Primera Prueba Selectiva Nacional 2016Guayaquil, viernes 8 de enero del 2016

Problema 1Un cientıfico inventa una maquina del tiempo que puede viajar hacia el pasado o el futuro las siguientescantidades de anos: 33, 21, 12, 39. Determinar, si es posible viajar 7 anos atras, con varios usos de estamaquina.

Problema 2Dos lados consecutivos del siguiente polıgono son siempre perpendiculares. Hallar el area de dicho polıgono, silas longitudes de sus lados se muestran en la figura.

6

4

2

3

33

4

4

3

3

23

Problema 3En un barco pirata hay un cofre con monedas de oro. Cinco de los piratas reciben su parte con el siguienteprocedimiento: primero Abel recibe 1

8 del total; luego Beto recibe 16 de lo que queda en el cofre. Mas tarde,

Carlos recibe 17 de lo que quedaba. Luego, Dany recibe 1

5 de lo que queda y finalmente a Ezequiel le dan 14 de

lo que resta. Se sabe que hay tres piratas que recibieron igual cantidad de monedas. Determinar cuales son.

Problema 4Dado que:

1

2!17!+

1

3!16!+

1

4!15!+

1

5!14!+

1

6!13!+

1

7!12!+

1

8!11!+

1

9!10!=

N

18!

Hallar el mayor entero que es menor que N100 .

Problema 5Sea ABCDE un pentagono convexo tal que los triangulos ABC, BCD, DEC y EAD tienen la misma area.Supongamos que AC y AD cortan a BE en los puntos M y N respectivamente. Demostrar que BM = NE.

Problema 6Las casillas de una cuadrıcula de 9 por 9 se llenan con los enteros del 1 al 81 de manera arbitraria. Demuestraque hay un entero k entre 1 y 9 (ambos incluidos) tal que el producto de los numeros de la fila k es distinto alproducto de los numeros de la columna k.

Problema 7Los numeros reales a, b, x, y cumplen que:

ax + by = 3

ax2 + by2 = 7

ax3 + by3 = 16

ax4 + by4 = 42

Hallar ax5 + by5.

Tiempo de duracion: 3 horasCada problema vale 7 puntos

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