Svyravimai ir bangos – Bangų samprata

Fizikoje bangomis vadinami bet kokie erdve sklindantys medžiagos būsenos ar lauko trikdymai.

Sklindant bangai medžiagos ar lauko elementarūs tūriai atlieka svyruojamąjįjudėjimą. Šių svyruojamųjų judėjimų sklidimas aplinka ir yra banga.

Banga – svyravimų sklidimas aplinka.

Kad susidarytų banga, turi būti išpildyta sąlyga – turi vykti lygiavertūs mainai tarpkinetinės ir potencinės energijos.

Tampriosioms bangoms ši sąlyga formuluojama taip, kad tamprioji banga susidarotamprioje aplinkoje, kuriai buvo suteiktas kinetinės energijos kiekis.

Bangomis gali būti pernešama arba nepernešama energija, tačiau sklindantbangoms nepernešama medžiaga.

Svyravimai ir bangos – Bangų tipai

Bangos pagal tipus gali būti klasifikuojamos į:

1. Skersines,

2. Išilgines,

3. Elementarios,

4. Vienmatės,

5. Paviršinės,

5. Erdvinės,

6. Sferines,

7. Plokščiąsias,

8. Harmonines (Sinusines),

9. Sudėtines (Susidedančias iš daugelio harmoninių dažnių),

10. Pagal tai, kas svyruoja (Vandens paviršius, elektromagnetinis laukas,medžiagos tankis, t.t.)

Svyravimai ir bangos – Bangų charakteristikos

1. Svyravimo periodas T – laikas, per kurį įvyksta pilnas vienetinis svyravimas.

2. Svyravimo dažnis ν – svyravimų skaičius per laiko vienetą (SI sistemoje - 1 s), matuojamas Hercais – Hz. (1 Hz – 1 svyravimas per 1 s).

3. Svyravimo amplitudė A – didžiausias nuokrypis nuo pusiausvyros padėties.

4. Svyravimo fazė ϕ – dydis, apibūdinantis svyruojančio taško padėtį ir kryptį konkrečiu judėjimo kryptį konkrečiu laiko momentu.

5. Bangos ilgis λ – bangos fronto nueitas kelias per periodą.

6. Bangos sklidimo greitis v – bangos fronto nueitas kelias per laiko vienetą.

7. Ciklinis bangos skaičius k - bangos ilgių skaičius, telpantis 2π ilgio atkarpoje

Svyravimai ir bangos – Bangos ilgis

Bangos ilgis - bangos fronto nueitas kelias per periodą.

Bangos ilgis aplinkoje priklauso nuo bangos dažnio ir bangos sklidimo greičio.Kadangi greitis priklauso nuo aplinkos, toje pačioje aplinkoje bangos ilgis priklausotik nuo dažnio

λ, m

A

λ, m

νλ VVT ==

Didesnį dažnį atitinka mažesnis bangos ilgis, Didesnį greitį atitinka didesnis bangos ilgis.

Pereidama iš vienos aplinkos į kitą, banga pakeičia sklidimo greitį ir bangos ilgį.

s, m

A

λ, m

I aplinka II aplinka

Svyravimai ir bangos – Skersinės Bangos

Bangos, kuriose aplinkos dalelės svyruoja statmenai pačios bangos sklidimo krypčiai, vadinamos skersinėmis.

Tokiose bangose bangos lygtimi aprašoma kiekvieno bangos taško nukrypimas nuo pusiausvyros padėties bet kuriuo laiko momentu, bet kuriame taške skersai bangos sklidimo krypčiai.

Svyravimai ir bangos – Išilginės Bangos

Bangos, kuriose dalelės svyruoja išilgai tos krypties, kuria sklinda pati banga, vadinamos išilginėmis.

Tipinis pavyzdys – spyruoklės išilginiai svyravimai.

Išilginėje bangoje dalelės pasislenka viena kitos atžvilgiu išilgai jų centrus jungiančios linijos.

X, m

Svyravimai ir bangos – Erdvinės Bangos

Erdvinės bangos – bangos, kurios sudarytos iš begalybės elementarių bangų, išsidėsčiusių erdvėje ir svyruojančių vienoda faze, taško ar plokštumos atžvilgiu.

Šioms bangoms įvedamos naujos charakteristikos:

Bangos paviršius – ištisinė geometrinė vieta taškų, svyruojančių vienodomis fazėmis.

Bangos frontas – priešakinis bangos paviršius, labiausiai nutolęsnuo bangų šaltinio.

Bangos spindulys – linija, išilgai kurios sklinda bangos frontas.

Erdvinės bangos gali būti dviejų tipų:

1. Plokščiosios

2. Sferinės

Svyravimai ir bangos – Plokščiosios Bangos

Plokščiosiomis bangomis vadiname tokias bangas, kurių visų svyravimų, sudarančių erdvinę bangą, spindulių kryptys yra lygiagrečios.

Plokščiosios bangos visų taškų fazės svyruoja vienodai plokštumos, statmenos bangos sklidimo krypčiai, atžvilgiu.

Plokščiosios bangos aprašomos ta pačia lygtimi, kaip ir elementarios, įskaitant elementarių bangų išsidėstymą, statmenoje bangos sklidimo krypčiai, y-z plokštumoje.

Svyravimai ir bangos – Sferinės Bangos

Bangos, kurių fazės vienodos kokio nors taško atžvilgiu, vadinamos sferinėmis bangomis.

Tokių bangų fazinis greitis yra vienodas centrinio taško atžvilgiu. Ši banga sklinda visomis kryptimis, besiplečiant bangos fronto sferai.

Svyravimai ir bangos – Elementarios bangos lygtis

Įtemptos virvutės sužadinimą galima aprašyti kaip atskirų tos virvutės taškų svyruojamuosius judėjimus. Pjūvyje 1 – taško judėjimą galima aprašyti:

)cos()( 01 ϕω += tAts

Taško judėjimas pjūvyje 2 atsiliks nuo 1 per laiką τ.

))(cos( 02 ϕτω +−= tAsvx

=τ

))(cos(),( 02 ϕω +−=VxtAxts

Ši lygtis aprašo elementarios bangos, sklindančios x kryptimi, visų taškų svyravimo padėtis, bet kurio laiko momentu bet kurioje x koordinatėje.

Turime elementarios bangos lygtį:

Atlikę vieno nario transformaciją: , gauname:

Svyravimai ir bangos – Bangos skaičius – Bangos vektorius

))cos())(cos(),( 00 ϕωωϕω +−=+−=VxtA

VxtAxts

xkxVx

Vx

===λππνω 22

)cos(),( 0ϕω +−= xktAxts

k - ciklinis bangos skaičius - bangos ilgių skaičius, telpantis 2π ilgio atkarpoje.

Vektorių , kurio modulis lygus bangos skaičiui, vadiname bangos vektoriumi.k

Svyravimai ir bangos – Banginė lygtis

Bendruoju atveju visos banginės lygtys yra diferencialinės banginės lygties daliniai sprendiniai.

Mechanikoje diferencialinė banginė lygtis yra išreiškiama:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1zs

ys

xs

ts

v ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

Vienmatei ar plokščiai bangai gauname:

Šios lygties sprendinys yra analogiškas prieš tai analitiniu būdu išvęstai vienmatėsbangos lygčiai:

2

2

2

2

2

1xs

ts

v ∂∂

=∂∂

))(cos(),( 02 ϕω +−=VxtAxts

Svyravimai ir bangos – Bangų sudėtis

1r

2r

1Š

2Š

P

)cos( 0111111 ϕω +−= rktAs

Daleiskime dvi, bangos sklinda beveik lygiagrečiai ir taške P susitinka.

Mūsų nagrinėjamos bangos:

)cos( 0222222 ϕω +−= rktAs

Susitikimo taške P jų svyravimų atstojamoji amplitudė bus lygi:

)cos(2 01022122

21 ϕϕ −++= AAAAA

Taške P fazių skirtumas bus lygus:

)()()( 010211221212 ϕϕωωϕϕ −+−−−=− rkrkt

Šiuo atveju turėtume gauti “bet kokią” sudėtinę bangą, kurios forma priklauso nuoatskirų bangų parametrų.

Svyravimai ir bangos – Interferencija

1r

2r

1Š

2Š

P

Panagrinėkime atvejį, kai susitikusių bangų dažniai, pradinės fazės ir amplitudės vienodi, o kryptys beveik sutampa. Tokios bangos vadinamos koherentinėmis.

T.y.:

Tuomet fazių skirtumas susitikimo taške P:

t.y. nuo bangų nueitų kelių skirtumo:

aAA ==== 21020121 ,, ϕϕωω

)()()( 010211221212 ϕϕωωϕϕϕ −+−−−=−=∆ rkrkt

Priklausys tik nuo:

)( 1212 rrk −=−=∆ ϕϕϕ 12 rrr −=∆

O atstojamoji amplitudė: ϕ∆+= cos22 22 aaA

Svyravimai ir bangos – Interferencija

,...2,1,0,2 ==∆ nkurnπϕtada:

,...2,1,0,)12( =+=∆ nkurn πϕ

Panagrinėkime kraštutinius variantus:

1)

aaaaA 24)11(2)cos1(2 222 ==+=∆+= ϕ

2)

0)11(2)cos1(2 22 =−=∆+= aaA ϕ

tada:

MAX

MIN

Svyravimai ir bangos – Interferencija

,2 πϕ n=∆tada: , o:

,)12( πϕ +=∆ n

rrk ∆=∆=∆λπϕ 2

Kas lemia fazių skirtumo skaitinę vertę?

Fazių skirtumą lemia bangų nueitų kelių skirtumas.

1) Jeigu:

aA 2=

2) Jeigu:

0=Atada: , o:

,2

2 λnr ±=∆

,2

)12( λ+±=∆ nr

MAX

MIN

Svyravimai ir bangos – Interferencija

Koherentinių bangų interferencijos maksimumų ir minimumų sąlygos:

MAXMIN

susitikusių bangų fazių skirtumas turi būti lygus nuliui.

susitikusių bangų fazių skirtumas turi būti lygus 180 laipsnių arba π radianų.

Iš skirtingų šaltinių atėjusių į konkretų tašką koherentinių bangų interferencijos maksimumų ir minimumų sąlygos:

MAX

MIN

susitikusių bangų nueitų kelių skirtumas turi būti lygus:

susitikusių bangų nueitų kelių skirtumas turi būti lygus:

22 λnr =∆

)12(2

+=∆ nr λ

Svyravimai ir bangos – Interferencija - Išvados

Bangos pasižymi savybe sąveikauti.

Kiekvienas bangos taškas erdvėje perneša energiją. Susitikusių bangų tame pačiame erdvės taške energijos sumuojasi.

Sąveikaujančių bangų amplitudės atstojamoji yra lygi atskirų bangų amplitudžių sumai tame pačiame erdvės taške tuo pačiu laiko momentu. Tai vadinamas superpozicijos principas.

Vienodos krypties, vienodo dažnio bangos ir pastovaus fazių skirtumo atskiros bangos vadinamos koherentinėmis.

Koherentinių bangų sudėtis vadinama interferencija.

Interferencijos atveju bangos gali kaip stiprinti viena kitą, taip ir silpninti ar panaikinti.Rezultate gaunami vadinami interferenciniai maksimumai arba interferenciniai minimumai.

Svyravimai ir bangos – Nekoherentinių bangų sudėtis

Nekoherentinių bangų sudėtimi vadiname bangų, turinčių skirtingus dažnius, bangos ilgius ir nepastovų fazių skirtumą, sudėtimi.

Nekoherentinės bangos susideda superpozicijos principu.

Nekoherentinės bangos susidėdamos nesudaro nei minimumų, nei maksimumų.

Nekoherentinių bangų sudėties rezultatas yra sudėtinės bangos:

Svyravimai ir bangos – Stovinčios bangos

Stovinčios bangos susidaro interferuojant krentančiai ir atsispindėjusiai bangai.

Šiuo atveju interferuojančių bangų kryptys priešingos.

Paprasčiausias pavyzdys – styga, įtvirtinta abiejuose galuose.

Stovinčiose bangose nėra fazės poslinkio ir jos neperneša energijos.

Stovinčios bangos stygoje susidaro tik tada kai į stygos ilgį telpa sveikas pusbangių skaičius.

Bangos ilgis gi stygoje priklauso nuo greičio ir dažnio.

Greitis priklauso nuo stygos įtempimo.

Dažniai kuriais svyruoja styga, vadinami stygos savaisiais dažniais.Žemiausias dažnis vadinamas pagrindiniu. Aukštesnis dažniai (n=2,3,4,..)yra pagrindinio dažnio kartotiniai ir vadinami aukštesnėmis harmonikomis

νλ V

=

nl

n2

=λ

πρF

dVt

2=

πρλν F

dlnV

n

tt ==

Svyravimai ir bangos – Bangos energija

)sin(222 0

2222ϕωωρ

+−=

== kxtAdV

dtdsdmdmvdWk

Aplinkos dalelės virpėdamos poslinkiu turi kinetinės energijos, kuri išreiškiama:

Pilna mechaninė energija išreiškiama per kinetinės ir potencinės energijos sumą.Tačiau, kadangi dalelėms svyruojant šios energijos yra lygios:

)sin(2 022 ϕωωρ +−==+= kxtAdVdWdWdWdW kpk

Padaliję abi puses iš tūrio dV, gauname tūrio vieneto energiją, kurią vadiname bangos energijos tūriniu tankiu.

)sin( 022 ϕωρω +−== kxtA

dVdWw

22

21 Aw ρω=

Šio dydžio vidurkis laiko atžvilgiu yra vidutinis energijos tūrinis tankis:

)cos(),( 0ϕω +−= xktAxts

Svyravimai ir bangos – Bangos intensyvumas ir galingumas

Garso stiprumu fizikiniu požiūriu vadiname garso bangos intensyvumu.

Garso bangos intensyvumu I vadiname dydį, kuris yra lygus energijos kiekiui, kurį banga perneša, per ploto vienetą (SI sistemoje 1 m2), per laiko vienetą (SI sistemoje – 1 s).

vAvwI 22

21 ρω==

Garso bangos galingumu vadiname dydį, kuris yra lygus energijos kiekiui, kurį banga perneša, per visą plotą S, per laiko vienetą.

vASISP 22

21 ρω==

Svyravimai ir bangos – Sferinės bangos lygtis

Gauta garso bangos lygtis yra sferinės bangos lygtis, aprašanti amplitudės priklausomybę kintant laikui t ir atstumui r, centrinio taško – šaltinio atžvilgiu.

))2sin(),( 00 ϕ

λπω +−= rt

rArts

24 rS π=

200

rrII =

Kadangi sferinė banga sklinda didėjant koncentriniams apskritimams, kurių plotas tiesiogiai proporcingas spindulio kvadratui, jo intensyvumas kinta atvirkščiai proporcingai sferos plotui S.

Kadangi: VAI 22

21 ρω= , tai V

rIr

Aρω

0021=

Nuo centrinio taško banga sklinda tiese, todėl jai tinka bangos, sklindančios viena koordinate-spinduliu r lygtis:

))2sin(),( 0ϕλπω +−= rtArts

, tada:))2sin(

21),( 000 ϕ

λπω

ρω+−= rt

VrI

rrts

VrIA

ρω00

021

=Pažymėsime laike ir erdvėje nekintantį dydį:

Svyravimai ir bangos – Sferinė banga

λ, m

r, m

A

))2sin(),( 0ϕλπω +−= rtArts

rAA 0=

r, m

Svyravimai ir bangos – Garso bangos

Garsas – mechaninės bangos, sklindančios tampria aplinka ir sukeliančios žmogui garso pojūtį.

Girdimu garsu vadinamos mechaninės bangos, kurių dažnis telpa intervale 20-20000 Hz.

20 20000 Hz

Dažnis ν, HzGirdimas garsas

Infragarsas [lot. Infra – žemiau] - garsas, kurio dažnis yra žemiau 20 Hz.

Ultragarsas [lot. Ultra – aukščiau] – garsas, kurio dažnis yra intervale 20000 Hz – 109 Hz

Hypergarsas [lot. Hyper – virš] – garsas, kurio dažnis yra intervale 109 Hz - 1013 Hz

0 20 20000 109 1013

Tampriųjų mechaninių bangų diapazonas Dažnis ν, Hz

Svyravimai ir bangos – Garso bangos

Garso bangų egzistavimo sąlygos:

1. Materialaus garso šaltinio egzistavimas,

2. Šaltinis turi atlikinėti svyruojamuosius judesius,

3. Svyruojamojo judesio energija turi viršyti tamprių bangų susidarymo energiją,

4. Kad sklistų garsas, reikalinga tampri aplinka – vakuume garsas nesklinda.

Svyravimai ir bangos – Garso bangos

Garsas yra išilginės – sferinės bangos

Garsas atsiranda kūno paviršiui periodiškai perduodant energiją aplinkos dalelėms, kurių periodinissutankėjimas ir praretėjimas sukelia bėgančią bangą.

Dalelės svyruoja išilgai bėgančios bangos krypties. Todėl garsas yra išilginės bangos.

Kadangi dažniausiai garsą stebime izotropinėje aplinkoje (kurios savybės vienodos visomis kryptimis), o šaltinio matmenys yra maži, palyginus su aplinkos tūriu, nuo šaltinio garsas sklinda vienodai visomis kryptimis. Todėl garsas yra sferinės bangos.

Svyravimai ir bangos – Garso bangos greitis

Garso greitis priklauso tik nuo aplinkos savybių ir nepriklauso nuo dažnio, bangos ilgio ir amplitudės.

ρKv =

- dydis vadinamas tūrio tamprumo moduliu.pK γ=

RTp

Vm µρ == - aplinkos masės tankis.

Įstačius vietoj K ir ρ:

µγ

ργ

ρRTpKv === Garso greitis toje pačioje aplinkoje tiesiogiai priklauso

nuo tos aplinkos temperatūros ir slėgio.

p - aplinkos slėgis.

µ - aplinkos molinė masė.

- universali dujų konstanta.R

m - masė.

V - tūris.

- temperatūra.Tγ - molinių šilumų santykis.

Svyravimai ir bangos – Garso bangos greitis dujose

Dujos T, oC V, m/s

Oras 0 330.8

Azotas 0 334

Amoniakas 0 415

Benzolas 97 202

Vandenilis 0 1284

Vandens garai 134 494

Helis 0 965

Deguonis 0 316

Neonas 0 435

Svyravimai ir bangos – Garso bangos greitis dujose

T, oC V, m/s

0 330.8

1 331.4

2 332.0

3 332.6

4 333.2

5 333.8

6 334.4

7 335.0

8 335.6

9 336.2

10 336.8

11 337.4

12 338.0

13 338.6

14 339.8

15 340.4

16 341.0

V, m/s

T,K

Garso greičio ore priklausomybė nuo temperatūros.

Svyravimai ir bangos – Garso bangos greitis skysčiuose

Skystis T, oC V, m/s

Acetonas 20 1192

Benzolas 20 1326

Vanduo 25 1497

Glicerinas 20 1923

Gyvsidabris 20 1451

Spiritas 20 1180

Alyvuogių aliejus 32.5 1381

Žibalas 34 1295

Transformatorinė alyva 32.5 1425

Svyravimai ir bangos – Garso greitis kietuose kūnuose

Medžiaga V, m/s

Aliuminis 6260

Gipsas 4970

Geležis 5850

Ledas 3980

Varis 4700

Plienas 6100

Marmuras 6150

Stiklas 5660

Šiferis 5870

Svyravimai ir bangos – Garso bangos ilgis ore

Garso bango ilgis aplinkoje priklauso nuo bangos dažnio ir bangos sklidimo greičio.Kadangi greitis priklauso nuo aplinkos, toje pačioje aplinkoje bangos ilgis priklauso tik nuo dažnio

Garso bangos ilgis ore yra (esant garso greičiui V=336 m/s, kai T=20oC):

λ, m

s, m

A

λ, m

mHz

smvV 8.16

20/336

===λ

cmmHz

smvV 68.18.016.0

20000/336

====λ