15 - Shackelford 6ta Ed. Cap. 15

5/27/2018 15 - Shackelford 6ta Ed. Cap. 15

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Conduccin elctrica

15.1.15.2.15.3.

15.4.

15.5.15.6.15.7.

Portadores de carga y conduccin

Niveles y bandas de energa

Conductores

Termopares

Superconductores

Aislantes

Ferroelctricos

PiezoelctricosSemiconductores

Materiales compuestos

Materiales: clasificacin elctrica

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5 2 4 INTRO DUCC IN A LA CIENCIA DE MATERIALES PARA INGENIEROS

En el Captulo 2 se explic cmo el enlace atmico poda servir de base para hauna clasificacin de los materiales de ingeniera. En este captulo se acudir a upropiedad especfica de los materiales para reforzar la clasificacin, la conduccelctrica. Esto no debe extraar, como consecuencia de la naturaleza electrndel enlace atmico. La conduccin elctrica es el resultado del movimiento de

portadores de carga (como los electrones) dentro del material. Una vez ms se ne un ejemplo de que la estructura condiciona las propiedades. En el Captulo 6explic cmo la estructura atmica y microscpica son la causa de varias propdades mecnicas y pticas. Las propiedades elctricas provienen de la estructelectrnica.

La facilidad o dificultad con que tiene lugar la conduccin puede ser entendretomando el concepto de los niveles de energa introducidos en el Captulo 2. los materiales slidos, los niveles discretos de energa dan lugar a las bandas energa. Es el espacio relativo entre esas bandas (en una escala de energa) lo qdetermina la magnitud de la conductividad. Los metales, con altos valores de c

ductividad, se denominan conductores. Las cermicas, vidrios y polmeros, cpequeos valores de conductividad, se denominan aislantes.Los semiconductorcon valores intermedios de conductividad, se definen mejor por la naturaleza nde su conduccin elctrica.

15.1. PORTADORES DE CARGA Y CONDUCCION

La conduccin elctrica en los materiales tiene lugar por medio de especies indi

duales, de escala atmica, denominadas portadores de carga. El ejemplo msimple de portadores de carga es el electrn, una partcula con una carga negatde 0.16 x 1018 C (vase la Seccin 2.1). El hueco electrnico es un concems abstracto, y consiste en la ausencia de un electrn en una nube de electronLa ausencia de la carga negativa del electrn da al hueco electrnico una ca

positiva efectiva de 0.16 x 1018 C en relacin con su entorno. Los huecos eltrnicos juegan un papel primordial en el comportamiento de los materiales seconductores y sern descritos con detalle en la Seccin 15.5. En los materiainicos, los aniones pueden servir como portadores de carga negativa y los canes como portadores de carga positiva. Como se vio en la Seccin 2 2 , la valen

_ t ode cada ion indica la carga, positiva o negativa, en mltiplos de 0.16 x 10

En la Figura 15.1 se muestra un sencillo mtodo para medir la conduccelctrica. La intensidad de corriente, I,que circula por un circuito con una retencia, R,y un voltaje, V, fijos, viene dada por la ley de Ohm1,

V = IR, (15

1 Georg Simn Ohm (1787-1854), fsico alemn. Public por primera vez la Ecuacin 15.1finicin de resistencia llev a la denominacin de la unidad de medida de la misma en su honor.

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COND UCCIN ELCTRICA 5

donde V se da en voltios2, / en amperios3 (1 A = 1 C/s) y R en ohmios.El valor de la resistencia depende de la geometra de la muestra; Raumentacon la longitud, /, y disminuye con el rea, A.Como consecuencia, se define una propiedad caracterstica de un determinado material e independientede la geometra del mismo, la resistividad, p :

RAp =y . (15.2)

Las unidades de la resistividad son f-m. Una propiedad de los materialesigualmente til es el recproco de la resistividad, la conductividad, a,donde

Resistencia vari

O= (15.3)

con unidades de l1 m 1. La conductividad ser el parmetro ms con

veniente para establecer una clasificacin elctrica de los materiales (Seccin 15.7).

La conductividad es el producto de la densidad de portadores de carga,n, la carga de stos, q, y la movilidad de cada portador, p:

(7 = nqp. (15.4)

Las unidades de n son m~3, la de q el culombio, y m2/(V*s) la de p. Lamovilidad es la velocidad media de los portadores (velocidad de deriva),v, dividida entre el campo elctrico, E:

- i

H

iLongitud, /

Figura 15.1. Esquema de uncircuito para la medida de laconductividad elctrica. Lasdimensiones de la probeta hacenreferencia a la Ecuacin 15.2.

(15.5)

La velocidad de deriva se indica en unidades de m/s, y el campo elctrico (E= V/)en V/m.

Cuando contribuyen a la conduccin tanto portadores de carga positivos comonegativos, la Ecuacin 15.4 debe desarrollarse para tener en cuenta ambas contri

buciones:

O= nqn + npqp (15.6)

Los subndices n yp hacen referencia a los portadores de carga negativos y posi

tivos, respectivamente. Para los electrones, huecos electrnicos e iones monovalentes, el valor de q es 0.16 x 1018 C. Para iones multivalentes, el valor es|ZJ x (0.16 x 10 18 C), donde \Z \ es la valencia (por ejemplo, 2 en el O2 ).2-

2 Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta (1745-1827), fsico italiano, hizo las mayoresaportaciones al desarrollo y comprensin de la electricidad, incluyendo la primera batera o fuente devoltaje.

3Andr Marie Ampere (1755-1836), matemtico y fsico francs, otro de los mayores impulsoresde la electrodinmica (trmino que l acu).

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En la Tabla 15.1 se proporcionan los valores de la conductividad de una aplia gama de materiales de ingeniera. Es evidente que el valor de la conductividlleva a distinguir diferentes categoras de materiales, consecuentes con los tipque se delinearon en los Captulos 1 y 2. Al final de este captulo se describir detalle este sistema de clasificacin elctrica, pero antes es necesario analizar

naturaleza de la conduccin elctrica para entender por qu la conductividad vaen ms de 20rdenes de magnitud entre los diferentes materiales de uso comningeniera.

Tabla 15.1. Conductividad elctrica, a temperatura ambiente, de algunos materiales.

Tipo deconduccin

Material Conductividad,(OT1 m *)

Conductores Aluminio (recocido) 35.36 x 106Cobre (recocido) 58.00 x 106Hierro (99.99 + %) 10.30 x 106Acero (cable) 5.71-9.35 x 106

Semiconductores Germanio (alta pureza) 2.0Silicio (alta pureza) 0.40 x 10-3Sulfato de plomo (alta pureza) 38.4

Aislantes Oxido de aluminio 01O

1O113

Vidrio de borosilicato 1013Polietileno 10 I3-10 IS

Nylon 66 10_ l2-10~13

Fuente: Datos de C. A. Harper, Ed., Handbook o f Ma terials an d Processes fo r ElectronMcGraw-Hill Book Company, NY, 1970; y J. K, Stanley, Electrical and Magnetic Propertie

Metals, American Society for Metals, Metals Park, OH, 1963.

EJEMPLO 15.1

Un hilo (1 mm de dimetro por 1 m de longitud) de una aleacin de aluminio (qcontiene un 1.2 por ciento de Mn) se coloca en un circuito elctrico como el deFigura 15.1. A lo largo de la longitud del hilo se mide una cada de potencial432 mV cuando circula una intensidad de 10 A. Calclese la conductividad de ealeacin.

Solucin

Segn la Ecuacin 15.1,

V 432 X 1(T3 V ,R = - = -------------------= 43.2 x l(T3 a

/ 10 A


RA (43.2 x K T 3 fi)[>(0.5 x 103 m)2]

/ 1 m= 33.9 x 109 fi m.

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COND UCCIN ELCTRICA # 5


1 1 a , ia = ~ = ------------- i r r ---- = 29.5 x 106 l "1-m "1.

p 33.9 x 10 9 f -m

EJEMPLO 15.2

Suponiendo que la conductividad del cobre, dada por la Tabla 15.1, es debida porcompleto a los electrones libres [con una movilidad de 3.5 x 103m2/(V s)], calclese la densidad de los electrones libres del cobre a temperatura ambiente.

Solucin



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EJEMPLO 15.4

Calclese la velocidad de deriva de los electrones libres del cobre, cuando es metido a un campo elctrico de 0.5 V/m.

Solucin


v = fiE = [3.5 X 1 0 m2/(V s)](0.5 V - m _1) = 1.75 x 103 m/s.

PROBLEMA 15.1

(a) El hilo descrito en el Ejemplo 15.1 experimenta una cada de voltaje d432 mV. Calclese la cada de voltaje que sufrir un hilo de la misma aleacicon 0.5 mm de dimetro x 1 m de longitud, por el que circula tambin una corriente de 10 A. (b) Reptase la parte (a) para un hilo de 2 mm de dimetro.

PROBLEMA 15.2Cuntos electrones libres habr en un carrete de hilo de cobre de alta purez(1 mm de dimetro x 10 m de longitud)? (Vase el Ejemplo 15.2.)

PROBLEMA 15.3

En el Ejemplo 15.3, se compar la densidad de los electrones libres del cobcon la densidad de tomos. Cuntos tomos de cobre habr en el carrete dhilo que se describi en el Ejemplo 15.2?

PROBLEMA 15.4

En el Ejemplo 15.4 se calcul la velocidad de deriva de los electrones libres dcobre. Cunto tiempo tardar un electrn libre en recorrer el carrete de hidescrito en el Ejemplo 15.2, bajo un gradiente de voltaje de 0.5 V/m?

15.2. NIVELES Y BANDAS DE ENERGA

En la Seccin 2.1 se vio cmo las rbitas de electrones de un tomo aislado esasociadas con niveles discretos de energa (Figura 2.3). Ahora, se ver un ejemsimilar. La Figura 15.2 muestra un diagrama de niveles de energa para un toaislado de sodio. Como se indica en el Apndice 1, la configuracin electrnica

\s12s22p63sl. El diagrama de niveles de energa indica que en realidad hay trbitas asociadas con el nivel de energa 2p y que cada una de las rbitas \s ,22p estn ocupadas por dos electrones. Esta distribucin de los electrones en rbitas es una manifestacin del principio de exclusin de Pauli4, importa

4 Wolfgang Pauli (1900-1958), fsico austraco-estadounidense que hizo una gran contribudesarrollo de la fsica atmica. En gran medida, la comprensin (proporcionada por el principio declusin) de la ocupacin de la capa exterior de electrones permite entender el orden de la tabla perica. Estos electrones de la capa exterior desempean un importante papel en las caractersticas qumde los elementos.

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concepto de la mecnica cuntica que indica que dos electrones no pueden ocuparel mismo estado. Cada lnea horizontal que se muestra en la Figura 15.2 representauna rbita diferente (un nico conjunto de tres nmeros cunticos). Cada una deestas rbitas puede ser ocupada por dos electrones debido a que estn en dos estados diferentes; esto es, los electrones tienen espines opuestos o antiparalelos (que

representan diferentes valores de un cuarto nmero cuntico). La rbita exterior(3s) est semiocupada (ocupada por un solo electrn). Mirando el Apndice 1, seobserva que el siguiente elemento en la tabla peridica (Mg) llena la rbita 3scondos electrones (los cuales, por el principio de exclusin de Pauli, tendran espinesopuestos).

Considrese a continuacin una hipottica molcula de sodio de cuatro tomos,Na4 (Figura 15.3). Los diagramas de energa de los electrones del ncleo del tomo (1s ^ ls ^ p 6) no presentan cambios. Sin embargo, los cuatro electrones de lasrbitas extemas estn afectados por el principio de exclusin de Pauli, ya que loselectrones deslocalizados son ahora compartidos por los cuatro tomos de la molcula y, por tanto, estos electrones no pueden ocupar una nica rbita. El resultadoes una divisin del nivel de energa 3s en cuatro niveles ligeramente diferentes.Esto hace nico a cada nivel y satisface el principio de exclusin de Pauli. Es posible que la divisin produzca slo dos niveles, cada uno de ellos ocupado por doselectrones con espn opuesto. De hecho, el emparejamiento de electrones en un determinado orbital tiende a ser retrasado hasta que todos los niveles de una determinada energa tienen un nico electrn. Esto se conoce como regla de Hund5. Otroejemplo es el nitrgeno (elemento 7), que tiene tres electrones 2p, cada uno en unorbital diferente de igual energa El emparejamiento de dos electrones 2p de espnopuesto en un nico orbital no tiene lugar hasta el elemento 8 (oxgeno). El resultado de esta divisiones una estrecha bandade niveles de energa que se correspon

de con lo que fue un solo nivel 35 en el tomo aislado. Un aspecto importante enesta estructura electrnica es que, al igual que en el nivel 3s del tomo aislado, labanda 3sde la molcula de Na4est medio llena. Como resultado, la movilidad delelectrn entre tomos adyacentes es bastante alta.

Una sencilla extensin del efecto observado en la hipottica molcula de cuatro tomos se puede ver en la Figura 15.4, en la cul un gran nmero de tomos de

3 2

2

1

otomo aislado deFigura 15.2.Diagrama de nivede energa para utomo de sodioaislado.

Figura 15.3. Diagrama de los niveles de energa de una hipottica molculade Na4. Las cuatro rbitas externas, rayadas, estn desdobladas en cuatroniveles de energa ligeramente distintos, tal y como predice el principio de

cclusin de Pauli.

ooooHipottica molcula de Na4

5 F. Hund, Z Physik 42, 93 (1927).

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5 3 0 INTRODUCCIN A LA CIENCIA DE MATERIALES PARA INGENIEROS

Figura 15 .4. Diagrama de losniveles de energa del sodio slido.Los niveles discretos de energa 3sde la Figura 15.2 han dado lugar a unbanda de energa pseudocontinua(semillena). De nuevo, se predice el

desdoblamiento del nivel 3 sdeenerga mediante el principio deexclusin de Pauli.

N a s l id o

sodio estn unidos por enlaces metlicos para producir un slido. En este slmetlico, los electrones del ncleo del tomo tampoco estn directamente invocrados en el enlace, y sus diagramas de energa permanecen esencialmente cambios. Sin embargo, el gran nmero de tomos involucrados (del orden del mero de Avogadro) produce un gran nmero de divisiones de los niveles de enga de las rbitas exteriores (35). El intervalo total de valores de energa para diferentes rbitas 35no es muy grande. Por el contrario, la distancia entre las r

tas adyacentes 35 es extremadamente pequea. El resultado es una banda energa pseudocontinua correspondiente al nivel de energa 35 del tomo aislaComo ocurra con el tomo aislado de Na y la hipottica molcula Na4, la bande energa del electrn de valencia en el slido metlico est medio llena, lo qpermite una gran movilidad de los electrones de las rbitas extem as a travs slido. Por ser debida a los electrones de valencia, la banda de energa de la Fig15.4 se denomina tambin banda de valencia. Una importante conclusin es qlos metales son buenos conductores elctricos porque su banda de valencia e

parcialmente ocupada. Esta afirmacin es vlida, aunque la naturaleza de la bande valencia parcialmente llena es diferente en algunos metales. Por ejemplo, en

Mg (elemento nmero 12), hay dos electrones35

que llenan la banda de energsemiocupada en el Na (elemento nmero 15). Sin embargo, el Mg tiene vaca ubanda ms alta, que se solapa con la llena. El resultado es una banda de valenparcialmente llena.

Es posible tener una visin ms detallada de la naturaleza de la conduccelctrica en los metales considerando cmo vara la banda de energa con la teperatura. La Figura 15.4 presupone que los niveles de energa en la banda de lencia estn completamente llenos hasta la mitad de la banda y completamente cos por encima. De hecho, esto es cierto slo a la temperatura del cero absol(OK). La Figura 15.5 ilustra este aspecto. La energa del estado ocupado ms a

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Bandade valencia

Figura 15.5. La funcin de Fermi, f(E), describe el llenadode los niveles de energa. A OK, todos los niveles de energa

por debajo del nivel de Fermi, EF,estn completamentellenos, y por encima, completamente vacos.

E

EfB a n da

de valen

-/()

Figura 15.6. A T> 0 K, la funcin de Fermi, f(E), indicascenso de algunos electrones por encima de EF.

en la banda de energa (a 0 K) se denomina nivel de Fermi6 (EF). El grado conque se llena un determinado nivel de energa viene dado por la funcin de Fermi,

f(E ). Representa la probabilidad de que un determinado nivel de energa, E, estocupado por un electrn y puede, por tanto, tomar valores entre 0 y 1. A 0 K, /( )es igual a 1 por debajo de EF y 0 por encima. Este caso lmite (0 K) no conllevaconduccin elctrica, dado que los niveles de energa por debajo de EF estn llenos. Para que existiese conduccin sera necesario incrementar la energa de los

electrones hasta un nivel por encima de EF(niveles vacos). Este aumento de energa requiere alguna fuente de energa extema. Una forma de proporcionar esaenerga es por medio de energa trmica obtenida tras calentar el material por encima de los 0 K. La funcin de Fermi resultante, /( ) , se muestra en la Figura 15.6.Para T > OK, algunos de los electrones justo por debajo de EF son obligados aocupar niveles superiores. La relacin entre la funcin de Fermi, /(), y la temperatura absoluta, T, es

/ ( ^ ) = e ( E - E F ) / k T _j_ | > (15.7)

donde kes la constante de Boltzmann (13.8 x 10-24 J/K). En el lmite T= OK laEcuacin 15.7 proporciona la funcin escaln de la Figura 15.5. Para T >OK, indica que f (E ) es aproximadamente 1 muy por debajo de EFy 0 muy por encima.Cerca deEF, f (E ) vara suavemente entre esos dos valores. A EFel valor de f(E ) es 0.5. A medida que la temperatura aumenta, tambin lo hace la distancia durante

6 Enrico Fermi (1902-1954), fsico italiano, hizo numerosas contribuciones a la ciencia del sigloxx, incluyendo el primer reactor nuclear en 1942. Su desarrollo de un mejor entendimiento de la naturaleza de los electrones en los slidos se produjo casi veinte aos antes.

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H H - kT para 1000 K Figura 15.7. Variacin de la funcin de Fermi,/(), con la temperatura para un determinado

^ metal (con EF= 5 eV). Obsrvese que el rangode energa en el que la funcin pasa de 1 a 0 esproporcional a kT.

| H - kT para 1000 K

E(eV)-

la cual f (E ) vara de 1 a 0 (Figura 15.7), siendo del orden de kT.En resumen, metales son buenos conductores de la electricidad porque la energa trmica es ficiente para hacer ascender a los electrones a niveles de energa por encima nivel de Fermi, normalmente desocupados. En estos niveles (E > EF)fla acceslidad a los niveles desocupados de los tomos adyacentes tiene como consecuenuna alta movilidad de los electrones de conduccin, conocidos como electrolibres, a travs del slido.

La explicacin de las bandas de energa se ha centrado hasta ahora en metales y en por qu son buenos conductores elctricos. Considrese ahora el cde un slido no metlico. Por ejemplo, el carbono en la estructura del diamanmuy mal conductor. En el Captulo 2 se vio que los electrones de valencia en e

material de enlace covalente son compartidos por los tomos adyacentes. El retado es que la banda de valencia del carbono est llena. Esta banda de valenciacorresponde con el nivel hbrido de energa sp3 de un tomo aislado de carbo(Figura 2.3). Hacer ascender a los electrones a niveles de energa por encima nivel sp3 de un tomo aislado de carbono requerira superar regiones de ener

prohibidas. En el slido, de forma similar, hacer ascender a un electrn de la bda de valencia a la banda de conduccin requiere subir por encima de una seracin entre bandas de energa, Eg(Figura 15.8). El concepto de nivel de Fer

Ep, contina siendo aplicable. Sin embargo, EF est ahora en el centro de la zode separacin entre bandas de energa En la Figura 15.8, la funcin de Fer

/( ) , corresponde a temperatura ambiente (298 K). Se debe tener en mente que probabilidades que predice f(E ) son aplicables tan soto en las bandas de valeny conduccin. Los electrones no pueden tener niveles de energa dentro de la seracin entre bandas de energa. La conclusin que debe obtenerse a la vista deFigura 15.8 es que / ( ) es prcticamente 1 en la banda de valencia y 0 en laconduccin. La incapacidad de la energa trmica para hacer ascender un nmsuficiente de electrones a la banda de conduccin, proporciona al diamante su bconductividad elctrica caracterstica.

Como ltimo ejemplo, considrese el silicio, elemento nmero 14, situado jto debajo del carbono en la tabla peridica (Figura 2.2). En el mismo grupo de

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Figura 15.8. Comparacin de la funcin de Fermi, f(E), con laestructura de bandas de energa de un aislante. Idealmente no

existe ningn electrn en la banda de conduccin ( f(E) = 0)debido a la magnitud de la separacin entre bandas de energa

(> 2 eV ).Bandade conducc

Ef

Bandade valencia

/(o

tabla peridica, el silicio posee unas caractersticas qumicas similares al carbono.De hecho, el silicio forma un slido de enlace covalente con la misma estructuracristalina que el carbono (la estructura cbica del diamante explicada en la Seccin 3.5). La estructura de la banda de energa del silicio (Figura 15.9) es tambinmuy similar a la del diamante (Figura 15.8). La principal diferencia es que el silicio tiene una menor separacin entre bandas (Eg = 1.107 eV, comparado con losaproximadamente 6 eV del diamante). El resultado es que, a temperatura ambiente(298 K), la energa trmica hace ascender a un nmero de electrones pequeo perosignificativo desde la banda de valencia a la de conduccin. El ascenso de un elec

trn crea un par de portadores de carga, llamado par electrn-hueco. En consecuencia, se produce en tantos electrnicos en la banda de valencia como electroneshaya en la banda de conduccin. Estos huecos electrnicos son portadores de carga

posit iva, como se indic en la Seccin 15.1. Con un moderado nmero de portadores de carga positiva y negativa, el silicio posee un valor de conductividad elctrica que se sita entre el de los metales y el de los aislantes (Tabla 15.1). Este semiconductor se explica con detalle en la Seccin 15.5.

EJEMPLO 15.5

Cul es la probabilidad de que un electrn ascienda trmicamente a la banda deconduccin en el diamante (Eg= 5.6 eV) a temperatura ambiente (25 C)?

Solucin

De la Figura 15.8, se deduce que la parte inferior de la banda de conduccin corresponde a

5.6E - Ef= qV = 2.8 eV.

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534 INTRO DUCC IN A LA CIENCIA DE MATERIALES PARA INGENIEROS

Banda deconduccin

Banda devalencia

Figura 15.9. Comparacin de lafuncin de Fermi, f( ), con la estructurade bandas de energa de unsemiconductor. Existe un significativonmero de electrones en la banda deconduccin debido a la relativamente

pequea separacin entre bandas deenerga ( < 2 eV). Cada ascenso de unelectrn crea un par de portadores decarga (un par electrn-hueco).

De la Ecuacin 15.7 y sabiendo que T 25C = 298 K,

1 1 _ - 4 8f(P ) ~ e (E - E F)fkT_ j_ j ^(2.8eV )/(86.2x lO (,eV K 'X298K) _j _ j 4.58 X 10

EJEMPLO 15.6

Cul es la probabilidad de que un electrn ascienda trmicamente a la bandaconduccin en el silicio (Eg= 1.107 eV) a temperatura ambiente (25 C)?

Solucin

Como en el Ejemplo 15.5,

1.107E - Ef= ------- eV = 0.5535 eV

2

1 1/ ( ^ ) e ( E - E F ) / k T j ^(0J535eV) /(86.2 x lO -6 e V K -X298K) _|_ j ^= 4.39 x 10 " 10

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Aun cuando este nmero es pequeo, es 38 rdenes de magnitud ms grande queel del diamante (Ejemplo 15.5), lo que resulta ser suficiente para crear los portadores de carga (pares electrn-hueco) necesarios para dar al silicio sus propiedadessemiconductoras.

PROBLEMA 15.5

Cul es la probabilidad de que un electrn ascienda a la banda de conduccinen el diamante a 50C? (Vase el Ejemplo 15.5.)

PROBLEMA 15.6

Cul es la probabilidad de que un electrn ascienda a la banda de conduccinen silicio a 50C? (Vase el Ejemplo 15.6.)

15.3. CONDUCTORES

Los materiales conductores son aqullos que tienen altos valores de conductividad.La Tabla 15.1 muestra que la conductividad de los conductores tpicos es del orden de 10 x 1062_1 *m_1. Las causas de este elevado valor fueron expuestas enla seccin anterior. La expresin general de la conductividad, Ecuacin 15.6, puede reescribirse para los materiales conductores como

o = n^eHe, (15.8)

donde el subndice ehace referencia a la conduccin elctrica pura, y cr es la queresulta exclusivamente del movimiento de electrones. (La conduccin elctrica serefiere al valor de aque puede proceder del movimiento de cualquier tipo de portador.) El modelo de bandas de la seccin anterior muestra la importancia de lamovilidad del electrn, ne, en la conductividad de los conductores metlicos. Estose pone de manifiesto claramente mediante el efecto de dos variables (temperaturay composicin) sobre la conductividad de los metales.

El efecto de la temperatura en la conductividad de los metales est representa

do en la Figura 15.10. En general, un incremento de la temperatura por encima dela temperatura ambiente produce una disminucin de la conductividad. Esta cadade la conductividad es debida, principalmente, a la menor movilidad del electrn,

Hefa medida que aumenta la temperatura. La disminucin de movilidad en el electrn puede ser atribuida a un incremento de la agitacin trmica de la estructuracristalina del metal conforme se incrementa la temperatura. Debido a la naturalezaondulatoria de los electrones, estos paquetes de ondas pueden moverse a travsde la estructura cristalina de forma ms efectiva cuando sta es casi perfecta. Lasirregularidades producidas por las vibraciones trmicas disminuyen la movilidadde los electrones.

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r ( C )

Figura 15.10. Variacin de laconductividad elctrica de algunos metalescon la temperatura (De J. K. Stanley,

Electrical and Magnetic Properties ofMetals, American Society for Metals,Metals Park, OH, 1963.)

r ( C )

Figura 15.11. Variacin de la resistividadelctrica con la temperatura para losmismos metales mostrados en la Figura

15.10. La pendiente de las rectas se definecomo el coeficiente de resistividad, a.

La Ecuacin 15.3 pone de manifiesto que la resistividad y la conductividad tn inversamente relacionadas. Por tanto, la magnitud de la resistividad en condtores tpicos es del orden de 0.1 x 10"6 2* m. De forma similar, la resistividadincrementa a medida que la temperatura supera la temperatura ambiente. Esta recin [p(T)] se utiliza con ms frecuencia que o(T)debido a que se ha demostraexperimentalmente que la resistividad aumenta de forma lineal con la temperat

por encim a de la temperatura ambiente; esto es,

p ^ P r l l + o t T - T J ] , (15

donde prt es el valor de la resistividad a temperatura ambiente; a, el coeficietrmico de la resistividad; T, la temperatura, y Trt, la temperatura ambiente. Ldatos de la Figura 15.10 han sido representados en la Figura 15.11 a fin de ilusla Ecuacin 15.9. La Tabla 15.2 da valores representativos de py a para algunconductores metlicos.

En la Tabla 15.2 se observa que pn es funcin de la composicin cuandoforman soluciones slidas (por ejemplo, p ^puroFe < prt,acero)- Cuando se aa

pequeas cantidades de impurezas a un metal puro, el incremento de p es casineal con la cantidad de impurezas aadidas (Figura 15.12). Esta relacin, similala Ecuacin 15.9, puede ser expresada de la siguiente forma:

p = A ) ( l + P*)> (15.

donde p0 es la resistividad del metal puro, es constante para un determinametal con impurezas (relacionado con la pendiente de una grfica como la deFigura 15.12), yx, la cantidad de impurezas aadidas. La Ecuacin 15.10 es vlpara una temperatura fija. Las variaciones simultneas de temperatura y compo

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j j inor Coeficiente de* - i Resistividad a 20 C prt , n0rMaterial resistividad a 20 C a

(2*m) (C_ i)

Tabla 15.2. Resistividad y coeficiente de resistividad para algunos conductores metlicos.

Aluminio (recocido) 28.28 x 10"9 0.0039Cobre (recocido) 17.24 x 10"9 0.00393Oro 24.4 x 10"9 0.0034Hierro (99.99 + %) 97.1 x 10"9 0.00651Plomo (99.73 + %) 206.48 x 109 0.00336Magnesio (99.80%) 44.6 x 10"9 0.01784Mercurio 958 x 10"9 0.00089

Nquel (99.95% + Co) 68.4 x 10"9 0.0069Nicron (66% Ni + Cr y Fe) 1.000 x 10"9 0.0004Platino (99.99%) 106 x 10"9 0.003923Plata (99.78%) 15.9 x 10"9 0.0041Acero (cable) 107 - 175 x 10"9 0.006 - 0.0036Wolframio 55.1 x 10"9 0.0045Cinc 59.16 x 10 9 0.00419

Fuente:Datos de J. K. Stanley, Elec trical and Magnetic Properties o f Metals, American Society forMetals, Metals Park, OH, 1963.

Figura 15.12. Variacin de la resistividad elctrica con lacomposicin en varias aleaciones de cobre con pequeos

niveles de adicin de elemento aleante. Todos los datos han

sido tomados a la misma temperatura (20 C). (De J. K.Stanley, Electrical and Magnetic Properties of Metals,AmericanSociety for Metals, Metals Park, OH, 1963.)

Adicin de aleante (% en peso)

cin comprenderan tanto los efectos de a (de la Ecuacin 15.9) como los de (dela Ecuacin 15.10). Es necesario recordar que la Ecuacin 15.10 es aplicable slo

para pequeas cantidades dex. Para grandes cantidades de x ,p se vuelve una funcin no lineal dex.Un buen ejemplo se muestra en la Figura 15.13 para una aleacin oro-cobre. Al igual que en la Figura 15.12, estos datos se obtuvieron a unatemperatura fija. Es importante observar en la Figura 15.13 que, como en la Figura15.12, los metales puros (ya sea oro o cobre) tienen menos resistividad que sus

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pX

109(

ohm-m)

a0C


160 j - Figura 15.13. Variacin de la resistividad elctrica de una aleacinoro-cobre con grandes variaciones de composicin. La resistividadaumenta con la adicin de aleante respecto a los dos metales enestado puro. Como resultado, la mxima resistividad tiene lugar auna composicin intermedia (~45 por ciento de oro y un 55 porciento de cobre). Como en la Figura 15.12, todos los datos han sido

tomados a la misma temperatura (0C). (De J. K. Stanley, Electricaland Magnetic Properties of Metals, American Society for Metals,Metals Park, OH, 1963.)

40 60 80100 a % Au60 40 20 0 a % Cu

Composicin

aleaciones. Por ejemplo, la resistividad del oro puro es menor que la del oro cun 10 por ciento de cobre. De igual manera, la resistividad del cobre puro es mnor que la del cobre con un 10 por ciento de oro. El resultado de esta tendenciaque la resistividad mxima para la aleacin oro-cobre se presenta en alguna co

posicin intermedia (aproximadamente un 45 por ciento de oro y un 55 por ciede cobre). La razn por la cual la resistividad aumenta con la adicin de impureest ntimamente relacionada con la razn por la que la temperatura incrementaresistividad. Los tomos de impurezas disminuyen el grado de perfeccin cristna del metal puro.

Un concepto til que se puede encontrar al visualizar el efecto de la imperfcin cristalina en la conduccin elctrica es el recorrido libre medio de un eltrn Como se apunt anteriormente en la exposicin de los efectos de la tempetura, el movimiento ondulatorio de un electrn a travs de la estructura atmicaobstaculizado por las irregularidades estructurales. La distancia media a la que electrn se puede desplazar sin obstculos se denomina recorrido libre medio. Lirregularidades estructurales reducen el recorrido libre medio, y a su vez la velodad de deriva, la movilidad y finalmente la conductividad (vanse las Ecuacio15.5 y 15.8). La naturaleza de estas imperfecciones ser estudiada con detalle enSeccin 4.1. Por ahora, slo es necesario saber que cualquier reduccin de la relaridad de la estructura atmica del metal impide el movimiento de la onda

electrn. Por esta razn, se ha visto que muchas de las imperfecciones expuesen el Captulo 4 (por ejemplo, defectos puntuales y dislocaciones) causan un incmento de la resistividad en los conductores metlicos.

T E R M O P A R E S

Una importante aplicacin de los materiales conductores es la medida de la temratura. En la Figura 15.14 se muestra un sencillo circuito, conocido como termpar, consistente en dos hilos de metal, para realizar la medida. La efectividad

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termopar puede ser atribuida en ltima instancia a la sensibilidad a latemperatura de la funcin de Fermi (Figura 15.7). En un metal determinado (A en la Figura 15.14) conectado entre dos temperaturas diferentes,Tx (caliente) y T2(fra), se excitan ms electrones en el extremo calienteque en el fro. Esto provoca la aparicin de una fuerza que impulsa a los

electrones desde el extremo caliente al fro. El extremo fro queda entonces cargado negativamente y el caliente positivamente con un voltaje,VAfentre los extremos del hilo. Una importante caracterstica de este fenmeno es que VA depende nicamente de la diferencia de temperaturasentre los extremos del hilo, TxT2iy no de la distribucin de temperaturas a lo largo del hilo. Sin embargo, para realizar la medida del voltajese requiere un segundo hilo (metal B en la Figura 15.14), en el que seencuentra un voltmetro. Si el metal B es del mismo material que el metalA, habr tambin una diferencia de potencial VA inducida en el metal B yel voltmetro medir un voltaje neto de 0 V (V 12 = VA VA= 0 V). No

obstante, si se usan metales distintos, stos provocarn diferentes cadasde potencial entre los extremos de los hilos. En general, para un metal Bdiferente del metal A, el voltmetro de la Figura 15.14 marcar un volta

je neto, Vl2 = VA VB. El valor de Vu aumentar a medida que se incremente la diferencia de temperatura entre los extremos. El voltaje inducido es denominado pote ncial de Seeb eck 7 y el fenmeno completo,que se ilustra en la Figura 15.14, se denomina efecto Seebeck. La utilidad del sencillo circuito descrito es evidente. Escogiendo una temperatura de referencia para T2 (normalmente una temperatura ambiente fija ouna mezcla de hielo y agua a 0 Q, el voltaje medido Vn es un funcin

casi lineal de Tx. La dependencia exacta de V12 con la temperatura seencuentra tabulada para muchos de los termopares habituales, como losrepresentados en la Tabla 15.3. La Figura 15.15 muestra una representacin de Vl2respecto a la temperatura para los termopares de uso comn.

En el Captulo 17 se encontrarn numerosos ejemplos de semiconductores que compiten con los materiales electrnicos habituales. En elcampo de la medida de temperaturas, los semiconductores tienen normalmente un efecto Seebeck mucho ms pronunciado que los metales. Esto se debe a la naturaleza exponencial (Arrhenius) de la conductividad en funcin de latemperatura en los materiales semiconductores (ser explicado en el Captulo 12).Como resultado, la medida de temperatura mediante materiales semiconductores(termistores) permite medir cambios de temperatura extremadamente pequeos(106oC). Sin embargo, debido al limitado intervalo de temperaturas en que pueden trabajar estos sistemas, los termistores no han desplazado a los termopares tradicionales en la medida habitual de temperatura.

Figura 15.14. Representacinesquemtica de un termopar. El voltamedido, V\2, es funcin de la diferende temperaturas, T, - T2. Estefenmeno se denomina efectoSeebeck.

7 Thomas Johann Seebeck (1770-1831), fsico ruso-germano. En 1821 observ d conocido efectoque an lleva su nombre. Tuvo menos xito en el tratamiento de ciertos problemas muy relacionadoscon la termoelectricidad (conversin entre calor y electricidad), siendo otros los nombres que se asociaron a estos fenmenos (el efecto Peltier y el efecto Thomson).

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Tabla 15.3. Sistemas de termopares de uso comn.

Tipo Nombre comn Elementopositivo

Elementonegativo8

Ambiente de Mximafuncionamiento temperaturrecomendado de servicio (

B Platino-rodio/platino-rodio 70 Pt-30 Rh 94 Pt-6 Rh OxidanteVacoInerte

1700

E Cromo/constantan 90 Ni-9 Cr 44 Ni-55 Cu Oxidante 870

J Hierro/constantan Fe 44 Ni-55 Cu OxidanteReduccin

760

K Cromo/alumel 90 Ni-9 Cr 94 Ni-Al, Mn, Fe, Si, Co Oxidante 1260

R Platino/platino-rodio 87 Pt-13 Rh Pt OxidanteInerte

1480

S Platino/platino-rodio 90 Pt-10 Rh Pt OxidanteInerte

1480

T Cobre/constantan Cu 44 Ni-55 Cu OxidanteReduccin

370

Fuente: Datos deMetals Handbook, 9th ed., Vol. 3, American Society for Metals, Metals Park, OH, 1980.a Composicin de las aleaciones, porcentaje en peso.

Tem peratura, F

Tem peratura, C

Figura 15.15. Grfico de la fuerza electromotriz de un termopar ( - K * enla Figura 15.14) en funcin de la temperatura para algunos de los termoparesde uso comn de la Tabla 15.3 (De Metals Handbook, 9th ed., Vol. 3,American Society for Metals, Metals Park, OH, 1980.)

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S U P E R C O N D U C T O R E S

La Figura 15.10 muestra cmo la conductividad de los metales decaea medida que la temperatura decrece. Esta tendencia contina hastaque la temperatura desciende bastante por debajo de la temperatura

ambiente. Aun a temperaturas extremadamente bajas (de unos pocosgrados Kelvin), los metales tpicos presentan una conductividad finita (la resistividad no es nula). Existen unos pocos materiales queconstituyen una excepcin. En la Figura 15.16 se muestra este caso.Al llegar a una determinada temperatura crtica (Tc), la resistividaddel mercurio se reduce bruscamente a cero (se convierte en superconductor). Histricamente, el mercurio fue el primer material quese supo que posea esta propiedad. En 1911, H. Kamerlingh Onnesmostr por primera vez los resultados de la Figura 15.16 como unsubproducto de sus investigaciones sobre la licuacin y solidificacin

del helio. A partir de entonces se han encontrado otros muchos materiales (el niobio, vanadio, plomo, y sus aleaciones son buenos ejemplos). Varios hechos empricos sobre la conductividad fueron conocidos a partir delos primeros estudios. El efecto es reversible. En general este efecto representa losmetales que son relativamente malos conductores a temperatura ambiente. La cadade la resistividad a Tces muy pronunciada en los metales puros, pero en un intervalode 1 o 2 K en las aleaciones. En un superconductor dado, la temperatura de transicin se reduce si se incrementa la intensidad de corriente o del campo magntico.Hasta mediados de los aos 80, el centro de atencin ha estado en metales y aleaciones (sobre todo de Nb), y Tc se encontraba por debajo de 25 K. De hecho eldesarrollo de materiales con una Tcms alta ha seguido una lnea casi recta en una

escala de tiempo desde los 4.12 K en 1915 (para el Hg) hasta los 23.3 K en 1975(para el Nb3Ge). Como se muestra en la Figura 15.17, en 1986 tiene lugar unavance sorprendente con el descubrimiento de una cermica que exhiba superconductividad a 35 K (La, Ba^C uO ^ En 1987 se observ que el YBa2Cu30 7 tena unaTcde 95 K. Esto constituy un punto crucial ya que el material es superconductor

por encima de la temperatura del nitrgeno lquido (77 K), un nivel criognico relativamente econmico. En 1988 una cermica de TIBaCaCuO mostresta propiedad a una temperatura Tcde 127 K. A pesar de la intensa investigacin,que involucr el estudio de una gran variedad de compuestos cermicos, el rcordde los 127 K no fue superado durante cinco aos, cuando, en 1993, la sustitucin

del Hg por TI llev a una Tcde 133 K. Las recientes investigaciones indican que,bajo presiones extremadamente altas (por ejemplo, 235 000 atm), la Tcde este material puede aumentar hasta 150 K. La dificultad para conseguir esta presin y latoxicidad del TI y el Hg han contribuido a que el YBa2Cu30 7 contine siendo elmaterial ms ampliamente estudiado entre aquellos con alta Tc.Numerosos traba

jos continan centrndose en tratar de incrementar la Tc,con la esperanza de quetenga lugar algn descubrimiento que pueda acelerar la proximidad de la meta final: conseguir un material superconductor a temperatura ambiente.

En la Figura 15.18 se representa la resistividad de la cermica superconductoraYBa2Cu30 7. Se observa que la cada de resistividad se produce en un m ayor inter-

Figura 15.16. La resistividad del mercudesciende repentinamente a 0 a unatemperatura crtica Tc(= 4.12 K). Por dede Tcei mercurio es superconductor.

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Tc(K)


150 p Rgura 15.17. La tasa de incremento de Tcpermaneci constante con el tiempo hasta eldescubrimiento de los xidos cermicos

o H g B a2Ca2Cu 3 0 8+ superconductores en 1986.

orn2Ba2Ca2Cii301o

100,O YBa2Cu30 7

50

o (La, Ba)2Cu04

NbjGe

NbN o Pb Nbo

H g o O__I___1___I___1___I___I___ I___I___I___ I

1910 1930 1950 1970 1990Ao

valo de temperatura (aproximadamente 5 K) que en los superconductores met

cos, y con una mayor Tc.Asimismo, al igual que los peores conductores metliexhiban el fenmeno de la superconductividad, lo mismo ocurre con los xidcermicos conductores, capaces de presentar este fenmeno incluso a mayotemperaturas.

La celda unidad del YBa2Cu30 7 se muestra en la Figura 15.19. A este matese lo suele denominar superconductor 1-2-3, debido a los subndices de los tiones metlicos. A pesar de que la estructura de este superconductor parece relvamente compleja, est nuy cercanamente relacionada con la estructura de la rovskita de la Figura 3.14. En la perovskita simple hay una proporcin de diones metlicos por cada tres iones de oxgeno. El superconductor 1-2-3 tiene s

iones metlicos y slo siete de oxgeno. La falta de dos iones de oxgeno se copensa mediante una ligera distorsin de la estructura de la perovskita. De hechopodra pensar que la celda unidad de la Figura 15.19 es equivalente a tres celunitarias distorsionadas de perovskita, con un ion de Ba2+ en el centro de las cdas superior e inferior y uno de Y3 + en la celda central. Las fronteras entre esceldas similares a la perovskita son capas distorsionadas de iones de cobre y ogeno. Un detallado anlisis del equilibrio de cargas entre cationes y aniones decelda unidad de la Figura 15.19 indica que, para conservar la neutralidad de cgas, uno de los tres iones de cobre debe tener una valencia de 3 + , mientras qlos otros dos mantendran el valor usual de 2 + . Debe observarse, adems, q

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T(K)

Figura 15.18. Resistividad del Y f^ C i^ O y en funcin de la temperatura, mostrandouna Tc%95 K.

la celda unidad es ortorrmbica. Un material qumicamenteequivalente, pero con una celda unidad tetragonal, no es su

perconductor. Aunque la estructura de la Figura 15.19 esuna de las ms complejas de las consideradas en este texto,sigue estando ligeramente idealizada. El superconductor 1-2-3, de hecho, tiene una ligera desviacin estequiomtrica,Yba2Cu30 7 _x, con un valor de x 0.1.

En dcadas recientes, se han hecho importantes progresos en la modelizacin terica de la superconductividad. Pa

radjicamente, las vibraciones reticulares, que son la fuentede la resistividad en los conductores normales, son la basede la superconductividad en los metales. A temperaturas losuficientemente bajas, tiene lugar un efecto de reordenacinde los electrones y los tomos de la red. El efecto de estareordenacin es una sincronizacin entre las vibraciones delos tomos y el movimiento ondulatorio de los electronesconductores (asociados en pares de espines opuestos). Estemovimiento sincronizado tiene como consecuencia una prdida absoluta de resistividad. La delicada naturaleza del ordenamiento de la red y el electrn explica los valores tradicionalmente bajos de Tc en los metales. Aunque la superconductividad en los superconductores con Tc altas tambininvolucra pares de electrones, la naturaleza del mecanismo dela conduccin no ha sido comprendida por completo. Concretamente, los pares deelectrones no parecen resultar del mismo tipo de sincronizacin que las vibracionesreticulares. Lo que es evidente es que los planos de cobre-oxgeno en la Figura15.19 son caminos para la superconduccin. En el superconductor 1-2-3, esa corriente es transportada por huecos electrnicos. Se han desarrollado otros xidos cermicos en los que la corriente es transportada por los electrones, no por los huecos.

o

o

O Y3+

O Ba2+

O Cu2+ or C

O o 2-

Figura 15 .19 . Celda unidad del YBa2 Cu3 0 7 . Es

aproximadamente equivalente a tres celdas unidad dperovskita del tipo de la mostrada en la Figura 3.14

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Sea la corriente transportada por electrones o por huecos, la promesa que pdujo el incremento de Tcha encontrado un obstculo en otro parmetro importade los materiales, la intensidad c rtica , definida como el flujo de corriente paracual el material deja de ser superconductor. Los superconductores metlicos utzados en aplicaciones tales como los imanes de grandes aceleradores de partcul

tienen intensidades crticas del orden de 1010 A/m2. Estos valores se han logren pelculas delgadas de superconductores cermicos, pero las muestras de gvolumen tienen aproximadamente una centsima de ese valor. Por desgracia, lamitacin en la densidad de corriente se vuelve ms crtica a medida que se incmentan los valores de Tc.Este hecho se debe a la penetracin del campo magnco que rodea el material, creando una resistencia efectiva por la interaccin enla corriente y las lneas mviles de flujo magntico. Este problema no existe superconductores metlicos porque las lneas de flujo magntico no tienen movdad a tan bajas temperaturas. Por encima del importante valor de temperaturalos 77 K, este efecto se vuelve significativo y se incrementa de manera importa

a medida que aumenta la temperatura. El resultado parece ser poco ventajoso plos valores de Tcmayores que el encontrado en el superconductor 1-2-3 y, aun la inmovilizacin de las lneas de flujo magntico puede requerir la utilizacin finas lminas o alguna forma especial de control microestructural.

Si la limitacin de la intensidad crtica puede considerarse un reto en la Cicia de materiales, existe un desafo en la necesidad de fabricar esos frgiles y retivamente complejos compuestos cermicos en forma de productos utilizables. Ltemas que surgieron en la Seccin 6.1 al exponer la naturaleza de los cermicomo materiales estructurales desempean aqu tambin un papel importante. Cmo ocurra con la limitacin en la densidad de corriente, los desafos en la fabri

cin de materiales sugieren que el rea ms probable para la comercializacin superconductores de alta Tc ser en aplicaciones con dispositivos de pelcula dgada y la fabricacin de hilos de pequeo dimetro para su aplicacin en cablesolenoides. La produccin de cables conlleva generalmente la adicin de metal

plata a las partculas del superconductor 1-2-3. El compuesto resultante tiene ppiedades mecnicas adecuadas sin un sacrificio significativo de las propiedades perconduc toras.

Existe un gran inters para desarrollar los superconductores para la transmisde energa. Sustituir las lneas de cobre refrigeradas por aceite por lneas de supconductor refrigeradas por nitrgeno lquido poda aumentar la capacidad elctrde la transmisin hasta cinco veces, con las ventajas obvias para la economa yambiente con este fin se estn produciendo. Cintas superconductoras prototipohasta 100 m de longitud.

Mientras, uno de los usos ms prometedores de superconductores es el usopelculas finas para filtros en las estaciones emisoras de telefona mvil. En coparacin con la tecnologa convencional del metal cobre, los filtros del supercductor pueden aumentar el alcance, reducir la interferencia entre canales y disnuir el nmero de llamadas perdidas. Otros usos de los superconductormetlicos y cermicos, se asocian a su comportamiento magntico y sern explidos ms adelante en las Secciones 18.4 y 18.5.

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De una u otra forma los superconductores de alta Tcprovocarn una revolucintecnolgica en el mbito de los semiconductores, y el avance experimentado conel desarrollo de la nueva familia de materiales con alta Tca finales de los 80 contina siendo uno de los mayores xitos en la ciencia e ingeniera de los materialesdesde el desarrollo del transistor.

EJEMPLO 15.7

Calclese la conductividad del oro a 200 C.

Solucin

Partiendo de la Ecuacin 15.9 y la Tabla 15.2,

p = pn[1 + a( T - rrt)] = (24.4 X 1(T 9 + 0.0034 C '(200 - 20)C]

= 39.3 x 10 9 fi-m.Segn la Ecuacin 15.3,

a = - = ----------- = 25.4 x 106 n _1- m _1.p 39.3 x 10 2 m

EJEMPLO 15.8

Estmese la resistividad de una aleacin de cobre con un 0.1 por ciento en peso desilicio a 100C.

SOLUON

Suponiendo que los efectos de la temperatura y la composicin son independientes, y que el coeficiente trmico de la resistividad del cobre puro es una buenaaproximacin para el cobre con un 0.1 por ciento en peso de silicio, se puede escribir

Pl00C,Cu-


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EJEMPLO 15.9

Un termopar cromo/constantan es utilizado para medir la temperatura de un hode tratamiento trmico. El voltaje, con una mezcla de hielo y agua como refercia, es de 60 mV.

(a) Cul es la temperatura del homo?(b) Cul sera el voltaje de un termopar de cromo/aluminio, con la misma re

rencia de hielo y agua?

Solucin

(a) La Tabla 15.3 muestra que el termopar de cromo/constantan es del tipo De la Figura 15.15 se deduce que el termopar de tipo E tiene una salida 60 mV a 800 C.

(b) La Tabla 15.3 muestra que el termopar de cromo/aluminio es del tipo De la Figura 15.15 se deduce que el termopar de tipo K a 800 C tiene u

salida de 33 mV.

EJEMPLO 15.10

Se tiene una fina lmina de material superconductor YBa2Cu30 7 de 1 /m de essor, 1 mm de ancho y 10 mm de longitud. A 77 K se pierde la superconductividcuando la corriente a lo largo de la lmina alcanza un valor de 17 A. Cul esdensidad crtica de corriente de esta lmina?

Solucin

La corriente por unidad de rea transversal es

17 Adensidad crtica de corriente = ---------- =z---------------------- = 1 .7 x 1010 A/m

(1 x 10 6 m)(l x lO m)

PROBLEMA 15.7Calclese la conductividad a 200 C de (a) cobre con un recocido normal (b) tungsteno. (Vase el Ejemplo 15.7.)

PROBLEMA 15.8Estmese la resistividad de una aleacin de cobre con un 0.06 por ciento en pso de fsforo a 200C. (Vase el Ejemplo 15.8.)

PROBLEMA 15.9En el Ejemplo 15.9, se determin el voltaje de un termopar detipo Ka 800 CCul ser la salida de un termopar Pt/90 P-10 Rh?

PROBLEMA 15.10Cuando el superconductor 1-2-3 del Ejemplo 15.10 se fabrica en un bloque d5 mm x 5 mm x 20 mm, la corriente, a lo largo de la mayor dimensin, a que se pierde la superconductividad, es de 3.25 x 103 A. Cul es la intensidacrtica para esta configuracin?

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15.4. AISLANTES

Los aislantes son materiales con baja conductividad. La Tabla 15.1 muestra valores de conductividad en aislantes tpicos desde aproximadamente 10 10 hasta10"162_1*m_1. Esta reduccin de la conductividad de aproximadamente 20 rdenes de magnitud (en comparacin con los metales tpicos) es el resultado de unaseparacin entre bandas mayor que 2 eV (en los metales esta separacin es nula).Es importante hacer notar que los materiales de baja conductividad son parte importante de la industria electrnica. Por ejemplo, aproximadamente el 80 por ciento del mercado de cermicos industriales mundial pertenece a esta categora, representando los cermicos estructurales introducidos en el Captulo 8 el 20 por cientorestante. Como se ver en la Seccin 18.5, el uso industrial predominante de loscermicos electrnicos est basado en su comportamiento magntico.

No es tarea fcil reescribir la Ecuacin 15.6 para conseguir una expresin para

los aislantes comparable a la Ecuacin 15.8 para los metales. Claramente, la densidad de portadores de carga, ne, es extremadamente pequea debido a la gran separacin entre bandas. En muchos casos, el pequeo grado de conductividad de losaislantes no es producido por los electrones que han superado la separacin graciasa la excitacin trmica, sino que se debe a los electrones asociados con las impurezas del material. Puede tambin deberse al movimiento de iones (por ejemplo,N a+ en el NaCl). Por tanto, la forma particular de la Ecuacin 15.6 depende de losportadores de carga involucrados.

La Figura 15.20 muestra la distribucin de cargas en una tpica aplicacin delos aislantes, o dielctricos, un condensador de placas paralelas. A escala atmica, la distribucin de carga se debe a la alineacin de los dipolos elctricos en elinterior del dielctrico. Este concepto ser explicado en detalle ms adelante, juntocon los materiales ferroelctricos y piezoelctricos. Aparece una densidad de carga, D (en unidades de C/m2), que es directamente proporcional al campo elctricoaplicado, E(en V/m),

D = eE, (15.11)

Figura 15.2 0. Un condensador de placas paralelas est formado por un aislante , odielctrico, entre dos electrodos metlicos. La densidad de carga creada en la

superficie del condensador est relacionada con la constante dielctrica del material,

tal y como indica la Ecuacin 15.13.

Electrodopositivo

negativo

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donde la constante de proporcionalidad, e, se denomina permitividad elctricadielctrico y tiene unidades de C/(V- m). En caso de existir vaco entre las placde la Figura 15.20, la densidad de carga es

D = e0E, (15.

donde e0 es la permitividad elctrica del vaco, con un valor de 8.854 x 1 0 "12(V-m). Para un dielctrico cualquiera la Ecuacin 15.11 puede volver a escribien la forma

D = SqkE, (15.

donde k es una constante adimensional del material denominada permitividad retiva, constante dielctrica relativa, o, ms frecuentemente, constante dielctri

Representa el factor por el que se ve multiplicada la capacidad del sistema deFigura 15.20 cuando se introduce un dielctrico entre las placas. En un dielctrdeterminado, existe un gradiente de voltaje lmite, que se denomina resistendielctrica, en el cual aparece un apreciable flujo de corriente (ruptura), y el dlctrico falla. La Tabla 15.4 proporciona valores representativos de la constadielctrica y la resistencia dielctrica para varios aislantes.

Tabla 15.4. Constante y resistencia dielctrica de algunos aislantes.

_. - a Resistencia dielctriMaterial Constante dielctrica , k v / v

A120 3 (99.9%) 10.1 9.1bA120 3 (99.5%) 9.8 9.5b

BeO (99.5%) 6.7 10.2b

Cordierita 4.1-5.3 2.4-7.9b

Nylon 66-reforzado con un 3.7 20.5

33 por ciento de fibra de

vidrio (seco)

Nylon 66-reforzado con un 7.8 17.3

33 por ciento de fibra

de vidrio (humedad relativadel 50 por ciento)

Ace tal (humedad relativa

del 50 por ciento) 3.7 19.7

Polister 3.6 21.7

Fuente: Datos de Ceramic Source '86> American Ceramic Society, Columbus, OH, 1985, y DeHandbook fo r Du Pont Engineering Plastics.

a A 103 Hz.b Valores promedio cuadrtico a 60 Hz.

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FERROELECTRICOS

Se centra ahora la atencin en los materiales aislantes que poseen una caracterstica elctrica til y nica. Para ello se har uso de un material cermico representativo, el titanato de bario (BaTi03). La estructura cristalina es del tipo de la perovski

ta, representada en la Figura 3.14 (para el CaTi03). En el BaTi03, la estructuracbica representada en la Figura 3.14 se presenta cuando se encuentra por encimade los 120C. Enfriando por debajo de los 120C, el BaTi03 sufre una transformacin, pasando a una estructura tetragonal (Figura 15.21). La temperatura de transformacin (120C) se denomina temperatura crtica, Tc, de manera similar a la denominacin utilizada en la superconductividad. Se dice que el BaTi03 esferroelc trico por debajo de Tc.Esto es, puede sufrir una polarizacin espontnea.Para entender lo que esto significa, se hace notar que la estructura tetragonal delBaTi03 a temperatura ambiente (Figura 15.21b) es asimtrica. Como resultado, elcentro de las cargas positivas de la distribucin de cationes del interior de la celdaest separado del centro de cargas negativas de la distribucin de aniones. Esto esequivalente a un dipolo elctrico permanente en la celda unidad del BaTi03 (Figura 15.22). La Figura 1523 muestra que, en contraste con un material con estructura cbica, la estructura del dipolo de la celda unidad tetragonal permite una alta

polarizacin del material como respuesta a la aplicacin de un campo elctrico.Esto se presenta como un efecto microestructural, as como cristalogrfico.

Los materiales ferroelctricos pueden tener polarizacin nula bajo un campoelctrico aplicado nulo debido a la orientacin aleatoria de los dominios de escalamicroscpica, regiones donde los ejes c de las celdas unitarias adyacentes tienendirecciones comunes. Bajo la aplicacin de un campo elctrico las orientacionesde los dipolos de la celda unidad que son aproximadamente paralelas al campo

elctrico aplicado se ven favorecidas. En este caso, los dominios con tales orientaciones crecen a expensas del resto, los de orientacin menos favorecida. El mecanismo del movimiento de las fronteras de los dominios es simplemente un pequeo desplazamiento de los iones en el interior de la celda unidad, que da como

Nota: la escala de movimiento de iones est exagerada (b)

Figura 15 .21. (a) Vista fronta l de la estructura cbica del BaTi03, comparable con la de la Figura 3.14. (b) Por debajo de 120C tlugar una modificacin de la estructura tetragonal. El resultado neto es un desplazamiento de los cationes hacia arriba y de los aniohacia abajo.

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Centro de cargaspositivas

Centro de cargasnegativas

Figura 15 .22. La celda unidadtetragonal de la Figura 15.21b esequivalente a un dipolo elctrico(de una magnitud igual a la cargapor la distancia).

Campo aplicado

- - / -

I r l l

I \ t l t I

I I t l l I

I y

s

i i

/

T -

- - 7* - -

Campoaplicado

Figura 15 .23. En un grfico depolarizacin (F) frente al campoelctrico (), un materialparaelctrico presenta tan slo unamodesta polarizacin con el campoaplicado. En contraste, un materialferroelctrico presenta unapolarizacin espontnea en la quebs dominios de celdas unidad conorientacin similar crecen bajocampos de orientacin similar.

/ = Frontera de los dominios

[~i~| = Celda unidad

resultado un cambio neto en la orientacin tetragonal del eje c. Este movimiede las fronteras de los dominios tiene como consecuencia una polarizacin esptnea. En contraste, los materiales con celdas unitarias simtricas son paraelccos, y tan slo es posible una pequea polarizacin ya que el campo elctrico apcado causa pequeos dipolos inducidos (cationes que se desplazan ligeramehacia el electrodo negativo y aniones hacia el electrodo positivo).

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Figura 15.24. El ciclo de histresisferroelctrico es el resultado de un

campo elctrico alterno. La lneadiscontinua muestra la polarizacin

espontnea ilustrada en la Figura15.23. La polarizacin de saturacin

(Ps) es resultado del mximocrecimiento de los dominios

(extrapolado a campo nulo). Una vezeliminado el campo, permanece la

polarizacin remanente (Pr). Esnecesario un campo coercitivo (Ec)para alcanzar una polarizacin nula

(igual volumen de dominiosopuestos).

La Figura 15.24 resume el ciclo de histresis resultante cuando el campo elctrico es repetido cclicamente (aplicando corriente alterna). Claramente, la trayectoria seguida por la polarizacin frente al campo no vuelve sobre s misma. Variosparmetros clave cuantifcan el ciclo de histresis. La polarizacin de saturacin,

Ps, es la polarizacin debida al crecimiento mximo de los dominios. Ntese quePs es extrapolado para un campo elctrico aplicado nulo (E= 0) para eliminar lapolarizacin inducida que no es debida a la reorientacin de los dominios. La polarizacin remanente, Pn es aquella que permanece despus de eliminar el campoelctrico aplicado. Como se muestra en la Figura 15.24, con la reduccin de acero los dominios de la estructura no regresan a volmenes iguales de polarizaciones opuestas. Es necesario aplicar un campo elctrico Ec (campo coercitivo) paraconseguir este resultado. Es el caracterstico ciclo de histresis el que da a la fe-rroelectricidad su nombre. Ferro-, por supuesto, es un prefijo asociado con losmateriales que contiene hierro, pero la naturaleza de la curva P-E de la Figura15.24 es similar a las curvas de induccin (2?)-campo magntico (H)de los materiales ferromagnticos (Figura 18.5). Los materiales ferromagnticos generalmentecontienen hierro. Los materiales ferroelctricos son llamados as por el ciclo dehistresis anlogo, pero raramente contienen hierro como constituyente significativo.

PIEZ OEL C T R IC OS

Aunque la ferroelectricidad es un fenmeno interesante, no tiene la importanciaprctica que presentan los materiales ferromagnticos (en reas como el alm acenamiento magntico de informacin).

Camaplic

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Las aplicaciones ms comunes de los ferroelctricos derivan de un fenmemuy relacionado, la piezoelectricidad. El prefijo piezo- proviene del grie

pizo, hacer presin Los materiales piezoelctricos dan una respuesta elctricla aplicacin de una presin mecnica. Por el contrario, las seales elctricas pden hacer de ellos generadores de presin. Esta habilidad para convertir ener

elctrica en energa mecnica, y viceversa, es un buen ejemplo de transductque, en general, es un dispositivo para convertir una forma de energa en otra. Figura 15.25 representa las funciones de un transductor piezoelctrico. La Fig15.25a, muestra el efecto piezoelctrico directo, en el cual la aplicacin de psin produce un cambio de voltaje en el material piezoelctrico. La Figura 15.2ilustra el efecto piezoelctrico inverso, en el cual la aplicacin de voltaje camla polarizacin del material piezoelctrico y, en consecuencia, su espesor. Cidose al cambio de espesor (por ejemplo, presionando un piezoelctrico contra bloque de material slido), la aplicacin de voltaje produce presin mecnica.evidente, a travs de la Figura 15.25, que el funcionamiento de un transductor p

zoelctrico depende de la orientacin de la polarizacin de las celdas unitaradyacentes. Una forma directa de asegurar esto es utilizar un transductor fabricacon un nico cristal. Un ejemplo comn es el del cuarzo (SiCy monocristaliampliamente utilizado tras la Segunda Guerra Mundial. El BaTi03 tiene un cociente de acoplamiento piezoelctrico, k ( = fraccin de energa mecnica cvertida a energa elctrica) ms alto que el Si02. La kpara el BaTi03 es aproximdamente 0.5 comparada con el 0.1 del cuarzo. Sin embargo, el BaTi03 no puefabricarse, convenientemente, en forma de monocristal. Para utilizar el BaTi03 mo transductor piezoelctrico, el material es fabricado en una configuracin silar al monocristal. En este proceso, las partculas de un fino polvo de BaTi03 alineadas en una nica direccin cristalogrfica sometindose a un fuerte cam

elctrico. A continuacin, el polvo se consolida en un slido denso mediante sinrizacin El material policristalino resultante, con una nica direccin cristalogrca, se dice que est polarizado elctricamente. Esta tecnologa permiti, duralos aos 50, que el BaTi03 se convirtiera en el material predominante para transductores piezoelctricos. Aunque el BaTi03 contina siendo ampliamente ulizado, la solucin slida de PbTi03 y PbZr03 [Pb(Ti, Zr)03 o PZT] ha sido m

! t t t I

t I t I t

Electrodo negativo

Cristal piezoelctrico sin tensin

Electrodo positivo

(a) (b)

Figura 15 .25 . Haciendo uso deilustraciones esquemticas detransductores piezoelctricos, se

observa que (a) las dimensionesde la celda unidad de un cristalpiezoelctrico cambian al aplicar unatensin, modificndose por tanto lodipolos elctricos. El resultado esun cambio de voltaje. ste es elefecto piezoelctrico directo.(b) De forma inversa, un campoaplicado modifica los dipolos y, potonto, produce un cambiodimensional. ste es el efectopiezoelctrico inverso.

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Figura 15.26. Una aplicacin usual de los materiales piezoelctricos es comotransductores ultrasnicos. En este corte, el cristal piezoelctrico (o elemento)

est encapsulado. La restriccin impuesta por el material de respaldo provoca que,por el efecto piezoelctrico inverso (Figura 15.25b), se genere una presin cuando

se presiona la proteccin contra el slido a inspeccionar. Cuando el transductoropera de esta forma (como transmisor ultrasnico) una corriente elctrica alterna

(normalmente en el rango de los megahercios), produce una seal ultrasnica (ondaelstica) de la misma frecuencia. Cuando el transductor funciona como receptorultrasnico, se hace uso del efecto piezoelctrico directo (Figura 15.25a). En estecaso, la onda elstica de alta frecuencia choca con la proteccin, generando una

oscilacin de voltaje de la misma frecuencia. (De Metals Handbook,8th ed., Vol. 11,American Society for Metals, Metals Park, OH, 1976.)

utilizada desde los aos 60. Una importante razn es una temperatura critica, Tc,notablemente ms alta. Como se indic anteriormente, la Tc para el BaTi03 es120 C, mientras que en las soluciones PbTi03/PbZr03 es posible obtener valoressuperiores a los 200 C.

Finalmente, la Figura 15.26 muestra un tpico diseo de transductor piezoelctrico utilizado como transmisor y/o receptor ultrasnico. En esta aplicacin, las seales elctricas (oscilaciones de voltaje) en el rango de los megahercios produceno detectan ondas ultrasnicas de esa frecuencia.

EJEMPLO 15.11

Se puede cuantificar la polarizacin en el BaTi03 usando el concepto de momentodipolar, definido como el producto de la carga, Q, y la distancia de separacin, d.Calclese el momento dipolar total para:

(a) La celda unidad tetragonal del BaTi03.

(b) La celda unidad cbica del BaT i03.

Solucin

(a) Usando la Figura 15 21b, se puede calcular la suma de todoslos momentos

dipolares relativos al plano medio de la celda unidad(indicado por la lneacentral en la figura). Una forma directa de calcular Qdsera calculando el

producto Qd para cada ion o la fraccin relativa al plano medio y sumarlo.Sin embargo, podemos simplificar los clculos, teniendo en cuenta que la naturaleza de esta suma tendr un valor neto asociado con el desplazamientorelativo a los iones. Por ejemplo, no es necesario tener en cuenta los ionesBa2+ ya que estn simtricamente localizados dentro de la celda unidad.El ion Ti4+ se desplaza hacia arriba 0.006 nm, de lo que se obtiene

Encapsulado Resina de relleno

Materialsoporte

Superficiede contacto,resistenteal desgaste

Contacelctrico

'Coneccoaxi

Contacto' . elctrico ( - )

Elementopiezoelctrico

momento de Ti4+ = ( + 4


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El valor de q fiie definido en el Captulo 2 como la carga unita(= 0.16 x 10 18 C), proporcionando

momento de Ti4+ = (1 ion)( + 4 x 0.16 x 10"18 C/ion)

( + 6 x 10-3 nm)(10~9 m/nm)= +3.84 x 10 30 C m.

La inspeccin de la celda unidad de perovskita en la Figura 3.22 ayuda a que dos tercios de los iones de O2- en el BaT i03 estn asociados con posiciones del plano medio, resultando (para un desplazamiento hacia abde 0.006 nm)

momento de O2- (en el plano medio) = (2 iones)( 2 x 0.16 x 10_18C/i

( 6 x 10 "3 nm) (10-9 m/nm)

= +3.84 x IO"30 C-m.

El ion O2- restante est asociado con un hueco en la cara basal que est dplazado hacia abajo 0.009 nm, lo que proporciona

momento de O2- (en la base) = (1 ion)(2 x 0.16 x 10_18C/ion)

( - 9 x 10"3 nm)(10~9 m/nm)

= +2.88 x IO-30 C-m .

Por tanto,

Z Qd= (3.84 + 3.84 + 2.88) x IO-30 C m = 10.56 x 10~30C-m .

(b) Para el BaTi03 cbico (Figura 15.21a) no hay desplazamiento neto, y por finicin,

Z Q d = 0.

EJEMPLO 15.12

La polarizacin de un material ferroelctrico se define como la densidad de mmentos dipolares. Calclese la polarizacin para el BaTi03 tetragonal.

Solucin

Utilizando los resultados del Ejemplo 15.1 la y la geometra de la celda unidad la Figura 15.22, se obtiene

l . Q d 10.56 x 10-30 C -m 2

P ~ V ~ (0.403 x 10 9 mX0.399 x 10 9 m)2 _ '165 C/m '

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PROBLEMA 15.11

Utilizando los resultados del Ejemplo 15.11, calclese el momento dipolar totalpara un disco de BaTi0 3 de 2 mm de espesor por 2 cm de dimetro, que seusar como transductor ultrasnico.

PROBLEMA 15.12

La polarizacin inherente a la celda unidad de BaTi03 se calcul en el Ejemplo15.12. Al aplicar un campo elctrico la polarizacin de la celda unidad se incrementa en 0.180 C/m2. Calclese la geometra de la celda unidad bajo esta condicin, utilizando esquemas similares a los de las Figuras 15.21b y 15.22 parailustrar los resultados.

15.5. SEMICONDUCTORES

Los semiconductores son materiales que tienen una conductividad intermedia entre los conductores y los aislantes. Las magnitudes de conductividad en los semiconductores que se dan en la Tabla 15.1 se encuentran en un intervalo de 10-4 a10-4 2 1m 1. Este rango intermedio corresponde a separaciones entre bandasde energa de menos de 2 eV. Como se muestra en la Figura 15.9, en un semiconductor simple tanto los electrones de conduccin como los huecos electrnicos sonportadores de carga. En el ejemplo del silicio puro de la Figura 15.9, el nmero deelectrones de conduccin es igual al nmero de huecos electrnicos. Los semiconductores elementales puros de este tipo se denominansemiconductores intrnsecos.Este es el nico caso que se tratar en este captulo. En el Captulo 17, se pondrde manifiesto el importante papel que tienen las impurezas en la tecnologa deb s materiales semiconductores al explicar los semiconductores ex trnsecos , semiconductores con pequeas cantidades de impurezas cuidadosamente controladas.Por ahora, se puede transformar la expresin general de la conductividad (Ecuacin 15.6) en una forma vlida para los semiconductores intrnsecos,

a = nq(jxe +/*/,), (15.14)

donde n es la densidad de electrones de conduccin ( = densidad de huecos electrnicos); q , la magnitud de la carga del electrn (= magnitud de la carga del hueco = 0.16 x 1 0 "18 Q ; \ie, la movilidad de un electrn de conduccin, y pih, la movilidad de un hueco electrnico. En la Tabla 15.5 se dan algunos valoresrepresentativos de \iey [ihjunto con la separacin entre bandas de energa y ladensidad de los portadores de carga a temperatura ambiente. Los datos de movilidad indican que \iees coherentemente mayor que fih, e incluso, en ocasiones, mucho mayor. La conduccin de los huecos electrnicos en la banda de valencia esun concepto relativo. De hecho, los huecos electrnicos slo existen en relacincon los electrones de valencia; es decir, un hueco electrnico es un electrn de

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- 0 >-l i l i *

*- i .- 0 0 0 - o o -

I I I I t

I I I +-> I- o - o - o - o - o

/ l l l-0-0*00-0-I I I I I

-(* )- (p- (p - (*) - ( )-

I I t i-O- 0-0 -0-0-

I I I I I- 0 o - o - o - o -

I ' I I I

-


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Calclese que fraccin de tomos de Si a temperatura ambiente proporciona unelectrn de conduccin.

Solucin

Como en el Ejemplo 15.3, la densidad atmica puede ser calculada segn los datosdel Apndice 1:

ps = 2.33 g cm-3 con una masa atmica = 28.09 amu

g . cm3 1 g tomo tomosp = 2.33 A x l 0 6 ^ - x * -----x 0.6023 x 1024 7--------

cm3 m3 28.09 g g tomo

= 50.0 x 1027 tomos/m3.

La Tabla 15.5 indica quene = 14 x 1015 m " 3.

Luego la fraccin de tomos que proporciona el electrn de conduccin es

^ 14 x 1015 m -3fraccin = ---------- ~ ^ = 2.8 x 10 .

50 x 1027 m "3

Nota. Este resultado puede ser comparado con la relacin aproximada de 1:1entre los electrones de conduccin y los tomos en el cobre (Ejemplo 15.3).

EJEMPLO 15.13

PROBLEMA 15.13

Usando los datos de la Tabla 15.5, calclese (a) la conductividad y (b) la resistividad de Si a temperatura ambiente. (Vase el Ejemplo 15.13.)

15.6. MATERIALES COMPUESTOS

No hay un valor de conductividad caracterstico en los materiales compuestos.Al igual que en el Captulo 14, los materiales compuestos son definidos en funcinde los cuatro tipos fundamentales de materiales. Un compuesto de dos o ms metales ser un conductor. Un compuesto de dos o ms aislantes ser un aislante. Sinembargo, un compuesto que contenga tanto un metal como un aislante, tendr unaconductividad que puede tomar un valor extremo o uno intermedio, dependiendode la distribucin geomtrica de las fases conductora y no conductora. En la Seccin 14.3 se muestra que muchas propiedades de los materiales compuestos, incluida la conductividad elctrica, son sensibles a la geometra (por ejemplo, lasEcuaciones 14.9 y 14.20).

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EJEMPLO 15.14

Calclese la conductividad elctrica paralela a las fibras de refuerzo para un aminio con un 50 por ciento de fibras A120 3.

Solucin

Utilizando la Ecuacin 10.8 y los datos de la Tabla 15.1 (tomando el valor mepara A120 3), resulta

vmffm + v/ t7/ = (0.5X35.36 X 106 T 1 m -1) + ( 0.5 X 1 0'" r ' - m -1)

= 17.68 x 106 f - ' - m -1.

PROBLEMA 15.14

En el Ejemplo 15.14 se calcul la conductividad elctrica paralela a las fibrade refuerzo, de un compuesto A1/A120 3. Calclese la conductividad de es

compuesto, perpendicular a las fibras de refuerzo.

15.7. MATERIALES: CLASIFICACIN ELCTRICA

Ahora ya se puede resumir el sistema de clasificacin implcito en los datos deTabla 15.1. La Figura 15.28 muestra estos datos es una escala logartmica. Lcuatro categoras fundamentales de materiales definidas por el enlace atmico el Captulo 2 se ordenan ahora sobre la base de su capacidad para conducir elec

cidad. Los semiconductores se definen mejor por sus valores intermedios de o csados por una pequea pero finita barrera de energa a la conduccin elctrica separacin entre bandas). Los cermicos, vidrios y polmeros son aislantes, carterizados por una gran oposicin a la conduccin elctrica. Sin embargo, ciermateriales como el ZnO pueden ser semiconductores en una clasificacin elctrio cermicos en una clasificacin por enlaces (Captulo 2). Asimismo, en la Scin 15.3, se observa que ciertos xidos son superconductores. Sin embargo, cose explic en el Captulo 12, en general los cermicos son aislantes. Los materiacompuestos pueden encontrarse en cualquier rango a lo largo de la escala deconductividad, dependiendo de la naturaleza de sus componentes y de la distribcin geomtrica de stos.

R E S U M E N

La conduccin elctrica, como el enlace atmico, proporciona una base paraclasificacin de los materiales de uso en ingeniera. La magnitud de la conductdad elctrica depende tanto del nmero de portadores de carga disponibles code la movilidad relativa de esos portadores. Varias especies cargadas pueden sercomo portadores, pero nuestro inters principal se basa en el electrn. En un sdo, existen bandas de energa que corresponden a niveles de energa discretos

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Figura 15 .28 . Representacin de los datosde conductividad elctrica de la Tabla 15.1.

Se representan los intervalos deconductividad para los cuatros tipos bsicos

de materiales de ingeniera.

108

10

1(T8 - -

cobre

aluminiohierro

cable de acero

sulfato de plomo

germanio

Categora deconductividad

Conductores

silicona

>Semiconductores

xido de aluminio

nylon 6/6 vidrio de borosilicato

- - i- polietileno

Aislantes

tomos aislados. Los metales son conductores trmicos debido a sus altos valoresde conductividad elctrica. ste es el resultado de una banda de valencia sin llenar.La energa trmica, incluso a temperatura ambiente, es suficiente para promoverun gran nmero de electrones por encima del nivel de Fermi a la mitad superior dela banda de valencia. El incremento de temperatura o la adicin de impurezas produce una disminucin de la conductividad en los metales (y un incremento de laresistividad). Cualquier disminucin en la perfeccin de la estructura del cristaldisminuye la capacidad de las ondas del electrn para pasar a travs del metal.

Los termopares y los superconductores son importantes ejemplos de conductores.Los cermicos, vidrios y polmeros son aislantes trmicos porque su conductividad elctrica es tpicamente 20 veces ms baja que en los conductores metlicos.Esto es debido a que hay una gran separacin de energa (mayor que 2 eV) entresus bandas de valencia llenas y sus bandas de conduccin, de manera que la energa trmica es insuficiente para promover un nmero significativo de electronespor encima del nivel de Fermi a la banda de conduccin Ejemplos importantes deaislantes son los ferroelctricos y los piezoelctricos. (Una notable excepcin es lacapacidad de ciertos xidos cermicos para presentar superconductividad a temperaturas relativamente altas.).

Tipoelemental

Metales

Semiconductores

Cermicas (y vidrPolmeros

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Los semiconductores con valores intermedios de conductividad se definen mjor por la naturaleza de su conductiv idad Su separacin de energa es suficienmente pequea (generalmente menor de 2 eV), de manera que un pequeo psignificativo nmero de electrones son promovidos por encima del nivel de Fera la banda de conduccin a temperatura ambiente. Los portadores de carga, en e

caso, son tanto electrones de conduccin como huecos electrnicos creados enbanda de valencia por el ascenso de los electrones. Los materiales compuespueden tener valores de conductividad en cualquier rango, desde el de conduchasta el de aislante, dependiendo de los componentes y de la distribucin geomtrica de esos componentes.

T R MIN OS C L A VE

aislante intensidad crtica polarizacin elctricabanda de conduccin densidad de carga polarizacin espontnea

banda de energa dielctrico polarizacin remanentebanda de valencia dominio portador de cargacampo coercitivo efecto piezoelctrico directo potencial de Seebeck campo elctrico efecto piezoelctrico inverso principio de exclusin de Paulciclo de histresis efecto Seebeck PZTcoeficiente de acoplamiento electrn libre resistencia

piezoelctrico ferroelctrico resistividadcoeficiente trmico funcin de Fermi semiconductor

de resistividad hueco de electrn separacin entre bandascondensador ley de Ohm de energaconduccin elctrica nivel de Fermi superconductorconduccin electrnica par electrn-hueco superconductor 1-2-3

conductividad paraelctrico termoparconductor permitividad elctrica transductorconstante dielctrica piezoelectricidad velocidad de derivacorriente polarizacin de saturacin voltaje

R EF ER EN C IA S

Harper, C. A. y R. N. Sampson, Electronic Materialsand Processes Handbook, 2nd ed., McGraw-Hill, New-York, 2004.

Kittel, C., Introduction to Solid State Physics, 6 th ed.,

John Wiley & Sons, Inc., New Yoric, 1996. Aunque estetexto es de un nivel ms avanzado, es una fuente clsicade informacin sobre las propiedades de los slidos.

Mayer, J. W., y S. S. Lau,Electronic Materials ScienFor Integrated Circuits in Si and GaAs, Macmillan Plishing Company, New York, 1990.

Tu, K. N., J. W. Mayer y L C. Feldman, Electro

Ihin Film Science, Macmillan Publishing Company, NYork, 1992.

P R O B L E M A S

Seccin 15.1 Portadores de carga y conduccin

15.1. (a) Considerando que el circuito de la Figura 15.1contiene, como muestra, una barra cilindrica de 1 cm de

dimetro x 1 0 cm de longitud, con una conductividad7.00 x 106 } - 1 m _l , cul sera la corriente en esta ira si se aplica un voltaje de 10 mV? (b) Reptase la p(a) para una barra de silicio de alta pureza de las mism

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dimensiones. ( Vase la Tabla 15.1.) (c) Reptase la parte(a) para una barra de borosilicato vitreo de las mismas dimensiones. (Vase la Tabla 15.1.)

15.2. Una lmpara opera con un voltaje de 110 V. Si laresistencia del filamento es de 200 Q, calclese el nmerode electrones por segundo que se movern a travs del filamento.

15.3. A una oblea de semiconductor de 0.5 mm de espesor se aplica un potencial de 100 mV. (a) Cul serla velocidad de deriva del electrn si su movilidad es de0.2 m2/ (V s)? (b) Cunto tiempo se requerir para queun electrn se mueva a travs de este espesor?

15.4. Se requiere un hilo de 1 mm de dimetro paratransportar una corriente de 10 A, pero el hilo no debe tener una potencia disipada (I2R) mayor de 10 W por metro

de hilo. De todos los materiales de la Tabla 15.1, cul esel ms apropiado para esta aplicacin?

15.5. Una lmina de metalizado de aluminio de un dispositivo de estado slido posee 1 mm de longitud, un ancho de 5 /my un grosor de 1 fon.Cul es la resistenciade esta lmina?

15.6. Para una corriente de 10 mA circulando en la lmina del Problema 15.5, calclese (a) el voltaje a lo largode la longitud de la lmina y (b) la potencia disipada (I2R).

15.7. Un diseo estructural tiene un cable de 2 mm dedimetro por el que circula una corriente elctrica. Si laresistencia del cable debe ser menor de 25 2, calclese lamxima longitud del cable con los datos de la Tabla 15.1.

15.8. En el diseo del Problema 15.7, calclese la longitud del cable si se permite una seccin de 3 mm de dimetro.

Seccin 15.2 Niveles y bandas de energa

15.9. A qu temperatura se llenar al 25 por ciento elnivel de energa de 5.60 eV de los electrones de plata? (Elnivel de Fermi en la plata es 5.48 eV.)

15.10. Realcese un grfico comparable al de la Figura15.7 para el cobre a 1000K de temperatura, con un nivelde Fermi de 7.04 eV.

15.11. Cul es la probabilidad de que un electrn ascienda a la banda de conduccin en el InSb a (a) 25 C y(b) 50 C? (La separacin entre bandas de energa delInSb es 0.17eV.)

15.12. A qu temperatura tendr d diamante las mmas probabilidades de que un electrn ascienda a la bade conduccin que en el silicio a 25 C? (La respuesesta cuestin indica en qu rango de temperatura el dmante puede ser considerado ms como semiconduque como aislante.)

15.13. H galio forma materiales compuestos semicductores con varios elementos del grupo V A. La sepcin entre bandas de energa decrece sistemticamentmedida que aumenta el nmero atmico del elemento grupo V A. Por ejemplo, la separacin entre bandasenerga para los semiconductores del tipo III-V GGaAs y GaSb es 2.25 eV, 1.47 eV y 0.68 eV, respectmente. Calclese la probabilidad de que un electrncienda a la banda de conduccin en cada uno de estosmiconductores a 25 C.

15.14. La tendencia del Problema 15.13 es geneCalclese la probabilidad de que un electrn ascienda banda de conduccin a 25 C en los semiconductores tipo II-VI CdS y CdTe, que tienen una separacin enbandas de energa de 2.59 eV y 1.5 eV, respectivamen

Seccin 15.3 Conductores

15.15. Una lmina de metalizado de cobre de un dissitivo de estado slido tiene 1 mm de longitud, un ande 5 /my un grosor de 1 /m Si se aplica una voltaje0.1 V a lo laigo de su longitud, cul ser la comentesultante?

15.16. Por un hilo metlico de 1 mm de dimetro ym de longitud circula una corriente de 0.1 A. Si el mes cobre puro a 30 C, cul ser la cada de voltaje alargo de ese hilo?

15.17. Reptase el Problema 15.6 suponiendo que ello es una aleacin a 30 C de cobre con un 0.1 por cieen peso de aluminio.

15.18. Un termopar tipo K opera con una referencia100 C (mediante la ebullicin de agua destilada). Ces la temperatura para la que se obtienen 30 mV?

15.19. Reptase el Problema 15. 18 para un termopacromo/constantan.

15.20. Un homo para la oxidacin de silicio oper1000 C. Cul sera la salida (relativa a un bao de a

y hielo) para (a) un termopar tipo S, (b) un termopar Ky (c) un termopar tipo J?

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15.21. Una importante aplicacin de los conductoresmetlicos en el mbito del procesado de materiales es lafabricacin de hilos metlicos para la resistencia que calientan los hornos. Algunas aleaciones utilizadas comotermopares tambin sirven como elementos de los hornos.

Por ejemplo, considrese el uso de un hilo cromado de 1mm de dimetro para fabricar la resistencia de un homode laboratorio de 1 kW que fiinciona a 110 V. Cul serla longitud de hilo requerida para este diseo? {Nota: La

potencia disipada por la resistencia es I2 R, y la resistividad del hilo cromado, de 1.08 x 1 0 6 2 m.).

15.22. Utilizando la informacin de Problema 15.21,calclense los requerimientos de potencia de un homoconstruido con un hilo cromado de 5 m de longitud y 1mm de dimetro que funciona a 110 V.

15.23. Cul ser la potencia necesaria si el homo delProblema 15.22 funciona a 208 V?

15.

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15 - Shackelford 6ta Ed. Cap. 15