electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2

II. FELADAT (30p) – Varianta 051

1. Adott a

=

a

a

aH

00

010

0ln1

)( mátrix, ahol 0.a >

5p a) Számítsd ki minden 0a > esetén a ( )( )det H a determinánst!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( ) , , 0.H a H b H a b a b⋅ = ⋅ ∀ >

5p c) Számítsd ki a ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2008H H H H+ + + +… mátrix determinánsát!

2. A ( )2,G = ∞ halmazon értelmezzük az ( )2 6x y xy x y= − + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2, ,x y x y x y G= − − + ∀ ∈ .

5p b) Igazold, hogy ,x y G∈ , .x y G∀ ∈

5p c) Igazold, hogy a G halmaz minden eleme invertálható a „ ” műveletre nézve!




1. Az ( )2M halmazban adott az 1 1

2 2A

=

mátrix. Jelölje ...n

n szer

A A A A−

= ⋅ ⋅ ⋅ , ahol n ∗∈ .

5p a) Igazold, hogy 2 3A A= .

5p b) Számítsd ki a ( )10det A determinánst!

5p c) Számítsd ki a 2B A I= + mátrix inverzét, ahol 2

1 0.

0 1I

=

2. A ( ) { }0, \ 1G = ∞ halmazon értelmezzük az 3ln ,yx y x= ,x y G∀ ∈ műveletet.

5p a) Határozd meg az 8x e = egyenlet valós megoldásainak halmazát, ahol e a természetes logaritmus alapja!

5p b) Igazold, hogy x y G∈ , , .x y G∀ ∈

5p c) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív a G halmazon!




1. Adott a ( )1 1

1 1

1 1

a

D a a

a

= determináns, ahol a valós szám.

5p a) Számítsd ki a determinánst 1a = − esetén!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )21 2D a a a= − − + , bármely a valós szám esetén!

5p c) A valós számok halmazán oldd meg a ( ) 4D a = − egyenletet!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )10 110x y xy x y= − + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )10 10 10x y x y= − − + , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Számítsd ki: 1 110 20C C .

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az ( )1 10x x − = egyenletet!




1. Adott a , , ,

a b c

c a b a b c

b c a

∆ = ∈

determináns.

5p a) Számítsd ki a ∆ determináns értékét, ha 1, 0a b= − = és 1.c =

5p b) Igazold, hogy ( )( )2 2 2 , , ,a b c a b c ab ac bc a b c∆ = + + + + − − − ∀ ∈ .

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a

2 1 1

1 2 1 0

1 1 2

x

x

x

=

egyenletet!

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3, 3x y x y x y ax y∗ = + + = + − műveleteket, ahol

a ∈ , valamint az ( ): , 6f f x x→ = + függvényt.

5p a) Számítsd ki: ( ) ( )1 2 0 3∗ ∗ .

5p b) Határozd meg azt az a egész számot, amelyre a „ ” művelet asszociatív!

5p c) Igazold, hogy 1a = esetén az f függvény morfizmus a ( ),∗ és ( ), csoportok között!




1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )0,0O és ( ), 2 , nA n n n+ ∀ ∈ pontok.

5p a) Határozd meg az 0 1A A egyenes egyenletét!

5p b) Igazold, hogy az 0 1 2, ,A A A pontok kollineárisak!

5p c) Bizonyítsd be, hogy az 1n nOA A + háromszög területe nem függ az n természetes számtól!

2. Az [ ]X gyűrűben adott az 3 5f X X= − − polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , .x x x

5p a) Számítsd ki az 1

2f −

értéket!

5p b) Számítsd ki azt az a ∈ számot, amelyre az f polinom X a− polinommal való osztási

maradéka 5− .

5p c) Számítsd ki az 1 2 3

2 3 1

3 1 2

x x x

x x x

x x x

determinánst!




1. Adott az

2 3 3

2 4

4 1

x y z

x y z

mx y z

− + = − + + = − + =

egyenletrendszer, ahol m egy valós paraméter.

5p a) Igazold, hogy bármely m valós szám esetén a ( )0;3;1 számhármas megoldása az

egyenletrendszernek!

5p b) Határozd meg az m valós paramétert úgy, hogy az egyenletrendszernek egyetlen megoldása legyen!

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 3.m ≠

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 6 6 21x y xy x y∗ = − − + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 3 3 3x y x y∗ = − − + bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Oldd meg az 5 5 11x x∗ = egyenletet a valós számok halmazán!

5p c) Határozd meg az invertálható elemeket a „ ∗ ” műveletre nézve!




1. Adott az 2 3

1 2A

= −

mátrix.

5p a) Számítsd ki a ( )det A determinánst!

5p b) Igazold, hogy 3 7A A= , ha 3A A A A= ⋅ ⋅ .

5p c) Igazold, hogy ,A B A⋅ = ahol 226B A I= − és 2A A A= ⋅ .

2. Adottak az [ ] 4 3 2 3 2, , 1 1f g X f X X X X és g X X X∈ = + + + + = + + + polinomok.

5p a) Igazold, hogy 1f X g= ⋅ + .

5p b) Számítsd ki a g polinom valós gyökeit!

5p c) Számítsd ki az ( )f a értékét, ha a a g polinom egyik gyöke!



SUBIECTUL II (30p) – Varianta 059

1. Adottak az 3

1 1 0 1 0 0

1 0 0 és 0 1 0

0 1 0 0 0 1

A I

− − = =

mátrixok.

5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát!

5p b) Számítsd ki az 2A mátrixot, ha 2 .A A A= ⋅

5p c) Számítsd ki az 3I A+ mátrix inverzét!

2. Adott az [ ] 3 2, f X f X pX qX r∈ = − + − polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , .x x x ∈

5p a) Számítsd ki az ( ) ( )0 1f f− különbséget!

5p b) Számítsd ki az ( )( )( )1 2 31 1 1x x x− − − kifejezést , ,p q r függvényében!

5p c) Igazold, hogy a 3 2 1g X X X= + + − polinomnak nem minden gyöke valós!




1. Adottak az 3 3

1 1 3 1 0 0

2 2 6 , 0 1 0 és

3 3 9 0 0 1

A I B A I

− = − = = − −

mátrixok.


5p b) Számítsd ki az 2 2A B− mátrixot, ahol 2 2 és A A A B B B= ⋅ = ⋅ .

5p c) Igazold, hogy a B mátrix inverze a 13

1

9B A I− = − mátrix!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 3 6x y xy x y= + + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )3 3 3x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Határozd meg a semleges elemet a „ ” műveletre nézve!

5p c) Határozd meg az , 2n n∈ ≥ számot, ha 2 2 13n nC C = .




70 1. Adott az 0 0

0 0

a a a

A a

a

=

mátrix, ahol a ∈ . Jelölje 2A A A= ⋅ .

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot 1a = esetén!

5p b) Számítsd ki a ( )2det A determinánst a ∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy 23A I≠ , bármely a ∈ esetén!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )2 2 6 és 3 12x y xy x y x y xy x y∗ = − − + = − + +

műveleteket.

5p a) Igazold, hogy ( ) ( )2 3 1, .x x x∗ − = − ∀ ∈

5p b) Ha 1e a semleges elem a „ ∗ ” műveletre nézve 2e pedig a a semleges elem a „ ” műveletre

nézve, számítsd ki az 1 2 1 2e e e e∗ + összeget!

5p c) Adott az :f → , ( ) 1f x ax= + függvény. Határozd meg az a ∈ számot, ha

( ) ( ) ( )f x y f x f y∗ = , bármely ,x y ∈ esetén!




1. Az ( )2M négyzetes mátrixok halmazában adott az 4 6

2 3A

− = −

mátrix.

Jelölje ...n

n szer

A A A A−

= ⋅ ⋅ ⋅ , ahol .n ∗∈

5p a). Igazold, hogy 2 2A A A+ = .

5p b) Határozd meg azon ( )20

, 0

xX X

x

∈ =

M mátrixokat, amelyekre ( )det 2X A+ = .

5p c) Ha , nA A n ∗= ∀ ∈ , igazold, hogy ( )2 1

2 , 2

n n nA A nA A n ∗+

+ + + = ∀ ∈… .

2. Adott az [ ]3 2 1, f X X mX f X= + + + ∈ polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , .x x x

Jelölje 1 2 3n n n

nS x x x= + + , ahol n ∗∈ .

5p a) Számítsd ki azt az m valós számot, amelyre 1 2x = .

5p b) Igazold, hogy 3 2 1 3 0S S mS+ + + = .

5p c) Igazold, hogy bármely m∈ páros számra, az f polinomnak nincs racionális gyöke!




1. Adott az

0

4 2 16

2 2 6

x ay z

x y z

x y z

− − = + − = − + = −

egyenletrendszer, ahol a ∈ és A =

1 1

1 4 2

1 2 2

a− − − −

az egyenletrendszer

mátrixa.

5p a) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátrix invertálható!

5p b) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 1a = .


5p a) Igazold, hogy ( ) ( ) , bármely , ,x y z x y z x y z= ∈ esetén!

5p b) Bizonyítsd be, hogy ( 4) 4x y− = − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki: 1 ( 2) 3 ( 4) 5 ( 6).− − −




1. Adottak az 24 1 1 0

, 4 1 0 1

A I

= =

mátrixok és a ( ) ( ){ }2 és G X a a X a I aA= ∈ = + halmaz.

5p a) Igazold, hogy 2I eleme a G halmaznak!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )5 , ,X a X b X a b ab a b⋅ = + + ∀ ∈ .

5p c) Igazold, hogy 1

5a ≠ − esetén az ( )X a mátrix inverze az

1 5

aX

a

− +

mátrix!

2. Adottak az [ ] 3 2 25

ˆ ˆ ˆ ˆ, , 3 4 3 2 2f g X f X X X és g X X∈ = + + + = + polinomok.

5p a) Számítsd ki ( ) ( )ˆ ˆ1 0f g⋅ .

5p b) Igazold, hogy ˆ ˆ ˆ ˆ(3 3) 2 2f X g X= + ⋅ + + .

5p c) Határozd meg az f polinom 5 halmazban levő gyökeinek számát!




1. Az ( )2M halmazban tekintsük az ( ) 1 5 2,

10 1 4

x xA x x

x x

+ − = ∈ −

mátrixokat.

5p a) Számítsd ki az (1) ( 1)A A⋅ − szorzatot!

5p b) Igazold, hogy ( )( ) ( )( )2 21 1A x A x= + − , bármely valós x esetén, ahol ( )( ) ( )( ) ( )( )2

A x A x A x= ⋅ .

5p c) Számítsd ki az ( )1A mátrix inverzét!

2. Adott a { }2 23 , , 3 1G a b a b a b= + ∈ − = halmaz.

5p a) Vizsgáld meg, hogy 0 és 1 eleme-e a G halmaznak!

5p b) Igazold, hogy ,x y G⋅ ∈ bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy ha x G∈ , akkor 1

.Gx

∈




1. Adottak az 2 4

,1 2

A

= − − 2 2 2

1 0 0 0, és

0 1 0 0I O B I A

= = = +

mátrixok. Jelölje

2

szer

és n

n

A A A B B B B−

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅… , ahol *n ∈ .

5p a) Igazold, hogy 2

20A = .

5p b) Számítsd ki a B mátrix inverzét!

5p c) Határozd meg x ∈ számot, ha 3 2B B xA− = .

2. Adott az 4 22 1f X X= − + polinom, amelynek gyökei 1 2 3 4, , ,x x x x ∈ .

5p a) Igazold, hogy az f polinom osztható a 2 1g X= − polinommal!

5p b) Számítsd ki az S P⋅ szorzatot, ahol 1 2 3 4S x x x x= + + + és 1 2 3 4P x x x x= ⋅ ⋅ ⋅ .

5p c) Számítsd ki a 4 4 4 41 2 3 4T x x x x= + + + összeget!




1. Adott az 2

0

2 4 0

4 16 0

x y z

ax y z

a x y z

+ + =

+ + = + + =

egyenletrendszer, ahol a ∈ , és 2

1 1 1

2 4

4 16

A a

a

=

a rendszer mátrixa.

5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát 1a = esetén!

5p b) Határozd meg azon a valós számok halmazát, amelyekre det 0A ≠ .

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha { }\ 2,4a ∈ .

2. Adott az 4 3f X aX bX c= + + + polinom, ahol , , .a b c ∈ .

5p a) Számítsd ki a c valós számot, ha (1) ( 1) 2009.f f+ − =

5p b) Számítsd ki az , ,a b c valós számokat, ha (0) (1) 2f f= = − , és a polinom egyik gyöke 2x = .

5p c) Számítsd ki az f polinom valós gyökeit, ha 2, 1a b= − = és 2c = − .




1. Adottak az 3

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 3 0 , 2 3 0 , 0 1 0

0 0 5 3 7 5 0 0 1

A B I

= = =

mátrixok.

Jelölje 3X X X X= ⋅ ⋅ , X ∈ 3( )M .

5p a) Számítsd ki az 1A− mátrixot!

5p b) Oldd meg az 33A X I⋅ = mátrixegyenletet, ahol ( ) .X ∈ 3M

5p c) Számítsd ki a ( )3B A− mátrixot!

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3 7 7 14x y xy x y∗ = + + + műveletet.

5p a) Határozd meg a semleges elemt a „ ∗ ” műveletre nézve!

5p b) Oldd meg az egész számok halmazán az 1x x∗ ≤ − egyenlőtlenséget!

5p c) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!




1.

5p a) Számítsd ki a 2009 1 1

1 2009 1

− −

+

determinánst!

5p b) Számítsd ki az 1 2

2 1

x x

x x− determinánst, ha 1x és 2x az 2 4 2 0x x− + = egyenlet megoldásai!

5p c) Adottak az

1 1 0

1 0 0

0 0 0

A

− = −

és 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

O

=

mátrixok. Igazold, hogy 3 23A A A O+ + = , ahol

2 A A A= ⋅ és 3 2A A A= ⋅ .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 8 8 36x y xy x y= − − + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 4 4 4, bármely , .x y x y x y= − − + ∈ esetén!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az 36x x = egyenletet!

5p c) Számítsd ki 1 2 3 ... 2009 , ha a „ ” művelet asszociatív.




1. Adott az 0 3

1 0A

=

és az 21 0

0 1I

=

mátrix, valamint a ( ) ( ){ }2 C A X XA AX= ∈ =M halmaz.

5p a) Határozd meg az a és b valós számokat, ha 20

0

aA I

b

⋅ =

.

5p b) Igazold, hogy ,A B A⋅ = ahol 222B A I= − és 2A A A= ⋅ .

5p c) Igazold, hogy ha ( )X C A∈ , akkor létezik ,a b ∈ úgy, hogy 3

.a b

Xb a

=

2. A ( )1,1G = − halmazon értelmezzük az

1

x yx y

xy

+∗ =+ műveletet.

5p a) Oldd meg G halmazban az 4

5x x∗ = egyenletet!

5p b) Igazold, hogy ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

1 1 1 1

1 1 1 1

x y x yx y

x y x y

+ + − − −∗ =

+ + + − − bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy bármely ,x y G∈ esetén x y G∗ ∈ .




1. Adott a

2 5 4 0

3 1,

2

x y z

x y z

x z a

− + =− + + = − − =

a ∈ egyenletrendszer, és jelölje A az egyenletrendszer mátrixát.


5p b) Oldd meg az egyenletrendszert 1a = esetén!

5p c) Határozd meg azt a legkisebb a természetes számot, amelyre az egyenletrendszer megoldása egy természetes számokból álló számhármas!

2. A halmazon értelmezzük a 1x y x y= + + asszociatív műveletet.

5p a) Számítsd ki a 2008 2009 értékét!

5p b) Oldd meg az halmazon az 2 3x x ≤ egyenlőtlenséget!

5p c) Adott az { }0 1 22 és 6n n nA n n C C C n∗= ∈ ≥ = + halmaz. Határozd meg az A halmaz

elemeinek számát!




rianta 081

1. Adott az 2

2

1 1 1

( ) 2

2

k k

k k

A k x x

x x

= − −

, { }0,1,2k ∈ mátrix, ahol 0 1x = , valamint 1x és 2x pedig az

2 2 0x x+ − = egyenlet gyökei, 1 2x x< .

5p a) Számítsd ki az (0)A mátrix determinánsát!

5p b) Számítsd ki az (1) (2)A A+ mátrixot!

5p c) Számítsd ki az ( )A k mátrix elemeinek összegét, minden { }0,1,2k ∈ esetén!

2. A ( ) { }0, \ 1G = ∞ halmazon értelmezzük az 2ln yx y x= műveletet.

5p a) Számítsd ki a 3 e számot, ahol e a természetes logaritmus alapja!

5p b) Igazold, hogy x y G∈ , bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív a G halmazon!




1. Adott az

3 0

2 0

4 5 0

x y z

x y mz

x y z

+ + = − + = + + =

egyenletrendszer, ahol m valós paraméter és A az egyenletrendszer

mátrixa.

5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát, ha 1m = .

5p b) Határozd meg az m valós paramétert, ha az egyenletrendszer mátrixának determinánsa nulla!

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 1.m ≠ −

2. Adott az 3 23 3 1f X X X= + + + polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , ,x x x ∈ és a 2 2 1g X X= − +

polinom, amelynek gyökei 1 2,y y ∈ .

5p a) Számítsd ki az S S ′− különbséget, ha 1 2 3 1 2 és S x x x S y y′= + + = + .

5p b) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát és hányadosát!

5p c) Számítsd ki az ( ) ( )1 2f y f y⋅ szorzatot!




1. Adottak az 1 2

1 0A

− =

, x y

Bz t

=

, 20 0

0 0O

=

és 21 0

0 1I

=

mátrixok, ahol , , ,x y z t ∈ .

5p a) Számítsd ki a ( )2det A determinánst, ha 2 .A A A= ⋅

5p b) Határozd meg az , , ,x y z t ∈ számokat, ha 2A B I⋅ = .

5p c) Számítsd ki az 1 2( )S B A−= − mátrixot, ha 2A B I⋅ = .

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3x y x y∗ = + − és az ( )3 12x y xy x y= − + +

műveleteket.

5p a) Oldd meg az egész számok halmazán az 12x x = egyenletet!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3∗ = ∗ .

5p c) Oldd meg az ( )( )

3 2

4 10

x y

x y

− ∗ =

− = egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .




1. Adott a

2 0

0

2 0

x ay z

x y z

x y z

+ + = + + = − + =

egyenleterendszer, ahol a valós szám, és 2 11 1 11 1 2

aA

= −

a rendszer mátrixa.

5p a) Számítsd ki 0a = esetén az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátrix invertálható!

5p c) Oldd meg az egyenletrenszert a valós számok halmazán, ha { }\ 4a ∈ .

2. A ,p q ∈ számok esetén értelmezzük az egész számok halmazán 2x y px y∗ = + + és

2x y x y= + − műveleteket, valamint az :f → , ( ) 3f x x q= + függvényt.

5p a) Határozd meg a p egész számot úgy, hogy a „ ∗ ” művelet kommuntatív legyen!

5p b) Oldd meg az egész számok halmazán az ( ) ( ) 2 2x x x x x∗ ∗ = + egyenletet, ha 1.p =

5p c) Határozd meg a q egész számot úgy, hogy az f függvény morfizmus legyen a ( ),∗ és ( ),

csoportok között, ha 1.p =




1. Adott az

1 2 3

1 2 3

1 2 3

A

− = − −

mátrix. Értelmezzük a 3B aA I= + mátrixot az a ∈ rögzített szám esetén.

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2 A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 232B B I− = .

5p c) Számítsd ki a 1B− mátrixot!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 3 3 2x y xy x y= + + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )3 1 1 1x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Határozd meg az x valós számot úgy, hogy teljesüljön az ( )2 5 6 1x − = − egyenlőség!

5p c) Adj példát két olyan , \a b ∈ számra, amelyekre .a b ∈




1. Adott a

2 3 4 5

2 0

5 4 7

x y z

x y z

x y z

αβ

− + = − + + = − + =

egyenletrendszer, ahol ,α β ∈ , A az egyenletrendszer mátrixa,

valamint

2 3 4 5

1 2 0

5 4 7

B αβ

− − = −

. Jelölje ( ),S α β a B mátrix elemeinek összegét.

5p a) Számítsd ki: ( )0,0 .S

5p b) Határozd meg az és α β valós számokat, ha az A mátrix determinánsa nulla és ( ), 2S α β = − .

5p c) Ha 0α = és 0β = , oldd meg az egyenletrendszert!

2. A polinomok [ ]X halmazában adott az 3 2 6f X mX nX= + + + és a ( ) 2 2g X X X= − − polinom.

5p a) Oldd meg a valós számok halmazán az 2 2 0x x− − = egyenletet.

5p b) Határozd meg az ,m n ∈ számokat úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal.

5p c) Számítsd ki a ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2008 2009P f f f f= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… szorzatot, ha 4 és 1m n= − = .




1. Adott az 3 1

1 3

xA

x

− = −

mátrix, ahol x ∈ és 21 0

.0 1

I

=

Jelölje 2A A A= ⋅ .

5p a) Határozd meg azt az x valós számot, amelyre ( )det 0A = .

5p b) Igazold az ( ) ( )2 222 6 6 8A x A x x I= − − − + ⋅

egyenlőséget!

5p c) Határozd meg azt az x valós számot, amelyre 2 2A A= .


5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2, , .x y x y x y= − − + ∀ ∈

5p b) Igazold, hogy 2 2,x = bármely x ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az ( ) ( ) ( ) ( )2009 2008 2 1 0 1 2 2008 2009E = − − − −… … kifejezést, ha a

„ ” művelet asszociatív.




1. Az ( )2M halmazban adottak a 2

4 2 1 0,

2 4 0 1A I

= =

és 2

0 0

0 0O

=

mátrixok

5p a) Számítsd ki a 2det( )A determinánst, ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 3 3 14 132

13 14A

=

, ahol 3 2A A A= ⋅ .

5p c) Igazold, hogy az A mátrix teljesíti az 22 28 12A A I O− + = egyenlőséget!

2. Adott az [ ] ( )36 , 2 1 4f X f X a X a∈ = + + + + polinom.

5p a) Igazold, hogy 36, bármely b b b= ∈ esetén!

5p b) Határozd meg 6a ∈ értékét, ha ( )2 0.f =

5p c) Oldd meg a 6 halmazban az ( ) 0̂f x = egyenletet!




1. Adott az 2 0

, 4 0

ax ya

x y

+ =∈ + =

egyenletrendszer, 2

4 1

aA

=

az egyenletrendszer mátrixa, valamint az

20 0

0 0O

=

és az 21 0

0 1I

=

mátrix. Jelölje 2 .A A A= ⋅

5p a) Oldd meg az egyenletrendszert 1a = − esetén!

5p b) Igazold az ( ) ( )22 21 8A a A a I O− + + − = egyenlőséget!

5p c) Határozd meg az a ∈ értékét, ha az A mátrix teljesíti az 229A I= egyenlőséget!

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 11x y x y= + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív!

5p b) Oldd meg az 6

...szor x

x x x−

= 1 egyenletet az egész számok halmazán!

5p c) Igazold, hogy ( ), kommutatív csoport!




1. Adottak az

0 0 1

1 0 0

0 1 0

X

=

, 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

mátrixok, és a { }{ }1 2 3nG X n , ,= ∈ halmaz, ahol

,n

n szer

X X X X n ∗

−= ⋅ ⋅ ⋅ ∈… .

5p a) Igazold, hogy 33X I= .

5p b) Számítsd ki a ( )23det I X X+ + determinánst!

5p c) Igazold, hogy ha Y G∈ , akkor 1Y G− ∈ .

2. Adott a { }2 23 , , 3 1G a b a b a b= + ∈ − = halmaz!

5p a) Igazold, hogy 2 3 G+ ∈ .

5p b) Igazold, hogy a valós számok szorzására nézve a G halmaz minden elemének van inverze a G –ben!

5p c) Igazold, hogy x y G⋅ ∈ , bármely ,x y G∈ esetén!




1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az : 2 4 0AB x y+ − =

és a

:3 2 0BC x y+ − =

egyenesek.

5p a) Határozd meg a B pont koordinátáit!

5p b) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái ( ) ( ) ( )4,0 , 0,2 , 1, 1A B C − . Határozd meg az ABC

háromszög C pontból húzott oldalfelezőjének az egyenletét!

5p c) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái ( ) ( ) ( )4,0 , 0,2 , 1, 1A B C − . Számítsd ki az ABC

háromszög területét!

2. Legyen ( )8, ,+ ⋅ a maradékosztályok gyűrűje modulo 8.

5p a) Számítsd ki a 8 gyűrűben az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 3 4 5 6 7S = + + + + + + összeget!

5p b) Számítsd ki a 8 gyűrű invertálható elemeinek a szorzatát!

5p c) Oldd meg a 8 gyűrűben a ˆ ˆˆ2 5 2

ˆ ˆ ˆ3 2 5

x y

x y

+ =

+ = egyenletrendszert!




1. Az ( )2M halmazban adottak az

2 1

1 2A

= −

, 5 4

3 1B

=

, 20 0

0 0O

=

és 21 0

0 1I

=

mátrixok.

5p a) Számítsd ki az A B⋅ mátrixot!

5p b) Oldd meg az A X B⋅ = mátrixegyenletet, ahol ( )2X ∈ M .

5p c) Bizonyítsd be, hogy az A mátrix teljesíti az 22 24 5A A I O− + = egyenlőséget, ahol 2A A A= ⋅ .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 14x y x y= + − műveletet.

5p a) Oldd meg a a valós számok halmazán az 2x x = egyenletet!

5p b) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív!

5p c) Igazold, hogy ( ), kommutatív csoport!




1. Adott az ( )

( )

2 1

2 1 3 1

3 1

x ay z

x a y z

x ay a z

+ + = + − + = + + − =

egyenletrendszer, ahol a ∈ és

1 2

1 2 1 3

1 3

a

A a

a a

= − −

az

egyenletrendszer mátrixa.

5p a) Igazold, hogy 2det 6 5A a a= − + .

5p b) Oldd meg a det 0A = egyenletet!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletrendszert 0a = esetén!

2. A valós számok halmazán értelmezett az 6 6 42x y xy x y∗ = − − + asszociatív művelet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )6 6 6, bármely ,x y x y x y∗ = − − + ∈ esetén!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x x∗ ∗ ∗ = egyenletet!

5p c) Számítsd ki: 1 2 3 ... 2009∗ ∗ ∗ ∗ .




1. Adottak az 2

2 2 1 0, ,

0 2 0 1 0 6

x yA I B

= = =

mátrixok, ahol ,x y ∈ .

5p a) Határozd meg az x valós számot, ha .A B B A⋅ = ⋅

5p b) Igazold, hogy 224( )A A I= − , ahol 2A A A= ⋅ .

5p c) Határozd meg az a valós számot úgy, hogy teljesüljön az 3 224A aA A O− + = egyenlőség, ahol

3A A A A= ⋅ ⋅ .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3x y x y= + + és ( )3 12x y xy x y∗ = − + + műveleteket.

5p a) Igazold, hogy ( )( )3 3 3x y x y∗ = − − + bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) A valós számok halmazán oldd meg az ( ) ( )( 1 ) ( 1 ) 11x x x x+ + ∗ + = egyenletet!

5p c) Oldd meg az ( )

( ) ( )1 0

, ,1 1

x yx y

x y x y

− = ∈ + ∗ = ∗ +

egyenletrendszert!




1. Adott az ( )3:f →M , ( )21 2 2

0 1 4

0 0 1

x x x

f x x

+

=

függvény.

5p a) Számítsd ki az ( ) ( )0 1f f+ összeget!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) 31 1f f I⋅ − = , ahol 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

.

5p c) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ⋅ , bármely x, y ∈ esetén!

2. Adott a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrű, ahol { }6ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5= .

5p a) Oldd meg a 6 gyűrűben az ˆ ˆˆ2 5 1x + = egyenletet!

5p

b) Számítsd ki a

ˆ ˆ ˆ 1 2 3

ˆ ˆ ˆ 2 3 1

ˆ ˆ ˆ 3 1 2

determinánst 6 -ban!

5p c) Oldd meg a ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ2 5

x y

x y

+ =

+ = egyenletrendszert, ahol 6, .x y ∈




1. Adott az ( )24 7

2 4A

− = ∈ −

M

mátrix.

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2 .A A A= ⋅

5p b) Igazold, hogy ( ) 12 2A I A I

−+ = − , ahol 21 00 1

I =

.

5p c) Határozd meg azokat az x valós számokat, amelyekre ( ) ( )2 2det detx A x A= .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 , ,x y xy x ay b a b∗ = + + + ∈ műveletet.

5p a) Határozd meg a ∈ számot úgy, hogy a „ ∗ ” művelet kommutatív legyen!

5p b) Igazold, hogy 3a = és 6b = esetén a „ ∗ ” műveletre nézve van semleges elem!

5p c) Határozd meg az a és b számokat, ha ( 3) 3,x− ∗ = − bármely x ∈ esetén!




1. Adottak az

2 1 1

1 2 1

1 1 2

A

− − = − − − −

,

1 1 1

1 1 1

1 1 1

B

− − − = − − − − − −

és 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

mátrixok. Jelölje 2X X X= ⋅ .

5p a) Számítsd ki az AB szorzatot!

5p b) Igazold, hogy 2 2 2 2( ) ( )A B A B A B+ = − = + .

5p c) Számítsd ki az ( )2A B− mátrix inverzét!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 3 3 2x y xy x y∗ = + + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )3 1 ( 1) 1, bármely ,x y x y x y∗ = + + − ∈ esetén!

5p b) Határozd meg azokat a valós számokat, amelyekre ( )2 2 5 1.x − ∗ = −

5p c) Számítsd ki: ( 2009) ( 2008) ... ( 1) 0 1 ... 2008 2009− ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ , ha a „ ∗ ” művelet asszociatív!




1. Adottak az

0 1

1 0A

= −

és 21 0

0 1I

=

mátrixok, valamint a ( ){ }22G X X I= ∈ = −2M halmaz, ahol

2 .X X X= ⋅

5p a) Igazold, hogy A G∈ .

5p

5p

b) Igazold, hogy ( )2

21 1

2 2X I X

+ =

, bármely X G∈ esetén!

c) Igazold, hogy ha X másodrendű, valós számokból álló négyzetes mátrix, amely teljesíti az

A X X A⋅ = ⋅ összefüggést, akkor x y

Xy x

= −

alakú, ahol ,x y ∈ .

2. Adott az 4 3f X aX bX c= + + + polinom, ahol , ,a b c ∈ .

5p a) Igazold, hogy 501c = esetén (1) ( 1) 1004f f+ − = .

5p b) Számítsd ki az f polinom valós gyökeit, ha 2, 2a b= − = és 1.c = −

5p c) Igazold, hogy nincsenek olyan valós , ,a b c számok, amelyekre az f polinom osztható a 3g X X= −

polinommal.




1. Adottak az

2 2

1 1A

= − −

és 21 0

0 1I

=

mátrixok, valamint a ( ){ }2G X X X= ∈ =2M halmaz,

ahol 2X X X= ⋅ .

5p a) Igazold, hogy A G∈ .

5p b) Számítsd ki a ( )3 2det 2A A A− + determinánst, ahol 3A A A A= ⋅ ⋅ .

5p c) Igazold, hogy ( )22 22X I I− = , bármely X G∈ esetén!

2. A valós számok halmazán értelmezzük a ( )2009 2009 2009x y xy x y∗ = − + + + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2009 2009 2009x y x y∗ = − − + , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Határozd meg a semleges elemet „ ∗ ” műveletre nézve!

5p c) Számítsd ki: ( ) ( ) ( ) ( )2009 2008 ... 0 ... 2008 2009 ,− ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ha a „ ∗ ” művelet

asszociatív.




1. Adott az 1

1x

xA

x

=

, mátrix, ahol x ∈ és az 2

1 0

0 1I

=

mátrix. Jelölje 2 .x x xA A A= ⋅

5p a) Határozd meg azokat az x valós számokat, amelyekre ( )det 0.xA =

5p b) Határozd meg az x valós számot, ha 22xA I= .

5p c) Igazold, hogy 2 222 (1 ) .x xA xA x I= + − ⋅

2. Adott a [ ]3 X polinomgyűrű.

5p a) Határozd meg az 3,a b ∈ értékeket, ha 1 és 2 az [ ] 23 ,f X f X a X b∈ = + + polinom

gyökei!

5p b) Számítsd ki az [ ] 3 23 , 2 2 1f X f X X X∈ = + + + polinomnak a [ ]3 , 1g X g X∈ = +

polinommal való osztási hányadosát és maradékát!

5p c) Igazold, hogy ha [ ]3f X∈ , ( )3 2ˆ ˆ ˆ2 2 1f a a X aX= + + + , akkor ( )ˆ ˆ ˆ1 2 1f a= + .




1. Adottak az

1 1 0 0 1 0

0 1 1 , 0 0 1

0 0 1 0 0 0

A B

= =

és 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

mátrixok.

5p a) Igazold, hogy 3A B I= + .

5p b) Igazold, hogy az A mátrix invertálható, és határozd meg az 1A− mátrixot!

5p c) Határozd meg az a valós számot, ha az ( ) 3X a I aA= + mátrix esetén ( )( ) ( )3det 2 1X a a= − .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2x y xy x y∗ = − − + műveletet.

5p

5p

5p

a) Igazold, hogy ( )( )1 1 1,x y x y∗ = − − + bármely ,x y ∈ esetén!

b) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

c) Számítsd ki: 1 2 2009

.2 2 2

∗ ∗ ∗…




1. Az ( )3M halmazban adottak az

4 2 2 2 2 2

2 4 2 , 2 2 2

2 2 4 2 2 2

A B

− − − − − = − − = − − − − − − − −

és C A B= + mátrixok.

Jelölje 2 .X X X= ⋅

5p a) Számítsd ki az A B⋅ szorzatot!

5p b) Számítsd ki a ( ) ( )det detA B⋅ szorzatot!

5p c) Igazold, hogy ( )2 2 6A B A B− = + .

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 2x y x y∗ = + + és 2 2 2x y xy x y= + + + műveleteket.

5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2,x y x y= + + − bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Számítsd ki az 3x = − elem inverzét a „ ” műveletre nézve!

5p c) Oldd meg az 2 2

2 2

7

16

x y

x y

∗ =

= egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .




1. Adott az

1

1 2 1

0 3 1

x y

M

=

mátrix, ahol x és y valós számok. Az xOy derékszögű koordináta-

rendszerben tekintsük az ( ) ( ) ( )1,2 , 0,3 , O 0,0A B és ( )1,2nC n n+ − pontokat, ahol n ∗∈ .

5p a) Számítsd ki az M mátrix determinánsát!

5p b) Igazold, hogy az ,A B és 2C pontok kollineárisak!

5p c) Határozd meg az n nullától különböző természetes számot úgy, hogy az nAOC háromszög

területe minimális legyen!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )( )3 3 3x y x y⊥ = − − + műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( ) 13 3 4,x

x + ⊥ + =

bármely x ∗∈ esetén!

5p b) Igazold, hogy 4e = semleges elem a „ ⊥ ” műveletre nézve!

5p c) Határozd meg az halmaz invertálható elemeit a „ ⊥ ” műveletre nézve!




1. Adott a ,a b

G a bb a

= ∈

mártixhalmaz.

5p a) Igazold, hogy bármely ,A B G∈ esetén A B G+ ∈ .

5p b) Igazold, hogy ha C G∈ az 5a = és 3b = értékekre kapott mátrix, akkor teljesül a

2210 16C C I= − egyenlőség, ahol 2C C C= ⋅ és 2

1 0

0 1I

=

.

5p c) Adj példát egy olyan D G∈ mátrixra, amelyre det 2008D = .

2. Adott az [ ] ( ) ( )2009 2009, ( ) 1 1f X f X X X∈ = + − − polinom, amelynek algebrai

alakja 2009 20082009 2008 1 0...f a X a X a X a= + + + + .

5p a) Számítsd ki az 0a értékét!

5p b) Igazold, hogy (1)f + ( 1)f − páros egész szám!

5p c) Határozd meg az f polinom valós gyökeinek számát!




1. Adottak az

0 0

0 0

0 0

a

A a

a

=

, ,a ∈ 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

mátrixok, és a ( ){ }G X AX XA= ∈ =3M

halmaz.

5p a) Számítsd ki a det A determinánst!

5p b) Igazold, hogy 2 2A X XA= , bármely ( ) X ∈ 3M esetén, ahol 2A A A= ⋅ .

5p c) Igazold, hogy ha , ,a b ∈ akkor az 3aI bA G+ ∈ .

2. Adott az ( )10042 20091f X X X= + + + polinom, amelynek algebrai alakja

2 20090 1 2 2009...f a a X a X a X= + + + +

5p a) Számítsd ki az ( )1f − értéket!

5p b) Igazold, hogy 0 1 2 2009...a a a a+ + + + páros egész szám!

5p c) Számítsd ki az f polinomnak az 2 1X − polinommal való osztási maradékát!




1. Adott a ( )1

; ; 1

1

x ab

D a b x a bx

b ax

= determináns, ahol ,a b és x valós számok.

5p a) Számítsd ki a ( )1;1;0D determinánst!

5p b) Igazold, hogy ( ); ;D a b x nem függ az x valós számtól!

5p c) Oldd meg a ( ); ; 0D a b x = egyenletet, ahol a és b pozitív valós számok!

2. Adottak az [ ],f g X∈ , 3 3f X X a= − + és 2( ) 3 2g x X X= − + polinomok, ahol a ∈ .

5p a) A valós számok halmazán oldd meg az ( ) ( )f x g x= egyenletet 2a = esetén!

5p b) Számítsd ki az f polinom gyökeit, ha a polinomnak van egy kétszeres pozitív gyöke!

5p c) Oldd meg az ( ) 3 5

2f xe g

−=

egyenletet, ha 2.a =




1. Az ( )2M halmazban adottak az 20 1 0 0

és 0 0 0 0

A O

= =

mátrixok.

5p a) Számítsd ki a 2det( )A determinánst, ha 2A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy ha ( )2X ∈ M és XA AX= , akkor létezik ,a b ∈ úgy, hogy 0

a bX

a

=

.

5p c) Igazold, hogy az 2Y A= egyenletnek nincs ( )2Y ∈ M megoldása!

2. Adott a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrű.

5p a) Számítsd ki az invertálható elemek számát a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrűben értelmezett szorzási műveletre

nézve!

5p b) Legyen S a ˆ ˆ ˆ2 1 5x + = egyenlet megoldásainak összege, és P az 2 ,x x= 6x ∈ egyenlet

megoldásainak szorzata. Számítsd ki az S P+ összeget!

5p c) Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrű valamely eleme megoldása legyen az

3 0̂x = egyenletnek!




1. Az ( )2M halmazban adottak az 2

4 8 1 0,

2 4 0 1A I

= =

és ( ) 2X a I aA= + mátrixok, ahol a ∈ .

5p a) Igazold, hogy 2 8 ,A A= ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Számítsd ki a ( )det X a determinánst!

5p c) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )8X a X b X a b ab⋅ = + + , bármely ,a b ∈ esetén!

2. Adott az ( ) [ ]6703 20101f X X X X= + + − ∈ polinom, amelynek algebrai alakja

20092009 1 0... .f a X a X a= + + +

5p a) Számítsd ki az (1) ( 1)f f+ − összeget!

5p b) Igazold, hogy az 0 1 2 2009...a a a a+ + + + összeg páros szám!

5p c) Számítsd ki az f polinomnak az 2 1X − polinommal való osztási maradékát!




1. Adottak az 1 1

, ,2

aA a

a

− = ∈

1

, , és 4

xX x y B

y

= ∈ =

mátrixok.

5p a) Határozd meg a ∈ értékét, úgy hogy ( )det 0A = .

5p b) Igazold, hogy 3a = esetén 1 2 1

3 2A− −

= − .

5p c) Oldd meg az A X B⋅ = mátrixegyenletet 3a = esetén!

2. A ( )1,1G = − halmazon értelmezzük az

1

x yx y

xy

+∗ =+

műveletet.

5p a) Számítsd ki: 1 1

2 2∗ .

5p b) Adott az ( ) ( ): 1,1 0,f − → ∞ , ( ) 1

1

xf x

x

−=+

függvény. Igazold, hogy ( ) ( ) ( ) ,f x y f x f y∗ = ⋅

bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!




1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (2,1), (1,2)A B és ( ),nC n n− pontok, ahol .n ∈

5p a) Határozd meg a 4 2C C egyenes egyenletét!

5p b) Igazold, hogy az 1, ,n nO C C + pontok kollineárisak, bármely n ∗∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az 3ABC háromszög területét!

2. Adottak az

2009 0 0

0 1 0

0 1

x

xA

x

=

, x ∈ , mátrixok, valamint a { } 3( )xG A x= ∈ ⊂ M halmaz.

5p

a) Igazold, hogy 3I G∈ , ahol 3

1 0 0

0 1 0 .

0 0 1

I

=

5p b) Igazold, hogy x y x yA A A +⋅ = bármely ,x y ∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy { }xG A x= ∈ a mátrixok szorzásával csoportot alkot!



32 II. FELADAT (30p) – Varianta 032

1. Adottak az ( )2,nA n n pontok, ahol .n ∈

5p a) Határozd meg az 0 1A A egyenes egyenletét!

5p b) Számítsd ki az 0 1 2A A A háromszög területét!

5p c) Igazold, hogy bármely, páronként különböző , ,m n p ∈ számok esetén az m n pA A A háromszög területe

természetes szám! 2. Adott az ( )4 3 2 24 4 7 4 4f X mX m X mX= + + + + + polinom, ahol m ∈ .

5p a) Határozd meg az m ∈ számot, ha 1x = gyöke a polinomnak! 5p b) Határozd meg az m ∈ számot, ha a polinom gyökeinek összege 0. 5p c) Ha 5m = − , oldd meg a valós számok halmazán az ( ) 0f x = egyenletet!




1. Adott a 1 2 3

2 3 1

3 1 2

x x x

d x x x

x x x

= determináns, ahol 1 2 3, ,x x x ∈ az 3 2 0x x− = egyenlet megoldásai.

5p a) Számítsd ki: 1 2 3x x x+ + .

5p b) Számítsd ki: 2 2 21 2 3x x x+ + .

5p c) Számítsd ki a d determináns értékét!

2. Adottak az 4 3 228 96f X aX X bX= + − + + , 2 2 24g X X= + − és 2 2( 2 24)( 4)h X X X= + − − valós

együtthatójú polinomok.

5p a) Határozd meg a h polinom algebrai alakját!

5p b) Határozd meg az ,a b ∈ értékeket úgy, hogy az f és h polinomok egyenlők legyenek!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a 16 2 8 28 4 8 2 96 0x x x x+ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = egyenletet!




1. Adott a 2

1 1 1

( ) 1 3 9

1

D a

a a

= determináns, ahol a valós szám.

5p a) Számítsd ki a (9)D determinánst!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán a ( ) 0D a = egyenletet!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a ( )3 0xD = egyenletet!

2. Adott az [ , ) ,M k= ∞ ⊂ k ∈ halmaz és értelmezzük az 2( )x y xy k x y k k∗ = − + + + műveletet,

bármely ,x y ∈ esetén.

5p a) Határozd meg a k ∈ értékét úgy, hogy 2 3 2∗ = .

5p b) 2k = esetén oldd meg az M halmazon az 6x x∗ = egyenletet!

5p c) Igazold, hogy ,x y M∗ ∈ bármely ,x y M∈ esetén!




1. Adott a 1 2 3

2 3 1

3 1 2

x x x

d x x x

x x x

= determináns, ahol 1 2 3, ,x x x ∈ az 3 3 2 0x x− + = egyenlet megoldásai.

5p a) Számítsd ki: 1 2 3x x x+ + .

5p b) Igazold, hogy 3 3 31 2 3 6x x x+ + = − .

5p c) Számítsd ki a d determináns értékét.


5p a) Igazold, hogy ( 4)( 4) 4x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Számítsd ki az x valós szám esetén az ( 4)x − értékét!

5p c) Számítsd ki a ( 2009) ( 2008) 2008 2009− − értékét, ha a „ ” művelet asszociatív!




1. Adott az

2 3 3

2 4

4 1

x y z

x y z

mx y z

− + = − + + = − + =

egyenletrendszer, ahol .m ∈

5p a) Határozd meg az m ∈ azon értékét, amelyre a (2,1, 1)− megoldása az egyenletrendszernek!

5p b) Oldd meg az 2

1 2 3

2 1 1 3

1 4

m m

m

−= −

− egyenletet, ahol .m ∈

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 5.m = −

2. Adott az 3 2( 1) 3 3f X m X X= − + − + , [ ]f X∈ polinom.

5p a) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy a polinom gyökeinek összege 1 legyen!

5p b) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az 1 3x = gyöke legyen a polinomnak!

5p c) Ha 0m = bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ ]X halmazon!



II. FELADAT (30 p) – Varianta 019

1. Az xOy derékszögű koordináta rendszerben tekintsük az 2 31

log , log 92

nn

nA

és ( ,2 ),nB n n−

n ∗∈ pontokat.

5p a) Határozd meg a 1B és 2B pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p b) Igazold, hogy n nA B= , bármely n ∗∈ esetén!

5p c) Bizonyítsd be, hogy az nA pont rajta van az 1 2A A egyenesen bármely n ∗∈ esetén!

2. Az [ ]X halmazban adottak az 4 3 2 1f X X X X= + + + + és 2 1g X X= − − polinomok.

5p a) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát és maradékát!

5p b) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor 3 2 1y y= + .

5p c) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor ( )f y nem racionális szám!




1. Adott az

3 2

2 5

4 4

x y z b

x y az

x y z

+ + = − + = + + =

egyenletrendszer, ahol a,b ∈ .

5p a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátrixának determinánsát!

5p b) Ha 1a = − és 2b = , oldd meg az egyenletrendszert!

5p c) Határozd meg a b valós számot, ha ( )0 0 0x ,y ,z az egyenletrendszer megoldása és 0 0 0 4x y z+ + = .

2. Adottak az 2 12 35f X X= − + és ( )20096 6g X X= − + − polinomok. A g polinom algebrai alakja

2009 20082009 2008 1 0...g a X a X a X a= + + + + , ahol 0 1 2009, ,...,a a a ∈ .

5p a) Számítsd ki az ( ) ( )5 5f g+ összeget!

5p b) Igazold, hogy az 0 1 2009...a a a+ + + szám negatív!

5p c) Számítsd ki a g polinomnak az f polinommal való osztási maradékát!




1. Adott az

2 3

5 2 2

( 1) 2 3 2

mx y z m

x y z

m x y z

+ + = −

− + = − + + + = −

egyenletrendszer, ahol m valós paraméter.

5p a) Határozd meg az m ∈ értékét, ha

1 1

5 2 1 12

1 2 3

m

m

− = −+

.

5p b) Határozd meg az m ∈ értékét, ha (1,2, 3)− megoldása az egyenletrendszernek.

5p c) Oldd meg az egyenletrendszert 1m = − esetén!

2. Az 3 29 9f X X X= − − + polinom gyökei 1 2 3, , .x x x ∈

5p a) Határozd meg az f polinomnak az 2 1X − polinommal való osztási maradékát és hányadosát!

5p b) Igazold, hogy 3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 39( ) 18x x x x x x+ + = + + − .

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az (3 ) 0xf = egyenletet!




1. Adottak az 1

0 1aa

M

=

alakú mátrixok, ahol a ∈ .

5p a) Számítsd ki a ( )1 2det M M+ determinánst!

5p b) Számítsd ki az 2aM mátrixot, ahol 2

a a aM M M= ⋅ .

5p c) Határozd meg azokat az ( )2X ∈ M mátrixokat, melyekre teljesül az a aM X X M⋅ = ⋅ egyenlőség,

bármely a ∈ esetén.

2. A halmazon értelmezzük az 3 33x y x y∗ = + műveletet.

5p a) Számítsd ki: 0x ∗ .

5p b) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

5p c) Igazold, hogy ha 0x ∈ és 0 1n nx x x −= ∗ , bármely n ∗∈ esetén, akkor 3x ∉ .




1. Az ( )3 ZM halmazban adott az

1 0 1

0 1 0

0 0 1

F

=

és az

1

0 1

0 0 1

a b

A c

=

mátrix.

5p a) Határozd meg az ,a b és c számokat úgy, hogy

2 3 4

0 2 5

0 0 2

A F

+ =

.

5p b) Igazold, hogy az 0a c= = és 1b = − értékekre az A mátrix az F mátrix inverze!

5p c) Oldd meg az

1 2 3

4 5 6

7 8 9

F X

⋅ =

egyenletet, ahol ( )3 .X ∈ M Z

2. Az halmazon értelmezzük az 2 1x y xy x y∗ = − − + műveletet.

5p a) Bizonyítsd be, hogy ( )( )1 1x y xy x y∗ = + − − , bármely x,y ∈ .


5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az ( )1 0x x∗ − = egyenletet!




1. Az ( )3 RM halmazban adott az 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

és az

1 1 1

0 1 1

0 0 1

X

=

mátrix. Jelölje

szern

n XXXX−

⋅⋅⋅= ... bármely n ∗∈ esetén.

5p a) Számítsd ki az 2X mátrixot!

5p b) Határozd meg az X mátrix inverzét!

5p c) Határozd meg az r valós számot úgy, hogy teljesüljön az 3 233X X rX I= + + egyenlőség!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2x yx y += műveletet.

5p a) Számítsd ki: ( )2009 2009− .

5p b) Oldd meg az halmazban az 2 64x x = egyenletet!

5p c) Igazold, hogy ha ( ) 12zx y z += , akkor x y= − .




1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (7,4), ( , )A B a a és (3, 2)C − pontok, ahol a ∈ .

5p a) 0a = esetén számítsd ki az ABC háromszög területét!

5p b) esetén határozd meg a B és C pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p c) Határozd meg az a ∈ számot, ha a B, C és ( , 2)M x − pontok kollineárisak, bármely x ∈ esetén!

2. Az 4 3 2( 3) 6 4f X aX a X X= + + + + − , [ ]f X∈ polinom gyökei 1 2 3 4, , , .x x x x

5p a) Határozd meg az a ∈ értékét úgy, hogy 1 2 3 4 3x x x x+ + + = legyen!

5p b) Határozd meg az a ∈ értékét úgy, hogy a polinom osztható legyen az 2X − polinommal!

5p c) 3a = − esetén bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X halmazon!




1. Adott az

2

2

2

x ay a z a

x by b z b

x cy c z c

+ + = + + = + + =

egyenletrendszer, ahol , ,a b c ∈ páronként különböző számok.

5p a) Ha 0a = , 1b = és 2c = , oldd meg az egyenletrendszert!

5p b) Igazold, hogy ( )( )( )det( A ) a b b c c a= − − − , ahol A az egyenletrendszer mátrixa!

5p c) Igazold, hogy az egyenletrendszer megoldása nem függ az ,a b és c valós számoktól!

2. A valós számok halmazán értelmezzük a x y x y m∗ = + + műveletet, ahol m valós szám.

5p a) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!

5p b) Határozd meg az m számot úgy, hogy az 6e = − semleges elem legyen a „ ∗ ” műveletre nézve!

5p c) Határozd meg az m számot úgy, hogy teljesüljön a ( ) ( )3 2 3 3 2m− ∗ − ∗ ∗ = egyenlőség!




1. Adott az 1 1

1 1A

= −

és az 21 0

0 1I

=

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 222A I= , ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Határozd meg az x valós számot úgy, hogy ( )2det 0A xI− = legyen.

5p c) Igazold, hogy 4 4A X X A⋅ = ⋅ , bármely ( )2X ∈ M esetén. ahol 4A A A A A= ⋅ ⋅ ⋅ .

2. Adott a { }2 22 2 1G a b a,b , a b= + ∈ − = halmaz.

5p a) Igazold, hogy 3 2 2 G+ ∈ .

5p b) Igazold, hogy ,x y G⋅ ∈ bármely ,x y G∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy a G halmaz bármely elemének van inverze a G halmazban a valós számok szorzására nézve!




5p 1. Adott a 2 , , 1a b b

G A a b ab a b

+ = = ∈ = − − halmaz.

5p a) Vizsgáld meg, hogy az 21 0

0 1I

=

és az 20 0

0 0O

=

mátrixok elemei-e a G halmaznak!

5p b) Határozd meg a 2 ( )B ∈ M mátrixot, ha 2

a b baI bB

b a b

+ = + − −

, bármely ,a b ∈ esetén!

c) Igazold, hogy a G halmaz bármely mátrixának az inverze is a G halmaz eleme!

2. Adott az 3 2 5 14f X aX X= + − + racionális együtthatójú polinom és az 1 2 3

n n nnS x x x= + + összeg, ahol

n ∗∈ és 1 2 3, ,x x x az f polinom gyökei.

5p a) Határozd meg az a racionális számot úgy, hogy az f polinomnak az egyik gyöke 1 2x = − legyen!

5p b) Oldd meg az ( ) 0f x = egyenletet, ha 4.a = −

5p c) Igazold az 3 2 142 4 5S S S+ = + egyenlőséget, ha 4.a = −




1. Adott az

a cM a,b,c,d

b d∗ = ∈

halmaz és az

1 3

2 6A

=

mátrix. Jelölje tX az X mátrix

transzponáltját.

5p a) Számítsd ki az tA A⋅ mátrixszorzatot!

5p b) Igazold, hogy az M halmaz bármely a c

Xb d

=

mátrixa esetén ( ) ( )2det tX X ad bc⋅ = − .

5p c) Igazold, hogy ha az a c

X Mb d

= ∈

mátrix esetén ( )det 0tX X⋅ = , akkor a c

b d= .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2x y xy x y= − − + műveletet.

5p a) Igazold hogy a „ ” művelet asszociatív!

5p b) Igazold, hogy bármely ( )1x,y ,∈ + ∞ esetén ( )1x y , .∈ + ∞

5p c) Határozd meg az a ∈ számot, ha teljesül az x a a= egyenlőség bármely x ∈ esetén!




1. Az ( )2M halmazban adottak az a b

Ac d =

, t a cA

b d =

, 21 00 1

I =

és 20 00 0

O =

mátrixok.

5p a) Számítsd ki az , , ,a b c d egész számokat, ha 2 22A I O+ = .

5p b) Számítsd ki a tB A A= − mátrix determinánsát!

5p c) Igazold, hogy ha 22tA A I+ = , akkor az tA A− mátrix determinánsa egy 4-gyel osztható szám.

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )( )4 4 4x y x y= − − + műveletet.

5p a) Határozd meg a művelet semleges elemét!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x= egyenletet!

5p c) Adj példát olyan , \a b ∈ számokra, amelyek esetén .a b ∈




1. Adott az 2

0 0

0 0O

=

és az a b

Ac d

=

mátrix az ( )2 RM halmazban. Jelölje tA az A mátrix

transzponáltját.

5p a) Ha 4ad = és 3bc = , számítsd ki ( )det A értékét!

5p b) Számítsd ki az tA A⋅ mátrixszorzatot!

5p c) Igazold, hogy ha az tA A⋅ mátrix elemeinek összege 0, akkor ( )det 0.A =

2. Adott az [ ]4 3 22f X X aX bX c X= + + + + ∈ polinom, amelynek gyökei 1 2 3 4, , , .x x x x

5p a) Számítsd ki az 1 2 3 4x x x x+ + + összeget!

5p b) Ha 1, 2a b= − = − és 0c = , számítsd ki az f polinom gyökeit!

5p c) Ha az f polinom gyökei számtani haladványt alkotnak, igazold, hogy 1b a= − .




1. Az 2 ( )M halmazban tekintsük az 21 0

,0 1

I

=

4 6

2 3A

− = −

és 2( )X a I aA= + mátrixokat, a ∈ .

5p a) Számítsd ki az 3A mátrixot, ahol 3A A A A= ⋅ ⋅ .

5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )X a X b X a b ab⋅ = + + , bármely ,a b ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az (1) (2) (3) ... (2009)X X X X+ + + + összeget!

2. Tekintsük a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrűt, ahol { }6ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5 .=

5p a) Oldd meg a 6 halmazon a ˆ ˆˆ2 5 1x + = egyenletet!

5p

b) Számítsd ki a 6 halmazban az

ˆ ˆ ˆ 1 2 3

ˆ ˆ ˆ 2 3 1

ˆ ˆ ˆ 3 1 2

determinánst!

5p c) Oldd meg a 6 halmazon a

ˆ ˆ2 4

ˆ ˆ2 5

x y

x y

+ =

+ = egyenleterendszert!




1. Adott az ( )( )

4 4 15

3 4 5 22

3 2 3 16

x y z

x a y z

x y a z

+ + = + + + = + + − =

egyenletrendszer, ahol a ∈ R .

5p a) Ha 1a = számítsd ki a rendszer mátrixának a determinánsát!

5p b) Igazold, hogy a ( )7,1,1 számhármas nem lehet a rendszer megoldása, bármely a ∈ esetén!

5p c) Határozd meg az egyenletrendszer azon ( )0 0 0, ,x y z megoldását, amelyre 0 0 3y z+ = .

2. A Z halmazon értelmezzük az 1x y x y⊥ = + + , 1x y ax by= + − műveleteket, ahol ,a b ∈ Z ,

valamint az :f →Z Z , ( ) 2f x x= + függvényt.

5p a) Igazold, hogy ( ) ( )1 1x x x⊥ − = − ⊥ = , bármely x ∈ Z esetén!

5p b) Határozd meg az ,a b ∈ Z számokat úgy, hogy a „ ” művelet asszociatív legyen!

5p c) Ha 1a b= = igazold, hogy az f függvény morfizmus a ( ),⊥ és ( ), csoportok között!




1. Adottak az 3

3 1 1 0 3 4 1 0 0

0 3 1 , 0 0 3 , 0 1 0

0 0 3 0 0 0 0 0 1

A B I

= = =

mátrixok, valamint az

3 3: ( ) ( ),f →M M 23( ) 3f X X X I= − + függvény, ahol 2X X X= ⋅ .

5p a) Számítsd ki: 3det( )I B+ .

5p b) Bizonyítsd be, hogy 3( )f A I B= + .

5p c) Igazold, hogy ( )3 23( ) 3 3f A I B B= + + , ahol ( )3( ) ( ) ( ) ( )f A f A f A f A= ⋅ ⋅ .

2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3x y x y∗ = + − és ( )( 3) 3 3x y x y= − − + műveleteket.

5p a) Oldd meg az egész számok halmazán az x x x x= ∗ egyenletet!

5p b) Határozd meg az a egész számot úgy, hogy teljesüljön az 3x a= egyenlőség bármely x egész szám esetén!

5p c) Oldd meg az ( 1) 4

( ) 1 5

x y

x y

∗ + = − =

egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .




1. Adott az 25 0

( )0 1

A

= ∈

M mátrix. Legyen ... .n

n szer

A A A A−

= ⋅ ⋅ ⋅

5p a) Számítsd ki az 2A A+ mátrixot!

5p b) Oldd meg a ( )det 2 5 125n nA = ⋅ − egyenletet, ha ismert, hogy 5 0

0 1

nnA

=

, , 2.n n∀ ∈ ≥

5p c) Határozd meg a 2 2009...B A A A= + + + mátrix transzponáltját!

2. Adott az 4 2f X mX n= + + polinom, , .m n ∈ A polinom gyökei 1 2 3 4, , ,x x x x .

5p a) Határozd meg ,m n ∈ értékeket, ha 1 0x = és

2 1x =

az f polinom gyökei!

5p b) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy a polinom gyökeire teljesüljön az 2 2 2 21 2 3 4 2x x x x+ + + =

összefüggés!

5p c) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X halmazon, ha 1m = és 1.n =




1. Az xOy derékszögű koordináta rendszerben adottak az (0,0)O és ( ,2 )nnA n pontok, .n ∈

5p a) Igazold, hogy az 1 2, ,O A A pontok kollineárisak!

5p b) Hány egyenes megy át legalább két ponton az 0 1 2, , ,O A A A pontok közül?

5p c) Számítsd ki az 1 2, ,n n nA A A+ + pontok által meghatározott háromszög területét, n ∈ .

2. Tekintsük a { }xG A x= ∈ halmazt, ahol

1 0 0

0 1 0 , .

0 1xA x

x

= ∈

5p a) Igazold, hogy ,x y x yA A A +⋅ = ahol ,x y ∈ .

5p b) A G halmaz a mátrixok szorzásával csoportot alkot. Határozd meg a ( ),G ⋅ csoport semleges elemét!

5p c) Igazold, hogy az : , ( ) xf G f x A→ = függvény csoportmorfizmus a ( ),+ és ( ),G ⋅ csoportok között!




1. Adottak az ( )0 0U = , ( )X x y= és 9

1

vV

v

=

mátrixok, ahol , ,v x y ∈ .

5p a) Igazold, hogy ha X V U⋅ = , akkor 2( 9) 0x v⋅ − = .

5p b) Határozd meg a v valós szám azon értékeit, amelyekre a V mátrix determinánsa zérótól különböző!

5p c) Határozd meg a

3 0

9 3 0

x y

x y

+ = + =

egyenletrendszer három különböző megoldását!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 33 1x y x y= + − műveletet.

5p a) Igazold, hogy ( ) 1x x− = − , bármely x valós szám esetén.

5p b) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív!

5p c) Számítsd ki: ( ) ( )4 3 ... 3 4.− −




1. Adott az

2

2 3

2

x y z

x y z

x y z a

+ + = + − = − + =

egyenletrendszer, ahol a ∈ .

5p a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátrixának determinánsát!

5p b) Ha 0a = , oldd meg az egyenletrendszert!

5p c) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az egyenletrendszer megoldása teljesítse az x y z= +

összefüggést!

2. Adott az [ ]f X∈ , 3 22 8f X X aX= − + − polinom.

5p a) Határozd meg az a valós számot úgy, hogy az f polinom egyik gyöke 2 legyen!

5p b) Ha 4a = , számítsd ki az f polinomnak a 2 2 4g X X= − + polinommal való osztási hányadosát és

maradékát!

5p c) Igazold, hogy ha ( )2,a ∈ +∞ , akkor az f polinom nem minden gyöke valós!




1. Az ( )2M halmazban az A mátrix transzponáltját jelöljük tA -vel.

5p a) Számítsd ki az 2 2tI I+ mátrixot, ahol 2

1 0

0 1I

=

.

5p b) Bizonyítsd be, hogy bármely ( )2A ∈ M és m ∈ esetén ( )t tmA mA= .

5p c) Határozd meg azokat az ( )2A ∈ M mátrixokat, amelyekre 2tA A O+ = , ahol 2

0 0

0 0O

=

.

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )( )2 2 2x y x y∗ = − − + műveletet.

5p a) Oldd meg az x x x∗ = egyenletet, ahol x ∈ .


5p c) Határozd meg a semleges elemet a „ ∗ ” műveletre nézve!




1. Adott az 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

és az

2 0 0

0 1 0

0 1 1

A

=

mátrix.

5p a) Határozd meg az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 3 234 5 2A A A I= − + , ahol 3 2A A A= ⋅ .

5p c) Határozd meg az , ,m n p valós számokat, ha 1 23A mA nA pI− = + + , ahol 1A− az A mátrix inverze!

2. Adottak az 1 2 3, ,x x x valós számok, amelyekre teljesülnek az

1 2 3 1 2 2 3 3 11 2 3

1 1 1 12; ; 2

2x x x x x x x x x

x x x+ + = + + = + + = − egyenlőségek.

5p a) Számítsd ki az 1 2 3x x x szorzatot!

5p b) Határozd meg , ,a b c ∈ számokat úgy, hogy 1 2 3, ,x x x az 3 2 0x ax bx c+ + + = egyenlet gyökei

legyenek!

5p c) Bontsd fel az 3 22 2 4f X X X= − − + polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X

halmazban!




1. Adott az ( ),a b

M A a b a,bb a b

= = ∈ − − halmaz és az 2

1 0

0 1I

=

mátrix.

5p a) Számítsd ki az (1,1)A mátrix determinánsát!

5p b) Bizonyítsd be, hogy ha ,A B M∈ akkor A B M+ ∈ .

5p c) Igazold, hogy ( )( )2det 0, 0I A b− ≠ , bármely b ∈ esetén!

2. Adott a [ ]3 XZ polinomgyűrű.

5p a) Ha [ ] ( ) ( )2

3 , 2 1g X g X X∈ = + +Z , számítsd ki ( )0̂g értékét!

5p b) Ha [ ]3f X∈ Z , 3 2f X X= + , igazold, hogy ( ) 0f x = , bármely 3x ∈ esetén!

5p c) Határozd meg az összes olyan [ ]3h X∈ harmadfokú polinomot, amelyekre

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ0 1 2 0h h h= = = .



II. FELADAT (30 p) – Varianta 017

1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (0,0)O és ( ,2 1)nA n n + pontok, ahol .n ∈

5p a) Határozd meg az 21 AA egyenes egyenletét!

5p b) Számítsd ki az 21 AOA háromszög területét!

5p c) Bizonyítsd be, hogy az ( ,2 1),nA n n + n ∈ pontok kollineárisak!

2. Adott az

0

( ) 0 0 0

0

a a

M A a a

a a

= = ∈

halmaz.

5p a) Igazold, hogy ( ) ( ) (2 )A a A b A ab⋅ = , bármely a és b valós szám esetén!

5p b) Igazold, hogy az

1

2A

semleges elem a mátrixok szorzására nézve az M halmazon!

5p c) Számítsd ki az (1)A M∈ elem inverzét a mátrixok M halmazon tekintett szorzására nézve!



12 II. FELADAT (30p) – Varianta 012

1. Adottak az

1 1 1

0 1 1 ,

0 0 1

A

=

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

és

0 1 1

0 0 1

0 0 0

B

=

mátrixok. Legyen 2.X X X⋅ =

5p a) Igazold, hogy 3A I B= + .

5p b) Számítsd ki az 2 2A B+ összeget! 5p c) Határozd meg az 2A mátrix inverzét! 2. A valós számok halmazán értelmezzük az 7( ) 42x y xy x y= + + + műveletet.

5p a) Számítsd ki: 2 ( 2)− .

5p b) Igazold, hogy ( 7)( 7) 7x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x= egyenletet, ha a ismert, hogy a „ ” művelet asszociatív.




1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (0,0)O és az ( 2,3 2)nA n n+ − pontok, n ∈ .

5p a) Határozd meg az 1A és 2A pontokon átmenő egyenes egyenletét!

5p b) Számítsd ki az 0 1OA A háromszög területét!

5p c) Bizonyítsd be, hogy az 1 2, A A és nA pontok kollineárisak bármely ,n ∈ 3n ≥ esetén!

2. Adottak az 5 353 3 3 4 [ ]f X X X X= + + + ∈ és 3 2

53 3 2 3 [ ]g X X X X= + + + ∈ polinomok.

5p a) Számítsd ki az (0) (1)f f+ összeget!

5p b) Oldd meg a 5 halmazban az ( ) 0f x = egyenletet!

5p c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát!




1. Adottak az

2 1

4 2A

− = −

, 21 0

0 1I

=

, 20 0

0 0O

=

mátrixok, valamint a

( ) ( ){ } ( )2 2, , , ,G M x y M x y xI yA x y= = + ∈ ⊂ M halmaz.

5p a) Igazold, hogy 22A O= , ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Határoz meg az ( )1,1M mátrix inverzét!

5p c) Határozd meg a G halmaz invertálható mátrixait!

2. Az [ ]X halmazban adott az 3 2 1f X pX= + + polinom, ahol p ∈ . Az f gyökei 1 2 3, ,x x x .

5p a) Számítsd ki ( )f p− értékét!.

5p b) Határozd meg a p ∈ számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az 1X − polinommal!

5p c) Számítsd ki az 4 4 41 2 3x x x+ + összeget a p ∈ függvényében!




1. Adott a 2 22 , , 3 1 ( )

3

a bG a b a b

b a

= ∈ − = ⊂

M halmaz.

5p a) Igazold, hogy 21 0

0 1I G

= ∈

és 20 0

0 0O G

= ∉

.

5p b) Igazold, hogy bármely két ,A B G∈ mátrix esetén teljesül az A B B A⋅ = ⋅ egyenlőség!

5p c) Igazold, hogy a G bármely mátrixának inverze is a G halmaz eleme!

2. Adott az 3 211 7f mX X X m= + + + , [ ]f X∈ polinom.

5p a) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a 1g X= − polinommal!

5p b) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy ( )2f ∈ legyen!

5p c) Számítsd ki az f polinom gyökeinek négyzetösszegét, ha 9.m = −




1. Adottak az 1 1

1 1A

=

, 1 1

1 1B

− = −

és 20 0

0 0O

=

mátrixok.

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 22AB B O− = .

5p c) Igazold, hogy ha ( )2X ∈ M és 2A X B O⋅ ⋅ = , akkor az X mátrix elemeinek összege zéró.

2. Adottak az [ ]2,f g X∈ , 2 1f X= + és 1g X= + polinomok, valamint a

{ }22, ,H a bX cX a b c= + + ∈

halmaz.

5p a) Igazold, hogy 2g f= .

5p b) Határozd meg az f g+ polinomnak az f polinommal való osztási maradékát és hányadosát!

5p c) Határozd meg a H halmaz elemeinek számát!




1. Adott az

1

0 1 , ,

0 0 1

a c

M b a b c

= ∈

halmaz.

5p a) Ha

1 2 1

0 1 3

0 0 1

A

=

és

1 3 1

0 1 2

0 0 1

B

=

, számítsd ki az AB mátrixot!

5p b) Igazold, hogy bármely ,X Y ∈ M esetén XY ∈ M .

5p c) Igazold, hogy ha U ∈ M és VU UV= , bármely V ∈ M esetén, akkor létezik p ∈ úgy, hogy

1 0

0 1 0

0 0 1

p

U

=

.

2. Adott az ( )22 22 1f X X a= − + − polinom, ahol a ∈ .

5p a) Ha 0a = , oldd meg az ( ) 0f x = egyenletet!

5p b) Igazold, hogy ( )( )2 22 1 2 1f X X a X X a= − + + − + − .

5p c) Határozd meg azon a ∈ számokat, amelyekre az f polinom minden gyöke valós!




1. Adott az { }2M aI bV a,b= + ∈ halmaz, ahol 21 0

0 1I

=

és 1 1

1 1V

− = −

.

5p a) Igazold, hogy 2I M .∈

5p b) Igazold, hogy ha A M∈ és A invertálható, akkor 0a ≠ .

5p c) Ha A,B M∈ igazold, hogy AB M∈ .

2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )5 30x y xy x y∗ = − + + műveletet.

5p a) Bizonyítsd be, hogy ( )( )5 5 5x y x y∗ = − − + , bármely x, y ∈ esetén!

5p b) Határozd meg a semleges elemet a „ ∗ ” műveletre nézve!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x∗ ∗ = egyenletet, ha ismert, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!




1. Adott az ( ) tf A A A= + összefüggéssel értelmezett ( ) ( )2 2:f →R RM M függvény, ahol tA az A

mátrix transzponáltja.

5p a) Számítsd ki az 2( )f I .mátrixot!

5p b) Igazold, hogy ( )t t tA B A B+ = + , bármely ( )2,A B ∈ RM esetén!

5p

c) Határozd meg azokat az ( )2A ∈ RM mátrixokat, melyekre det 1A = és 2( )f A O= , ahol

20 0

0 0O

=

.

2. Adott az 4 3 1 0x ax ax− − + = egyenlet, melynek megoldásai 1 2 3 4, , ,x x x x , ahol a ∈ .

5p a) Határozd meg az a ∈ számot, ha 1 2 3 4 5x x x x+ + + = .

5p b) Ha 1a = , határozd meg az egyenlet valós megoldásait!

5p c) Határozd meg az a egész szám azon értékeit, amelyekre az egyenletnek legalább egy megoldása egész szám!




1. Adott az 0 , . .

0 0

a b c

M a d a b c d

a

= ∈

R halmaz és az 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

O

=

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 3O M∈ .

5p b) Igazold, hogy az M halmaz két tetszőleges mátrixának a szorzata benne van az M halmazban!

5p c) Ha A M∈ és ( )det 0A = , igazold, hogy 33A O= , ahol 3A A A A= ⋅ ⋅ .

2. Adott az 4 3 2f X X aX bX c= − + + + polinom, ahol , ,a b c ∈ .

5p a) Ha 1a c= = és 1b = − határozd meg az f polinomnak az 2 1X + polinommal való osztási

maradékát és hányadosát!

5p b) Határozd meg az a, b, c számokat, ha az f polinomnak az 2 1X + -gyel való osztási maradéka

X , valamint az f polinomnak 1X − -gyel való osztási maradéka 1− .

5p c) Igazold, hogy ha 1

, ,2

a ∈ + ∞

akkor az f polinomnak nem minden gyöke való!




1. Adottak az 3 4

2 3A

=

, 1 2

1 1B

=

és 21 0

0 1I

=

mátrixok.

5p a) Számítsd ki a 2B mátrixot, ahol 2B B B= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 1 3 4

2 3A− −

= − .

5p c) Igazold, hogy 4 426C I= ⋅ , ahol 2 1C B A−= + és 4 .C C C C C= ⋅ ⋅ ⋅ .

2. Adottak az 3 2 1f X aX X= + + + és 3g X= + polinomok a 5[ ]XZ gyűrűben.

5p a) Határozd meg az 5a ∈ értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen g polinommal!

5p b) Igazold, hogy 1a = esetén 2( 1)( 1)f X X= + + .

5p c) Oldd meg a 5( , , )+ ⋅Z gyűrűben az ( ) 0f x = egyenletet, ha 1.a =




1. Adott az 2

1

2 1

4 1

x y z

x y az

x y a z

+ + =

+ + = + + =

egyenletrendszer, valamint az 32

1 1 1

( ) 1 2 ( )

1 4

A a a

a

= ∈

M mátrix.

5p a) Számítsd ki a det( (4))A determinánst!

5p b) Határozd meg az a ∈ azon értékeit, melyekre az ( )A a mátrix invertálható!

5p c) Ha \{1,2}a ∈ , oldd meg az egyenletrendszert!

2. Adott az 3 2 4f X aX aX= + − − , [ ]f X∈ polinom.

5p a) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy 1 2 3 2x x x+ + = − legyen, ahol 1 2 3, ,x x x az f

polinom valós gyökei!

5p b) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az 2 2X − polinommal!

5p c) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az f polinomnak legyen egy pozitív racionális gyöke!




1. Az ( )2 RM halmazban adott az 21 0

0 1I

=

és az a b

Ac d

=

mátrix. Jelölje 2A A A= ⋅ .

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot!

5p b) Igazold, hogy ( ) ( )22A a d A ad bc I= + − − .

5p c) Igazold, hogy ha 0a d+ ≠ és az ( )2M ∈ M mátrix esetén 2 2A M MA= , akkor AM MA= .

2. Adott az [ ]f X∈ , 3 22f X X aX b= − + + polinom, melynek gyökei 1 2 3, ,x x x .

5p a) Ha 1a = és 0b = , számítsd ki az 1 2 3, ,x x x gyököket!

5p b) Ha 2 2 21 2 3 2x x x+ + = igazold, hogy 1a = .

5p c) Határozd meg az a és b valós számokat, ha 2 2 21 2 3( )( )( )f X x X x X x= − − − .




1. Adottak az

1

2 ,

3

X

=

1

2

3

Y

= −

és 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

mátrixok. Legyen tA X Y= ⋅ és

3( )B a aA I= + , ahol a ∈ és tY az Y mátrix transzponáltja.

5p a) Igazold, hogy

1 2 3

2 4 6

3 6 9

A

− = − −

.

5p b) Számítsd ki az A mátrix determinánsát!

5p c) Igazold, hogy a ( )B a mátrix invertálható, bármely 1

\4

a ∈

esetén!

2. Adottak az 5, [ ]f g X∈ , 2(3 3 ) 2 2 3f a b X X a b= + + + + és 22 2 3 2g X X a b= + + + polinomok.

5p a) Határozd meg az 5,a b ∈ értékét úgy, hogy a két polinom egyenlő legyen!

5p b) Számítsd ki az (0) (1) (2) (3) (4)f f f f f+ + + + összeget, ha 2.a b= =

5p c) Oldd meg a 5 halmazban az ( ) 0f x = egyenletet, ha 2.a b= =




1. Adott az , ,a b

M a b cb c

= ∈

halmaz és az 21 0

0 1I

=

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 2I M∈ .

5p b) Ha ,A B M∈ igazold, hogy A B M+ ∈ .

5p c) Igazold, hogy ( ) 0det AB BA− ≥ , bármely ,A B M∈ esetén!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 2 2x y xy x y∗ = − + + − műveletet.

5p a) Oldd meg a valós számok halmazán az 4 10x ∗ = egyenletet!

5p b) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy teljesüljön az x a a x a∗ = ∗ = egyenlőség bármely x ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az 1 2 4018

2009 2009 2009∗ ∗ ∗… értékét, ha tudjuk, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!




1. Adottak az 20 0

0 0O

=

, 21 0

0 1I

=

és az 0 1

Aa b

=

mátrixok, ahol ,a b ∈ . Legyen 2A A A.= ⋅

5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot!

5p b) Igazold, hogy 22A aI bA= + , ahol 2A A A= ⋅ .

5p c) Ha ( )2X ∈ M és AX XA= , igazold, hogy létezik m,n ∈ úgy, hogy 2X mI nA= + .

2. Adott az 4 3 1f X aX X= + − − polinom, ahol a ∈ .

5p a) Határozd meg az a számot, ha 1x = gyöke az f polinomnak!

5p b) Ha 1a = , határozd meg az f polinom valós gyökeit!

5p c) Igazold, hogy ( ) 0f x ≠ , bármely x \∈ .




1. Adott az 3 1

,1 3

xA x

x

− = ∈ −

mátrix. Jelölje 2A A A= ⋅ és 21 0

.0 1

I

=

5p a) Határozd meg az x valós szám értékét, ha ( )det 0A = .

5p b) Igazold az ( ) ( )2 222 6 6 8A x A x x I= − − − + ⋅ egyenlőséget!

5p c) Határozd meg az x ∈ azon értékét, amelyre teljesül az 2 2A A= egyenlőség!


5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2, bármely ,x y x y x y= − − + ∈ esetén!

5p b) Igazold, hogy 2 2,x = bármely x ∈ esetén!

5p c) Számítsd ki az ( ) ( ) ( )2009 2008 1 0 1 2 2009E = − − −… … kifejezés értékét, ha a „ ”

művelet asszociatív!




1. Adott az , ,a b

M a b cc a

= ∈

halmaz, valamint az 21 0

0 1I

=

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 2I M∈ .

5p b) Ha ,A B M∈ , igazold, hogy A B M+ ∈ .

5p c) Bizonyítsd be, hogy ( )det 0AB BA− ≤ , bármely ,A B M∈ esetén!

2. Adott az [ ]{ }23M f X f X aX b= ∈ = + + halmaz.

5p a) Számítsd ki ( )1f értékét, ha 1a b= = .

5p b) Határozd meg 3,a b ∈ értékét úgy, hogy ( ) ( )0 1 1.f f= =

5p c) Határozd meg az M halmaz elemeinek számát!




1. Adott a ,

a b b

G b a b a b

b b a

= ∈

halmaz, valamint a

1 1 1

1 1 1

1 1 1

B

=

és 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

=

mátrix.

5p a) Igazold, hogy 2 3B B= , ahol 2B B B= ⋅ .

5p b) Igazold, hogy 3mI nB G+ ∈ , bármely ,m n ∈ esetén!

5p c) Igazold, hogy ha A G∈ és 23A O= , akkor 3A O= , ahol 3

0 0 0

0 0 0

0 0 0

O

=

és 2 .A A A= ⋅

2. Adott az [ ]4 212 35,f X X f X= − + ∈ polinom.

5p a) Bizonyítsd be, hogy ( )22 6 1f X= − − .

5p b) Igazold, hogy a polinomnak nincsenek egész gyökei!

5p c) Bontsd fel a polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]XR halmazon!




1. Adott az 22 6

( )1 3

A−

= ∈ − M mátrix. Legyen 2

0 00 0

O =

és szern

n AAAA−

⋅⋅⋅= ... , bármely n ∗∈ .

5p a) Számítsd ki az .A mátrix determinánsát!

5p b) Igazold, hogy 2 32A A O+ = .

5p c) Számítsd ki az 2 102 10A A A+ ⋅ + + ⋅ összeget!

2. Adottak az , [ ]f g X∈ , 10 10( 1) ( 2)f X X= − + − és 2 3 2g X X= − + polinomok.

5p a) Bontsd fel a g polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X halmazon!

5p b) Igazold, hogy az f polinom nem osztható a g polinommal!

5p c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát!




1. Az 2 ( )M halmazban adottak az 1 2

2 4A

=

, 4 2

2 1B

− = −

és 21 0

0 1I

=

mátrixok.

5p a) Igazold, hogy AB BA= .

5p b) Számítsd ki az 2 2A B+ mátrixot ha 2A A A= ⋅ és 2B B B= ⋅ .

5p c) Bizonyítsd be, hogy 4 425 ,C I= ⋅ ahol C A B= + és 4 .C C C C C= ⋅ ⋅ ⋅

2. Adottak az 4 3 2 5 6f X aX bX X= + + − + és 3 2g X X= + − racionális együtthatójú polinomok.

5p a) Határozd meg ,a b ∈ értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal!

5p b) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ ]X halmazon, ha 3a = − és 1.b =

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a 13 23 3 3 5 6 3 0x x x x+ −− + − + ⋅ = egyenletet!




1. Adott a

a b c

d c a b

b c a

= determináns, ahol , ,a b c ∈ .

5p a) Számítsd ki a d determinánst, ha 2a = , 1b = és 1.c = −

5p b) Igazold, hogy ( )2 2 21

( ) ( ) ( ) ( )2

d a b c a b b c c a= + + − + − + − , bármely , ,a b c ∈ esetén!

5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a 8 27 125 3 (2 3 5) 0x x x x+ + − ⋅ ⋅ ⋅ = egyenletet!

2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 6 6 21x y xy x y= − − + műveletet.

5p a) Igazold, hogy 2( 3)( 3) 3,x y x y= − − + bármely ,x y ∈ esetén!

5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az 11x x = egyenletet!

5p c) Számítsd ki az 1 2 3 2009… értékét, ha a „ ” művelet asszociatív!

Documents

electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare