Zastosowania Równania Bernoullego - zadaniazasoby.open.agh.edu.pl/.../przeplyw-w-przewodach/PDF/ZRB_zadania.pdf · Zastosowania Równania Bernoullego - zadania Notatki w Internecie

Zastosowania Równania Bernoullego - zadania

Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń

1

Zadanie 1 Przez zwężkę o średnicy D = 0,2 m, d = 0,05 m przepływa woda o temperaturze t = 50 C. Obliczyć

jakie ciśnienie musi panować w przekroju 1-1, aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji,

gdy strumień objętości wynosi Q = 0,08 m3/s.

1

1

2

2 Rozwiązanie: Aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji, ciśnienie musi być większe od ciśnienia

nasycenia (p2 > pV). Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2:

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔 + 푧 =

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔 + 푧

Ponieważ z1 = z2, a zrównania ciągłości wynika:

푣 = 푣 ∙퐷푑

Po podstawieniu otrzymamy:

푝 = 푝 −휌 ∙ 푣2 ∙

퐷푑 − 1

Jeśli się uwzględni, że:

푝 ≥ 푝

푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 퐷

to:

푝 −8 ∙ 푔 ∙ 푄휋 ∙ 퐷 ∙

퐷푑 − 1 ≥ 푝

푝 ≥ 푝 +8 ∙ 푔 ∙ 푄휋 ∙ 퐷 ∙

퐷푑 − 1

Po podstawieniu wartości:

푝 ≥ 8,3 ∙ 10 푃푎



2

Zadanie 2 Obliczyć średnicę d zwężki Venturiego niezbędną do zassania wody o gęstości ρ = 1000 kg/m3, z

naczynia na wysokość h = 0,8 m. Strumień objętości wody w rurociągu Q = 0,12 m3/s, średnica

rurociągu D = 0,2 m, nadciśnienie w rurociągu pn = 5 104 N/m2.

Rozwiązanie: Aby nastąpiło zassanie wody z naczynia, podciśnienie w zwężce musi wynosić:

푝 ≥ 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ

Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 przybiera postać:

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔 =

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔

Podstawiając:

푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 퐷

푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 푑

푝 = 푝 + 푝

푝 = 푝 − 푝

Otrzymujemy:

푑 =8 ∙ 푄

휋 ∙ 푝 + 푝휌 ∙ 푔 + 8 ∙ 푄

2 ∙ 푔 ∙ 퐷

Po uwzględnieniu 푝 ≥ 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ

푑 ≤8 ∙ 푄

휋 ∙ 푔 푝휌 ∙ 푔 + ℎ + 8 ∙ 푄

2 ∙ 푔 ∙ 퐷

Dla danych wartości liczbowych:

푑 ≤ 154푚푚



3

Zadanie 3

Rurociągiem o średnicy D = 0,2 m przepływa powietrze o gęstości ρ = 1,2 kg/m3. W osi rurociągu

umieszczono rurkę Prandtla podłączoną do manometru hydrostatycznego wypełnionego alkoholem o

gęstości ρ =780 kg/m3. Wskazanie manometru h = 0,08 m. Obliczyć strumień objętości powietrza, jeśli

φ = vsr/ Vmax = 0,8.

∆h

D

Rozwiązanie:

푄 =휋 ∙ 푑4 푣

푣 = 휑 ∙ 푣

푣 =2 ∙ 푝휌 =

2 ∙ ∆ℎ ∙ (휌 − 휌 ) ∙ 푔휌

푄 =휋 ∙ 푑4 ∙ 휑 ∙

2 ∙ ∆ℎ ∙ (휌 − 휌 ) ∙ 푔휌

푄 =휋 ∙ 0,24 ∙ 0,8 ∙

2 ∙ 0,08 ∙ (780 − 1,2) ∙ 9,811,2 = 0,256

푚푠



4

Zadanie 4 Kanałem prostokątnym szerokości b i głębokości h przepływa woda. Rurka Pitota zanurzona do

połowy głębokości wskazuje spiętrzenie ∆h = 0,2 m. Obliczyć średnią prędkość przepływu w przekroju

kanału przyjmując, że profil prędkości opisany jest równaniem v=c·z0,5.

h

h/2

∆h

Rozwiązanie: Prędkość w połowie przekroju

푣 = 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ

Stałą c w równaniu:

푣 = 푐 ∙ √푧

푣 = 푣

푧 =ℎ2

stąd

푐 =푣ℎ2

Średnią prędkość przepływu obliczamy z zależności:

푣 =푄퐴 =

∫ 푣 ∙ 푏 ∙ 푑푧푏 ∙ ℎ =

∫ 푣ℎ/2

∙ √푧 ∙ 푏 ∙ 푑푧

푏 ∙ ℎ =

푣 ∙ 푏ℎ/2

∙ ∫ ∙ √푧 ∙ 푑푧

푏 ∙ ℎ =2√23 푣

푣 =2√23 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ =

2√23 2 ∙ 9,81 ∙ 0,2 = 1,87푚/푠



5

Zadanie 5 Przewodem o średnicy d = 0,05 m przepływa ciecz idealna o strumieniu Q = 0,01 m3/s. Na końcu

przewodu jest umieszczony dyfuzor o średnicy wylotowej D = 0,1 m, którym ciecz wypływa do

atmosfery. Obliczyć wysokość podciśnienia panującego w przekroju wlotowym dyfuzora.

Rozwiązanie: Równanie Bernoullego dla przekroju wlotowego i wylotowego dyfuzora ma postać:

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔 =

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔

푝 − 푝휌 ∙ 푔 =

푣2 ∙ 푔 −

푣2 ∙ 푔

Po oznaczeniu wysokości podciśnienia 푝 − 푝휌 ∙ 푔 = ℎ

Uwzględniając, że:

푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 푑

푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 퐷

Otrzymujemy:

ℎ =8 ∙ 푄

휋 ∙ 푑 ∙ 푔 ∙ 1 −푑퐷 =

8 ∙ 푄0,01휋 ∙ 0,05 ∙ 9,81 ∙ 1 −

0,050,1 = 1,24푚

Zadanie 6



6

Rurociągiem, przedstawionym na rysunku stosunku średnic D/d = 2, przepływa powietrze. Obliczyć

stosunek wskazań manometrów ∆z1 / ∆z2 wypełnionych tą samą cieczą.

Rozwiązanie: Ponieważ płyn jest doskonały, więc na całym odcinku rurociągu o średnicy d występuje ciśnienie p1 i

prędkość v1, na odcinku o średnicy D natomiast odpowiednio p2 i v2. Z prawa naczyń połączonych dla

obu manometrów otrzymamy.

푝 + ∆푧 ∙ 휌 ∙ 푔 = 휌 ∙푣2 + 푝

푝 + ∆푧 ∙ 휌 ∙ 푔 = 휌 ∙푣2 + 푝

Z równania Bernoullego otrzymujemy:

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔 =

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔

푝 − 푝 = 휌 ∙푣 −푣2

Po podstawieniu tego wyrażenia do równań wynikających z prawa naczyń połączonych, otrzymamy:

∆푧 =휌휌 ∙

푣2 ∙ 푔

∆푧 =휌휌 ∙

푣2 ∙ 푔

Zatem,

∆푧∆푧 =

푣푣

Z równania ciągłości:

푣푣 =

퐷푑

Po podstawieniu:

∆푧∆푧 =

퐷푑 = 16

Zadanie 7



7

Obliczyć prędkość v1 przepływu powietrza o gęstości ρ = 1,2 kg/m3 przez dyszę o średnicach d = 0,1

m, D = 0,2 m. Manometr różnicowy, wypełniony cieczą o gęstości ρm =780 kg/m3 wskazuje wychylenie

∆h = 0,3 m.

Rozwiązanie: Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 ma postać:

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔 =

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔

Prawo naczyń połączonych dla punktów A i B, po pominięciu ciężaru słupa powietrza w stosunku do

słupa rtęci, wyrażone jest równaniem:

푝 = 푝 + 휌 ∙푣2 +∙ 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ

Z obu równań wynika, że:

푣 =2 ∙ 푔 ∙ ℎ ∙ 휌

휌 =2 ∙ 9,81 ∙ 0,3 ∙ 780

1,2 = 67,8푚/푠

Zadanie 8



8

Woda przepływa ze zbiornika A do zbiornika B za pomocą lewara. Obliczyć średnicę lewara d

niezbędną do uzyskania strumienia objętości Q=4·10-3 m3/s, dla różnicy poziomów ∆h = 3m. Obliczyć

także podciśnienie w kolanie lewara, gdy znajduje się ono na wysokości h = 2 m nad zwierciadłem

zbiornika A.

d

A B

pbv

Rozwiązanie: Napiszmy równanie Bernoullego przyjmując przekrój 1-1 na poziomie zwierciadła cieczy w zbiorniku A

oraz przekrój 2-2 na wylocie z lewara

푝휌 ∙ 푔 + 푧 + ∆ℎ =

푝 + 휌 ∙ 푔 ∙ 푧휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔

푣 = 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ

푄 =휋 ∙ 푑4 ∙ 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ

푑 =4 ∙ 푄

휋 ∙ 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ=

4 ∙ 4 ∙ 10휋 ∙ √2 ∙ 9,81 ∙ 3

= 0,026푚

Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 3-3 przez punkt szczytowy lewara będzie miało postać:

푝휌 ∙ 푔 =

푝 − 푝휌 ∙ 푔 + ℎ +

푣2 ∙ 푔

stąd

푝 = 휌 ∙푣2 + 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ = 휌 ∙ 푔 ∙ (∆ℎ + ℎ) = 1000 ∙ 9,81 ∙ (3 + 2) = 49050푃푎

Zadanie 9



9

Pompa pobiera wodę ze studni o głębokości H = 5m w ilości Q=4 10-3 m3/s rurociągiem o średnicy d =

0,05 m. Na jakiej dopuszczalnej wysokości h nad ziemią można ustawić pompę, aby mogło nastąpić

zassanie wody. Opory przepływu w odcinku ssawnym pompy pominąć. Przyjąć pb=105 N/m2 oraz

ciśnienie nasycenia wody pV = 2 103 N/m2.

Rozwiązania: Równanie Bernoullego dla przekroju 1-1 leżącego na zwierciadle wody w studni oraz przekroju

wlotowego pompy 2-2 będzie miało postać:

푝휌 ∙ 푔 =

푃휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔 + 퐻 + ℎ

W celu zachowania ciągłości przepływu

푝 ≥ 푝

Zatem

ℎ ≤푝 − 푝휌 ∙ 푔 −

푣2 ∙ 푔 − 퐻

ℎ ≤푝 − 푝휌 ∙ 푔 −

8 ∙ 푄2 ∙ 푔 ∙ 푑 − 퐻

Po podstawieniu wartości:

ℎ ≤ 4,8푚

Zadanie 10



10

Z zamkniętego zbiornika, w którym panuje nadciśnienie pn = 0, 5 105 N/m2 wypływa ciecz doskonała

przez przewód o średnicy D = 0, 08 m, konfuzor o długości l=0, 2 m i przewód o średnicy d=0, 04 m.

Obliczyć rozkład ciśnienia w konfuzorze, gdy H = 2 m, a do atmosfery wpływa ciecz o ciśnieniu Pb =

105 N/m2.

Rozwiązanie: Prędkość wypływu płynu ze zbiornika:

푣 = 푣 = 2 ∙ 푔 ∙푝휌 ∙ 푔 + 퐻

Natomiast ciśnienie

푝 = 푝

Równanie Bernoullego dla przekroju x-x i przekroju 2-2 będzie miało postać

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔 =

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔

Stąd

푝 = 푝 +휌2 ∙

(푣 − 푣 )

Z równania ciągłości otrzymamy:

푣 = 푣 ∙푑푑

Gdzie

푑 = 퐷 −푥퐼 ∙ (퐷 − 푑)

Po podstawieniach i redukcji równanie opisujące rozkład ciśnienia w konfuzorze przybiera postać:

푝 = 푝 + (푝 + 휌 ∙ 푝 ∙ 퐻) ∙ 1 −푑

퐷 − 푥퐼 ∙ (퐷 − 푑)

Ciśnienie w przekroju wlotowym 1-1:

푝 = 푝 + (푝 + 휌 ∙ 푝 ∙ 퐻) ∙ 1 −푑퐷

Dla danych wartości:

푝 = 1,655 ∙ 10 푃푎

Zadanie 11



11

Obliczyć prędkość v z jaką ciecz doskonała będzie wypływać z fontanny Herona oraz wysokość H, na

jaką podniesie się struga, jeśli h1 = 25 m, h2 = 5 m, h 3 = 1 m.

h 1

h 2h 3

H

Rozwiązanie: Z prawa naczyń połączonych wynika, że na powierzchnię cieczy z zbiorniku III działają nadciśnienie

h1. Ponieważ zbiornik II jest połączony ze zbiornikiem III przewodem C, więc na powierzchnię cieczy w

zbiorniku II działa to samo nadciśnienie co w zbiorniku III. Na podstawie prawa naczyń połączonych

otrzymuje się równanie:

ℎ = ℎ + ℎ +퐻

Skąd:

퐻 = ℎ − (ℎ + ℎ ) = 25 − (5 + 1) = 19푚

Prędkość w przekroju wylotowym można obliczyć ze wzoru Torricellego:

푣 = 2 ∙ 푔 ∙ ℎ = 19,3푚/푠

Zadanie 12



12

W rurociąg o średnicy D = 0,18 m wbudowano zwężkę Venturiego o średnicy przewężenia d = 0,06 m.

Do zwężki podłączono manometr rtęciowy. Obliczyć strumień objętościowy wody, jeśli wysokość

mierniczego spadku ciśnienia ∆hm=0,25 m, ρ = 1000 kg/m3, ρr = 13600 kg/m3.

Rozwiązanie: Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 będzie miało następującą postać:

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔 =

푝휌 ∙ 푔 +

푣2 ∙ 푔

po przekształceniach:

푝 − 푝 =휌2 ∙

(푣 − 푣 )

Z równania ciągłości:

푣 = 푣 ∙퐷푑

Zatem

푝 − 푝 =휌 ∙ 푣2 ∙

퐷푑 − 1

푣 =2 ∙ (푝 − 푝 )

휌 ∙1

퐷푑 − 1

Różnicę ciśnień p1-p2 można obliczyć na podstawie prawa naczyń połączonych:

푝 + 휌 ∙ 푔 ∙ 푧 = 푝 + 휌 ∙ 푔 ∙ (푧 − ∆ℎ )+ ∆ℎ ∙ 휌 ∙ 푔

stąd

푝 − 푝 = ∆ℎ ∙ (휌 − 휌) ∙ 푔

Po podstawieniu:

푄 =휋 ∙ 퐷4 ∙

2 ∙ ∆ℎ ∙ (휌 − 휌) ∙ 푔휌 ∙

1퐷푑 − 1

Po podstawieniu wartości liczbowych:

푄 = 0,124푚푠

Zadanie 13.



13

Zbiornik hydroforowy jest wypełniony cieczą idealną o gęstości ρ = 1000 kg/m3 do wysokości H = 2 m.

Na zwierciadło wody działa nadciśnienie pn=5.105 N/m2. W pewnym momencie w zbiorniku został

wykonany mały otwór na wysokości H1=1,5 m. Obliczyć w jakiej odległości s od zbiornika nastąpi

zetknięcie strumienia z poziomem dna.

Rozwiązanie:

Drogę przebytą przez strumień można obliczyć w dwu kierunkach: poziomym i pionowym. Ponieważ w

kierunku poziomym ruch jest jednostajny, więc w czasie t zostanie przebyta droga :

푠 = 푣 ∙ 푡

Natomiast w kierunku pionowym dla ruchu jednostajnie przyspieszonego:

퐻 =푔 ∙ 푡2

Ponieważ czas ruchu strumienia w obu kierunkach jest jednakowy i parametr t można z obu równań

wyeliminować, więc:

푠 = 푣 ∙2 ∙ 퐻푔

Jeśli się uwzględni, że:

푣 = 2 ∙ 푔 ∙푝휌 ∙ 푔 + 퐻 − 퐻

To:

푠 = 2 ∙푝휌 ∙ 푔 + 퐻 −퐻 ∙ 퐻

푠 = 2 ∙5 ∙ 10

1000 ∙ 9,81 + 2 − 1,5 ∙ 1,5 = 17,4푚

Documents

Zastosowania Równania Bernoullego - zadaniazasoby.open.agh.edu.pl/.../przeplyw-w-przewodach/PDF/ZRB_zadania.pdf · Zastosowania Równania Bernoullego - zadania Notatki w Internecie