Função Logaritmo - Teoria Definição: O logaritmo de um número real positivo x, na base {}1IRa −∈ ∗

+ , é o número real y tal que ay = x., equivalentemente podemos escrever xlogy a= .

Resumindo temos:

{ } { }1IRa,xlogy1IRa,xa *a

*y −∈=⇔−∈= ++ . Ex.1:

.7128log1282

.38log82

27

23

=⇔=

=⇔=

Usando que a função exponencial é uma função injetora temos que a relação logaritmo na base a, definida acima, é uma

função, então defino a função logaritmo na base a:

( ) { }.1IRa,xlogxfx

IRIR:f

a −∈=

→∗+

∗+

a.

Repare que ∗

+= IRDf e RIm f = , o número real positivo x é chamado logaritmando. Decorre da definição que a função logaritmo na base a é a função inversa da função exponencial na base a, então o

gráfico da função logaritmo na base a é o simétrico do gráfico da função exponencial na base a em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares, ou seja, a reta y = x.

,

Sistema de logaritmos na base a é o conjunto dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a. Os sistemas mais usados são o sistema decimal e o sistema neperiano. Sistema decimal (base 10) os logaritmos são representados simplesmente por log x em vez de log10 x.

Sistema neperiano a base é o número irracional e definido por:

.17,2n11n

limen

≈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∞+=

Os logaritmos são representados simplesmente por l n x. Propriedades: (P 1) f (1) = 0. Por simplicidade vamos supor que os logaritmos utilizados abaixo estão bem definidos. (P 2) A função logaritmo é injetora, ou seja:

2a1a21 xlogxlogxx =⇔= .

Ex.2:

] [

{ }.9SD9x9logxlog2xlog:Equação

.,0D0x:Domíno2xlog

333

3

=⇒∈=⇔=⇔=

∞=⇔>=

Ex.3:

( )

( ) .2

17SD2

17x161x216log1x2log

:Equação

,21D

21x01x2:Domíno

41x2log

22

2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=⇒∈=⇔=−⇔=−

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞=⇔>⇔>−

=−

Ex.4:

( )

( ) { }.1SD1x01x2x1x2x1x2logxlog

:Equação

.,21D

21x

0x

01x20x

:Domínio1x2logxlog

222

2

2

=⇒∈=⇔=+−⇔−=⇔−=

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞=⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

>

≠⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−>

−=

Ex.4: (AFA) O conjunto-solução da equação 2)2x(log 2

2x =+− é (A) ∅ (B) {x ∈ IR ⏐ x > 3} (C) {x ∈ IR ⏐ 2 < x < 3} (D) {x ∈ IR ⏐ x > 2 e x ≠ 3}. Solução:

( )] [ ] [

( ) ( ) { }.SD0x0x84x4x4x4x2x2x2)2x(log

:Equação

.,33,2D3x2x

2x

12x02x

02x

:Domínio

222222x

2

=⇒∉=⇔=⇔+−=++⇔−=+⇔=+

∞∪=⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠>−≠

⇔⎪⎩

⎪⎨

⎧

≠−>−>+

−

Opção (A) (P 3) Se a > 1 função logaritmo é estritamente crescente, ou seja:

x1 > x2 ⇔ 2a1a xlogxlog > .

(P 4) Se 0 < a < 1 função logaritmo é estritamente decrescente, ou seja:

x1 > x2 ⇔ 2a1a xlogxlog < . Ex.5:

( ) ( )

( ) ( ) [ [ [ [.,3,21,3S3x6x251x25log1x2log

:Equação

.,21D

21x01x2

:Domínio5log1x2log

dedesigualdadaalsinoPermanece)Crescente(2basedelExponenciaFunção

22

22

∞=⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞∩∞=⇒≥⇔≥⇔≥−⇔≥−

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞=⇔>⇔>−

≥−

4444444 34444444 21

Ex.6: ( )

] [

( ) ] [ ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞=∞∩⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞=⇒>⇔>−⇔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛>−⇔<−

∞=⇔>⇔>−

<−

−

,9

10,1,9

10S9

10x911x

311x21xlog

:Equação.,1D1x01x

:Domínio

21xlog

dedesigualdadaalsinoseAltera)eDecrescent(

31basedelExponenciaFunção

2

31

31

444444 3444444 21

Ex.7:

(09) (AFA 2000) Se b = 2 12xx 2 ++− , então o número de soluções inteiras que satisfaz a inequação logb ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

43log

75

b é:

(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7. Solução:

] [ { }.3,2,1,0,1,2ZS4,3S

4x3012xx221201b43log

75log

43

75

dedesigualdadaalsinoanece)Crescente(2basedelExponenciaFunção

2012xx12xx

crescentearitmologFunção

bb22

−−=∩⇒−=⇒

<<−⇔>++−⇔>⇔><⇔>⇔<⇔< ++−++−4444444 34444444 21

4444444 34444444 21

Opção (C) Obs.: xa xloga = .

.xaobtemosigualdadeúltimanaydevalorodoSubstituin

.xaxlogytemosaritmologdedefiniçãoaUsando

.alogySeja

xlog

ya

x

a =

=⇔=

=

(P 6) Logaritmo do Produto:

ylogxlogxylog aaa += . Demonstração:

.ylogxlogxylog

nmxylogaxyaaaxyay

axnylogmxlog

Sejam

aaa

anmnmnm

n

m

a

a

+=

⇔+=⇔=⇒==⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

== ++

(P 7) Logaritmo do Quociente:

ylogxlogyxlog aaa −= .

Demonstração:

.ylogxlogyxlog

nmyxloga

yxa

aa

yx

ay

axnylogmxlog

Sejam

aaa

anmnm

n

m

n

m

a

a

−=

⇔−=⇔=⇒==⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

== −−

(P 8) Logaritmo da Potência:

IRn,xlognxlog an

a ∈= . Demonstração:

( ) .xlognxlogynxlogalogxlogaxaxax

:então,yxlogSeja

an

an

ayn

an

aynnnyny

a

=⇔=⇔=⇔=⇔=⇔=

=

(P 9) Potência da Base

.IRn,xlogn1xlog aan

∗∈=

Demonstração:

( ) ( ) .xlogn1xlogyxlognyxlogaxaxax

:então,yxlogSeja

aaan

aynnnyny

a

nn =⇔=⇔=⇔=⇔=⇔=

=

(P 10) Mudança de base

alogblogblog

c

ca = .

Demonstração:

.alogblog

blognmclog

n1mclogblog

ca

cbnalogmblog

c

cac

mcan

m

c

cn =⇔===⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇔

⎩⎨⎧

==

Definição: O Anti-logaritmo na base a é definido por:

xylogantiyxlog aa =⇔= . Ex.8:

.1253loganti3125log 55 =⇔= Definição: O Cologaritmo na base a é definido por:

xlogxlogco aa −= . Ex.9:

.481logco481log 33 −=⇔=

Ex.10: (ITA) Considere a equação em x ax+1 = b1/x onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2ln a > 0. A soma das soluções da equação é (A) 0. (B) –1. (C) 1. (D) ln 2. (E) 2. Solução:

( ) ( )

.1Soma2x

ou1'x

0x,2xxx21x

0alnpois,x21xaln2

x1aln1xbln

x1aln1xblnalnba

2

x1

1xx1

1x

−=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

=⇔≠=+⇔=+

>=+⇔=+⇔=+⇔=⇔= ++

Opção (B) Ex.11: (ITA) Seja S o conjunto de todas as soluções reais da equação log1/4 (x + 1) = log4 (x – 1). Então: (A) S é um conjunto unitário e S ⊂ ] 2, + ∞ [; (B) S é um conjunto unitário e S ⊂ ] 1, 2 [; (C) S possui dois elementos distintos e S ⊂ ] –2, 2 [; (D) S possui dois elementos distintos e S ⊂ ] 1, +∞ [; (E) S é o conjunto vazio. Solução:

] [

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

{ }.2S

D2x

ouD2x

011x01xlog01x1xlog01xlog1xlog

1xlog1xlog1xlog1xlog1xlog1xlog:Equação

,1D1x

1x01x01x:Domíno

224444

4444441 1

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∉−=

∈=⇔=−⇔=−⇔=−+⇔=−++

⇔−=+−⇔−=+⇔−=+

∞=⇔⎩⎨⎧

>−>

⇔⎩⎨⎧

>−>+

−

Opção (B)

Ex.12: (AFA) Se a função real f é definida por f(x) = log3 (3x + 4) − log3 (2x −1) , então o conjunto de valores de x para os quais f(x) < 1 é

(A)⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

>∈37xIRx

(B) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<∈21xIRx

(C) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

><∈37xou

21xIRx

(D) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

<<∈37x

21IRx

Solução:

( ) ( ) ( )

.,37SD,

37

21,S

37x

ou

x21

01x27x303

1x24x3

31x24x33log1

1x24x3log11x2log4x3log1xf

:Inequação

,21D

21x

21x

34x

01x204x3

:Domínio

3333

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞=⇒∩⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞∪⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ ∞−=⇒

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

>

⇔<−+−

⇔<−−+

⇔<−+

⇔=<−+

⇔<−−+⇔<

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞=⇔>⇔

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

−>⇔

⎩⎨⎧

>−>+

Opção (A) (13) (AFA) Num certo dia, a temperatura ambiente era de 40°C. A água que fervia em uma panela, cinco minutos depois de apagado o fogo tinha a temperatura de 70°C. Pela lei de resfriamento de Newton, a diferença de temperatura D entre um objeto e o meio que o contém é dada por ta

0 e.DD(t) −= , em que 0D é a diferença de temperatura no instante 0t = e D(t) a diferença num instante t qualquer. Sabendo-se que a temperatura de ebulição da água é de 100°C, 0,72n =l e 1,65n =l , pode-se dizer que a água atingirá a temperatura de 46°C: (A) 10 minutos após o fogo ter sido apagado. (B) entre 18 e 20 minutos após o fogo ter sido apagado. (C) exatamente 30 minutos após o fogo ter sido apagado. (D) aproximadamente 16 minutos após apagado o fogo.

Solução:

( )( )

( )

( )

.seg26min16tmin42,16t7,0

6,17,052ln

5ln2ln52ln10ln5t

2ln5t10ln2ln

5t

101lne

101e6066tD

.e60tD

.2ln51a

21lna5

21ee6030eD5D

C30C40C705D

C60C40C100D

2ln5t2ln

5t

1

2ln5t

a5a5a50000

0000

=⇒=⇒+

=+

==

⇔=⇔−=⇔=⇔=⇒=

=

=⇔=−⇔=⇔=⇔=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=

=−=

−−

−

−−−

Opção (D)