1.3. Model linearnog programiranja

1.3.1. Osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja

Model linearnog programiranja, bez obzira o kom obliku problema se radi

(problemu maksimuma ili problemu minimuma), karakterišu neke zajedničke

osobine – odnosno postoji određeni broj pretpostavki koje moraju biti

zadovoljene da bi određeni model predstavljao model linearnog programiranja.

Navešćemo samo osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja i

objasniti njihovo značenje :

1. Linearnost. Pretpostavka linearnosti podrazumeva postojanje linearnih

zavisnosti između promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Ova

pretpostavka zadovoljena je tako što su funkcija cilja i ograničavajući uslovi

u modelu linearnog programiranja izraženi linearnim funkcijama. Kao

posledica linearnosti u modelu linearnog programiranja zadovoljene su takođe

dve osnovne pretpostavke i to: proporcionalnost i aditivnost.

Proporcionalnost podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa u modelu

linearnog programiranja između inputa i outputa. Tako, na primer, ukoliko je

za proizvodnju jedne jedinice nekog proizvoda neophodno utrošiti 5 jedinica

određenog resursa, onda će za proizvodnju 10 jedinica tog proizvoda biti

neophodno utrošiti 50 jedinica posmatranog resursa. Osobina aditivnosti

podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja ili pojedinih ograničenja

može dobiti kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje predstavljaju sastavne

elemente modela linearnog programiranja. Tako, na primer, ukoliko funkcija

cilja pokazuje ukupan profit određenog preduzeća koji se ostvaruje od

proizvodnje određenih proizvoda, onda se ukupan profit određuje kao suma

profita ostvarenih od pojedinih proizvoda. Osobina aditivnosti primenjuje se i

na ograničavajuće uslove modela linearnog programiranja - ukupni utrošci

određenog resursa u proizvodnji određuju se kao suma utrošaka pojedinih

aktivnosti (proizvoda).

2. Izvesnost. Svi parametri modela linearnog programiranja su unapred

jednoznačno određeni, što znači da su koeficijenti funkcije cilja i sistema

ograničenja deterministički određeni i ne menjaju se u toku rešavanja modela.

S obzirom na ovu osobinu, model linearnog programiranja smatramo

determinističkim modelom.

3. Deljivost. Ova pretpostavka podrazumeva da promenljive u modelu linearnog

programiranja ne moraju biti celi brojevi. Prema tome, u opštem obliku

modela linearnog programiranja ne postavlja se tzv. uslov celobrojnosti

rešenja, što znači da vrednosti promenljivih mogu biti izražene i u obliku

decimalnih brojeva. Ukoliko se, međutim, iz određenih razloga zahteva

celobrojnost promenljivih, onda je u pitanju specijalan oblik zadatka - model

celobrojnog linearnog programiranja - o kome će takođe biti reči u okviru

narednih razmatranja.

4. Nenegativnost. Uslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu od

osnovnih pretpostavki modela linearnog programiranja. Ova pretpostavka ima

svoj metodološki i suštinski (ekonomski) značaj. Naime, kako opšti algoritam

rešavanja modela linearnog programiranja predstavlja simpleks metod, to je

za primenu ovog metoda neophodno zadovoljenje uslova nenegativnosti

promenljivih, što čini metodološki aspekt uslova nenegativnosti promenljivih.

S druge strane, kako promenljive u modelu linearnog programiranja koji se

koristi za određene ekonomske analize predstavljaju određene ekonomske

veličine, jasno je da one ne mogu biti negativne. Jasno je, na primer, da

ukoliko korišćenjem modela linearnog programiranja želimo da odredimo

optimalan program proizvodnje nekog preduzeća, promenljive modela

pokazuju vrednost (količinu) proizvodnje određenih proizvoda, koja ne može

biti negativna. Zbog toga uslov nenegativnosti, pored funkcije cilja i sistema

ograničenja (predstavljenih u vidu nejednačina i jednačina), predstavlja jedan

od osnovnih elemenata modela linearnog programiranja.

Navedene pretpostavke predstavljaju osnovne pretpostavke modela linearnog

programiranja, i one moraju biti uvek zadovoljene. Ukoliko, međutim, bilo koja

od navedenih pretpostavki nije zadovoljena, onda ili se radi o specijalnom obliku

modela linearnog programiranja, ili postavljeni model ne predstavlja model

linearnog programiranja.

1.3.2. Standardni problem maksimuma

Standardni problem maksimuma predstavlja takav oblik modela linearnog

programiranja u kome se postavlja zahtev za određivanjem maksimalne vrednosti

unapred poznate linearne funkcije (funkcije cilja), pod uslovima koji su

predstavljeni sistemom nejednačina sa znakom . Ovakav oblik modela linearnog

programiranja, ekonomski posmatrano, definiše se u uslovima postojanja

ograničenih resursa, koje treba na najracionalniji način utrošiti radi ostvarivanja

maksimalnih ekonomskih efekata.

Zadatak standardnog problema maksimuma predstavićemo na sledeći način

0,...,,

...

........................

...

...

...(max)

21

2211

22222121

11212111

2211

p

mpmpmm

pp

pp

pp

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcz

(1.3.1)

U ovako postavljenom problemu očigledno je da se postavlja zahtev za

određivanjem nenegativnih vrednosti promenljivih pxxx ,...,, 21 , za koje su

zadovoljene sve nejednačine ograničenja i za koje linearna funkcija z ostvaruje

maksimalnu vrednost.

Na osnovu problema (1.3.1) (što važi za sve oblike modela linearnog

programiranja) vidimo da su osnovni elementi modela:

a) funkcija cilja;

b) sistem ograničenja, i

c) uslov nenegativnosti.

1. Funkcija cilja u modelu linearnog programiranja (a time i u standardnom

problemu maksimuma) izražava osnovni cilj koji se unapred definiše i radi

koga se formuliše i rešava odgovarajući model linearnog programiranja. U

našem obliku standardnog problema maksimuma kao cilj se može postaviti

maksimizacija ukupnog profita, maksimizacija deviznih efekata, maksimalni

stepen zaposlenosti, i sl. Pri tome, radi ostvarivanja cilja predstavljenog

funkcijom z u našem problemu postoji p delatnosti (u najširem smislu), koje

su predstavljene promenljivima (proizvodnja pojedinih proizvoda, izvoz

različitih roba, i sl.), pxxx ,...,, 21 čiji su pojedinačni efekti izraženi

parametrima pccc ,...,, 21 . Usled prethodno navedene pretpostavke o osobini

aditivnosti modela, funkcija cilja predstavlja ukupan zbir ekonomskih efekata

svih p delatnosti.

2. Sistem ograničenja izražava uslove i način korišćenja ograničenih resursa,

čiji iznos je izražen slobodnim članovima sistema ograničenja, tj. parametrima

mbbb ,...,, 21 . Raspoloživi resursi se koriste za ostvarivanje navedenih

delatnosti, na način koji je predstavljen parametrima (koeficijentima)

),...,1;...,,1( pjmiaij , pri čemu koeficijenat ija pokazuje iznos

korišćenja i-tog resursa u uslovima jediničnog ostvarivanja

j-te delatnosti. Tako, na primer, kod određivanja optimalnog programa

proizvodnje korišćenjem standardnog problema maksimuma koeficijenat ija

pokazuje utrošak i-tog resursa (rada, kapitala, sirovina, i sl.) u proizvodnji

jedne jedinice j-tog proizvoda.

3. Uslov nenegativnosti predstavlja, kao što je prethodno navedeno, obavezan

elemenat modela linearnog programiranja. U našem problemu (1.3.1) uslov

nenegativnosti, osim metodoloških razloga, svakako mora biti zadovoljen jer

nijedna delatnost ne može biti negativna.

Svi elementi modela (1.3.1), izuzev promenljivih pxxx ,...,, 21 , unapred su

poznati, što znači da koeficijenti u funkciji cilja )( jc , koeficijenti u sistemu

ograničenja )( ija i slobodni članovi sistema ograničenja ( )ib predstavljaju

parametre modela.

U cilju određivanja rešenja problema (4.1), sistem nejednačina moramo

transformisati u sistem jednačina. Sistem nejednačina transformisaćemo u

sistem jednačina tako što ćemo levoj strani svake nejednačine dodati

nenegativnu vrednost tzv. dodatne promenljive, koja je jednaka vrednosti

razlike između desne i leve strane nejednačine. Nakon uvođenja dodatnih

promenljivih, sistem ograničenja problema (1.3.1) možemo predstaviti u obliku

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

...

...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...

, , ... , 0

p p p

p p p

m m mp p p m m

p m

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

x x x

(1.3.2)

Uvedene dodatne promenljive, osim metodološke uloge u pretvaranju

sistema nejednačina u sistem jednačina, imaju veoma značajan suštinski

(ekonomski) značaj prilikom rešavanja zadatka linearnog programiranja.

Naime, obzirom da nejednačine sistema ograničenja problema maksimuma

(1.3.1) pokazuju način korišćenja ograničenog iznosa raspoloživih resursa

(predstavljanih slobodnim članovima sistema ograničenja), to pozitivne

vrednosti dodatnih promenljivih pokazuju iznos neiskorišćenih resursa u

nekom od rešenja. Tako, vrednosti dodatnih promenljivih iz optimalnog rešenja

pokazuju koliko resursa ostaje neiskorišćeno u situaciji kada su vrednosti realnih

promenljivih optimalne, tj. kada funkcija cilja ostvaruje svoju maksimalnu

vrednost. Uslov nenegativnosti, koji se u osnovnom obliku modela odnosio na

realne promenljive, prema tome, mora biti zadovoljen i za dodatne promenljive.

Osim u sistem ograničenja, dodatne promenljive se uvode i u funkciju cilja, nakon

čega će kompletan transformisani oblik problema (1.3.1) biti:

1 1 1 1

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

(max) ... ...

...

...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...

, , ... , 0

p p p p p m p m

p p p

p p p

m m mp p p m m

p m

z c x c x c x c x

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

x x x

(1.3.3)

Kao što vidimo, u našem problemu (1.3.3) imamo p realnih (glavnih) i m

dodatnih promenljivih. Pri tome, dodatne promenljive u funkciju cilja su uvedene

sa nultim vrednostima koeficijenata, tj. 0...21 mppp ccc , što

pokazuje da se ove promenljive u funkciju cilja uvode isključivo iz metodoloških

razloga. Ukoliko, radi jednostavnijeg zapisa, prihvatimo da je nmp ,

problem (1.3.3) možemo u kraćem obliku izraziti na sledeći način:

),...,1(0

),...,1(

(max)

1

1

njx

mibxa

xcz

j

n

j

ijij

n

j

jj

(1.3.4)

odnosno u matričnom obliku

0

(max)

x

bAx

cxz

(1.3.5)

gde je c vektor vrsta koeficijenata funkcije cilja n -tog reda; x vektor kolona

promenljivih (realnih i dodatnih) n -tog reda; A matrica koeficijenata sistema

ograničenja reda ),( nm , a b vektor kolona slobodnih članova sistema

ograničenja m -tog reda. Ovako izražen standardni problem maksimuma

predstavlja tzv. kanonički oblik zadatka linearnog programiranja.

Kao što vidimo, svaki model standardnog problema maksimuma, nakon

uvođenja dodatnih promenljivih može se predstaviti u kanoničkom obliku, dok je

isto tako svaki kanonički izražen oblik modela jednostavno predstaviti njemu

odgovarajućim osnovnim oblikom modela. Za određene potrebe, prevashodno

metodološko-teorijska razmatranja više se koristi kanonički oblik modela, dok se

osnovni oblik više koristi za potrebe ekonomske analize i praktična istraživanja.

1.3.3 Opšte osobine rešenja modela linearnog programiranja

Da bi predstavili mogućnosti i postupak određivanja optimalnog rešenja

modela linearnog programiranja, predstavićemo osnovne karakteristike rešenja,

tj. ukazati na vrste i karakteristike rešenja. Pri tome, s obzirom na već prezentirani

standardni problem maksimuma, vrste i karakteristike rešenja modela linearnog

programiranja predstavićemo koristeći ovaj oblik modela. Takav pristup iniciran

je sa jedne strane jednostavnijim mogućnostima dokazivanja nekih rigoroznih

matematičkih stavova i teorema, i, sa druge strane najvećom zastupljenošću ovog

oblika modela linearnog programiranja u teorijskim i praktičnim istraživanjima.

Međutim, teorijski stavovi koje ćemo predstaviti o karakteru i vrstama rešenja,

veoma slično se izvode i za ostale oblike modela linearnog programiranja

(mešoviti problem maksimuma i problem minimuma). Karakter i vrste rešenja

modela linearnog programiranja, zbog toga, predstavićemo na način koji

omogućuje donošenje istovetnih zaključaka za sve vrste modela.

Kao što je rečeno, osnovni cilj rešavanja standardnog problema maksimuma

jeste određivanje nenegativnih vrednosti promenljivih za koje su sve nejednačine

(jednačine) sistema ograničenja zadovoljene i za koje funkcija cilja z ostvaruje

maksimalnu vrednost. Sve vrednosti promenljivih za koji su zadovoljene

nejednačine (jednačine) sistema ograničenja predstavljaju tzv. moguća

rešenja, odnosno obrazuju skup mogućih rešenja (mogući skup). Kako su

ograničavajući uslovi standardnog problema maksimuma dati u obliku

nejednačina sa znakom , odnosno u kanoničkom obliku u vidu jednačina, skup

mogućih rešenja je ograničen i zatvoren skup. Skup mogućih rešenja, međutim,

može biti prazan skup u slučaju kada su postavljeni uslovi kontradiktorni,

odnosno kada ne postoji ni jedna tačka ),...,,( 21 nxxxx za koju su

zadovoljeni svi uslovi (ograničenja) zadatka.

Skup mogućih rešenja obrazovan je, prema tome, od tačaka koje

zadovoljavaju sve nejednačine (jednačine) sistema ograničenja, odnosno

predstavlja presek skupova tačaka za koje su zadovoljene pojedine nejednačine

(jednačine). Iz linearnog karaktera ograničavajućih uslova proizilazi da tačke

koje zadovoljavaju pojedine nejednačine (jednačine) obrazuju konveksan skup

tačaka. Na osnovu toga se izvodi veoma važna osobina skupa mogućih rešenja

zadatka linearnog programiranja – konveksnost skupa mogućih rešenja1 – koja

predstavlja osnovu postupka određivanja optimalnog rešenja zadatka linearnog

programiranja.

Teorema 1.3.1. Skup mogućih rešenja zadatka linearnog programiranja je

konveksan skup.

Dokaz:

Da bi dokazali tvrđenje naše teoreme potrebno je da pokažemo da konveksna

kombinacija svaka dva moguća rešenja, takođe predstavlja moguće rešenje. Zbog

toga, uzmimo da ),...,,(),...,,( ""

2

"

1

"''

2

'

1

'

nn xxxxixxxx predstavljaju

moguća rešenja problema (1.3.5), na osnovu čega je

' '' Ax b Ax b

Posmatrajmo sada tačku x koja predstavlja konveksnu kombinaciju tačaka "' xix , odnosno

' (1 ) '', 0 1 x x x .

1 Ova osobina izvodi se na osnovu dokazivanja teoreme po kojoj je presek konveksnih skupova

takođe konveksan skup. Vidi: K.Lancaster, Mathematical economics, The Macmillan Company, London 1970., str. 263.

Ukoliko sada tačku x uvrstimo u sistem jednačina problema (1.3.5), imamo

bbbbAxAxAx

AxAxxxAAx

""'

"'"' )1()1(

na osnovu čega vidimo da tačka x predstavlja moguće rešenje zadatka linearnog

programiranja,2 tj. da sve konveksne kombinacije mogućih rešenja takođe

predstavljaju moguća rešenja. Prema tome, skup mogućih rešenja je konveksan

skup, što je trebalo i dokazati.

Posmatrajmo sada kanonički oblik standardnog problema maksimuma, tj.

(max)

0

z cx

Ax b

x

Nakon uvođenja dodatnih promenljivih formiran je, kao što vidimo, sistem od

m jednačina sa )( mpnn nepoznatih, pri čemu je očigledno nm . Iz

linearne algebre je poznato da ukoliko matrica A ima rang m (maksimalan broj

linearno nezavisnih vektor kolona), možemo uzeti da su bilo koje mn

promenljive jednake nuli, a zatim određivati vrednosti preostalih m promenljivih.

Bilo koje tako određeno rešenje našeg problema maksimuma predstavlja bazično

rešenje. Ukoliko takvo rešenje zadovoljava i uslov nenegativnosti ono

predstavlja bazično moguće rešenje problema maksimuma.

Osnovni cilj rešavanja zadatka standardnog problema maksimuma predstavlja

zahtev za određivanjem optimalnog rešenja. Bazično moguće rešenje,

),...,,( **

2

*

1

*

kxxxx , predstavlja optimalno rešenje zadatka standardnog

problema maksimuma ukoliko imamo da je )()( '* xzxz , za bilo koje moguće

rešenje 'x . Drugim rečima, rešenje zadatka standardnog problema maksimuma

je optimalno ukoliko je moguće i ukoliko daje maksimalnu vrednost funkcije cilja

z .

Teorema 1.3.2. Optimalno rešenje zadatka linearnog programiranja nalazi se

u ekstremnoj tački konveksnog skupa mogućih rešenja.

Dokaz:

Kako je skup mogućih rešenja konveksan, ograničen skup postoji konačan

broj (pretpostavimo k ) ekstremnih tačaka koje ćemo označiti sa kxxx ,...,, 21 .

Neka je *x tačka za koju funkcija cilja ostvaruje maksimum, odnosno za koju

2 Osobina konveksnosti skupa mogućih rešenja važi za sve oblike zadatka linearnog programiranja

(standardni problem maksimuma, mešoviti problem maksimuma i problem minimuma), zbog čega koristeći razmatranje standardnog problema maksimuma izvodimo opštu osobinu modela linearnog programiranja.

imamo da je )()( * xzxz , za svako moguće rešenje x . Ako je *x ekstremna

tačka konveksnog skupa mogućih rešenja, teorema je dokazana.

Pretpostavimo sada suprotno, tj. da *x nije ekstremna tačka skupa mogućih

rešenja. Tada tačku *x možemo izraziti kao konveksnu kombinaciju skupa

ekstremnih tačaka, tj.

kk xxxx ...2211

*

gde je

k

i

ii iki1

1)...,1(0 .

Kako je funkcija z linearna, možemo pisati

1 1 2 2

1 1 2 2

( *) ( ... )

( ) ( ) ... ( )

k k

k k

z x z x x x

z x z x z x

Ukoliko sada u poslednjoj jednačini, od k mogućih rešenja predstavljenih

ekstremnim tačkama mogućeg skupa izaberemo tačku za koju funkcija z

ostvaruje maksimalnu vrednost, na primer kx tada možemo pisati

1 2

1 1 2 2

( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ... ( ) ( *)

k k k k

k k

z x z x z x

z x z x z x z x

Obzirom da su koeficijenti 10 ii i , dobijamo

1 2

1 2

( ) ( ) ... ( )

( ... ) ( ) ( )

k k k k

k k k

z x z x z x

z x z x

odnosno

)()( *xzxz k

što je i trebalo dokazati. Na taj način, pokazano je da tačka x predstavlja

optimalno rešenje zadatka standardnog problema maksimuma jedino ukoliko je

kxx *, odnosno da se maksimalna vrednost funkcije z ostvaruje u ekstremnoj

tački skupa mogućih rešenja.

1.3.4 Određivanje optimalnog rešenja zadatka linearnog programiranja

1.3.4.1 Grafički metod

Najjednostavniji način određivanja rešenja u zadatku linearnog programiranja

predstavlja grafički metod. Osim toga, grafički način predstavljanja uslova

sistema ograničenja i funkcije kriterijuma u zadatku linearnog programiranja,

pruža jasnu sliku o karakteru skupa mogućih rešenja, načinu određivanja

optimalnog rešenja zadatka, kao i zavisnosti optimalnog rešenja od promene

pojedinih parametara u zadatku. Međutim, i pored izrazite jednostavnosti i

preglednosti, mogućnosti korišćenja ovog metoda u rešavanju praktičnih

problema linearnog programiranja su veoma ograničene. Naime, grafički metod

rešavanja zadatka linearnog programiranja može se primeniti samo u slučaju kada

u zadatku postoje dve realne promenljive. Zbog toga, razmatranje grafičkog

metoda ima prevashodno karakter predstavljanja skupa mogućih rešenja i

postupka traženja optimalnog rešenja, kao i ukazivanja na osnovni karakter

postupka određivanja rešenja korišćenjem simpleks metoda.

Način određivanja optimalnog rešenja zadatka linearnog programiranja

predstavićemo na jednom primeru standardnog problema maksimuma.

Primer 1.3.1

Jedna fabrika proizvodi dva proizvoda 21 PiP .U procesu proizvodnje

proizvodi prolaze kroz tri pogona, pri čemu su utrošak radnih časova po jedinici

proizvoda i raspoloživi kapacitet pogona predstavljeni sledećom tabelom

Pogoni

Potrebno vreme po jedinici Raspoloživi

fond časova P1 P2

I 1 2 42.000

II 3 1 50.000

III 1 0 15.000

Po jednoj jedinici proizvoda 21 PiP ostvaruje se profit u iznosu od 80,

odnosno 60 dinara.

Odrediti optimalan program proizvodnje za koji će posmatrana fabrika

ostvariti maksimalan ukupan profit.

Rešenje: Neophodno je, na početku, definisati model linearnog programiranja koji

izražava uslove predstavljene u našem primeru. Ukoliko obim proizvodnje

proizvoda 21 PiP obeležimo sa 21 xix , tada funkciju cilja, koja izražava

zahtev za maksimizacijom ukupnog profita fabrike, možemo predstaviti u

obliku

21 6080(max) xxz ,

gde izraz na desnoj strani pokazuje ukupan profit koji će se ostvariti po osnovu

proizvodnje 1x jedinica proizvoda P1 i 2x jedinica proizvoda P2.

Iznos raspoloživih resursa - u našem primeru raspoloživog fonda časova

pojedinih pogona - kao i način njihovog korišćenja predstavićemo sistemom

nejednačina

000.15

000.503

000.422

1

21

21

x

xx

xx

gde, kao što vidimo, izrazi na levoj strani nejednačina pokazuju iznos

neophodnog utroška radnih časova u pojedinim pogonima za proizvodnju 1x

jedinica proizvoda P1 i 2x jedinica proizvoda P2, dok na desnoj strani imamo

raspoloživi fond časova pojedinih pogona.

Osim prethodnih elemenata, neophodan uslov izražava i zahtev za

nenegativnošću promenljivih, što je s obzirom na značenje naših promenljivih

(obim proizvodnje) očigledno veoma važan uslov.

Na taj način, model linearnog programiranja, koji će nam poslužiti za

određivanje optimalnog programa proizvodnje posmatranih proizvoda, možemo

predstaviti u obliku:

21 6080(max) xxz

0,

000.15

000.503

000.422

21

1

21

21

xx

x

xx

xx

Na osnovu ovako izraženog problema linearnog programiranja vidimo da smo

zahtev za određivanjem optimalnog programa proizvodnje posmatranih

proizvoda izrazili kao zahtev za određivanjem nenegativnih vrednosti

promenljivih 1x i 2x za koje su zadovoljene sve nejednačine ograničenja i za

koje funkcija cilja z ostvaruje maksimalnu vrednost.

U cilju grafičkog određivanja rešenja, odnosno predstavljanja skupa mogućih

rešenja, prvo ćemo sistem nejednačina izraziti u obliku odgovarajućeg sistema

jednačina:

000.15

000.503

000.422

1

21

21

x

xx

xx

Nejednačine smo transformisali u jednačine radi jednostavnijeg prikazivanja

skupa mogućih vrednosti promenljivih za koje su pojedini od uslova

ograničenja zadovoljeni. Tako, ukoliko primenimo segmentni oblik

predstavljanja pravih, nakon deljenja jednačina sa vrednošću njihovih slobodnih

članova na desnoj strani, imamo:

1000.15

1000.50667.16

1000.21000.42

1

21

21

x

xx

xx

Sada, jednostavno možemo predstaviti prave koje reprezentuju pojedine

nejednačine ograničenja (Slika 1.3.1.)

Slika 1.3.1.

Sve tačke koje se na slici 1.3.1. nalaze na pojedinim segmentima pravih u okviru

prvog kvadranta i ispod njih zadovoljavaju pojedine nejednačine sistema

ograničenja našeg zadatka. Skup tačaka OABCD predstavlja konveksan skup

mogućih rešenja našeg zadatka - sve tačke koje se nalaze u okviru ovog skupa i

na njegovim granicama (dužima) zadovoljavaju istovremeno sve tri nejednačine

ograničenja. S obzirom na prethodna razmatranja, optimalno rešenje našeg

zadatka nalazi se u jednoj od ekstremnih tačaka skupa mogućih rešenja. U cilju

određivanja optimalnog rešenja, tj. ekstremne tačke skupa mogućih rešenja za

koju funkcija cilja ostvaruje maksimalnu vrednost, moguće je:

a) odrediti vrednost funkcije cilja u svakoj od ekstremnih tačaka skupa K i, na

taj način algebarski utvrditi u kojoj ekstremnoj tački se nalazi optimalno

rešenje; ili

b) predstaviti pravu koja reprezentuje funkciju cilja - optimalno rešenje naći

ćemo u ekstremnoj tački najudaljenijoj od koordinatnog početka.

Prihvatajući drugi postupak (grafički), prvo smo predstavili pravu koja

reprezentuje funkciju cilja i prolazi kroz koordinatni početak. Naime, iz uslova

0z , odnosno

06080 21 xx

odakle je

1260

80xx

dobijamo koeficijent pravca prave koja reprezentuje funkciju cilja

3

4tg

što nam je poslužilo za konstruisanje prave funkcije cilja. Translacijom početno

unete prave funkcije cilja koja prolazi kroz koordinatni početak, odnosno

nanošenjem paralelnih pravih u odnosu na ovu, (prave predstavljene isprekidanim

linijama na slici 1.3.1.), odredićemo optimalno rešenje našeg zadatka. Ekstremna

tačka konveksnog skupa K koja je najudaljenija od koordinatnog početka,

predstavlja tačku za koju funkcija cilja ostvaruje maksimalnu vrednost. U našem

primeru to je tačka B u kojoj je

000.840.1(max)200.15,600.11 21 zixx

Neposrednom proverom vrednosti funkcije cilja za bilo koju tačku skupa K

(a time i za ekstremne tačke), mogli bi jednostavno utvrditi da ne postoje moguće

vrednosti promenljivih za koje funkcija cilja ima veću vrednost u odnosu na njenu

vrednost u tački B.

Na osnovu prethodnih razmatranja vidimo da se grafički metod određivanja

optimalnog rešenja zadatka linearnog programiranja sastoji od sledećih

aktivnosti:

1. Formulisanje problema u obliku zadatka linearnog programiranja;

2. Grafičko predstavljanje pravih koje reprezentuju nejednačine sistema

ograničenja;

3. Identifikacija skupa mogućih rešenja za koja su zadovoljene sve nejednačine

sistema ograničenja i uslov nenegativnosti.

4. Nanošenje prave koja reprezentuje funkciju cilja za nulte vrednosti

promenljivih (prava funkcije cilja koja prolazi kroz koordinatni početak);

5. Translacija prave funkcije cilja sleva udesno, (nanošenje paralelnih pravih)

sve dok ne ucrtamo jednu takvu pravu koja sa skupom mogućih rešenja ima

samo jednu zajedničku tačku;

6. Utvrđivanje optimalnih vrednosti promenljivih 1x i 2x u vidu koordinata

ekstremne tačke skupa mogućih rešenja najudaljenije od koordinatnog

početka (identifikacijom sa grafika ili rešavanjem sistema jednačina pravih

na čijem preseku se tačka nalazi), i

7. Određivanje vrednosti funkcije cilja za optimalne vrednosti promenljivih.

Na kraju, važno je napomenuti da je postupak primene grafičkog metoda

određivanja optimalnog rešenja istovetan sa razmatranim i u slučaju rešavanja

problema minimuma, kao i mešovitog problema maksimuma. U slučaju rešavanja

problema minimuma, inverzan zahtev definisan odgovarajućom funkcijom cilja,

determiniše egzistenciju optimalnog rešenja u tački skupa mogućih rešenja koja

je najbliža koordinatnom početku. Kod mešovitog problema maksimuma razlika

prilikom utvrđivanja skupa mogućih rešenja u odnosu na razmatrani postupak

posledica je modifikacije sistema ograničavajućih uslova. Međutim, opšti

karakter i način korišćenja grafičkog metoda istovetan je kod rešavanja svih

zadataka linearnog programiranja.

1.3.4.2 Simpleks metod

Za razliku od grafičkog metoda, koji se može koristiti samo za rešavanje

problema u kojima postoje dve realne promenljive, simpleks metod predstavlja

opšti algoritam koji se koristi za rešavanje svih oblika zadatka linearnog

programiranja. Simpleks metod predstavlja algoritam u kome se u nizu iteracija

(faza) dolazi do optimalnog rešenja zadatka linearnog programiranja. Pri tome, u

svakoj od iteracija utvrđuju se vrednosti promenljivih koje odgovaraju

ekstremnim tačkama skupa mogućih rešenja i ispituje njihova optimalnost.

Simpleks metod obezbeđuje najkraći put do optimalnog rešenja, što znači da se u

postupku rešavanja zadatka linearnog programiranja ne utvrđuju rešenja koja

odgovaraju svim ekstremnim tačkama konveksnog skupa mogućih rešenja (kao

što je to slučaj kod tzv. metoda pretraživanja koji se koristi u kombinaciji sa

grafičkim metodom).

Da bi objasnili suštinu simpleks metoda i način izračunavanja optimalnog

rešenja zadatka linearnog programiranja, izrazićemo model (1.3.3) u matričnom

obliku:

Funkcija cilja

mp

mp

x

x

x

cccz

.

.),....,,(

2

1

21

Sistem ograničenja

mmpmpmm

p

p

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

........

1...00...

.............

0...10...

0...01...

2

1

2

1

21

22221

11211

(1.3.6)

gde pojedine kolone matrice koeficijenata sistema ograničenja predstavljaju tzv.

vektore aktivnosti, koje možemo predstaviti u obliku

1

21

11

1....

ma

a

a

A ,

2

22

12

2....

ma

a

a

A , . . . . ,

mp

p

p

p

a

a

a

A....

2

1

, . . . . ,

1

....

0

0

mpA

odnosno

mj

j

j

j

a

a

a

A....

2

1

, kao i

mb

b

b

b....

2

1

mpx

x

x

x....

2

1

Ukoliko, pored toga, koeficijente funkcije cilja izrazimo u obliku vektora

),...,,( 21 mpcccc , problem (4.6) možemo izraziti u kanoničkom obliku, tj.

(max)

0

Tz c x

Ax b

x

odnosno u skladu sa prethodnim matričnim označavanjem

1

1

(max)

0 ( 1, .... , )

p m

j j

j

p m

j j

j

j

z c x

A x b

x j p m

(1.3.7)

što će nam poslužiti za razmatranje karaktera simpleks metoda, odnosno

izvođenje simpleks kriterijuma koji se koriste za promenu strukture vektorske

baze i ispitivanje optimalnosti određenog rešenja.

Postupak određivanja optimalnog rešenja problema (1.3.7), započinjemo

određivanjem tzv. početnog bazičnog rešenja. Početno bazično rešenje

standardnog problema maksimuma određuje se tako što se pretpostavlja da su sve

realne promenljive jednake nuli, a dodatne promenljive slobodnim članovima

sistema ograničenja, tj.

mizabx

pjzax

iip

j

,....,1

,....,10

(1.3.8)

Funkcija cilja za ovako određeno početno bazično rešenje jednaka je nuli (

0z ). Prema tome, slično kao kod grafičkog metoda, rešavanje zadatka

standardnog problema maksimuma započinjemo iz početka m -dimenzionalnog

vektorskog prostora. Navedena pretpostavka, prema tome, ima za posledicu da

vektorsku bazu na osnovu koje se utvrđuje početno bazično rešenje obrazuju

vektori koeficijenata uz dodatne promenljive, dok su vektori koeficijenata uz

realne promenljive nebazični. Vektori koeficijenata uz dodatne promenljive

(kojih u našem problemu ima m) obrazuju jediničnu matricu - čija inverzna

matrica je takođe jedinična - što predstavlja osnovni razlog za otpočinjanje

simpleks procedure rešavanja zadatka na ovakav način. Naime, ovakva

pretpostavka omogućuje direktno određivanje početnog bazičnog rešenja i time

primenu simpleks metoda.

Nakon određivanja početnog bazičnog rešenja, na osnovu pretpostavke da su

realne promenljive jednake nuli, odnosno da početnu bazu obrazuju vektori koji

odgovaraju dodatnim promenljivim, postavlja se pitanje na koji način se može

odrediti rešenje za koje funkcija cilja ima veću vrednost. Promena rešenja u

zadatku linearnog programiranja vrši se, ukoliko za to postoji mogućnost,

izmenom elemenata (vektora) vektorske baze. Zbog toga, prilikom određivanja

svakog od rešenja (a time i početnog), u svakoj od iteracija, postavlja se pitanje:

Da li se i kakvom promenom vektorske baze može odrediti rešenje za koje

funkcija cilja ima veću (za problem maksimuma) vrednost u odnosu na

odgovarajuću vrednost iz već određenog rešenja? Da bismo odgovorili na ovo

pitanje, izvešćemo Dantzigove, odnosno simpleks kriterijume za promenu

vektorske baze.

S obzirom na pretpostavku o načinu određivanja početnog bazičnog rešenja,

odnosno na osnovu relacije (1.3.8), možemo pisati

1,

1,2

1,1

...

pm

p

p

a

a

a

0

...

0

1

1px

1,

2,

1 1

,

0

0, .....,

.......

1

p m

p m

p p m p m m

m p m

a

ax b x x b

a

na osnovu čega za vektore ),....,1( mppiAi koji obrazuju vektorsku

bazu možemo pisati

bxAmp

pi

ii

1

(1.3.9)

a za vektore ),....,1( pjAj , koji su nebazični

01

p

j

jj xA (1.3.10)

gde su 0 ( 1, .... , ), 0 ( 1, .... , )i jx i p p m x j p , dok je

funkcija cilja za početno bazično rešenje, s obzirom na vrednosti koeficijenata uz

dodatne (u početnom rešenju bazične) promenljive, jednaka nuli, tj.

mp

pi

ii xcz1

(1.3.11)

Na osnovu osobina skupa mogućih rešenja i prethodnih razmatranja, svaki

od nebazičnih vektora možemo izraziti u obliku linearne kombinacije vektora

baze, odnosno

mp

pi

iijj AxA1

, j=1,2,...,p (1.3.12)

gde su ijx koeficijenti linearne kombinacije - u početnom rešenju ijij ax dok

se u narednim rešenjima ove vrednosti izračunavaju nakon izmene vektorske

baze.

Osim toga, za svaki nebazični vektor jA možemo odrediti vrednost funkcije

jz u obliku

mp

pi

iijj cxz1

, j=1,2,...,p (1.3.13)

koja će nam poslužiti za ispitivanje optimalnosti rešenja, odnosno za izvođenje

simpleks kriterijuma za promenu vektorske baze.

Ispitajmo sada kako će uvođenje nekog od prethodno nebazičnih vektora

uticati na izmenu rešenja, odnosno na povećanje vrednosti funkcije cilja. Pri

tome, treba utvrditi uvođenje koga od prethodno nebazičnih vektora će omogućiti

najveće povećanje vrednosti funkcije cilja. U tom cilju, pretpostavimo da

nebazični vektor jA ulazi u bazu.

Kriterijum za ulazak vektora jA u bazu.

Kriterijum za uključivanje jednog od prethodno nebazičnih vektora u bazu

sastoji se u tome da treba odabrati onaj vektor ( l -ti) kod koga je zadovoljen

uslov

0)(max jjj

ll zczc (1.3.16)

Izraz (1.3.16) predstavlja kriterijum optimalnosti, odnosno I simpleks

kriterijum za izmenu vektorske baze. Ukoliko su za neko od rešenja ove

razlike za sve nebazične vektore negativne, tj. 0)( jj zc , takvo rešenje

predstavlja optimalno rešenje problema maksimuma.

Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora problema (1.3.6) iznosi m , koliko

iznosi i broj vektora baze, zbog čega jedan od prethodno bazičnih vektora mora

napustiti bazu.

Kriterijum za izlazak vektora iA iz baze.

Iz baze treba isključiti onaj k -ti vektor kA za koga bude zadovoljen uslov

0 za,min il

il

i

kl

ki xx

x

x

x (1.3.19)

Izraz (1.3.19) predstavlja kriterijum za izlazak vektora iz baze, odnosno II

Dantzigov simpleks kriterijum. Kao što vidimo, nakon određivanja nebazičnog

vektora lA , koji se u cilju poboljšanja programa treba uključiti u bazu, vektor

koji izlazi iz baze određuje se nakon određivanja količnika vrednosti prethodno

bazičnih promenljivih i koeficijenata na osnovu kojih je vektor lA bio izražen

kao linearna kombinacija bazičnih vektora u prethodnom rešenju. Iz baze, prema

tome, izlazi onaj vektor kA za koji ovako određen količnik bude minimalan

pozitivan broj (manji od ostalih vrednosti količnika).

Nakon smene vektora u bazi, na osnovu primene navedenih simpleks

kriterijuma, izračunava se novo poboljšano rešenje. Vrednosti promenljivih, koje

odgovaraju vektorima nove baze, mogu se izračunati se na dva načina, i to:

a) korišćenjem vrednosti izračunate veličine na osnovu drugog simpleks

kriterijuma, pri čemu promenljive određujemo u obliku:

novouvedena promenljiva, tj. promenljiva koja odgovara vektoru koji je

uključen u bazu ( lA )

lx

ostale promenljive koje su i u prethodnoj iteraciji bile bazične

ilii xxx '

tj. vrednosti ovih promenljivih izračunavaju se tako što se od njihovih

vrednosti iz prethodne iteracije oduzme proizvod vrednosti i koeficijenata

preko kojih je novouvedeni vektor l -ti) bio u prethodnoj iteraciji izražen kao

linearna kombinacija vektora baze.

b) nakon određivanja vektora nove baze, vrednosti bazičnih promenljivih

možemo odrediti iz proizvoda inverzne matrice od matrice baze i vektora

slobodnih članova sistema ograničenja, tj.

bxB

1

gde Bx predstavlja vektor kolonu bazičnih promenljivih, 1 inverznu

matricu od matrice baze, a b vektor kolonu slobodnih članova sistema

ograničenja.

Nakon određivanja vrednosti promenljivih za novo poboljšano rešenje

određuje se vrednost funkcije cilja, na način predstavljen relacijom (1.3.11), kao

i funkcije jz za nebazične vektore na način predstavljen relacijom (1.3.13), koje

su nam neophodne za ispitivanje optimalnosti rešenja korišćenjem simpleks

kriterijuma za ulazak vektora u bazu. Pri tome, koeficijente linearne kombinacije

ijx (obeležimo ih kao vektor kolonu jx ) izračunavamo iz izraza

jj Ax 1

gde jA predstavlja nebazični vektor.

Postupak određivanja optimalnog rešenja problema maksimuma, prema tome,

sastoji se od niza iteracija u kojima se izmenom vektorske baze vrši poboljšavanje

rešenja, odnosno povećavanje vrednosti funkcije cilja. O specijalnim slučajevima

zadatka linearnog programiranja u kojima ne postoji mogućnost jednoznačnog

određivanja vektora koji izlazi iz baze, odnosno u kojima se u uzastopnim

iteracijama funkcija cilja neće povećati, biće više reči prilikom razmatranja

tabelarnog postupka primene simpleks metoda.

1.3.5 Mešoviti problem maksimuma

U određenim situacijma, prilikom rešavanja praktičnih problema, može se

pojaviti zahtev za određivanjem maksimalne vrednosti funkcije cilja u uslovima

kada (osim gornje granice raspoloživih resursa) postoji donja granica

ograničavajućeg uslova, ili kada je uslov dat u vidu jednakosti. U takvim

problemima, prema tome, osim nejednačina sa znakom , u sistemu ograničenja

neki od uslova može biti dat u vidu jednačine, odnosno nejednačine sa znakom

. Prilikom rešavanja praktičnih problema, ovakvi uslovi, na primer, mogu

izražavati zahtev za utroškom sirovina u tačno određenom iznosu, ispunjavanjem

ugovorenih obaveza u predviđenom iznosu (jednačine), predviđenu donju

granicu korišćenja kapaciteta, najniži planirani nivo ukupne proizvodnje

(nejednačine sa znakom ), i slično. Ukoliko su, dakle, u sistemu ograničenja

problema maksimuma, osim nejednačina sa znakom , neki od uslova

zadatka predstavljeni jednačinama, ili nejednačinama sa znakom , takav

oblik problema nazivamo mešoviti problem maksimuma.

Da bi objasnili suštinsku i metodološku razliku ovakvog oblika zadatka

linearnog programiranja u odnosu na standardni problem maksimuma,

posmatrajmo sledeći oblik problema:

0,...,,

...

........................

...

........................

...

...

...(max)

21

2211

2211

22222121

11212111

2211

p

mpmpmm

kpkpkk

pp

pp

pp

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcz

(1.3.20)

U problemu (1.3.20), kao što vidimo postoji p realnih promenljivih i m

ograničavajućih uslova. I ovde, kao i kod standardnog problema maksimuma

(4.1) postavlja se zahtev za određivanjem nenegativnih vrednosti promenljivih

pxxx ,...,, 21 , za koje su zadovoljeni svi ograničavajući uslovi i za koje funkcija

cilja z ostvaruje maksimalnu vrednost. Međutim, za razliku od standardnog

problema maksimuma, u kome su sve nejednačine bile oblika , u problemu

maksimuma (1.3.20) vidimo da je k -ti uslov dat u vidu jednačine, dok je m -ti

uslov dat u vidu nejednačine sa znakom . Iako i u slučaju ovakvog problema

maksimuma važe sve prethodno navedene karakteristike mogućih, bazičnih i

optimalnog rešenja, različito izraženi uslovi u sistemu ograničenja izazivaju

promenu postupka određivanja optimalnog rešenja u odnosu na ovaj postupak

kod standardnog problema maksimuma.

Kod standardnog problema maksimuma (1.3.1), za potrebe određivanja

optimalnog rešenja, u prvom koraku smo sistem nejednačina transformisali u

sistem jednačina uvođenjem dodatnih promenljivih. Početno bazično rešenje

određivali smo na osnovu pretpostavke da su realne promenljive jednake nuli, na

osnovu čega je početna baza bila sastavljena od vektora koji odgovaraju dodatnim

promenljivim. Takav pristup (početna baza je bila jedinična matrica)

omogućavao nam je direktno određivanje početnog bazičnog rešenja, i, time,

otpočinjanje simpleks postupka određivanja optimalnog rešenja.

Ukoliko bi i kod mešovitog problema maksimuma primenili prethodno

objašnjeni postupak za određivanju početnog rešenja, ne bi bili u mogućnosti da

odredimo početno bazično rešenje u kome su sve promenljive nenegativne, tj. ne

bi mogli obezbediti da vektori početne baze obrazuju jediničnu matricu. Zbog

toga se prilikom transformisanja ograničavajućih uslova mešovitog problema

maksimuma, osim dodatnih, u sistem uvode i tzv. veštačke promen-ljive.

Veštačke promenljive uvode se u jednačine, dok se u nejednačine sa znakom

uvode i dodatne i veštačke promenljive. Osim u sistem ograničenja,

veštačke promenljive se uvode i u funkciju cilja, i to sa koeficijentima koji

su jednaki negativnoj vrednosti broja M , pri čemu je M veliki konačan

broj.3 Nakon toga, koristeći mogućnost određivanja nenegativnog početnog

bazičnog rešenja (početnu bazu obrazuju vektori koji odgovaraju dodatnim i

veštačkim promenljivim), postupak određivanja optimalnog rešenja je sličan kao

i kod određivanja optimalnog rešenja standardnog problema maksimuma.

Nakon uvođenja dodatnih i veštačkih promenljivih, problem (1.3.20) možemo

predstaviti u obliku

1 1 1 2 , ,

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2 ,

1 1 2 2

(max) ... 0 0 ... 0 ...

...

...

...

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...

p p p p p m p k M p m M

p p p

p p p

k k kp p p k M k

m m mp p

z c x c x x x x Mx Mx

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x

,

1 2 ,

, , ... , 0

p m p m M m

p m M

x x b

x x x

(1.3.21)

Dodatne promenljive smo, kao i ranije dodavali levim stranama nejednačina

sa znakom , odnosno oduzimali od levih strana nejednačina sa znakom , čime

ove promenljive ispunjavaju svoju metodološku i suštinsku ulogu u modelu

linearnog programiranja. Veštačke promenljive uvodimo samo u jednačine i

nejednačine sa znakom , i to isključivo iz metodoloških razloga. Ovako

transformisan oblik mešovitog problema maksimuma rešava se sada na sličan

način kao standardni problem maksimuma, korišćenjem simpleks metoda, pri

čemu se koriste isti simpleks kriterijumi za promenu vektorske baze. Početno

bazično rešenje određuje se na osnovu baze sastavljene od m vektora

koeficijenata iz sistema ograničenja koji se nalaze uz dodatne i veštačke

promenljive i koji obrazuju jediničnu matricu.

Veštačke promenljive, za razliku od dodatnih, nemaju nikakvo suštinsko

(ekonomsko) značenje, već predstavljaju isključivo metodološki postupak

neophodan za određivanje početnog bazičnog rešenja mešovitog problema

maksimuma, i, na taj način otpočinjanje simpleks postupka rešavanja zadatka.

Osim toga, u postupku rešavanja zadatka veštačke promenljive, odnosno njima

odgovarajući vektori, moraju biti eliminisane iz baze, što znači da se one ne

mogu naći u optimalnom rešenju zadatka linearnog programiranja. Eliminisanje

veštačkih promenljivih iz baze obezbeđeno je njihovim uvođenjem u funkciju

cilja sa koeficijentom M (veliki broj). Ukoliko se, ipak, neka veštačka

promenljiva pojavi u optimalnom rešenju sa pozitivnom vrednošću, onda je to

3 Zbog toga se veštačke promenljive često nazivaju M - promenljive, a postupak rešavanja zadatka

mešovitog problema maksimuma (i minimuma) M – simpleks metod. Vidi: Render,B.Đ i R.Stair, Quantitative analysis for management, Allyn and Bacon, London, 1993.

znak da je sistem ograničenja nekonzistentan, odnosno da postavljeni problem

nema rešenje.4

1.3.6 Problem minimuma

Problem minimuma predstavlja takav oblik modela linearnog

programiranja u kome se postavlja zahtev za određivanje minimalne

vrednosti unapred poznate funkcije cilja, uz respektovanje zadanih

ograničenja predstavljenih u obliku sistema jednačina i nejednačina. U

okviru preduzeća problem minimuma se najčešće koristi za određivanje

optimalnog programa proizvodnje pojedinih proizvoda za koji će se ostvariti

minimalni ukupni troškovi (materijala, sirovina, angažovane radne snage, i sl.).

Slično kao kod problema maksimuma, standardni problem minimuma predstavlja

takav oblik modela linearnog programiranja u kome je sistem ograničenja

predstavljen isključivo nejednačinama sa znakom . Mešoviti problem

minimuma, pored nejednačina oblika , uključuje i jednačine, kao i nejednačine

sa znakom . Pri tome, kao i ranije, prilikom transformisanja sistema

ograničavajućih uslova u sistem jednačina radi primene simpleks metoda, u

nejednačine sa znakom uvodimo samo dodatne promenljive, u jednačine

uvodimo samo veštačke promenljive, dok u nejednačine sa znakom uvodimo

i dodatne i veštačke promenljive. Bez obzira o kakvom obliku problema

minimuma se radi (standardnom ili mešovitom), geometrijski posmatrano

optimalno rešenje se nalazi u jednoj od ekstremnih tačaka (najbližoj početku

prostora) konveksnog, odozdo ograničenog skupa mogućih rešenja.

Problem minimuma (standardni oblik) možemo predstaviti u sledećem obliku

0,...,,

...

...

...

...(min)

21

2211

22222121

11212111

2211

p

mpmpmm

pp

pp

pp

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcz

(1.3.22)

u kome se postavlja zahtev za određivanjem nenegativnih vrednosti promenljivih

za koje funkcija cilja z ostvaruje minimalnu vrednost. U tom cilju primenjuje se

simpleks postupak određivanja optimalnog rešenja, zbog čega se, u prvom

4 Ukoliko se u optimalnom rešenju pojavi veštačka promenljiva sa nultom vrednošću, onda je to

indikator da u sistemu nejednačina imamo nepotrebnih uslova, odnosno neefektivnih nejednačina (jednačina).

koraku, sistem nejednačina problema (1.3.22) uvođenjem dodatnih promenljivih

transformiše u sistem jednačina, pa imamo

1 1 2 2 1 2

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

(min) ... 0 0 0

...

...

...

, , ... , 0

p p p p p m

p p p

p p p

m m mp p p m m

p m

z c x c x c x x x x

a x a x a x x b

a x a x a x x b

a x a x a x x b

x x x

(1.3.23)

I pored toga što je sistem nejednačina transformisan u sistem jednačina, nismo

u mogućnosti da na osnovu modela (1.3.23) direktno odredimo početno bazično

rešenje problema minimuma. I ovde se pojavljuje sličan problem kao kod

mešovitog problema maksimuma. Ukoliko bi, naime, pošli od uobičajene

pretpostavke da su realne promenljive jednake nuli, s obzirom da su vrednosti

bi>0, vrednosti bazičnih promenljivih bi bile negativne, zbog čega ne bi mogli

odrediti optimalno rešenje korišćenjem simpleks postupka. Zbog toga se i ovde

uvode veštačke promenljive (kojih će u našem problemu imati m), čiji vektori

obrazuju jediničnu matricu koju možemo uzeti za početnu vektorsku bazu. Osim

u sistem ograničenja veštačke promenljive uvodimo i u funkciju cilja, pri čemu

se za koeficijente uz veštačke promenljive u funkciji cilja (s obzirom na

promenjeni simpleks kriterijum) uzimaju pozitivne vrednosti broja M.

Nakon uvođenja veštačkih promenljivih problem (1.3.23) možemo predstaviti

u obliku

0,...,,

...

...

...

,...,,

000...(min)

,21

,2211

2,222222121

1,111212111

,,2,1

212211

Mmp

mMmpmppmpmm

Mpppp

Mpppp

MmpMpMp

mppppp

xxx

bxxxaxaxa

bxxxaxaxa

bxxxaxaxa

xxxM

xxxxcxcxcz

odnosno u matričnom obliku

Mmp

Mp

mp

p

p

p

x

x

x

x

x

x

MMccz

,

,1

1

1

1 )...,,,0...,,0,...,,((min)

mMmpmpmm

p

p

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

,

2

1

21

22221

11211

100100...

010010...

001001...

0,...,, ,21 Mmpxxx

Matrično izražen problem minimuma sada možemo rešavati korišćenjem

simpleks metoda. Početno bazično rešenje određuje se na osnovu pretpostavke da

su realne i dodatne promenljive jednake nuli, dok su veštačke promenljive

jednake slobodnim članovima sistema ograničenja. Na taj način, početno bazično

rešenje određuje se na osnovu početne baze – jedinične matrice. Postupak

određivanja optimalnog rešenja je sličan kao kod problema maksimuma, uz

suprotan prvi simpleks kriterijum za promenu vektorske baze. Naime, kako

se iz iteracije u iteraciju funkcija cilja problema minimuma mora smanjivati,

simpleks kriterijum za ulazak nekog prethodno nebazičnog vektora ovde je

0)(min jj zc

Rešenje je optimalno kada su sve razlike (cj - zj ) > 0.

1.3.7 Dualni problem

1.3.7.1 Osnovne karakteristike dualnog problema

Svakom problemu linearnog programiranja odgovara dualni problem, koji

takođe predstavlja problem linearnog programiranja. Između osnovnog

(primarnog) i izvedenog (dualnog) problema linearnog programiranja postoji

inverzan odnos u pogledu osnovnog zahteva, odnosno u pogledu zahteva za

određivanjem ekstremne vrednosti funkcije cilja. Tako, ukoliko se u početnom

problemu, koji se naziva primarni problem, postavlja zahtev za

maksimizacijom funkcije cilja, u dualnom problemu će funkcija cilja biti funkcija

minimuma, i obrnuto. Osim toga, nejednačine ograničenja dualnog problema

izvode se na osnovu nejednačina ograničenja primarnog problema. Prilikom

rešavanja konkretnih ekonomskih problema, na osnovu ovakvog odnosa između

primarnog i dualnog problema, primarne i dualne promenljive omogućavaju

dobijanje značajnih informacija o karakteru optimalnog rešenja. Zbog toga,

korišćenje dualnog problema u postupku rešavanja nekog problema linearnog

programiranja ima veoma značajne analitičke i metodološke karakteristike.

Između primarnog i dualnog problema, kao što ćemo pokazati, postoji takav

odnos da u dualnom problemu ima tačno onoliko promenljivih koliko u

primarnom problemu ima strukturnih ograničenja, odnosno svakoj nejednačini

ograničenja (odnosno dodatnoj promenljivoj) primarnog problema odgovara

jedna realna promenljiva dualnog problema. Isto tako, u dualnom problemu

postoji po jedna nejednačina ograničenja za svaku realnu (glavnu) promenljivu

primarnog problema. Ovakva korespodencija (veza), koja postoji između

ograničenja (dodatnih promenljivih) određenog problema linearnog

programiranja i realnih promenljivih njemu odgovarajućeg dualnog problema, i

obrnuto, omogućava dobijanje veoma značajnih informacija koje se mogu

koristiti u postupku donošenja zaključaka (odluka) o načinu optimizacije

ekonomskih aktivnosti.

Osim značajnih analitičkih karakteristika dualnog problema, činjenica da

svaki zadatak linearnog programiranja možemo transformisati u odgovarajući

dualni problem ukazuje na metodološke pogodnosti korišćenja prethodno

predstavljene veze između primarnog i dualnog problema. Naime, s obzirom da

određivanje optimalnog rešenja bilo koga zadatka linearnog programiranja

istovremeno znači određivanje optimalnog rešenja i njemu odgovarajućeg

dualnog problema, moguće je njihovo alternativno korišćenje za postupak

rešavanja zadatka. Ovakva mogućnost dolazi do izražaja u situaciji kada je neki

problem linearnog programiranja jednostavnije rešavati korišćenjem njemu

odgovarajućeg dualnog problema, što u praksi nije redak slučaj.

1.3.7.2. Formulisanje i rešavanje dualnog problema

Dualni problem određenog zadatka linearnog programiranja (primarnog

problema) formira se na sledeći način:

1. Ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja

dualnog problema će biti funkcija minimuma, i obrnuto;

2. Menja se smer znakova nejednakosti u sistemu nejednačina, i to tako da

ukoliko su nejednačine primarnog problema sa znakom , nejednačine

dualnog problema postaju nejednačine sa znakom , i obrnuto;

3. Vrši se transponovanje matrice koeficijenata sistema ograničenja primarnog

problema, na osnovu čega ukoliko u primarnom problemu imamo m

nejednačina sa p promenljivih, u dualnom problemu će biti p nejednačina sa

m promenljivih;

4. Koeficijenti uz promenljive u funkciji cilja dualnog problema jednaki su

slobodnim članovima sistema ograničenja primarnog problema;

5. Slobodni članovi sistema nejednačina dualnog problema jednaki su

koeficijentima koji se uz promenljive nalaze u funkciji cilja primarnog

problema;

6. Sve promenljive dualnog problema moraju biti nenegativne, zbog čega je

ovaj uslov obavezno prisutan i u dualnom problemu.

Polazeći od navedenih pravila za formulisanje dualnog problema nekog

zadatka linearnog programiranja, koja predstavljaju opšti postupak koji se

primenjuje bez obzira na oblik početnog zadatka, posmatrajmo osnovni oblik

standardnog problema maksimuma:

0,...,,

...

...

...

...(max)

21

2211

22222121

11212111

2211

p

mpmpmm

pp

pp

pp

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

xcxcxcz

(1.3.24)

Dualni problem koji odgovara problemu (1.3.24), primenjujući prethodno

navedeni postupak, možemo predstaviti u obliku

0,...,,

...

...

...

...(min)

21

2211

22222112

11221111

2211

m

pmmppp

mm

mm

mm

yyy

cyayaya

cyayaya

cyayaya

ybybybv

(1.3.25)

Ukoliko problem maksimuma predstavimo u obliku

)...,,1(0

)...,,1(

(max)

1

1

pjx

mibxa

xcz

j

p

j

ijij

p

j

jj

(1.3.26)

tada, njemu odgovarajući dualni problem možemo predstaviti u obliku

)...,,1(0

)...,,1(

(min)

1

1

miy

pjcya

ybv

i

m

i

jiij

m

i

ii

(1.3.27)

Zadaci (1.3.26) i (1.3.27) predstavljaju dva međusobno povezana zadatka,

tako da se svaki od njih može smatrati primarnim, odnosno dualnim problemom.

Očigledno je da između promenljivih primarnog i dualnog problema postoji

povezanost i međusobna uslovljenost rešenja. Da bi to pokazali, uvedimo u

primarni problem (1.3.26) dodatne promenljive mpp xx ...,,1 , u njemu

odgovarajući dualni problem pmm yy ...,,1 , i izrazimo ih u sledećem

kanoničkom obliku:

Primarni problem - problem maksimuma

)...,,1;...,,1(00

)...,,1(

(max)

1

1

mipjxx

mibxxa

xcz

ipj

p

j

iipjij

p

j

jj

(1.3.28)

Dualni problem - problem minimuma

)...,,1;...,,1(0,0

)...,,1(

(min)

1

1

pjmiyy

pjcyya

ybv

jmi

m

i

jjmiij

m

i

ii

(1.3.29)

Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi

mp . Sada smo u mogućnosti da uspostavimo vezu između promenljivih

primarnog i dualnog problema. Ova veza, može se izraziti na sledeći način:

svakoj dodatnoj promenljivoj primarnog problema odgovara (međusobno

su povezane) jedna realna promenljiva dualnog problema, u obliku5

mmp

p

p

yx

yx

yx

_____

_____

_____

22

11

dok svakoj glavnoj promenljivoj primarnog problema odgovara jedna dodatna

promenljiva dualnog problema, tj.

pmp

m

m

yx

yx

yx

_____

_____

_____

22

11

Ovako izražena veza (korespodencija) između promenljivih primarnog i

dualnog problema (pri čemu ona ne podrazumeva numeričku jednakost),

predstavlja veoma značajnu karakteristiku dualnog problema. Na osnovu

iskazane relacije možemo konstatovati da rešavajući jedan iz navedenog para

zadataka (primarni ili dualni), određivanjem optimalnog rešenja jednog od njih

dobijamo istovremeno i optimalno rešenje njemu odgovarajućeg dualnog

problema.

Optimalno rešenje dualnog problema, na osnovu već izračunatog optimalnog

rešenja primarnog problema, možemo odrediti na dva načina:

5 Kuznecov,A. i N.Holod, Matematičeskoe programirovanie, Višejšaja škola, Minsk, 1981., str.61.

a) Optimalne vrednosti realnih promenljivih dualnog problema )...,,1( miyi

određujemo kao negativnu vrednost razlike prvog simpleks kriterijuma za

dodatne promenljive iz poslednjeg (optimalnog) rešenja primarnog problema,

tj.

mizcy ipipi ...,,1)(

b) Na osnovu optimalnog rešenja primarnog problema, (određenog na osnovu

vektorske baze opt), optimalne vrednosti realnih promenljivih dualnog

problema )...,,1( miyi određujemo i iz relacije

1 optBcy

gde je )...,,( 1 myyy , Bc vektor vrsta koeficijenata koji se u funkciji

cilja primarnog problema nalaze uz promenljive iz optimalne baze opt .

Imajući u vidu prethodne mogućnosti određivanja optimalnog rešenja

dualnog problema, kao i činjenicu da dualni problem dualnog problema

predstavlja primarni problem6, bilo koji zadatak linearnog programiranja može

se rešiti preko njemu odgovarajućeg dualnog problema. Ovakva mogućnost

koristi se uvek kada se proceni da je rešavanje nekog problema linearnog

programiranja jednostavnije preko odgovarajućeg dualnog problema. Zbog toga

se, s obzirom na uobičajeno veliki broj promenljivih, problem minimuma

najčešće rešava preko njegovog dualnog problema - problema maksimuma - koji

se može lakše i brže rešiti.

1.3.7.3 Osnovne teoreme dualnosti

Razmotrićemo neke osnovne teoreme dualnosti, koje predstavljaju osnovu za

određivanje optimalnog rešenja dualnog problema i ukazuju na značaj

izračunavanja vrednosti dualnih promenljivih.

Teorema 1.3.3. Za bilo koje moguće rešenje )...,,( 1 pxxx primarnog

problema (1.3.26) i bilo koje moguće rešenje dualnog problema )...,,( 1 myyy

vrednost funkcije cilja primarnog problema manja je ili jednaka vrednosti

funkcije cilja dualnog problema, tj.

)()( yvxz ili

p

j

m

i

iijj ybxc1 1

(1.3.30)

6 Dokaz videti u Stojanović,D., Ekonomsko-matematički metodi i modeli, Ekonomski fakultet,

Beograd, 1990., str.220.

Teorema 1.3.4. Ukoliko su )...,,( 1

pxxx i )...,,( 1

myyy moguća

rešenja primarnog i dualnog problema (1.3.26) i (1.3.27), za koje su vrednosti

funkcija cilja primarnog i dualnog problema jednake, tj.

)()( yvxz

tada x i

y predstavljaju optimalna rešenja primarnog i dualnog problema,

respektivno.

Teorema 1.3.5. Ukoliko jedan od problema linearnog programiranja primarni ili

dualni problem - imaju makar jedno moguće rešenje, tada i primarni i dualni

problem imaju optimalna rešenja.

Teorema 1.3.6. Moguće rešenje x primarnog problema je optimalno, ako i

samo ako postoji moguće rešenje dualnog problema y za koje je )()( yvxz

. Tada rešenje y predstavlja optimalno rešenje dualnog problema.

Teorema 1.3.7. Ukoliko su x i

y moguća rešenja primarnog i dualnog

problema, tada su to i optimalna rešenja ako i samo ako imamo zadovoljene

uslove

p

j

ijiji mibxajeukolikoy1

)...,,1(0)1 (1.3.34)

)...,,1(0)21

pjcyajeukolikoxm

i

jiijj

(1.3.35)

odnosno, dualna promenljiva je jednaka nuli kada je njoj odgovarajuća dodatna

promenljiva pozitivna u optimalnom rešenju primarnog problema, kao i ukoliko

je neka realna promenljiva u optimalnom rešenju primarnog problema jednaka

nuli onda je njoj odgovarajuća dodatna promenljiva u optimalnom rešenju

dualnog problema pozitivna.

Teorema 1.3.7. na osnovu koje se uspostavlja veza između dodatnih promenljivih

primarnog problema i realnih promenljivih dualnog problema, i obrnuto, ima

značajna analitička svojstva i predstavlja osnov za interpretaciju značenja dualnih

promenljivih.

1.3.7.4 Ekonomska interpretacija dualnog problema

Dualne promenljive, kao što se na osnovu prethodno predstavljenih teorema i

veze sa promenljivim primarnog problema može zaključiti, osim značajnih

metodoloških osobina, pružaju mogućnost za dobijanje veoma značajnih

informacija o karakteru problema linearnog programiranja, kao i ispitivanje

uticaja promene nivoa korišćenja raspoloživih resursa na vrednost funkcije cilja.

Posmatrajmo problem standardnog maksimuma

0

(max)

x

bAx

cxz

(1.3.45)

čiji je odgovarajući dualni problem

0

''

'(min)

y

cyA

ybv

(1.3.46)

Neka *x predstavlja optimalno rešenje problema (1.3.45), za koje je

)(max*)( xzxz , za svako Kx , i neka je odgovarajuće optimalno rešenja

dualnog problema *y za koje je )(min*)( yzyz , za svako Ly .

Pretpostavimo, sada, da se elementi vektora b (resursi) primarnog problema

(1.3.45), povećavaju za iznos b , koji ne izaziva promenu strukture optimalne

baze. Promena vrednosti elemenata vektora b dovešće do povećanja vrednosti

funkcije cilja primarnog problema za iznos od7

byxz **)( (1.3.47)

odnosno, povećanje iznosa i-tog resursa za b uticaće na promenu vrednosti

funkcije cilja primarnog problema za iznos od

iibyxz **)( (1.3.48)

Dokaz prethodnog, veoma značajnog tvrđenja proizilazi iz karaktera bazičnih

rešenja i teorema dualnosti. Neka, naime, *x i **x predstavljaju optimalne

vrednosti promenljivih primarnog problema (1.3.45) u slučajevima vektora b i

7 Lancaster, K., Ibidem, str. 40-42.

b , respektivno. Kako je struktura optimalne baze u oba slučaja ista, to

optimalno rešenje dualnog problema *y ostaje nepromenjeno. Na osnovu toga,

za oba slučaja, na osnovu teoreme dualnosti možemo pisati

bycx

bbycx

**

)(***

Nakon oduzimanja druge jednačine od prve, dobijamo

bybbycxcx *)(****

odakle dobijamo da je

byxz **)(

gde ****)( cxcxxz predstavlja povećanje vrednosti funkcije cilja izazvano

povećavanjem vrednosti vektora b , na osnovu čega smo pokazali da je relacija

(1.3.47) tačna. Na osnovu ovakvog rezultata, odnosno relacije (4.48), možemo

konstatovati da je

* ( *)i

i

z xy

b

(1.3.49)

na osnovu čega možemo konstatovati da optimalna vrednost dualne

promenljive *

iy pokazuje marginalnu vrednost funkcije cilja primarnog

problema u odnosu na resurs i

b ),...,1( mi . Drugim rečima, vrednost

dualne promenljive *

iy pokazuje za koliko jedinica će se povećati (smanjiti)

vrednost funkcije cilja primarnog problema, ukoliko se korišćenje resursa

ib ),...,1( mi poveća (smanji) za jednu jedinicu. Zbog toga, dualne promenljive

predstavljaju tzv. obračunske cene korišćenih resursa, odnosno tzv. cene u senci

(shadow prices).

Kod uobičajenih ekonomskih problema, u okviru kojih se ispituju uslovi za

ostvarivanje optimalnog plana ekonomskih aktivnosti (programa proizvodnje,

spoljnotrgovinske razmene, investicionih ulaganja, i sl.), optimalne vrednosti

dualnih promenljivih pokazuju vrednost priraštaja funkcije cilja (profita,

ukupnog deviznog efekta, i sl.) koja je izazvana jediničnim povećanjem

korišćenja određenog resursa (sirovina, rada, energije, i sl.). Na taj način,

optimalne vrednosti dualnih promenljivih pokazuju obračunske cene pojedinih

resursa koji se koriste za ostvarivanje unapred definisanog ekonomskog cilja.

1.3.9 Specijalni slučajevi zadatka linearnog programiranja

a) Problem degeneracije

Problem degeneracije linearnog programiranja, koji se javlja u toku postupka

rešavanja zadatka simpleks metodom, predstavlja takav slučaj kod koga jedna

ili više bazičnih promenljivih imaju vrednost jednaku 0. Ovakav problem

pojavljuje se u slučaju kada u zadatku imamo suvišnih ograničenja, odnosno

kada su jedna ili više nejednačina u sistemu ograničenja nepotrebne.

Prilikom rešavanja zadatka linearnog programiranja, postojanje problema

degeneracije će se manifestovati prilikom određivanja vrednosti količnika

, koji nam služi za isključivanje neke od prethodno bazičnih promenljivih.

Ukoliko u zadatku postoji problem degeneracije, onda će se u nekoj od iteracija,

prilikom određivanja vrednosti količnika drugog simpleks kriterijuma, dobiti dve

ili više jednakih minimalnih vrednosti.

b)Višestruko optimalno rešenje

Optimalno rešenje zadatka linearnog programiranja, u okviru prethodnih

razmatranja posmatrano je kao jedinstveno optimalno rešenje. Kod problema

maksimuma optimalno rešenje predstavljali smo simpleks tabelom u kojoj su sve

razlike za nebazične promenljive u poslednjoj vrsti )( jj zc negativne.

Geometrijski posmatrano, takvo optimalno rešenje problema maksimuma nalazi

se u jednoj ekstremnoj tački (najudaljenijoj od koordinatnog početka)

konveksnog, ograničenog i zatvorenog skupa mogućih rešenja. Slično, samo uz

inverzan kriterijum, predstavljali smo uslov za optimalnost rešenja problema

minimuma. Međutim, u nekim slučajevima može se dogoditi da izračunato

optimalno rešenje zadatka linearnog programiranja nije jedinstveno,

odnosno da postoji višestruko optimalno rešenje.

Ukoliko u okviru neke simpleks tabele postoji makar jedna razlika prvog

simpleks kriterijuma )( jj zc = 0 za prethodnu nebazičnu promenjivu xj, dok

su vrednosti ovih razlika za ostale nebazične promenljive negativne, izračunato

optimalno rešenje nije jedinstveno. Uvođenjem u bazu promenljive xj u cilju

određivanja novog rešenja, i isključivanjem neke od prethodno bazičnih

promenljivih na osnovu drugog simpleks kriterijuma, dobili bi takođe optimalno

rešenje za koje funkcija cilja ima istu vrednost kao i u slučaju prethodnog rešenja.

Usled osobina skupa mogućih rešenja, postojanje dva optimalna rešenja ima za

posledicu da sve konveksne kombinacije ova dva rešenja takođe predstavljaju

optimalna rešenja, zbog čega kažemo da takav zadatak ima višestruko

(beskonačno mnogo) optimalno rešenje. Geometrijski, slučaj postojanja

višestrukog optimalnog rešenja se javlja kada su koeficijenti pravca prave koja

reprezentuje neko od ograničenja i koeficijent pravca prave funkcije cilja jednaki.

a) Nepostojanje mogućih rešenja

Prilikom formulisanja modela linearnog programiranja može se dogoditi

da model bude tako postavljen da ne postoje moguća rešenja. Takav slučaj se

dešava ukoliko ne postoje vrednosti promenljivih za koje su zadovoljeni svi

ograničavajući uslovi. Geometrijski, takav zadatak ima prazan skup mogućih

rešenja, odnosno ne može se naći ni jedna tačka za koju su zadovoljene sve

nejednačine (jednačine) sistema ograničenja modela. Rešavanjem ovakvog

zadatka korišćenjem simpleks metoda nepostojanje mogućih rešenja možemo

konstatovati u poslednjoj simpleks tabeli. Naime, u poslednjoj simpleks tabeli svi

elementi vrste )( jj zc pokazaće postojanje optimalnog rešenja, ali će se u

optimalnom rešenju naći veštačka promenljiva, što je glavni indikator postojanja

međusobno kontradiktornih ograničavajućih uslova u zadatku.

d) Neograničena vrednost funkcije cilja i promenljivih

Problem nemogućnosti određivanja konačnih vrednosti promenljivih i

funkcije cilja u problemu maksimuma javlja se ukoliko je: a) model

formulisan tako da se jedna ili više promenljivih mogu povećavati

neograničeno a da ne bude narušen ni jedan od ograničavajućih uslova

zadatka, i b) funkcija cilja na skupu mogućih rešenja nema konačnu

vrednost (skup mogućih rešenja nije ograničen skup). Rešavajući problem

maksimuma korišćenjem simpleks metoda, ovaj problem možemo identifikovati

pre dobijanja vrednosti elemenata finalne simpleks tabele. Naime, problem

mogućnosti postojanja neograničene vrednosti promenljivih i funkcije cilja

konstatovaćemo u nekoj iteraciji u postupku određivanja promenljive koja treba

da izađe iz baze, odnosno prilikom određivanja vrednosti količnika . Da bi

neka promenljiva izašla iz baze, kao što smo prethodno naglasili, potrebno je da

u odnosu na ostale vrednosti ima najmanji pozitivan količnik drugog simpleks

kriterijuma. Međutim, ukoliko svi ovakvi količnici budu negativni ili

nedefinisani, možemo konstatovati da problem nema konačno rešenje.

1.3.10 Postoptimalna analiza

Ukoliko se u modelu linearnog programiranja, nakon određivanja optimalnog

rešenja, promeni neki od uslova zadatka postavlja se pitanje da li nastale promene

dovode do promene strukture vektorske baze na osnovu koje je određeno

optimalno rešenje. Umesto rešavanja kompletno novog zadatka linearnog

programiranja, koji bi formulisali uvođenjem novih (promenjenih) vrednosti

parametara modela, korišćenjem postupka postoptimalne analize moguće je

ispitati optimalnost prethodno izračunatog rešenja. Tako, kod optimizacije

proizvodnje u nekom preduzeću, nakon određivanja optimalnog programa

proizvodnje može se postaviti pitanje:

a) Kako će promena vrednosti ostvarenog profita od nekog proizvoda (po

jedinici) uticati na već izračunati optimalni proizvodni program?

b) Da li se optimalni proizvodni program mora menjati ukoliko se obezbedi veća

količina određene sirovine ili veća uposlenost kapaciteta?

c) Kako će ušteda materijala, radne snage, energije i sl. u proizvodnji jednog ili

više proizvoda uticati na već određeni optimalni program proizvodnje?

d) Da li bi bilo ekonomski opravdano uvesti novi proizvod u program

proizvodnje preduzeća?

Nakon već definisanog optimalnog programa proizvodnje preduzeća,

odgovori na prethodna pitanja mogu se dobiti korišćenjem postupka

postoptimalne analize.

Postoptimalna analiza predstavlja postupak koji se koristi za ispitivanje

da li će promena nekog od parametara modela linearnog programiranja

uticati na promenu već izračunatog optimalnog rešenja. Na osnovu primene

metoda postoptimalne analize, imajući u vidu nastale promene u vrednosti

parametara modela, kao i već izračunato optimalno rešenje, može se doći do

jednog od sledeća dva zaključka:

a) nastale promene u vrednosti parametara modela neće dovesti do promene

vektorske baze na osnovu koje je određeno optimalno rešenje zadatka,

odnosno rešenje zadatka linearnog programiranja ostaje optimalno i u novim

uslovima;

b) prethodno izračunato optimalno rešenje u uslovima novih vrednosti

parametara modela ne može ostati optimalno, pri čemu se u postupku

postoptimalne analize može identifikovati neophodna promena vektorske

baze koju treba učiniti da bi se dobilo poboljšano rešenje.

Upotrebom metoda postoptimalne analize, u uslovima već izračunatog

optimalnog rešenja modela linearnog programiranja, moguće je ispitati uticaj

vrednosti sledećih parametara:

1) Promena vrednosti koeficijenata funkcije cilja (vektor c),

2) Promena slobodnih članova sistema ograničenja (vektor b),

3) Promena koeficijenata ija koji se u sistemu ograničenja nalaze uz

promenljive (matrica A).