Embed Size (px)
DESCRIPTION
elektrokinetika
Citation preview
2. ELEKTROKINETIKA (STALNE STRUJE) ............................................ 1
2.1. POLJA STALNIH STRUJA .......................................................... 3
2.1.1. SREDNJA MAKROSKOPSKA BRZINA KRETANJA SLOBODNIH NOSILACA ..................... 3
2.1.2. VEKTOR GUSTINE STRUJE I STRUJNO POLJE ............................................................... 4
2.1.3. SPECIFIČNA PROVODNOST I SPECIFIČNA OTPORNOST PROVODNIKA. OMOV ZAKON U LOKALNOM OBLIKU ......................................................................... 5
OMOV ZAKON U LOKALNOM OBLIKU ......................................................................................................... 5
TEMPERATURNA ZAVISNOST SPECIFIČNE OTPORNOSTI MATERIJALA ........................................................ 6
VRSTE MATERIJALA PREMA VREDNOSTI SPECIFIČNE OTPORNOSTI ............................................................ 6
PROCENA SREDNJE BRZINE NOSILACA NAELEKTRISANJA U STRUJNOM POLJU .......................................... 7
SAVRŠENI PROVODNIK I IZOLATOR ............................................................................................................. 7
2.1.4. DŽULOVI GUBICI U STRUJNOM POLJU........................................................................ 8
2.1.5. POBUDNO ELEKTRIČNO POLJE I GENERATORI ............................................................ 9
UTICAJ STRANIH SILA NA STRUJNO POLJE U GENERATORU ........................................................................ 9
GENERATOR U PRAZNOM HODU. ELEKTROMOTORNA SILA ..................................................................... 11
GENERATOR U PROVODNOJ SREDINI. STRUJNO POLJE ............................................................................. 12
STRUJNO KOLO ......................................................................................................................................... 13
2.1.6. JAČINA STRUJE I RASPODELA STRUJE ....................................................................... 14
2.1.7. JEDNAČINE STACIONARNOG STRUJNOG POLJA ....................................................... 15
JEDNAČINA KONTINUITETA ZA NESTACIONARNA STRUJNA POLJA ........................................................... 15
JEDNAČINA KONTINUITETA ZA STACIONARNA STRUJNA POLJA ............................................................... 16
JEDNAČINA KONTINUITETA ZA STALNE LINIJSKE STRUJE .......................................................................... 17
Označavanje linijske struje; referentni smer .................................................................... 18
I Kirhofov zakon ................................................................................................................ 18
ZAKON CIRKULACIJE VEKTORA JAČINE ELEKTRIČNOG POLJA U STACIONARNOM STRUJNOM POLJU ....... 19
II Kirhofov zakon ............................................................................................................... 20
2.1.8. ANALIZA STACIONARNIH STRUJNIH KOLA ................................................................ 20
OTPORNICI ................................................................................................................................................ 21
Polje u otpornicima .......................................................................................................... 21
Omov zakon za stalne struje ............................................................................................ 22
Snaga otpornika (Džulovi gubici) ...................................................................................... 22
Električna šema otpornika; označavanje napona i struja ................................................. 23
Usklađeni i neusklađeni referentni smerovi napona, struje i snage ................................. 24
U-I, P-I i P-U karakteristike otpornika ............................................................................... 24
GENERATORI ............................................................................................................................................. 25
Prazan hod generatora ..................................................................................................... 25
Generator priključen na prijemnik ................................................................................... 25
Snaga generatora (PE) ....................................................................................................... 26
Korisna snaga generatora (Pg) .......................................................................................... 27
Snaga Džulovih gubitaka u generatoru (PJg) ..................................................................... 28
Električna šema generatora; označavanje napona i struja ............................................... 28
Relacije između ems, napona i struje realnog naponskog generatora ............................. 29
U-I karakteristika realnog naponskog generatora ............................................................ 30
Idealni naponski generator .............................................................................................. 30
P-U parakteristika generatora .......................................................................................... 31
2.2. KOLA STALNIH STRUJA ......................................................... 32
2.2.1. KIRHOFOVI ZAKONI................................................................................................... 34
PRVI KIRHOFOV ZAKON............................................................................................................................. 34
DRUGI KIRHOFOV ZAKON ......................................................................................................................... 35
NAPON IZMEĐU DVE TAČKE U KOLU ........................................................................................................ 37
REDUKOVANI OBLIK II KIRHOFOVOG ZAKONA .......................................................................................... 39
2.2.2. PROSTO KOLO SA JEDNIM NAPONSKIM GENERATOROM ........................................ 40
OMOV ZAKON ZA PROSTO KOLO .............................................................................................................. 42
2.2.3. PROSTO KOLO SA VIŠE NAPONSKIH GENERATORA I OTPORNIKA ............................ 42
UOPŠTENI OMOV ZAKON .......................................................................................................................... 43
2.2.4. VEZIVANJE OTPORNIKA ............................................................................................ 43
REDNA VEZA OTPORNIKA ......................................................................................................................... 44
Naponski razdelnik ........................................................................................................... 44
PARALELNA VEZA ...................................................................................................................................... 45
Strujni razdelnik ............................................................................................................... 45
MEŠOVITA VEZA OTPORNIKA .................................................................................................................... 46
TRANSFIGURACIJA ZVEZDA-TROUGAO I OBRATNO .................................................................................. 47
2.2.5. REDNA I PARALELNA VEZA REALNIH NAPONSKIH GENERATORA ............................. 49
REDNA VEZA NAPONSKIH GENERATORA .................................................................................................. 49
PARALELNA VEZA NAPONSKIH GENERATORA ........................................................................................... 49
2.2.6. STRUJNI GENERATOR ................................................................................................ 50
IDEALNI STRUJNI GENERATOR .................................................................................................................. 50
REALNI STRUJNI GENERATOR ................................................................................................................... 50
TRANSFIGURACIJE REALNIH GENERATORA ............................................................................................... 52
2.3. SLOŽENA KOLA STALNIH STRUJA ......................................... 53
2.3.1. METODE REŠAVANJA SLOŽENIH KOLA ..................................................................... 54
METOD DIREKTNE PRIMENE KIRHOFOVIH ZAKONA .................................................................................. 54
Nedostatak metoda neposredne primene Kirhofovih zakona ......................................... 56
METOD KONTURNIH STRUJA .................................................................................................................... 56
2.4. TEOREME KOLA STALNIH STRUJA ........................................ 60
2.4.1. TEOREMA LINEARNOSTI (SUPERPOZICIJE) ............................................................... 60
2.4.2. TEVENENOVA TEOREMA .......................................................................................... 63
2.4.3. TEOREMA KOMPENZACIJE ........................................................................................ 67
2.4.4. PRILAGOĐENJE PO SNAZI ......................................................................................... 68
OTPORNIK KAO PRIJEMNIK ....................................................................................................................... 68
Linearna električna mreža kao pobuda ............................................................................ 70
MREŽA KAO PRIJEMNIK ............................................................................................................................ 71
2.5. KOLA SA KONDENZATORIMA ............................................... 74
2.5.1. PUNJENJE KONDENZATORA ..................................................................................... 75
2.5.2. PRAŽNJENJE KONDENZATORA .................................................................................. 77
2.5.3. SLOŽENA KOLA SA KONDENZATORIMA .................................................................... 78
2. ELEKTROKINETIKA (STALNE STRUJE)
- U elektrostatici smo analizirali polje naelektrisanja koja su makroskopskinepokretna u odnosu na posmatra a.
- Smatrali smo da je vektorski usrednjena brzina naelektrisanja u fizi ki malojzapremini uvek jednaka nuli. Usrednjavanje u maloj zapremini je ura enokako bi se izbegla analiza lokalnog kretanja elektrona oko jezgra atoma.
- Elektrokinetika je oblast elektrotehnike koja prou ava pojave kada srednjabrzina kretanja naelektrisanja nije jednakanuli, odnosno kada se nosiocinaelektrisanja organizovano kre u. Takvokretanje se naziva elektri nom strujom.
- Uzroci kretanja nosilaca naelektrisanjamogu biti kako elektri ne, tako ineelektri ne sile.
ELEKTRI NA STRUJA U RAZNIM PROVODNIM SREDINAMANosioci naelektrisanja se mogu organizovano kretati u vrstim telima,te nostima, gasovima i u vakumu.
PROVODNA SREDINAvrsta
(metali)te na
(elektroliti)gasovita
(jonizacija neonskecevi i fluoroscentne
svetiljke)
vakum(vakuumske
elektronske cevi)
NOSIOCINAE
LEKTRISA
NJA
Elektroni joni +, joni +, ,
elektroni
elektroni
- Vode i ra una o prakti nom zna aju, nadalje e biti razmatrane isklju ivo strujekoje nastaju u vrstim sredinama pod dejstvom elektri nog polja na slobodneelektrone. Ove struje se nazivaju kondukcione struje.
- Jednostavnosti radi, umesto kretanja elektrona u datom smeru, možemoposmatrati kretanje pozitivnih nosilaca naelektrisanja u suprotnom smeru. Ovonam pomaže da na jednostavniji na in objasnimo i izvedemo neke poznatezakone i jedna ine strujanja, kao i da definišemo tehni ki smer struje.
- Ograni i emo se na stacionarno (nepromenljivo u vremenu) strujanje nosilacanaelektrisanja. Ovaj uslov definiše pojam stacionarna ili stalna struja.
- Elektri no polje, koje uti e na postojanje stalnih struja, tako e mora bitistacionarno.
- Za održavanje stacionarnog elektri nog polja potrebno je stalno vršiti odre enirad, pa je potrebno uvesti i pojam generator stalne struje.
2.1.1. SREDNJA MAKROSKOPSKA BRZINA KRETANJA SLOBODNIHNOSILACA
- Kretanje slobodnih nosilaca bez postojanja stranog elektri nog polja je haoti notermi ko kretanje, gde se pokretljiva naelektrisanja neprestano sudaraju saatomima i molekulima sredine kroz koju se kre u, obrazuju i pri tome složene„cik cak“ putanje.
- U fizi ki malom elementu zapremine, vektorski zbir brzina svih naelektrisanja, asamim tim i vektor srednje brzine, jednak je nuli.
- Uspostavljanjem stranog elektrostati kog polja, haoti nom kretanjunaelektrisanja pridružuje se i kretanje naelektrisanja pod dejstvom elektri nogpolja.
- Posmatramo kretanje pozitivnih nosilaca naelektrisanja u provodniku poddejstvom elektri nog polja E .
- Pod dejstvom polja E nosioci naelektrisanjanajpre ubrzavaju, a potom se sudaraju sa jezgrimaatoma, smanjuju i svoje brzine uz promenupravca kretanja. Ovaj proces se neprekidnoponavlja.
- Kao rezultat ovakvog složenog kretanja može se uvesti srednja brzina kretanjanaelektrisanja v 1[ ]ms u maloj zapremini dV , koja je razli ita od nule.
- To je vektorska veli ina iji je pravac, smer iintenzitet dobijen statisti kim usrednjavanjemkretanja velikog broja nosilaca naelektrisanja udV .
- Neka zapreminska gustina naelektrisanja uzapremini dV iznosi N 3[ ]m .
dV
+++++++
+++++++
+++++++
++
+++
++
+++
+++++
+
+
++
+
++
+
+
vJ
NE
E v
2.1.2. VEKTOR GUSTINE STRUJE I STRUJNO POLJE
Vektor gustine struje J je vektorska veli ina koja usrednjeno opisuje kretanjenosilaca naelektrisanja u fizi ki maloj zapremini dV :
3 1 1 2 2/J NQv m Cms Cs m A m
- Pravac i smer vektora J poklapa sa pravcem i smerom brzine v u datoj ta kiprostora sa usmerenim kretanjem nosilaca naelektrisanja.
- Pošto je zapremina dV mala, vektor J opisuje raspodelu usmerenog kretanjanaelektrisanja u svakoj ta ki prostora.
- Deo prostora u kome se pod dejstvom polja kre upokretljiva naelektrisanja naziva se strujno polje.
- Prostor vektora gustine struje J opisuje strujnopolje.
- Strujno polje se grafi ki prikazuje linijama strujnogpolja koje se nazivaju strujnice.
- Linije sila strujnog polja u svakoj ta ki za tangentuimaju vektor J (ili v ) i orjentisane su u njegovomsmeru.
- U slu aju tankih i dugih provodnika, strujno poljese može smatrati homogenim.
- Smer vektora J odre uje tzv. tehni ki smer struje.
Jv
Jv
2.1.3. SPECIFI NA PROVODNOST I SPECIFI NA OTPORNOSTPROVODNIKA. OMOV ZAKON U LOKALNOM OBLIKU
Pretpostavke:
- polje E nije suviše jako- rastojanje izme u sudara je malo
Statisti kom analizom dobija se slede a linearna veza izme u vektora gustine ivektora elektri nog polja:
J E
specifi na provodnost materijala2/ /
/A m S mV m
Specifi na provodnost materijala ne zavisi od polja E .
Linearnost provodnika:
J E važi u svakoj ta ki materijala (ina e je nelinearan)
Homogenost provodnika:
.Const u celom materijalu (ina e je nehomogen)
Može se definisati inverzna relacija:
E J ,
1/ specifi na otpornost materijala m
OMOV ZAKON U LOKALNOM OBLIKU
Izme u vektora gustine struje i vektora stacionarnog elektri nog polja postojislede a veza u svakoj ta ki strujnog polja:
J E ili E J .
Promena brzine izme udva uzastopna sudara jemala u odnosu nasrednju brzinu v
TEMPERATURNA ZAVISNOST SPECIFI NE OTPORNOSTI MATERIJALA
Temperaturna zavisnost specifi ne elektri ne otpornosti može se opisatislede om relacijom:
0( ) (1 )T T
T temperatura u o C0 specifi na otpornost na o0 C
temperaturni koeficijent specifi ne otpornosti o1 / C
Primer. Za bakar je 80 1,588 10 m i o0,0043 / C . Na sobnoj
temperaturi je
o 8 o o0
8
(20 C) (1 ) 1,588 10 1 0,0043 / CT 20 C
1,725 10
T m
m
VRSTE MATERIJALA PREMA VREDNOSTI SPECIFI NE OTPORNOSTI
- Kod istih metala raste sa temperaturom ( ).
- Kod nekih legura (hromnikl, konstantan, manganin) se veoma malo menja sporastom temperature (greja i, otpornoci) ( .Const )
- Kod grafita i istih poluprovodnika opada sa porastom temperature zbog
pove anja broja slobodnih nosilaca naelektrisanja ( ).
- Superprovodnost: Za neke materijale (niobijum, olovo, živa, odre ene legure ikerami ki materijali), kad 0T K onda 0 .Primena: za konstrukciju jakih elektromagneta.
PROCENA SREDNJE BRZINE NOSILACA NAELEKTRISANJA U STRUJNOMPOLJU
J NQv v E ENQJ E
pokretljivost nosilaca naelek.
Primer. Za bakar je 28 -38,47 10 mN , 191,6 10 CQ e i 57MS/m.Odrediti pokretljivost elektrona i njihovu srednju brzinu v , ako je gustinastruje 210A/mmJ .
Rešenje:mm/s4,3V/m
,
/ 0,17V/mE J ,
0,74mm/sv E
SAVRŠENI PROVODNIK I IZOLATORSavršeni provodnik:
0 , , 0J , 0 0E J J- U savršenom provodniku ja ina polja jednaka je nuli, bez obzira da li uprovodniku postoji struja ili ne.Savršeni izolator:
, 0, 0E , 0 0J E E- U savršenom izolatoru gustina struje jednaka je nuli, bez obzira da li u izolatorupostoji polje ili ne.
- Svi materijali su više ili manje provodni.20
dobar dobarprovodnik izolator
/ 10
Napomena. Unutar realnih provodnika ( ) sa strujnim poljem 0Jpostoji elektri no polje 0E .
2.1.4. DŽULOVI GUBICI U STRUJNOM POLJUSnaga gubitaka jednog nolilaca:
sila: eF QEsnaga: eF v QE v
Snaga gubitaka u zapremini dV :
NdV broj nosilaca
( )e
J
F v NdV QEvNdV NQv EdV JEdV
JdP JEdV snaga Džulovih gubitaka u zapremini dV
Slu aj: provodnik je linearan
2 22
JE JdPJ E JE E
dV
Slu aj: savršen linearni provodnik ( , J kona no)
2 2
0JJ JdP
dV, 0JdP
dV
Slu aj: savršen linearni izolator ( , E kona no)
2 2
0JE EdP
dV, 0JdP
dV
+
+
+++
++ +
++
+
+
++++
+
+
++
+
+
+
+
+
dV
+++++
++
++++++
+
+
++++++
J
veF
E
Zapreminska gustina snage Džulovihgubitaka:
JdP JEdV
Ukupna snaga Džulovih gubitaka:
JV
P EJdV
2.1.5. POBUDNO ELEKTRI NO POLJE I GENERATORI
Na slobodne nosioce, pored elektri ne sile, mogu delovati i neke druge sile:- hemijske (baterije, akumulatori) ,- mehani ke (elektrogeneratori),- svetlosne (svetosni detektori i diode)
Strane, pobudne sile su neelektri ne sile koje deluju na nosioce naelektrisanja.
iF oznaka za stranu silu koja deluje na jedan nosilac naelektrisanja
Generatori, izvori struje su ure aji koji pretvaraju drugi vid energije u elektri nuenergiju.
UTICAJ STRANIH SILA NA STRUJNO POLJE U GENERATORU
Ukupna sila koja deluje na nosilac naelektrisanja u generatoru iznosi:
eg i g iF F F QE F
Pobudno elektri no polje iE u generatoru – zamišljeno elektri no polje kojim seopisuje ekvivalentno dejstvo pobudne sile na nosilac naelektrisanja.
ii
FEQ
Ukupna sila koja deluje na jedno naelektrisanje u generatoru:
eg i g iF F F Q E E
Slu aj: generator bez stranih sila ( 0iF )
g eg gF F QE
g g gJ E
Slu aj: generator sa stranim silama ( 0iF )
g eg i g iF F F Q E E
g g g iJ E E
Slu aj: idealni generator u nominalnom re–imu ( 0iF , g , 0gJ )
0g i g iE E E E
Slu aj: realni generator u praznom hodu ( 0iF , g , 0gJ )
0
0
g g g i
g i g i
J E E
E E E E
Slu aj: realni generator u nominalnom re–imu ( 0iF , g , 0gJ )
0 g g iJ E E
0g iE E
g iE E
GENERATOR U PRAZNOM HODU. ELEKTROMOTORNA SILA- Primer generatora (dugmasta baterija):
dve metalne elektrodeprovodni sloj izme u elektroda(elektrolit) specifi ne provodnosti g
- Generator u praznom hodu generator senalazi izolovan u neprovodnoj sredini(dielektriku) sa 0.
- Izvan generatora ne postoji provodni putpa nema kretanja naelektrisanja van generatora.
- Unutar generatora pobudno polje iE pomera pozitivna naelektrisanja u smeruovog polja.
- Višak naelektrisanja, koja se postepeno nagomilavaju tokom vremena nametalnim elektrodama usled dejstava pobudnog polja iE , stvaraju sve ja eelektri no polje gE suprotno polju iE .
U ravnotežnom stanju ova dva polja seizjedna e po modulu, g iE E , kada više
nema kretanja naelektrisanja unutargeneratora, pa je 0gJ .
0g g g i g iJ E E E E
g i eg iQE QE F F
Napon praznog hoda generatora:
0
b b a
ab g i i ba emsa a b
U E dl E dl E dl E E E V
Elektromotorna sila generatora emsE jednaka je naponu praznog hoda 0abU .Elektromotorna sila generatora emsE (kra e E ) je najvažnija unutrašnjakarakteristika generatora koja opisuje integrali efekat dejstva stranih sila nanosioce naelektrisanja.
0
a
biE
g gJ
+ + + + + + + +
sE0sJ0iE
Stanje punjenja generatora
gE
0
a
bi gEE
g 0gJ
+ + + + + + + +
sE0sJ0iE
Ravnotežno stanje generatora u praznom hodu
GENERATOR U PROVODNOJ SREDINI. STRUJNO POLJE
- Polazimo od generatora u praznom hodu (izolovani generator ili generator kojise nalazi u neprovodnoj sredini sa 0) sa datim pobudnim poljem iE za kojevaži ravnotežna jedna ina 0i gE E , tj. ( ) 0g g iF Q E E .
- Prebacimo naglo ovaj generator u provodnu sredinu ija je specifi naprovodnost 0 .
- Pod dejstvom elektri nog polja gE ,naelektrisanja napuštaju pozitivnu elektrodugeneratora, kre u i se kroz provodnu sredinuduž linija sila ovog polja ka negativnojelektrodi.
- Kažemo da naelektrisanja oti u sa+ elektrode generatora a doti u naelektrodu.
- Ovim dolazi do postepenog smanjivanja koli ine naelektrisanja na elektrodamageneratora, što dovodi do postepenog opadanja elektri nog polja E u odnosuna pobudno polje iE ( g iE E ).
- Narušena ravnoteža se manifestuje u pojavi pobudne sile 0gF unutar
generatora u smeru pobudnog polja iE , koja po inje da kroz generatorpremešta pozitivna naelektrisana sa negativne elektrode na pozitivnu:
0g eg i g iF F F Q E E , g iE E , gF je u smeru iE
- Pod dejstvom pobudne sile gF uspostavlja se usmereno kretanje naelektrisanja
(struja) u generatoru u smeru pobudnog polja iE . Ova struja kompenzujesmanjvanje naelektrisanja na elektrodama zbog oticanja/doticanjanaelektrisanja ka/iz provodne sredine.
0
a
b
gEiE
g gJ
+ + + + + + + +
sJ
sE0iE
- Posle kratkog vremena, uspostavlja se ravnoteža izme u brzine prenosanaelektrisanja kroz generator i brzine oticanja/doticanja naelektrisanja ka/izokolne provodne sredine.
- Ova ravnoteža definiše proces stalnog kretanja naelektrisanja kroz generator iprovodnu sredinu koji se naziva stalna struja.
- Strujno polje postoji u celom prostoru (generatoru i provodnoj sredini):
Strujno polje u generatoru: ( )g g g iJ E E , g iE E
Strujnice unutar generatora, u opštem slu aju, ne poklapaju sa linijamaelektri nog polja gE , jer je ( )g g g iJ E E .
Strujno polje u provodnoj sredini: s sJ E
Strujnice van generatora poklapaju se sa linijama sila elektri nog polja, jer je
s sJ E .
STRUJNO KOLO
- U provodnoj sredini, van generatora, postoje strujnice koje se rasipaju u prostorduž linija sila elektri nog polja.
- U neprovodnoj sredini, van generatora, ne postoje strujnice, iako postojielektri no polje.
- U tehni kim primenama uobi ajeno je da se strujno polje u provodnoj sredini,van generatora, ograni i na mali deo prostora, npr. duž veznih provodnika uobliku žice, valjkastih otpornika i sl., tako da se strujnice zatvaraju putem iji jeoblik cevast.
- Ovako definisani sistem sa jednim ili više generatora, veznim provodnicima,otpornicima i sl. naziva se strujnim kolom ili elektri nim kolom.
- Delovi kola u kojima su lokalizvane pobudne sile nazivaju se generatori, dokdelovi kola sa dominantnim Džulovim gubicima predstavljaju otpornike. Vezniprovodnici su otpornici sa vrlo malim gubicima.
Najprostije elektri no kolo (prosto kolo) sastoji se iz:
- jednog generatora,- para veznih provodnika i- jednog otpornika
2.1.6. JA INA STRUJE I RASPODELA STRUJE- U praksi posmatramo struju u provodnicima valjkastog oblika. Zbog toga je bitnopoznavati brzinu proticanja naelektrisanja ( /dQ dt ) kroz popre ni presekprovodnika, a manje je bitno kakva je raspodela te struje duž popre nog presekakoja je opisana vektorom gustine struje J .
- Posmatrajmo strujno polje i u njemu mali element površi dS koji je okarakterisanvektorom dS dSn . Neka struju ine nosioci koncentracije N , naelektrisanja Q isrednje brzine kretanja v .
- Gustina struje iznosi: J NQv
- U intervalu dt jedan nosilac pre e put vdt .
- Za vreme dt , kroz površ dS pro u svi oni nosiocikoji su se zatekli u zapremini dV dSvdt . Njihovbroj iznosi
dn NdV N dS vdt
nE
dS J
dSn
vdt
v
J
a
b
gEiEg gJ
+ + + ++ + + + a0E
bo
J+ + + + + + + +
strujnice
otpornik
Vezni provodnik
generator
gsE sE
vJ
0J0J 0J
- Koli ina naelektrisanja koja pro e kroz površ dS za vreme dt iznosi:
dSdq Qdn QN dS vdt NQv dS dt JdS dt- Brzina proticanja naelektrisanja kroz površ elementarnu dS iznosi:
dSdq JdSdt
- Brzina proticanja naelektrisanja kroz ukupnu površ S predstavlja ja inu struje.Definicija. Ja ina struje I kroz površ S predstavljabrzinu proticanja naelektrisanja kroz tu površ, a jednakaje fluksu vektora gustine struje J kroz tu površ:
S
S
dqI JdS Adt
- Ja ina struje je algebarska veli ina koja se uvek odnosi na neku površ (S ).- Ja ina struje je usmerena skalarna veli ina. Njen referentni smer je smerpozitivne normale n na površ S , a
SI JdS je njen algebarski intenzitet u
odnosu na taj referentni smer. Ako se promeni orjentacija površi (promeni sereferentni smer), algebarski intenzitet struje menja znak.
2.1.7. JEDNA INE STACIONARNOG STRUJNOG POLJAJEDNA INA KONTINUITETA ZA NESTACIONARNA STRUJNA POLJA
Posmatrajmo promene koli ine naelektrisanja uSQ uzatvorenoj površi S prilikom iznošenja i unošenjanaelektrisanja.
Za pozitivan smer kretanja naelektrisanja (struje)usvojimo orjentaciju izlazne normale na površ S .
iznetouSdQ dq
unetouSdQ dq
uneto iznetodq dq nS
VuSQ
JdS
nS
VuSQ
unetodq
nS
VuSQ
iznetodq
S
J
dSn
dS
Promena koli ine naelektrisanja u vremenu kroz površ S predstavlja ja inustruje
izneto uSdq dQidt dt
(u odnosu na izlaznu normalu na površ S )
Ja inu struje možemo odrediti iz fluksa vektora J kroz površ S kao:
S
i JdS (u odnosu na izlaznu normalu na površ S )
Izjedna avanjem prethodnih jedna ina dobijamo jedna inu kontinuiteta zanestacionarno strujno polje:
uS
S
dQJdSdt
Dakle, ja ina nestacionarne struje kroz proizvoljnu zatvorenu površ je razli itaod nule.
JEDNA INA KONTINUITETA ZA STACIONARNA STRUJNA POLJA
U slu aju stacionarnog strujanja nema nagomilavanja naelektrisanja uproizvoljno izabranu zatvorenu površ S , pa važi:
0uSdQdt
odakle se dobija:
0S
JdS
Dakle, ja ina stalne struje kroz proizvoljnu zatvorenu površ je jednaka nuli.
JEDNA INA KONTINUITETA ZA STALNE LINIJSKE STRUJE
Posmatrajmo provodnik u obliku žice krozkoji te e stalna struja (u smeru vektora J ).
Odredimo fluks vektora J kroz zatvorenupovrš S koja obuhvata deo provodnikaizme u popre nih preseka 1S i 2S saomota em 0S .
Usvojimo normale na zatvorenu površ upolje, van zatvorene površi (izlaznenormale). Tada:
1 OS S S
JdS JdS JdS2 1 2 1 2
1 2 0S S S S S
JdS JdS JdS Jn dS Jn dS
2 1
2 1S S
Jn dS Jn dS
Uvedimo vektor normale 1 1n n , koji je suprotan 1n , a usmeren je dužstrujnica. Tada
1 1
1 1S S
Jn dS Jn dS
pa je:
1 2
1 2S S
Jn dS Jn dS
Leva i desna strana prethodne jednakosti predstavljaju struje 1I i 2I krozpopre ne preseke 1S i 2S , pa kona no sledi:
1 2
1 2
(smer strujnica) (smer strujnica)S S
I JdS JdS I
Kod stacionarnih struja ja ina struje provodnika je ista kroz bilo koji presekprovodnika.
J2n
2S
OnOS
1S
1 1n n
1n J
2I
1I
3I
4I
S1S
2S
3S4S
Ozna avanje linijske struje; referentni smer
- Ja ina struje je usmerena skalarna veli ina kojoj se pored algebarskogintenziteta pripisuje i referentni smer za usvojenu orjentaciju normale n napovrš popre nog preseka provodnika (prva slika).
- Ukoliko je orjentacija normale u smeru strujnica, onda ja ina struje imapozitivnu vrednost, ina e je negativna.
- Me utim, umesto usvajanja orjentacije normale u smeru strujnica, prakti nije jeusvojiti tzv. referentni smer struje koji obeležavamo jednom strelicom poredprovodnika.
- Ja ina struja je u potpunosti odre ena svojim algebarskom intenzitetom I ireferentnim smerom u obliku strelice.
I Kirhofov zakon
Posmatrajmo ve i broj linijskih provodnika sa stalnim strujama od kojih se nekisusti u u zajedni ke vorove.
Jednostavnosti radi, analizirajmo slu aj sa slike, gde 4 linijska provodnika salinijskim strujama 1I , …, 4I prodiru zatvorenu površ S .
Referentni smerovi linijskih struja su ozna enestrelicama pored svakog provodnika.
Za orjentaciju normale na površ S usvajamoizlaznu normalu u polje.
referentni smer
algebarskiintenzitet
nI I
referentni smer
algebarskiintenzitet
Fluks vektora gustine stalne struje kroz zatvorenu površ iznosi:
1 2 3 3
1 2 3 4
0S S S S S
I I I I
JdS JdS JdS JdS JdS
1 2 3 4 0I I I I
I Kirhofov zakon za linijske struje. Algebarski zbir ja ina stalnih linijskih strujakroz proizvoljnu zatvorenu površ jednaka je nuli. Pri tome, struja ulazi u zbir sapredznakom „+“ ako se njen referentni smer poklapa sa orjentacija izlaznenormale na površinu, odnosno sa predznakom „ “ ako su ta dva smerasuprotna.
0jS
I
ZAKON CIRKULACIJE VEKTORA JA INE ELEKTRI NOG POLJA USTACIONARNOM STRUJNOM POLJU
Kod stalnih struja, elektri no polje E viška naelektrisanja ima iste osobine kao ielektrostati ko polje, pa važi zakon cirkulacije:
0C
Edl
Posmatramo potencijal proizvoljne ta ke u stacionarnom strujnom polju:R
aa
V Edl
Iz istih razloga, može se definisati i napon izme u dve ta ke:b
ab a ba
U V V Edl
Kontura C je proizvoljna zatvorena kontura u prostoru sastacionarnim strujnim poljem (provodnik, otpornik,generator), pošto prostor van strujnog polja nije od interesa
putanja se uzima isklju ivo u stacionarnomstrujnom polju
II Kirhofov zakon
Primena cirkulacionog integrala u stacionarnom strujnom polju u smeru kontureC:
0b c d e a
C a b c d e
Edl Edl Edl Edl Edl Edl
0ab bc cd de eaU U U U U
Primena cirkulacionog integrala u suprotnom smerukonture C daje sli an rezultat:
0ae ed dc cb baU U U U U
II Kirhofov zakon (naponi iskazani pomo u indeksa)Zbir napona izme u svakog uzastopnog para ta akaduž zatvorene i orjentisane konture u stacionarnomstrujnom polju iznosi nula.
0ijC
U
2.1.8. ANALIZA STACIONARNIH STRUJNIH KOLARazmatramo karakteristike slede ih elemenata u kojima postoje stacionarnestruje:
- generator- otpornik
Analiza ovih elemenata kola vrši se polaze i od slede e dve jedna ine:
0C
Edl , 0S
JdS
kojima se pridružuje relacija izme u gustine struje i ja ine elektri nog polja:
za opštu provodnu sredinu
za linea
( ),
, rnu sredinu
J EJ
J E
Napomena. Linijski provodnici, koji služe za povezivanje generatora i otpornika,su ve analizirani kada se govorilo o jedna ini kontinuiteta za stalne linijskestruje.
E
C
a
ed
cb
OTPORNICI
Polje u otpornicimaPretpostavke:
J E , .constPolje E je homogeno
Jedna ina kontinuiteta kroz zatvorenupovrš 1S za usvojeni smer struje I :
1 1 0BS S S
JdS JdS JdS2
0
B
P
S
S S
JdS
JdS JdS JS I
x xI I IJ J J iS S S
Struja kroz otpornik:
ab xS
I JdS J S
Za usvojeni smer struje I važi: abI I
Ja ina elektri nog polja u otporniku:
xJ IE i
S
Napon izme u krajeva otpornika:b b
ab x x ab aba a
dU Edl E dl E d I RI RIS
otpornst otpornika:d dRS S
provodnost otpornika:1 S SG SR d d
1SI
a
b
E J+ + + + + + + +
+S
d
xi
1SI
a
b
J E
+ + + + + ++
S
d
xi
strujnice
2BS
1BS
0SPS
I
a
b
J
a
b
E
+ + + + + ++
S
d
xi
strujnice
Iz poznatog izraza za napon sledi:
/ /ab ab ab ab ab abU RI I G I GU U R
Omov zakon za stalne strujeJa ina struje kroz provodnik je direktno proporcionalna naponu izme unjegovih krajeva.
abab ab
UI GUR
Nagib linearne zavisnosti iznosi
1tan GR
Snaga otpornika (Džulovi gubici)
Elektri na sila na jednom nosiocu naelektrisanja Q u otporniku:
eF QE
Rad elektri ne sile u otporniku prielementarnom pomeraju Q :
eF dl QE vdt
Zapreminska koncentracija N nosilaca uceloj zapremini otpornikaV jekonstantna, pa je ukupan broj nosilaca uotporniku:
NV Q
abI
abU0
Rad elektri ne sile pri elementarnom pomeraju svih nosilaca NV Q:
( )
( ) ( )ab ab
e
x x x x x x
x xU I
dA NV QE vdt NSd QE vdt
Sd E NQv dt Sd EJ dtSd E i J i dt Sd E J dtE d J S dt
Snaga Džulovih gubitaka u otporniku:
22 0e ab
J ab ab abdA UP U I RIdt R
Za usvojeni smer struje I važi: abI I
Elektri na šema otpornika; ozna avanje napona i struja- Pri izvo enju napona na krajevima otpornika koristili smoindekse i dobili: ab abU RI . Elektri na šema koja odgovaraovom na inu zapisa prikazana je na prvoj slici.
- Drugi na in ozna avanja napona i struje zasniva se nauvo enju referentnih smerova za ove veli ine, pri emu senjihove algebarske vrednosti tuma e u odnosu na usvojenereferentne smerove.
- Znak „+“ ucrtan kod prvog indeksa napona (ovde „a“)predstavlja metod za ozna avanje referentnog smera napona.Referentni smer napona ide od „ “ ka „+“ (druga slika)
- Strelica ucrtana pored otpornika u smeru promene indeksastruje (ovde od „a“ ka „b“) predstavlja referentni smer zastruju.
- Sa ovako usvojenim referentnim smerovima napona i struje dobija se šema nadrugoj slici prema kojoj važi relacija U RI .
- Za ovako usaglešene smerove kažemo da seU i I nadovezuju (videti drugu sliku).
e ab abdA U I dt
RabI abU
a
b
referentnismer za U
referentnismer za I
RI U
a
b
Uskla eni i neuskla eni referentni smerovi napona, struje i snage- Referentni smerovi napona i struje sa prethodne slike su uskla eni jer daju vezu
U RI koja je prirodna za otpornik, jer su u odnosu na njih algebarskiintenziteti napona i struje uvek istog znaka.
- Me utim, prilikom rešavanja kola nije neophodno da usvojimo baš ovakvereferentne smerove napona i struje.
- Za otpornik postoji ukupno 22 4 na ina za izbor referentnih smerova naponai struje, što je prikazano na slede oj slici.
U I, P I i P U karakteristike otpornikaZavisnost napona U od struje I predstavlja U Ikarakteristiku otpornika. Za usaglašene smerove napona istruje karakteristika otpornika glasi:
U RI
Zavisnost snage od struje predstavlja P I karakteristiku, dokzavisnost snage od napona predstavlja P U karakteristiku.Za usaglašene smerove napona i struje važi:
JP UI
Iskazuju i struju preko napona i obrnuto dobija se:2
2 0JUP UI RIR
Dakle, snaga Džulovih gubitaka je uvek pozitivna veli ina.P I i P U karakteristike su kvadratne funkcije.
P I
I
P
0
P U
U
P
0
I
U
0
U I
U RIP UI
RI U
a
bU RIP UI
I R U
a
bU RIP UI
RI U
a
bU RIP UI
UI R
a
b
uskla eni neuskla eni
a
b
gEiE
g 0gJ
+ + + ++ + + +
d
xi
x
emsE
GENERATORIPrazan hod generatora
gE je homogeno: g gx xE E i
0, 0g gI J
( ) 0g g g i g iJ E E E E
Napon praznog hoda generatora
0
b b b
ab g gx ixa a ad
ix ix ba ems
U E dl E dx E dx
E dx E d E E
Elektromotorna sila ba emsE E E V brojno je jednaka naponu praznoghoda generatora. Iako ima dimenziju napona, ona po prirodi nije napon. Trebaje shvatiti kao veli inu koja na prikladan na in reprezentuje strane sile ugeneratoru.
Generator priklju en na prijemnikJedna ina kontinuiteta (sli no kao kod provodnika):
0 0ba bag ba g g x gx x
I IJ S I J J i J iS S
Za usvojeni smer struje I važi: baI I
Elektri no, pobudno i strujno polje:
( ) 0g g g i g i
gx ix
gx ix
J E E E E
E E
E EStruja kroz generator:
ba g gxS
I J dS J S
0
a
bi gEE
g 0gJ
+ + + + + + + +
sE0sJ0iE
Ravnotežno stanje generatora u praznom hodu
strujnice
S 1S
a
b
gEiEg gJ
+ + + ++ + + +
I
d
xi
x
emsE
Napon generatora:
( ) gxgx g gx ix gx ix
g
JJ E E E E
0
/d
dx
0 0 0
d d dgx
gx ixg
JE dx E dx dx
Izra unajmo prethodne integrale:
0
d a
gx gx ba abb
E dx E dx U U ,0
d a
ix ix bab
E dx E dx E (ems)
0 0
d dgx gx
ba g ba gg g g g
J J Id ddx dx I R I R IS S
ab ba g baU E R I
ab ba g baU E R I
Snaga generatora (PE)- Kada u generatoru postoji struja, pobudne sile vrše rad. Deo toga rada sepretvara u toplotu u samom generatoru, a drugi deo se predaje ostatku kola kaokoristan rad.
- Rad pobudne sile iF pri pomeraju svih (NV ) nosilaca naelektrisanja na putu dl :
( ) ( ) ( )x ba ba
i i i ix x
ix x ix x ba baJ U I
dA NV F dl NV QE vdt NSd QE v dt
Sd E NQv dt E d J S dt U I dt
Snaga generatora:
ii ba ba E
dAP U I Pdt
, 0EP
Snaga generatora iP ( EP ) troši se na:- na ostatak dela kola, tj. na savladavanje sopstvenih elektri nih sila ( gP )
- Džulove gubitke u generatoru ( JgP )
0EP generator radi kao IZVOR0EP generator radi kao POTROŠA
unutrašnja otpornost generatora:
gg
dRS
Korisna snaga generatora (Pg)- Rad koji generator troši na savladavanje sopstvenih elektri nih sila pove avapotencijalnu energiju slobodnih nosilaca naelektrisanja u generatoru.
- Po napuštanju generatora, slobodni nosioci naelektrisanja predaju svojupotencijalnu energiju otporniku u vidu Džulovih gubitaka.
- Prema tome, snaga koju razvija generator protiv sopstvenih elektri nih silajednaka je snazi Džulovih gubitaka u otporniku koji je priklju en na generator.Ova snaga predstavlja korisnu snagu generatora, jer se samo ovaj deo snagegeneratora može preneti ostatku dela elektri nog kola.
Rad generatora protiv sopstvenih elektri nih sila svodi se na pomeranje dl svih(NV ) nosilaca naelektrisanja u generatoru suprotno elektri nom polju:
( )
( ) ( )gx
aa ba
g i g g gx gx
gx gx
J
ix gx
U I
ab ba
dA NV F dl NV QE v dt NSd QE v dt
Sd E NQv dt
E d J S dt
U I dt
Korisna snaga generatora iznosi: igg ab ba
dAP U I
dt
Korisna snaga generatora brzina kojom generator predaje energiju prijemniku,tj . brzina kojom prijemnik prima energiju od generatora.
Ua
b
J
emsEg gJ
+ + + ++ + + +J
+ + + + + + + +otpornik
vezni provodnik
generator
2Jg g baP R I
E ba baP E I baI I
abU
2gP RI
RgR
Snaga Džulovih gubitaka u generatoru (PJg)
- Ukupna snaga generatora jednaka je zbiru snage koju generator predaje okolini( gP ) i snage usled Džulovih gubitaka u generatoru ( JgP ).
E g JgP P P
JgP snaga Džulovih gubitaka u generatoru
2
Jg E g
ba ba ab ba
ba ab ba ab ba g ba ba ab g ba
g ba
P P P
E I U I
E U I U E R I E U R I
R I
2 0Jg g baP R I
Elektri na šema generatora; ozna avanje napona i struja
- Sli no kao i kod otpornika, pri izvo enju izraza zanapon generatora koristili smo indekse i dobili:
ab ba g baU E R I . Elektri na šema koja odgovara
ovom na inu zapisa prikazana je na donjoj slici.
- Naponski generator se prikazuje krugom pored kogastoji oznaka za ems baE i unutrašnju otpornost gRgeneratora. Struja i napon su prikazani kao i kodšeme sa otpornikom.
- Smer struje baI je uskla en sa smerom ems baE jerima isti redosled indeksa, ali nije uskla en sanaponom abU zato što on ima suprotni redosledindeksa (struja baI te e od negativnog ka pozitivnomkraju napona abU ).
abUa
bbaEg gJ
+ + + ++ + + +
baI
gR
ba
g
ER
baI
abU
a
- Ovakav smer struje je prirodan za generator jer on generiše struju razdvajanjemnaelektrisanja u smeru pove anja napona abU .
- Umesto koriš enja indeksa, prakti nije je upotrebiti metodu koja se zasniva nausvajanju referentnih smerova za veli ine.
- Zahvaljuju i ovome, algebarske vrednosti veli ina tuma e se u odnosu nausvojene referentne smerove, a ne pomo u indeksa.
- Referentni smer ems baE obeležava se znakom „+“ kod ta ke „a“ pošto je ovata ka generatora na višem potencijalu. Oznaka za ems sada postaje E .
- Referentni smerovi napona i struje obeležavaju se na istina in kao i kod otpornika; znak „+“ napona abU stavlja sekod ta ke „a“ (ta ka višeg potencijala), dok se strelca usmeru „b a“ stavlja pored oznake za struju baI .
- Referentni smerovi za E , U i I su uskla eni i nisunadovezani kao kod otpornika.
Relacije izme u ems, napona i struje realnog naponskog generatora- Tri referentna smera za ems E , napon U i struju I sa prethodne slike suuskla ena jer daju vezu gU E IR koja je prirodna za generator, jer su u
odnosu na njih algebarski intenziteti ems E , napona U i struje I uvek istogznaka.
- Me utim, prilikom rešavanja kola nije neophodno da usvojimo baš ovakvereferentne smerove.
- Mogu e je ponuditi 32 8 razli itih kombinacija za izbor ovih referentnihsmerova. Na slede oj slici su prikazana 4 od 8 slu ajeva.
Ug
ER
+
I +
referentnismer za U
referentnismer za E
referentnismer za I
, gE R+
I
+
U
a
b
gU E IR
, gE R+
I+
U
a
b
gU E IR
, gE R+
I
+
U
a
b
gU E IR gU E IR
, gE R+
I+
U
a
b
U I karakteristika realnog naponskog generatora
Zavisnost napona U od struje I predstavlja U I karakteristiku generatora. Zausaglašene smerove ems E , naponaU i struje I važi: gU E R I .Karakteristika je linearna.
Idealni naponski generator
- To je generator sa savršeno provodnom sredinom( 0gR ) (videti oznaku na slici)
- Zamenom 0gR u izraze za realan naponskigenerator dobijamo:
U E , EP EI
g EP UI EI P2 0Jg gP R I
- Snaga gubitaka u idealnom generatoru je 0.
- U I karakteristika idealnog generatora jekonstantna funkcija, bez obzira na iznos struje kojate e kroz generator.
U E
+
I
+
U
a
b
E
I
U
EU I
0
+E
I
+
U
a
b
gR
I
U
E
g
ER
U I
0
P U parakteristika generatora
- Zavisnost korisne snage generatora gP od napona U na njegovim krajevimadefiniše P U karakteristiku generatora.
gU E IR
gP UI2
gg g
E U EU UP UI UR R
22
gg
E U UPR E E
- P U karakteristika je kvadratna funkcija koja dostiže maksimum2
max 4gg
EPR
za / 2U E .
gP
UE
1 / 2 1
2
4 g
ER
- Kao što je ranije re eno, elektri na (strujna) kola predstavljaju poseban slu ajstrujnih polja u kojima su strujnice lokalizovane u cevastim delovima prostora(ži anim provodnicima, otpornicima i drugim delovima kola).
- Slede e dve karakteristike odlikuju kola stalnih struja:
o strujnice moraju obrazovati zatvorene putanje (da ne bi bila narušenajedna ina kontinuiteta 0
SJdS )
o ja ina linijske struje je ista u svim popre nim presecima provodnika.
- Na slici je prikazan jedan primer elektri nog kola koje se sastoji iz generatora,otpornika i ži anih provodnika za vezu. Generator i otpornik nazivamoelementima kola.
- Strujnice se ne razdvajaju pa kolo ima samo jedan zatvoren strujni put. Zbogtoga kolo spada u klasu prostih kola.
- Analiza strujnih kola, koja bi polazila od osnovnih jedna ina strujnih kola bilabi suviše komplikovana. U cilju pojednostavljenja, uvode se odre eneaproksimacije, odnosno idealizacije.
00S
I J dS
SI JdS
ggS
I J dSJ
emsEg gJ
+ + + ++ + + +J
+ + + + + + + +otpornik
vezni provodnik
generator
I
U R
0S
0n
S
n
0J
gS
Na primer:o provodnici za vezu se aproksimiraju idealnim provodnicima,o realni generator male unutrašnje otpornosti zamenjujemo idealnim
generatorom,o u kolima stalne struje smatramo da je nagomilano naelektrisanje stalno,o umesto da prora unavamo vektora gustine struje, radije se odlu ujemo se
prora un ja ine struje kroz datu površ koja je skalarna veli ina,
o umesto vektora elektri nog polja E , pri prora unu elektri nih kola stalnestruje, koristi se naponU kao usmerena skalarna veli ina.
- Elektri nih kola se zapisuju u obliku elektri nih šema na kojima se ucrtavajuelektri ni simboli za generatore, otpornike, vezne provodnike i druge elementekola koji e biti definisani kasnije.
Primer. Elektri na šema koja odgovara prethodnom elektri nom kolu.
U RI (napon otpornika)
gU E IR (napon generatora)
EP EI (snaga generatora)
22 0UP UI RI
R(snaga prijemnika)
2 0Jg gP R I (Džulovi gubici u generatoru)
g
ER
+RIU
+
Izdvojena unutrašnjaotpornost generatora
+ RIU
+gR
E
2.2.1. KIRHOFOVI ZAKONI
- Osnovne jedna ine za analizu i rešavanje elektri nih kola su Kirhofovi zakoni.
- Ovi zakoni direktno slede iz osnovnih integralnih jedna ina stalnih struja i to:o I Kirhofov zakon iz jedna ine kontinuiteta i
o II Kirhofov zakon iz cirkulacije vektora E
- Pomenuti zakoni se odnose na odgovaraju e struje grana i napone izme u datihta aka kola.
- Struje i naponi se tretiraju kao usmerene skalarne veli ine koje se opisujualgebarskim vrednostima (sa predznakom) i referentnim smerom.
- Pored Kirhofovih zakona potrebno je poznavati i relacije izme u napona i strujesvakog elementa kola.
PRVI KIRHOFOV ZAKON- Ve smo ranije iskazali I Kirhofov zakon vezan za stalne linijske struje kojeproti i kroz zatvorenu površ S . Ponovimo ga još jednom i dajmo jedanprimer.
I Kirhofov zakon za zatvorenu površ. Algebarski zbir svih stalnih linijskih strujakroz proizvoljnu zatvorenu površ jednak je nuli. Pri tome, struja ulazi u zbir sapredznakom „+“ ako se njen referentni smer poklapa sa orjentacija izlaznenormale na površinu, odnosno sa predznakom „ “ ako su ta dva smera suprotna.
0jS
I
Primer. Zatvorena površ 1S :
11 2 0jS
I I I I
Zatvorena površ 2S :
20jS
I I I I I
1I 2R+
U
I
2I1Rg
ER
I
1S
2S
+
- U složenim kolima sa ve im brojem grana i vorova ( vor je mesto u kome sesusti u grane kola, grana je redna veza proizvoljnog broja elemenata kolaizme u dva vora), izbor ve eg broja zatvorenih površi i usvajanje orjentacijanjihovih normala može biti zamorno, pošto zatvorene površi sa pridruženimnormalama treba ucrtati na elektri nu šemu kola.
- Ako zatvorenu površ formiramo oko vora i pustimo da njen polupre nik težinuli, dobija se nova formulacija I KZ za vor kola.
I Kirhofov zakon za vor kola. Algebarski zbir svih stalnih linijskih struja koje sesusti u u jednom voru jednak je nuli. Pri tome, struje koje isti u iz vorauzimaju se sa predznakom „+“ i obrnuto.
0jvorI
Primer. Za vor 1: 1 2 0I I IZa vor 2: 1 2 0I I I
Napomena. Druga jedna ina je zavisna od prve jer sedobija množenjem sa 1 . Broj nezavisnih jedna ina po I KZ je broj vorovamanje jedan.
DRUGI KIRHOFOV ZAKON
- Posmatramo primer jednog prostog elektri nog kola sa slike u kome postojistalna struja I .
- Primenom cirkulacionog integrala u smeru konture C (videti poglavlje „Zakoncirkulacije vektora ja ine elektri nog polja u stacionarnom strujnom polju“)dobija se slede a jedna ina po naponima definisanim pomo u indeksa:
1 1 1 10aa a b b b baU U U U
Pretpostavka: provodnici za vezu su savršeni:
1 10, 0aa b bU U
Posledica pretpostavke:
1 10a b baU U
- Dakle, na elektri nim šemama sumiramo samo napone elemenata kola tipageneratora i otpornika, a ne i provodnika za vezu.
2R1II
2I1R
g
ER
1+
2
ba
g
ER
R
baI
Ca
b
a1
b1
- Usvojimo referentne smerove za napone elemenata kola (napon generatora gUi napon otpornika RU ) kao na slici.
- Tada se ima:
1 1,a b R ba gU U U U
pa iz1 1
0a b baU U sledi:
0R gU U
- Leva strana prethodne jedna ine predstavlja algebarski zbir napona elemenatakola (napon RU uzima sa predznakom „+“, a napon gU sa predznakom „ “)
- Ukoliko prethodnu jedna inu pomnožimo sa 1, za algebarski zbir naponaelemenata kola se dobija:
1 / 0 0R g R gU U U U
0R gU U- O igledno, ako se referentni smer naponaelementa kola poklapa sa smeromkonture, onda se napon u zbiru uzima sapredznakom „+“ ( gU ), ina e se uzima sapredznakom „ “ ( RU ).
- Koriste i ovo pravili možemo formulisati IIKZ koji se zasniva na naponima elemenata kola.
II Kirhofov zakon (za napone elemenata kola)
Algebarski zbir napona elemenata kola za proizvoljnu zatvorenu konturu uelektri nom kolu iznosi nula
0jC
U
Pri tome, napon elemenata ulazi u zbir sa predznakom „+“ ako se referentnismer napona i smer obilaska konture poklapaju, odnosno sa predznakom „ “ako su ta dva smera suprotna.
g
ER
+R
I
gU
+
RU
+Ca
b
a1
b1
g
ER
+R
I
gU
+
RU
+Ca
b
a1
b1
NAPON IZME U DVE TA KE U KOLUPrimer. Posmatrajmo slede e kolo i odredimo napon abU izme u ta aka a i bkoriste i II KZ i karakteristike elemenata. Na osnovu Omovog zakona za prostokolo ja ina struje iznosi: 1 2 3/ ( )I E R R R . Primenom II KZ za konturu 1C i
2C važe slede e relacije:
Kontura,Putanja II Kirhofov zakon Naponi
elemenata Redukovani izraz za napon
1C ,Putanja I
1
putanja I
0ab E RU U U1 1RU R I
EU E1 1ab R EU U U R I E
putanja I
aab b
U U
2C ,Putanja
II
3 2
putanja II
0ab R RU U U2 2RU R I
3 3RU R I2 3 2 3ab R RU U U R I R I
putanja II
aab b
U U
Prethodni primer pokazuje da je zaodre ivanje napona potrebno uraditislede a tri koraka:
- napisati jednu jedna inu po II KZ,- napisati napone elementa dužputanje kojom se odre uje napon,
- srediti sistem jedna ina i dobitikona ni izraz za napon.
Sre ivanjem jedna ina dobija se tzv. redukovani oblik izraza za napon, kod kogase direktno pojavljuju lanovi tipa E i RI umesto napona elemenata iU .Nedostatak metode:
- za pisanje jedna ina po II KZ potrebno je voditi ra una o odnosu smerasumiranja napona i usvojenih referentnih smerova napona elemenata.
- za pisanje karakteristika elementa potrebno je voditi ra una o odnosureferentnog smera napona prema referentnom smeru struje otpornika ,odnosno prema referentnom smeru ems generatora.
Napomena. Postupak odre ivanja napona se može uprostiti izbacivanjemreferentnog smera napona i uspostavljanjem odnosa izme u smera sumiranjanapona i referentnog smera struje kroz otpornik, odnosno referentnog smeraems generatora. Da bi smo ovo uradili posluži emo se slede om analizom.
I putanja
II putanja
E+
2RI
EU+
2RU+
3R
1R
1RU+
3RU +b
a
Primer. Razmotrimo ponovo prethodnokolo, ali sa promenjenim referentnimsmerovima za napone EU i
2RU .
Odredimo napon abU izme u ta aka a i bduž prve i druge putanja, koriste i IIKirhofov zakon i karakteristike elemenata.Dobijaju se slede i rezultati.
Kontura,Putanja II Kirhofov zakon Naponi
elemenata Redukovani izraz za napon
1C ,Putanja I
1
putanja I
0ab E RU U U1 1RU R I
EU E1 1ab R EU U U R I E
putanja I
aab b
U U
2C ,Putanja
II
3 2
putanja II
0ab R RU U U2 2RU R I
3 3RU R I2 3 2 3ab R RU U U R I R I
putanja II
aab b
U U
Napomena 1. Predznak uz ems E idealnog naponskog generatora ne zavisi odizbora referentnog smera tog generatora EU , nego od odnosa smera sumiranjanapona i referentnog smera ems E . Ako se ti smerovi poklapaju, predznak jeplus, ina e je minus.
Napomena 2. Predznak lana oblika RI ne zavisi od izbora referentnog smeranapona otpornika, nego od odnosa smera sumiranja napona i referentnogsmera struje I . Ako se referentni smer struje poklapa sa smerom sumiranja,predznak je minus, ina e je plus.
Napomena 3. Pri odre ivanju napona abU , smer sumiranja napona ide oddruge ta ke b ka prvoj ta ki a .
2C
I putanja
II putanja
E
+
2R
I
EU
+2RU
+3R
1R
1RU+
3RU +b
a
Pravilo za odre ivanje napona izme u dve ta ke
Napon izme u ta aka a i b, abU , odre uje se kao algebarski zbir lanova tipa Ei RI duž proizvoljnog puta u kolu od druge ta ke b do prve ta ke a , odnosno
,aab b
U E RI
Elektromotorna sila E ulazi u zbir sa predznakom „+“ kada je smer sumiranjaisti kao i smer ems, ina e uzima se sa predznakom „ “.
lan RI uzima se sa predznakom „ “ ako jesmer sumiranja isti kao i referentni smerstruje I , ina e uzima se sa predznakom „+“.
Primer.
1 1 3 3 2 2,ab abU E R I U R I R I
1 1 1 2 2
2 3 3
dcU R I E R IE R I
REDUKOVANI OBLIK II KIRHOFOVOG ZAKONANa osnovu izvedenog pravila za sumiranje napona abU izme u ta aka a i b:
,aab b
U E RI , II Kirhofov zakon se može redukovati tako da u izrazu zanapon direktno stoje lanovi tipa E i RI .
Redukovani oblik II Kirhofovog zakona. Algebarski zbir sabiraka tipa E i RI zaproizvoljnu zatvorenu konturu u elektri nom kolu iznosi nula
, 0E RI
Elektromotorna sila E ulazi u zbir sa predznakom „+“ kada je smer sumiranjaisti kao i referentni smer ems, ina e uzima se sa predznakom „ “.
lan RI uzima se sa predznakom „ “ ako je smer sumiranja isti kao i referentnismer struje I , ina e uzima se sa predznakom „+“.
+ +
1R 2R 3R1E 2EIc d
I putanja
II putanja
E+
2RI 3R
1R
b
a
Primer. Primena redukovanog II KZ
Zatvorena putanja 1C za sumiranje napona:
2 3 1 0R I R I E R I
Zatvorena putanja 2C za sumiranje napona:
1 3 2 0R I E R I R I
O igledno, druga relacija se može dobiti iz prvemnoženjem leve i desne strane sa 1 .
Redukovani oblik II KZ ima veliku prakti nu vrednost jer se naponi direktnoiskazuju isklju ivo preko elektromotornih sila i struja grana kola.
2.2.2. PROSTO KOLO SA JEDNIM NAPONSKIM GENERATOROM
Koriste i redukovani oblik II Kirhofovogzakona važi:
0gRI E IRodakle se za ja inu struje dobija:
g
EIR R
Poslednja relacija predstavlja Omov zakon za prosto strujno kolo sa jednimgeneratorom i jednim otpornikom.
Napon na krajevima otpornika iznosi:
Rg
RU RI ER R
Napon izvora iznosi:
1 g
g g g
RR RU E RI E E E ER R R R R R
g
ER
+R
I
U
+ C
RU
+
1CE
+2R
I
3R
1R
b
a
2C
E+
2RI
EU
+
2RU+
3R
1R
1RU+
3RU +
gR
Do izraza za ja inu struje može se do i i preko snaga kola:
EP EI , 2Jg gP R I , 2
RP RI
Bilans snage:
E Jg RP P P , 2 2 2( )g gg
EEI R I RI R R I IR R
U slu aju idealnog naponskog generatora važi:
U E
EIR
Primer. Odrediti ja inu struje za kolo sa slike.
I na in. primena II KZ
1 2 3 0gR I R I R I E IR
1 2 3g g i
E EIR R R R R R
II na in. preko snaga kola
EP EI , 2Jg gP R I ,
1
21RP R I ,
2
22RP R I ,
3
23RP R I
Iz bilansa snaga:
1 2 3E Jg R R RP P P P P2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3( )g gEI R I R I R I R I R R R R Idolazi se do istog izraza za ja inu struje u kolu.
E+
R
I
U
+ C
RU
+
OMOV ZAKON ZA PROSTO KOLO
Na osnovu prethodnog primera može se formulisati Omov zakon za prosto kolokoje sadrži jedan generator i više otpornika.
Omov zakon za prosto kolo. Ja ina struje u prostom kolu, koje se sastoji izjednog realnog naponskog generatora i više redno vezanih otpornika, jednaka jekoli niku elektromotorne sile generatora i zbira otpornosti otpornika. Pri tomese referentni smer struje poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sile.
g i
EIR R
2.2.3. PROSTO KOLO SA VIŠE NAPONSKIH GENERATORA I OTPORNIKA
Posmatrajmo kolo sa slike, koje sadrži idealne naponske generatore i otpornike,i odredimo ja inu struje.
II Kirhofov zakon:
1 2 2 3 4 3 5 0E R I R I E R I R I E R I
Ja ina struje iznosi:
1 2 3
1 2 3 4 5
EE E EIR R R R R R
(Uopšteni omov
zakon)
1E+
3R
I
5R
1R 2R
4R
2E
+
+3E
C
UOPŠTENI OMOV ZAKON
Uopšteni Omov zakon za prosto kolo sa više generatora. Ja ina struje uprostom kolu, koje se sastoji iz viŠe idealnih naponskih generatora i viŠe rednovezanih otpornika, jednaka je koli niku algebarske sume elektromotornih silageneratora i zbira otpornosti svih otpornika.
EI
R
U zbir E elektromotorna sila ulazi sa predznakom plus ako joj se referentnismer poklapa sa referentnim smerom struje, a sa predznakom minus ako su tismerovi suprotni.
Napomena. Ukoliko u kolu postoje i realni naponski izvori, onda takve izvoretreba predstaviti u obliku rednu veze ems E izvora i njegove unutraŠnjeotpornosti gR . Zahvaljuju i ovome, uopŠteni Omov zakon se može primeniti i nakola sa realnim naponskim izvorima.
2.2.4. VEZIVANJE OTPORNIKA
Otpornici se mogu vezivati:
- redno,
- paralelno,
- meŠovito,
- u zvezdu i
- u trougao.
REDNA VEZA OTPORNIKA
Kroz sve otpornika u rednoj vezi proti e ista struja I .
II Kirhofov zakon:
1 1 1 1
N N N N
i i i e e ii i i i
U U R I I R IR R R
Ekvivalentna otpornost redne veze otpornika jednaka je zbiru otpornostiotpornika koji u estvuju u vezi.
Naponski razdelnikRedna veza dva otpornika definiŠe jedan poseban deo kola koji se nazivanaponski razdelnik.Pod pretpostavkom da je poznat napon redne veze U i vrednosti otpornostiotpornika 1R i 2R , za napone rednih grana dobija se:
II K.Z.: 1 2 0U R I R I
Struja:1 2
UIR R
Naponi:
1 1U R I , 11
1 2
RU U UR R
2 2U R I , 22
1 2
RU U UR R
Naponi na pojedina nim otpornicima su manji od napona redne veze.
NU
NR
1U2U
1R 2R
U
I
U
eRI
I
1R
2R
1U
2U
+
+
+
U
PARALELNA VEZA
Svi otpornici su priklju eni na isti napon U .
I Kirhofov zakon
1 1 1 1
1 1 1N N N N
ii i i ii i e e i
U UI I UR R R R R
Recipro na vrednost otpornosti paralelne veze otpornika jednaka je zbirurecipro nih vrednosti otpornosti otpornika koji u njoj u estvuju.
Slu aj 2N : 1 2
1 2e
R RRR R
Strujni razdelnikParalelna veza dva otpornika definiše jedan poseban deo kola koji se nazivastrujni razdelnik.Pod pretpostavkom da je poznata struja zajedni ke grane I i vrednostiotpornosti otpornika 1R i 2R , za struje paralelnih grana dobija se:Naponi:
1 1U R I , 2 2U R I , 1 2
1 2
R RU IR R
Struje:
21 1
1 1 2
RUI I I IR R R
12 2
2 1 2
RUI I I IR R R
Struja paralelne grane je manja od struje zajedni ke grane.
1R2R NR
U
I
1I 2I NIU
eRI
1I 2R
+
U
I
2I1R
MEŠOVITA VEZA OTPORNIKA
- To je složena veza redno i paralelno vezanih otpornika. Ova veza se tako emože zameniti jednim ekvivalentnim otpornikom.
- Odre ivanje ekvivalentne otpornosti vrši se postupnim uproš avanjem:o igledne redne, odnosno paralelne veze zamenjuju se ekvivalentnimotpornicima, zatim se tako uproš ena veza ponovo uproš ava sve dok se nedo e do ekvivalentne otpornosti.
Primer. Odrediti ekvivalentnu otpornost slede e mešovite veze
Rešenje.
5 61
5 6e
R RRR R
2 4 1e eR R R
3 23
3 2
ee
e
R RRR R
4 2 3e eR R R
1 4
4
ee
a e
R RRR R
1R 3R 1eR2R 4R
eR
1R 3R6R5R
2R 4ReR
1R 3R 2eR2R
eR
1R 3eR2R
eR1R 4eReR
TRANSFIGURACIJA ZVEZDA TROUGAO I OBRATNO- U opštem slu aju mreža otpornika je složenija od redno paralelne veze.- Na primer, kod veze u most nemogu e je odrediti ekvivalentnu otpornostprimenom samo redno paralelnih veza, ve se moramo poslužititransfiguracijom zvezda trougao ili obrnuto.
Zvezda Trougao
12 131
12 23 13
12 232
12 23 13
13 233
12 23 13
R RRR R R
R RRR R R
R RRR R R
1 212 1 2
3
1 313 1 3
2
2 323 2 3
1
R RR R RR
R RR R RRR RR R R
RSpecijalni slu aj:
1 2 3 12 23 13
12 23 13 1 2 3
33
R R R R R R R RR R R R R R R R
1R 2R
1 3
23R12R
13R
2
31
1R 2R
3R
4R 5R
2
4
zvezda trougao
trougao zvezda
1 3
23R12R
13R
2
31
2R
1R
3R
2
0
Primer. Most (I na in) Odrediti ekvivalentnu otpornost izme u krajeva 1 i 3.
3 412 3 4
5
R RR R RR
, 4 513 4 5
3
R RR R RR
, 3 523 3 5
4
R RR R RR
1 121
1 12e
R RRR R
, 2 232
2 23e
R RRR R
1 2 1313
1 2 13
( )e ee
e e
R R RR RR R R
Primer. Most (II na in) Odrediti ekvivalentnu otpornost izme u krajeva 1 i 3.
1 3 3 41 46 7 8
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, ,R R R RR RR R RR R R R R R R R R
1 7 2 2 8 5,e eR R R R R R
1 23
1 2
e ee
e e
R RRR R
, 13 6 3e eR R R R
Napomena. Dobijene numeri ke vrednosti za 13R u prethodnim primerima sujednake, iako se prividno razlikuju njihovi krajnji izrazi.
31
1R 2R
3R
4R 5R
2
4
eReR
1R 2R
1 3
23R12R
13R
2 1eR 2eR
1 3
13R
2
eR
2R
1 36R
2
7R
8R5R
0
4
1
1R 2R
3R
4R5R
2
4
30
2.2.5. REDNA I PARALELNA VEZA REALNIH NAPONSKIH GENERATORA
REDNA VEZA NAPONSKIH GENERATORA
Više realnih naponskih generatora može se vezati na red, ine i pri tomeekvivalentni naponski generator. Elektromotorna sila i unutrašnja otpornostovog ekvivalentnog generatora dobijaju se na slede i na in.
i giU E I R , gU E R I ,i g giE E R R
Elektromotorna sila ekvivalentnog generatora redne veze više realnih naponskihgeneratora jednaka je algebarskom zbiru elektromotornih sila pojedina nihgeneratora prema usvojenom referentnom smeru ekvivalentnog generatora.Unutrašnja otpornost ekvivalentnog generatora jednaka je zbiru unutrašnjihotpornosti pojedina nih generatora.
PARALELNA VEZA NAPONSKIH GENERATORAViše realnih naponskih generatora može se vezati uparaleli, ine i pri tome ekvivalentni naponskigenerator. Elektromotorna sila i unutrašnja otpornostovog ekvivalentnog generatora dobijaju se na slede ina in.
iI I , 1, ,i gi iU E R I i n
gU E R I
Rešenje:
1
1
1
n ii
gi
n
igi
ER
E
R
,1
1 1n
ig giR R
U algebarskoj sumi1
/ni gii
E R lanovi se uzima prema usvojenomreferentnom smeru ekvivalentnog generatora.
+ 1gR
U
gnR1E 2E
I
nE2gR
+ +
+
+
U
EgR
+I
1E
2E
nE
1gR
2gR
gnR
1I
2I
nI
UI
+
U
EgR
+I
2.2.6. STRUJNI GENERATORIDEALNI STRUJNI GENERATOR
- Idealni naponski generatorom održava konstantan naponizme u priklju aka na vrednost elektromotorne sile E , bezobzira na ja inu struje koja te e kroz generator.
- Analogno ovom tipu generatora uvodi se tzv. idealni strujnigenerator, koji održava struju kroz svoje priklju ke navrednost gI , bez obzira na napon na njegovim krajevima.
- Simbol idealnog strujnog generatora prikazan je na slici.
- Strujno naponska karakteristika idealnog generatoraprikazana je na drugoj slici.
- Napomenimo da napon na krajevima idealnog strujnoggeneratora nije unapred poznat, ali se može dobitiprora unom kola. Zbog toga nije mogu e direktno primenitiredukovani II Kirhofov zakon duž konture koja sadrži ovaj tipgeneratora.
REALNI STRUJNI GENERATOR- U idealnom strujnom generatoru nema Džulovihgubitaka, pa se po ugledu na realni naponski generator,može uvesti tzv. realni strujni generator koji modelujerealno stanje Džulovih gubitaka u generatoru.
- Realni strujni generator je opisan sa strujom generatoragI i unutrašnjom provodnoš u gG . Umesto unutrašnje
provodnosti može se ravnopravno koristiti i unutrašnjaotpornost 1 /g gR G .
- Elektri na šema realnog strujnog generatora prikazana jena gornjoj slici.
- Strujno naponska karakteristika realnog strujnoggeneratora (donja slika) dobija se na slede i na in:
gg GI I I ,gG gI G U
g gI I G U
U
I
gI
I
UgI
I
UgI gG
gGI
U
I
gI
/g gI G0
Primer. Odrediti struju I kroz otpornik R inapon strujnog generatora gU za kolo sa slikeako su poznati elementi realnog strujnoggeneratora gI i gR .
Rešenje. (I na in) Zamenom paralelne vezegR i R sa ekvivalentno otpornoš u eR dobija
se kolo prikazano na slede oj slici.
ge
g
R RR
R RStruja u ovom kolu jednaka je struji strujnogizvora gI , pa je napon na krajevi otpornika
ge g g
g
R RU R I I
R R
Napon strujnog izvora jednak je naponu U : gg g
g
R RU U I
R RStruja otpornika R iznosi:
gg
g gg
g
R RI
R R RUI IR R R R
(II na in) Struju kroz otpornik možemo odrediti koriste i strujni razdelnik, kogaini paralelna veza unutrašnje otpornosti gR i otpornosti prijemnika R, sanapojnom strujom koja je jednaka struju strujnog generatora gI .
gg
g
RI I
R RNapon strujnog generatora gU jednak je naponu U na krajevima otpornika Rkoji iznosi:
g gg g g
g g
R R RU U RI R I I
R R R R
gU
gIeR UgU
I
gI gR
gGI
R U
TRANSFIGURACIJE REALNIH GENERATORA- Izme u realnog naponskog i realnog strujnoggeneratora mogu e je uspostaviti ekvivalenciju poduslovom da imaju identi ni relaciju izme u napona U istruje I .
g gI I G U
gU E R I- Iz ovih jedna ina se dobijaju veze izme u parametararealnog naponskog i realnog strujnog generatora:
gg
EIR
1g
g
GR
Napomena. Na osnovu definicije idealnih generatora, ne može se uspostavitiekvivalencija izme u idealnog strujnog i idealnog naponskog generatora.
Napomena. Kola za strujnom generatorima ne e biti predmet dalje analize,pošto prevazilaze okvire ovog kursa.
+E
I
+
U
gR
I
UgI gG
gGI
Složena kola su ona kola kod kojih ima grananja strujnog puta.
Osnovni elementi složenog elektri nog kola su:- grana,- vor,- kontura,- nezavisna kontura i- nezavisna grana.
Grana je redna veza proizvoljnog broja elemenata kola (otpornika i generatora).Broj grana obeležavamo sa gn . Prema slici, 8gn .
vor je mesto na kome se spaja tri ili više grana kola. vorove ozna avamopunim kruži ima a njihov broj ozna avamo sa n . Za kolo sa slike je 5n .Grana je deo kola koji neposredno spaja dva vora duž koje nema grananjastrujnog puta.
Kontura je proizvoljan zatvoreni put sa injen od grana kola (C1 C4).
Nezavisna kontura je kontura koja sadrži bar jednu granu koja pripada samo njoji nijednoj više (C1 C4).
Nezavisna grana je grana koja pripada samo jednoj konturi i nijednoj više.
5E
4E
+
4R 7R
1E2E 3E
+
++
+
1R 5R
2R 3R
6R
1C
2C
3C
4C
2.3.1. METODE REŠAVANJA SLOŽENIH KOLA
- Složena kola sadrže ve i broj grana u kojima se nalaze osnovni elementi kola(generatori, otpornici).
- Naj eš e su poznate karakteristike ovih elemenata, a traži se da se izra unajustruje grana kola.
- Osnovu za analizu složenih kola predstavljaju Kirhofovi zakoni, kojipredstavljaju osnovne zakone jer se oslanjaju na princip nestišljivostielektriciteta kod stacionarnih struja (I KZ), odnosno na zakon o održanju rada ienergije (II KZ).
- Pored direktne primene Kirhofovih zakona, koriste se još dva formalnametoda: metod konturnih struja i metod potencijala vorova. Ovi metodi suizvedenih iz Kirhofovih zakona i imaju zna ajnih prednosti nad njima upogledu smanjenje broja jedna ina koje treba rešiti.
- U nastavku e biti razmatran metod direktne primene Kirhofovih zakona kao imetod konturnih struja. Metod napona vorova prevazilazi okvir ovog kursa.
METOD DIREKTNE PRIMENE KIRHOFOVIH ZAKONA
- Posmatramo složeno kolo sa n vorova i gn grana sa svim poznatimelementima kola (naponskim generatorima i otpornicima).
- Broj nepoznatih struja jednak je broju grana gn . Da bi rešili kolo ponepoznatim strujama treba postaviti gn nezavisnih jedna ina.
- Pri rešavanju kola ovom metodom primenjuju se slede i koraci:1. prebrojavanje broja vorova n i grana kola gn ,
2. usvajanja referentnih smerova za struje grana kola,3. pisanje 1In n linearnih jedna ina po I Kirhofovom zakonu za In
usvojenih vorova,4. pisanje II g In n n linearnih jedna ina po II Kirhofovom zakonu za
IIn usvojenih nezavisnih kontura,5. rešavanje sistema linearnih jedna ina po nepoznatim strujama.
- Rešavanjem sistema linearnih jedna ina dobijaju se algebarske vrednostija ine struja grana kola prema usvojenim referentnim smerovima. Ukoliko seza neku struju dobije negativna vrednost, to zna i da je njen fizi ki smersuprotan u odnosu na izabrani referentni smer.
- Na osnovu poznatih struja grana kola mogu se dalje izra unati snage svihelemenata kola, naponi grana i naponi izme u proizvoljnih ta aka u kolu.
Primer. Direktne primenom Kirhofovihzakona odrediti nepoznate struje granakola sa slike. Tako e odrediti napone
13U i 24U .
1. 4n , 6gn
2. Referentni smerovi struja grana kolasu prikazani na slici.
3. Treba napisati 4 1 3Injedna ine po I KZ:
vor 1: 1 2 3 0I I Ivor 2: 1 4 6 0I I Ivor 3: 3 4 5 0I I I
4. Treba napisati6 3 3II g In n n jedna ine
po II KZ. Usvojimo tri nezavisnekonture 1C , 2C , i 3C prema kolu sa slike (svaka kontura treba da sadrži barjednu granu koja samo njoj pripada) i pišemo tri jedna ine po II KZ.
kontura 1C : 1 1 1 3 3 4 4 4 0E R I R I R I Ekontura 2C : 2 2 2 5 5 3 3 0R I E R I R Ikontura 3C : 6 6 6 5 5 4 4 4 0R I E R I R I E
5. Postupak se završava rešavanjem sistema od 6 linearnih jedna ina (3 po I KZi 3 po II KZ) po strujama grana 1I , …, 6I .
2E
6E
+
6R
1E4E
+
+
+
1R 2R
4R 5R3R
1I 2I
3I
4I5I
6I
1
23
4
2E
6E
+
6R
1E4E
+
+
+
1R 2R
4R 5R3R
1I 2I
3I
4I5I
6I
1
23
4
1C 2C
3C
Napone 13U i 24U možemo odrediti koriste i pravilo za odre ivanje naponaizme u dve ta ke u kolu. S obzirom na razli ite puteve sumiranja napona,mogu e je ponuditi više rešenja:
13 3 3U R I ili 13 4 4 4 1 1 1U R I E E R I
24 5 5 4 4 4U R I R I E ili 24 6 6 6U E R I
Nedostatak metoda neposredne primene Kirhofovih zakona
- Metod neposredne primene Kirhofovih zakona daje sistem od gn linearnihjedna ina po nepoznatim strujama grana kola.
- Ukoliko kolo ima veliki broj grana, dobija se sistem sa velikim brojemlinearnih jedna ina, ije rešavanje postaje problemati no bez primenera unara.
- Na primer, ako kolo ima 10 grana, onda se ovom metodom dobija sistem od10 linearnih jedna ina sa 10 nepoznatih struja grana.
METOD KONTURNIH STRUJA
Izveden je iz Kirhofofovih zakona.
Prednosti u odnosu na KZ:- broj jedna ina koji se postavlja po ovoj metodi jednak je broju jedna ina kojibi trebalo postaviti po II KZ,
- sistem jedna ina se postavlja na veoma jednostavan i sistematizovan na in.
Posmatramo složeno kolo sa n vorova i gn grana sa svim poznatimelementima kola (naponskim generatorima i otpornicima).
U tom kolu postoji gn struja grana, ali one nisu nezavisne, ve su povezanejedna inama po I KZ.
Dakle, izme u gn struja grana postoji 1n linearnih relacija po I KZ. Stoga ukolu postoji svega ( 1)k gn n n nezavisnih struja grana.
Ako se te struje odrede, onda je mogu e izra unati i preostale struje koriste i IKZ.
Formirajmo sistem nezavisnih struja na slede i na in.
Odaberimo i orijentišimo ( 1)k gn n n nezavisnih kontura u kolu, za kojemožemo da napišemo nezavisne jedna ine po II KZ.
Zamislimo da se duž svake konture zatvara jedna nezavisna struja, tzv. konturnastruja. Neka se referentni smer konturne struja poklapa se sa orijentacijomodgovaraju e konture. Takvih konturnih struja ima kn i obeležimo ih sa
1, ,kk knI I .
Pokazuje se da se postupak za odre ivanje konturnih struja 1, ,kk knI I zasniva
na rešavanju slede eg sistema jedna ina:
11 1 12 2 1 1
12 1 22 2 2 2
1 1 2 2
k k
k k
k k k k k k
k k n kn k
k k n kn k
n k n k n n kn kn
R I R I R I E
R I R I R I E
R I R I R I E
Zna enje pojedinih lanova u sistemu jedna ina je:
, 1, ,ii kR i n aritmeti ki (obi an) zbir otpornosti svih grana kola kojepripadaju i toj konturi (sopstvena otpornost i te konture) uvek sapredznakom „+“.
, , 1, , ,ij ji kR R i j n i j aritmeti ki zbor otpornosti svih grana kolakoje istovremeno pripadaju i toj i j toj konturi (me usobna otpornost i te ij te konture), uzet sa predznakom „+“ ako se duž zajedni kih grana poklapajusmerovi tih kontura, a sa predznakom „ “ ako su smerovi suprotni. Akokonture nemaju zajedni ke grane, onda je 0ijR .
, 1, ,ki kE i n algebarski zbir elektromotornih sila svih idealnih naponskihgeneratora grana koje pripadaju i toj konturi (elektromotorna sila i tekonture). U ovaj zbir elektromotorna sila ulazi sa predznakom „+“ ako seorjentacija konture poklapa sa referentnim smerom elektromotorne sile, a sapredznakom „ “ ako su smerovi suprotni.
Rešavanjem sistema jedna ina dobijaju se konturne struje 1, ,kk knI I .
Struje granana se odre uju na slede i na in:
- Struja u nezavisnoj grani neke konture jednaka je konturnoj struji tekonture.
- Struja u grani koja pripada ve em broju kontura jednaka je algebarskomzbiru konturnih struja koje kroz tu granu proti u. Pri tome, konturnastruja ulazi u zbir sa predznakom „+“ ako se njen referentni smerpodudara sa referentnim smerom struje u grani, ina e se uzima sapredznakom „ “.
Primer. Odrediti ja ine struja grana kola sa slike koriste i metod konturnih struja.
6n , 9gn
( 1) 2k gn n n (2 nezavisne konturne struje)
11 k1 12 2 k1
21 1 22 2 k2
k
k k
R I R I ER I R I E
11 1 22 2 12 21, ,R R R R R R R R R
1 1 2 2k kE E E E
1 1 k2 1
1 2 2 2
( )( )
k
k k
R R I RI ERI R R I E
11 1
22 2
k
k
IR R R EIR R R E
1 1 2 2 1 2k k k kI I I I I I I
1R
2R
R
1E
2E
+
+
2R
R
1E
2E
+
+
1I
2I
1C
2C
I
Primer. Odrediti ja ine struja grana kola sa slike koriste i metod konturnih struja.
6n , 9gn ( 1) 9 5 4k gn n n 4 konturne struje
Usvajamo 4 nezavisne konturne struje
11 k1 12 2 13 3 14 4 k1
21 1 22 2 23 3 24 4 k2
31 1 32 2 33 3 34 4 k3
41 1 42 2 43 3 44 4 k4
k k k
k k k k
k k k k
k k k k
R I R I R I R I ER I R I R I R I ER I R I R I R I ER I R I R I R I E
11 1 2 4 7R R R R R , 22 5 6 8R R R R , 33 3 7 8R R R R , 44 2 5R R R
12 21 4R R R , 13 31 7R R R , 14 41 2R R R
23 32 8R R R , 24 42 0R R , 34 43 0R R
1 1 4kE E E , 2 2 2kE E E , 3 3kE E , 4 2kE E
Nakon odre ivanja nepoznatih konturnih struja, odre uju se struje u pojedinimgranama kola. Za referentne smerove struja grana, ja ine struja iznose:
1 1kI I , 2 1 4k kI I I , 3 3kI I , 4 1 2k kI I I , 5 4kI I ,
6 2kI I , 7 1 3k kI I I , 8 2 3k kI I I , 9 4 2k kI I I
1E
4R6R
8R7R
3R
5R
1R2R
2E
4E
3E+
+
+
+1E
4R6R
8R7R
3R
5R
1R2R
2E
4E
3E+
+
+
+
3I
1I
2I
4I
5I
6I7I 8I
9I
3kI
1kI 2kI
4kI
Prilikom rešavanja složenih elektri nih kola, veoma veliku primenu imajuodre ene teoreme. Ovde e biti obra ene samo neke od najvažnijih kao što su:
- teorema linearnosti- Tevenenova teorema- teorema kompenzacije
Prve dve teoreme se odnose na linearna elektri na kola, dok je poslednjateoreme opšteg karaktera i može se primeniti i na nelinearna elektri na kola.Jedna od naj eš e primenjivanih teoreme jeste Tevenenova teorema.U nastavku se daju iskazi ovih teorema sa primenama, dok su izvo enjaizostavljena jer prevazilaze okvir ovog kursa.
2.4.1. TEOREMA LINEARNOSTI (SUPERPOZICIJE)
Teorema linearnosti poznata je u raznim oblastima tehnike, a neretko se sre e ipod imenima teorema superpozicije ili princip superpozicije. Sretali smo se sanjom kada smo govorili o slaganju ja ine elektri nog polja i potencijala sistemata kastih optere enja.
Teorema linearnosti važi samo za linearna elektri na kola i direktna je posledicalinearnosti sistema jedna ina koji se postavljaju za njihovo rešavanje. Ona polaziod dejstva više generatora na posmatranu veli inu u kolu (struju ili napon), kojunazivamo odziv kola, i opisuje kako generatori doprinose ukupnoj vrednostiposmatranog odziva.
Teorema linearnosti. Bilo koji odziv (struja ili napon) u linearnom kolu jelinearna homogena kombinacija svih pobudnih generatora u tom kolu.
Primer. Ako u kolu sa ukupno tri naponska generatora 1E , 2E i 3E , posmatramoproizvoljnu struju I i proizvoljni napon U , onda se, na osnovu teoremelinearnosti, struja I i napon U mogu iskazati kao linearna homogenakombinacija ovih generatora:
1 1 2 2 3 3I g E g E g E
1 1 2 2 3 3U a E a E a E
S obzirom na prirodu ems, napona i struje, konstante 1 2 3, ,g g g imajudimenziju provodnosti, dok su konstante 1 2 3, ,a a a isti brojevi.
Neka su elektromotorne sile 2E i 3E istovremeno jednake nuli. Tada struja I inapon U zavise samo od ems 1E :
1 1I g E , kada 2 3 0E E
1 1U a E , kada 2 3 0E E
Sli an rezultat važi i u slu ajevima kada se anuliraju elektromotorne sile 1E i 3E ,
2 2I g E , kada 1 3 0E E
2 2U a E , kada 1 3 0E E
odnosno kada se anuliraju 1E i 2E :
3 3I g E , kada 1 2 0E E
3 3U a E , kada 1 2 0E E
Sabiranjem pojedina nih vrednosti I , I i I za struju I , odnosno U , U iU za napon U , dobijaju se ukupne vrednosti struje I i napona U , koje suiskazane teoremom linearnosti:
1 1 2 2 3 3I I I I g E g E g E , kada 1 2 30, 0, 0E E E
1 1 2 2 3 3U U U U a E a E a E , kada 1 2 30, 0, 0E E E
Na osnovu rezultata prethodnog primera, teoreme linearnosti se može iskazatina nešto druga iji na in koji je u literaturi poznat kao teorema superpozicije iliprincip superpozicije. Ovaj iskaz ima veliki prakti an zna aj pri odre ivanjunepoznate struje ili napona kada u kolu deluje ve i broj generatora.
Teorema superpozicije. Bilo koji odziv u kolu (struja ili napon), nastao kaoposledica istovremenog dejstva svih generatora u kolu, jednak je zbiru odzivanastalih usled dejstava pojedinih generatora kada su elektromotorne sile ostalihgeneratora jednake nuli.Anuliranje elektromotornih sila naponskih generatora zna i da se naponskigeneratori zamenjuju svojim unutrašnjim otpornostima.
Primer. Posmatrajmo slu aj iz prethodnog primera. Teorema superpozicije semože zapisati na slede i na in:
3
0,1
ji i E j i
iI g E ,
3
0,1
ji i E j i
iU a E
Primer. Za kolo sa slike odrediti napon na krajevimaotpornika R.Rešenje. Anuliranjem ems 2E , dobija se kolo sa drugeslike, pri emu važi:
21
2e
RRRR R
, 11 1 1
1 1R e e
e
EU R I RR R
Anuliranjem ems 1E , dobija se kolo sa tre e slike, priemu važi:
12
1e
RRRR R
, 12 2 2
1 1R e e
e
EU R I RR R
Ukupna vrednost napona RU otpornika, koja poti e odoba generatora, jednaka je zbiru pojedina nih napona
RU i RU :
1 21 1
1 1 1 1
1 1 2 2
e eR R R
e e
R RU U U E ER R R R
a E a E
RU
1R
2R
R
1E
2E
+
+
RU
1R
2R
R
1E+
+
2R2E
RU
1R
R+
+
2.4.2. TEVENENOVA TEOREMA
Tevenenova teorema ima veoma veliku primenu u rešavanju složenih kola,posebno u slu ajevima kada je potrebno izra unati ja inu struje ili napon samojedne grane kola.
Posmatrajmo jednu proizvoljnu elektri nu mrežu, koja je prikazana na slici.Mreža se sastoji iz dva dela: prvi deo mreže (mreža A) je linearan, saproizvoljnim brojem generatora i otpornika, dok drugi deo mreže (mreža B)predstavlja ostatak dela kola koji ne mora biti linearan. Uo imo par priklju aka1 2 izme u prvog i drugog dela mreže.
Tevenenova teorema se odnosi na prvi deo mreže (mrežu A).
Tevenenova teorema. Mreža A sa slike se može zameniti realnim naponskimgeneratorom ija je elektromotorna sila jednaka naponu praznog hoda te mreže( 0TE U ), a otpornost jednaka ekvivalentnoj otpornosti te mreže ( T eR R ).
Napon 0U je napon izme u otvorenih priklju aka 1 i 2 mreže A (kada se mrežaB odvoji od nje). Tada je struja I jednaka nuli.
1
2
UI
TR
TEMreža B(ostatakkola)
1
2
U
I
I
Mreža B(ostatakkola)
Mreža A(linearna)
Mreža A(linearna)
1
20U
0I
eR
1
2
0U0I
TR
TE
Ekvivalentna otpornost eR ra una se na slede i na in.
U mreži A se anuliraju sve elektromotorne sile generatora (zamene se kratkomvezom) pri emu njihove unutrašnje otpornosti ostaju nepromenjene.
Zatim se odredi ekvivalentna otpornost eR ovako dobijene isto otporni kemreže izme u ta aka 1 i 2.
Napomena. Tevenenov generator date linearne mreže (mreža A) ne zavisi odostatka dela kola (mreža B) koji je priklju en na nju. On jednozna noreprezentuje linearnu mrežu pomo u parametara TE i TR .
Primer. Koriste i Tevenenovu teoremu odrediti napon 12U na krajevimaotpornika 4R za kolo sa slike.Rešenje. Nacrtajmo elektri nu šemu kola tako da se sa nje mogu uo iti mreže Ai B (druga slika).
Elektromotorna sila Tevenenovoggeneratora jednaka je naponu praznog hoda
40U (tre a slika).
1
2
TR
e TR RMreža Asa 0iE
1
2
e TR R
1R4R
1E
1
2
4U
+2E +
2R3R
3
4I
1R
1E
1
2
40U
+2E+
2R3R
3
4 0I
1R
2R
4R
1E
2E
+
+
1 2 3R 3
Pri traženju napona praznog hoda, otpornik 3R se može odbaciti (prva slika),pošto kroz njega ne te e struja.
Sa druge slike, paralelnu vezu dva naponska generatora možemo zamenitijednim ekvivalentnim generatorom (druga slika)
1 1 2 2 1 2 2 1
1 2 1 2
/ /1 / 1 /e
E R E R E R E RER R R R
, 1 21
1 2e
R RRR R
Pošto kroz ekvivalentni generator ne te e struja (druga slika), napon praznoghoda 0U jednak je ems eE :
1 2 2 140
1 2e
E R E RU ER R
Elektromotorna sila Tevenenovoggeneratora iznosi
1 2 2 140
1 2T
E R E RE UR R
Otpornost Tevenenovog generatora odre ujemoanuliranjem ems u elektri nom kolu i odre ivanjemekvivalentne otpornosti izme u ta aka 1 i 2.
1 23
2T e
R RR R RR R
Nakon odre ivanja Tevenenovog generatora, mrežuA zamenjujemo ovim generatorom i povezujemo jesa mrežom B, to jest sa otpornikom 4R .Napon na krajevima otpornika 4R možemo dobiti ilipreko struje 4I :
44 4 4 4
4 4
TT
T T
E RU R I R ER R R R
ili direktno preko naponskog razdelnika:
4 4 1 2 2 14
1 24 1 23 4
2
TT
R R E R E RU E R RR R R RR RR R
1R
1E
1
2
40U
+2E+
2R
3
1eR
eE
1
2
40U
+
1R
1
2
eR2R
3R
TR
TE
1
2
4U
+
4R
4I
Primer. Koriste i Tevenenovu teoremu odrediti struju kroz otpornika R za kolosa slike.
Rešenje.
Unutrašnja otpornost Tevenenovog generatora iznosi:
1 212 3
1 2T
R RR R RR R
Elektromotorna sila Tevenenovog generatora iznosi:
10
1 2T
RE U ER R
Ja ina struje kroz otpornika R je:
1
1 2
1 23
1 2
T
T
R EE R RI R RR R R R
R R
0I
1RE+ 2R
1
2
0U
+
1RE + 2R 3R
1
2
0I
0U+
TE+
I
R
1
2
TR
U
1RE +
2R
3R
R
1
2
TE+
TR 1
2
R
1R
2R 3R 1
2
2.4.3. TEOREMA KOMPENZACIJETeorema kompenzacije važi kako za linearna, tako i za nelinearna kola.
Posmatrajmo složeno elektri no kolo koje se može podeliti na dva me usobnospojena dela, mrežu A i mrežu B (videti prvu sliku).
Ta ke spajanja ovih delova su 1 i 2, a napon 12U U .
Teorema kompenzacije. Proizvoljna elektri na mreža A se u odnosu naproizvoljnu mrežu B može zameniti idealnim naponskim generatorom (tzv.kompenzacionim generatorom) ija je elektromotorna sila jednaka kE Uprema referentnim smerovima sa slika, a da se u mreži B pri tome ništa nepromeni.
Primer. U kolu sa slike poznato je 1 20E V , 2 10E V , 1 2 10R R .Odrediti otpornost otpornika R kao i struju koja te e kroz njega ako je
12 12U U V .
Rešenje. Po teoremi kompenzacije poznati napon12U V možemo zameniti kompenzacionim
generatorom elektromotorne sile 12kE V .Rešavanjem kola sa druge slike ima se:
112 1 1 1 1
1
0.8kk
E EU E R I E I AR
212 2 2 2 2
2
0.2kk
E EU E R I E I AR
1 2 1 20 0.6I I I I I I A
12 200.6
U VRI A
1
2
U
I
I
Mreža BMreža A
1
2
UI
kE Mreža B
kE
1R
2R
1E
2E
+
+
1 2+
1I
I
2I
U
1R
2R
R
1E
2E
+
+
1 2I
2.4.4. PRILAGO ENJE PO SNAZI
OTPORNIK KAO PRIJEMNIKPosmatramo realni naponski generator, poznateelektromotorne sile E i unutrašnje otpornosti gRi sa priklju enim prijemnikom nepoznateotpornosti R. Cilj je da se odredi vrednostotpornosti R prijemnika tako da njegova snagabude maksimalna mogu a, kao i izraz za snagu.
Ja ina struje kola iznosi:
g
EIR R
Snaga koja se razvija u prijemniku zavisi od otpornosti prijemnika i iznosi:2
2 22 2 0
( ) ( )Rg g
E RP RI R ER R R R
Snaga na prijemniku RP jednaka je snazi gP koju generator predaje prijemniku.
22 0
( )g Rg
RP P ER R
(generator radi kao izvor struje)
Ukupna snaga EP koju generator razvija jednaka je:
2
0Eg
EP EIR R
(generator radi kao izvor struje)
Snaga gubitaka u generatoru JgP predstavlja Džulove gubitke u generatoru ijednaka je razlici ukupne snage generatora EP i snage gP koju generator predaostatku kola (prijemniku)
2 22 0
( )g
Jg E g gg
RP P P R I E
R R
E +
I
R
1
2
gRRU U
Maksimalna snaga na prijemniku dobija se iz uslova:
0RdPdR
,2
24
( ) 2( )0
( )g gR
g
R R R R RdP EdR R R
2( ) 2( ) 0g gR R R R R
2 0gR R R
gR R
Dakle, da bi se na prijemniku razvila maksimalna snaga, potrebno je da njegovaotpornost bude jednaka unutrašnjoj otpornosti generatora. Ovaj uslovpredstavlja uslov prilago enja po snazi, a prijemnik otpornosti gR R se nazivaprilago eni prijemnik.
Maksimalna snaga prijemnika (snaga prilago enog prijemnika) iznosi:2
2 2max max 2 2( ) ( ) 4
gR g
g g g g
RR EP P E ER R R R R
Ova snaga jednaka je maksimalnoj snazi koju generator preda ostatku kola:2
max max 4g Rg
EP PR
Snaga generatora u uslovima prilago enja iznosi:2 2 2
2gE R R
g g g g
E E EPR R R R R
Ako je uslov prilago enja snage zadovoljen, Džulovi gubici u generatoru iznose:2
22( ) 4g
gJg R R
g g
R EP ER R R
Dakle, pri maksimalnoj snazi u prijemniku, Džulovi gubici u generatoru jednakisu maksimalnoj snazi otpornika.
Napon na krajevima prilago enog otpornika, odnosno napon izvora iznosi:
2g
gR R R
g g g
RR EU E ER R R R
Koeficijent korisnog dejstva (stepen iskoriš enja) generatora definiše se kaokoli nik korisne i ukupne snage generatora:
g
E
PP
Za uskla eni prijemnik, koeficijent korisnog dejstva generatora iznosi:2
max max2
/ 40.5
/ 2g
g g
g gRR R
E E gR R R R
P E RPP P E R
Dakle, jedna polovina snage koju razvija generator troši se na gubitke u samomgeneratoru, a druga polovina se disipira na prijemniku.
Linearna elektri na mreža kao pobuda
Posmatrajmo sada opštiji slu aj jednog prijemnikavezanog na proizvoljnu linearnu elektri nu mrežupreko pristupnih krajeva 1 i 2 (prva slika).
Prema Tevenenovoj teoremi, ova mreža se možezameniti Tevenenovim generatorom ija jeelektromotorna sila TE , a unutrašnja otpornost
TR (druga slika).Pošto je Tevenenov generator realni naponskigenerator, dobija se polazno elektri no kolo sarealnim naponskim generatorom (tre a slika), priemu je TE E i g TR R .
Dakle, vezivanjem prijemnika na proizvoljnulinearnu mrežu, relacije za struje, napone i snageostaju iste kao i u slu aju vezivanja prijemnika narealni naponski generator. Pri tome treba koristitismenu TE E i g TR R . E
+
I
R
1
2
gRRU U
Mreža(linearna)
1
2
RU U
I
R
TE
+R
2
TRRU U
I1
MREŽA KAO PRIJEMNIKPosmatrajmo opštiji slu aj prikazan na slici, kada je na realni naponski generatorpriklju ena proizvoljna mreža sa otpornicima i generatorima.Ja ina struje u kolu je:
1 0g g
E U E UIR R E
Korisna snaga generatora gP predaje se mreži,tako da snaga mreže MP iznosi:
222 / 0M g g
g g
E U E U UP P UI U EU U RR R E E
- Kada je 0g MP P (0 U E ), mreža se ponaša kao prijemnik (potroša ), arealni naponski generator se ponaša kao generator.
- Kada je 0g MP P ( 0U ili U E ), mreža se ponaša kao generator, arealni naponski generator se ponaša kao prijemnik, pošto prima energiju izmreže.Ukupna snaga generatora (snaga stranih sila generatora) EP iznosi:
2
1 1 0Eg g
E U E UP EI ER E R E
- Kada je 0EP (U E , smer struje I je usaglašen sa smerom ems E ),generator se ponaša kao izvor jer strane sile vrše razdvajanje naelektrisanja ugeneratoru.
- Kada je 0EP (U E , smerstruje I nije usaglašen sasmerom ems E ), naponskigenerator ne radi kao izvor, vese ponaša kao prijemnik. Tadastrane sile ne vrše razdvajanjenaelektrisanja u generatoru.
E
+
2
RU
I 1Mrežasa
E i R
E g JgP P P
gP UE
10
JgP
2 / gE R
2 / 4 gE R
1 / 2
UP fE
Snaga Džulovih gubitaka iznosi:22
2 1 0Jg gg
E UP R IR E
Snage gP , EP i JgP prikazane su u funkcijinapona generatora U , ta nije u funkcijikoli nika /U E .
Na prvoj slici prikazana je raspodelasnage generatora EP na korisnu snagugeneratora gP i snagu Džulovih gubitaka
JgP .
Prikazani su mogu i predznaci ovihsnaga, kao i smer prenošenja snage uzavisnosti od njenog predznaka.
Treba obratiti pažnju na slu aj kada je0g MP P za 0U (slu aj levo od
vertikalne ose). Tada realni generatorprima energiju iz mreže, ali je ukupnasnaga generatora 0EP , pa generator idalje radi kao izvor.
Primer. Za kolo sa slike poznato je: 1 20E V ,
1 100E V , 1 5R , 2 10R , najve eotpornosti potenciometra 30pR imaksimalno dopustiva struja potenciometra
max 2PI A. Izra unati otpornost potenciometratako da se na njemu razvija maksimalna snaga.
Rešenje. U odnosu na potenciometar, ostatakdela kola se može zameniti Tevenenovimgeneratorom ems 1 2 80TE E E V iunutrašnje otpornosti 1 2 15TR R R .
Potenciometar se ponaša kao otpornikpromenljive otpornosti, ija se otpornost možemenjati u granicama 0 30pR .
I 1
E g JgP P P
gP UE
10
JgP
2 / gE R
2 / 4 gE R
1 / 2
UP fE
E +
gR
Mrežasa
E i R
snagaMP
0, 0EP
0JgP
0g MP P
0g MP P
1R
2RpR
1E
2E
1
2
TR
pRTE
1
2
I
U
Ja ina struje iznosi:
( ) Tp
T p
EI RR R
Pošto je struja je ograni ena na max 2PI A po apsolutnoj vrednosti, zaotpornost se dobija
maxTT
PT p T p
EE IR R R R
max( )T p P TR R I E , max maxT P p P TR I R I E
max
max
80 15 225
2T T P
pP
E R IRI
Pošto je 0 30pR i 25pR , sledi 25 30pR
Snaga potenciometra iznosi:
22( )
pp T
T p
RP E
R RSnaga dostiše maksimum kada je
15p TR R , što se moše realizovatipotenciometrom, ali, imaju i u vidu dozvoljeniopseg 25 30pR , potenciometar ne sme da se postavi na vrednost
15p TR R (prilago eni prijemnik).
Pošto dopustivi opseg 25 30pR leši iznad optimalne vrednosti15p TR R , zaklju uje se da e se najve a snaga na otporniku razviti ako
se izabere najmanja vrednost iz opsega 25 30pR , a to je 25pR .Do sli nog zaklju a se dolazi i sa grafika snage.
Tada je struja kroz potenciometar:( 25 ) 80 / (15 25 ) 2pI R V A
što ne prelazi dopustivu vrednost od max 2PI A po apsolutnoj vrednosti.
pP
pR0 15 25 30 40
U elektrostatici smo definisali kondenzator kao sistem od dva me usobnoizolovana i blisko postavljena provodna tela ija su naelektrisanja suprotna, Qi Q . Kada se kondenzator kapacitivnosti C optereti koli inom naelektrisanjaQ , napon izme u njegovih elektroda je U . Veza izme u napona i koli inenaelektrisanja definisana je pomo u:
Q CU
prema usvojenim referentnim smerovima za napon U ikoli inu naelektrisanja Q (prva slika). Za neusaglašenesmerove (druga slika) vaši
Q CU
Proces punjenja (optere ivanje) i prašnjenja(rastere ivanje) kondenzatora ne moše biti trenutan, štose lako moše objasniti.
Naime, energija neoptere enog kondenzatora je jednakanuli, dok energija optere enog kondenzatora ima kona nu vrednost. Ukoliko bise kondenzator opteretio trenutno, došlo bi do kona ne promene energije zabeskona no kratko vreme. To zna i da bi snaga, kojom se prevodi neki drugi videnergije u elektrostati ku energiju kondenzatora, bila beskona no velika, što jenemogu e.
Isto razmatranje se moše primeniti i kod rastere ivanja kondenzatora.
Stanje kondenzatora u kome nema promene koli ine elektriciteta na njegovimkrajevima naziva se stacionarnim stanjem.
Proces tokom koga se vrši optere ivanja, odnosno rastere ivanje kondenzatoranaziva se prelaznim stanjem ili prelaznim rešimom.
Analiza stanja kondenzatora punjenja i prašnjenja moše se vršiti u dva smera:- kompletna analiza (prelazno i stacionarno stanje kondenzatora),- analiza samo stacionarnih stanja kondenzatora.
U nastavku e biti razmatrana samo druga analiza, tj. analiza promena samostacionarnih stanja kondenzatora.
C
QU
C
QU
2.5.1. PUNJENJE KONDENZATORAPosmatramo slede e kolo sa kondenzatorom.Neka je pre zatvaranja prekida akondenzator bio neoptere en ( 0 0Q ). Naponna njegovim krajevima iznosi:
0 0 / 0CU Q C
Struja kola je jednaka nuli, a generator i kondenzator su fizi ki razdvojeni.
Opisano stanje predstavlja po etno stacionarno stanje u kolu.
Ako bi, nakon zatvaranja prekida a , struja u kolu bila jednaka nuli, onda bi IIKZ glasio:
0 0CE U
što je u suprotnosti sa 0E .
Zbog toga e, nakon zatvaranja prekida a, kroz kolo pote i naelektrisanja u vidu
struje ( )i t koja je funkcija vremena.
Po zatvaranju prekida a , u svakomtrenutku, važi slede a naponska ravnotežadobijena primenom II KZ:
( ) ( )CE Ri t u t
Definicija. Protok elektriciteta ( )q t predstavlja ukupno naelektrisanje proteklokroz kondenzator od prethodnog stacionarnog stanja do posmatranogvremenskog trenutka t .Tokom vremena, protok elektriciteta ( )q t dovodi do postepenog nagomilavanjaelektriciteta na elektrodama kondenzatora, odnosno pove ava njegovooptere enje ( )Q t u trenutku t .
Protok ( )q t , ja inu struje ( )i t i optere enost kondenzatora ( )Q t ra una emo uodnosu na isti referentni smer prikazan na slici, koji je uskla en sa referentnimsmerom napona ( )Cu t .
Prema usvojenim referentnim smerovima važi:
0( ) ( )Q t Q q t
gde je 0Q po etno optere enje kondenzatora (u opštem slu aju važi 0 0Q ).
C
0Q0CUE
R
C
( )Q t( )Cu tE
R
( )q t( )i t
Posle dovoljno dugog vremena (teorijski kad t ) nastaje drugo stacionarnostanje u kolu, pri emu prestaje punjenje kondenzatora, tj. struja krozkondenzator prestaje da te e.
Tada svi naponi u kolu ( ( )C Cu t U ) i struje grana koje ne sadrže kondenzatorepostaju konstantni.
Ako posmatrani trenutak t opisuje vreme drugog stacionarnog stanja, ondaprotok elektriciteta ( )q t više ne zavisi od vremena, ve predstavlja ukupnonaelektrisanje proteklo kroz kondenzator izme u dva stacionarna stanja. Ovakodefinisani protok elektriciteta, koji ozna avamo sa q , bi e nadalje koriš en zaanalizu punjenja i pražnjenja kondenzatora.
Sli no važi i za optere enje kondenzatora u stacionarnom stanju; umesto ( )Q t utrenutku t , razmatra se Q na kraju drugog stacionarnog stanja, pa se ima:
0Q Q q
Jedna ina stacionarnog stanja za posmatrano kolo definisana je II KZ:
0 C CE R U U
Dakle, nakon punjenja kondenzatora, napon na njegovim krajevima iznosiCU E .
Prethodna jedna ina se može zapisati na slede i na in:
0Q qQEC C
odakle se rešavanjem po q dobija protok elektriciteta kroz kondenzator izme udva stacionarna stanja (pre i posle zatvaranja prekida a):
0q EC Q
C
QCUE
R
q
2.5.2. PRAŽNJENJE KONDENZATORA
Posmatrajmo proces rastere enja kondenzatorakoji je prikazan na slici. Neka je, u odnosu nareferentni smer sa slike, po etno optere enjekondenzatora 0Q . Pre uklju ivanja prekida a,napon na krajevima kondenzatora iznosi:
0 0 /CU Q C
Nakon zatvaranja prekida a u kolu po inje da te e struja ( )i t iji je fizi ki smersuprotan u odnosu na smer pri optere ivanjukondenzatora ( ( ) 0i t prema usvojenomreferentnom smeru).
Protok elektriciteta ( )q t rastere uje elektrodekondenzatora, smanjuju i njegovooptere enje ( )Q t , a samim tim i napon ( )Cu t ,u trenutku t .
Kao i pri punjenju kondenzatora, protok ( )q t ,ja inu struje ( )i t i optere enost kondenzatora
( )Q t ra una emo u odnosu na isti referentnismer prikazan na slici, koji je uskla en sareferentnim smerom napona ( )Cu t .
U svakom trenutku, po zatvaranju prekida a , važi slede a naponskaravnoteža dobijena primenom II KZ prema usvojenim referentnim smerovima:
( ) ( ) 0CRi t u t
Posle dovoljno dugog vremena (teorijski kad t ) nastaje stacionarno stanjeu kolu, kada je kondenzator potpuno rastere en. Tada je struja krozkondenzator jednaka nuli, a ostale veli ine postaju konstantne ( ( )C Cu t U ,
( )q t q, ( )Q t Q).
Jedna ina stacionarnog stanja za posmatrano kolo definisana je II KZ:
0 0 0C CR U U
C
0Q0CU
R
C
( )Q t( )Cu t
R
( )q t( )i t
C
QCU
Rq
Prethodna jedna ina se može zapisati na slede i na in:
0CQUC
,
tj.0 0Q qC
odakle se rešavanjem po q dobija protok elektriciteta kroz kondenzator izme udva stacionarna stanja (pre i posle zatvaranja prekida a):
0q Q
2.5.3. SLOŽENA KOLA SA KONDENZATORIMASložene elektri ne mreže stalne struje pored otpornika mogu da sadrže ikondenzatore.
Smatra emo da pri rešavanju ovih kola nije potrebno poznavati prelazni režim.Dovoljno je posmatrati stacionarno stanje u kome se mreža nalazi. Nijepotrebno znati protoke ( )iq t u funkciji vremena kroz i ti kondenzator, ve jedovoljno posmatrati ukupne protoke iq od trenutka uklju ivanja kondenzatorau kolo, pa do uspostavljanja posmatranog stacionarnog stanja.
U stacionarnom stanju kondenzatori se ponašaju kao otvorene veze pošto kroznjih tada ne proti e struja.
Složene mreže sa kondenzatorima se rešavaju polaze i od jedna inekontinuiteta (analogno I KZ), II KZ i relacija za elemente mreže.
Analogno I KZ za vor, jedna ina kontinuiteta, koja se odnosi se na protokelektriciteta q kroz vor kola, glasi:
Algebarska suma protoka elektriciteta iq izme u dva stacionarnastanja u proizvoljnom voru mreže jednaka je nuli, tj. 0iq .
Primer. U kolu prikazanom na slici poznato je: 10E V , 1R k i 100C nF .Prekida je otvoren i u kolu je uspostavljeno stacionarno stanje. Izra unati:a) protok kroz granu sa kondenzatorom po zatvaranju prekida a, b)priraštajelektri ne energije kondenzatora.
Rešenje. a) Kada je prekida otvoren,kondenzator je vezan na red saotpornikom, pa je u stacionarnomstanju kondenzator potpunorastere en, tj. 0 0Q . Zbog toga je
0 0 0CU CQ .
Kada se prekida zatvori, po injepunjenje kondenzatora. Do uspostavenovog stacionarnog stanja, krozkondenzator protekne koli inaelektriciteta q .
U stacionarnom stanju krozkondenzator ne te e struja pa gamožemo privremeno zameniti otvorenom vezom, odnosno možemo ga izbacitiiz kola.
Napon na kondenzatoru jednak jenaponu RU na krajevima otpornika R:
1 52R
RU E E VR R
,
5c RU U V
Prema usvojenim referentnim smerovimavaži:
0Q Q q q , cQ qUC C
100 5 500cq CU nF V nC500Q nC
b) Priraštaj elektri ne energijekondenzatora iznosi:
22 2 4 1870
2 9
1 1 1 1 25 10 10 12,5 10 1,252 2 2 2 10 10C
QQ QW J JC C C
C
0Q0CUE
R
R
EC
QCU
R
R
q
E RU
R
R
EC
QCU
R
R
q
