Resumen Metodo de Rigidez

Anlisis Estructural

Resumen del mtodo de rigidez

J.T. Celigeta

Introduccin

Resumen del mtodo de rigidez 1

D1

D3 F3D2

F1

F2

F6

F5

F4D4

D5

D6

Grados de

libertad

Fuerzas

generalizadas

Grados de libertad: Deformaciones necesarias para definir la posicin deformada de la estructura

Deformaciones necesarias para definir la posicin deformada de cada una de las barras de la estructura

Fuerzas generalizadas: Las necesarias para producir las deformaciones

J.T. Celigeta

Fundamento terico


Conservacin de la energa:

Equilibrio (1 Castigliano): ii

UF

1

2

extj j

j

W F U

D1

D3 F3D2

F1

F2

F6

F5

F4D4

D5

D6

Sustituyendo U: 1

2i j jjiF F

Equivale al PTV

Grados de

libertad

Fuerzas

generalizadas

J.T. Celigeta

Desarrollo terico


1 1

2 2j j

i j j j jj j ji i i i

FUF F F

j

i jj i

FF

Resultado:

1

2j

i j ij i

FF F

Desarrollando 1 Castigliano con la U:

jj

UFPero:

2j

i j jj ji j i

F UF

J.T. Celigeta

Resumen terico del mtodo de rigidez


2j

i j jj ji j i

F UF

i ij jj

F K

Equilibrio:

1 11 1 1 1

1

.. .. ..

.. .. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. .. .. .. ..

.. .. ..

j n

i ii ij

j

n n nj nn n

F K K K

F K K

F K K K

D1

D3 F3D2

F1

F2

F6

F5

F4D4

D5

D6

Estas expresiones

de K no son tiles

J.T. Celigeta

Significado fsico de [K]


D1=1K11

Ki1

D3=1

K33

Ki3

1 11 1 1 1

1

.. .. 0

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. 1

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. 0

j n

j jj j

n n nj nn n

F K K K

F K

F K K K

Columna j de [K]:

Fuerzas y momentos que hay

que aplicar sobre los grados de

libertad de la estructura,

para imponer un desplazamiento

unitario en la direccin j, y cero

en todas las dems

No se puede emplear

Para toda la estructura

J.T. Celigeta

Significado fsico de [K] para una viga plana


1 11 1 16 1

6 61 6 66 6

.. .. 0

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. .. .. 1

.. .. .. .. .. .. ..

.. .. 0

j

j jj j

j

F K K K

F K

F K K K

Se emplea a nivel de una barra sola,

para obtener su matriz de rigidez local.

qIZ qJZ

dIY dJY

dIX dJX

=D3

=D1

=D2

=D4

=D5

=D6

D3=1

K33

K23

K63

K53

D2=1

K32

K62

K52K22

D1=1

K41K11

Resolucin sencilla: T. Mohr,

o ecuacin de la elstica.

J.T. Celigeta

Significado fsico de [K] para una viga plana


Se emplea a nivel de una barra sola,

para obtener su matriz de rigidez local.

qIZ qJZ

dIY dJY

dIX dJX

=D3

=D1

=D2

=D4

=D5

=D6

D3=1

K33

K23

K63

K53

D2=1

K32

K62

K52K22

D1=1

K41K11

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

IX IX

IY IY

I I

JX JX

JY JY

J

EA EA

L L

EI EI EI EIP

L L L LP EI EI EI EI

M L L L L

P EA EA

L LP

EI EI EI EIML L L L

EI EI EI EI

L L L L

d

d

q

d

d

q

=

J

J.T. Celigeta

Catlogo de elementos (0)

Cada barra tiene unos grados de libertad. Necesarios para:

Definir la deformada

Definir las ecuaciones de comportamiento (equilibrio)


v

qIZ qJZ

dIY

qZ

dJY

YL

dIX dJXu

Ecuaciones de comportamiento en la forma: e e eLK P

Incluyen: equilibrio (3 de 6), material, pequeas deformaciones

(6x6)

Los GDL de las barras se acumulan/comparten en los nudos

J.T. Celigeta 9


XG

ZG

YG

XL

X

Y

Z

PIYPIX

PIZ

PJX

PJY

PJZ


Barras 2D Barras 3D

J.T. Celigeta 10


dIXdJX

dIY dJY

qI qJ

dIX dJX

dIY dJYy

+ otros en el futuro (MEF)

q1

q2


Muelles

Barras curvas 2D

J.T. Celigeta

Dos cuestiones fundamentales

En cualquier mtodo de anlisis estructural, se deben

garantizar:

Equilibrio de cualquier trozo de la estructura

Compatibilidad de deformaciones

Cmo se garantiza esto en el mtodo de rigidez??


J.T. Celigeta

Compatibilidad de deformaciones

En el mtodo de rigidez es automtica:

Las deformaciones de los nudos (grados de libertad) se

comparten entre las barras que llegan a dicho nudo.

Las deformaciones en el interior de las barras se definen en

funcin de los grados de libertad de los nudos.


DX DX

DY DY

DY

DXqZ

qZ1

qZ2

A) B) C)

v

qIZ qJZ

dIY

qZ

dJY

YL

dIX dJXu

J.T. Celigeta

Grados de libertad. Ejemplo


J.T. Celigeta

Grados de libertad


J.T. Celigeta

Equilibrio de cualquier trozo de la estructura

Cualquier trozo es siempre suma de nudos y barras, por lo

tanto basta con cumplir:


1,e e eG

e bK F

1,e extI Ie

I NF F

A

B

FIA

FIB

FJA

FKB

Equilibrio de todas las barras

Equilibrio de todos los nudos -FI

A

-FIB

FIext

J.T. Celigeta 17

Equilibrio de cada barra de la estructura

En el sistema general de la estructura

e e eGII GIJ I I

e e eJGJI GJJ J

K K F

K K F

e e eLII LIJ I I

e e eLJI LJJ JJ

K K P

K K P

En el sistema local de la barra

Equilibrio esttico de la barra:

3 ecs. en el plano, 6 en el espacio

Estas 3 o 6 ecuaciones se expresan en funcin

de los grados de libertad y de las fuerzas en los

extremos, mediante la ecuacin de rigidez:

Segn el tipo de barra, slo

cambia el tamao y el valor

de las matrices


e

FIe

DJ

DI

FJe

J.T. Celigeta 18

Equilibrio de los nudos

,e e eGII I GIJ J I

A BeK K F

Fuerzas en el nudo I, en el extremo de la barra e

Equilibrio del nudo I: las

fuerzas exteriores se

equilibran con las fuerzas

interiores en las barras

e extI I

e

F F

e e extGII I GIJ J I

e e

K K F

Sustituyendo las

fuerzas interiores:


A

B

FIA

FIB

FJA

FKB

-FIA

-FIB

FIext

J.T. Celigeta 19

Equilibrio de los nudos

Equilibrio del nudo I

1

1

.. .. .. .. ......

.. .. .. .. .. .. ..

.. ..

.. .... .. .. .. ..

exte e eI IGI GII GIN

e

N

FK K K

Tantas ecuaciones de equilibrio esttico como g.d.l. tiene el nudo

Se repite el proceso para todos los nudos I=1, N

e e extGII I GIJ J I

e e

K K F


A

B

FIext

DJDI

DK

J.T. Celigeta 20

Ensamblado de la matriz de rigidez de la estructura

Se ensamblan una tras otra las ecuaciones de equilibrio de todos los nudos

Sumando (ensamblando) la rigidez de cada barra a los grados de libertad a los

que se conecta la barra

.... .. .. .. .. ..

.. .. ..

.... .. .. .. .. ..

.. .. ..

.... .. .. .. .. ..

exte eIGII GIJ I

e e extJGJI GJJ J

FK K

K K F

Contribucin de la barra e a la ecuacin de equilibrio total


eFIext

DJ

DI

FJext

J.T. Celigeta

Ejemplo


A1

2

3B

CD E 11 11 12

21 22 22 22 23

32 33 33

A C AG G G

A A B D BG G G G G

B B EG G G

K K K 0

K K K K K K

0 K K K

J.T. Celigeta

Ejemplo


A

B C

D

E

F

1

3

2 4

11 11 13

22 22 22 23 24

31 32 33 33

42 44 44

A B B

G G GC D E C E

G G G G GB C B C

G G G GE E F

G G G

K K 0 K 0

0 K K K K KK

K K K K 0

0 K 0 K K

J.T. Celigeta

Propiedades matemticas de [K]

Simtrica: teoremas de reciprocidad de deformaciones

Definida positiva. Define la energa:


1

2

TU K

Conservacin de la energa: 1

2

ext TU W F

Equilibrio: F K

Energa en funcin de D:

0 0 det ) 0U K

Nota. Ahora se

comprueba que:

2

ij

i j

UK

1

2 ij i ji jU K

J.T. Celigeta 24

Propiedades topolgicas de [K]

Su estructura topolgica depende de la numeracin de los nudos.

Slo hay trminos no nulos en las celdas (nudos) donde se conectan barras

Estructura dispersa, o de banda compacta.

Los programas reordenan la numeracin de los nudos para obtener una

estructura de banda compacta de [K]

Se necesita menos memoria para almacenarla

Se facilita su factorizacin


Celosa plana 10 nudos

n=20 ecs. Cada celdilla es 2 x 2

1

2

4

3

5

768 10

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

J.T. Celigeta

Propiedades topolgicas de [K]


1

24

3 5 7

6 810

9

1 2 43 5

76

810

9

Operaciones para factorizar K

Algoritmo A B C

Llena

Simtrica n3/6 1330 1330 1330

Banda

Simtrica n m2/2-m3/3 1330 864 288

A B C

Llena n2 400 400 400

Llena

Simtrica n2/2+n/2 210 210 210

Banda

Simtrica n m m2/2 210 168 102

Dispersa 98 98 98

Almacenamiento de K

C) n=20 Matriz banda m=6

1

2

4

3

5

768 10

9

A) n=20 Matriz llena

B) n=20 Matriz banda m=12

J.T. Celigeta 26

Fuerzas aplicadas sobre los elementos

Se transforman en fuerzas nodales equivalentes,

mediante la fase de empotramiento perfecto (fase 0)

Las fuerzas de fase 0 pasan

con signo (-) al vector de

fuerzas exteriores


Situacin

real

Fase 0 Fase 1

F0

-F0

J.T. Celigeta

Fases 0 y 1

Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.

Todas las barras son biempotradas.

Tienen M, Q, N y deformaciones locales, segn el tipo de carga

Fase 1: los nudos se deforman bajo la accin de las cargas

exteriores aplicadas sobre ellos (las de fase 0 con signo -)

Todas las barras se deforman segn cbicas

Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)


Fase 0 Fase 1

D0=0

F0 -F

0

K D1=-F0

v(x3)

u(x)

J.T. Celigeta 28

Tipos de fuerzas sobre los elementos (I)

Puntuales y distribuidas sobre las barras.

Tablas para vigas empotradas en todos sus grados de

libertad

Trmicas sobre las barras.

Temperatura media y gradiente en el canto de la barra

Tablas para vigas empotradas en todos sus g.d.l.


EAaTm EAaTm

EIaTg EIaTg

EAaTm EAaTm

0

TP

J.T. Celigeta

Tipos de fuerzas sobre los elementos (II)

Errores en la forma de las barras (deformaciones de

montaje)

Se conoce la diferencia (error) entre:

la forma natural (descargada) de la barra y

la forma en la que se le obliga a ser montada en la

estructura


E

Fuerzas de fase 0: las fuerzas necesarias para obligar a

la barra a montarse en la estructura

Aplicar dE

0

E L EP K

XL

YL

Forma

natural

Barra montada

en la estructura

Errores

de forma

J.T. Celigeta 30

Tipos de fuerzas sobre los elementos (III)

Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones)

Puede ser cualquier sistema de fuerzas que se est

aplicando sobre la barra en el momento del montaje de la

misma en la estructura

Deben estar en equilibrio entre s.

Son directamente las fuerzas de fase 0

0pretP


Forma

natural

Barra montada

J.T. Celigeta 31

Tipos de fuerzas sobre los elementos (IV)

Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones)

habituales

Dos fuerzas iguales y de sentido contrario.

Fuerzas aplicadas desde el exterior

P

D

0pretP

N0 N0


J.T. Celigeta

Esfuerzos interiores finales en las barras

Esfuerzos interiores son la suma de las dos fases:

Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.

Todas las barras son biempotradas.

Esfuerzos interiores M, Q, N segn el tipo de carga (tablas o R.Mat.)

Fase 1: los nudos se deforman

Todas las barras se deforman segn cbicas

Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)


Fase 0 Fase 1

F0

F1 = K D

1

M0

q L2

12

1 1e e eF K

0eF

J.T. Celigeta

Deformaciones finales en las barras

Deformacin real es la suma de las dos fases:

Fase 0: Todas las barras son biempotradas

No hay deformaciones de los nudos.

Deformaciones u,v de la barra segn el tipo de carga (tablas o R.M.)

Fase 1: los nudos se deforman

Todas las barras se deforman:

Lateralmente a flexin, segn cbicas v(x3)

Axial: linealmente u(x)


Fase 0 Fase 1

D0=0

F0 -F

0

K D1=-F0

v(x3)

u(x)

v0

40 5

384CqL

vEI

J.T. Celigeta Lneas de influencia 34

Deformacin de las barras en la fase 1

Deformacin lateral v de una viga sin cargas, en funcin de las 2 deformaciones laterales y los 2 giros extremos

qJ

qI vdIY dJY

2 3 2 3 2 3 3 2(1 3 2 ) ( 2 ) (3 2 ) ( )IY I JY Jv L L

x

L

qJ

qIvC

dIY dJY

L/2 L/2

( )2 8

IY JYC I J

Lv

1

2Deformacin lateral en el centro vC

J.T. Celigeta Lneas de influencia 35

Deformacin de las barras en la fase 1 (cont)

Deformacin axial u de una viga sin cargas, en funcin de las 2 deformaciones axiales en los extremos

udIX

dJX

( )IX JX IX

u x

L

Documents

Resumen Metodo de Rigidez