este acceleraţiacentrului de masă.

Fie forţa internă a sistemului e#ală cu+

în care ete masa totală a sistemului, iar un vector care încă nu este definit.

&eoarece iar atunci

8e obţine deci o definiţie vectorială a centrului de masă în funcţie de forţa totală din

sistem. -ceastă formă este folositoare pentru problema celor două corpuri.

/ste lo#ic să cerem ca, pentru orice sistem de mase, centrul de masă să se afle în

interiorul înfăşurătoarei conve$e a sistemului. În particular, pentru două particule

punctiforme, centrul de masă se află pe se#mentul care lea#ă v"rfurile

vectorilor r * şi r . 9eometric, R ! r * : k 4r ! R5 pentru o anumită valoare a constantei k .

0u"nd distanţele în ambele părţi ale ecuaţiei, obţinem d * : kd , în care d * este distanţade la centrul de masă la corpului *, iar d este distanţa de la centrul de masă la

3

https://ro.wikipedia.org/wiki/Legile_lui_Newton#_Principiul_al_III-lea_al_mecaniciihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Legile_lui_Newton#_Principiul_al_II-lea_al_mecaniciihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Legile_lui_Newton#_Principiul_al_III-lea_al_mecaniciihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Legile_lui_Newton#_Principiul_al_II-lea_al_mecanicii


4/12

corpului . onstanta k va depinde numai de masele m* şi m şi vom e$amina natura

acestei dependenţe.

%resupunem că masa totală M este diferită de zero. /ste clar că dacă m : ;, centrul

de masă coincide cu cel al corpului *, iar d * : ;. -ceasta înseamnă că d : D,

iar m* : M . 8imetria cere ca relaţia să răm"nă adevărată dacă schimbăm corpul * cucorpul .

el mai simplu model care satisface cerinţele de mai sus este un model liniar, în

care d * : 4D


5/12

Proprietăţi ale centrului de masă

entrul de masă este punctul #eometric asociat sistemului în care se consideră

concentrată toată masa acestuia, fiind deci util în descrierea mişcării #lobale asistemului+

• 3mpulsul total al sistemului este e#al cu masa sistemului înmulţită cu viteza

centrului de masă+

• @ezultanta forţelor e$terne care acţionează asupra sistemului este e#ală

cu masa sistemului înmulţită cu acceleraţia centrului de masă+

• omentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan

este e#al cu produsul dintre masa sistemului şi distanţa centrului de masă la acel

plan+

• &acă sistemul de puncte materiale are un plan, o a$ă sau un centru de

simetrie, centrul de masă se află în acel plan, pe acea a$ă sau în acel centru.

Demonstraţie. %resupun"nd că sistemul admite planul ca plan de simetrie,

oricărui punct de masă îi corespunde un punct de

aceeaşi masă um rezultă deci centrul de masă se

află în planul

&acă se presupune că sistemul admite a$a ca a$ă de simetrie, atunci unui punct

de masă îi corespunde totdeauna un punct de

aceeaşi masă um rezultă

deci centrul de masă se află pe a$a

5

https://ro.wikipedia.org/wiki/Mas%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Impulshttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Moment_static&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Mas%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Impulshttps://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Moment_static&action=edit&redlink=1


6/12


7/12

@eferitor la sistemele şi se poate scrie conform 4A.B5 şi 4A.C5+

%entru între# sistemul se obţine+

Observaţie. %roprietăţile centrului de masă prezentate pentru sisteme de puncte

materiale sunt valabile şi în cazul sistemelor de corpuri omo#ene.

Rotaţia şi centrul de masă

&ia#ramă educatională cu un pendul în balans. al punctului 4%5 se află mai (os faţă de

punctul de spri(in. 7rice obiect al cărui este mai (os faţă de punctul de spri(in nu se va

răsturna.

7


8/12

-rtificiul scaunului suspendat face uz de centrul de masă al corpului uman care se află

surprinzător de sus, şi anume, este situat în faţavertebrei sacrale.

entrul maselor numit adesea şi centrul de greutate datorită c"mpului #ravitaţional

uniform g care acţionează asupra sistemului ca şi c"nd masa M a sistemului se află

concentrată în centru de masă R. -cest lucru este văzut cel puţin în două feluri+

• /ner#ia potenţială a unui sistem este e#ală cu ener#ia potenţială a unei

particule care are aceeaşi masă M localizată în R.

• omentul #ravitaţional al unui sistem e#alează momentul unei

forţe M g care acţionează în R+

&acă c"mpul #ravitaţional care acţionează asupra unui corp nu este uniform, atunci

centrul de masă nu are neapărat această proprietate convenabilă în ceea ce priveşte

#ravitaţia. -ceastă situaţie a fost e$primată deFeDnman în celebra sa carte The

Feynman ectures on Physics+[?]

!Centrul de masă este c"teodată numit centrul de greutate# pentru motivul că# $n multeca%uri# gravitaţia poate &i considerată uni&ormă. ...'n ca%ul $n care obiectul este a(a demare $nc"t neparalelismul &orţelor gravitaţionale este semni&icativ# atunci centrul $n caretrebuie aplicată &orţa de echilibru nu este simplu de descris# el depărt"ndu)se u(or de

centrul de masă. *ată de ce trebuie să &acem distincţie $ntre centrul de masă (i centrul degreutate.+

hiar şi atunci c"nd se analizează forţele mareice de pe planetă, este suficient să

folosim centrul de masă pentru a #ăsi mişcarea #lobală. În cazul c"mpurilor

neuniforme va trebui să vorbim de centrul de masă şi nu de centrul de #reutate.[E]

Inginerie

Semnificaţia în aeronautică

entrul de masă este un punct important de pe avion, deoarece îi afectează în mod

semnificativ stabilitatea, pentru că în timpul zborului centrul de masă variază în funcţie

de consumul de combustibil. %entru a fi si#uri că avionul este suficient de stabil şi

si#ur pentru zbor, centrul de masă trebuie să varieze în anumite limite specificate,

limite care sunt diferite de la avion la avion.

&e re#ulă, pentru avioane cu aripi fi$e, acestea sunt centrate în (urul unui punct aflat

la un sfert din coarda aripii faţă de bordul ei de atac, numit focarul aripii. &acă centrul

de masă se află în faţa acestui punct, avionul are o manevrabilitate scăzută şi esteposibil ca la decolare sau aterizare să nu se înalţe de bot. &acă centrul de masă se

8

https://ro.wikipedia.org/wiki/Vertebr%C4%83#Caractere_regionale_ale_vertebrelorhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Energie_poten%C8%9Bial%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Momentul_for%C8%9Beihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynmanhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83#cite_note-3https://ro.wikipedia.org/wiki/Mareehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83#cite_note-4https://ro.wikipedia.org/wiki/Avionhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Vertebr%C4%83#Caractere_regionale_ale_vertebrelorhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Energie_poten%C8%9Bial%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Momentul_for%C8%9Beihttps://ro.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynmanhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83#cite_note-3https://ro.wikipedia.org/wiki/Mareehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Centru_de_mas%C4%83#cite_note-4https://ro.wikipedia.org/wiki/Avion


9/12

află în spatele acestui punct, atunci el este uşor manevrabil, dar şi instabil, iar dacă se

află mult în spatele focarului să!l pună în imposibilitatea de a zbura.

%entru elicoptere în planare, centrul de masă se află întotdeauna sub rotor. %entru

zborul de înaintare, centrul de masă se va muta spre spate pentru a echilibra

momentul ne#ativ de tan#a( prin aplicarea controlului ciclic pentru propulsiaelicopterului înainte în consecinţă un elicopter de croazieră va zbura cunasul $n ,os.

Baricentrul în astronomie şi astrofizică

işcarea baricentrului sistemului solar în raport cu 8oarele.

Baricentrul 4din #reacă -/01234/53 5 este punctul dintre două corpuri în care se

echilibrează unul pe altul. &e e$emplu, este centrul de masă a două sau mai multe

corpuri cereşti în (urul căruia #ravitează. "nd un satelit natural #ravitează în (urul

unei planete, sau o planetă în (urul unei stele, ambele corpuri #ravitează de fapt în (urul unui punct care se află între cele două centre de masă şi mai aproape de corpul

mai mare. &e e$emplu, 0una nu #ravitează e$act în (urul centrului %ăm"ntului, ci în

(urul unui punct care lea#ă cele două centre de masă aflat la apro$imativ *B*; Gm sub

scoarţa %ăm"ntului, punct în care cele două mase se echilibrează.

'aricentrul este unul din focarele orbitei eliptice a fiecărui corp. -cesta este un

concept important în domeniul astronomiei, astrofizicii, ca şi în problema celor două

corpuri.

9

https://ro.wikipedia.org/wiki/Elicopterhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Tangajhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Limba_greac%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Orbit%C4%83_(astronomie)https://ro.wikipedia.org/wiki/Astronomiehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Astrofizic%C4%83https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_celor_dou%C4%83_corpuri&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_celor_dou%C4%83_corpuri&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/wiki/Elicopterhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Tangajhttps://ro.wikipedia.org/wiki/Limba_greac%C4%83https://ro.wikipedia.org/wiki/Orbit%C4%83_(astronomie)https://ro.wikipedia.org/wiki/Astronomiehttps://ro.wikipedia.org/wiki/Astrofizic%C4%83https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_celor_dou%C4%83_corpuri&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Problema_celor_dou%C4%83_corpuri&action=edit&redlink=1


10/12

În problema celor două corpuri, r * distanţa de la centrul maselor la primul corp este

dată de formula+

în care+

a este distanţa dintre cele două centre ale corpurilor, iar

m* şi m sunt masele celor două corpuri.

r * este în esenţă semi!a$a mare a orbitei primului corp în (urul baricentrului H

iar r :a = r * este semi!a$a mare a orbitei celui de al doilea corp. &acă baricentrul se

află localizat în interiorul celui mai masiv corp, mişcarea lui apare mai de #rabă ca

o oscilaţie dec"t ca o mişcare pe orbită.

ocul centrului de masă

Al unui obiect în formă de L

-ceasta este una din metodele de determinare a centrului de masă al obiectelor în

formă de 0.

*. 8e împarte forma în două dreptun#hiuri 4fi#ura 5. 8e caută centrul de

masă al dreptun#hiurilor prin trasarea dia#onalelor. 8e trasează dreapta care uneştecele două centre de masă. entrul de masă al formei 0 trebuie să fie pe linia -'.

. 8e împarte forma în alte două dreptun#hiuri 4fi#ura ?5. 8e caută centrul de

masă al dreptun#hiurilor prin trasarea dia#onalelor. 8e trasează dreapta care uneşte

cele două centre de masă. entrul de masă al formei 0 trebuie să fie pe linia &.

?. entrul de masă al formei 0 se află la intersecţia celor două drepre -' şi

&, în punctul 7. %unctul 7 poate să cadă sau nu în interiorul formei 0.

Al unei forme compuse

10


11/12

-ceastă metodă este folositoare c"nd se doreşte aflarea centrului #eometric sau al

centrului de masă al unui obiect care poate fi uşor împărţit în forme elementare ale

căror centre de masă pot fi #ăsite uşor 4vezi ista centrelor geometrice5. Înt"i va fi

#ăsit centrul de masă pe direcţia 6 şi apoi pe direcţia y prin acelaşi procedeu.

Forma este uşor

de divizat într!un pătrat, triun#hi şi cerc. &e notat că cercul va avea arie ne#ativă.

&in 0ista centrelor #eometrice se notează coordonatele

individuale ale centrului de masă al fiecărei fi#uri.

8e calculează centru de masă pe

direcţia 6 + unităţi.

3nte#raf

11

https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Lista_centrelor_geometrice&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Lista_centrelor_geometrice&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Lista_centrelor_geometrice&action=edit&redlink=1https://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Lista_centrelor_geometrice&action=edit&redlink=1


12/12

entru de masă se află la distanţa de C.A unităţi faţă de colţul din st"n#a!(os al fi#urii.

Blibliografie

• 6oinea, @adu &umitru 6oiculescu, Florian!%aul 8imion

4*ICI5. *ntroducere $n mecanica solidului cu aplicaţii $n inginerie. /ditura

-cademiei @epublicii 8ocialiste @om"nia

• FeDnman, @ichard @obert 0ei#hton, atthe2 8ands 4*IJ?5. The

Feynman ectures on Physics. -ddison KesleD.

• 9oldstein, Lerbert harles %oole, Mohn 8afGo 4;;5. Classical

Mechanics 4ed. ?e5. -ddison KesleD.

• Nleppner, &aniel @obert NolenGo2 4*IB?5. 7n *ntroduction to

Mechanics 4ed. e5. c9ra2!Lill.

• arion, MerrD 8tephen Thornton 4*IIA5. Classical Dynamics o& Particles

and 8ystems 4ed. Ee5. Larcourt.

• urraD, arl 8tanleD &ermott 4*III5. 8olar 8ystem Dynamics. ambrid#e

)%.

• 8er2aD, @aDmond -. Me2ett, Mohn K. 4;;E5. Physics &or 8cientists and

9ngineers :;th ed.

Documents

3. Centru de Masă