2.- Metodo Directo de Matriz de Rigidez

7/17/2019 2.- Metodo Directo de Matriz de Rigidez

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Universidad José Carlos Mariátegui Análisis Estructural II

METODO DIRECTO DE MATRIZ DE RIGIDEZ

CONCEPTO:

Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de unmodelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando lamasa de los elementos estructurales en los nudos.

· e desarroll! con base en uno de los principios del e"uilibrio#

$a compatibilidad %uer&a'(espla&amiento

· $as ecuaciones se escriben en )unci!n de los *rados de $ibertad +*$ del sistema.

· $a matri& estática de rigide& tiene el orden igual a los *$ del sistema +libres orestringidos

· $a relaci!n )uer&a'despla&amiento se puede representar por #

[ F ] = [ K ] { U }

- / 0 Matri& de rigide&

- % / 01ector de )uer&as

2 U 3 0 1ector de despla&amiento

Rigidez: %uer&a o momento necesario para producir un despla&amiento o rotaci!n

unitaria en la direcci!n de la )uer&a aplicada.

1. SISTEMA DE COORDENADAS

e utili&a un sistema ortogonal, cartesiano 4 de mano derec5a +(e6tr!giro, se usan7 sistemas#

1.1 Si!e"# de $%%&de'#d# g(%)#(e:

e utili&a para re)erenciar toda la estructura, nudos, cargas, despla&amientos 4 reacciones. e usan 7 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de

estructuras.

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1.* Si!e"# de $%%&de'#d# (%$#(e

e utili&a para re)erenciar los elementos estructurales8 como dimensiones, áreas,

inercias, cargas aplicadas, )uer&as internas. e de9ne un nudo inicial 4 9nal, sede9ne un vector de posici!n# direcci!n θ 4 sentido +positivo o negativo. :elaci!nentre coordenadas locales 4 globales.

;6, ;4, ;&# Cosenos directores

*. M+TODO DE ,A RIGIDEZ

- % / 0 - / 2 U 3

2 U 3 0 1ector de despla&amiento

2 Un 3 0 1ector de despla&amiento en los nudos libres

2 %n 3 0 1ector de carga aplicada

2 %a 3 0 :eacciones de los apo4os

2 Ua 3 0 1ector de despla&amiento de los nudos restringido, generalmente igualesa cero o grados de libertad prescritos.

E6pandiendo#

- %n / 0 - nn / 2 Un 3 < - na /2 Ua 3 +=

2 %a 3 0 - an /2 Un 3 < - aa /2 Ua 3 +7

(e += despe>o 2 Un 3

- un /2 Un 3 0 2 %n 3 ? - na /2 Ua 3

2 Un 3 0 - nn /'= 2 %n 3 ? - nn /'=- na /2 Ua 3 +@

:eempla&o en +7

2 %a 3 0 - an /- nn /'=2 %n 3 ? - an /- nn /'=- na /2 Ua 3 < - aa /2 Ua 3

%actori&o # 2 Ua 3

2




2 %a 3 0 - an /- nn /'=2 %n 3 ? -- an /- nn /'=- na /<- aa //2 Ua 3 +

Bara despla&amientos iguales a cero en los apo4os#

2 Un 3 0 - nn /'=2 %n 3

2 %a 3 0 - an /- nn /'=2 %n 3

' e supone el siguiente elemento en coordenadas locales#

i, > 0 nudos

' %uer&as de e6tremo#

' *rados de libertad del elemento#

E6isten @ grados de libertad libres por nudo en el caso plano.

-. M+TODO DE ,A RIGIDEZ DE UNA ARRA PRISM/TICA

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U 0 despla&amiento a6ial A 0 secci!n transversal$ 0 longitudE 0 m!dulo de elasticidad

%uer&a en el resorte

:igide& a6ial, )uer&a necesaria para producir un despla&amientounitario U0=

$a matri& de rigide& en coordenadas locales se arma de la siguiente manera#

e suelta un e6tremo, 4 se le da un despla&amiento unitario U> 0 =

4




i> 0 :igide& en el nudo i debido a un despla&amiento en > U6> 0 =.

e suelta el nudo i #

:igide& en el nudo i debido a un despla&amiento en i.

Esta matri& se aplica en armaduras o cerc5as espaciales.MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERC0A P,ANA

*rados de libertad globales

%uer&as locales

En coordenadas locales# 2 %$ 3 0 - /$ 2 U$ 3

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e pro4ectan las le4es globales sobre los e>es locales en el nudo i 4 >.

U6i$ 0 U6i Cos ; < U4i en ;

U4i$ 0 ' U6i Cos ; < U4i en ; C 0 Cos ;

U6>$ 0 U6> Cos ; < U4> en ; 0 en ; U4>$ 0 ' U6> Cos ; < U4> en ;

:eempla&ando# en 2 %$ 3 0 - /$ 2 U$ 3

Bara las )uer&as se tiene#

2 %$ 3 0 - /2 % 3

- / 0 Matri& de trans)ormaci!n

2 % 3 0 - /'=2 %$ 3

Bara matrices simétricas 4 ortogonales

- /'= 0 - /

2 % 3 0 - / 2 %$ 3

Bara los despla&amientos

2 U$ 3 0 - /2 U 3

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2 U 3 0 - /'= 2 U$ 3

2 U 3 0 - / 2 U$ 3

:eempla&ando en 2 % 3 0 - / 2 %$ 3 2 %$ 3 0 - /$2 U$ 3

2 % 3 0 - / - /$2 U$ 3

2 % 3 0 - / - /$- /2 U 3

- / 0 - / - /$- /

Matri& de rigide& en coordenadas globales del elemento.

PROPIEDADES DE ,A MATRIZ DE RIGIDEZ

E2i(i)&i%:

$a matri& relaciona despla&amientos de e6tremo de un elemento con unas )uer&asde e6tremo en e"uilibrio. Cual"uier despla&amiento ocasiona un con>unto de

)uer&as en e"uilibrio.

Movimiento de un Cuerpo :Dgido

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i a un punto se le genera un despla&amiento correspondiente a un cuerpo rDgido,no se desarrollaran )uer&as sobre los e6tremos de los elementos. o 5a4 cambio delongitud del elemento.

:eempla&ando en la columna respectiva

:eempla&ando en la matri& completa del elemento 4 despe>ando#

%4i 0 %4> 0 F 8 %6i 0 %6> 0 F 8 Mi 0 M> 0 F

ingularidad

$a matri& de rigide& de un elemento es singular, osea "ue no tiene inversa, es decir "ue es autoe"uilibrante para cual"uier con>unto de despla&amientos,matemáticamente signi9ca "ue las columnas = 4 , 7 4 G, @ 4 H son linealmentedependientes, 4 esta es la base de la de9nici!n de una matri& singular.

En este sistema 5a4 @ reacciones independientes 4 las otras @, son el resultado deuna combinaci!n lineal.

$a matri& de rigide& del sistema estructural estará )ormada por matrices singularesde los elementos, pero para solucionar el sistema los movimientos del sistemadeben de estar restringidos por soportes e6ternos.

imetrDa

Consecuencia del teorema reciproco de Ma6ell, también demostrable por elteorema de Castigliano, "ue indica "ue los términos )uera de la diagonal soniguales 4 por lo tanto simétricos.

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CARGAS E3UI4A,ENTES EN ,AS 5UNTAS PARA CARGAS SORE E,E,EMENTO

2 % 3 0 - / 2 U 3

2 % 3 0 1ector de carga "ue debe generar el mismo despla&amiento 2 U 3 "ue lascargas reales.

Caso = #

Cargas reales

Caso 7 #

Cargas reales < con>unto de cargas restrictivas para impedir rotaci!n 4 traslaci!nde >untas. $a suma de 7 4 @# es estáticamente igual al sistema real

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Caso @#

Cargas e"uivalentes en las >untas. Bara cancelar cargas restrictivas. (e magnitudigual pero sentido opuesto. Broducen los mismos despla&amientos "ue las cargasreales.

$as cargas e"uivalentes se calculan a partir de las acciones de e6tremo 9>o. obrelos e6tremos de los elementos +%.E.A., no pueden despla&arse ni girar +empotrado

El e"uilibrio en el nudo será#

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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN E,EMENTO A5O F,E6I7N 8 CORTANTE

curre un despla&amiento U 4 un giro K en un e6tremo, las )uer&as de e6tremo producido por el despla&amiento serán#

U 0 despla&amiento e6tremoL 0 :otaci!n en un e6tremo(el método de la viga con>ugada 4 5aciendo un despla&amiento unitario U4 0 =

Ensamblando la matri& de rigide&. @

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PRO,EMA N9 1 ; 4IGA:

Bara la viga mostrada en la 9gura dibu>ar los (M%. 4 (%C. Considerar EI0constante.

SO,UCI7N:

Ensamblamos la matri& de rigide& de cada elemento.

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Ensamblamos la matri& de rigide& de la estructura#

1ector de )uer&as de empotramiento per)ecto de cada elemento#

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(iagrama de momento ector 4 )uer&a cortante#

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PRO,EMA N9 * < MARCO P,ANO:

En el marco plano de la 9gura ==.N actúa la carga uni)orme distribuida de magnitud

.= Om sobre el elemento 7 como se indica en la 9gura ==.N. :esolver este problema considerando el mismo sistema de coordenadas P ' " 4 B ' p del e>emplo. En consecuencia la matri& de rigide& de la estructura es la misma debiendoiniciar el cálculo a partir del vector de cargas generali&adas.

$UCIQ

En éste caso e6iste problema primario el mismo "ue se presenta en la 9gura ==.=F.Bor lo tanto para calcular las )uer&as 4 momentos 9nales 5abrá "ue sumar a lascargas del problema complementario las acciones del problema primario.

$os vectores P de cargas generali&adas 4 " de coordenadas generali&adas "ue seobtienen a partir de la ecuaci!n básica de estructuras P 0 " resultan.

Bara calcular las de)ormaciones se reali&a# = A

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E(e"e'!% 1

E(e"e'!% *

E(e"e'!% -

Con los valores obtenidos la soluci!n del problema complementario es la siguiente#

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S%(2$i>' de( P&%)(e"# $%"(e"e'!#&i%

Al e)ectuar la suma algebraica del problema primario indicado en la 9gura ==.=Fcon la soluci!n del problema complementario "ue se acaba de indicar se encuentrala soluci!n 9nal.

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