169370552 Atps Calculo III

ATIVIDADES PRÁTICAS

SUPERVISIONADAS

Engenharia de Produção

4ª SérieCálculo III

A atividade prática supervisionada (ATPS) é um procedimento metodológico deensino-aprendizagem desenvolvido por meio de um conjunto de etapasprogramadas e supervisionadas e que tem por objetivos:

Favorecer a aprendizagem. Estimular a co-responsabilidade do aluno pelo aprendizado eficiente e

eficaz. Promover o estudo, a convivência e o trabalho em grupo. Desenvolver os estudos independentes, sistemáticos e o auto-

aprendizado. Oferecer diferentes ambientes de aprendizagem. Auxiliar no desenvolvimento das competências requeridas pelas

DiretrizesCurriculares Nacionais dos Cursos de Graduação.

Promover a aplicação da teoria e conceitos para a solução de problemaspráticos relativos à profissão.

Direcionar o estudante para a busca do raciocínio crítico e a emancipaçãointelectual.

Para atingir estes objetivos a ATPS propõe um desafio e indica os passos aserem percorridos ao longo do semestre para a sua solução.

A sua participação nesta proposta é essencial para que adquira ascompetências e habilidades requeridas na sua atuação profissional.

Aproveite esta oportunidade de estudar e aprender com desafios da vidaprofissional.

AUTORIA:Gesiane de Salles Cardin Denzin

Anhanguera Educacional de Limeira

COMPETÊNCIAS E HABILIDADESAo concluir as etapas propostas neste desafio, você terá

desenvolvido as competênciase habilidades que constam, nas Diretrizes Curriculares Nacionais, descritas a seguir.

Aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à Engenharia.

Projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados. Identificar, formular e resolver problemas de Engenharia.

DESAFIO

O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum = óleo) é um recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamável, geralmente menos denso que a água e que possui uma coloração que varia do incolor até o preto.

Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação. Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e anti-sépticas. Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar gasolina, que serve de combustível para grande parte dos automóveis que circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.

O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a

profundidade em que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar.

A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo no Brasil.Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos, paleontólogos, engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior probabilidade de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de petróleo, inicia-se o projeto para extração

do mesmo. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de Santos.

O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém descoberto.

Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

Objetivo do DesafioEncontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos

engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto.

Produção Acadêmica Resolução passo a passo de todos os exercícios propostos nas

etapas, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de cada alternativa ter sido descartada ou considerada.

Relatório com resultados gerais com os algarismos encontrados, escrevendo os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.

ParticipaçãoPara a elaboração desta atividade, os alunos deverão

previamente organizar-se emEquipes de três a quatro participantes e entregar seus nomes, RAs e e-mails ao professor da

Disciplina. Essas equipes serão mantidas durante todas as etapas.

PadronizaçãoO material escrito solicitado nesta atividade deve ser produzido

de acordo com asNormas da ABNT1, com o seguinte padrão:

Em papel branco, formato A4; Com margens esquerda e superior de 3cm, direita e inferior de

2cm; fonte Times New Roman tamanho 12, cor preta; Espaçamento de 1,5 entre linhas; Se houver citações com mais de três linhas, devem ser em

fonte tamanho 10, com um recuo de 4cm da margem esquerda e espaçamento simples entre linhas;

Com capa, contendo: Nome de sua Unidade de Ensino, Curso e Disciplina; nome e RA de cada participante;

Título da atividade; Nome do professor da disciplina; Cidade e data da entrega, apresentação ou publicação.

Alguns elementos pré-textuais, textuais e pós-textuais, apresentados nessas normas são perfeitamente dispensáveis para o trabalho proposto e devem ser observadas as normas da ABNT para outros aspectos do trabalho.

ETAPA 1 (tempo para realização: 05 horas)

Aula-tema: Integral Definida. Integral Indefinida.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a teoria de integrais indefinidas e definidas, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender o conceito de integral como função inversa da derivada.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.1. Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os

conceitos de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas. Pesquisem também em: livros didáticos, na

Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização da teoria de integrais indefinidas, definidas e cálculo de áreas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das integrais e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.

3. Façam o download do Software Geogebra. Este software servirá de apoio para a resolução de alguns desafios desta etapa. Para maiores informações, visitar as páginas:• GeoGebra. Disponível em:

<http://www.geogebra.org/cms/pt_BR>. Acesso em:22 abr. 2012.

• Curso de GeoGebra. Disponível em: <http://www.youtube.com/playlist?list=PL8884F539CF7C4DE3>. Acesso em: 22 abr. 2012.

Solução Passo 1 (Equipe)

O SURGIMENTO DA INTEGRAL

ResumoMuitas demarcações de terrenos na antiguidade, não eram figuras poligonais. Com o intuito de calcular essasáreas, foram desenvolvidos os estudos sobre integrais. Em seguida, muitos matemáticos dedicaram seusesforços com intensão desenvolver o conceito de integração já não mais somente com o objetivo inicial decalcular áreas. Alguns deles foram Newton-Leibniz, Cauchy, Riemann e Lebesgue os quais serãoapresentados de forma sucinta neste artigo.

1 IntroduçãoO conceito de integral é mais antigo que o de derivada. Enquanto este surgiu no

século XVII, à idéia de integral, como área de uma figura plana ou volume de um sólido, surge e alcança um razoável desenvolvimento com Arquimedes (285-212a.C.) na antiguidade. Naquela época, entretanto, a matemática era muito geométrica, não havia simbologia desenvolvida, portanto, faltavam recursos para o natural desabrochar de um “calculo integral” sistematizado.

Devido a isto, os problemas que se punham eram os de calcular áreas, volumes ecomprimentos de arcos. Por exemplo: suponhamos dada uma função f: [a; b]⟹ IR, limitada no intervalo [a; b]. Admitamos, por simplicidade, que f seja não negativa, isto é, f (x) ≥ 0, ∀ x IR . Consideremos o conjunto S={(x, y) ∈ IR²; a≤ x ≤b, 0 ≤y ≤ f (x)},formadas pelos pontos compreendidos entre os eixos das abscissas, o gráfico de f e as retas verticais x = a e x = b. Qual a área deste conjunto? Em primeiro lugar, é necessário dizer o que significa a “área” de S, e em seguida, tentar calculá-la.

A área de um subconjunto limitado S no plano IR² deve ser um número real.Como defini-lo? Podemos admitir que sabemos calcular a áreas de polígonos e tomar como aproximações por falta deste número as áreas dos polígonos contidos em S. Isto equivale a pôr: a área de S é o supremo das áreas dos polígonos contido em S. Poderíamos também considerar as áreas dos polígonos que contém S como aproximações por excesso para a área de S. Neste caso, definiríamos a área de S como o ínfimo das áreas dos polígonos que contém S. Porém, estes dois métodos de definir a área de S nem sempre conduzem a um mesmo resultado.

Ao considerar a área de um conjunto S podemos, por simplicidade, restringirnossa atenção a polígonos de um tipo especial, que chamaremos de polígonos retangulares, os quais são reuniões de retângulos justapostos cujos lados são paralelos aos eixos x = 0 e y = 0.

Mais particularmente ainda, se o conjunto S é determinado por uma função nãonegativa f: [a; b] →IR, de modo que S={(x, y)∈ IR²; a≤ x≤ b,0≤ y≤ f (x)}, bastaconsiderar os polígonos retangulares formados por retângulos cujas bases inferiores estão sobre os eixos das abscissas e cujas bases superiores tocam o gráfico da função conforme a figura 1.

A área de S, por falta, será definida como integral inferior (figura 1) e a área porexcesso, como integral superior de f.

A teoria da integral desenvolveu-se, segundo as idéias de Newton e Leibniz como o inverso da derivada. Entretanto, Cauchy retornou a concepção de Leibniz com o estudo da integral na classe das funções contínuas em um intervalo [a; b]. De posse da noção de limite definiu integral para uma função contínua em [a; b] representada por:

f (x)dx

Posteriormente o conceito de integral de Cauchy foi estendido à classe dasfunções quase contínuas por Riemann. O passo decisivo na teoria de integral foi dado em 1901 por Lebesgue.

2 Integral De Newton-LeibnizConsidere uma função contínua y = f(x), dado em um intervalo [a; b], salvo seu

sinal neste intervalo (figura 2). A figura, limitada pelo gráfico desta função no intervalo [a; b] e as linhas retas x = a e x = b, é chamado de trapezóide curvilíneo. Para calcular a área de trapezóides curvilíneos a seguinte propriedade é usada: Se f é uma função contínua e não-negativa no intervalo [a; b], e F sua primitiva neste intervalo, então a área A que corresponde à área do trapezóide curvilíneo, é igual a um incremento da primitiva no intervalo [a; b], isto é A = F(b) - F(a).

Considere uma função S(x), em um intervalo [a; b] dado. Se a¿ x ≤ b, então S(x)é a área da parte do trapezóide curvilíneo, que é colocado na esquerda de uma linha vertical reta, passando pelo ponto de coordenadas (x; 0). Note que, se x = a, então S(a) = 0 e se x = b, então S(b) = A (A é a área do trapezóide curvilíneo). Ou seja,

lim∆ x→ 0

S ( x+∆ x )−S (x )∆ x

= lim∆ x → 0

∆ S (x)∆ x

=f (x)

S ' ( x )=f (x)

isto é, S(x) é uma primitiva para f(x). De acordo com a propriedade básica das primitivas, ∀x ∈ [a;b] tem-se S(x) = F(x) + C onde C é alguma constante, F é uma das primitivas para uma função f.

Para encontrar C, substituímos x = a em F(a) + C = S(a) = 0, donde, C = -F(a) eS(x) = F(x)- F(a). Porque a área do trapezóide curvilíneo é igual a S(b), substituindo x = b, temos: A = S(b) = F(b) - F(a)

2.1 Integral DefinidaConsidere uma outra maneira calcular a área de um trapezóide curvilíneo.

Divida um intervalo [a; b] em n segmentos de comprimento iguais por pontos:

x0=a<x1<x2<K<xn−1<xn=b e pondo ∆ x=(b−a)

n=xk−xk−1 onde k = 1, 2, ...,

n-1, n.Cada um dos intervalos [xk−1; xk ¿será a base do retângulo cuja altura é f ( xk −1 ). A área deste retângulo é igual a:

f ( xk −1 ) ∆ x=b−an

f (xk −1)

e as somas das áreas retangulares são:

Sn=b−a

n [ f ( x0 )+ f ( x1)+ K+f ( xk−1 ) ]

Na seguinte figura 1, podemos observar os retângulos os quais tem como base aspartições acima citadas. O primeiro resulta na área inferior e o segundo na área superior:

Em vista da continuidade de uma função f(x) uma união dos retângulos inscritosou que inscrevem o trapezóide, construídos em grande número, isto é, em pequeno ∆x,coincide com o nosso trapezóide curvilíneo, então Sn ≈ A para uma quantidade grande de n. Isso significa que Sn → A quando n → ∞ . Este limite é chamado integral de uma

função f(x) de a até b ou uma integral definida ∫b

a

f ( x )dx , isto é, Sn →∫b

a

f ( x )dx quando

n → ∞ . Os números a e b são chamados limites da integração e f(x)dx o integrando. Assim se f (x)≥0 em um intervalo [a; b] então uma área A correspondente ao trapezóide

curvilíneo é representado pela fórmula: A=∫b

a

f ( x ) dx .

2.2 Fórmula de Newton-LeibnizComparando as duas fórmulas de área de um trapezóide curvilíneo chegamos a

conclusão: se F(x) é uma primitiva para a função f(x) em um intervalo [a; b], então

∫b

a

f ( x )dx=F (b )−F (a ) .

Esta é a famosa fórmula de Newton-Leibniz, válida para toda função f(x), que for contínuanum intervalo [a; b].

3 Integral De CauchyNo século XVIII a derivada era interpretada mais como um operador algébrico

que transformava umas em outras expressões analíticas que representavam as funções. De maneira análoga, a integral definida, embora sabidamente a área sob o gráfico de uma função era interpretada como a diferença de valores de uma mesma primitiva da função.

Assim, calcular uma integral definida significava essencialmente achar uma primitiva, ou seja, transformar algebricamente a expressão analítica de uma função em outra. Como se vê, a ênfase era posta na idéia de função dada por uma expressão analítica. Mas esses conceitos do século XVIII - não só de derivada e integral, como os de funções e continuidade - eram insuficientes para lidar com os novos problemas que surgiam no final do século.

Cauchy foi o primeiro a introduzir a integral analiticamente. Em seu “Ressumée” de 1823 ele define integral como o limite de somas do tipo:

∑i=l

n

f ( x i−l )(x i−x i−1)

Ou seja, quebrou o domínio da integração em subintervalos de tamanho arbitrário por uma divisória (x0 , x1 ,K , xn)e calculou a área como o limite de f ( x0 ) ( x1−x0 )+ f ¿, então quando n aumenta, esta soma se aproxima da área do trapezóide definido sob o gráfico de f, estabelecendo assim sua existência para toda a função contínua. E com essa definição demonstra que toda função contínua num intervalo limitado é integrável (embora em sua demonstração proceda desapercebidamente como se a função fosse uniformemente contínua). Disto resulta que toda função f possui primitiva.

Como se vê, a integral assim definida dispensa com a restrita concepção de que ftenha uma função analítica. Basta que a função f seja contínua para que exista F tal queF'(x) = f (x); F é a integral definida de f num intervalo [a; b].

4 Integral De RiemannGeorg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) estudou em Göttingen, onde

obteve seu doutorado com uma tese sobre funções de variáveis complexas. Após o quecomeçou a se preparar para a “habilitação” (que lhe daria direito de dar aulas na universidade como “Privatdozent”), e para isso tinha de apresentar uma tese. Ele subteu

três trabalhos diferentes, um sobre as séries trigonométricas, outro sobre os fundamentos da geometria e um terceiro em Física-Matemática. A comissão de exame, presidida por Gauss, escolheu ouvi-lo sobre os fundamentos da geometria. Diz-se que Gauss saiu do exame elogiando o trabalho de Riemann, o que dá a medida do novo talento, já que Gauss não era muito dado a elogios. Esse trabalho de Riemann, diga-se de passagem, é aquele que lançava os fundamentos de uma nova disciplina, a Geometria Riemanniana.

Riemann foi aluno de Dirichlet, num curso sobre teoria dos números em Berlin, e por ele nutria grande admiração. Em 1852 Dirichlet esteve visitando Göttingen, quando novamente dele se aproximou. Desta vez, engajado que estava na preparação de seu trabalho sobre as séries trigonométricas, teve, nesse assunto, a influência direta e o estímulo de Dirichlet. Ao que parece, foi esse mesmo ano que Riemann concluiu o referido trabalho, cuja publicação (por Dedekind), todavia só ocorreu em 1867, após sua morte.O ponto de partida de Riemann é a questão não resolvida por Dirichlet em 1829: o que significa dizer que uma função é integrável? Ao contrário de Cauchy, que se restringiu, em suas considerações, a funções que são contínuas, ou, no máximo, seccionalmente contínuas, Riemann não faz outra hipótese sobre a função a ser integrada, além daexigência de que suas “somas de Riemann”, convirjam. E estabelece, a partir daí, critériospara a integrabilidade que caracterizam completamente a classe das funções integráveis.Para isso, Riemann particionou o intervalo [a; b] num conjunto finito de pontoscomo já citados anteriormente. Só que nesse caso, os retângulos formados, não precisavam ter a mesma base, ou seja, a amplitude do intervalo [ xi−l ; x i] , indicada por ∆ x i=xi−xi−l, podiam ou não ser diferentes. Essas partições determinam uma decomposição da área S em polígonos retangulares. Isto nos motiva a noção de soma inferior ou de soma superior associado a esta partição de [a; b]. Esta mesma idéia que vimos na figura 3.

A soma inferior é o supremo dos polígonos contidos em S, ou seja, o maior deles. Denotada por s(f, P), como sendo

s ( f , P )=∑i=0

n

mi(x i−x i−l)

onde mi=inf {f ( x ) ; xi−l ≤ x ≤ xi }.E a soma superior é o ínfimo dos polígonos que contém S, o menor deles e é

denotada por S(f, P), como sendo

s ( f , P )=∑i=0

n

M i(x i−x i−l)

onde M i=f {f ( x ); x i−l ≤ x ≤ x i }.

“As duas somas definidas acima, são as chamadas somas de Darboux-Riemann”.Define assim a integral de Riemann, f uma função definida em [a; b], L umnúmero real e c i∈[x i−l; x i] . Dizemos que:

∑i=l

n

f (ci¿)∆ x i¿

tende a L, quando max ∆ x i →0 e escrevemos

limmax ∆x1 →0

∑i=l

n

f (c i)∆ x i=L

se, para todo ε>0, existir um δ >0 que só dependa de ε mas não da particular escolha dos ci, tal que:

¿∑i=l

n

f ( c i ) ∆ xi−L∨¿ ε

para toda partição P de [a; b], com max ∆ x i<δ . Tal número L, que quando existe é

único, denomina-se integral (de Riemann) de f em [a; b] e indica-se por ∫b

a

f ( x )dx .

Então por definição:

∫b

a

f ( x )dx= limmax∆ xi → 0

∑i=l

n

f ( ci ) ∆ x i=L

Se ∫b

a

f ( x )dxexiste, então diremos que f é integrável (segundo Riemann) em [a; b]. É

comum referir-se a ∫b

a

f ( x )dxcomo integral definida de f em [a; b].

Mas então, quando uma função é integrável a Riemann? Vejamos dois critérios:Primeiro Critério: f: [a; b]→ IR uma função limitada em [a; b]. Então f é integrável se, e somente se, para qualquer ε>0 dado, existir uma partição P do intervalo [a; b] tal que:

S ( f ; P )−s (f ; P)<ε

isto é, a diferença entre as somas é mínima. Segundo Critério: Uma condição necessária e suficiente para que uma função f, definida e limitada num intervalo [a; b], seja integrável, é que seus pontos de descontinuidades formem um conjunto de intervalos cujo comprimento é menor que ε .

As demonstrações dadas por Riemann em seu trabalho contêm várias lacunas;muitas passagens só podem ser justificadas a luz de resultados sobre continuidades econvergência uniformes, e na época de Riemann esses conceitos ainda não tinham sidodefinitivamente identificados e incorporados a matemática. Aliás, isto é motivo paraadmirarmos ainda mais as realizações de Riemann. Essas lacunas foram logo preenchidaspor outros matemáticos.

5 Integral de LebesgueHenri Lebesgue nasceu na cidade francesa de Beauvais, em 28 de junho de 1875.

Durante toda a sua vida, ocupou vários postos docentes nas universidades de Rennes ePoitiers, até que se tornou professor do Colégio da França. Pela década de 1920, Lebesgue foi reconhecido como um dos mais destacados matemáticos de sua época e eleito membro das mais prestigiosas sociedades científicas de sua época, como a Academia de Ciências de París e a Sociedade Matemática de Londres. Desenvolveu notáveis trabalhos nos campos da topologia e sobre as séries numéricas aplicadas aos

teoremas da conservação da energia. Sua principal obra corresponde as suas investigações sobre as integrais.

Em 1901, Lebesgue publicou uma nota na qual propõe um novo conceito deintegral contendo como caso particular a de Riemann, consequentemente a de Cauchy,eliminando várias deficiências dessas integrais, e em particular, dando uma resposta mais geral sobre a validade da fórmula de Newton-Leibniz. Este novo conceito permitiu estender a classe das funções integráveis.

Uma forma simples de ilustrar a diferença entre a integral de Lebesgue e a deRiemann é a seguinte analogia: Suponhamos que temos um saco cheio moedas (digamos reais!) e que pretendemos saber quantos reais temos no saco. Podemos contar estas moedas de duas formas distintas: (i)Retiramos as moedas uma a uma do saco e vamos adicionando os seus valores; (ii) Agrupamos as moedas do saco pelos seus valores, formando um grupo de moedas de 5 centavos, outro grupo de 10 centavos, etc. Contamos as moedas em cada grupo, multiplicamos pelos seus valores e somamos;

A segunda forma de contagem (que corresponde ao integral de Lebesgue) é muito mais eficiente do que a primeira forma de contagem (correspondente ao integral de Riemann), embora ambas forneçam o mesmo valor, claro. Note-se que para descrever (ii) tivemos de usar uma linguagem um pouco mais elaborada do que para descrever (i).A definição da integral de Lebesgue também envolve de fato um pouco mais deconceitualização do que a definição da integral de Riemann, mas por fim as funçõesintegráveis a Riemann também são integráveis a Lebesgue e o valor do integral e o mesmo.

Para a definição da integral de Riemann, foi necessário tomarmos uma função f(x) fosse limitada. Se não fosse limitada se generalizava a Integral mediante a soma de seus limites. Com a diversidade com que se apresentam em muitas exposições da teoria de Lebesgue, o caso das funções limitadas ou não, desaparecem com a definição anterior, pois não são necessárias. A integral de Lebesgue permite reformular muitos conceitos de análise matemática de modo muito mais claro e natural. Houveram outros matemáticos que desenvolveram algumas teorias sobre integrais, algumas muito semelhantes, mas foi através de Riemann e Lebesgue que se pode ver a grande importância do estudo das figuras no desenvolvimento das integrais. Desenvolvimento esse que se deu de forma graduada e que até continuam sendo estudados.

ReferênciasLUMINÁRIA, n. 9, volume 1 / 2008

Passo 2 (Equipe)

Leiam os desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

Solução do Desafio A (Equipe)

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C(q) 1000 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

(a) C(q) 10.000 1.000q 25q2

(b) C(q) 10.000 25q 1.000q2

(c) C(q) 10.000q2

(d) C(q) 10.000 25q2

(e) C(q) 10.000q q2 q3

Solução do Desafio B (Equipe)

Desafio CNo início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado paraC(t) é dado por: C(t) 16,1e^ 0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo(e) Nenhuma das alternativas

Solução do Desafio C (Equipe)

u=0,07 . t

du=0,07 . dtdu

0,07=dt

Desafio D

A área sob a curva y e^x/2 de x 3 a x 2 é dada por:

(a) 4,99 (b) 3,22 (c) 6,88 (d) 1,11 (e) 2,22

Solução do Desafio D (Equipe)

Passo 3 (Equipe)

Marquem a resposta correta dos desafios A, B, C e D, justificando através dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).Associem o número 7, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio B:


Para o desafio C:

Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).

Associem o número 9, se a resposta correta for a alternativa (d).Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).

Para o desafio D:


Solução do Passo 3 (Equipe)

Para o desafio A, número: 1Para o desafio B, número: 0Para o desafio C, número: 1Para o desafio D, número: 9

Passo 4 (Equipe)

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 1 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a seqüencia dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.


A seqüência de números encontrada foi: 1019


Aula-tema: Integração por Substituição. Integração por Partes.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, a técnica de integração por substituição e por partes, desenvolvida previamente em sala de aula pelo professor da disciplina. Você também irá aprender a resolver vários tipos de integrais com suas respectivas peculiaridades.

Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)

Façam as atividades apresentadas a seguir.Leiam atentamente o capítulo do livro-texto que descreve os conceitos de integração por partes e por substituição. Pesquisem também em: livros didáticos do Ensino Superior, naInternet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração por partes e por substituição.

1. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das técnicas de integração trabalhadas nesta etapa e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.


Conceitos de Integração por Partes e por Substituição.

- Elementos Históricos e Conceitos.

Os conceitos básicos sobre a Integração deu-se no acoplamento do método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 a.C.), que posteriormente foi desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.) com técnicas de cálculos da áreas irregulares e volumes que variam entre o extremo e o mínimo, sendo complementado posteriormente com os conceitos colocados em práticas por Isaac Newton (1642-1727) e também por Wilhelm Leibniz (1646-1716) que, historicamente, criaram o Cálculo Diferencial e Integral. Estes estudos baseiam-se na obtenção da área de uma figura plana irregular que nos dá também a possibilidade de obter o volume de um sólido tal como o de um barril. As integrais possuem definições internas em seus conceitos, temos as “Integrais Definidas” e as “Integrais Indefinidas”, com isto, adquirimos alguns métodos de resolução destas mesmas, tratando-se de da “Integração por Partes” e a “Integração por Substituição”.

• A “Integração por Partes” nada mais é do que um método que nos permite mostrar a integral de um produto de determinadas funções em outra integral, por isto a origem deste nome “Integração por Partes”, pois, é possível ser vista como uma versão integrada da regra do seu produto. Como todo conceito, uma formula é típica deste seguimento onde as “u” e “v” são funções consideradas de classe C em um intervalo onde temos: Tendo isto em vista, entendemos que são diferenciáveis e consequentemente suas derivadas são contínuas entre os termos a e b. A fórmula completa que descreve a “Integração por partes” é:

Uma demonstração da aplicação da Integração através da regra do produto pode ser obtida também através de uma sequencia lógica de resolução da uma Integral, como acompanhamos no exemplo a seguir:

Diante disto, é feita a integração da expressão entre a e b, teremos:

Para concluir o raciocínio dos cálculos, aplicamos o teorema fundamental do cálculo, ou seja:

• A “Integração por Substituição” consiste basicamente na ideia de transformar uma integral cujo resultado final é desconhecido em uma integral que já seja de um conhecimento prévio. Primeiramente para poder fazer este tipo de Substituição deve-se ter a certeza de que as duas integrais são equivalentes, caso contrário, é impossível fazer pelo método de substituição. Este tipo de integral funciona através da Regra da Cadeia para integrais de funções. Para entender com precisão esta aplicação entendemos a seguinte expressão como:

A substituição consiste em uma aplicação simples de uma mudança de variáveis de sua expressão, tal como u = g(x), onde g(x) sai como uma função qualquer contínua dentro do domínio da integração, dando por consequência a expressão: = .Este tipo de aplicação da Regra da Cadeia é extremamente útil para quando a função deve ser integrada e pode ser representada como um dos produtos das funções, onde uma nada mais é do que a derivada da outra, deferindo-se por uma constante. É válido lembrar que nem sempre o método da Substituição adequada é vidente, muitas vezes é preciso aplicar substituições pouco intuitivas, tal como as substituições através das Funções Trigonométricas.

Passo 2 (Equipe)Considerem as seguintes igualdades:

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa(d) (I) e (II) são falsas


Passo 3 (Equipe)

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 4, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o número 3, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (d).


Passo 4 (Equipe)

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 2 com as seguintes informações organizadas:1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.



Aula-tema: Cálculo de Área.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo de área, usando a teoria de integrais para tanto.Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)


conceitos de cálculo de área, usando teoria de integrais para isso. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet e em outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicas de integração na resolução de exercícios que envolvam área obtida por duas ou mais curvas.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular área gerada por duas ou mais curvas e elaborem um texto dissertativo, contendo as principais

informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisa será imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.


Passo 2 (Equipe)

Leiam o desafio abaixo:Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As

áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa(d) (I) e (II) são falsas


Passo 3 (Equipe)

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (b).

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).


Passo 4 (Equipe)

Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 3 com as seguintes informações organizadas:1. Os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;2. A sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.



Aula-tema: Volume de Sólido de Revolução.

Esta etapa é importante para você fixe, de forma prática, como se dá o cálculo do volume de um sólido de revolução, usando a teoria de integrais para tanto.Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 (Equipe)


conceitos de cálculo dovolume de um sólido de revolução. Pesquisem também em: livros didáticos, na Internet eem outras fontes de livre escolha, informações ligadas ao estudo e utilização das técnicasde integração no cálculo de volume.

2. Façam um levantamento sobre a história do surgimento das desta forma de calcular ovolume de um sólido de revolução e elaborem um texto dissertativo, contendo asprincipais informações encontradas com a pesquisa realizada no passo 1. Essa pesquisaserá imprescindível para a compreensão e realização dos próximos passos.


Cálculo de volumes de sólidos deRevolução

1) Volume por seções transversaisSe um sólido R tem seção transversal dada por A(x) com a≤ x ≤ b, o volumedo sólido é dado por

V=∫a

b

A ( x ) dx−eixoOX

Veja as figuras 1 e 2.

Figura 1:

Do mesmo modo, se um sólido R tem seção transversal dada por A(y) comc ≤ y ≤ d, o volume do sólido é dado por

V=∫c

d

A ( y )dy−eixoOY

Figura 2:

2) Sólidos de revolução: discos e cascas

Seja a região R abaixo do gráfico de f : [a; b] → R, o volume obtido pela rotaçãode R em torno de OX é dado por

V=∫a

b

π [ f (x)]2 dx−eixo O X

Note que neste caso, a seção transversal é dada por A=π [ f (x) ]2, vejafigura 3.No caso de x = g(y); c ≤ y ≤ d; e rotação no eixo OY, veja figura 5, tem-se

V=∫c

d

π [ g( y )]2dy−eixo OY

Exemplo: determine o volume do sólido obtido pela revolução da região sobo gráfico de y = √x e limitada pela reta x = 2:

V=π∫0

2

[ f (x)]2 dx=π∫0

2

xdx=2π .

Exemplo: determine o volume do sólido obtido pela revolução da regiãolimitada pelo grá.co de y = x e pelas retas y = 2 e x = 0:

V=π∫0

2

[ g( y )]2dy=π∫0

2

y2 dy= π3

.

Figura 3:

Figura 4:

2.1 Revolução de região entre duas curvas

Considere a região R entre as curvas y = f(x) e y = g(x) e limitada pelas retasx = a e x = b: Veja .figura 6.Queremos determinar o volume obtido pela rotação dessa região em tornodo eixo OX. Podemos fazer isso, calculando cada um dos volumes e realizandoa subtração, onde obtemos:

V=π∫a

b

[ f (x)]2−[ g ( x ) ]2dx−eixoOX

Exemplo: considere f(x) = √x e g(x) = x3 e a região entre elas e a retax = 1. Calcule o volume da rotação dessa região em torno do eixo OX. Veja

Figura 5 e 6:

V=π∫a

b

[ f (x)]2−¿ [ g(x )]2dx=π∫0

1

[ √ x ]2−¿ [ x3 ]2 dx=π∫0

1

x−¿x6 dx=2 π14

¿¿¿

Se a mesma região é rodada em torno do eixo OY

V=π∫a

b

[ F ( y) ]2−¿ [G( y)]2 dy=π∫0

1

[ y1/3 ]2−¿ [ y2 ]2dx=π∫0

1

y2 /3− y 4 dx=2 π5

¿¿

Figura 7:

3) Volume pelo método das cascas cilíndricas

Suponha que temos uma região sob o gráfico de f : [a; b] → R e queremos obtero volume obtido pela rotação de R em torno do eixo OY. O volume é dado por:

V=2 π∫a

b

xf (x ) dx

Rodando em torno do eixo OX, temos:

V=2 π∫c

d

yg ( y ) dy

Passo 2 (Equipe)

Considerem os seguintes desafios:

Desafio A

A área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo x, da curva dada por:

Está correta essa afirmação?


Desafio B

Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta y2 , da região R delimitada pelos gráficos das equações:

(a)3,26 u.v. (b) 4,67 u.v. (c) 5,32 u.v. (d) 6,51 u.v. (e) 6,98 u.v.


Passo 3 (Equipe)

Resolvam o desafio A, julgando a afirmação apresentada como certa ou errada. Os cálculos realizados para tal julgamento devem ser devidamente registrados.Marquem a resposta correta do desafio B, justificando por meio dos cálculos realizados, o porquê de uma alternativa ter sido considerada.

Para o desafio A:

Associem o número 4, se a resposta estiver certa.Associem o número 9, se a resposta estiver errada.


Para o desafio B:

Associem o número 8, se a resposta correta for a alternativa (a).Associem o número 5, se a resposta correta for a alternativa (b).Associem o número 1, se a resposta correta for a alternativa (c).Associem o número 2, se a resposta correta for a alternativa (d).

Associem o número 0, se a resposta correta for a alternativa (e).


Passo 4 (Equipe)Entreguem ao professor, para cumprimento dessa etapa um relatório com o nome de Relatório 4 com as seguintes informações organizadas:

1. os cálculos e todo raciocínio realizado para a solução do passo 3;

2. a sequência dos números encontrados, após a associação feita no passo 3.

3. colocar na ordem de realização dos desafios, os números encontrados indicando por meio da sequência montada, os milhões de metros cúbicos que poderão ser extraídos do novo poço de petróleo recém descoberto pela empresa Petrofuels.


Livro Texto da Disciplina

HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs.); MCCALLUM, William G (orgs.) et al. Cálculo de Uma Variável. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos, 2004, v.1.

Documents

169370552 Atps Calculo III