15 đề và đáp án trường điện từ

Khoa c«ng nghÖ th«ng tin céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Bé m«n ®iÖn tö – viÔn th«ng §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc

ĐỀ THI SỐ 1

Môn: Lý thuyết trường điện từ

Thời gian : 90 phút

Hình thức thi : Viết

Câu 1 : (3 điểm)

Trình bày phương trình 1 và 2 của Maxwell và ý nghĩa vật lý của chúng.


Trình bày vê khai niêm vê môi trương không đăng hương


Cho môt hình câu tich điên ban kinh là a. Gia sư điên tich phân phô đêu trên bê

măt của no vơi mật đô điên tich măt ρs = Q/4лa2. Tinh cương đô điên trương tai

nhưng điêm ơ ngoài và ơ trong hình câu


Đât khô co . Hay tìm giơi han theo bươc song đê tư

đo xem đât khô là dân điên và điên môi.

Đáp án:


1. Phương trình Maxwell thứ nhât.

Bằng cach bổ sung thành phân dòng điên dịch vào vế phai của biêu thức

định luật dòng toàn phân cùng vơi dòng điên dân phương trình thứ nhât như sau:

(1)

Phương trình (1.1.31) mô ta môi quan hê giưa cac vectơ của trương điên tư

( ) trong môt vòng kin bât kì cac dòng điên dân chay qua no, mô ta no trong

không gian:

(2)

Vì măt S là tuỳ ý nên ta nhận được phương trình Maxwell thứ nhât dang vi

phân như sau:

(3)

(1 điêm)

Nếu môi trương co đô dân điên riêng σ=0 thì =>

nên phương trình co dang:

(4)

Phương trình chỉ ra : Dòng điên dich hay điên trương biến thiên cũng tao ra

tư trương xoay tương đương dòng điên dân

2. Phương trình Maxwell thứ hai:

Maxwell cho rằng biêu thức của định luật cam ứng điên tư ap dụng không

chỉ cho môt vòng dây dân kin mà mà còn đúng cho bât kì môt vòng kin

nào( không nhât thiết dân điên) trong không gian. Trong trương hợp tổng quat

vòng kin này co thê môt phân nằm trong trân không, phân khac nằm trong điên

môi hay trong kim loai. Ta nhân được phương trình sau:

(5)

(2 điêm)

Nếu ap dụng định lý Grin Stôc cho vế trai vơi S là tuỳ ý nhân được phương

trình sau:

(6)

Vậy tư trương biến thiên tao ra điên trương xoay

3. Ý nghĩa vật lý của phương trình thứ nhât và thứ hai của Maxwell:

Bât kỳ sự biến thiên nào của điên trương đêu gây nên tư trương

xoay(đương sức khép kin) và ngược lai. Điên trương và tư trương biến thiên

không thê tồn tai đôc lập vơi nhau, chúng luôn liên hê mật thiết vơi nhau và liên

tục chuyên tư dang này sang dang khac tao nên song điên tư truyên lan vơi vận

tôc anh sang.

(3 điêm)


Môi trương đăng hương là môi trương mà tinh chât của no ơ moi điêm là

như nhau. Trong cac môi trương này cac véc tơ và là song song vơi

nhau tưng đôi:

Nếu chiếu cac phương trình véc tơ trên xuông cac trục toa đô ta được cac

phương trình vô hương:

(1 điêm)

Đôi vơi cac môi trương bât đăng hương môi quan hê giưa cac véc tơ trên

được xac định qua cac phương trình:

Cac hằng sô co thê được viết dươi dang như sau:

(2 điêm)

goi là tenxơ đô tư thâm

goi là tenxơ đô điên thâm

Trong thực tế không tồn tai cac môi trương mà ca và đêu mang tinh

tenxơ.

Môi trương bât đăng hương co tenxơ đô tư thâm điên hình là pherit được tư

hoa bơi tư trương không đổi; còn môi trương co tenxơ đô điên thâm điên hình là

môi trương ion hoa( môi trương plasma).

(3 điêm)


Ap dụng phương trình 3 của Maxwell dang tich phân:

Lây S là măt câu ban kinh a. Do tinh chât đôi xứng nên D tai moi điêm trên hình

câu là như nhau

(1 điêm)

a) Xét trương hợp thứ nhât: Điêm M ơ ngoài hình câu(r>a)

Ta co: q = Q

D.4 л r2 = Q = ρS.4 лa2

D = ρS.(a2/r2)

b) Trương hợp thứ hai: Điêm M ơ trong hình câu(r<a)

Ta co: q = 0, D = 0.

(2 điêm)


Ta co: ( hằng sô phức tuyêt đôi)

( )

Ty sô giưa phân ao và phân thực của εp chinh là ty sô giưa dòng điên dân và

dòng điên dịch (dòng điên dịch chay trong điên môi, còn dòng điên dân di

chuyên trong kim loai).

- Nếu thì đât co tinh chât của chât điên môi

- Nếu thì đât co tinh chât dân điên.

(1 điêm)

Giơi han theo bươc song đê tư đo xem đât khô là dân điên hay điên môilà:

Mà = (2/3).102(m)

càng lơn thì đât càng co tinh dân điên hơn

Tư đây ta co thê kết luận là:

- Vơi λ > (2/3).102 m thì đât co tinh dân điên.

- Vơi λ < (2/3).102 m thì đât co tinh điên môi.

(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 2

Môn: Lý thuyết trường điện từ

Thời gian : 90 phút





Hay trình bày vê sự phân cực của song điên tư


Môt điên tich dòng Q phân bô đêu theo thê tich qua câu co ban kinh là a, vơi môi

đô điên thâm ε đăt trong không khi. Hay tìm cương đô điên trương E ơ trong và ơ

ngoài qua câu đo

Câu 4 : (2 điểm)Song phăng truyên trong môi trương điên môi đồng nhât đăng hương rông vô han co tham sô ε = 4ε0; ; biên đô cương đô điên trương của song Em = 10-3

(V/m) và f = 106Hz. Lập biêu thức gia trị tức thơi cương đô tư trương của song và mật đô dòng công suât trung bình.

Đáp án:Câu 1 : (3 điểm)

Maxwell coi định luật Gauss và nguyên lý liên tục của tư thông ap dụng

cho ca trương hợp điên trương và tư trương là tĩnh, không đổi cũng như vơi

trương hợp tổng quat của điên tư trương biến thiên theo thơi gian. Ta co:

(1)

(2)

Vì thê tich V là tuỳ ý nên nhận được cac phương trình Maxwell thứ 3 và thứ

4 như sau:

(3)

(4)

(1 điêm)

Đê tiên cho viêc theo dõi, ta viết thành hai dang sau:

Dang tich phân:

(5)

Dang vi phân:

(6) (2

điêm)

Ý nghĩa vật lý của phương trình 3 và 4 của Maxwell:

≠ 0: ta thây đương sức của điên trương là nhưng đương cong

không khép kin mà co điêm đâu tai điên tich +q, điêm cuôi tai –q.

= 0: điên trương sinh ra chỉ do sự biến thiên của tư trương. Đương

sức của no hoăc khép kin hoăc tiến ra vô cực.

đương sức của tư trương vưa khép kin vưa tiến xa vô cực.

(3 điêm)


Ta co cac loai song phân cực cơ ban được sư dụng :

- Phat hình : Song phân cực ngang

- Phat thanh: Song phân cực đứng hoăc ngang

- Song ngắn : Song phân cực ngang

- Song FM: Song phân đứng hoăc ngang

Sự phụ thuôc hương của vectơ E vào thơi gian và không gian goi là sự phân

cực phân cực.

Song điên tư khi truyên lan vectơ cương đô điên trương và tư trương co thê

thay đổi ca vê chỉ sô và hương. Vì vậy khi song truyên lan nếu quan sat điêm

cuôi của vectơ E thì ta thây no vẽ lên môt quỹ đao nào đo

Xét tai môt điêm cô định trong không gian cùng vơi thơi gian điêm cuôi của

vectơ E thực hiên môt chuyên đông tịnh tiến doc theo môt đương thăng thì ta noi

song điên tư phân cực thăng(phân cực tuyến tinh). Tương tự nếu điêm cuôi của

vectơ E vẽ nên môt hình elip ta co phân cực elip, còn vẽ nên đương tròn ta co

phân cực tròn. Nếu nhìn theo hương truyên song vectơ E quay theo chiêu kim

đồng hồ ta co phân cực tròn quay phai, ngược lai co phân cực tròn quay trai.

Gia sư co hai song phăng phân cực tuyến tinh vuông goc vơi nhau ta co:

(1 điêm)

Ở đây Emx, và Emy là biên đô cac song thành phân, φ là goc lêch pha ban đâu

của hai song phăng

Suy ra

Phương trình này biêu diễn môt hình elip

(2 điêm)

Elip co trục lơn làm môt goc φ vơi trục ox

; vơi Emx > Emy

- Khi Emx =Emy; φ = ±π/2 thì phân cực lúc này là phân cực tròn.

- Khi φ = nπ (n = ±1, ±2,...) thì là phân cực thăng.

Như vậy khi t thay đổi véc tơ E sẽ quay cùng vê phia ngược chiêu kim đồng

hồ, vơi chu kỳ: , đâu nút của no vach thành đương elip. Chiêu quay

của là chiêu quay vê phia thành phân trương chậm pha.

(3 điêm)




câu là như nhau


Ta co: q = Q

D.4 л r2 = Q

Môi trương là không khi nên ε = ε0

Mà D = ε.E = E =

(1 điêm)


Ta chứng minh được tư công thức tinh mật đô điên tich

và

Măt khac ta co

Mà D = ε.E

(2 điêm)


Ta co mà

(1)

Biêu thức gia trị tức thơi của cương đô tư trương:

(1) (1 điêm)

Vơi và

Biêu thức tức thơi của mật đô dòng công suât trung bình là:

, vơi Hm co biêu thức như (1). (2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 3

Môn: Lý thuyết trường điện từThời gian : 90 phút



Hay xac định điêu kiên bơ đôi vơi thành phân tiếp tuyến của véc tơ cương đô

điên trương và tư trương trên bê măt phân cach giưa hai môi trương.


Hay trình bày vê song điên tư phăng trong môi trương dân điên.


Tinh trương và thế tao ra bơi môt trục tich điên co mật đô điên tich dài là ρL, tai

điêm cach trục 1 khoang r.


Cho tham sô điên của đât khô:

Hằng sô điên môi tương đôi

Đô dân điên riêng δ = 10-3 1/Ωm.

Chứng to rằng đôi vơi song cực dài( λ = 104 → 105 m) thì măt đât co tinh dân điên tôt hơn, còn đôi vơi song cực ngắn(λ = 10-3 → 10 m)thì măt đât co tinh dân điên kém.


Ap dụng phương trình Maxwell dang tich phân cho môt hình trụ ta được

kết qua sau:

Đê xét điêu kiên bơ vơi thành phân tiếp tuyến của E và H ta xét 1 khung

chư nhật nho ABCD vuông goc vơi măt phăng S12. vì ABCD nho nên giao tuyến

ab của S12 vơi ABCD co thê coi là đương thăng và trương điên tư co thê coi là

không đổi khi đi tư điêm A đến điêm B và tư điêm C đến điêm D

(0,5 điêm)

Cac vectơ đơn vị :

Là vectơ tiếp tuyến vơi măt phân cach S12

là phap tuyến vơi S12

Vuông goc vơi măt ABCD.

Điều kiện bờ đối với Eζ

Ap dụng địmh luật hai ơ dang tich phân:

Lây l làm chu vi của ABCD vế trai co thê viết thành :

Trong đo: E1 E2 là cac vectơ trong môi trương (MT) 1 và môi trương 2

E12 và E21 là cac vectơ vưa ơ trong MT1 và MT2

Khi ∆h → 0 thì AB → ab và CD → ba

BC và AD → 0

(1 điêm)

Như vậy:

vế phai :

Do đo :

Như vây: Thành phân tiếp tuyến của vectơ cương đô điên trương không thay đổi

khi đi qua bê măt phân cach giưa hai môi trương. Thành phân tiếp tuyến của

vectơ điên cam thay đổi hương theo ε khi chuyên qua bê măt phân cach :

D1ζ = (ε1/ε2)D2ζ

(1,5 điêm)

Điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ từ trường :

Ta co :

(2 điêm)

Xét phương trình sau:

Khi ∆h → 0 làm tươngtự như phân trươc ta co:

(٭)

Khi đo vế phai phương trình trên là :

Do D hưu han nên:

Còn ( ٭٭ )

JS là vectơ mật đô dòng điên măt tư (٭) và ( ٭٭ ) ta co :

Như vậy vectơ cương đô tư trương co thành phân tiếp tuyến thay đổi môt lượng

mật đô dòng điên măt khi đi qua bê măt phân cach giưa hai môi trương

(3 điêm)


Trong môi trương dân điên thay ε = εp

Trong môi trương dân điên k là môt sô phức

Đăt k = p-jα

Vơi

(1 điêm)

Biêu thức trương lúc này co dang:

Dang phụ thuôc vào thơi gian:

Như vậy song điên tư truyên lan trong môi trương dân điên biên đô của no

sẽ bị suy giam theo quy luật hàm sô mũ âm( ). Tôc đô pha trong trương hợp

này là:

(2 điêm)

vpha phụ thuôc vào tân sô. Môi trương mà vận tôc pha phụ thuôc vào tân sô

goi là môi trương tan sắc(môi trương tan song). ω,σ mà tăng thì suy ra tăng

suy giam càng nhiêu.

Nếu môi trương co đô dân điên rât lơn thì coi σ = ∞, khi đo

φ ≈ π/4

(3 điêm)



Lây S là hình trụ thăng dài vô han D tai moi điêm trên diên tich xung

quanh(Sxq) của hình trụ như nhau.

Ta co: Sxq = 2лr.l (l →∞) và q = ρL.l D.Sxq = q và D.2лrl = ρL.l

Mà D = εE (1 điêm)

Thế tai điêm cach trục môt khoang r là:

Tương tự tai điêm cach trục môt khoang x:

Điên trương:

Thế:

(2 điêm)

Câu 23:

Mật đô dòng điên dịch chay qua hai ban tụ là:

Mà . Tư đây ta suy

ra được:

Mà

Ap dụng định luật dòng điên toàn phân của Ampe

(1 điêm)

Lây L là chu vi của đương tròn ban kinh r = 1cm. Do tinh chât đôi xứng nên tai

moi điêm trên đương cong L là như nhau.

Còn tổng đai sô cac dòng điên xuyên qua đương cong L là:

(S là diên tich của đương tròn ban kinh r).

(2 điêm)


Ta co hằng sô điên môi phức tương đôi của đât được biêu diễn như sau:

đăc trưng cho tinh chât điên môi

đăc trưng cho tinh chât dân điên.

Ta thây càng lơn thì đât càng co tinh dân điên hơn.

(1 điêm)

- Vơi λ = 104m thì . Tư đây ta suy ra được

đât co tinh dân điên tôt.

Vậy vơi song cực dài λ = 104 → 105 m thì đât co tinh dân điên tôt.

- Vơi λ = 10 m đât co tinh dân điên

kém

Vậy vơi λ = 10-3 → 10 m đât co tinh dân điên kém.

(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 4




Hay xac định điêu kiên bơ đôi vơi thành phân phap tuyến của véc tơ cương đô

điên trương và tư trương trên bê măt phân cach giưa hai môi trương


Trình bày song phăng trong môi trương điên môi lý tương


Co 1 tụ phăng không khi tao thành tư hai ban tròn ban kinh r1 =2cm, và khoang

cach giưa chúng d = 0,5 cm. Tụ điên này là môt phân của mach dòng điên. Trên

hai ban tụ co môt điên ap biến đổi um =sinωt; Um = 500V; ω = (2/7).106 rad/s. Hay

tìm dòng điên dịch toàn phân chay qua hai ban tụ vơi ban kinh r = 1cm.


Cho cap đồng trục được tao bơi hai hình trục dân điên, hình trụ trong co ban kinh

a, trong đo co dao điên I chay doc theo dây. Và hình trụ ngoài co ban kinh b,

trong đo dòng điên cũng bằng I nhưng chay ngược chiêu. Hay tinh cương đô tư

trương tai cac điêm sau: a ≤ r ≤ b, r >b.


Đê xét điêu kiên bơ đôi vơi E1n và Hn ta xét hình trụ co đay S1và S2 nho và đô

cao ∆h .

- Đối với En

Ta xét phương trình Maxwell dang vi phân sau đây:

co thê viết như sau vơi vế trai của phương trình:

Khi ∆h → 0 ta co : (1)

S12* là giao tuyến giưa măt phân cach và hình trụ

(1 điêm)

Tư vế phai của biêu thức (1) ta co :

tư đo ta co tư vế trai và vế phai ta được biêu thức sau đây:

D1n - D2n =ρs

ε1E1n - ε2E2n =ρs

ρs là mật đô điên tich măt

Như vậy thành phân phap tuyến của vectơ điên cam D khi chuyên quabê

măt phân cach 2 môi trương thay đổi môt lượng bằng mật đô điên tich măt ρs.

(2 điêm)

- Điều kiện bờ đối với Hn

Xét phương trình Maxwell

µ1H1n - µ2H2n=0

Như vậy thành phân phap tuyến của vectơ tư cam Bn liên tục khi đi qua bê

măt phân cach hai môi trương.

(3 điêm)


Ta khao sat song phăng

Dang phụ thuôc vào thơi gian(dang tức thơi) như sau:

Trong môi trương điên môi lý tương σ = 0 thì k là sô thực:

Phương trình măt đồng pha của song:

(3.5)

Suy ra: z = 1/k(ωt –cosnt)

(1 điêm)

Ở môi thơi điêm t măt đồng pha của song là măt phăng z = const.Vận tôc

pha là vận tôc di chuyên của măt đồng pha, ký hiêu là

Trong không gian tự do:

Và

(2 điêm)

(3 điêm)




ra được:

Mà


(1 điêm)





(2 điêm)



Xét L là đương tròn co tâm nằm trên trục của cap đồng trục ban kinh r. L vuông

goc vơi trục của cap.

Do tinh chât đôi xứng của cap nên H tai moi điêm trên L là như nhau:

(1 điêm)

- Trương hợp r>b thì

- Trương hợp a≤ r ≤b thì

(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 5




Hay chứng minh và phat biêu định luật bao toàn năng lượng đôi vơi trương điên

tư. Véc tơ Poynting.


Hay trình bày vê hiêu ứng bê măt vật dân.


Co dòng điên không đổi I chay theo dây dân hình trụ tròng ban kinh a. Hay tìm

cương đô trương tai điêm bât kỳ cach trục dây dân 1 khoang r cho hai trương hợp

r>a và r <a.

Câu 4 : (2 điểm)Trong nưa không gian ứng vơi toa đô z>0 là môi trương dân điên, cụ thê là kim loai đồng co đô dân điên riêng , theo phương trục z truyên môt song thăng đồng nhât vơi tân sô f = 105Hz. Hay xac định vận tôc pha, bươc song, trơ khang song, hê sô suy giam và đô thâm sâu của trương(∆) trong kim loai đồng của song. Biên đô cương đô trương sẽ giam đi bao nhiêu lân so vơi bê măt kim loai khi song đi sâu vào được môt khoang d = 1mm.


Trương điên tư là môt dang đăc biêt của vật chât, nên no cũng tuân theo

định luật bao toàn năng lượng.

Tư vật lý năng lượng điên tư trong môt đơn vị thê tich :

H và E thay đổi theo thơi gian và không gian, suy ra W cũng thay đổi

Ap dụng phương trình 1 và 2 củ Maxwell :

;

(1 điêm)

Vậy ta co :

Ta co

Lây tich phân theo thê tich V 2 vế rồi ap dụng định luật Lý Ôtstrôgratski –

Gauss.

(1)

(2)

(2 điêm)

Xét ý nghĩa:

là công suât tiêu hao dươi dang nhiêt trong thê tich V ki hiêu Pt

là Công suât do nguồn ngoài sinh ra trong thê tich V ký hiêu Pe

là tôc đô biến thiên năng lượng điên tư trong V

là công suât chay ngoài V qua diên tich S.

Tom lai: Công suât do nguồn ngoài sinh ra trong thê tich V bằng tổng công suât

tiêu hao dươi tac dụng nhiêt trong V, công suât chay ra ngoài V qua diên tich S

và công suât làm thay đổi điên tư trương trong V. Đo chinh là định luật bao toàn

năng lượng đôi vơi trương điên tư.

(3 điêm)


Trong vật dân điên tôt (σ >>1) ta co : (1)

Khi σ rât lơn thì α cũng rât lơn dân đến suy giam càng nhiêu, ta thây biên đô

cương đô trương suy giam rât nhanh khi truyên vào trong vật dân. Nghĩa là song

điên tư chỉ tồn tai ơ môt lơp rât mong sat bê măt của vật dân điên tôt. Khi cho

dòng điên cao tân chay trong vật dân điên tôt ngươi ta cũng thây dòng điên này

chỉ tồn tai trên môt lơp theo định luật Ôm.

Jd = σE

đôi vơi dang khao sat: E=Eme-αze-jβz

Jd =σ Eme-αze-jβz =J0e-αze-jβz (2)

J0 là mật đô dòng chên bê măt vật chât J0 = σEm

(1 điêm)

Mật đô dòng điên sẽ giam dân khi đi vào sâu trong vật dân theo quy luật

giông như biên đô cương đô điên trương

Hiên tượng song điên tư hay song điên cao tân khi truyên trong vật dân điên

tôt chỉ tập chung ơ môt lơp rât mong trên bê măt của no goi là hiêu ứng bê măt,

hay hiêu ứng Skin

Đê đăc trưng cho hiêu ứng bê măt ngươi ta đưa vào khai niêm đô thâm sâu

của trương hay đô sâu thâm nhập của trương ∆, đo là khoang cach mà ứng vơi no

biên đô cương đô trương suy giam đi e lân: e ≈2,718…

Ta co :

eα∆ = e suy ra ∆ = 1/α

(2 điêm)

Hiêu ứng bê măt được ap dụng trong thực tế (ma vàng, bac), khi làm giam

tiêu hao khi truyên song điên tư ngươi ta chỉ ma môt lơp mong vàng hoăc bac lên

bê măt kim loai.

Khi tinh toan cac bài toan ngươi ta thây khai niêm trơ khang măt của kim

loai: ZS = RS + ρXS

RS là trơ đăc trưng cho công suât tiêu hao

XS là cam khang của măt riêng ZS

Vận tôc pha:

(3 điêm)



Lây L là chu vi của đương tròn ban kinh r. Do tinh chât đôi xứng nên tai moi

điêm trên đương cong L là như nhau.

(1 điêm)

- Trương hợp r>a:

- Trương hợp r<a:

(2 điêm)


Ta co lơn nên

Vận tôc pha:

Mà

Và

(1 điêm)

Ta co: (1) mà trên bê măt thì z = 0 nên biên đô của

phương trình (1) là Em.

Khi song đi sâu môt đoan d = 1mm, lúc đo biên đô của phương trình (1) là

biên đô song suy giam: lân

(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 6




Hay trình bày vê hê phương trình Maxwell dang biên đô phức.


Trình bày song phăng trong môi trương điên môi lý tương


Ap dụng định luật Biôxava đê tinh tư trương tao bơi môt dây dân manh co dòng

điên I tai điêm cach trục môt khoang r.




Trong thực tế thương găp cac dao đông điêu hòa. Măt khac 1 dao đông điêu

hòa không phai là điêu hòa thì bằng phép biến đổi Fourier bao giơ cũng co thê

phân tich thành tổng của cac dao đông điêu hòa. Vì vậy viêc nghiên cứu trương

điêu hòa như môt tập hợp riêng của trương điên tư là rât cân thiết. Cho dao đông

điêu hòa:

Ta đa biết phương phap biên đô phức làm cho phương trình phân tich cac

dao đông điêu hòa trơ nên đơn gian đi rât nhiêu. Sư dụng phương phap biên đô

phức ta đưa vào phương trình trên như sau:

(1 điêm)

Trong đo: : Biên đô phức của véc tơ

Ap dụng định công thức ơle:

Ta co:

Như vậy đôi vơi trương điêu hòa tương ứng vơi cac véc tơ , , , ,

ta co dang biên đô phức tương ứng , , , , .

Hê phương trình Maxwell ơ dang biên đô phức :

- Phương trình 1:

Sư dụng phương phap biên đô phức ta đưa vào ký hiêu:

(2 điêm)

Thay vào phương trình 1 của Maxwell ta co:

- Tương tự vơi cac phương khac ta co được hê phương trình Maxwell dang

biên đô phức:

(3 điêm)


Ta khao sat song phăng

Dang phụ thuôc vào thơi gian(dang tức thơi) như sau:

Trong môi trương điên môi lý tương σ = 0 thì k là sô thực:

Phương trình măt đồng pha của song:

(3.5)

Suy ra: z = 1/k(ωt –cosnt)

(1 điêm)

Ở môi thơi điêm t măt đồng pha của song là măt phăng z = const.Vận tôc

pha là vận tôc di chuyên của măt đồng pha, ký hiêu là

Trong không gian tự do:

Và

(2 điêm)

(3 điêm)


Ap dụng định luật Biôxava(Định luật Ampe)

Mà ta co . Tư đây ra suy ra:

Tư hình vẽ ta thây

(1 điêm)

(1)

(2)

Khi l biến đổi tư -∞ → +∞ thì biến đổi tư 0 đến л.

Thay (2) vào (1) ta co:

(2 điêm)


Ta co mà


(1)

(1 điêm)

Vơi và


, vơi Hm co biêu thức như (1).

(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 7




Trình bày vê hằng sô điên môi phức và goc tiêu hao điên môi trong trương điêu

hòa.


Trình bày vê thế chậm của lương cực điên (dipole điên )


Môt điên tich dòng Q phân bô đêu theo thê tich qua câu co ban kinh là a, vơi môi

đô điên thâm ε đăt trong không khi. Hay tìm cương đô điên trương E ơ trong và ơ

ngoài qua câu đo.


Trong nưa không gian ứng vơi toa đô z>0 là môi trương dân điên, cụ thê là kim loai đồng co đô dân điên riêng , theo phương trục z truyên môt song thăng đồng nhât vơi tân sô f = 105Hz. Hay xac định vận tôc pha, bươc song, trơ khang song, hê sô suy giam và đô thâm sâu của trương(∆) trong kim loai đồng của song. Biên đô cương đô trương sẽ giam đi bao nhiêu lân so vơi bê măt kim loai khi song đi sâu vào được môt khoang d = 1mm.


- Tư phương trình 1 của Maxwell dang biên đô phức:

Và ta co

Trong đo : là hằng sô điên môi phức tuyêt đôi của môi trương

là hằng sô điên môi phức tương đôi của môi trương.

Co thê chứng minh rằng ty sô giưa phân ao và phân thực của là : là

ty sô điên dân và điên dịch, no đăc trưng cho tiêu hao trong môi trương điên môi.

Đăt tg = ; là goc tiêu hao điên môi

Nếu là chât điên môi: tg < 0,001

Dân điên: tg > 100

Ban dân 0,01 < tg <100

(3 điêm)


a) Định nghĩa và các giả thiết

Định nghĩa : Lương cực điên là môt dang dây dân thăng, manh ngắn trên no co

dòng điên biến đổi do nguồn ngoài cung câp. Trong thực tế kỹ thuật, lương cực

điên là phân tư cơ ban đê câu tao nên cac Ăngten dây, Ăngten chân tư,..

Trương bức xa của Ăngten này là chồng chât trương bức xa của tập hợp

vô sô cac lương cực điên đăt nôi tiếp nhau.

Các giả thiết :

- Môi trương bao quanh lương cực điên là điên môi lý tương (ε,µ= hằng sô

và σ = 0 ).

- Chiêu dài của lương cực l<<λ( bươc song).

- Dòng điên nuôi lương cực điên là điêu hoà vơi tân sô ω

(1 điêm)

b) Thế chậm của lưỡng cực điện

Đăt lượng cực điên vào hê toa đô câu, trục của lương cực đăt theo trục OZ

Dòng điên điêu hoà nuôi lương cực co dang:

S là tiết diên ngang của lương cực điên

Ap dụng công thức thế chậm (1) cho véc tơ của

phương trình song (1)ta được:

(2 điêm)

Vì dòng điên trong lương cực chỉ chay theo phương trục z nên cũng

hương theo trục z.

Vì V=S*l là thê tich của lương cực điên nên tich phân trên co thê viết dươi

dang gon hơn:

(2)

Vì l rât manh và ngắn nên co thê coi dòng tai moi điêm trên lương cực điên

co biên đô và pha như nhau. Hơn nưa r >> l nên:

(3)

Vì

Nên (4)

Tư biêu thức nếu sư dụng biêu thức và ta

sẽ tìm được cac véc tơ , .

(3 điêm)




câu là như nhau

c) Xét trương hợp thứ nhât: Điêm M ơ ngoài hình câu(r>a)

Ta co: q = Q

D.4 л r2 = Q

Môi trương là không khi nên ε = ε0

Mà D = ε.E = E =

(1 điêm)

d) Trương hợp thứ hai: Điêm M ơ trong hình câu(r<a)

Ta chứng minh được tư công thức tinh mật đô điên tich

và

Măt khac ta co

Mà D = ε.E

(2 điêm)


Ta co lơn nên

Vận tôc pha:

Mà

Và

(1 điêm)





(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 8




Trình bày nguyên lý xếp chồng và nguyên lý đổi lân của trương điên tư.


Trình bày vê thế chậm của trương điên tư.




nhưng điêm ơ ngoài và ơ trong hình câu.

Câu 4 : (2 điểm)Cho cap đồng trục được tao bơi hai hình trục dân điên, hình trụ trong co ban kinh a, trong đo co dao điên I chay doc theo dây. Và hình trụ ngoài co ban kinh b, trong đo dòng điên cũng bằng I nhưng chay ngược chiêu. Hay tinh cương đô tư trương tai cac điêm sau: a ≤ r ≤ b, r >b.


Noi chung khi giai cac bài toan vê điên tư trương là môt công viêc phức tap. Vì

vậy trong môt sô trương hợp đê giai cac bài toan môt cach đơn gian và nhanh

chong hơn ngươi ta ap dụng môt sô nguyên lý cơ ban của trương điên tư.

1. Nguyên lý xếp chông

Đôi vơi môi trương tuyến tinh phương trình vi phân viết cho cac véc tơ điên

tư trương cũng là tuyến tinh. Tư giao trình toan hoc ta đa biết tổng cac nghiêm

riêng của bât kỳ phương trình vi phân tuyến tinh nào cũng là nghiêm riêng của

phương trình này. Do đo ta co thê thây rằng: trương do môt sô nguồn nào đo sẽ là

tổng véc tơ cac trương của tưng nguồn. Đây chinh là nôi dung của nguyên lý xếp

chồng. Nhưng co môt điêu là nguyên lý này không được ap dụng đôi vơi công

suât hoăc năng lượng.

Thi du: Gia sư co n nguồn dòng

Goi là trương do gây ra khi

Tương tự: là trương do gây ra khi

là trương do gây ra khi

Tư đây ta suy ra trương do gây ra là:

(1 điêm)

2. Nguyên lý đôi lân

a, Nguyên lý đổi lân được suy ra tư tinh chât đôi xứng của cac phương trình

Maxwell. Xét phương trình Maxwell ơ đo không co nguồn ngoài.

(a) (b)

Nếu điêu kiên phép đổi lân: thì hê (a) trơ thành hê (b) và

ngược lai. Điêu này co nghĩa là: Nếu như co hai bài toan điên đông mà tât ca cac

điêu kiên đôi vơi (hoăc ) của bài toan này sẽ trơ thành cac điêu kiên đôi vơi

(hoăc của bài toan kia. Khi thực hiên phép đổi lân thì nếu biết nghiêm của bài

toan thứ nhât ta co thê suy ra được nghiêm của bài toan thứ 2.

(2 điêm)

Thi du: Nếu như ta tìm được cac biêu thức đôi vơi cac hê sô tich phân được xac

định tư điêu kiên thành phân tiếp tuyến của véc tơ = 0. Trên bê măt biên giơi

của 2 môi trương thì khi thực hiên phép đổi lân: ta sẽ được biêu

thức đôi vơi mà thành phân tiếp tuyến của cũng bằng không trên bê măt

phân cach.

b, Nguyên lý đổi lân cũng ap dụng được đôi vơi không gian ơ đo co nguồn điên

tư trương. Lúc này hê phương trình Maxwell co dang:

Đê và đôi xứng ta phai đưa vào cac đai lượng quy ươc

: mật đô dòng tư

: mật đô khôi tư tich.

- Cac đai lượng trong tự nhiên không co, ta đưa vào chỉ nhằm mục

đich làm cho hê phương trình Maxwell đôi xứng vơi , . Do đo co thê ap

dụng nguyên lý đổi lân: ;

Hê phương trình Maxwell là:

(3 điêm)


Muôn tìm , ta phai giai cac phương trình song Đalămbe. So sanh vơi

cac phương trình Đalămbe ta thây chúng đêu co dang giông nhau. Do vậy, chỉ

cân tìm nghiêm của 1 phương trình co dang sau:

(1)

Trong đo: đai diên cho

g đai diên cho phương trình vế phai của cac phương trình song.

Co thê tìm được nghiêm của phương trình song Đalămbe(1) co dang như sau:

(3)

(1 điêm)

V: là thê tich chứa nguồn

r: là khoang cach tư điêm tinh trương M tơi cac điêm nguồn(vi phân thê tich

dV)

là vận tôc truyên song trong môi trương

Tư phương trình (3) ta thây rằng trương tai điêm khao sat ơ thơi điêm t

được xac định không phai bơi gia trị nguồn tai thơi điêm t mà được xac định bơi

gia trị của nguồn ơ thơi điêm sơm hơn t môt khoang thơi gian là , chinh là

khoang thơi gian đê truyên tư nguồn đến điêm quan sat vơi vận tôc v hưu han.

Như vậy trương ơ điêm quan sat chậm pha so vơi nguồn môt khoang thơi gian .

Do đo nghiêm (3) đúng là thế chậm của trương điên tư.

(2 điêm)

Nếu trương là điêu hòa thì:

Vơi : là sô song trong môi trương.

Do đo thế chậm của trương điên tư co dang:

(4)

Trương tai điêm khao sat chậm pha so vơi trương tai điêm nguồn môt lượng

là –kr.

(3 điêm)




câu là như nhau

(1 điêm)

c) Xét trương hợp thứ nhât: Điêm M ơ ngoài hình câu(r>a)

Ta co: q = Q

D.4 л r2 = Q = ρS.4 лa2

D = ρS.(a2/r2)

d) Trương hợp thứ hai: Điêm M ơ trong hình câu(r<a)

Ta co: q = 0, D = 0.

(2 điêm)






(1 điêm)



(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 9




Hay xac định điêu kiên bơ đôi vơi thành phân phap tuyến của véc tơ cương đô

điên trương và tư trương trên bê măt phân cach giưa hai môi trương


Hay trình bày vê song điên tư phăng trong môi trương dân điên




r>a và r <a.

Câu 4 : (2 điểm)Đât khô co . Hay tìm giơi han theo bươc song đê tư đo xem đât khô là dân điên và điên môi.


Đê xét điêu kiên bơ đôi vơi E1n và Hn ta xét hình trụ co đay S1và S2 nho và đô

cao ∆h .

- Đối với En

Ta xét phương trình Maxwell dang vi phân sau đây:

co thê viết như sau vơi vế trai của phương trình:

Khi ∆h → 0 ta co : (1)

S12* là giao tuyến giưa măt phân cach và hình trụ

(1 điêm)

Tư vế phai của biêu thức (1) ta co :

tư đo ta co tư vế trai và vế phai ta được biêu thức sau đây:

D1n - D2n =ρs

ε1E1n - ε2E2n =ρs

ρs là mật đô điên tich măt

Như vậy thành phân phap tuyến của vectơ điên cam D khi chuyên quabê

măt phân cach 2 môi trương thay đổi môt lượng bằng mật đô điên tich măt ρs.

(2 điêm)

- Điều kiện bờ đối với Hn

Xét phương trình Maxwell

µ1H1n - µ2H2n=0

Như vậy thành phân phap tuyến của vectơ tư cam Bn liên tục khi đi qua bê

măt phân cach hai môi trương.

(3 điêm)


Trong môi trương dân điên thay ε = εp

Trong môi trương dân điên k là môt sô phức

Đăt k = p-jα

Vơi

(1 điêm)

Biêu thức trương lúc này co dang:

Dang phụ thuôc vào thơi gian:

Như vậy song điên tư truyên lan trong môi trương dân điên biên đô của no

sẽ bị suy giam theo quy luật hàm sô mũ âm( ). Tôc đô pha trong trương hợp

này là:

(2 điêm)

vpha phụ thuôc vào tân sô. Môi trương mà vận tôc pha phụ thuôc vào tân sô

goi là môi trương tan sắc(môi trương tan song). ω,σ mà tăng thì suy ra tăng

suy giam càng nhiêu.

Nếu môi trương co đô dân điên rât lơn thì coi σ = ∞, khi đo

φ ≈ π/4

(3 điêm)





(1 điêm)



(2 điêm)



( )

Ty sô giưa phân ao và phân thực của εp chinh là ty sô giưa dòng điên dân và dòng

điên dịch (dòng điên dịch chay trong điên môi, còn dòng điên dân di chuyên

trong kim loai).



(1 điêm)


Mà = (2/3).102(m)





(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 10




Hay trình bày vê định luật bao toàn điên tich.


Hay trình bày vê trương tĩnh điên.


Co 1 tụ phăng không khi tao thành tư hai ban tròn ban kinh r1 =2cm, và khoang

cach giưa chúng d = 0,5 cm. Tụ điên này là môt phân của mach dòng điên. Trên

hai ban tụ co môt điên ap biến đổi um =sinωt; Um = 500V; ω = (2/7).106 rad/s. Hay

tìm dòng điên dịch toàn phân chay qua hai ban tụ vơi ban kinh r = 1cm.







Điên tich co thê phân bô gian đoan hay liên tục. No không tự nhiên sinh ra

và cũng không tự nhiên mât đi. Điên tich tuân theo định luật bao toàn. Định luật

bao toàn điên tich (do Farađây tìm ra qua thực nghiêm năm 1843) được phat

biêu như sau:

Lượng điên tich đi ra khoi môt măt kin S bao quanh thê tich V trong môt

khoang thơi gian nào đo bằng lượng điên tich ơ trong thê tich này bị giam đi

trong khoang thơi gian ây.

Đi xac định dang toan hoc của định luật:

Gia sư trong thê tich V tùy ý của môi trương vật chât được bao bơi măt kin S tai

thơi điêm t chứa môi lượng điên tich là Q vơi mật đô khôi ρ:

(1)

(1 điêm)

Sau môt khoang thơi gian dt lượng điên tich trong thê tich V giam đi 1

lượng là dQ. Theo định luật bao toàn điên tich lượng điên tich giam đi trong V

bằng lượng điên tich đi ra khoi V qua măt S trong khoang thơi gian dt đê tao ra

dòng điên dân I.

(2)

Vì thê tich V đứng yên nên chúng ta co hên thức sau đây:

(3)

(2 điêm)

Định luật trên là dang tich phân, nếu ap dụng biêu thức định lý

Ôtstrogratski – Gauss cho vế trai ta được:

(4)

Vì thê tich V là tùy ý nên suy ra:

(5)

Biêu thức trên đây là dang vi phân của định luật bao toàn điên tich hay goi

là phương trình liên tục.

(3 điêm)


Trương tĩnh điên là trương được tao ra bơi cac điên tich đứng yên và không đổi

theo thơi gian.

Hay J = 0; (1)

Trương tĩnh điên là 1 trương thế ngoài co nên co thê biêu diễn qua

1 biến mơi (2) ( vì thế ).

Thế φ của trương điên tĩnh theo (2) co thê xac định bằng biêu thức:

(3)

(1 điêm)

Công A của trương tĩnh điên theo 1.18 được thực hiên khi di chuyên 1 điên

tich điêm(+) q = 1C tư điêm M1 đến điêm M2 là:

(4)

Trong đo là thế của trương tĩnh điên tai M1, M2.

; ;

( Tich phân theo đương cong L khép kin)

Ta co: (5)

Ta co:

(6)

Phương trình (6) goi là phương trình Poison. Phương trình này liên hê thế

và điên tich tai môt điêm bât kỳ của trương.

- Tai nhưng điêm mà ơ đo mật đô điên trương bằng không thì ta co ,

phương trình (6) trơ thành phương trình Laplas.

Giai phương trình Poison co nghiêm: (7)

r là khoang cach tư điêm tinh trương đến vi phân thê tich dV.

(2 điêm)

- Đôi vơi điên tich điêm ta co:

(8)

Ta co:

Ta được: (9)

Trương hợp điên tich điêm ta co:

(10)

Nếu đưa vào trương của điên tich q môt điên tich thư q1, ta co:

(11)

Biêu thức (11) chinh là định luật Culông. Vì vậy định luật Culông là hê

qua của phương trình Maxwell đôi vơi trương tĩnh điên.

(3 điêm)




ra được:

Mà


(1 điêm)





(2 điêm)






(1 điêm)





kém


(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 11




Hay chứng minh và phat biêu định luật bao toàn năng lượng đôi vơi trương điên

tư – Định lý Umôp-Poynting


Trình bày vê tư trương của dòng điên không đổi.







Trương điên tư là môt dang đăc biêt của vật chât, nên no cũng tuân theo

định luật bao toàn năng lượng.

Tư vật lý năng lượng điên tư trong môt đơn vị thê tich :

H và E thay đổi theo thơi gian và không gian, suy ra W cũng thay đổi

Ap dụng phương trình 1 và 2 củ Maxwell :

;

(1 điêm)

Vậy ta co :

Ta co

Lây tich phân theo thê tich V 2 vế rồi ap dụng định luật Lý Ôtstrôgratski –

Gauss.

(1)

(2)

(2 điêm)

Xét ý nghĩa:

là công suât tiêu hao dươi dang nhiêt trong thê tich V ki hiêu Pt

là Công suât do nguồn ngoài sinh ra trong thê tich V ký hiêu Pe

là tôc đô biến thiên năng lượng điên tư trong V

là công suât chay ngoài V qua diên tich S.

Tom lai: Công suât do nguồn ngoài sinh ra trong thê tich V bằng tổng công suât

tiêu hao dươi tac dụng nhiêt trong V, công suât chay ra ngoài V qua diên tich S

và công suât làm thay đổi điên tư trương trong V. Đo chinh là định luật bao toàn

năng lượng đôi vơi trương điên tư.

(3 điêm)


Trang thai riêng quan trong thứ 2 là tư trương do dòng điên không đổi tao ra. Đây

là trang thai dưng của trương điên tư: J 0,

(1) (2)

Tương tự như trương tĩnh điên, đôi vơi trương dưng ta cũng co nhưng nhận

xét sau:

- Điên trương và tư trương dưng không đôc lập vơi nhau nưa mà liên tục

vơi nhau thông qua .

- Trương dưng co nên điên trương dưng là môt trương thế co thê đăt

- Tư trương dưng co tinh chât xoay vì nên không thê dùng thế

và co thê biêu diễn qua biến mơi (3)

Vì trong đo là véc tơ thế, ta co:

Đê xac định đơn trị thì ta thêm môt điêu kiên tùy ý. Đê đơn gian ta lây

(4) . Biêu thức (4) goi là phương trình Poison cho .

Phương trình véc tơ này tương đương vơi (5) phương trình sau:

(5)

(1 điêm)

Nghiêm của phương trình (5) là (6)

Dang véc tơ của no là: (7)

Biêu thức xac định và là:

(8)

(9)

Trương hợp dòng điên chay trong dây dân co thiết diên ngang nho co thê bo

qua so vơi chiêu dài dây dân và khoang cach tư dây đến điêm quan sat. Véc tơ

thế lúc này co dang:

(10)

Và (11) hay (12)

(2 điêm)

Ap dụng hằng đăng thức véc tơ:

lây ta co:

Bơi vì trương được tinh ơ điêm quan sat M vơi toa đô x, y, z mà không

phụ thuôc vào điêm M nên , và thay

vào biêu thức (12) ta co:

(10)

Biêu thức (10) là biêu thức dang tich phân của định luật Biôxava. Còn dang

vi phân như sau:

(11)

Kết luận: định luật Biôxava là hê qua của phương trình Maxwell đôi vơi trương

dưng.

(3 điêm)






Mà D = εE

(1 điêm)



Điên trương:

Thế:

(2 điêm)


Ta co mà


(1)

(1 điêm)

Vơi và


, vơi Hm co biêu thức như (1).

(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 12




Hay xac định điêu kiên bơ đôi vơi thành phân tiếp tuyến của véc tơ cương đô

điên trương và tư trương trên bê măt phân cach giưa hai môi trương.


Hay trình bày nguyên lý Huy ghen – Kiếc hôp và nguyên lý dòng tương đương

vê hiên tượng nhiễu xa.


Ap dụng định luật Biôxava đê tinh tư trương tao bơi môt dây dân manh co dòng

điên I tai điêm cach trục môt khoang r.


Đât khô co . Hay tìm giơi han theo bươc song đê tư đo xem đât khô là dân điên và điên môi.


Ap dụng phương trình Maxwell dang tich phân cho môt hình trụ ta được

kết qua sau:

Đê xét điêu kiên bơ vơi thành phân tiếp tuyến của E và H ta xét 1 khung

chư nhật nho ABCD vuông goc vơi măt phăng S12. vì ABCD nho nên giao tuyến

ab của S12 vơi ABCD co thê coi là đương thăng và trương điên tư co thê coi là

không đổi khi đi tư điêm A đến điêm B và tư điêm C đến điêm D

(0,5 điêm)

Cac vectơ đơn vị :

Là vectơ tiếp tuyến vơi măt phân cach S12

là phap tuyến vơi S12

Vuông goc vơi măt ABCD.

Điều kiện bờ đối với Eζ

Ap dụng địmh luật hai ơ dang tich phân:

Lây l làm chu vi của ABCD vế trai co thê viết thành :

Trong đo: E1 E2 là cac vectơ trong môi trương (MT) 1 và môi trương 2

E12 và E21 là cac vectơ vưa ơ trong MT1 và MT2

Khi ∆h → 0 thì AB → ab và CD → ba

BC và AD → 0

(1 điêm)

Như vậy:

vế phai :

Do đo :

Như vây: Thành phân tiếp tuyến của vectơ cương đô điên trương không thay đổi

khi đi qua bê măt phân cach giưa hai môi trương. Thành phân tiếp tuyến của

vectơ điên cam thay đổi hương theo ε khi chuyên qua bê măt phân cach :

D1ζ = (ε1/ε2)D2ζ

(1,5 điêm)

Điều kiện bờ đối với thành phần tiếp tuyến của vectơ cường độ từ trường :

Ta co :

(2 điêm)

Xét phương trình sau:

Khi ∆h → 0 làm tươngtự như phân trươc ta co:

(٭)

Khi đo vế phai phương trình trên là :

Do D hưu han nên:

Còn ( ٭٭ )

JS là vectơ mật đô dòng điên măt tư (٭) và ( ٭٭ ) ta co :

Như vậy vectơ cương đô tư trương co thành phân tiếp tuyến thay đổi môt lượng

mật đô dòng điên măt khi đi qua bê măt phân cach giưa hai môi trương

(3 điêm)


1. Nguyên lý HUYGHEN – KIẾCHỐP

Nguyên lý cho ta được nghiêm của phương trình song thuân nhât đôi vơi

môi hàm vô hương nào đo hoăc môt thành phân vuông goc bât kỳ của vectơ

cương đô điên trương. No được ap dụng gia bài toan nhiễu xa gân đúng. Tìm

nghiêm của phương trình sau:

Tai điêm P bât kì trong vùng V được giơi han bơi măt kin S. Ap dụng định

lý Grin cho hàm và

ơ đây hàm Φ là tuỳ ý, chon sao cho

Ở đây r là khoang cach tư điêm tinh trương P đến điêm bât kỳ trong vùng V. tai

đây Φ → ∞ khi r → 0 khi đo ta co:

Cac đao hàm theo phap tuyến trên S và S0 hương ra ngoài vùng V. Do đo trên

măt S0 ta co:

(1 điêm)

2. Nguyên lý dòng tương đương

Gia sư cac nguồn q1, q2, q3, q4,…qn đăt trong vùng V giơi han bơi măt kin S

chúng ta cân tim trương ơ điêm P bât kì trong không gian V’ ngoài măt S.

Theo nguyên lý Huyghen-Kiêchôp ta co thê tinh trương tai P trong V’ của cac

nguồn đẵ cho qua cac nguồn bức xa nguyên tô phân bô trên măt S tao ra. Cac

nguồn nguyên tô phân bô trên măt S được goi là cac nguồn dòng tương đương .

Cac thành phân tiếp tuyến của điên trương và tư trương sat bên trong măt S

bằng không.

(1)

Theo nguyên lý nghiêm duy nhât, môn đê nguồn đa cho và trương của

nguồn dòng tương đương tao ra ơ điêm P trong vùng V’ trung vơi nhau phai co

điêu kiên là: cac thành phân tiếp tuyến của cương đô điên trương và tư trương

của hai trương này trên măt S ơ phia bên ngoài phai bằng nhau và chúng khac

không:

E’τng = Eτng ≠ 0

H’τng = Hτng ≠ 0 (2)

(2 điêm)

Tư biêu thức (1)và (2)chúng ta thây cac thành phân tiếp tuyến của cương đô

trương của nguồn dòng tương đương biến đổi nhay vot tư 0 sang khac không khi

qua măt giơi han S. Tồn tai dòng điên măt IS và tư măt ISM:

(3)

ơ đây n0 là vectơ đơn vị phap tuyến ngoài của măt giơi han S. Ap dụng phương

phap thế điên đông chúng ta tìm được biêu thức cho cac thế chậm vectơ điên và

tư do cac nguồn dòng tương đương IS và ISM trên S tao ra tai điêm P trong V’ lúc

đo ta co:

(4)

Trong công thức (4) cac tham sô như ε, μ và sô song k phai tinh trong môi trương

ơ vùng không gian ngoài V’

Cac biêu thức (3) và (4) là biêu thức nguyên lý dòng tương đương của

trương điên tư. Nguyên lý này được ứng dụng đê giai bài toan nhiễu xa song điên

tư rât lợi.

(3 điêm)


Ap dụng định luật Biôxava(Định luật Ampe)

Mà ta co . Tư đây ra suy ra:

Tư hình vẽ ta thây

(1 điêm)

(1)

(2)

Khi l biến đổi tư -∞ → +∞ thì biến đổi tư 0 đến л.

Thay (2) vào (1) ta co:

(2 điêm)



( )

Ty sô giưa phân ao và phân thực của εp chinh là ty sô giưa dòng điên dân và dòng

điên dịch (dòng điên dịch chay trong điên môi, còn dòng điên dân di chuyên

trong kim loai).



(1 điêm)


Mà = (2/3).102(m)





(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 13




Hay trình bày vê hê phương trình Maxwell dang biên đô phức.


Trình bày vê trương tĩnh điên.




r>a và r <a.


Cho cap đồng trục được tao bơi hai hình trục dân điên, hình trụ trong co ban kinh

a, trong đo co dao điên I chay doc theo dây. Và hình trụ ngoài co ban kinh b,

trong đo dòng điên cũng bằng I nhưng chay ngược chiêu. Hay tinh cương đô tư

trương tai cac điêm sau: a ≤ r ≤ b, r >b.


Trong thực tế thương găp cac dao đông điêu hòa. Măt khac 1 dao đông điêu

hòa không phai là điêu hòa thì bằng phép biến đổi Fourier bao giơ cũng co thê

phân tich thành tổng của cac dao đông điêu hòa. Vì vậy viêc nghiên cứu trương

điêu hòa như môt tập hợp riêng của trương điên tư là rât cân thiết. Cho dao đông

điêu hòa:

Ta đa biết phương phap biên đô phức làm cho phương trình phân tich cac

dao đông điêu hòa trơ nên đơn gian đi rât nhiêu. Sư dụng phương phap biên đô

phức ta đưa vào phương trình trên như sau:

(1 điêm)

Trong đo: : Biên đô phức của véc tơ

Ap dụng định công thức ơle:

Ta co:

Như vậy đôi vơi trương điêu hòa tương ứng vơi cac véc tơ , , , ,

ta co dang biên đô phức tương ứng , , , , .

1. Hê phương trình Maxwell ơ dang biên đô phức

- Phương trình 1:

Sư dụng phương phap biên đô phức ta đưa vào ký hiêu:

(2 điêm)

Thay vào phương trình 1 của Maxwell ta co:

- Tương tự vơi cac phương khac ta co được hê phương trình Maxwell dang

biên đô phức:

(3 điêm)


Trương tĩnh điên là trương được tao ra bơi cac điên tich đứng yên và không đổi

theo thơi gian.

Hay J = 0; (1)

Trương tĩnh điên là 1 trương thế ngoài co nên co thê biêu diễn qua

1 biến mơi (2) ( vì thế ).

Thế φ của trương điên tĩnh theo (2) co thê xac định bằng biêu thức:

(3)

(1 điêm)

Công A của trương tĩnh điên theo 1.18 được thực hiên khi di chuyên 1 điên

tich điêm(+) q = 1C tư điêm M1 đến điêm M2 là:

(4)

Trong đo là thế của trương tĩnh điên tai M1, M2.

; ;

( Tich phân theo đương cong L khép kin)

Ta co: (5)

Ta co:

(6)

Phương trình (6) goi là phương trình Poison. Phương trình này liên hê thế

và điên tich tai môt điêm bât kỳ của trương.

- Tai nhưng điêm mà ơ đo mật đô điên trương bằng không thì ta co ,

phương trình (6) trơ thành phương trình Laplas.

Giai phương trình Poison co nghiêm: (7)

r là khoang cach tư điêm tinh trương đến vi phân thê tich dV.

(2 điêm)

- Đôi vơi điên tich điêm ta co:

(8)

Ta co:

Ta được: (9)

Trương hợp điên tich điêm ta co:

(10)

Nếu đưa vào trương của điên tich q môt điên tich thư q1, ta co:

(11)

Biêu thức (11) chinh là định luật Culông. Vì vậy định luật Culông là hê

qua của phương trình Maxwell đôi vơi trương tĩnh điên.

(3 điêm)





(1 điêm)



(2 điêm)






(1 điêm)



(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 14




Trình bày vê hằng sô điên môi phức và goc tiêu hao điên môi trong trương điêu

hòa.


Hay trình bày vê hiêu ứng bê măt vật dân.




nhưng điêm ơ ngoài và ơ trong hình câu.







- Tư phương trình 1 của Maxwell dang biên đô phức:

Và ta co

Trong đo : là hằng sô điên môi phức tuyêt đôi của môi trương

là hằng sô điên môi phức tương đôi của môi trương.

Co thê chứng minh rằng ty sô giưa phân ao và phân thực của là : là

ty sô điên dân và điên dịch, no đăc trưng cho tiêu hao trong môi trương điên môi.

Đăt tg = ; là goc tiêu hao điên môi

Nếu là chât điên môi: tg < 0,001

Dân điên: tg > 100

Ban dân 0,01 < tg <100

(3 điêm)


Trong vật dân điên tôt (σ >>1) ta co :

(1)

Khi σ rât lơn thì α cũng rât lơn dân đến suy giam càng nhiêu, ta thây biên đô

cương đô trương suy giam rât nhanh khi truyên vào trong vật dân. Nghĩa là song

điên tư chỉ tồn tai ơ môt lơp rât mong sat bê măt của vật dân điên tôt. Khi cho

dòng điên cao tân chay trong vật dân điên tôt ngươi ta cũng thây dòng điên này

chỉ tồn tai trên môt lơp theo định luật Ôm.

Jd = σE

đôi vơi dang khao sat:

E=Eme-αze-jβz

Jd =σ Eme-αze-jβz =J0e-αze-jβz (2)

J0 là mật đô dòng chên bê măt vật chât J0 = σEm

(1 điêm)

Mật đô dòng điên sẽ giam dân khi đi vào sâu trong vật dân theo quy luật

giông như biên đô cương đô điên trương

Hiên tượng song điên tư hay song điên cao tân khi truyên trong vật dân điên

tôt chỉ tập chung ơ môt lơp rât mong trên bê măt của no goi là hiêu ứng bê măt,

hay hiêu ứng Skin

Đê đăc trưng cho hiêu ứng bê măt ngươi ta đưa vào khai niêm đô thâm sâu

của trương hay đô sâu thâm nhập của trương ∆, đo là khoang cach mà ứng vơi no

biên đô cương đô trương suy giam đi e lân: e ≈2,718…

Ta co :

eα∆ = e suy ra ∆ = 1/α

(2 điêm)

Hiêu ứng bê măt được ap dụng trong thực tế (ma vàng, bac), khi làm giam

tiêu hao khi truyên song điên tư ngươi ta chỉ ma môt lơp mong vàng hoăc bac lên

bê măt kim loai.

Khi tinh toan cac bài toan ngươi ta thây khai niêm trơ khang măt của kim

loai: ZS = RS + ρXS

RS là trơ đăc trưng cho công suât tiêu hao

XS là cam khang của măt riêng ZS

Vận tôc pha:

(3 điêm)




câu là như nhau

(1 điêm)


Ta co: q = Q

D.4 л r2 = Q = ρS.4 лa2

D = ρS.(a2/r2)


Ta co: q = 0, D = 0.

(2 điêm)






(1 điêm)





kém


(2 điêm)


ĐỀ THI SỐ 15






Trình bày vê tư trương của dòng điên không đổi.




Câu 4 : (2 điểm)Trong nưa không gian ứng vơi toa đô z>0 là môi trương dân điên, cụ thê là kim loai đồng co đô dân điên riêng , theo phương trục z truyên môt song thăng đồng nhât vơi tân sô f = 105Hz. Hay xac định vận tôc pha, bươc song, trơ khang song, hê sô suy giam và đô thâm sâu của trương(∆) trong kim loai đồng của song. Biên đô cương đô trương sẽ giam đi bao nhiêu lân so vơi bê măt kim loai khi song đi sâu vào được môt khoang d = 1mm.


Maxwell coi định luật Gauss và nguyên lý liên tục của tư thông ap dụng

cho ca trương hợp điên trương và tư trương là tĩnh, không đổi cũng như vơi

trương hợp tổng quat của điên tư trương biến thiên theo thơi gian. Ta co:

(1)

(2)

Vì thê tich V là tuỳ ý nên nhận được cac phương trình Maxwell thứ 3 và thứ

4 như sau: (3)

(4)

(1 điêm)

Đê tiên cho viêc theo dõi, ta viết phương trình Maxwell thành hai dang sau:

Dang tich phân:

(5)

Dang vi phân:

(6)

(2 điêm)

Ý nghĩa vật lý của phương trình 3 và 4 của Maxwell:

≠ 0: ta thây đương sức của điên trương là nhưng đương cong

không khép kin mà co điêm đâu tai điên tich +q, điêm cuôi tai –q.

= 0: điên trương sinh ra chỉ do sự biến thiên của tư trương. Đương

sức của no hoăc khép kin hoăc tiến ra vô cực.

đương sức của tư trương vưa khép kin vưa tiến xa vô cực.

(3 điêm)


Trang thai riêng quan trong thứ 2 là tư trương do dòng điên không đổi tao ra. Đây

là trang thai dưng của trương điên tư: J 0,

(1) (2)

Tương tự như trương tĩnh điên, đôi vơi trương dưng ta cũng co nhưng nhận

xét sau:

- Điên trương và tư trương dưng không đôc lập vơi nhau nưa mà liên tục

vơi nhau thông qua .

- Trương dưng co nên điên trương dưng là môt trương thế co thê đăt

- Tư trương dưng co tinh chât xoay vì nên không thê dùng thế

và co thê biêu diễn qua biến mơi (3)

Vì trong đo là véc tơ thế, ta co:

Đê xac định đơn trị thì ta thêm môt điêu kiên tùy ý. Đê đơn gian ta lây

(4) . Biêu thức (4) goi là phương trình Poison cho .

Phương trình véc tơ này tương đương vơi (5) phương trình sau:

(5) (1

điêm)

Nghiêm của phương trình (5) là (6)

Dang véc tơ của no là: (7)

Biêu thức xac định và là:

(8)

(9)

Trương hợp dòng điên chay trong dây dân co thiết diên ngang nho co thê bo

qua so vơi chiêu dài dây dân và khoang cach tư dây đến điêm quan sat. Véc tơ

thế lúc này co dang:

(10)

Và (11) hay (12)

(2 điêm)

Ap dụng hằng đăng thức véc tơ:

lây ta co:

Bơi vì trương được tinh ơ điêm quan sat M vơi toa đô x, y, z mà không

phụ thuôc vào điêm M nên , và thay

vào biêu thức (12) ta co:

(10)

Biêu thức (10) là biêu thức dang tich phân của định luật Biôxava. Còn dang

vi phân như sau:

(11)

Kết luận: định luật Biôxava là hê qua của phương trình Maxwell đôi vơi trương

dưng.

(3 điêm)






Mà D = εE (1 điêm)



Điên trương:

Thế:

(2 điêm)


Ta co lơn nên

Vận tôc pha:

Mà

Và

(1 điêm)





(2 điêm)

Documents

15 đề và đáp án trường điện từ