25.1

25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU

25.1. Pojęcia wstępne. Klasyfikacja równań i rozwiązań

Rozróżniamy dwa zasadnicze typy równań różniczkowych: równania

różniczkowe zwyczajne i równania różniczkowe cząstkowe.

Równanie różniczkowe zwyczajne zawiera tylko jedną zmienną

niezależną, nieznaną funkcję tej zmiennej oraz jej pochodne, np.

y’+y tgx=sinx

Równanie różniczkowe cząstkowe zawiera kilka zmiennych niezależnych

oraz (nieznaną) funkcję tych zmiennych i jej pochodne cząstkowe, np.

0=−∂∂

−∂∂ z

yzy

xzx ;

w tym równaniu x i y są to zmienne niezależne, a z=z(x, y) jest funkcją

zmiennych x i y.

Tutaj będziemy mówić o równaniach różniczkowych zwyczajnych.

25.2

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie, w którym

niewiadomą jest funkcja y jednej zmiennej x i w którym występują

pochodne y', y", ..., yM tej funkcji. Równanie różniczkowe możemy zapisać

w postaci

0=),...,'',',,( )( nyyyyxf

Rzędem równania różniczkowego nazywamy najwyższy rząd

pochodnej funkcji niewiadomej występującej w równaniu różniczkowym.

Na przykład równanie

02 =+ yyx '

jest rzędu pierwszego, równanie

xyyxy '

ln''' =

jest rzędu drugiego, a równanie xeyy 3=+'''

jest rzędu trzeciego.

Całką lub rozwiązaniem równania różniczkowego rzędu n

0=),...,'',',,( )( nyyyyxf

nazywamy każdą funkcję φ(x), która ma pochodne do rzędu n włącznie

i która spełnia to równanie w rozpatrywanym przedziale wartości zmiennej

niezależnej, tzn. taką funkcję φ(x), że

0=))(),...,(''),('),(,( )( xxxxxf nϕϕϕϕ

dla wszystkich x z tego przedziału.

Wykres całki równania różniczkowego nazywamy krzywą całkową.

25.3

Rozwiązanie równania różniczkowego rzędu n najczęściej uzyskujemy drogą

n-krotnego całkowania.

Z uwagi na to, że każde całkowanie wprowadza jedną stałą dowolną,

końcowe wyrażenie na zmienną zależną będzie zawierało n stałych C1, C2, ...,

Cn. W związku z tym wprowadza się dwa pojęcia:

1. Całką ogólną lub rozwiązaniem ogólnym nazywamy wyrażenie

y=F(x, C1 ..., Cn), które zawiera n dowolnych stałych niezależnych (tj. tyle, ile wynosi rząd

równania) i które po wstawieniu za nCCC ,...,, 21 liczb 002

01 nCCC ,...,, ,

wybranych dowolnie z pewnych przedziałów spełnia równanie

0=),...,'',',,( )( nyyyyxf .

2. Funkcję postaci y = φ(x) spełniającą dane równanie różniczkowe dla

odróżnienia od całki ogólnej będziemy nazywać całką szczególną lub

rozwiązaniem szczególnym.

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n polega na

znalezieniu takiego rozwiązania szczególnego danego równania, które dla

danego z góry argumentu x=x0 i danych z góry liczb 110 −nyyy ,...,, spełnia

tzw. warunki początkowe

00 yxy =)(

11 yxy =)(

…

11 −− = nn yxy )(

Dane liczby 1100 −nyyyx ,...,,, nazywamy wartościami początkowymi.

25.4

25.2. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO

Równaniem różniczkowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci

0=)',,( yyxf

gdzie y jest funkcją niewiadomą zmiennej x.

Całką ogólną tego równania nazywamy funkcję

y = F(x, C),

zmiennej niezależnej ( )bax ,∈ i stałej dowolnej C, która przy każdej

ustalonej wartości C wybranej dowolnie z pewnego przedziału spełnia w

przedziale (a, b) równanie 0=)',,( yyxf . Całka ogólna jest więc

jednoparametrową rodziną krzywych całkowych danego równania.

Całką szczególną równania 0=)',,( yyxf nazywamy każdą funkcję

y = φ(x), która w przedziale (a, b) ma pierwszą pochodną i spełnia to równanie

dla każdego ( )bax ,∈ .

Mając całkę ogólną y = F(x, C) można rozwiązać zagadnienie

Cauchy'ego dla równania 0=)',,( yyxf . Zagadnienie Cauchy'ego dla

równania różniczkowego rzędu pierwszego polega na wyznaczeniu takiej całki

szczególnej tego równania, która dla pewnej z góry danej wartości zmiennej

niezależnej x=x0 przyjmuje z góry daną wartość y0, tzn. że y(x0)=y0.

Uwzględniając w całce ogólnej y = F(x, C) warunek początkowy y(x0)=y0

mamy

y0 = F(x0, C)

25.5

skąd obliczamy stałą dowolną C.

Wstawiając obliczoną wartość liczbową stałej C do rozwiązania

y = F(x, C) otrzymujemy szukaną całkę szczególną.

W interpretacji geometrycznej zagadnienie

Cauchy'ego polega na wybraniu z rodziny

krzywych całkowych, która jest dana równaniem

y = F(x, C) , jednej krzywej, która przechodzi

przez z góry dany punkt (x0, y0) dla ( )bax ,∈ .

25.3. Równanie różniczkowe postaci y’= f(x) Niech dane będzie równanie

)( xfdxdy

=

gdzie f jest funkcją ciągłą w przedziale (a, b). Całkując względem zmiennej

x mamy

∫= dxxfy )(

skąd CxFy += )(

gdzie C jest stałą dowolną. Całkę CxFy += )( nazywamy całką ogólną lub

rozwiązaniem ogólnym równania )( xfdxdy

= . Nadając stałej C wartości

liczbową, np. C = 3, otrzymujemy całkę szczególną

3+= )( xFy

25.6

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania y ’= sinx spełniającą warunek

początkowy 04

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛πy .

Rozwiązanie

Rozważmy równanie

xdxdy

sin=

Po scałkowaniu otrzymujemy

∫= xdxy sin

Cxy +−= cos

gdzie C jest stałą dowolną. Otrzymane rozwiązanie jest całką ogólną.

Uwzględniając warunek początkowy mamy

Cy +−=44ππ

cos)(

C+−=220 skąd

22

=C

Funkcja

22

+= xy cos

jest szukaną całką szczególną danego równania.

Przykład

Ciało porusza się prostoliniowo z prędkością v, która jest proporcjonalna

do kwadratu czasu. Znaleźć zależność, jaka zachodzi między przebytą

drogą s i czasem t, jeżeli przy t = 0, s= s0.

25.7

Rozwiązanie

Z interpretacji fizycznej pochodnej wiadomo, że dtdsv = . Skoro prędkość

jest proporcjonalna do kwadratu czasu, to s(t) i t muszą być związane

następującym równaniem różniczkowym:

2ktdtds

=

gdzie k jest stałym współczynnikiem proporcjonalności. Całkując to

równanie względem zmiennej t mamy

Ckts

dttks

+=

= ∫

3

2

31

Stałą C obliczamy korzystając z warunku początkowego s(0) = s0 skąd

Cks +⋅⋅= 031

0 skąd 0sC =

Szukana zależność dana zatem jest równaniem 03

31 sktts +=)( .

25.4. Równanie różniczkowe postaci y’= g(y) Gdy równanie różniczkowe ma postać

)( ygdxdy

=

to przekształcamy go do postaci

)( ygdydx 1

=

i rozwiązujemy podobnie, jak równanie postaci )( xfdxdy

= .

25.8

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania 22 yay −=' , spełniającą warunek

początkowy y(0) = a.

Rozwiązanie

Równanie to możemy napisać w postaci

22 yadxdy

−= skąd 22

1yady

dx−

=

Całkując mamy

∫−

=22 ya

dyx

tzn.

Cayx += arcsin lub ( )Cx

ay

−= sin

Z warunku początkowego mamy ( )Ca

y−= 00

sin)(

tzn. ( )C−= sin1 skąd

2π

−=C . Stąd rozwiązanie:

xay cos=

25.5. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Równanie różniczkowe postaci

)()( ygxfdxdy

=

gdzie prawa strona jest iloczynem dwóch funkcji określonych i ciągłych

dla ( )bax ,∈ , ( )dcy ,∈ nazywamy równaniem różniczkowym o

zmiennych rozdzielonych.

Równanie to dla 0≠)( yg przekształcamy do postaci

25.9

dxxfyg

dy)(

)(=

Całkując otrzymujemy

∫∫ = dxxfyg

dy)(

)(

a stąd równanie postaci

G(y)=F(x)+C.

gdzie C jest stałą dowolną. Jeżeli rozwiążemy równanie G(y)=F(x)+C

względem zmiennej y, to otrzymamy całkę ogólną równania

)()( ygxfdxdy

= .

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania

xyy

dxdy

sinln

=

Rozdzielając zmienne i całkując otrzymujemy

∫∫ =x

dxyy

dysinln

skąd

Cxtgy lnlnlnln +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

21

, ,0>C π<< x0

Przekształcając to równanie otrzymujemy

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= xCtgy

21

ln

skąd ostatecznie ),( xCtgey 50=

25.10

Przykład

Rozwiązać równanie

)())((

111

2

3

+−−

=xy

yxdxdy

Rozwiązanie

Przy założeniu, że x + ≠1 0 i y3 1 0− ≠ , przekształcamy dane równanie do

postaci

011

13

2=

−+

+− dy

yydx

xx

i całkujemy

011

13

2=

−+

+−

∫∫ dyy

ydxxx

01

331

121 3

2=

−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+− ∫∫ dy

yydx

x

i ostatecznie Cyxx =−++− 112 331lnln jest całką ogólną tego równania.

Na koniec odnotujmy, że proste x = 1 oraz y = 1 są również

rozwiązaniami rozpatrywanego równania.

25.11

25.6. Równania różniczkowe liniowe

Równanie postaci

)()( xQyxPy =+′

gdzie P i Q są funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale nazywamy

równaniem różniczkowym liniowym (rzędu pierwszego), przy czym

mówimy, że jest to równanie jednorodne jeśli 0≡)( xQ , zaś

niejednorodne, gdy funkcja Q nie jest tożsamościowo równa zeru.

Całka ogólna równania jednorodnego 0=+′ yxPy )( wyraża się

formułą

∫= − dxxPeCy )( (C - stała dowolna)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego )()( xQyxPy =+′ można

znaleźć uzmienniając w powyższym wzorze stałą C, tj. szukając

rozwiązania w postaci

∫= − dxxPexCy )()(

Sposób wyznaczenia nieznanej funkcji )( xC wyjaśnimy na przykładzie.

Przykład

Rozwiązać równanie 2

2 xexyxy −=+′

25.12

Rozwiązanie

Znajdujemy najpierw całkę ogólną równania jednorodnego. Rozdzielając

zmienne dostajemy

dxxy

dy 2−=

a po scałkowaniu Cxy ~ln +−= 2

i ostatecznie 2xeCy −= (C - stała dowolna)

Uzmienniając stałą C mamy 2xexCy −= )( ,

stąd )()( xCexxCey xx 222 −− −′=′

Wstawiając prawe do równania różniczkowego dostajemy 2222

22 xxxx exexCxxCexxCe −−−− =+−′ )()()(

i po uproszczeniu

xxC =′ )(

Zatem CxxC += 221)( i ostatecznie poszukiwana całka ogólna

przyjmuje postać )( Cxey x += − 2212

.

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania

22xxy

dxdy

=−

spełniającą warunek y(1) = 3.

25.13

Rozwiązanie

Najpierw rozwiązujemy równaniu liniowe jednorodne 0=−xy

dxdy

. Stąd

∫ ∫= xdx

ydy

Cxy lnlnln == , skąd

Cxy =

Uzmienniamy stałą: xxCy )(= . Wstawiając tę funkcję do równania

22xxy

dxdy

=− mamy

22xx

xxCxCxdx

xdC=−+

)()(

)(

∫ ∫= xdxxdC 2)(

12 CxxC +=)(

Całka ogólna tego równania ma więc postać

( ) xCxxCxy 13

12 +=+=

Z warunku początkowego y(1) = 3 wynika, że poszukiwaną całką

szczególną jest funkcja

xxy 23 +=

25.7. Metody rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu –

podsumowanie wybranych typów równań

Typ równania Przykład Nazwa Sposób rozwiązania

)(' xfy = xy ln'= całkować obustronnie

)(' ygy = yy cos'= podzielić przez g(y) i

całkować obustronnie

25.14

)()('

ygxfy = 2

sin'y

xy = o zmiennych

rozdzielonych

pomnożyć przez g(y) i

całkować obustronnie

)(' cbyaxfy ++= 2)(' yxy += podstawić

cbyaxu ++= a

następnie '' byau +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyfy'

xyarctgy ='

jednorodne

podstawić xyu =

)()(' xqyxpy =+ 221' xyx

y =+ liniowe metoda uzmienniania

stałej

25.8. Zadania 25.1. Rozwiązać równania

a) 044 33 =+++ dyyydxxx )()( b) yxey −=′

c) 01113 32 =−−++ dyyxdxyx ))(()( d) xyy 4−=′

e) 23 yxy =′ f) yxy 2=′

25.2. Znaleźć rozwiązanie szczególne równania spełniające dany warunek

a) 01 =−− dxydyx )( , 10 =)(y

b) 01 2 =−− dyxdx , 12 =)( πy

c) xyy cos=′ , 10 =)(y

25.3. Rozwiązać równanie

a) 01

22 =

+−′ y

xxy b) xxxyy cossinsin =−′ c) 32 xy

xy =−′

25.15

d) xyx

y =−′1

e) 223 xyxy =+′ f) xexyyx 64 =−′

25.4. Znaleźć całkę szczególną równania, spełniającą podany warunek

a) xxyy =+′ 2 , 30 −=)(y

b) xyyx 2=+′ , 01 =)(y

c) 323x

yx

y =+′ , 11 =)(y