Upload
andreea-niculescu
View
221
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
titularizare
Citation preview
TITULARIZARE 2007
Subiectul I
Se considera M multimea numerelor naturale nenule, care nu au cifra 9 n scrierea lor n baza 10.
a) Sa se verifice ca 1 M , 10 M , 18 M si 19 / M .
b) Sa se determine cel mai mic si cel mai mare numar natural din multimea M care se scriu n baza 10 utilizand 5cifre.
c) Sa se arate ca 1 +1
2+
1
3+ . . .+
1
2n
n
2+ 1, () n N.
d) Sa se determine numarul de elemente din multimea M care au n scrierea lor zecimala 2007 cifre.
e) Sa se arate ca 1 +9
10+
(
9
10
)2
+ . . .+
(
9
10
)n
< 10, () n N.
f) Sa se arate ca pentru orice m > 0, exista n N, astfel ncat 1 +1
2+ . . .+
1
n m.
g) Sa se arate ca, pentru orice n N si pentru orice r1 < r2 < . . . < rn M , avem1
r1+
1
r2+ . . .+
1
rn< 80.
Subiectul II
Intr-un plan se considera triunghiul ABC de arie S si punctele M (AB), N (BC), P (CA), astfel ncatAM
AB= x,
BN
BC= y si
CP
CA= z, unde x, y, z
(
0,1
3
]
. Daca QRT este un triunghi, notam cu SQRT aria sa. Fie r,
s
[
0,1
3
]
si functia f :
[
0,1
3
]
R, f(t) = t(1 r s) + r + s rs.
a) Sa se arate caAP
AC= 1 z.
b) Sa se arate ca SAMP = x(1 z)S.
c) Sa se arate ca SMNP = S [1 x(1 z) y(1 x) z(1 y)].
d) Sa se arate ca functia f este monoton crescatoare.
e) Sa se arate ca f(t) 2
3, () t
[
0,1
3
]
.
f) Sa se arate ca SMNP S
3
g) Sa se arate ca () s
(
S
3, S
)
, exista X (AB), Y (BC) si Z (CA), astfel ncat SXY Z = s.
Subiectul III
Se considera functiile fn : R R fn(x) =[
(x2 1)n](n)
, () n N. Prin u(n)(x) am notat derivata de ordinul nal functiei u : R R n punctul x.
a) Sa se calculeze f1(x) si f2(x), x R.
b) Daca fn(x) = anxn + . . .+ a0, cu ai R, sa se determine coeficientul an, n N
.
c) Sa se arate ca functia v : (1; 1) (, 0), v(x) =x 1
x+ 1este bijectiva.
d) Utilizand teorema lui Rolle, sa se arate ca ecuatia fn(x) = 0 are n radacini reale distincte si situate n intervalul(1; 1).
e) Sa se arate ca, daca g : R R este o functie de n ori derivabila pe R, cu derivata de ordinul n continua, atunci 1
1
fn(x)g(x) dx = (1)n
1
1
(x2 1)ng(n)(x) dx.
1
f) Sa se arate ca
1
1
fn(x)h(x) dx = 0 pentru orice functie polinomiala h : R R de grad mai mic sau egal cu
n 1.
g) Sa se arate ca functia f : R R, f(x) = (C0n)2xn + (C1n)
2xn1 + . . .+ (Cnn )2, are n radacini distincte situate n
intervalul (, 0).
Subiectul IV
Demonstrati posibilitatile de integrare eficienta a mijloacelor de nvatamant n activitatea didactica, la disciplina/ disciplinele de concurs, avand n vedere:
caracterizarea generala si enuntarea functiilor specifice ale acestora,
clasificarea mijloacelor de nvatamant,
analiza critica a rolului tehnologiei informatiei si a comunicatiilor - TIC,
prezentarea modalitatilor de adaptare si de integrare a mijloacelor de nvatamant la disciplina / disciplinele deconcurs, cu exemplificari.
2