Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra

Topologia e Analise Linear

Ano lectivo 2014/2015 Folha 2

19. Prove que, se x ∈ B(x0, r), existe s > 0 tal que B(x, s) ⊆ B(x0, r).

20. Prove que, se x = x′, existem r, r′ > 0 tais que B(x, r) ∩B(x′, r′) = ∅.

21. Prove que B(x, r) ∩B(x, r′) = B(x,min{r, r′}).

22. Prove que, sendo x∈Rn e r>0, e sendo B(x, r), B∞(x, r) e B1(x, r) as bolas abertas de centrox e raio r referentes a metrica usual e as metricas dos exs. 8 e 9, respectivamente, se tem

(a) B∞(x,1√nr) ⊂ B(x, r) ⊂ B∞(x, r)

(b) B1(x, r) ⊂ B(x, r) ⊂ B1(x,√n r) (ver ex. 10)

23. Descreva as bolas abertas para cada uma das metricas encontradas nos ex. 5 a 9.

24. No espaco metrico C[0, 1] com a metrica vista no ex. 11 considere as funcoes f e g definidaspor f(t) = 0 e g(t) = t. De uma ideia geometrica da regiao de R2 onde se situam os graficosdas funcoes que pertencem a B(f, 1) e a B(g, 1).

25. Sendo M um espaco metrico, prove que ∅ e M sao abertos e fechados.

26. Prove que: (a) Uma bola aberta e um conjunto aberto.(b) Uma bola fechada e um conjunto fechado.

27. Verifique se os seguintes conjuntos sao abertos em R2 para a metrica usual:

(a) ]0, 1[×]0, 1[; (b) [0, 1[×]0, 1[; (c) {(x, y) : x>0}∪{(0, 0)}; (d) {( 1n , 0) : n ∈ N};

(e) {(x, y) : x =y}; (f) {(x, 0) : 0 ≤ x < 1}; (g) {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}; (h) R2\Z2.

28. Prove que um conjunto e aberto se e so se for uma reuniao de bolas abertas.

29. Prove que:

(a) Qualquer reuniao de conjuntos abertos e um conjunto aberto.

(b) Qualquer interseccao de um numero finito de conjuntos abertos e um conjunto aberto.

(c) Uma interseccao arbitraria de conjuntos abertos nao e necessariamente um conjunto aberto.

30. Prove que:

(a) Qualquer interseccao de conjuntos fechados e um conjunto fechado.

(b) Qualquer reuniao de um numero finito de conjuntos fechados e um conjunto fechado.

(c) Uma reuniao arbitraria de conjuntos fechados nao e necessariamente um conjunto fechado.

31. Prove que os subconjuntos abertos de Rn relativamente a metrica usual, a metrica do ex. 8 ea metrica do ex. 9 sao precisamente os mesmos (ver ex. 22).

32. Sendo M ′ e M ′′ espacos metricos, prove que os subconjuntos abertos de M ′×M ′′ relativamenteas tres metricas do ex. 18 sao precisamente os mesmos.

33. Seja S um subespaco de um espaco metrico M . Prove que:

(a) Se A for um subconjunto aberto de M entao A ∩ S e aberto em S.

(b) Reciprocamente, se A1 for um subconjunto aberto de S existe A aberto em M tal queA ∩ S = A1.

34. Seja S um subespaco de um espaco metrico M . Prove que e condicao necessaria e suficientepara que qualquer subconjunto de S aberto em S seja aberto em M que S seja aberto em M .

35. Determine int(A), ext(A), A, fr(A) e A′ para cada um dos conjuntos do ex. 27.

36. Prove que:

(a) int(A) ⊆ A.

(b) int(A) e aberto.

(c) int(A) e a reuniao de todos os conjuntos abertos contidos em A.

(d) int(A) e o maior conjunto aberto contido em A.

(e) A ⊆ B ⇒ int(A) ⊆ int(B).

(f) int(A ∩B) = int(A) ∩ int(B).

(g) int(A ∪B) ⊇ int(A) ∪ int(B).

37. Prove que: (a) M=int(A) ∪ fr(A) ∪ ext(A); (b) int(A) ⊆ M \ext(A); (c) A=M \ext(A).

38. Prove que:

(a) A ⊆ A.

(b) A e fechado.

(c) A e a interseccao de todos os conjuntos fechados que contem A.

(d) A e o menor conjunto fechado que contem A.

(e) A ⊆ B ⇒ A ⊆ B.

(f) A ∪B = A ∪B.

(g) A ∩B ⊆ A ∩B.

39. Prove que:

(a) A e aberto se e so se A = int(A).

(b) A e fechado se e so se A = A.

40. Prove que:

(a) fr(A) = A \ int(A).(b) fr(A) e um conjunto fechado.

(c) A = A ∪ fr(A).

(d) A e fechado se e so se contiver fr(A).

(e) A = A ∪A′.

(f) A e fechado se e so se contiver A′.

41. Prove que fr(A) = ∅ se e so se A for simultaneamente aberto e fechado.

42. Prove que um conjunto com um numero finito de elementos e sempre fechado.

43. Prove que o fecho de B(x, r) nao e necessariamente B(x, r).

44. Prove que todos os subconjuntos de um espaco metrico discreto sao abertos e fechados.