Upload
others
View
36
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
1
1. MEHANIKA
1.1 KINEMATIKA 1. Brzinata na nekoe telo se menuva spored dijagramot
na sl.1:
8642
10
100
-5
s
mυ
s
mυ
)(st
Sl.1
a) da se opredeli vkupniot pat {to go izminalo teloto vo tekot na svoeto dvi`ewe; b) ako teloto se dvi`i vo eden pravec, da se opredeli rastojanieto pome|u po~etnata i krajnata polo`ba; v) da se nacrtaat dijagramite na izminatiot pat i rasto-janieto na teloto od po~etnata polo`ba, pod uslov pravecot na dvi`ewe da ne se menuva. Re{enie: a) Spored dijagramot na sl.1 teloto se dvi`i samo vo tri vremenski intervali: (2-4)s, (6-8)s i (8-10)s. Izminatite pati{ta vo soodvetnite vremenski intervali se :
m 20m 210111 =⋅== ts υ (1)
m 20m 210222 =⋅== ts υ (2)
m 10m 25333 =⋅== ts υ (3)
Vkupniot izminat pat se dobiva so sobirawe na ravenkite (1), (2) i (3) i iznesuva:
m 50321 =++= ssss (4)
b) rastojanieto pome|u po~etnata i krajnata polo`ba iznesuva
m 30)( 321 =−+= sssd (5)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
2
v) dijagramite na vkupniot izminat pat )(ts i rasto-
janieto pome|u po~etnata i krajnata polo`ba )(td se dadeni na
sl.2 i sl.3:
8642
20
100
)(st
40
s(m)
Sl.2
8642
20
100
40
d(m)
)(st
Sl.3
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
3
2. Na sl.1 e daden dijagramot na brzinata na nekoe telo. Da se nacrta soodvetniot dijagram na zabrzuvaweto.
10
302010 ( )st st
s
mυ
s
mυ
0
Sl.1
Re{enie:
Zabrzuvaweto na teloto iznesuva:
s
m2
5
10 ===t
aυ
(1)
Dijagramot na zabrzuvaweto e daden na sl.2:
2
-2
0 10 20
30
)sm( 2a
)s(t
Sl.2
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
4
3. Na sl.1 e daden dijagramot na brzinata na nekoe telo. Da se opredelat karakteristikite na dvi`eweto.
20
)(st )(st
smυ
smυ
0
10
30
1 2 3 4 5 6
4. 2 Sl.1
Re{enie:
Spored dijagramot na sl.1:
- po~etnata brzina na teloto iznesuva sm300 =υ ;
- vo vremenskiot interval (0-4,2)s teloto ja namaluva svojata brzina i vo vremenski moment s 2,41 =t taa iznesuva sm01 =υ .
Zabrzuvaweto so koe se dvi`elo teloto vo ovoj vremenski in-terval iznesuva:
2
01
01 sm 14,7−=−−
=tt
aυυ
(1)
Znakot “-“ vo gornata relacija uka`uva deka brzinata se na-maluva so tekot na vremeto. - vo vremenskiot interval (4,2-5)s teloto miruva, a potoa zapo~nuva da se dvi`i vo sprotivna nasoka so zabrzuvawe
2sm 14,7=a .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
5
4. Na sl.1 e daden dijagramot na zabrzuvaweto na edno telo koe {to se dvi`i. Ako se smeta deka teloto prethodno miruvalo, da se nacrta soodvetniot dijagram na brzinata.
5
)(st
2s
ma
0
10
5 10 15 20 25
Sl.1
Re{enie: Dijagramot na brzinata za dvi`ewe na teloto spored sl.1 e daden na sl.2:
50
( )st st
smυ
smυ
05 10 15 20 25
200
Sl.2 Trgnuvaj}i od sostojba na miruvawe, za vreme s 01 teloto
se dvi`i so zabrzuvawe 2sm 5 , pri {to negovata brzina izne-
suva sm 05 . Vo preostanatite s 51=t teloto se dvi`i so zabr-
zuvawe 2sm 10=a . Imaj}i vo predvid deka po~etnata brzina
iznesuva sm 500 =υ , brzinata na teloto }e iznesuva:
sm 2000 =+= atυυ (1)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
6
5. Avtomobilska kolona dolga km 2=l se dvi`i so
brzina hkm 361 =υ . Od edniot kraj na kolonata trgnuva moto-
ciklist so brzina hkm 542 =υ , dvi`ej}i se kon zadniot kraj na
kolonata. Otkoga }e dojde na krajot od kolonata, povtorno se vra}a na po~etokot. Kolkav pat izminal motociklistot za vreme na svoeto dvi`ewe i kolkavo e toa vreme? Re{enie: Dadeno: Se bara:
km 2=l , h
km 361 =υ ,
h
km 542 =υ ?−t , ?−s
Vkupnata brzina na motociklistot koga se dvi`el sprotivno od nasokata na dvi`ewe na kolonata iznesuva
21' υυυ += , a vo nasoka na dvi`ewe na kolonata 12'' υυυ −= .
Soodvetnite vremiwa za koi {to se dvi`el motociklistot se
21
1l
υυ +=t i
122
l
υυ −=t (1)
Vkupnoto vreme na dvi`ewe iznesuva
21
22
221
2l
υυυ−
=+= ttt (2)
a vkupniot izminat pat
21
22
22
2
2l
υυυυ−
== ts (3)
Soodvetnite brojni vrednosti se: s 480=t ; m 7200=s .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
7
6. Avtomobil poa|a od gradot A kon gradot B i se dvi`i pravoliniski. Posle polovina ~as, od gradot B kon gradot A trgnuva drug avtomobil po istiot pat. Srednata brzina na
prviot avtomobil e hkm 501 =υ , a na vtoriot hkm 452 =υ . Ako
dvata gradovi se na me|usebno rastojanie km 480=d , koga i kade }e se sretnat dvata avtomobili? Re{enie: Dadeno: Se bara:
s
m 89,13
3600
100050hkm 501 =⋅==υ ?−t
s
m 5,12
3600
100045hkm 452 =⋅==υ ?−s
m 104,8km 480 5⋅==d , s 1800h 5,0 ==∆t
A B1
→υ 2
→υ
d x
Sl.1 Promenata na vektorot na polo`ba so tekot na vremeto:
trr→→→
+= υ0 (1)
Za slu~ajot na ednodimenzionalno dvi`ewe prika`an na sl.1, proekcijata na (1) vdol` x-oskata glasi: -za prviot avtomobil: 111 tx υ= (2)
-za vtoriot avtomobil: 222 tdx υ−= (3)
Vo momentot na sredba, koordinatite na dvata avtomo-bili }e stanat ednakvi, pa so izedna~uvawe na (2) i (3), otkako
}e se stavi ttt ∆+= 21 , se dobiva:
( )ttdt ∆−−= 1211 υυ (4)
Od relacijata (4), ako se izrazi vremeto 1t , se dobiva:
21
21 υυ
υ+
∆+=
tdt (5)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
8
So zamena na brojnite vrednosti vo (5), se dobiva s 181891 ≈t .
Zna~i, posle 18189 s od po~etokot na dvi`eweto na prviot av-tomobil, toj }e se sretne so vtoriot.
Vremeto 1t od (5) da go stavime vo (2):
( )
21
211 υυ
υυ+
∆+=
tdx (6)
Ako se zamenat brojnite vrednosti se dobiva m 10526,2 51 ⋅≈x .
Spored toa, mestoto na sredba na dvata avtomobili e od-
dale~eno km 252,61 =≡ xs od gradot A.
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
9
7. Na platforma koja {to se dvi`i pravoliniski so
konstantna brzina sm 21 =υ , postavena e tenka cevka pod agol
o70=α (sl.1). Kapka pa|a so konstantna brzina 2υ i doa|a vo
to~kata A, bez pritoa da gi dopre yidovite na cevkata. Kol-
kava treba da bide brzinata 2υ ?
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:
sm 21 =υ , o70=α 2υ -?
2
→υ
α1
→−υ
r
→υ
Sl.2 Od dijagramot na brzinite prika`an na sl.2 se gleda deka
stg m 6,512 == αυυ (1)
1
→υ
2
→υ
Aα
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
10
*8. Motoren ~amec ja preminuva rekata pome|u to~kite A i B (sl.1) koi se na rastojanie m 400=d . Brzinata na tekot na
rekata e sm 21 =υ i e konstantna vdol` patot AB. Pravecot na
dvi`ewe e postaven pod agol o45=α vo odnos na bregot. So
kolkava brzina 2υ i pod koj agol β vo odnos na bregot treba da
se naso~i ~amec, za rastojanieto ABA da go izmine za vreme min 4=t ? Agolot β e ist pri dvi`ewe na ~amecot i vo dvete
nasoki.
α
A
B
2
→υ
1
→υ
β
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 400=d , sm 21 =υ , o45=α , s 240=t ?2 −υ ?−β
α
A
B2
→υ
1
→υ
β
xy
Sl.2 proekciite na vektorite na brzinata na x-oskata: βυαυυ coscos 21 +=AB (2)
Proekciite na vektorite
na brzinite 1
→υ i 2
→υ na y-oskata
(sl.2): αυυ sin11 =y i βυυ sin22 =y
treba da se ednakvi me|usebe, za ~amecot da se dvi`i vo nazna-~eniot pravec, odnosno:
βυαυ sinsin 21 = (1)
Rezultantnata brzina so koja {to se dvi`i ~amecot se dobiva preku
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
11
Vkupnoto rastojanie AB {to ~amecot }e go izmine za vreme 1t
e: ( ) 1211 coscos ttd AB βυαυυ +== (3)
α
A
B
2υ
1υβ
x
y
Sl.3
Za vreme 2t , dvi`ej}i se so brzina BAυ , ~amecot }e izmine pat:
( ) 2122 coscos ttd BA αυβυυ −== (5)
Ako od ravenkite (4) i (5) se izrazat vremiwata 1t i 2t , za
vkupnoto vreme na dvi`ewe }e se dobie:
αυβυαυβυ coscoscoscos 1212
21 −+
+=+= dd
ttt (6)
Vo (6) da go stavime izrazot za 2υ dobien vo relacijata (1):
( )αβαυβα
2221 cosctsin
ctgsin2
−⋅⋅=
g
dt (7)
Ako gi zamenime brojnite vrednosti vo (7) se dobiva ravenka so oblik:
2401ctg
ctg24002
=−
⋅β
β (8)
Da vovedeme zamena: x=βctg . Toga{ (8) izgleda vaka:
01-2,35-2 =xx (9)
Re{enijata na ovaa kvadratna ravenka se: 72,21 =x i 76,02 −=x .
Prifatlivo e prvoto re{enie za koe va`i 72,2ctg =β , od kade
{to se dobiva: o2,20≈β . Brzinata 2υ mo`e da se presmeta od
ravenkata (1):
βαυυ
sin
sin12 = (10)
Odnosno, po zamena na brojnite vrednosti, se dobiva
sm 02,42 =υ .
Vkupnata brzina pri dvi`we na te-
loto vo nasoka BA se dobiva preku proekcijata na vektorite na brzi-nata na x-oskata, naso~ena kako na sl.3: αυυ cos11 −=x i βυυ cos22 =x i
iznesuva:
αυβυυ coscos 12 −=BA (4)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
12
9. Materijalna to~ka se dvi`i ramnomerno zabrzano pravoliniski, pri {to vo prvite dva posledovatelni vremen-
ski intervali od po s 4=t izminuva pati{ta m 241 =s i
m 642 =s soodvetno. Da se opredeli po~etnata brzina i zabr-
zuvaweto na materijalnata to~ka. Re{enie: Dadeno: Se bara:
s 4=t , m 241 =s , m 642 =s ?0 −υ ?−a
Zakonot za promena na vektorot na polo`ba na materi-
jalnata to~ka:
2
2
00ta
trr
→→→→
++= υ (1)
za slu~ajot na ednodimenzionalno dvi`ewe na materijalnata to~ka vo dvata posledovatelni vremenski intervali glasi:
2
2
01at
ts +=υ (2)
( )2
2
02at
tats ++= υ (3)
kade {to e zemena vo predvid promenata na brzinata:
at+= 02 υυ (4)
Ako od ravenkata (2) ja izrazime brzinata:
t
ats 221
0
−=υ (5)
i ja zamenime vo (3), posle sreduvawe na dobieniot izraz se dobiva:
2
12
t
ssa
−= (6)
Izrazot (6) da go stavime vo (3) i da go sredime dobieniot iz-raz. Se dobiva:
t
ss
2
3 210
−=υ (7)
Brojnite vrednosti na baranite veli~ini (6) i (7) se soodvetno: 2sm 5,2=a i sm 10 =υ .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
13
10. Za vreme s 5=t materijalnata to~ka pominuva pat
m 50=s , pri {to brzinata se zgolemila ~etiri pati. Da se opredeli zabrzuvaweto na materijalnata to~ka, ako dvi`ewe-to e ramnomerno zabrzano.
Re{enie: Dadeno: Se bara:
s 5=t , m 50=s ?−a Zakonite za promena na brzinata i patot kaj ramnomerno zabrzanoto dvi`ewe se slednite:
at+= 01 υυ (1)
2
2
0at
ts +=υ (2)
Spored uslovot na zada~ata, 01 4υυ = . Ova da go stavime vo
ravenkata (1) i da ja izrazime brzinata 0υ :
30at=υ (3)
Vaka dobieniot izraz da go zamenime vo ravenkata (2) i da go izrazime zabrzuvaweto. Se dobiva:
25
6
t
sa = (4)
{to e baranoto ra{enie. So zamena na brojnite vrednosti vo
(4) se dobiva: 2sm 4,2=a .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
14
11. Telo se dvi`i ramnomerno zabrzano bez po~etna brzina. Vo koja sekunda od po~etokot na dvi`eweto teloto }e pomine tripati pogolem pat, odo{to patot {to go pominuva vo prethodnata sekunda?
Re{enie: Pati{tata {to teloto }e gi izmine vo tri posle-
dovatelni vremenski momenti: ttt ,1 ,2 −− (izrazeni vo sekundi)
se soodvetno:
( )
2
2 2
1−= ta
s (1)
( )
2
1 2
2−= ta
s (2)
2
2
3at
s = (3)
Spored uslovot na zada~ata, treba da va`i:
( )1213 3 ssss −=− (4)
Izrazite (1), (2) i (3) da gi stavime vo (4). Posle krateweto na ednakvite ~lenovi na levata i desnata strana od taka dobie -niot izraz , se dobiva: s 2=t .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
15
12. Telo koe {to slobodno pa|a vo poslednata sekunda od svoeto dvi`ewe izminalo polovina od vkupniot pat. Kolku vreme pa|alo teloto i od koja visina bilo pu{teno slobodno da padne?
Re{enie: Dadeno: Se bara:
za ( )s1−t , 2hs = ? ?, −− ht
h
y
→g→g
→→=00υ
→→=00υ
Sl.1
( )
2
1
2
2−= tgh (3)
Za celoto vreme pak, teloto }e go izmine celiot pat:
2
2gth = (4)
Ravenkite (3) i (4) da gi podelime edna so druga. Posle sredu-vaweto na dobieniot izraz, se dobiva kvadratna ravenka po t :
0242 =+− tt (5)
Re{enijata na ovaa ravenka se soodvetno: s 4,31 =t i s 6,02 =t .
Fizi~ka smisla ima re{enieto s 4,31 =t , pa vkupniot pat {to }e
go izmine teloto }e go dobieme koga ova vreme }e go zamenime vo (4). Se dobiva: m 6,56=h .
Zakonot za promena na vektorot na polo`ba so tekot na vremeto, za slu~ajot ilustriran na sl.1 (dvi`ewe vo poleto na zemjinata te`a) glasi:
2
2
00tg
trr
→→→→
++= υ (1)
kade {to 2sm 81,9=g e zemjinoto zabrzu-
vawe. Proekcijata na vektorot (1) na y-oskata naso~ena kako na slikata e:
2
2gty = (2)
Spored uslovot na zada~ata, vo poslednata sekunda teloto }e izmine polovina od vkupniot pat:
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
16
13. Edno telo e frleno vertikalno nagore so po~etna
brzina sm 400 =υ .
a) po kolku vreme teloto }e se najde na visina m 60 ? b) kolkava e maksimalnata visina do koja {to }e se iska~i? v) kolku vreme trae dvi`eweto? g) grafi~ki da se prika`e dvi`eweto. Re{enie: Dadeno: Se bara:
sm 400 =υ , m 60=h a) ?1 −t b) ?max −h v) ?−t g) ?)( −ty
h
y→g→g
0
→υ
maxh
Sl.1
Teloto }e se najde na visina m 60=h vo momentot na vreme 1t
koga }e bide ispolneto:
2
21
10
gtth −=υ (5)
od kade {to se dobiva kvadratna ravenka po 1t :
022
102
1 =+−g
ht
gt
υ (6)
Re{enijata na ravenkata (6) se:
g
h
ggt
22
200
1,2 1 −±=υυ
(7)
a) Zakonite za promena na vektorite na polo`bata i brzinata pri dvi`ewe vo poleto na zemjinata te`a, so tekot na vremeto:
2
2
00tg
trr
→→→→
++= υ (1)
tg→→→
+= 0υυ (2)
pri proekcija na vektorite (1) i (2) na y-oskata naso~ena kako na sl.1 izgledaat vaka:
2
2
0
gtty −=υ (3)
gt−= 0υυ (4)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
17
od kade {to se gleda deka teloto dvapati }e pomine na visina
m 60=h i toa vo vremenski momenti s 211 =t (koga }e se
iska~uva) i s 612 =t (koga }e pa|a).
b) Vo momentot koga teloto }e ja dostigne maksimalnata visina, negovata brzina }e stane 0=υ , a spored (4), vremeto za koe teloto }e ja dostigne ovaa visina }e bide:
s 402 ==
gt
υ (8)
Ako ova vreme se zameni vo (3), za maksimalnata visina }e se dobie:
g
h2
20
max
υ= (9)
odnosno m 08max =h .
v) Ako vo (3) se stavi 0=y , vkupnoto vreme za koe {to
teloto }e se dvi`i se dobiva:
s 82 0 ==g
tυ
(10)
Postoi u{te edno re{enie za 0=y (teloto ja doprelo
povr{inata na zemjata), a toa e 0=t . No ova vreme sood-vetstvuva na po~etnata sostojba na teloto, pred toa da bide isfrleno, taka {to baranoto re{enie e ona dadeno so (10).
g) Na sl.2 e prika-`ana zavisnosta na iz-minatiot pat od vremeto y(t). Krivata e parabola, ~ij {to maksimum maxh se
dostignuva za vreme 2t .
Visinata m 60=h teloto ja dostignuva dvapati i toa vo vremenski momen-
ti 11t i 12t . )s(t
)m(y
2t
maxh
0
h
11t 12t
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
18
14. Edno telo {to se nao|a vo to~kata B na visina m 45=H od povr{inata na Zemjata, po~nuva slobodno da pa|a.
Istovremeno, od to~kata A koja {to se nao|a na rastojanie m 21=h ponisko od B isfrleno e drugo telo vertikalno nagore.
Da se opredeli po~etnata brzina so koja {to e isfrleno vto-roto telo, ako e poznato deka dvete tela pa|aat na Zemjata is-tovremeno. Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 45=H , m 21=h ?0 −υ
h
→g→g
H 0
→υ
A
By
Sl.1
Koga dvete tela }e padnat na Zemjata }e va`i: 21 yy = . Pa ako
se izedna~at ravenkite (1) i (2), istovremeno zamenuvaj}i ja vrednosta za t dobiena vo ravenkata (3), }e se dobie:
g
H
h
20 =υ (4)
So zamena na brojnite vrednosti se dobiva: sm 70 =υ .
Ravenkite na dvi`ewe na dvete tela vo koordinatniot sistem izbran kako na sl.1 se:
2
2
1
gtHy −= (1)
( )2
2
02
gtthHy −+−= υ (2)
Vremeto za koe {to telata }e padnat na Zemjata (tie pa|aat istovremeno) se dobiva
koga vo (1) }e se stavi 01 =y :
g
Ht
2= (3)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
19
15. Telo frleno vertikalno nagore dostignuva visina m 24=H . Na koja visina h brzinata na teloto e ednakva na
polovina od po~etnata brzina 0υ ?
Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 24=H , 20υυ = ?−h
h
→g→g
H
0
→υ
y
Sl.1 So zamena na (3) vo (4) se dobiva izraz za po~etnata brzina:
gH20 =υ (5)
Spored uslovot na zada~ata, a so pomo{ na (2), se dobiva:
200
2gt−=υυ
(6)
od kade {to za vremeto za koe teloto }e se najde na visina H se dobiva:
g
Ht
22 = (7)
Ako ova vreme se zameni vo (1), }e se dobie baranata visina:
Hh4
3= (8)
odnosno m 18=h .
Ravenkite na dvi`ewe na teloto, spo-red sl.1 se:
2
2
0
gtty −=υ (1)
gt−= 0υυ (2)
Vremeto za koe {to teloto }e ja dostigne mak-simalnata visina (uslov 0=υ ), spored (2) e :
g
t 01
υ= (3)
Za ova vreme teloto }e ja dostigne maksimal-nata visina:
2
21
10
gttH −=υ (4)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
20
16. Pokraj ezero se nao|a vertikalen breg so visina m 100=h . Od taa viso~ina, vo horizontalna nasoka se ni{ani
so pu{ka. Ako sm 4000 =υ e po~etnata brzina na kur{umot, da
se presmeta brzinata so koja {to kur{umot }e udri vrz vode-nata povr{ina. Re{enie: Dadeno: Se bara:
sm 4000 =υ , m 100=h ?−υ
y
h
xOx
→υ
→υ
0
→υ
y
→υ
Sl.1 dostigne povr{inata na Zemjata se nao|a od prvata ravenka vo sistemot (4), stavaj}i 0=y :
g
ht
2= (5)
Od vtorata ravenka vo sistemot (4) se opredeluva modulot na
brzinata yυ :
ghy 2=υ (6)
Kako {to mo`e da se vidi od (3) i (6), dvi`eweto po x-oskata e ramnomerno pravolinisko, a po y-oskata slobodno pa|awe. Vkupnata brzina se nao|a po Pitagorovata teorema (sl.1):
ghyx 220
22 +=+= υυυυ (7)
Po zamenata na brojnite vrednosti, se dobiva: sm 44,402=υ .
Zakonite za promena na vektorite na polo`ba i brzina so tekot na vremeto :
2
2
00tg
trr
→→→→
++= υ (1)
tg→→→
+= 0υυ (2)
proektirani na x i y-oskata, gla-sat:
- na Ox: tx 0υ= i 0υυ =x (3)
- na Oy: 2
2gthy −= i gty −=υ (4)
Vremeto za koe {to teloto }e ja dos
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
21
*17. Od visina h vo odnos na horizontalna podloga isfrleno e top~e vo horizontalna nasoka so brzina 0υ .
Top~eto se odbiva od podlogata taka {to vertikalnata kompo-nentata na brzinata se namaluva k -pati. Da se opredeli rasto-janieto od mestoto na isfrlawe, do mestoto kade {to top~eto }e prestane da otskoknuva. Da se pretpostavi deka horizon-talnata komponenta se zapazuva. Re{enie: Dadeno: Se bara:
h , 0υ , k ?−D
0
→υ
y
h
xDO Sl.1 Teloto }e ja dostigne povr{inata na Zemjata koga }e bide zadovolen uslovot 0=y . Ako ovoj uslov se zameni vo (2),
za vremeto za koe teloto prvpat }e ja dostigne povr{inata na Zemjata se dobiva:
g
ht
20 = (5)
Vertikalnata komponenta na brzinata yυ pri prviot kontakt
na teloto so povr{inata na Zemjata, spored (4) }e bide:
ghy 20 =υ (6)
Vertikalnata komponenta na brzinata se namaluva k -pati, taka {to vertikalnite komponenti na brzinite pri vtoriot, tretiot itn. sî do nekoj n-ti kontakt koga teloto }e prestane da otskoknuva, se soodvetno:
Ravenkite na dvi`ewe na teloto vo koordinatniot sistem izbran kako na sl.1 glasat:
tx 0υ= (1)
2
2gthy −= (2)
Proekciite na vektorot na brzi-nata se:
-na Ox: 0υυ =x (3)
-na Oy: gty −=υ (4)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
22
ghkk
yy 2
101 ==
υυ (7)
ghkk
yy 2
12
12 ==
υυ (8)
……………………
ghkk n
nyyn 2
1)1( == −υυ (9)
Od ravenkata (4) sega mo`e da se opredelat vremiwata za koi {to teloto }e se dvi`i posle prviot kontakt so Zemjata:
g
h
kgt
y 222 11 ==
υ (10)
g
h
kgt
y 2222
22 ==
υ (11)
……………………
g
h
kgt
n
ynn
222==
υ (12)
Vkupnoto vreme na dvi`ewe }e se najde kako zbir na vremi-wata opredeleni so ravenkite (10), (11),…(12):
nttttt ++++= ...210 (13)
odnosno:
++++=nkkkg
ht
1...
1121
22
(14)
Zbirot vo zagradata pretstavuva geometriska progresija i iznesuva:
1
1
11
11...
112 −
=−
=+++kk
k
kkk n, pod uslov 1
1 <k
(15)
Zamenuvaj}i ja (15) vo (14) se dobiva:
−+=
1
12
k
k
g
ht (16)
Vkupnoto rastojanie {to }e go pomine teloto pritoa e: tD 0υ= (17)
odnosno:
−+=
1
120 k
k
g
hD υ (18)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
23
*18. Dve tela se isfrleni vo horizontalen pravec od visina m 10=h so po~etni brzini sm 1001 =υ i sm 2002 =υ . Na
kolkavo me|usebno rastojanie }e se najdat telata otkako }e ja dostignat najniskata to~ka? Vo koi vremenski momenti sekoe od niv }e se najde na visina m 5=H ?
Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 10=h , sm 1001 =υ , sm 2002 =υ , m 5=H ?−∆D , ?−t
D∆
01
→υ
y
h
x0
02
→υ
2D1D
Sl.1 -za vtoroto telo: 2022 tx υ= (4)
2
22
2
gthy −= (5)
022 υυ =x , 02 =yυ (6)
Ako vo ravenkite (2) i (5) se zamenat uslovite za telata da ja dostignat najniskata to~ka, 01 =y i 02 =y , se dobivaat vremi-
wata za koi telata se dvi`at sî dodeka ne dojdat do najnis-kata to~ka:
g
htt
221 == (7)
Zamenuvaj}i gi ovie vremiwa vo (1) i (4), se dobivaat dostre-lite na dvete tela:
g
hD
2011 υ= i
g
hD
2022 υ= (8)
a) Ravenkite koi {to go opi{uvaat dvi`eweto na sistemot prika`an na sl.1, vo koordinaten sistem prika`an na istata slika, se slednite: - za prvoto telo: 1011 tx υ= (1)
2
21
1
gthy −= (2)
011 υυ =x , 01 =yυ (3)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
24
Rastojanieto pome|u to~kite na pa|awe na dvete tela e: 12 DDD −=∆ (9)
odnosno:
( )01022 υυ −=∆g
hD (10)
So zamena na brojnite vrednosti , se dobiva m 1,14=∆D .
b) Za da se opredeli vremeto za koe {to dvete tela }e se najdat na visina H , vo ravenkite (2) i (5) treba da se stavi:
2
21gt
hH −= (11)
2
22gt
hH −= (12)
od kade {to se gleda deka dvete tela ednovremeno }e se najdat na ovaa visina, vo vremenski moment:
( )
g
Hhtt
−== 221 (13)
So zamena na brojnite vrednosti, se dobiva s 121 ≈= tt .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
25
19. Telo e frleno pod agol α vo odnos na horizontot, so
po~etna brzina 0υ . Da se opredelat site zna~ajni veli~ini pri
ovoj kos istrel. Re{enie: Dadeno: Se bara: 0υ , α ( ) ?−xy , ?−D , ?−t , ?max −h , ?1 −t
D
0
→υ
y
m a xh
x0 α
Sl.1 od koordinatniot sistem izbran kako na sl.1:
- na Ox: αυ cos0tx = (3)
αυυ cos0=x (4)
- na Oy: 2
sin2
0
gtty −= αυ (5)
gty −= αυυ sin0 (6)
a) Za da ja dobieme ravenkata na traektorijata, treba od ravenkite (3) i (5) da go eliminirame vremeto. Za taa cel, od (3) }e go izrazime istoto i }e go zamenime vo (5). Se dobiva:
ααυ
tgcos2 22
0
2
⋅+−= xgx
y (7)
Od ravenkata (7) se gleda deka traektorijata na teloto e od
oblik: bxaxy +−= 2 , kade {to αυ 220 cos2ga = i αtg=b . Ovaa
kriva se narekuva parabola i so otvorot e svrtena nadolu (po-radi znakot ” -“ pred koeficientot a), {to se gleda i od sl.1.
Vektorite na polo`ba i brzina:
2
2
00tg
trr
→→→→
++= υ (1)
tg→→→
+= 0υυ (2)
da gi proektirame na oskite
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
26
b) Vremeto za koe {to teloto }e padne na Zemjata }e go opredelime od (5), stavaj}i 0=y :
g
tαυ sin2 0= (8)
v) Dostrelot }e go opredelime od (3), otkako za vremeto t }e go zamenime izrazot (8):
( )
gD
αυ 2sin20= (9)
g) Koga teloto }e ja dostigne maksimalnata visina, y-komponentata na brzinata dadena so (6) }e stane ednakva na nula, pa od istata ravenka, za vremeto za koe {to teloto }e ja dostigne ovaa visina imame:
g
tαυ sin0
1 = (10)
Od (10) se gleda deka vremeto za koe {to teloto }e ja dostigne maksimalnata visina e polovina od vkupnoto vreme na dvi`ewe, {to treba i da se o~ekuva, bidej}i traektorijata na sistemot e simetri~na kriva vo odnos na koordinatata na polo`bata kade {to teloto ja dostignuva maksimalnata visina:
( )
g
DD
2
2sin
2
20
1
αυ== (11)
d) maksimalnata visina }e ja dobieme koga vo (5) }e go
zamenime vremeto 1t dadeno so (10):
g
H2
sin220 αυ
= (12)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
27
*20. Proektil e isfrlen so po~etna brzina sm 4000 =υ
pod agol o15=α vo odnos na horizontot. a) na koja visina H toj }e udri vo vertikalen yid na rastojanie m 300=D od mestoto na isfrlawe? b) kolkava e brzinata na proektilot vo momentot na udar? v) kakov pravec na dvi`ewe ima proektilot pri udar vo yidot? Re{enie: Dadeno: Se bara:
sm 4000 =υ , o15=α , m 300=D a) ?−H b) ?−υ v) ?−β
D
0
→υ
x
0 α
β
x
→υ
→υ
H
y
Sl.1
a) Vo momentot na udar na proektilot vrz yidot, va`i
Dx = , pa mo`e da se najde vremeto za koe {to toj do{ol do yi-dot, od (1):
αυ cos0
Dt = (5)
Vo ovoj moment, y-koordinatata }e bide Hy = , pa od ravenkata
(3) vo koja {to }e go stavime izrazot (5), sleduva:
αυ
α22
0
2
cos2tg
gDDH −⋅= (6)
So zamena na brojnite vrednosti se dobiva m 18,507=H .
Proekciite na vek-torite na polo`ba i brzina na oskite od koordinatniot sistem izbran kako na sl.1 se:
- na Ox: αυ cos0tx = (1)
αυυ cos0=x (2)
- na Oy: 2
sin2
0
gtty −= αυ (3)
gty −= αυυ sin0 (4)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
28
b) brzinata so koja {to proektilot }e udri vo yidot e:
22yx υυυ += (7)
Vo (7) da gi zamenime (2), (4) i (5). Se dobiva:
ααυ
υυ tg2cos
2
0
20 ⋅−
+= gD
gD (8)
odnosno s
m 33,387=υ .
v) Pravecot na dvi`ewe na proektilot posle udarot vo yidot e opredelen preku agolot β , koj spored sl.1 se oprede-
luva kako:
υυβ x=cos (9)
Vo (9) da se zamenat izrazite (2) i (8):
ααυ
υ
αυβ
tg2cos
coscos
2
0
20
0
⋅−
+
=
gDgD
(10)
Od (10) se dobiva o4=β .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
29
21. Tenk se dvi`i kon top po pravoliniska traektorija,
so postojana brzina hkm 6,3=υ . Da se presmeta po~etnata
brzina na granatata ispukana od topot pod agol o30=α , pod us-lov da go pogodi tenkot koj vo momentot na ispukuvawe na
granatata se nao|al na rastojanie km 8=d od topot. Re{enie: Dadeno: Se bara:
sm1hkm 6,3 ==υ , o30=α , m 8000km 8 ==d ?0 −υ
d
0
→υ
y
x0 α
D
→υB A
Sl.1 Koordinatniot po~etok e postaven na mestoto od kade {to e isfrlen proektilot (sl.1). Tenkot zapo~nuva da se dvi`i od to~kata A i vo momentot koga e pogoden od proektilot, toj stignal vo to~kata B. Dostrelot na proektilot se presmetuva na sledniot na~in (vidi zada~a 19, ravenka(9)):
( )
gD
αυ 2sin20= (3)
Vremeto na dvi`ewe na proektilot (zada~a 19, ravenka (8)) e:
g
tαυ sin2 0= (4)
Za ova vreme, tenkot do{ol vo to~kata B, izminuvaj}i pat Dd − . Zna~i, negovata brzina e:
αυ
αυυsin2
2sin
0
20−
=−=gd
t
Dd (5)
Od (5) se dobiva kvadratna ravenka po odnos na brzinata 0υ :
02sincos 0
20 =−+
αυ
αυυ gD
(6)
Fizi~ki opravdano e da se zeme slednoto re{enie:
αα
υα
υυ2sincos2cos2
2
0
gd+
+−= (7)
Se dobiva sm 2950 =υ .
Ravenkite na dvi`e-we na proektilot se:
αυ cos0tx = (1)
2
sin2
0
gtty −= αυ (2)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
30
*22. Od podno`je na kosa ramnina so agol o30=α se is-
frla telo kon vrvot na ramninata. Po~etnata brzina na teloto
e 0υ , a agolot pod koj {to se isfrla vo odnos na horizontot e
o60=β .
a) na kolkavo rastojanie (mereno vdol` ramninata) od to~kata na isfrlawe }e padne teloto? b) pod kolkav agol treba da se isfrli teloto za toa da padne pod prav agol vo odnos na kosata ramnina? Re{enie: Dadeno: Se bara:
o30=α , o60=β a) ?−D b) ?−γ
0
→υ
y
x0 α
Dβ
Sl.1 Od (1) da go izrazime vremeto za koe {to teloto }e pomine ras-tojanie D i }e ja dopre kosata ramnina:
βυα
cos
cos
0
Dt = (5)
i da go stavime vo (4). Posle sreduvawe na izrazot }e se dobie:
( )α
αββυ2
20
cos
sincos2
gD
−= (6)
odnosno:
g
D3
2 20υ
= (7)
b) Za re{avawe na zada~ata pod b), da izbereme koordi-naten sistem ~ija x-oska e naso~ena po dol`inata na navedna-tata strana od kosata ramnina. Proekciite na vektorot na
a) Vo referentniot sistem izbran kako na sl.1 va`i: αcosDx = (1)
αsinDy = (2)
Ravenkite na dvi`ewe gla-sat:
βυα coscos 0tD = (3)
2
sinsin2
0gt
tD −= βυα (4)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
31
brzinata na oskite od koordinatniot sistem prika`an na sl.2 se:
( ) tgxx +−= αβυυ cos0 (8)
( ) tg yy +−= αβυυ sin0 (9)
→g
y x
α→
xg→
yg
Sl.2
( ) 02
coscos
2
0 =−− ααβυ gt (12)
( ) 0sincos0 =−− ααβυ gt (13)
Ako vremeto izrazeno od (13):
( )
ααβυ
cos
sin2 0
gt
−= (14)
go stavime vo (12) i go iskoristime trigonometriskiot iden-titet:
( )αβ
βααβtgtg
tgtg1ctg
−⋅+=− (15)
se dobiva ravenka za opredeluvawe na agolot β :
ααβ
tg
1tg2tg
2 += (16)
odnosno: o71=β .
Proekciite na vektorot na zemjinoto zabrzuvawe vrz oskite na koordinat-niot sistem (sl.2) se:
αsinggx −= (10)
αcosgg y −= (11)
Ravenkite (10) i (11) da gi stavime vo ravenkite (8) i (9). Uslov teloto da padne normalno vrz kosata ramnina e x-komponentata na brzinata da stane ed-nakva na nula vo momentot na vreme koga y-koordinatata na dvi`eweto }e stane nula:
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
32
*23. Vrz kosa ramnina koja {to se dvi`i so brzina sm 81,91 =υ , pa|a top~e od nekoja visina bez po~etna brzina.
Otkako }e izmine rastojanie m 9,4=h udira vo ramninata,
elasti~no se odbiva i povtorno pa|a vrz nea. Da se opredeli rastojanieto me|u to~kite na prviot i vtoriot udar na top~eto
vrz ramninata. Agolot na kosata ramnina e o30=α . Re{enie: Dadeno: Se bara:
sm 81,91 =υ , m 9,4=h , o30=α ?−D
Sl.1 Rezultantnata brzina so koja {to se dvi`i top~eto vo odnos na referentniot sistem prika`an na sl.1 iznesuva:
gh221
22
21 +=+= υυυυ (1)
imaj}i vo predvid deka gh22 =υ e brzinata so koja {to
top~eto slobodno pa|a. Ako kako vektor na brzinata so koja {to
se dvi`i top~eto se zeme vektorot →υ naso~en pod agol ( )βα +
vo odnos na x-oskata od koordinatniot sistem prika`an na sl.1, toga{ dvi`eweto mo`e da se razgleduva kako kos istrel. Ravenkite na dvi`eweto se slednite:
( )2
sincos
2 αβαυ gttx ++= (2)
( )2
cossin
2 αβαυ gtty −+= (3)
h
1
→− υ
2
→υ→
υ
β α
α
→υ
x
y
0 β
A
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
33
→g
y x
α→
xg→
yg
Sl.2 nazna~enata to~ka:
( )
αβαυ
cos
sin2
gt
+= (6)
Ako ova vreme go zamenime vo ravenkata (2), }e go dobieme ras-tojanieto pome|u to~kite (koordinatniot po~etok i to~kata A) na prviot i vtoriot udar na teloto vrz ramninata:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]βααβαβα
αυ
+⋅++++
= sintg2cos2sincos
221
g
ghD (7)
Agolot β spored sl.1 se opredeluva kako:
12
tg11
2 ≈==υυ
υβgh
(8)
od kade {to se dobiva deka o45=β . Zamenata na brojnite vred-
nosti vo (7), kako kraen rezultat dava m 9,82=D .
kade {to:
αsinggx −= (4)
αcosgg y −= (5)
se proekciite na vektorot na zemjinoto zabrzuvawe na oskite na koordinatniot sistem prika`an na sl.2. Teloto }e stigne vo to~kata A (sl.1) koga }e bide ispolnet uslovot 0=y . Stavaj}i go ovoj
uslov vo ravenkata (3), se dobiva vre-meto za koe {to teloto }e stigne do naz-
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
34
24. Da se opredeli agolnata brzina, frekvencijata i periodot na eden kamen vrzan za konec so dol`ina m 5,0=l , koj
{to za vreme od s 2=t pravi 8 zavrtuvawa. Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 5,0=l , s 2=t , 8=n ?−ω , ?−f , ?−T
Agolnata brzina na telo {to rotira se opredeluva kako:
t
ϕω = (1)
kade {to ϕ e agolot opi{an za vreme t i toj se opredeluva preku brojot na zavrtuvawa, na sledniot na~in: nπϕ 2= (2)
So zamena na (2) vo (1), za agolnata brzina se dobiva:
t
nπω 2= (3)
odnosno: srad 1,25=ω .
Od vrskata pome|u agolnata brzina i frekvencijata: fπω 2= (4)
otkako prethodno }e se zameni (3) vo (4), se opredeluva frek-vencijata:
t
nf = (5)
odnosno, frekvencijata pretstavuva broj na zavrtuvawa vo ed-inica vreme i iznesuva: Hz 4=f .
Periodot se opredeluva na sledniot na~in:
f
T1= (6)
Ako (5) ja stavime vo (6) }e se dobie:
n
tT = (7)
odnosno; periodot e vreme potrebno teloto da napravi edno polno zavrtuvawe. So zamena na brojnite vrednosti se dobiva:
s 25,0=T .
.
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
35
25. Edno dete vrti kamen vo vertikalna ramnina. Kamenot e vrzan za konec so dol`ina m 5,0=l i ima frekven-
cija na vrtewe Hz 3=f . Na koja visina }e se izdigne kamenot,
ako konecot se skine vo momentot koga brzinata ima nasoka vertikalno nagore? Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 5,0=l , Hz 3=f ?−h
Ako konecot se skine vo momentot koga brzinata }e ima nasoka vertikalno nagore, toga{ teloto }e izvede vertikalen istrel i }e se iska~i na visina:
g
h2
2υ= (1)
Brzinata na teloto se opredeluva kako: lωυ = (2) kade {to agolnata brzina e opredelena na sledniot na~in: fπω 2= (3)
Ako (3) se zameni vo (2) i taka dobienata relacija vo (1), za visinata na koja {to }e se iska~i teloto se dobiva:
g
lfh
2222π= (4)
odnosno: m 5,4=h .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
36
26. So kolkava brzina treba da pomine avtomobil preku sredinata na ispaknat most (sl.1) so radius na krivina
m 40=R , taka {to normalnoto zabrzuvawe da mu bide ednakvo po modul na zabrzuvaweto pri slobodnoto pa|awe?
na→ →
gR
0 Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara: m 40=R ?−υ Normalnoto zabrzuvawe na avtomobilot se presmetuva kako:
R
an
2υ= (1)
Spored uslovot na zada~ata, ova zabrzuvawe treba da bide ed-nakvo na zabrzuvaweto pri slobodnoto pa|awe, odnosno:
R
g2υ= (2)
Od (2) se dobiva:
gR=υ (3)
So zamena na brojnite vrednosti se dobiva: sm 20=υ .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
37
27. Dve materijalni to~ki se dvi`at po kru`nici so ra-
diusi 1R i 2R , taka {to va`i 21 2RR = . Sporedi gi normalnite
zabrzuvawa na materijalnite to~ki vo slu~aite koga: a) liniskite brzini im se ednakvi; b) periodite im se ednakvi. Re{enie: Dadeno: Se bara:
21 2RR = a), b) ?: 21 −nn aa
a) Vrskata pome|u normalnoto zabrzuvawe i liniskata brzina, za dvete materijalni to~ki soodvetno glasi:
1
21
1 Ran
υ= (1)
2
22
2 Ran
υ= (2)
Ako ravenkite (1) i (2) gi podelime edna so druga, imaj}i vo
predvid deka 21 υυ = , se dobiva:
2
1
2
1 =n
n
a
a (3)
b) Ako periodite na dvete materijalni to~ki 1T i 2T se
ednakvi, toga{ i nivnite agolni brzini:
1
12
T
πω = (4)
2
22
T
πω = (5)
}e bidat ednakvi: 21 ωω = . Vrskite pome|u agolnite brzini i
normalnite zabrzuvawa se:
1211 Ran ω= (6)
2222 Ran ω= (7)
Ako gi podelime ravenkite (6) i (7) edna so druga, }e dobieme:
1
2
2
1 =n
n
a
a (8)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
38
28. Materijalna to~ka se dvi`i po kru`nica so tangen-
cijalno zbrzuvawe 2scm 5=τa . Po kolku vreme od po~etokot na
dvi`eweto normalnoto zabrzuvawe }e bide dvapati pogolemo od tangencijalnoto? Kolkavo }e bide vkupnoto zabrzuvawe vo
toj moment? Radiusot na kru`nicata e cm 20=R . Re{enie: Dadeno: Se bara:
22 sm 05,0scm 5 ==τa , cm 20=R ?−t , ?−a
Tangencijalnoto i normalnoto zabrzuvawe se opredelu-vaat kako:
t
aυ
τ = (1)
R
an
2υ= (2)
kade {to υ e liniska brzina. Spored uslovot na zada~ata:
R
a2
2υ
τ = (3)
od kade {to se opredeluva liniskata brzina:
τυ Ra2= (4)
Vremeto se opredeluva od (1):
τa
Rt
2= (5)
i iznesuva s 83,2=t .
Sl.1
Spored sl.1, vkupnoto zabrzuvawe na materijalnata to~ka A se opredeluva po Pitagorovata teorema:
22nt aaa += (6)
odnosno:
5τaa = (7)
So zamena na brojnite vrednosti se
dobiva 2sm 11,0=a .
O
na→
τ→a
A
→a
R
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
39
29. Kolkavi se brzinite na to~kite A i B (sl.1) na trka-loto na velosiped koj {to se dvi`i so brzina hkm 40=υ ?
O
A
B
υ
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:
hkm 40=υ ?−Aυ , ?B −υ
Na sl.2 se dadeni nasokite na liniskite brzini na to~kite A i B: Sl.2 Od sl.2 e jasno deka:
0=Bυ i hkm 802 == υυ A (1)
odnosno, to~kata B miruva, a to~kata A se dvi`i so dvojno po-golema brzina odo{to brzinata na translatorno dvi`ewe na velosipedot.
O
A
BυBυ
Aυ υ
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
40
30. Vo {upliv cilindar so radius cm 18=R se nao|a po-mal cilindar (sl.1). Agolnite brzini na pogolemiot i pomaliot
cilindar se soodvetno: srad 5,101 =ω i srad 45,312 =ω . Ako
pome|u cilindrite nema lizgawe, da se opredeli radiusot na pomaliot cilindar.
R
1O r2O
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 0,18cm 18 ==R , srad 5,101 =ω , srad 45,312 =ω ?−r
Bidej}i pome|u cilindrite nema lizgawe, liniskite brzini na to~kite koi {to se nao|aat na periferijata na dvata cilindri:
R11 ωυ = (1)
r22 ωυ = (2)
treba da bidat ednakvi. So izedna~uvawe na (1) i (2) i izrazu-vawe na radiusot na pomaliot cilindar se dobiva:
Rr2
1
ωω
= (3)
odnosno: m 06,0=r .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
41
31. Okolu podvi`na makara so radius cm 35=R e namo-
tano ja`e na ~ij kraj e obesen tovar Q . Vo eden moment teloto
zapo~nuva da pa|a so zabrzuvawe 2sm 5,2=a .
Q
A
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 0,35cm 35 ==R , 2sm 5,2=a , m 10=h a) ?−υ , ?−ω b) ?−Aa
a) Brzinata na teloto Q pri negovoto pa|awe iznesuva:
ah2=υ (1)
odnosno: sm 7=υ , {to soodvetstvuva i na liniskata brzina na
bilo koja to~ka od periferijata na makarata. Agolnata brzina se presmetuva na sledniot na~in:
R
υω = (2)
i iznesuva: srad 20=ω .
b) Vkupnoto zabrzuvawe na materijalnata to~ka A se presmetuva kako (zada~a 24, ravenka (6)):
2
4222
Raaaa nA
υτ +=+= (3)
i iznesuva: 2sm 140=Aa .
a) kolkavi se agolnata brzina na makarata i liniskata brzina na to~ka od periferijata na makarata vo momentot koga teloto izminalo rastojanie m 10=h ? b) kolkavo e zabrzuvaweto na to~kata A (sl.1) vo toj moment?
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
42
32. Trkalo na avtomobil se vrti ramnomerno zabrzano. Po napraveni 50=n zavrtuvawa, frekvencijata se promenila
od Hz 41 =f na Hz 62 =f . Da se opredeli agolnoto zabrzuvawe
na trkaloto. Re{enie: Dadeno: Se bara:
50=n , Hz 41 =f , Hz 62 =f ?−α
Promenata na agolnata brzina na trkaloto e dadena na sledniot na~in:
tαωω += 12 (1)
kade {to: 1ω i 2ω se agolnite brzini na po~etokot i posle
promenata soodvetno, a α e agolno zabrzuvawe. Ako vo (1) se
zameni: 11 2 fπω = i 22 2 fπω = i se izrazi vremeto t , se dobiva:
( )122
fft −=απ
(2)
Od druga strana, promenata na agolot na zavrtuvawe so tekot na vremeto e dadena kako:
2
22
1t
tnαωπϕ +== (3)
Vremeto od (2) da go zamenime vo relacijata (3). Se dobiva:
( ) ( )212
2
121
2
2
442 fffffn −+−=
απ
αππ (4)
Ako od (4) se izrazi agolnoto zabrzuvawe, se dobiva:
( )21
22 ff
n−= πα (5)
So zamena na brojnite vrednosti vo (5) se dobiva: 2srad 1,26 =α .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
43
1.2 DINAMIKA 1. Pod dejstvo na sila F metalna kocka so strana
cm 10=l se dvi`i pravoliniski, pri {to za vreme s 15=t izmi-
nala pat m 15=s . Da se opredeli silata, ako taa dejstvuva vo nasoka na dvi`eweto. Za gustinata na metalot od koj {to e
napravena kockata da se zeme 3mkg 7800=ρ .
Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 0,1cm 10 ==l , s 15=t , m 15=s , 3mkg 7800=ρ ?−F
Vtoriot Wutnov zakon glasi: maF = (1) Masata na teloto }e ja opredelime kako:
ρρ 3lVm == (2)
kade {to: 3lV = e volumenot na kocka so strana a . Patot {to go izminala kockata za vreme t e:
2
2ats = (3)
od kade {to za zabrzuvaweto se dobiva:
2
2
t
sa = (4)
Ravenkite (2), (3) i (4) da gi zamenime vo (1):
2
2
t
VsF
ρ= (5)
Po zamenata na brojnite vrednosti vo (5) se dobiva: N 26=F .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
44
2. Telo so masa m se dvi`i po horizontalna podloga
pod dejstvo na sila F naso~ena pod agol α vo odnos na podlo-gata. Ako koeficientot na triewe pome|u teloto i podlogata e µ , da se presmeta brzinata na teloto posle vreme t . Re{enie: Dadeno: Se bara: m, F ,α , µ , t ?−υ
Sl.1 lata na triewe pome|u teloto i podlogata. Proekcijata na vek-torskata ravenka (1) na oskite od koordinatniot sistem izbran kako na sl.1 glasi:
- na Ox: maFF tr =−αcos (2)
- na Oy: 0sin =++− NFFmg α (3)
Izrazot za NF dobien od ravenkata (3):
αsinFmgFN −= (4)
da go zamenime vo (1) i da go izrazime zabrzuvaweto:
( )
m
mgFa
µαµα −+= sincos (5)
kade {to e zemeno vo predvid deka:
( )αµµ sinFmgFF Ntr −== (6)
Brzinata so koja {to se dvi`i teloto se presmetuva na sled-niot na~in: at=υ (7)
Po zamenata na (5) vo (7) kone~no se dobiva:
( )
tm
mgF µαµαυ −+= sincos (8)
Na sl.1 se ozna~eni site sili koi {to dejstvuvaat na te-loto. Vtoriot Wutnov zakon vo vektorska forma glasi:
→→→→→
=+++ amFFFP trN (1)
kade {to →P e silata na zemjinata
te`a, NF→
e sila na normalna
reakcija na podlogata i trF→
e si-lata na triewe me|u teloto i
α
→F
→→= gmP
NF→
trF→ x
y
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
45
*3. Po horizontalna podloga se dvi`at dve tela so masi 1m i 2m pod dejstvo na treto telo so masa 3m , koe {to e povr-
zano so prvite dve tela preku nerastegliv konec preflen preku nepodvi`na makara (sl.1). So kolkavo zabrzuvawe se dvi`at telata i kolkavi se silite na zategnuvawe na konecot?
1m 2m
3m
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:
1m , 2m , 3m ?−a , ?,, 2,31,22,1 −TTT
→→= gmP 11
1NF→
1trF→
x
y
→→= gmP 22
2NF→
2trF→
2,1
→T 1,2
→T
2,3
→T
→→= gmP 33
Sl.2
Vtoriot Wutnov zakon za telata so masi 1m , 2m i 3m
soodvetno glasi (sl.2):
1112,111
→→→→→=+++ amFTFP trN (1)
2221,222
→→→→→=+++ amFTFP trN (2)
332,33
→→→=+ amTP (3)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
46
kade {to: 2,1
→T , 1,2
→T i 2,3
→T se silite na zategnuvawe na konecot,
odnosno sili so koi {to teloto so masa 1m dejstvuva na teloto
so masa 2m , teloto so masa 2m dejstvuva na teloto so masa 1m
i teloto so masa 3m dejstvuva na teloto so masa 2m , sood-
vetno. Proekciite na ravenkata (1) na oskite od koordinatniot sistem izbran kako na sl.2 se:
- na Ox: amTFtr 12,11 =+− (4)
- na Oy: 011 =+− NFgm (5)
kade {to e zemeno vo predvid deka zabrzuvawe ima samo po x-oskata. Silata na normalna reakcija na podlogata mo`e da se izrazi od (5) i da se zameni vo (4). Ako se iskoristi i
ravenkata Ntr FF µ=1 , se dobiva:
amTgm 12,11 =+− µ (6)
Proekciite na ravenkata (2) se :
- na Ox: amTTFtr 23,21,2 =+−− (7)
- na Oy: 022 =+− NFgm (8)
Ako (8) ja zamenime vo (7) se dobiva:
amTTgm 21,23,22 =−+− µ (9)
Tretoto telo se dvi`i samo po y-oskata, taka {to proekcijata na ravenkata (3) na nazna~enata oska glasi:
amTgm 32,33 −=+− (10)
Vo ravenkite (6), (9) i (10) zemeno e deka: aaaa === 321 , {to
zna~i deka site tela se dvi`at so isto zabrzuvawe. Toa e posledica na nerasteglivosta na konecot. Posledica na ovoj fakt, a i na tretiot Wutnov zakon se i slednite tvrdewa:
1,22,1
→→−= TT , odnosno 1,22,1 TT = (11)
2,33,2
→→−= TT , odnosno 2,33,2 TT = (12)
Da gi sobereme ravenkite (6) i (9), koristej}i ja (11):
( ) 3,22121 Tgmgmamm +−−=+ µµ (13)
Vaka dobienata ravenka (13) da ja sobereme so (10), koristej}i ja (12):
( ) gmgmgmammm 321321 +−−=++ µµ (14)
Od (14), za zabrzuvaweto na sistemot se dobiva:
( )
( ) gmmm
mmma
321
213
+++−
=µ
(15)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
47
Silite na zategnuvawe na konecot se opredeluvaat od raven-kite (6) i (7) i iznesuvaat soodvetno:
( )gamTT µ+== 11,22,1 (16)
( )agmTT −== 32,33,2 (17)
4. Telo so masa m se dvi`i po navednata ramnina so agol α . Koeficientot na triewe pome|u teloto i ramninata e
µ . Za kolkavo vreme teloto }e pomine rastojanie l ? Re{enie: Dadeno: Se bara: m , α , µ , l ?−t
α
NF→
trF→
x
y
→→= gmP
αα
Sl.1
- na Ox: maFmg N =− µαsin (2)
- na Oy: 0cos =+− NFmg α (3)
Izrazot za silata na normalna reakcija na podlogata:
αcosmgFN = (4)
dobiena od ravenkata (3), da go stavime vo (1). Ako pritoa go izrazime zabrzuvaweto, se dobiva:
( )αµα cossin −= ga (5)
Bidej}i dvi`eweto e zabrzano, patot {to }e go izmine teloto za vreme t e:
2
2atl = (6)
Zamenuvaj}i go izrazot za zabrzuvaweto (5) vo izrazot za vre-meto dobieno od (6), kone~no se dobiva:
( )αµα cossin
2
−=
g
lt (7)
Vtoriot Wutnov zakon za teloto na sl.1 glasi:
→→→→
=++ amFFP Ntr (1) Proekciite na vektorskata ravenka na oskite od koor-dinatniot sistem izbran kako na sl.1 se:
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
48
5. Na kraevite na ja`e prefrleno preku podvi`na
makara obeseni se dve tela so masi 1m i 2m . Ako se zanemari
masata na makarata, da se presmeta zabrzuvaweto na sistemot. Ja`eto da se smeta za nerasteglivo. Re{enie:
Dadeno: Se bara
1m , 2m ?−a
1m2m
→
1P
→
1T
→
2P
→
2T
y Sl.1 Bidej}i dvi`eweto na sistemot se odviva samo vdol`
y-oskata naso~ena kako na slikata, vektorskata ravenka (1) proektirana na taa oska glasi:
Tgmam
Tgmam
−=−=−
22
11
(2)
kade {to e zemeno vo predvid deka dvete tela se dvi`at so isto zabrzuvawe, a poradi nerasteglivosta na ja`eto i silite na zategnuvawe se ednakvi. Ako ravenkite (2) se soberat i od niv se izrazi zabrzuvaweto, se dobiva:
gmm
mma
12
12
+−
= (3)
Na sekoe od telata na sl.1 dejstvu-
vaat silata na zemjinata te`a →P i silata
na zategnuvawe na konecot →T . Vtoriot
Wutnov zakon primenet za ovoj sistem vo vektorska forma glasi:
→→→
→→→
+=
+=
2222
1111
TPam
TPam (1)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
49
*6. Na pravoagolen tristran klin so masa M {to le`i
na horizontalna podloga e postaven ist takov, no pomal klin so masa m . Klinovite se dopiraat so svoite hipotenuzi. Za kolku }e se pomesti pogolemiot klin, ako maliot se lizga po nego bez triewe dostignuvaj}i ja horizontalnata podloga? Re{enie: Dadeno: Se bara: M , m ?−s
α
→→= gmP
ba
A
BC→→
= gMP
NF→
1NF→
0
0 x
y
'x
'y
α
2NF→
Sl.1
Proekciite na ravenkata (1) vo ovoj koordinaten sistem se:
- na 0x’: 1sin mamg =α (2)
- na 0y’: 0cos 1 =+− NFmg (3)
odnosno:
αsin1 ga = (4)
αcos1 mgFN = (5)
1NF e silata na normalna reakcija na podlogata (golemiot
klin) koja {to dejstvuva vrz maliot klin. Dvi`eweto na go-lemiot klin }e go razgleduvame vo koordinatniot sistem yx0 .
Vtoriot Wutnov zakon zapi{an za golemiot klin glasi:
22
→→→→=++ aMFFgM NN (6)
kade {to NF→
e sila na normalna reakcija na horizontalnata
podloga, a 2NF→
e sila na normalnata reakcija na podlogata-
mal klin. Jasno e deka 21 NN FF→→
−= , odnosno 21 NN FF = .
Vtoriot Wutnov zakon zapi{an za maliot klin glasi:
11
→→→=+ amFP N (1)
kade {to 1
→a e zabrzuvaweto
na maliot klin, koj {to se lizga po golemiot. Dvi`eweto na maliot klin }e go razgle-duvame vo koordinatniot sis-
tem '0' yx (sl.1).
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
50
Proekciite na vektorskata ravenka (6) se:
- na 0x: 22 sin MaFN =α (7)
- na 0y: 0cos2 =−+− MgFF NN α (8)
Od (7) se dobiva deka zabrzuvaweto na golemiot klin e:
αα cossin2 gM
ma = (9)
a od (8) se opredeluva silata na normalna reakcija na horizon-talnata podloga:
αα cossinmgMgFN += (10)
Spored sl.1 va`i:
AB
ba −=αcos (11)
od kade {to se dobiva deka patot {to }e go izmine maliot klin e:
αcos
baAB
−= (12)
Maliot klin se dvi`i pod dejstvo na silata te`a, taka {to va`i:
2
sin
cos
2 αα
gtba =− (13)
kade {to αsing e komponenta na zemjinoto zabrzuvawe vdol`
'0x -oskata. Od (13), za vremeto za koe {to se dvi`i maliot klin se dobiva:
( )
αα cossin
2
g
bat
−= (14)
Za istoto ova vreme }e se dvi`i i golemiot klin, pa vkupniot pat koj {to toj }e go pomine sî dodeka maliot klin ne ja dostigne horizontalnata podloga e:
2
22ta
s = (15)
odnosno, ako (14) ja stavime vo (15), kone~no se dobiva:
( )baM
ms −= (16)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
51
*7. Telo obeseno na konec so dol`ina l se vrti vo hori-zontalna ramnina so konstantna agolna brzina i pravi n zavr-tuvawa vo sekunda. Ako masata na teloto e m , da se opredeli
silata na zategnuvawe na konecot. a) zada~ata da se re{i vo odnos na inercijalniot refe-renten sistem povrzan za Zemjata; b) zada~ata da se re{i vo odnos na neinercijalniot referenten sistem povrzan za teloto. Re{enie: Dadeno: Se bara: l , m, n ?−T
→→= gmP
xna
→
→T
α
0
l
R
y
Sl.1 Ravenkite (2) i (3) mo`at da se prezapi{at kako:
αυsin
2
TR
m = (4)
αcosTmg= (5)
Od sl.1 se gleda deka:
R
l=αsin (6)
Vrskata pome|u liniskata i agolnata brzina e slednata: nRR πωυ 2== (7) kade {to n e brojot na zavrtuvawa. Ako ravenkite (6) i (7) se stavat vo (4), za silata na zategnuvawe na konecot se dobiva:
mlnT 224π= (8)
a) Vtoriot Wutnov zakon za teloto na sl.1 glasi:
→→→
=+ amTP (1) Proekciite na ovaa ravenka vo iner-cijalniot referenten sistem se :
- na x0 : αυsin
2
TR
m −=− (2)
- na y0 : 0cos =+− αTmg (3)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
52
b) Vo neinercijalniot referenten sistem (sl.2) se ja-vuva u{te edna sila koja {to dejstvuva na teloto, a toa e cen-
trifugalnata sila, na sl.2 ozna~ena kako cF→
.
→→= gmP
'xna
→
→T
α
0
l
RcF→
'y
Sl.2 ovoj referenten sistem teloto miruva. Isto taka, iskoristena e i relacijata koja {to ja dava centrifugalnata sila i taa glasi:
RmFc2ω= (12)
Od relaciite (6) i (10) sleduva:
mlnT 224π= (13) Od relaciite (8) i (13) se gleda deka za vrednosta na silata na zategnuvawe na konecot se dobiva ista vrednost. Toa treba da se o~ekuva, bidej}i silata na zategnuvawe na konecot e “vistinska” sila (se javuva vo bilo koj referenten sistem). Ova e potvrda na faktot deka izborot na inercijalniot re-ferenten sistem ne smee da vlijae vrz rezultatot od mereweto (ova e postavka vo klasi~nata mehanika, no taa ne va`i vo spe-cijalnata teorija na relativnost).
Vtoriot Wutnov zakon glasi:
→→→→
=++ amFTP c (9) Proekciite na ovaa vektorska ravenka se:
- na '0x : 0sin =− αTFc (10)
- na '0y : 0cos =+− αTmg (11)
kade {to e iskoristeno deka proekciite na zabrzuvaweto i na dvete oski od koordinatniot sistem ''0 yx se nula, bidej}i vo
o
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
53
*8. Top~e so radius r e prika~eno na nerastegliv konec so dol`ina l i pritoa dopira vertikalno postaven cilindar, na ~ija oska e prika~en konecot so top~eto (sl.1). Radiusot na cilindarot e R. Pri kolkava agolna brzina na sistemot, top~eto }e prestane da pritiska na cilindarot?
l
Rr
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:
l , R, r ?0 −ω
→→= gmP
→T
l
RNF
→
ω
rcF
→
Sl.2
tiska na podlogata (cilindarot), odnosno }e va`i: 0=NF .
Toga{, ravenkite (2) i (3) }e dobijat oblik:
Vtoriot Wutnov zakon za top~eto na sl.2 glasi:
→→→→→
=+++ amFFTP Nc (1)
kade {to cF→
e centrifugalna sila, a
NF→
e sila na reakcija na cilindarot. Proekciite na (1) na oski izbrani kako vo zada~ata 7 pod b) se :
( ) 0sin 2 =+++− rRmFT N ωα (2)
mgT =αcos (3)
Pri rotacijata na sistemot, vo eden mo-ment, za nekoja vrednost na agolnata
brzina 0ω , top~eto }e prestane da pri-
tiska
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
54
( )rRmT += 20sin ωα (4)
mgT =αcos (5)
Ako gi podelime ovie dve ravenki edna so druga, }e dobieme:
( )rRg
+=20tg
ωα (6)
od kade {to za kriti~nata vrednost na agolnata brzina 0ω
(vrednost pri koja {to teloto }e prestane da pritiska na cil-indarot) se dobiva:
αω tgrR
g0 +
= (7)
Spored sl.2:
( ) ( )22
tgrRrl
rR
+−+
+=α (8)
Ako (8) ja zamenime vo (7) dobivame:
( ) ( )22
0
rRrl
g
+−+=ω (9)
odnosno, ako se razlo`i imenitelot na (9) kako razlika od kvadrati, se dobiva kone~no:
( )( )rRlrl
g
20
++−=ω (10)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
55
9. Vreteno vo vid na poln cilindar so masa kg 101 =m e
2m
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:
kg 101 =m , kg 22 =m ?−a
Liniskoto zabrzuvawe na vretenoto (istovremeno zabr-zuvawe so koe tegot }e se spu{ta nadolu) se presmetuva kako: Ra α= (1)
→P
2m
→T
1m
Sl.2 e moment na inercija na vretenoto (cilindarot). Vtoriot Wut-nov zakon zapi{an za teloto na sl.2 glasi:
→→→
=+ amTP (4) Ako y -oskata ja naso~ime vertikalno nadolu (vo nasoka na dvi`ewe na teloto), proekcijata na vektorskata ravenka (4) na taa oska }e glasi:
amTgm 22 =− (5)
od kade {to se dobiva izraz za silata na zategnuvawe na kone-cot:
( )agmT −= 2 (6)
Vrtliviot moment, koj se opredeluva kako:
nadenato na horizontalna oska. Na cilin-darot e namotan konec, a na slobodniot kraj
na konecot e obesen teg so masa kg 22 =m
(sl.1). So kakvo zabrzuvawe }e se spu{ta te-
got so masa 2m , ako toj se ostavi sam na sebe?
kade {to α e agolnoto zabrzuvawe opre-deleno kako:
J
M=α (2)
Vo (2) M e vrtliv moment (moment na sila {to dejstvuva na vretenoto), a :
222
1RmJ = (3)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
56
TRM = (7) so koristewe na ravenkata (6) dobiva oblik:
( )RagmM −= 2 (8)
Od (8) i (3) preku ravenkata (2) se dobiva slednata ravenka za agolnoto zabrzuvawe:
( )
Rm
agm
1
22 −=α (9)
Kone~no, ako (9) se stavi vo (1) se dobiva ravenka za zabrzu-vaweto a :
( )
1
22
m
agma
−= (10)
Ako ovaa ravenka se re{i po odnos na zabrzuvaweto, se dobiva:
21
2
2
2
mm
gma
+= (11)
So zamena na brojnite vrednosti dobivame: 2sm 8,2=a .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
57
10. Na lost dejstvuvaat dve paralelni sili so moduli
N 1001 =F i N 2001 =F . Ako rastojanieto pome|u napadnite
to~ki na silite e m 8,1=d , da se opredeli vo koja to~ka treba
da se potpre lostot za toj da bide vo ramnote`a? Kolkavi se momentite na silite? Re{enie: Dadeno: Se bara:
N 1001 =F , N 2001 =F , m 8,1=d ?1 −r , ?1 −M , ?2−M
Od zakonot za ramnote`a na lostot sleduva:
21 MM = (1)
kade {to :
111 rFM = i 222 rFM = (2)
se momenti na silite koi {to dejstvuvaat na dvata kraka na lostot (sl.1).
2
→F
d
1
→F
1r 2r
Sl.1
So zamena na brojnite vrednosti vo (5) se dobiva: m 6,01 =r .
Zna~i na rastojanie m 6,01 =r treba da se potpre lostot, za
istiot da bide vo ramnote`a. Ako sistemot od ravenkite (3) i
(4) se re{i po 2r se dobiva:
21
12 FF
dFr
+= (7)
Od ravenkata (2), za momentite na silite se dobiva:
21
2121 FF
dFFMM
+== (8)
odnosno: Nm 12021 == MM .
Va`at slednite dve ravenstva:
2211 rFrF = (3)
drr =+ 21 (4)
Ovoj sistem ravenki }e go re{ime so metodot na zamena, taka {to od
(4) }e go izrazime 2r i }e go zame-
nime vo (3). Taa ravenka da ja
re{ime po 1r . Dobivame:
21
21 FF
dFr
+= (5)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
58
11. Na horizontalna oska se postaveni zamajno trkalo i lesna makara so radius cm 5=R . Na makarata e obesen konec na
~ij kraj e obesen teg so masa kg 4,0=m . Spu{taj}i se ramno-
merno zabrzano, tegot pominal rastojanie m 8,1=h za vreme
s 3=t . Da se opredeli momentot na inercija na zamajnoto trkalo. Masata na makarata se zanemaruva. Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 0,05cm 5 ==R , kg 4,0=m , s 3=t , m 8,1=h ?−J
R
→P
m
→T
Sl.1 Zamenuvaj}i ja (3) vo (2), za silata na zategnuvawe na konecot se dobiva:
−= 1
2
2 2
2 h
gt
t
mhT (4)
Momentot na sila po odnos na oskata na rotacija e TRM = , od-nosno, so zemawe vo predvid na (4):
−= 1
2
2 2
2 h
gt
t
mhRM (5)
Momentot na sila za zamajnoto trkalo mora da e ednakov na momentot na makarata. Izedna~uvaj}i gi ovie dva momenti:
−= 1
2
2 2
2 h
gt
t
mhR
t
Jω (6)
za momentot na inercija na zamajnoto trkalo se dobiva:
22
2 mkg 0235,012
⋅=
−=
h
gtmRJ (7)
Vtoriot Wutnov zakon za sistemot prika`an na sl.1 glasi:
→→→
=+ amTP (1) Proekcijata na ovaa vektorska ravenka na y -oskata naso~ena vo pravec na dvi`ewe na te-loto so masa me :
maTmg =− (2)
Zabrzuvaweto na teloto se presmetuva kako:
2
2
t
ha = (3)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
59
1.3 ZAKONI ZA ZAPAZUVAWE MEHANI^KA ENERGIJA MEHANI^KA RABOTA
1. Telo so masa kg 151 =m po~nuva da se lizga od vrvot
na kosa ramnina so agol o60=α . Na krajot od kosata ramnina, teloto pa|a vo nepodvi`na koli~ka napolneta so pesok, so
masa kg 902 =m . Koli~kata se nao|a na horizontalna ramnina.
Ako visinskata razlika pome|u teloto i koli~kata vo po~etnata polo`ba e m 10=h , da se opredeli brzinata so koja {to }e se dvi`i koli~kata zaedno so teloto. Trieweto da se zanemari. Re{enie: Dadeno: Se bara:
kg 151 =m , o60=α , kg 902 =m , m 10=h ?−υ
α
h
2m
→υ
1m
1
→υ
Sl.1 Od zakonot za zapazuvawe na impulsot sleduva:
( )υυ 2111 mmm += (3)
kade {to υ e brzinata so koja {to }e se dvi`i sistemot
(koli~ka + telo) posle pa|aweto na teloto vo koli~kata. Sta-vaj}i ja ravenkata (2) vo (1), pa taka dobienata ravenka stavaj}i ja vo (3), se dobiva:
ghmm
m2
cos
21
1
+=
αυ (4)
So zamena na brojnite vrednosti se dobiva: sm 1=υ .
Ako −x oskata se naso~i vdol` kosata ramnina (vdol` na-sokata na dvi`ewe na teloto), toga{ brzinata so koja {to }e se spu{ta teloto po ramninata e:
αυυ cos01 = (1)
kade {to 0υ e vertikalnata kompo-
nenta na brzinata na teloto:
gh20 =υ (2)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
60
2. Telo so mali dimenzii i masa m po~nuva da se lizga
po strmna podloga AB (sl.1), trgnuvaj}i od visina h vo odnos na horizontalnata podloga do koja {to doa|a. Vo to~kata B te-loto pominuva na {tica so masa M i prodol`uva da se lizga po nea. Kako rezultat na triewe pome|u teloto i {ticata, toa pominuva odredeno rastojanie vo odnos na {ticata i zasta-nuva, no zaedno so {ticata prodol`uva da se dvi`i ponatamu. Kolkava energija }e se potro{i za sovladuvawe na silite na triewe pome|u teloto i podlogata, ako se zanemari trieweto pome|u teloto i podlogata na patot AB, kako i trieweto pome|u {ticata i podlogata?
h
A
m
B M
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara: h , m , M ?−∆E Zakonot za zapazuvawe na energijata primenet na po~etnata i krajnata polo`ba na teloto glasi:
( )
EMm
mgh ∆++=2
2υ (1)
pri {to prviot ~len od levata strana na (1) e potencijalna e-nergija na teloto vo to~kata A , prviot ~len od desnata strana na (1) e kineti~ka energija na sistemot: {tica+telo, a vtoriot ~len od desnata strana e energijata {to se tro{i za sovladu-vawe na silite na triewe. Od zakonot za zapazuvawe na im-pulsot pak sleduva:
( )υυ Mmm +=0 (2)
kade {to υ e brzina na teloto i {ticata koga se dvi`at
zaedno, a gh20 =υ . Izrazot za brzinata (2) da go stavime vo
(1). Za energijata E∆ se dobiva:
ghMm
mME
+=∆ (3)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
61
3. Telo so masa kg 2=m po~nuva da pa|a od visina
m 400=H , so po~etna brzina sm 1980 =υ naso~ena vertikalno
nadolu. Teloto pa|a vo pesok i propa|a vo nego za m 5,0=h . Da
se presmeta srednata sila na otpor na pesokot. Re{enie: Dadeno: Se bara:
kg 2=m , m 400=H , sm 1980 =υ , m 5,0=h ?−F
H
h
Sl.1 Rabotata {to ja vr{at silite na otpor na pesokot e: FhA= (1) Vkupnata energija {to ja ima teloto ja tro{i za sovladuvawe na silite na toj otpor, taka {to od zakonot za zapazuvawe na energijata sleduva:
( ) FhhHmgm
=++2
20υ
(2)
Ako vo (2) se zeme vo predvid deka:
gh20 =υ (3)
za srednata sila na otpor na pesokot se dobiva:
( )
h
hHmg
h
mF
++=2
20υ
(4)
So zamena na brojnite vrednosti se dobiva kN 3,86=F .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
62
4. Fudbalska topka se pu{ta slobodno da pa|a od visina m 8=h vrz mazna ramnina. Kolkava treba da bide po~etnata
brzina na topkata 0υ za taa posle dva udari vo ramninata pov-
torno da se iska~i na prvobitnata visina? Se smeta deka pri sekoj udar vo ramninata, topkata gubi %40 od svojata energija. Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 8=h ?0 −υ
Vo po~etniot moment topkata poseduva energija:
mghm
E +=2
20
0
υ (1)
Spored uslovot na zada~ata, energijata na topkata posle prviot udar }e bide:
01 6,0 EE = (2)
Posle vtoriot udar pak, energijata }e bide:
012 36,06,0 EEE == (3)
Vo ravenkata (3) da go zamenime izrazot za energijata 0E od
ravenkata (1). Izrazuvaj}i ja pritoa brzinata, se dobiva:
gh23
40 =υ (4)
{to posle zamenata na brojnite vrednosti, dava sm 7,160 =υ .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
63
*5. Po {ini postaveni vdol` patot ABC koj {to vo
to~kata B pominuva vo polukrug so radius R, se dvi`i vagonetka so masa m , bez po~etna brzina (sl.1). Trieweto mo`e da se zanemari.
0
R
B
h
C
A
Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara:
m, R a) ?−h , b) ?−DF
a) Teloto }e pritiska na podlogata sî dodeka va`i us- lovot:
mgFcC ≥ (1)
Vo grani~en slu~aj treba da va`i: mgFcC = , odnosno:
R
mmg C2υ
= (2)
od kade {to za brzinata na teloto vo to~kata C se dobiva:
RgC =υ (3)
→→= gmP
C
→υ
0
R
cCF→
B
D
hC
A
→→= gmP
cDF→
D
→υ
ϕ
Rh 2−
Sl.2
a) Kolkava treba da bide visinata h za teloto da go pomine patot BC bez da se odvoi od podlogata? b) Kolkava e silata so koja {to vagonetkata pritiska na podlogata vo delot pome|u to~kite B iC ?
Zakonot za zapazuvawe na energijata primenet za to~kite A i C glasi (sl.2):
( )R
mRhmg C2
2υ
=− (4)
od kade {to za brzinata vo to~kta C se dobiva:
( )RhgC 22 −=υ (5)
Ako ovaa vrednost se zameni vo uslovot (1) se dobiva:
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
64
Rh2
5> (6)
{to e kriti~na visina od koja {to treba da trgne vagonetkata za da stigne do to~kata C bez da se odvoi od podlogata. b) Silata so koja {to teloto pritiska na podlogata vo proizvolna to~ka na patot od B do C , na primer vo to~kata D se dobiva koga od centrifugalnata sila vo taa to~ka }e se odzeme komponentata na silata te`a koja {to dejstvuva vo pravec na centrifugalnata sila, no ima sprotivna nasoka. Imeno:
ϕsinmgFF cDD −= (7)
kade {to ϕ e agolot ozna~en na sl.2. Od istata slika se gleda
deka:
( )βϕsin1+−= RhhAD (8)
Zakonot za zapazuvawe na energijata primenet vo to~kite A i D glasi:
( )[ ]βϕυsin1
2
2
+−= Rhmgm D (9)
od kade {to za brzinata na vagonetkata vo to~kata D se do-biva:
( )[ ]βϕυ sin12 +−= RhgD (10)
Ako izrazot (10) go stavime vo (7), za silata so koja {to teloto pritiska na podlogata pome|u to~kite B i C , kone~no se do-biva:
( )[ ] ϕβϕ sinsin12
mgRhR
mgFD −+−= (11)
Od ravenkata (11) se gleda deka za da se opredeli si-lata na pritisok, treba da se znae za koja to~ka stanuva zbor, a taa pak e definirana preku agolot ϕ .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
65
*6. Po pokriv navednat vo odnos na horizontot pod agol o30=α se trkala bez lizgawe homogena topka. Trgnuvaj}i od
sostojba na miruvawe, topkata pominuva pat m 8,2=s i na
visina m 9=h go napu{ta pokrivot. Kolkava e brzinata na top-kata vo momentot koga taa udira vo Zemjata? Zagubite na ener-gija da se zanemarat. Re{enie: Dadeno: Se bara:
o30=α , m 9=h , m 8,2=s ?−υ
H
h
s
A
B
C Sl.1
moment na inercija na homogena topka so radius r . Ravenkata (1) posle vakvite oznaki stanuva:
52
sin2222 rmrm
mghmgsωωα ++= (2)
od kade {to se dobiva:
αω sin7
1022 gsr = (3)
Zakonot za zapazuvawe na energijata primenet za to~kite A i C glasi:
222
5
2
2
1
2sin rm
mmgsmgh C ωυα +=+ (4)
So zamena na (3) vo (4), za brzinata so koja {to topkata }e udri vo Zemjata se dobiva:
+= αυ sin7
52 shgC (5)
Zakonot za zapazuvawe na e-nergijata primenet za to~kite A i B glasi:
( )22
220 ωυ Jm
mghHhmg ++=+ (1)
kade {to 2
2ωJ e kineti~ka energija
na rotacija na topkata. 2
5
2mrJ = e
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
66
7. Malo telo e pu{teno da se lizga po povr{inata na polusfera so radius R. Na koja visina od povr{inata na Zem-jata, teloto }e se odvoi od polusferata? Re{enie: Dadeno: Se bara: R ?−h
Rα
h→P
NF→ y
x
A
Sl.1
R
mmgFN
2
cosυα −= (2)
kade {to e zemeno vo predvid deka ny aa = , a normalnoto zabr-
zuvawe iznesuva:
R
an
2υ= (3)
Uslov teloto da se odvoi od povr{inata na polusferata e:
0=NF . Od (2) toga{ se dobiva:
α
υcos
2
gR= (4)
Od zakonot za zapazuvawe na energijata primenet vo po~etnata polo`ba i to~kata A :
mghm
mgR +=2
2υ (5)
se opredeluva brzinata na teloto vo momentot na oddeluvawe od polusferata:
( )hRg −= 2υ (6)
Zemaj}i vo predvid deka Rh=αcos , so zamena na (6) vo (4), za
visinata na koja {to teloto }e se oddeli se dobiva:
Rh3
2= (7)
Vtoriot Wutnov zakon za teloto na sl.1 glasi:
→→→
=+ amFP N (1)
kade {to NF→
e sila na nor-malna reakcija na podlogata. Proekcijata na ovaa ravenka na y -oskata e:
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
67
8. Koli~ka so pesok ~ija {to masa e M se dvi`i po hori-
zontalen pat so brzina 0υ . Kur{um so masa m i brzina 1υ {to
se dvi`i vo ista nasoka kako i koli~kata udira i se zadr`uva vo pesokot. Da se opredeli brzinata na koli~kata po sudirot. Da se presmeta promenata na kineti~kata energija po sudirot. Re{enie: Dadeno: Se bara:
M , 0υ , m, 1υ ?−υ , ?−∆ kE
Od zakonot za zapazuvawe na impulsot za sistemot kur{um+koli~ka se dobiva:
( )υυυ MmMm +=+ 011 (1)
kade {to υ e brzinata na sistemot posle sudarot, koga
koli~kata i kur{umot se dvi`at zaedno. Taa brzina se oprede-luva od ravenkata (1):
Mm
Mm
++
= 011 υυυ (2)
Kineti~kite energii na koli~kata i kur{umot pred su-darot se soodvetno:
2
20
0
υMEk = (3)
i 2
21
1
υmEk = (4)
a posle sudarot, kineti~kata energija iznesuva:
( )
2
2υMmEk
+= (5)
Od (3), (4) i (5) za promenata na kineti~kata energija se dobiva:
( )10 kkkk EEEE +−=∆ (6)
odnosno:
( )
( )Mm
MmEk +
−=∆
2
21 υυ
(7)
Ako (2) ja zamenime vo (7), kone~no se dobiva:
201
2
2
+−
=∆Mm
mMEk
υυ (8)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
68
9. Vagon so masa kg 1041 =m , koj {to se dvi`i so brzina
sm 121 =υ se sudruva so drug vagon so masa kg 102 42 ⋅=m koj
{to se dvi`i vo istata nasoka so brzina sm 62 =υ . Dvi`ej}i se
ponatamu zaedno, dvata vagoni se sudruvaat so tret vagon so
masa kg 105,7 43 ⋅=m , koj {to miruva. Da se opredeli brzinata
na vagonite na oddelnite delovi od patot. Re{enie: Dadeno:
kg 1041 =m , sm 121 =υ , kg 102 4
2 ⋅=m , sm 62 =υ , kg 105,7 43 ⋅=m
Se bara:
?'−υ , ?'' −υ Zakonot za zapazuvawe na impulsot za prvite dva vagoni dava:
( ) '212211 υυυ mmmm +=+ (1)
od kade {to za brzinata so koja {to se dvi`at prvite dva vagoni zaedno se dobiva:
21
2211'mm
mm
++
=υυυ (2)
Ako se zamenat brojnite vrednosti se dobiva: sm 8'=υ .
Zakonot za zapazuvawe na impulsot primenet za siste-mot od dvata vagoni zaedno koi {to se sudruvaat so tretiot vagon glasi:
( ) ( ) ''' 32121 υυ mmmmm ++=+ (3)
kade {to e zemeno vo predvid deka tretiot vagon miruva, od-
nosno 03 =υ . Ako ravenkata (2) se zameni vo (3), za brzinata so
koja {to }e se dvi`i sistemot od trite vagoni zaedno se do-biva:
321
2211''mmm
mm
+++
=υυυ (4)
odnosno: sm 4,6'' =υ .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
69
10. Kru`na horizontalna platforma vo oblik na disk so
masa kg 1001 =m se vrti okolu vertikalna oska so frekvencija
-11 min 10=f . Na periferijata na platformata stoi ~ovek so
masa kg 602 =m . So kolkava frekvencija }e se vrti platfor-
mata, ako ~ovekot dvi`ej}i se po radiusot na istata stignuva vo nejziniot centar? Re{enie: Dadeno: Se bara:
kg 1001 =m , kg 602 =m , -1-11 s 017,0min 10 ==f ?2 −f
Od zakonot za zapazuvawe na momentot na impuls po od-nos na oskata na rotacija na diskot sleduva deka:
2211 ωω JJ = (1)
kade {to 1J i 2J se momenti na inercija pred ~ovekot da po-
mine vo centarot na platformata i potoa. Tie iznesuvaat:
22
211 2
1RmRmJ += (2)
212 2
1RmJ = (3)
kade {to 212
1' RmJ = e moment na inercija na kru`nata plat-
forma vo oblik na disk so radius R, a 22'' RmJ = e moment na
inercija na ~ovekot na periferijata na platformata (koga toj }e pomine vo centarot, negoviot moment na inercija e nula, bidej}i 0=R ). Ako se ima vo predvid deka:
11 2 fπω = i 22 2 fπω = (4)
so zamena na (2), (3) i (4) vo (1) se dobiva:
11
21
21 f
m
m
+=ω (5)
So zamena na brojnite vrednosti se dobiva: -12 s 037,0=f .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
70
11. Postojana sila N 5,0=F dejstvuva na telo so masa
kg 10=m za vreme s 10=t . Da se opredeli krajnata kineti~ka
energija na teloto, ako negovata po~etna kineti~ka energija e ednakva na nula. Re{enie: Dadeno: Se bara:
N 5,0=F , kg 10=m , s 10=t ?−kE
Silata koja {to dejstvuva na teloto }e mu soop{ti zabr-zuvawe:
m
Fa = (1)
Patot {to }e go pomine teloto so ova zabrzuvawe za vreme t e:
2
2ats = (2)
odnosno:
m
Fts
2
2
= (3)
Silata }e vr{i rabota: FsA = (4) a vkupnata energija }e se tro{i za vr{ewe na ovaa rabota, od-nosno:
AEk = (5)
Zamenuvaj}i ja ravenkata (3) vo (4) odnosno (5), se dobiva:
m
tFEk 2
22
= (6)
So zamena na brojnite vrednosti imame: J 05,0=kE .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
71
12. Kolkava brzina mo`e da ima tramvaj koj {to se
dvi`i po nagornina pod agol o10=α vo odnos na horizontal-nata podloga, ako negovite ~etiri elektromotori imaat mo}nost od po kW 44=P ? Masata na tramvajot zaedno so pat-
nicite e kg 103 4⋅=m , a koeficientot na triewe e 05,0=µ .
Re{enie: Dadeno: Se bara:
o10=α , kW 44=P , kg 103 4⋅=m , 05,0=µ ?−υ
α
NF→
trF→
xy
→→= gmP
αα
→F
Sl.1
→→→→→
=+++ amFFFP trN (1) Proekciite na ovaa ravenka na oskite od koordinatniot sis-tem na sl.1 se :
- na x0 : 0sin =−− αmgFF tr (2)
- na y0 : 0cos =− αmgFN (3)
Vo (2) e zemena vrednost nula za zabrzuvaweto, bidej}i brzi-nata koja {to e maksimalno mo`na }e se odr`uva konstantna sî dodeka teloto ne po~ne da ja namaluva taa brzina. Za vle~nata sila na motorite, so zamena na (3) vo (2) se dobiva:
( )cossin µα += mgF (4)
Bidej}i tramvajot ima ~etiri motori, brzinata }e se opredeli kako:
F
P4=υ (5)
odnosno, posle zamenata na (4) vo (5) kone~no se dobiva:
( )cossin
4
µαυ
+=
mg
P (6)
ili sm 4,3=υ .
Dvi`eweto na tram-vajot e pretstaveno na sl.1. Nemu mu dejstvuvaat ~etiri sili i toa: vle~nata sila na motorite, silata na zemji-nata te`a, silata na triewe i silata na normalna reak-cija na podlogata. Vektor-skata ravenka za vtoriot Wutnov zakon glasi:
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
72
13. Da se opredeli koeficientot na korisno dejstvo na
potstanica za voda, ako potro{uva~kata na voda e s3m 3 ,
visinata na koja {to se iska~uva vodata e m 20=h , a mo}nosta
na potstanicata e kW 883=P . Za gustinata na vodata da se
zeme vrednost 3mkg 1000=ρ .
Re{enie: Dadeno: Se bara:
st
V 3m 3= , m 20=h , kW 883=P , 3mkg 1000=ρ ?−η
Koeficientot na korisno dejstvo e odnos pome|u dobi-
enata 1P i vlo`enata mo}nost P :
1P
P=η (1)
Dobienata mo}nost se presmetuva kako:
t
AP = (2)
kade {to za izvr{enata rabota A va`i: FhA = (3) Silata koja {to ja iska~uva vodata na nazna~enata visina e: mgF = (4)
a masata na vodata se presmetuva kako: Vm ρ= (5)
Ravenkite (3),(4) i (5) da gi zamenime vo (2):
t
VghP
ρ= (6)
Kone~no, ako (6) ja zamenime vo (1), za koeficientot na korisno dejstvo se dobiva:
Pt
Vghρη = (7)
odnosno: %67=η .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
73
14. Na horizontalna oska se postaveni zamajno trkalo i lesna makara so radius cm 5=R . Na makarata e namotan konec
na ~ij kraj e obesen teg so masa kg 4,0=m . Spu{taj}i se ramno-
merno zabrzano, tegot pominal rastojanie m 8,1=h za vreme
s 3=t . Da se opredeli kineti~kata energija na zamajnoto trkalo. Re{enie: Dadeno: Se bara
m 0,05cm 5 ==R , kg 4,0=m , s 3=t , m 8,1=h ?−kE
R
→P
m
→T
Sl.1
t
h2=υ (3)
Momentot na inercija na zamajnoto trkalo iznesuva (vidi to~ka 1.2, zada~a 11, ravenka 7):
−= 1
2
22
h
gtmRJ (4)
Ako ravenkite (2), (3) i (4) se vnesat vo (1) se dobiva:
−= 1
2
2 2
2
2
h
gt
t
mhEk (5)
So zamena na brojnite vrednosti se dobiva: J 8,6=kE .
Kineti~kata energija na telo koe {to rotira se presmetuva kako:
2
2ωJEk = (1)
kade {to J e moment na inercija, a ω e agolna brzina koja {to se presmetuva kako:
R
υω = (2)
a liniskata brzina kako:
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
74
1.4 MEHANI^KI OSCILACII 1. Zapi{ete ja funkcijata so koja {to se opi{uvaat har-moniskite oscilacii {to gi izveduva materijalna to~ka, ako se znae deka amplitudata na oscilaciite e cm 5=A i za vreme
s 60=t materijalnata to~ka pravi 150=n polni oscilacii. Vo po~etniot moment materijalnata to~ka se nao|ala na rasto-
janie 2A od ramnote`nata polo`ba i se dvi`ela kon nea. Na
kolkavo rastojanie od koordinatniot po~etok }e se najde ma-
terijalnata to~ka vo vremenski moment s 17,01=t ?
Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 0,05cm 5 ==A , s 60=t , 150=n , 2A , s 2,01=t ?)( −tx
Funkcijata so koja {to se opi{uvaat harmoniskite os-cilacii e:
( )ϕω += tAtx sin)( (1)
kade {to fπω 2= e kru`na frekvencija, a ϕ e po~etna faza.
Liniskata frekvencija na oscilatorot se opredeluva kako:
τn
f = (2)
i iznesuva Hz. 5,2=f Kru`nata frekvencija, spored (2), izne-
suva:
τπω n2= (3)
Vo po~etniot moment ( 0=t ), materijalnata to~ka se nao|ala na
rastojanie 2A od ramnote`nata polo`ba, pa spored ravenkata
(1) imame:
2sin)0( AAx == ϕ (4)
odnosno: 21sin =ϕ (5)
Re{enijata na ravenkata (5) se: 6
πϕ = i 6
5πϕ = . Koe od ovie
re{enija e po~etna faza na oscilaciite koi {to gi opi{uvame, }e utvrdime otkako }e ja razgledame vremenskata zavisnost na brzinata na oscilatorot:
( )ϕωωυ += tAt cos)( (6)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
75
Vo po~etniot moment va`i: ϕωυ cos)0( A= . (7)
Bidej}i materijalnata to~ka se dvi`ela kon ramnote`nata polo`ba, proekcijata na brzinata na izbranata koordinatna oska vo odnos na koja {to se opi{uva dvi`eweto e negativna, {to zna~i desnata strana na ravenkata (7) mora da bide nega-
tivna. Toa e zadovoleno samo za vrednost na fazata 6
5πϕ = .
Ako ovaa vrednost na fazata zaedno so ravenkata za kru`nata frekvencija (3) ja zamenime vo ravenkata {to gi opi{uva os-cilaciite (1), se dobiva:
+=6
52sin)(
πτπ
tn
Atx (8)
Po zamena na brojnite vrednosti, ravenkata (8) dobiva oblik:
+=6
55sin05,0)(
ππttx (9)
Vo vremenski moment s 17,01=t materijalnata to~ka }e se najde
na rastojanie:
+=6
55sin05,0)( 11
ππttx (10)
odnosno: m 86,0)( 1 −=tx . Znakot “-“ uka`uva na toa deka materi-jalnata to~ka }e se najde na negativniot del od x-oskata.
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
76
2. Matemati~ko ni{alo izveduva oscilacii so ampli-tuda cm 5=A . Vo momentot koga toa bilo maksimalno otkloneto
od ramnote`nata polo`ba, agolot na otklon iznesuva o30=ϕ .
Da se opredeli kru`nata frekvencija na matemati~koto ni{alo. Re{enie: Dadeno: Se bara:
cm 5=A , o30=ϕ ?−ω
A
ϕ
l
Sl.1 ϕsin
Al = (3)
Zamenuvaj}i ja ravenkata (3) vo (1) za periodot se dobiva:
ϕ
πsin
2⋅
=g
AT (4)
Kru`nata frekvencija i periodot na oscilirawe se povrzani na sledniot na~in:
T
πω 2= (5)
So zamena na ravenkata (4) vo (5), kone~no se dobiva:
A
g ϕω sin⋅= (6)
So zamena na brojnite vrednosti se dobiva: srad 67,10=ω .
Periodot na matemati~koto ni{alo se opredeluva na sledniot na~in:
g
lT π2= (1)
Od sl.1 se gleda deka:
l
A=ϕsin (2)
od kade {to za dol`inata na matemati~koto ni{alo se dobiva:
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
77
3. Matemati~ko ni{alo se nao|a vo sostojba na miru-vawe. Vo eden moment, ni{aloto e otkloneto od ramnote`nata polo`ba i zapo~nuva da izveduva mali oscilacii so amplituda
cm 5=A . Ako kru`nata frekvencija iznesuva srad 5,0=ω :
a) Za kolkavo vreme od po~etokot na dvi`eweto, mate-mati~koto ni{alo }e stigne vo amplitudna polo`ba? b) Da se poka`e deka brzinata na oscilatorot vo po~etnata i amplitudnata polo`ba e ednakva na nula; v) Kolkavo e zabrzuvaweto na oscilatorot vo ampli-tudna polo`ba? Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 0,5cm 5 ==A , srad 5,0=ω a) ?1 −t , b) ?00 −=υ , v) ?−a
a) Funkcijata so koja {to se opi{uvaat oscilaciite e:
( )tAtx ωsin)( = (1)
bidej}i po~etnata faza e ednakva na nula. Vo momentot koga ni{aloto }e se najde vo amplitudna polo`ba }e va`i:
( )1sin tAA ω= (2)
od kade {to se dobiva deka treba da va`i:
( ) 1sin 1 =tω odnosno 21πω =t (3)
Od ravenkata (3) se dobiva deka vremeto za koe {to oscilato-
rot }e dojde vo amplitudna polo`ba iznesuva: s 14,31 =t .
b) Brzinata na oscilatorot so tekot na vremeto se menuva na sledniot na~in:
( )tAt ωωυ cos)( = (4)
Vo po~etnata ( 00 =t ) i vo amplitudnata ( s 14,31 =t ) polo`ba,
brzinata na oscilatorot iznesuva: 010 ==υυ .
v) Zabrzuvaweto vo amplitudnata polo`ba se presme-tuva kako:
( )12 sin tAa ωω= (5)
odnosno: 2sm 0125,0−=a . Znakot “-“ uka`uva na toa deka brzi-nata na oscilatorot se namaluva koga toj se stremi kon ram-note`nata polo`ba.
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
78
4. Materijalna to~ka izveduva harmoniski oscilacii so
kru`na frekvencija srad 1=ω i amplituda cm 5=A . Grafi~ki
da se prika`e zavisnosta na: a) koordinatata od vremeto; b) brzinata od vremeto; Po~etnata faza da se zeme za nula. Re{enie: Dadeno: Se bara:
srad 1=ω , cm 5=A a) ?)( −tx , b) ?)( −tυ
Funkcijata so koja {to se opi{uvaat oscilaciite e dadena kako:
( )tAtx ωsin)( = (1)
a brzinata se menuva so tekot na vremeto kako:
( )tAt ωυ cos)( = (2)
a) Zavisnosta na koordinatata od vremeto e dadena na sl.1; b) Zavisnosta na brzinata od vremeto e dadena na sl.2.
)cm(x
5
5−
0)s(t
2
π2
3π
π π2
25π
2
7π2
9ππ3 π4 π5
s
cmυ
5
5−
0)s(t
2π
23π
π π22
5π27π
2
9π
π3 π4
Sl.1 Sl.2
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
79
5. Telo so masa m e obeseno na dve elasti~ni pru`ini
so ednakva dol`ina, no so razli~ni koeficienti na
elasti~nost 1k i 2k , soodvetno. Da se opredelat frekvenciite
na oscilirawe vo slu~aite prika`ani na sl.1 pod a) i b).
1k 2k
m
1k
2k
m a) b) Sl.1 Re{enie: Dadeno: Se bara
1k , 2k , m a) ?1 −ω , b) ?2 −ω
a) Elasti~nata sila koja {to dejstvuva na teloto e :
( )xkkFel 211 +−= (1)
kade {to x e deformacija na pru`inata predizvikana od te-loto so masa m . Kru`nata frekvencija e:
m
kk 211
+=ω (2)
b) Elasti~nata sila vo ovoj slu~aj e:
222 xkFel −= (3)
Vkupnata deformacija na pru`inata iznesuva:
21 xxx += (4)
a od uslovot za ednakvost na elasti~nite sili na dvete pru`ini sleduva:
2211 xkxk = (5)
Od (4) i (5) se dobiva: ( )2112 / kkxkx += . Toga{, koristej}i ja (3),
za kru`nata frekvencija na oscilirawe se dobiva:
( )21
212 kkm
kk
+=ω (6)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
80
1.5 GRAVITACIJA 1. Da se presmeta kolku pati e pogolema gravitacionata
sila {to dejstvuva me|u dve top~iwa so masi kg 51 =m i
kg 22 =m postaveni na rastojanie m 51 =r , od gravitacionata
sila pome|u dva elektrona na rastojanie m 102 152
−⋅=r ?
Re{enie: Dadeno: Se bara:
kg 51 =m , kg 22 =m , m 51 =r , m 102 152
−⋅=r ?: 21 −FF
Gravitacionata sila {to dejstvuva pome|u dvete top~iwa, spored Wutnoviot zakon za gravitacija se presme-tuva kako:
2
1
211
r
mmF γ= (1)
kade {to: 2
211
kg
Nm 1067,6 −⋅=γ e gravitacionata konstanta.
Gravitacionata sila so koja {to se privlekuvaat dva elek-troni e:
2
2
2
2r
mF eγ= (2)
kade {to: kg 101,9 31−⋅=em e masata na elektronot. So delewe
na ravenkite (1) i (2), za odnosot na grvitacionite sili se do-biva:
2
1
22
21
2
1
=
r
r
m
mm
F
F
e
(3)
odnosno: 30
2
1 102 ⋅=F
F.
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
81
2. Od povr{inata na Zemjata, vo vertikalen pravec
isfrleno e telo so po~etna brzina 0υ . Ako e poznat radiusot
na Zemjata zR i zabrzuvaweto pri slobodnoto pa|awe na nejzi-
nata povr{ina g , da se presmeta maksimalnata visina na koja
{to }e se iska~i teloto. Otporot na vozduhot da se zanemari. Re{enie: Dadeno: Se bara:
0υ , zR , g ?max −h
Zakonot za zapazuvawe na energijata glasi:
211 ppk EEE =+ (1)
kade {to: 1pE i 2pE se potencijalnite energii na teloto na
povr{inata na Zemjata i vo momentot koga ja dostignalo maksi-
malnata visina, a 1kE e kineti~ka energija koja {to ja imalo
teloto pri isfrluvaweto. Ravenkata (1) mo`e da se prezapi{e kako:
max
20
2 hR
mM
R
mMm
z
z
z
z
+−=− γγυ
(2)
kade {to:
z
zp R
mME γ−=1 i
max2 hR
mME
z
zp +
−= γ (3)
a zM e masa na Zemjata. Zemjinoto zabrzuvawe se izrazuva
kako:
2z
z
R
Mg γ= (4)
Ako (4) ja zamenime vo (3) se dobiva:
max
220
2 hR
RmgmgR
m
z
zz +
−=−υ
(5)
od kade {to za maksimalnata visina do koja {to }e se iska~i teloto se dobiva:
12
20
max
−=
υz
z
gRR
h (6)
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
82
3. Da se presmetaat prvata i vtorata kosmi~ka brzina. Za gravitacionata konstanta i za masata na Zemjata da se
zemat vrednostite 2211 kgNm 1067,6 −⋅=γ i kg 1098,5 24⋅=zM ,
soodvetno. Radiusot na Zemjata iznesuva m 1037,6 6⋅=zR .
Re{enie: Dadeno:
2
211
kg
Nm 1067,6 −⋅=γ , kg 1098,5 24⋅=zM , m 1037,6 6⋅=zR
Se bara:
a) ?1 −υ , b) ?2 −υ
a) Najmalata brzina {to treba da mu se soop{ti na edno telo za toa da stane ve{ta~ki satelit na Zemjata, se vika prva kosmi~ka brzina. Teloto e ve{ta~ki satelit ako se dvi`i po stacionarna orbita okolu Zemjata, a toa }e bide ispolneto ako:
zz R
mM
R
m γυ=
21 (1)
odnosno, centrifugalnata sila da bide ednakva na silata so koja {to Zemjata go privlekuva teloto. Od (1) za prvata kosmi~ka brzina se dobiva:
z
z
R
Mγυ =1 (2)
i iznesuva: skm 9,71 =υ .
b) Ako na edno telo mu se soop{ti dovolna brzina za toa da ja sovlada gravitacionata sila na Zemjata i stane ve{ta~ki satelit na Sonceto, toga{ taa brzina se narekuva vtora kosmi~ka brzina. Se presmetuva od uslovot kineti~kata ener-gija na toa telo da bide ednakva na rabotata {to treba da ja izvr{i teloto kako bi se oddale~ilo do beskone~nost:
zR
mMm γυ=
2
22 (3)
i iznesuva:
z
z
R
Mγυ 22 = (4)
odnosno: skm 2,11212 ==υυ .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
83
4. Kolkava visina }e dostigne raketa naso~ena verti-kalno nagore, ako nejzinata po~etna brzina e ednakva na prvata kosmi~ka brzina? Re{enie: Od zakonot za zapazuvawe na energijata sleduva:
211 ppk EEE =+ (1)
kade {to: 1pE i 2pE se potencijalnite energii na teloto na
povr{inata na Zemjata i vo momentot koga ja dostignalo maksi-
malnata visina, a 1kE e kineti~ka energija koja {to ja imalo
teloto pri isfrluvaweto. Ravenkata (1) mo`e da se prezapi{e kako:
hR
mM
R
mMm z
z
z
+−=− γγυ
2
21 (2)
kade {to:
z
zp R
mME γ−=1 i
hR
mME z
p +−= γ2 (3)
Bidej}i Zemjinoto zabrzuvawe se izrazuva kako: 2z
z
R
Mg γ= ,
ravenkata (3) se prezapi{uva na sledniot na~in:
hR
RmgmgR
m
z
zz +
−=−22
1
2
υ (4)
Ako vo (4) se zameni vrednosta za prvata kosmi~ka brzina:
z
z
R
Mγυ =1 se dobiva:
hRRR zzz +
−=− 11
2
1 (5)
od kade {to se dobiva:
zRh = (6)
{to zna~i deka maksimalnata visina na koja {to }e se iska~i
teloto e ednakva na zemjiniot radius: m 1037,6 6⋅=h .
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
84
5. Da se opredeli periodot na obikoluvawe na Mese~inata okolu Zemjata, ako e poznato deka rastojanieto od centarot na Zemjata do centarot na Mese~inata iznesuva
m 108,3 8⋅=R .
Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 108,3 8⋅=R ?−T
cF→
gF→
→υ
Zemja
Mese~ina
R
Sl.1
zR
Mγυ = (2)
Od druga strana, liniskata brzina se presmetuva kako:
RT
Rπωυ 2== (3)
Izrazot za brzinata (2) da go zamenime vo ravenkata (3). Za pe-riodot na obikoluvawe na Mese~inata okolu Zemjata toga{ do-bivame:
g
R
R
RT
z
π2= (4)
kade {to istovremeno e zemeno vo predvid deka 2z
z
R
Mg γ= . So
zamena na brojnite vrednosti vo (4) se dobiva:
27s 103,2 6 ≈⋅=T dena. (5)
Mese~inata kru`i okolu Zem-jata po stacionarna orbita, {to zna~i deka centrifugalnata sila i silata so koja {to Zemjata ja privle-kuva imaat ist modul, a sprotivni nasoki (sl.1), t.e:
2
2
R
MM
R
M zmm γυ= (1)
kade {to mM e masata na Mese-
~inata. Za liniskata brzina so koja {to Mese~inata se dvi`i okolu Zem-jata, od (1) se dobiva:
Zbirka zada~i od fizika MEHANIKA _____________________________________________________________________________________
85
6. Kolkav e periodot na rotacija na zemjin ve{ta~ki
satelit koj {to se dvi`i na visina znRh = , kade {to
,...2,1,0=n ? Gustinata na supstancijata od koja {to e izgradena
Zemjata e ρ . Re{enie: Dadeno: Se bara:
m 1037,6 6⋅=zR , ,...2,1,0=n ?−T
Na satelitot dejstvuvaat dve sili i toa: gravitacionata sila so koja {to Zemjata go privlekuva:
( )2
zz
zg
nRR
mMF
+= γ (1)
i centrifugalnata sila:
( )zzc nRRT
mF +
=2
2π (2)
kade {to m e masata na satelitot. Od ednakvosta na ovie dve
sili:
( )
( )zz
zz
z nRRT
mnRR
mM+
=+
2
2
2πγ (3)
a zemaj}i vo predvid deka masata na Zemjata se opredeluva kako:
3
3
4zz RM πρ= (4)
za periodot na obikoluvawe na ve{ta~kiot satelit okolu Zem-jata se dobiva:
( )
πργπ
34
12
3+= nT (5)
Ako u{te se ima vo predvid deka 2z
z
R
Mg γ= , ravenkata (5) go do-
biva oblikot:
( ) ( )g
RnnT 112 ++= π (6)