Temos:

1. Elektrostatinis laukas vakuume2. Elektrostatinis laukas dielektrike3. Laidininkai elektrostatiniame lauke4. Nuolatinė elektros srovė5. Magnetinis laukas vakuume6. Elektromagnetinė indukcija7. Magnetinis laukas medžiagoje

Elektromagnetizmo teorija

Elektringosios dalelės (protonai ir elektronai) pasižymi savybe veikti viena kitąjėga, žymiai stipresne nei gravitacijos jėga.

Ši jėga vadinama elektrine jėga.

Norint išreikšti šios sąveikos jėgos dydį kiekybiškai, dalelei priskiriamas tam tikrasdydis, vadinamas elektros krūviu.

Elektros krūvis yra dalelių ar kūnų abipusės elektromagnetinės sąveikosintensyvumo matas.

Elektros krūvis nėra materijos rūšis, o jos savybė. Kai kurios dalelės krūvio neturi.

Elektros krūviai gali būti teigiami arba neigiami.

Vienodo ženklo krūviai stumia vienas kitą, skirtingų traukia.

Elektros krūviams galioja adityvumo principas: kūno elektros krūvis yra lygus jįsudarančių elektringų dalelių krūvių algebrinei sumai.

Krūvis SI sistemoje matuojamas kulonais (C).

Elektrostatinis laukas vakuume – elektros krūvis

391027.2/ ⋅=gFF

1913 m. R. Milikanas ir A. Jofė įrodė, kad:

Kiekvieno makroskopinio kūno elektros krūvis yra tam tikro krūvio kartotinis.

Mažiausias (nedalomas) krūvis, vadinamas elementariuoju krūviu.

Jo modulis yra:

Nustatyta, kad elektros krūvių yra dviejų rūšių – teigiami ir neigiami.

Pagal susitarimą elektrono krūvis yra neigiamas, protono teigiamas.

Jų moduliai yra lygus.

Bet kokio įelektrinto kūno krūvis yra lygus:

N – elektronų perteklius arba stygius kūne (sveikas skaičius).

Elektrostatinis laukas vakuume – krūvio kvantavimas

Ce 19106,1 −⋅=

Neq =

Elementariųjų elektringųjų dalelių krūvis yra neatskiriama ir nekintama jų savybė.

1747 m. B. Franklinas atrado fundamentalų gamtos dėsnį:

Elektros krūvio tvermės dėsnį – kad ir kokie procesai vyktų elektriškaiizoliuotoje sistemoje, jos krūvių algebrinė suma, laikui bėgant nekinta.

Vykstant elementariųjų dalelių virsmams, atomų ar molekulių jonizacijai,gali kisti dalelių skaičius arba jų padėtis. Tačiau bendras elektros krūvis nekinta.

Elektros krūvio dydis ir ženklas nepriklauso nuo atskaitos sistemos judėjimo,iš kurios jis yra fiksuojamas. T.y. krūvio invariantiškumo savybė.

Elektrostatinis laukas vakuume – krūvio tvermės dėsnis

Elektros krūvis gali būti pasiskirstęs linijoje (siūle, ploname laidininke), kūno paviršiuje ar tūryje.

Tolydinis krūvio pasiskirstymas apibūdinamas krūvio tankiu.

Krūvio ilginis tankis:

Kai krūvis tolygiai pasiskirstęs ploname ℓ ilgio tiesiame laide, jo ilginis tankis:

Krūvio paviršinis tankis:

Kūno tūrinis tankis:

Krūvio tankis: ilginis, paviršinis, tūrinis

Norint apibūdinti krūvių sąveikos dėsningumą, neatsižvelgiant į kūnų formąir matmenis, įvedama taškinio krūvio sąvoka.

Taškinis krūvis – įelektrintas kūnas, kurio matmenys labai maži, lyginant suatstumu iki kitų įelektrintų kūnų.

Taškiniai krūviai veikia vienas kitą elektromagnetinėmis jėgomis.

Jeigu taškiniai krūviai nejuda vienas kito atžvilgiu, jų sąveikos jėgą vadinameelektrostatine jėga.

Dviejų taškinių krūvių elektrostatinės sąveikos jėga yra tiesiogiai proporcingatų krūvių q1 ir q2 sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui.(Kulono dėsnis – 1785 m.)

Elektrostatinis laukas vakuume – krūvių sąveika

221

rqqkF =

041πε

=kProporcingumo konstanta k priklauso nuo aplinkosir nuo matavimo vienetų sistemos. Vakuume:

22120 /1085,8 NmC−⋅=ε - elektrinė konstanta.

Dviejų taškinių krūvių elektrostatinės sąveikos jėga yra tiesiogiai proporcingatų krūvių q1 ir q2 sandaugai ir atvirkščiai proporcinga atstumo tarp jų kvadratui.(Kulono dėsnis – 1785 m.)

Elektrostatinis laukas vakuume – Kulono dėsnis

221

rqqkF =

Kadangi jėga yra vektorinis dydis,aprašykime jos kryptį.

Tam nubrėžkime spindulį vektorių iš 1 ar 2 taškinio krūvio į kitą.Tada Kulono dėsnis:

12321

1 rrqqkF

=spinduliai vektoriai yra priešingų

ir krypčių:21321

2 rrqqkF

=2121 rr

−=

Jeigu sąveikos jėga yra lygiagreti spinduliui vektoriui ir krūviai stumiavienas kitą. (Vienodų ženklų krūvių sąveika)

021 >qq

Jeigu sąveikos jėga yra lygiagreti spinduliui vektoriui ir krūviai traukiavienas kitą. (Skirtingų ženklų krūvių sąveika)

021 <qq

Kūnai neesantys kontakte, bet perduodantys vienas kitam sąveiką, ją perduodabaigtiniu greičiu per tarpininką, vadinamą Jėgų lauku.

Jėgų laukas – materijos forma, pasižyminti savybe veikti kūną jėga.

Jėgų laukų tipai (priklausomai nuo fundamentalių 4 sąveikos tipų):

• Gravitacijos,• Elektrinis ir magnetinis,• Stiprusis,• Silpnasis.

Jėgos, kuriomis jėgų laukas veikia kūną, vadinamos potencialinėmis jėgomis.

Potencialinės jėgos gali neatlikti darbo, o jų atliktas darbas nepriklauso nuotrajektorijos.

Jėgų laukas

Vieno įelektrinto kūno poveikis kitam yra perduodamas tarpininku, vadinamuelektrostatiniu lauku.

Elektrostatinis laukas sukuriamas nejudančių elektros krūvių.Jį apibūdinantys dydžiai nekinta laike – elektrostatinis laukas – stacionarusis laukas.

Elektrostatinis laukas - stipris

Svarbiausia visų fizikinių laukų savybė – veikti kūnus jėga.

Svarbiausia elektrostatinio lauko savybė – veikti visus jame esančius krūviu jėga.

Norint apibrėžti poveikio jėgos dydį, įvedama elektrinio lauko stiprio sąvoka.

Patalpinus į elektrostatinį lauką krūvį, tą krūvį veiks jėga.Šios jėgos dydis yra tiesiogiai proporcingas krūvio didumui.

Todėl tos jėgos santykis su krūviu nepriklauso nuo krūvio dydžio iryra tik lauko charakteristika, vadinama elektrinio lauko stipriu.

Elektrinio lauko stipris skaitine verte lygus jėgai, kuria laukas veikia patalpintąį jį 1 C krūvį.

Bet kokio dydžio krūvį veikianti jėga išreiškiama:

EqF

=

EqF

=

Elektrinio lauko stiprumo erdvinis pasiskirstymas grafiškai vaizduojamasjėgų linijomis.

Pagal susitarimą jėgų linijos vaizduojamos taip:

• Jėgų linijos prasideda teigiamuosekrūviuose arba begalybėje,

2. Jėgų linijų liestinės sutampa su Evektoriaus kryptimi,

3. Jėgų linijų erdvinis tankis lygus Eskaitinei vertei.

Elektrostatinis laukas - vaizdavimas

Vienodo linijų tankio atvaizduotas elektrinis laukas vadinamas vienalyčiuelektriniu lauku – E=const. Kryptis ir modulis visuose erdvės taškuose nekinta.

Nekintantis laike elektrinis laukas vadinamas stacionariu.

Norint apibūdinti elektrostatinį lauką, kurį sukuria nejudantis taškinis elektroskrūvis, Kulono dėsnyje į vieno krūvio dydį įrašome 1 C.

Tai bus jėga, sukurta q krūvio ir veikianti 1 C krūvį, kuri skaitine verte lygielektrinio lauko stipriui:

, o modulis:

Nuo krūvio begalo nutolusiuose taškuoseelektrinio lauko nėra.

Didėjant atstumui elektrinis laukas silpsta ir dideliuose atstumuose patampanykstamai mažas:

Vaizdavimas:

Elektrostatinis laukas - taškinio krūvio elektrinis laukas

rrqE

304

1πε

=0, =∞→ Er

204

1rqE

πε=

Kai elektrostatinį lauką kuria ne vienas taškinis krūvis, o daug, jų bendraisukurtam laukui taikome superpozicijos principą:

Kiekvieną krūviu q įelektrintą materialųjį tašką veikiančių jėgų atstojamoji F yralygi jį veikiančių atskirų jėgų geometrinei sumai.

Pritaikę elektrostatinio lauko jėgos išraišką: gauname, kad:

Visų krūvių qi (i=1,2,3,...,N) sukurto atstojamojo elektrinio lauko stiprumas yralygus kiekvieno krūvio atskirai sukurtų tame taške laukų stiprumų geometrineisumai:

Elektrostatinis laukas – superpozicijos principas

),...,3,2,1(,1

NiFFN

ii == ∑

=

EqF

=

∑=

=N

iiEE

1

Elektrinis dipolis – dviejų vienodo didumo, bet priešingų ženklų taškinių krūvių+q ir –q, atstumas l tarp kurių yra mažas, sistema.

Elektrinis dipolis apibūdinamas tokiais parametrais:

1. Dipolio ašis – tiesė, nubrėžta per abu krūvius,

2. Dipolio petys – vektorius l, ,kurio kryptis yra dipolio išilgai ašies nuo neigiamoiki teigiamo krūvio, o modulis lygus atstumui tarp krūvių l.

3. Elektrinis dipolio momentas – dipolio teigiamo elektros krūvio ir jo petiessandauga.

Elektrostatinis laukas – elektrinis dipolis

lqp

=

l

Elektrinio dipolio sukurto elektrinio lauko stiprumasrandamas panaudojant superpozicijos principą.

Kiekviename erdvės taške, dipolio sukurtaselektrinio lauko stipris yra lygus atskirų laukostiprių geometrinei sumai.

Atvaizduojame vektorių ir kryptis.

Atstojamojo vektoriaus Emodulis bus lygus:

Elektrinio dipolio lauko stiprio skaičiavimas

Be elektrinio lauko stiprio apibūdinti elektrinį lauką įvedama dar vienacharakteristika. Tai elektrinio lauko stiprio vektoriaus srautas.

Kad apibūdinti šį dydį, įvedama elektrinio lauko stiprio vektoriaus elementaraussrauto sąvoka.

Kas yra elektrinio lauko stiprumo ir elementaraus plotelio, kurį tas laukas kerta,sandauga, kuri išreiškiama:

Suintegravę per visą plota gausime elektrinio lauko stiprio srauto dydį.

Jis yra skaliarinis dydis:

Elektrinio lauko stiprio vektoriaus E srautas per ploto S paviršių skaitine verteyra lygus šį paviršių veriančių jėgų linijų skaičiui.

Elektrinio lauko stiprio vektoriaus srautas

( ) ⊥====Φ EdSnEEdSSdEdSnEd e ,cos

∫∫ ==ΦS

nS

e dSESdE

Įstatykime į elektrinio lauko stiprio vektoriaus srauto išraišką, elektrinio stipriotaškiniam krūviui išraišką.

Suintegruojame pagal sferos plotą. Gauname:

Iš to seka:

1. Taškinio krūvio sukurtas elektrinio lauko vektoriaus srautas pro uždarą paviršiųpriklauso nuo krūvio didumo.

2. Nepriklauso nuo ploto.

3. Srauto ženklas sutampa su krūvio ženklu.

Gauso dėsnis

∫∫ ==ΦS

nS

e dSESdE

204

1rqE

πε=

02

02

0 41

41

επεπεqdS

rqdS

rq

SSe ∫∫ ===Φ

Integruojant elektrinio vektoriaus srautą per bet kokios formos paviršių gaunamata pati išraiška.

Jeigu elektrostatinį lauką kuria taškinių krūvių sistema.

Šio lauko vektoriaus srautas užrašomas.

Tai matematinė Gauso dėsnio išraiška, teigianti, kad: elektrostatinio laukostiprumo vektoriaus srautas pro bet kokį uždarą paviršių yra tiesiogiai proporcingasto paviršiaus gaubiamų elektros krūvių algebrinei sumai.

Gauso dėsnis

0εq

e =Φ

0ε

∑∫∫ ===Φ i

i

SSe

qSdEdSnE

Atsižvelgdami, ka visos E linijos yra statmenospaviršiui.

Vektoriaus srautas per cilindro paviršių yra lygussrautui pro abu jo pagrindus.

Begaliniame paviršiuje krūvio tankis vienodas. Todėl krūvį išreiškiame:

Pagal Gauso dėsnį srautą dar galime išreikšti:

Sulyginę abi srauto išraiškas gauname:

Todėl, begalinė tolygiai įelektrinta plokštuma kuria vienalytį elektrostatinį lauką, kurio stiprumas nepriklauso nuo atstumo iki plokštumos.

Begalinės tolygiai įelektrintos plokštumos elektrostatiniolauko stiprio skaičiavimas taikant Gauso dėsnį

00 εσ

εS

qi

i

e∆

==Φ∑

Sq ∆= σSEe ∆=Φ 2

02εσ

=E

Elektrinio lauko nagrinėjimas ir savybės energijos požiūriu.

Aprašant potencialinių laukų energetines savybes ir potencines energijas erdvėstaškuose, nagrinėjamas tų laukų atliktas ar atliekamas darbas perkeliant objektąerdvėje.

Nes:

Potencinė energija – objekto energetinės būsenos padėties funkcija.

Kad pakeisti ar panaikinti potencinę energiją, potencialinės jėgos turi atlikti darbą.

Kaip aprašomas elektrostatinių jėgų atliekamas darbas?

Elektrostatinių jėgų atliekamas darbas perkeliant krūvį

Elektrinis laukas veikdamas taškinį krūvį q’, tą krūvį veikia jėga:

Pastumdama elementariu poslinkiu dl, ši jėga atlieka darbą:

Suintegravę pagal visą kelią, gausime visą atliktą darbą:

Elektrostatinių jėgų atliekamas darbas perkeliant krūvį

EqF

′=

),cos( ldEEdlqldEqldFdA

′=′==

∫∫∫ ′=′=′=lll

EdrqldEEdlqldEqA ),cos(

Tarkime, krūvis elektrostatiniame lauke pasislenkaiš taško 1 į tašką 2.

Tada darbas bus integruojant pagal r dydžio kitimo ribas:

∫′=2

1

r

r

EdrqA

Įstatome į gautą išraišką taškinio krūvio, kuris kūrė nagrinėjamą elektrinį lauką,stiprio išraišką:

Elektrostatinių jėgų atliekamas darbas perkeliant krūvį

∫=2

1

r

r

EdrqA204

1rqE

πε= ∫

′=

2

1

204

r

r rdrqqA

πε

′−

′=

′= ∫

2102

0 41

4

2

1rqq

rqq

rdrqqA

r

r πεπε

Kaip matome, elektrostatinio lauko jėgų atliekamas darbas nepriklauso nuo jų veikiamo krūvio judėjimo trajektorijos, o priklauso tik nuo poslinkio.

Šia savybe pasižyminčios jėgos vadinamos potencialinėmis, o tų jėgų laukai –potencialiniais laukais.

Kaip buvo minėta – norint pakeisti potencinę energiją, reikia atlikti darbą.Potencialinių jėgų atliktas darbas yra lygus kūno neigiamam potencinės energijos pokyčiui:

Krūvio elektrostatiniame lauke potencinė energija

)( 12 pp WWA −−=

′−

′=

21041

rqq

rqqA

πεKadangi: , tai Wp yra:

rqqWp

′=

041πε

tai bendrumo dėlei nerašydamiindekso gauname Wp išraišką:

Iš šios lygties išplaukia, kad krūvių elektrostatinės stūmos (qq’>0) potencinėenergija yra teigiama, o traukos (qq’<0) – neigiama.

Potencinė energija priklauso nuo krūvių didumo ir nuo atstumo tarp jų.Atstumui be galo didėjant, potencinė energija virsta į nulį.

Dydį ϕ – t.y. potencinės energijos elektriniame lauke, kurią turi krūvis ir to krūviosantykį vadiname elektrostatinio lauko potencialu.

Elektrostatinio lauko taško potencialas – fizikinė lauko charakteristika, kurios skaitinė vertė yra lygi patalpinto į tą lauko tašką vienetinio krūvio potencineienergijai.

Kitaip:

Elektrostatinio lauko taško potencialas yra lauko taško energinė charakteristika,skaitine verte lygi darbui, kurį turi atlikti laukas, perkeldamas vienetinį taškinį krūvįten, kur jo potencinė energija yra lygi nuliui.

Dviejų krūvių potencinės energijos išraiškoje nukelkime vieną krūvį į kitą formulėspusę.

Elektrostatinio lauko taško potencialas

ϕπε

==′ r

qq

Wp

041

rq

041πε

ϕ =

Dydį (ϕ1− ϕ2) vadiname potencialų skirtumu, o ∆ϕ – potencialo pokyčiu.

Potencialo ir potencialų skirtumo vienetas yra voltas (V). 1V=1 J/C

Darbą, kurį atlieka laukas perkeldamas iš taško 1 į tašką 2 galime išreikšti įstatę:

Potencialų skirtumas

′−

′=

21041

rqq

rqqA

πεrqqWp

′=

041πε į: ir iškėlę lauko veikiamą krūvį:

ϕϕϕ ∆′−=−′= qqA )( 21gauname:

Taškinio krūvio sukurto elektrostatinio lauko ekvipotencialiniai paviršiai yra koncentrinės sferos.

Kiekviename sferos taške, taškinio krūviopotencialo dydis yra lygus:

Lauko jėgų linijos kiekviename taške statmenos ekvipotencialiniam paviršiui.

Kai krūvis pasiskirstęs tolygiai ilgyje, paviršiuje ar tūryje,suminis potencialas nustatomas skaidymo ir integravimo būdu:

Elektrostatinio lauko paviršius, kurio visų taškų potencialai vienodi vadinamasekvipotencialiniu paviršiumi.

Ekvipotencialinis paviršius

.),,( constzyx =ϕ

rq

041πε

ϕ =

∫=rdq

041πε

ϕ

Tada: , darbas yra lygus ir:

Elektrostatinio lauko potencialinių jėgų atliekamą elementarųjį darbą galime išreikšti iš gautos potencialo pokyčio išraiškos:

Elektrostatinio lauko stiprio ir potencialo ryšys

ϕ∆′−= qA ϕdqdWdA p ′−=−= ldEqdA

′=

Iš to: arba:

Jeigu atidėtume šios vektorinės lygties projekcijas Dekarto koordinačių sistemoje:

ldEd

−=ϕ

dzdE

dydE

dxdE zyx

ϕϕϕ−=−=−= ,,

lddE

ϕ−=

Kadangi vektorius:

zyx EkEjEiE

++= tai:

++−=

dzdk

dydj

dxdiE ϕϕϕ

O tai yra: ϕgradE −=

arba: ϕ−∇=E

Taigi elektrostatinio lauko stiprumas yra lygus potencialo neigiamam gradientui.

Atskiru atveju, kai laukas yra vienalytis tarp dviejų skirtingai įelektrintų plokštumų:

lU

xdxdEx −=

∆∆

−=−=ϕϕ