Bab 4 Pengetahuan Matematik

• Empat jenis pengetahuan matematik:

(a) Pengetahuan fakta

merujuk kepada fakta asas, peraturan, prinsip, teorem, rumus, definisi dan simbol yang perlu dihafal dan menjadi asas kepada pemikiran matematik.

Contoh: Mengingat kembali dengan cepat fakta asas darab 1 hingga 9.

(b) Pengetahuan konsep

merujuk kepada kategori yang terdiri daripada contoh-contoh spesifik yang mempunyai ciri-ciri yang sama.

Contoh: (i) Konsep nilai tempat

(ii) Mengenal bahagi sebagai

pembahagian sama rata

(iii) Guru mengajar 25% dengan

menggunakan rajah berikut:

(c) Pengetahuan algoritma/ prosedur

-- merujuk kepada prosedur yang terdiri

daripada beberapa langkah untuk

mendapat jawapan.

-- merupakan suatu set peraturan untuk

menyelesaikan suatu masalah matematik.

-- mungkin dalam bentuk mental atau

bertulis.

-- Algoritma yang cekap memberi jawapan

dengan cepat dan tepat.

Contoh: (i) Kaedah menulis penambahan

dua nombor bulat dalam bentuk lazim.

5678

+ 3245

_____

(ii) Menambah nombor 2-digit dengan

2-digit tanpa mengumpul semula

(iii) Mencari pecahan setara dengan

cara mendarab penyebut dan

pengangka dengan nombor yang

sama

(d) Pengetahuan metakognitif

-- Merujuk kepada pengetahuan tentang bila

dan bagaimana menggunakan strategi

tertentu dalam pembelajaran atau

penyelesaian masalah.

-- Contoh: Semasa menyelesaikan suatu

masalah matematik, murid bertanya pada

diri mereka sendiri soalan seperti: “Apakah

yang telah saya ketahui tentang topik ini?”

“Pernahkah saya menyelesaikan soalan

yang serupa sebelum ini?”

-- Murid juga berfikir semasa melakukan

suatu tugasan, dan membuat

perwakilan grafik seperti peta konsep

dan carta aliran tentang pengetahuan

dan pemikiran sendiri.

Konsep Penambahan

• Penambahan nombor bulat dikaitkan dengan penyatuan suatu set (kumpulan) objek dengan suatu set objek lain untuk menghasilkan suatu set objek yang disatukan.

• Contoh: Set A mengandungi 4 (bilangan unsur) biji guli dan set B mengandungi 3 biji guli. Hasil tambah kedua-dua nombor ini sama dengan bilangan unsur dalam set penyatuan, iaitu 7. 4 + 3 = 7

Fakta asas tambah• Fakta asas tambah merupakan kombinasi

penambahan (termasuk songsangannya) yang setiap sebutannya (juzuknya) ialah nombor satu digit.

• Berdasarkan definisi ini, kombinasi seperti 10 + 8 = 18 bukan fakta asas kerana satu sebutannya ialah nombor dua digit.

• Kesemuanya terdapat 100 fakta asas tambah.• Carta fakta asas tambah:

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Algoitma penambahan (a) Bentuk cerakin (b) Bentuk cerakin (perkataan) (angka) 25 = 2 puluh 5 sa 25 = 20 + 5 + 56 = 5 puluh 6 sa + 56 = 50 + 6 ---------------------------- ------------------------ 7 puluh 11 sa 70 + 11 = 70 + (10 + 1) ============ = (70 + 10) + 1 = 8 puluh 1 sa = 80 + 1 = 81

Algoritma penambahan lain (a) kaedah hasil tambah separa

34 225

+ 58 243

-------- + 123

12 (4 + 8) ----------

+ 80 (30 + 50) 500 (200 + 200 + 100)

------- 80 (20 + 40 + 20)

92 11 (5 + 3 + 3)

---------

591

(b)Kaedah cakar 894 894 894 + 437 + 437 + 437 --------- -------- -------- 12 122 1221 Jaw: 1331 3 33(c) Kaedah kekisi 244 + 168 412 Setiap angka dalam hasil tambah dipeoleh dengan menambahkan angka dalam kotak secara pepenjuru.

Konsep Penolakan

1. Pengasingan atau mengambil keluar

• - Bermula dengan satu set objek, kemudian satu subset dikeluarkan daripada set objek berkenaan. Contoh:

• Di atas pokok terdapat 6 ekor burung. Sebanyak 4 ekor burung telah terbang. Berapa ekor burungkah yang masih terdapat di atas pokok ?

2. Perbandingan

• Dua set objek yang berasingan diberi. Set objek pertama disusun semula dan dipadankan dengan set objek kedua. Set objek yang tidak ada pasangan dikenali sebagai baki atau beza.

• Contoh:

(i) Ali ada 8 batang pensel. Abu ada 5 batang pensel. Ali ada berapa batang pensel lebih daripada Bakar?

(ii) Terdapat 7 ekor ikan di dalam kolam dan 10 orang sedang mengail. Berapakah bilangan pengail lebih daripada ikan?

3. Pelengkap• Bermula dengan satu set objek. Kemudian fikirkan

berapa objek lagi perlu ditambah untuk melengkapkan set keseluruhan. Contoh:

• Saya ada 8 ekor kuda di dalam sebuah kandang yang boleh memuatkan 12 ekor kuda. Berapa ekor kudakah yang boleh dimasukkan lagi ke dalam kandang itu? 8 + ___ = 12

4. Penyekatan• Ahli sesuatu set objek perlu diubahsuai

kedudukannya untuk menepati suatu syarat. Contoh: Terdapat 5 buah kereta di sebuah tempat letak kereta. 2 buah kereta berwarna hitam dan yang lain berwarna putih. Berapa buah keretakah yang berwarna putih?

Fakta asas tolak• Fakta asas bagi operasi tolak ialah ayat matematik

bagi penolakan nombor satu digit daripada nombor satu digit atau dua digit dan hasilnya nombor satu digit: Satu/dua digit – satu digit hasil: satu digit

• Terdapat 100 fakta asas bagi penolakan.

0 – 0 = 0

1 – 0 = 1

2 – 0 = 2

3 – 0 = 3

…

8 – 0 = 8

9 – 0 = 9

1 – 1 = 0

2 – 1 = 1

3 – 1 = 2

4 – 1 = 3

…

9 – 1 = 8

10 – 1 = 9

.

.

.

.

.

8 – 8 = 0

9 – 8 = 1

10 – 8 = 2

11 – 8 = 3

12 – 8 = 4

…

17 – 8 = 9

9 – 9 = 0

10 – 9 = 1

11 – 9 = 2

12 – 9 = 3

13 – 9 = 4

…

18 – 9 = 9

Carta fakta asas tolak- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0

1 1 0

2 2 1 0

3 3 2 1 0

4 4 3 2 1 0

5 5 4 3 2 1 0

.

.

.

17 9 8

18 9

Algoritma bagi operasi tolak

(a) Cerakinan nombor

• 35 – 12 3 pu 5 sa – 1 pu 2 sa

= 2 pu 3 sa = 23

• 35 – 12 (30 + 5) – (10 + 2) = 20 + 3 = 23

(b) Mengikut nilai tempat

Pu Sa

3 5

- 1 2

--------------

2 3

Konsep Pendaraban1. Konsep tambah berulang

• Contoh: Ada 3 pinggan. Terdapat 2 biji limau di atas setiap pinggan. Berapakah jumlah limau itu?

konsep: 2 + 2 + 2 = 6

Ayat matematik: 3 x 2 = 6

bilangan kumpulan

bilangan ahli setiap kumpulan jumlah semua

2. Konsep kali atau ganda• Contoh: Panjang pita Ahmad ialah 8 cm dan

panjang pita Rita ialah 2 cm. Berapakah panjang pita Ahmad berbanding dengan pita Rita?

Panjang pita Ahmad = 4 kali (panjang pita Rita)

= 4 kali (2 cm) = 4 x 2 = 8 cm

Ayat matematik: 4 x 2 = 8• Contoh lain: Daud membeli 3 buku tulis. Farid

membeli 4 kali ganda daripada jumlah yang dibeli oleh Daud. Berapakah jumlah buku yang dibeli oleh Farid?

Jumlah buku Farid = 4 kali (buku Daud)

= 4 x (3 buku) = 4 x 3 = 12

3. Konsep baris dan lajur atau tatasusunan• Contoh: Sekumpulan meja disusun dalam tiga

baris. Setiap baris mengandungi 5 buah meja. Berapakah jumlah meja tersebut?

Jumlah meja = 3 x 5 = 15

bilangan baris bilangan lajur jumlah semua

Baris 1

Baris 2

Baris 3

Lajur 1 Lajur 2 Lajur 3 Lajur 4 Lajur 5

Fakta asas darab• Terdapat 100 fakta asas darab, setiap satunya terdiri

daripada dua nombor bulat satu digit (1 hingga 9).• Nombor yang terlibat dalam fakta asas darab

dinamakan faktor, dengan faktor pertama dinamakan pendarab dan faktor kedua dinamakan yang didarab.

Contoh: 6 x 4 = 24

faktor (pendarab) faktor (yang didarab) hasil darab• Selain bahan konkrit, model segi empat tepat adalah

penting bagi menggambarkan pengiraan pendaraban.Contoh: Bentuk segi empat tepat dibahagikan kepada 3 baris dan 4 lajur.

Model melambangkan: 3 x 4 = 12

Carta fakta asas darabx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Algoritma Pendaraban• Hasil darab sebarang nombor satu digit dengan

nombor dua digit dapat diperoleh dengan kaedah berikut:

(a) Kaedah tambah berulang 3 x 15 = 15 + 15 + 15 = 45 (b) Kaedah cerakinan 3 x 15

3 x 15 = 3 x (10 + 5) = (3 x 10) + (3 x 5) = 30 + 15 = 45 bentuk lazim: 15 x 3 45

(c) Kaedah nilai tempat 3 x 15

pu sa

pu sa

pu sa

Kaedah pendaraban lain

(a) Kaedah kekisi (Lattice)• Contoh: 487 x 91• Lukis kekisi dan isikan dengan nombor yang hendak

didarabkan di luar kekisi.• Darabkan nombor mengikut pepenjuru.• Tambahkan hasil darab dari kanan ke kiri mengikut

pepenjuru.

(b) Kaedah “Russian Peasant”• Contoh: 47 x 26 = ___• Ganda duakan nombor kiri. Nombor kanan

dibahagikan dengan 2. Teruskannya bagi hasil darab yang diperoleh. Abaikan baki dan berhenti apabila nombor di kanan ialah 1.

• Hapuskan nombor genap di kanan dan nombo yang sepadan di kiri. Jawapan diperoleh dengan menjumlahkan nombor di kiri yang tertinggal.

47 26 94 13 188 6 376 3 752 1

(c) Kaedah Vedic

• 1.Menggunakan garisan-garisan selari

Konsep Pembahagian

1. Pembahagian sebagai pengumpulan (pembahagian secara ukuran)

• Dalam proses ini murid dikehendaki mengukur bilangan subset kecil yang sama besar daripada set objek asal.

• Dalam pembahagian secara proses pengumpulan, jumlah asal dan bilangan objek dalam setiap kumpulan kecil diberikan. Kita dikehendaki mencari bilangan kumpulan kecil yang boleh didapati selepas proses pembahagian.

2. Pembahagian sebagai pengongsian• Dalam pembahagian secara pengongsian,

jumlah asal dan bilangan kumpulan (subset) diberikan. Kita perlu mencari bilangan objek dalam setiap kumpulan.

• Contoh masalah bercerita: Jika 12 biji gula-gula dibahagikan sama rata antara 3 orang, berapa biji gula-gulakah akan diterima oleh setiap orang?

• Contoh masalah bercerita: Seorang nelayan menangkap 12 ekor ikan. Jika ikan itu dilonggokkan supaya terdapat 3 ekor ikan dalam satu longgok, berapa longgok ikankah yang boleh didapati?

Perkaitan antara operasi bahagi dengan operasi lain

1. Pembahagian sebagai sonsangan darab• Dalam setiap fakta asas darab ada tiga nombor

yang terkandung dalam fakta asas bahagi yang berkenaan, dan operasi bahagi merupakan proses mencari faktor yang tertinggal dalam fakta asas darab berkenaan.

• Contoh: 12 3 = ___ ___ x 3 = 12 12 4 = ___ ___ x 4 = 12

x 4 3 12 4

2. Pembahagian sebagai operasi tolak berulang• Mesin kira dahulu telah menggunakan prinsip ini

untuk melakukan pembahagian.• Konsep bahagi sebagai operasi tolak berulang

berkait rapat dengan konsep bahagi sebagai proses pengumpulan. Contoh: 15 3 = __ :

(a) “Ada berapa 3 dalam 15?” “Ada 5 kumpulan 3”

(Proses pengumpulan)

(b) “Berapa kalikah 3 boleh ditolak daripada 15?”

tolak 3 tolak 3 tolak 3 tolak 3 tolak 3

15 --------> 12 --------> 9 --------> 6 --------> 3 --------> 0

“3 boleh ditolak 5 kali daripada 15. 15 3 = 5”

(Operasi tolak berulang)

• Contoh masalah bercerita: Ali dan Abu adalah pasangan bergu badminton sekolah. Ali mempunyai wang sebanyak RM4.00. Pasangan itu telah memenangi perlawanan akhir dan menerima wang sejumlah RM26.00. Wang hadiah ini dikongsi sama banyak antara kedua-duanya. Berapa banyakkah wang yang ada pada Ali sekarang?

4 + 26 2 = 4 + 13 = 17

atau 26 2 + 4 = 13 + 4 = 17

Pengetahuan sedia ada• Sebelum suatu topik baharu diajar, guru perlu

tahu pengetahuan yang telah dikuasai oleh muridnya supaya pengajaran konsep atau kemahiran selanjutnya berjalan dengan lancar.

• Hal ini demikian kerana pembelajaran matematik adalah mengikut urutan idea yang logik dan sistematik.

• Oleh itu guru perlu mengambil kira pengetahuan sedia ada murid semasa merancang pengajaran mereka.

• Contoh: bagi konsep nilai tempat nombor bulat, pengetahuan sedia ada termasuk:

(i) dapat membilang objek hingga 10 000

dengan mengumpul objek dalam

kumpulan ribu, ratus dan puluh.

(ii) Dapat mengenal, membaca dan menulis

nombor hingga 10 000.

Membuat matematik (Doing mathematics)

• Lima proses matematik yang terlibat dalam “membuat matematik”.

• Bagi setiap proses ini, terdapat implikasi terhadap amalan P&P malam bilik darjah.

(a) Penyelesaian masalah

-- elemen yang dominan dalam kurikulum

matematik

-- wujud dalam tiga mod: Kandungan, kebolehan dan pendekatan pembelajaran

-- Model penyelesaian masalah yang diterima umum ialah model 4 langkah Polya: Memahami masalah, merancang strategi, melaksanakan strategi, menyemak jawapan.

-- Strategi penyelesaian: cuba kes yang lebih mudah, melukis rajah, mengenal pasti corak dan urutan, membina jadual atau carta, simulasi, membuat analogi dll.

-- Implikasi: - Guru boleh mengaplikasikan pelbagai strategi yang sesuai

- murid boleh membina pengetahuan baharu melalui penyelesaian masalah

(b) Penaakulan dan pembuktian

-- Asas bagi pemahaman dan penyelesaian masalah matematik

-- berkait rapat dengan perkembangan intelek murid

-- murid digalakkan untuk meramal dan meneka dalam proses mencari penyelesaian

-- murid harus dilatih menyiasat ramalan atau tekaan mereka dengan menggunakan bahan konkrit, kalkulator, perwakilan matematik dll.

-- Harus diterapkan dalam pengajaran matematik supaya murid boleh mengenali, membina dan menilai ramalan serta hujah matematik.

• -- Implikasi: Menyedari bahawa penaakulan dan pembuktian

sebagai aspek asas dalam matematikGuru perlu mengembangkan ‘tabiat minda’

matematik dalam kalangan muridMenyedarkan murid bahawa penaakulan dan bukti

penting dalam memahami persekitaranMenggalakkan murid menyiasat dan membuat

konjektur matematikMengembangkan dan menilai hujah dan buktiMemilih dan menggunakan pelbagai jenis

penaakulan dan kaedah pembuktian

(c) Komunikasi

• Lima amalan komunikasi berkesan dalam proses P&P matematik:

- Guru menggunakan bahasa yang mudah dan jelas serta boleh difahami sesuai dengan tahap pemikiran dan umur murid

- Guru memastikan murid dapat memberi pendapat yang membina tanpa halangan dan guru mendengar cadangan murid bagi aspek-aspek tertentu

- Guru menggunakan kaedah perbincangan, lakonan, wacana, main peranan, sosiodrama dsb dalam P&P.

- Guru menyampaikan fakta dengan suara yang lantang dan dengan intonasi yang betul

- Guru sentiasa membina hubungan interpersonal yang baik dengan murid

• Implikasi: Guru perlu

- memperkukuh pemikiran murid melalui komunikasi

- menyampaikan pemikiran matematik secara koheren dan jelas

- menggunakan bahasa matematik untuk menyatakan idea dengan tepat

• -

Wacana (Discourse)• Wacana atau berpidato (Discourse) adalah

satu pendekatan pembelajaran aktif dalam matematik. Pendekatan ini biasa dilakukan dengan menggalakkan murid membina konjektur dan membahaskan konjektur dalam situasi berpidato.

• Konjektur bererti tekaan yang bijak berdasarkan beberapa pemerhatian awal (atau: Konjektur merupakan hipotesis yang belum diuji).

• Tujuan wacana dalam pembelajaran matematik:

• Memberi makna (making sense of) idea matematik

• Menggunakan idea matematik secara munasabah dalam penyelesaian masalah

• Menukar dan mendebat idea matematik

Peranan murid dalam wacana matematik• Mendengar, memberi maklum balas dan menyoal

antara satu sam alain dan guru• Menggunakan pelbagai alatan untuk memberi

sebab, membuat perkaitan, menyelesaikan masalah dan berkomunikasi

• Memulakan soalan dan masalah• Membuat konjektur dan mempersembah

penyelesaian• Meneroka contoh-contoh dan bukan contoh untuk

menyiasat suatu konjektur• Menentukan kesahan konjektur berdasarkan bukti dan

hujah

(d) Hubungan

- Peluang untuk membuat hubungan mesti diwujudkan supaya murid boleh menghubungkaitkan pengetahuan konsep dengan pengetahuan prosedur dan menghubungkan topik-topik dalam matematik dengan bidang pembelajaran lain.

- Kurikulum matematik terdiri daripada beberapa bidang seperti aritmetik, geometri, ukuran dll. Tanpa hubungan antara bidang-bidang ini, murid perlu belajar dan mengingat terlalu banyak konsep dan kemahiran secara berasingan.

• (e) Perwakilan (Representation)

- Dengan membuat hubungan, murid dapat melihat matematik sebagai satu hubungan bersepadu dan bukannya idea-idea yang tiada hubungan.

- Apabila idea-idea matematik ini dihubungkan dengan situasi kehidupan seharian dan kurikulum, murid lebih menyedari tentang aplikasi matematik.

- Murid juga akan dapat menggunakan matematik secara kontekstual dalam bidang pembelajaran yang berbeza dalam kehidupan sebenar.

- Implikasi: Mengenali dan menggunakan hubungan

antara idea-idea matematik Memahami bagaimana idea matematik

saling berkaitan untuk menghasilkan keseluruhan yang koheren

Mengenali dan mengaplikasikan matematik dalam konteks di luar matematik.

(e)Perwakilan (Representation)

- Perwakilan sama ada visual, simbolik, verbal atau bentuk lain merupakan alat penting dalam menyelesaikan masalah

- Perwakilan membolehkan kita mengenal pasti corak dan hubungan, dan mentafsir serta memanipulasikan maklumat yang diberi untuk mendapatkan penyelesaiannya.

- Implikasi: Menghasilkan dan menggunakan

perwakilan untuk menyusun, merekod dan mengkomunikasikan idea matematik

Memilih, mengaplikasikan dan menjelmakan perwakilan matematik untuk menyelesaikan masalah.