Deret Fourier 1

2. DERET FOURIER

Fungsi Periodik Deret Fourier Trigonometri

Identitas Parseval Terapan Deret Fourier

2.1. Fungsi Periodik

Definisi 1

Suatu fungsi f disebut fungsi periodik jika terdapat bilangan real

positif 2p, sehingga untuk setiap t berlaku

f(t+2p) = f(t)

Bilangan positif 2p dinamakan perioda fungsi f.

Gambar 1 : Contoh grafik suatu fungsi periodik dengan perioda 2p

Bila 2p merupakan perioda fungsi f, maka :

f(t) = f(t+2p) = f[(t+2p)+2p] = f(t+4p).

Jadi 4p juga perioda fungsi f. Dengan cara serupa, akan diperoleh

perioda-perioda fungsi f, yaitu 4p, 6p, 8p,.... Secara umum dapat

dikatakan bila 2p adalah perioda fungsi f, maka 2np (n=1,2,3,...) juga

merupakan perioda f.

Perioda terkecil suatu fungsi disebut Perioda Dasar

(fundamental period). Tidak semua fungsi periodik mempunyai

perioda dasar (misalnya fungsi konstan y=k).

0

y

t

2p 4p 6p

Deret Fourier 2

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Contoh 1

1. f(t) = k , k konstan.

Setiap bilangan real positif 2p merupakan perioda fungsi f sebab

f(t+2p) = k = f(t).

Mengingat tidak ada nilai 2p terkecil untuk f tersebut, maka

fungsi f tidak mempunyai perioda dasar.

2. g(t)=sin(ωt), dengan ω suatu bilangan real positif, maka perioda

dasar fungsi g adalah 2π/ω.

3. h(t)=tan(t), adalah suatu fungsi periodik dengan perioda dasar π,

meskipun ( )π+π n2tan =tidak terdefinisi untuk n=1,2,3,...

4. y(x)=sin(3x)+cos(2x) adalah fungsi periodik dengan perioda dasar

2π, sebab :

sin(3x), perioda dasar T1=2π/3

cos(2x), perioda dasar T2=π, maka

Perioda dasar sin(3x)+cos(2x), T=KPK{T1,T2}=2π

(KPK=Kelipatan Persekutuan terKecil)

Grafik fungsi y(x) dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar 2 : Grafik y(x)=sin(3x)+cos(2x)

5. ∑∞

=

π+

π=

1n pxn sin

pxn cos )x(f , p konstan. Perioda dasar f

adalah T=KPK{2p ,2p/2 ,2p/3 ,2p/4 ,⋅⋅⋅⋅}=2p.

Untuk selanjutnya, perioda dasar disebut perioda saja.

Deret Fourier 3

2.2. Deret Fourier Trigonometri

Definisi 2

Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p) sedemikian

hingga integral-integral :

∫∫ππ

p

p-

p

p-dx

pxn cos f(x)dandx

pxn sin f(x) ada, untuk n=0,1,2,...

Deret Fourier (Trigonometri) fungsi f pada interval (-p,p)

didefinisikan oleh :

∑∞

=

π+

π+=

1nnn02

1pxn sin b

pxn cos aa)x(f

dengan

∫π

=p

p-n dx

pxn cos f(x)

p1a , n=0,1,2,3,....

∫π

=p

p-n dx

pxn sin f(x)

p1b , n=1,2,3,....

an dan bn disebut Koefisien Fourier fungsi f.

Contoh 2:

Diketahui f fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda

π<≤<<π−

=t0,tsin

0t,0)t(f

Akan dicari deret fourier f

Penyelesaian

Perioda f adalah 2p=π-(-π)=2π, jadi p=π

∫ ∫ ∫π

π π

π

π+⋅

π=

π=

-

0

- 0n dt nt cos t sin 1 dt nt cos0 1 dt nt cos f(t) 1a

Deret Fourier 4

= π

++

+π 0n 1

t n) (1 cos n - 1

t n) - (1 cos 21 - 1

=

++

+π+π

+ππ

π n 11

n - 11 -

n 1)n ( cos

n - 1)n - ( cos

21-

= )n - (1

n cos 12π

π+ , n≠1

untuk n=1

02

2t sin dt t cos t sin 1a00

1 =π

=π

=

ππ

∫

∫∫ ∫π

π

π ππ

+⋅π

=π

=0

--

0

-n dt nt sintsin 1dt nt sin0 1 dt ntsin f(t) 1b

= 0 n 1

t n) (1 sin - n - 1

t n) - (1 sin 21 1

0=

++

π

π , n≠1

untuk n=1

21

42t sin -

2t 1 dt t sin 1b

00

21 =

π=

π=

ππ

∫

Jadi diperoleh deret fourier fungsi f :

( )

++++

π+

π=

π+π

++π

= ∑∞

=

... 63

8t cos 35

6t cos 15

4t cos 3

2t cos 1 - 2

t sin 1

ntcos)n - (1n cos 11

2t sin 1tf

2n2

Gambar 3 : Grafik ekspansi fourier fungsi f pada Contoh 2, masing-masing untuk 2 dan 3 suku pertama.

( )π

+π

=3

2t cos -

2t sin

1

tf

y=f(t)

( )2

t sin 1tf +π

=

Deret Fourier 5

Sifat 1

a. Jika f suatu fungsi ganjil, yaitu f(-x)=-f(x), ∀x maka deret fourier

fungsi f hanya memuat suku-suku sinus saja (konstanta fourier

an=0, ∀n). Deret yang terjadi disebut Deret Sinus.

b. Jika f suatu fungsi genap, yaitu f(-x)=f(x), ∀x maka deret fourier

fungsi f hanya memuat suku-suku cosinus saja (konstanta

fourier bn=0, ∀n). Deret yang terjadi disebut Deret Cosinus.

Contoh 3

1. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(x)=x , -4<x<4.

Penyelesaian

Karena f(-x)=-x=f(x), ∀x berarti f fungsi ganjil, maka menurut

sifat di atas konstanta fourier an=0. Jadi hanya dicari bn saja

( ) L,3,2,1n,n81

4xncos

nx4

4xnsin

n16

21

)parsialegral(intdx 4xnsin x

41 dx

4xnsin f(t)

41b

1n4

022

4

4-

4

4-n

=π

−=

ππ

−π

π=

π=

π=

+

∫ ∫

Diperoleh

∑∞

=

+ π−π

=1n

1n

4xnsin

n)1(8)x(f

Berikut grafik y=f(x) untuk 7 suku pertama:

Gambar 4: Grafik fungsi f dan hasil ekspansi fourier f untuk 7 suku pertama dari Contoh 3

Deret Fourier 6

2. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(t)=4-t2 , -2<t<2

Penyelesaian

Karena f(-t)=4-(-t)2=4-t2=f(t), ∀t berarti f fungsi genap, maka

menurut sifat di atas konstanta fourier bn=0. Jadi hanya dicari

an saja.

( ) ( ) 0n,n161)n(cos

n16 dt

2tncos t-4

21a 22

1n22

2

2-

2n ≠

π−=π

π−=

π= +∫

untuk n=0

( )3

16 dt t-4 21a

2

2-

20 == ∫

Diperoleh

+

π−

π+

π−

π

π+= L

2t4cos

41

2t3cos

31

2t2cos

21

2tcos16

38)t(f 2222

Hasil lain yang diperoleh dari ekspansi fourier f tersebut adalah

jika diambil t=0, maka :

4=

+−+−

π+= L2222 4

131

21116

38)0(f

L+−+−=π

222

2

41

31

211

12

Berikut adalah teorema yang menyatakan syarat cukup

kekonvergenan deret fourier suatu fungsi.

Teorema 1

Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p).

Jika

(a). f periodik dengan perioda 2p

(b). f dan f ′ kontinu sepotong-sepotong (piecewise continue)

pada interval (-p,p)

maka deret fourier fungsi f akan konvergen ke :

1. f(x) , bila f kontinu di x.

2. ( ))x(f)x(f21 −+ + , bila f diskontinu di x.

Deret Fourier 7

Keterangan

Untuk h>0, maka :

( ) ( )hxflim)x(fdanhxflim)x(f0h0h

−=+=→

−

→

+ .

Contoh 4

Diambil ekspansi fourier dari

π<≤−π<<π−

=t0,t

0t,0)t(f , yaitu

( ) ∑∞

=

+

π

−−+

π=

1n2

nntsin

n1ntcos

n)1(1

4tf .

Diperhatikan bahwa f kontinu pada interval (-π,π) kecuali di titik

t=0. Jadi f kontinu sepotong-sepotong pada interval tersebut.

Berdasarkan teorema disimpulkan bahwa deret :

∑∞

=

+

π

−−+

π

1n2

nntsin

n1ntcos

n)1(1

4

konvergen ke f(t) untuk setiap t∈(-π,π)\{0} dan konvergen ke

( ) ( ) π=+π=+ −+21

21

21 0)x(f)x(f

di titik x=0, meskipun f(0) = π ≠ ½ π.

Hingga di sini fungsi yang diperderetkan ke deret fourier adalah

fungsi-fungsi yang terdefinisi pada suatu interval bentuk (-p,p).

Kenyataannya, ada fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval

bentuk (0,p). Untuk memperoleh ekspansi fourier fungsi semacam ini

dapat dilakukan dengan mendefinisikan fungsi f pada interval (-p,0),

sehingga f terdefinisi pada (-p,p). Ada tiga cara yang dapat dilakukan

untuk tujuan ini :

1. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=f(t),

jadi diperoleh suatu fungsi genap pada interval (-p,p). Dengan

demikian f dapat diperderetkan ke Deret Cosinus

Deret Fourier 8

2. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=-f(t),

jadi diperoleh suatu fungsi ganjil pada interval (-p,p). Dengan

demikian f dapat diperderetkan ke Deret Sinus.

3. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(t)=f(t+p).

Dengan demikian f dapat diperderetkan ke deret fourier pada

interval (-p,p).

Deret cosinus atau deret sinus yang diperoleh dengan cara di atas

dikenal sebagai half-range expansions.

Contoh 5

Ekspansikan f(t)=t2 , 0<t<2 ke dalam

(a). Deret cosinus

(b). Deret sinus, dan (c). Deret Fourier lengkap

Penyelesaian

(a). Diambil f(t)=t2 , -2<t<2 yaitu f fungsi genap,

diperoleh deret

( ) ∑∞

=

π−

π+=

1n2

n

2 2tncos

n)1(16

34tf

(b). Diambil

<<

≤<−−=

2t0,t

0t2,t)t(f

2

2 yaitu f fungsi ganjil,

diperoleh deret :

( ) ( )∑∞

=

+ π

−−

π+

−π

=1n

n23

1n

2tnsin1)1(

n2

n)1(8tf

(c). Diambil

<<

≤<−+=

2t0,t

0t2,)2t()t(f

2

2 ,

diperoleh deret

( ) ∑∞

=

π−π

ππ+=

1n2 tnsin

n1tncos

n14

34tf

2 -2

2 -2

2 -2

2

Deret Fourier 9

2.3. Identitas Parseval

Teorema 2:

Bila fungsi f dapat diekspansikan ke dalam deret fourier yang

konvergen seragam (uniformly convergence) ke f(t) pada interval (-

p,p), maka :

( ) ( )∑∫∞

=−

++=1n

2n

2n

202

1p

p

2p1 baadt)t(f

Bukti:

( )

( )

( )∑

∑ ∫∫∫∫

∑

∑

∞

=

∞

= −−−−

∞

=

∞

=

++=

π+

π+=

π+

π+=

π+

π+=

1n

2n

2n

202

1

1n

p

pn

p

pn

p

p02

1p

p

2

1nnn02

12

1nnn02

1

bappa

dtp

tn sin)x(fb dtp

tn cos)t(fadt)t(fadt)t(f

ptn sin)x(f b

ptn cos)t(f a)t(fa)t(f

ptn sin b

ptn cos aa)t(f

terbukti.

Sifat 2:

1. ∫∫ ==π

=π

p

p-

p

p-,3,2,1n,0dx

pxn cos dx

pxn sin L

2. ∫∫

=≠

=ππ

=ππ

p

p-

p

p-nm,pnm,0

dxpxn cos

pxm cosdx

pxn sin

pxm sin

3. 0dxpxn cos

pxm sin

p

p-=

ππ∫

Deret Fourier 10

2.4. Terapan Deret Fourier

Ditinjau balok lurus seragam, panjang L, berbeban w(x) dan

kedua ujungnya ditumpu sederhana (perhatikan gambar 5) dengan

model matematis lendutan :

( )xwdx

ydEI 4

4= ..................................... (∗)

EI adalah angka kekakuan-lentur balok (flexural rigidity).

w(x)

L x

y

Gambar 5 : Balok seragam dengan tumpuan sederhana dan beban w(x)

Mengingat kedua ujung ditumpu sederhana, maka berlaku :

1. Lendutan di titik-titik ujung balok nol, yaitu : y(0)=y(L)=0.

2. Momen (bending momen) di titik-titik ujung balok nol, yaitu :

0dx

yddx

yd

Lx2

2

0x2

2==

==

Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan (∗) dengan deret

Fourier, maka dapat diasumsikan y(x) suatu deret sinus, yaitu

( ) ∑∞

=

π

=1n

n Lxnsinbxy ............................. (∗∗)

Dengan demikian beban w(x) menjadi

( ) ∑∞

=

π

=1n

n LxnsinBxw , dengan ( )∫

π

=L

0dx

Lxnsinxw

L2Bn ........ (∗∗∗)

Jika persamaan (∗∗) dan (∗∗∗) disubstitusikan ke (∗), diperoleh

EIn

BLbLxnsinB

Lxnsinbn

LEI 44

n4

n1n

n1n

n4

4

4

π=⇔

π

=

ππ ∑∑

∞

=

∞

=.

Deret Fourier 11

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Perderetkan fungsi-fungsi berikut ke dalam deret fourier

a. f(x)=x+π , -π<x<π

b. ( )

π<≤−π<<π−

=x0,x

0x,0xf

Kunci : a). ( ) ( )∑∞

=

+−+π=

1n

1nnxsin

n12xf

b). ( ) ( )∑∞

=

+

π

−−+

π=

1n2

nnxsin

n1nxcos

n

114

xf

2. Tinjau suatu balok panjang L dengan kedua ujung ditumpu

sederhana. Bila beban per satuan panjang diberikan oleh

persamaan w(x)=w0x/L, 0<x<L maka diperoleh persamaan

lendutan y(x), yaitu :

Lxw

dxydEI 04

4=

a. Ekspansikan w(x) ke dalam deret sinus

b. Tentukan persamaan lendutan y(x)

Kunci: a). ( ) ∑∞

=

+ π−π

=1n

1n0

Lxnsin

n)1(w2

xw

b). ( ) ∑∞

=

+ π−

π=

1n5

1n

5

40

Lxnsin

n

)1(

EI

Lw2xy

3. Tentukan perioda dasar fungsi periodik berikut

a. f(x)=sin(3πx/4)

b. g(x)=sin(2πx)+3cos(5πx)

4. Diketahui fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda

f(x)=x2 , 0<x<2

Perderetkan fungsi f ke dalam

a) deret Fourier Sinus

b) deret Fourier Cosinus

c) deret Fourier lengkap (sinus dan cosinus)

Deret Fourier 12

5. Diketahui fungsi periodik dengan definisi satu periode :

( )

π<<<<π−

=x0,x

0x,0xf

a). Sketsalah grafik f(x) tersebut

b). Hitung f(-6)+f(6)=....

c). Andai f(x) diperderetkan ke dalam Deret Fourier, apakah

akan menghasilkan Deret Sinus, Deret Cosinus atau bukan

kedua-duanya

6. Buatlah sketsa grafik dan tentukan perioda dasar fungsi-fungsi

periodik berikut :

a. f(x)=sin(2x)

b. g(x)=cos(3x)+1

c. h(x)=2sin(x/2)

7. Pandang grafik fungsi periodik berikut:

(a). Tentukan rumus f(x) pada 0<x<5

(b). Berapakah periode fungsi f di atas?

(c). Hitunglah f(-3)+f(11)=...?

0 2

3

5

y y=f(x)

x