13a lezione di laboratorio

Laurea Specialistica in

Ingegneria MatematicaIngegneria dei Sistemi Energetici

Laurea Specialistica in

Ingegneria MatematicaIngegneria dei Sistemi Energetici

a.a. 2007-2008

Interfaccia grafica pdetoolDigitando il comando pdetool in CW si apre la seguente schermata:

Esercizio 1Risolvere il seguente problema ellittico con condizioni al contorno miste Dirichlet/Neumann

0

1

1 in

0 su

sin( ) su

u

u

ux

n

dove è la derivata nella direzione normale uscente da

Si assume

u

n

.

1,1 1,1 ,

1 0 11, 1 1 , \ .x y

Sessione di lavoro del pdetoolLa sessione di lavoro si divide in sei fasi:1) Descrizione del dominio (Draw Mode)2) Descrizioni delle condiz. al c. (Boundary Mode)3) Descrizione del problema (PDE Mode)4) Generazione della mesh (Mesh Mode)5) Soluzione del problema (Solve PDE)6) Visualizzazione della soluzione (Plot

Solution)

Queste procedure sono accessibili dal menu della finestra sotto le opzioni Draw, Boudary, PDE, Mesh, Solve e Plot oppure dalla toolbar

Options Menu

Grid visualizza la griglia nell’area del disegno on/off;

Grid Spacing permette di scegliere quanto deve essere fitta la griglia;

Snap l’oggetto che viene disegnato è costretto ad aderire alla griglia, se questa opzione è selezionata;Axes Limits permette di selezionare la lunghezza dell’intervallo x e

della y;Axes Equal impone la stessa scala per x e y;…..Application permette di scegliere l’applicazione; quella predefinita è Generic Equation, ma ve ne sono altre come

l’equazione stazionaria del calore (Heath Equation).

Draw Mode

Disegna un rettangolo/quadrato a partire dall’angolo

Disegna un rettangolo/quadrato a partire dal centro

Disegna un ellisse/cerchio a partire dal centro

Disegna un poligono

Disegna un ellisse/cerchio a partire dall’angolo

Draw ModeSi selezioni l’icona . Si porti il cursore ne punto di coordinate (-1,1) e tenendo premuto il tasto sinistro del mouse, si porti il cursore nel punto di coordinate (1,-1) e poi si rilasci; si otterrà:

Si può memorizzareil file relativo per utilizzarlo in altri contesti con lo stessodominio andando inmenu file con l’opzione save

Boundary Mode

Le condizioni al contorno possono essere definite andando a selezionare l’icona

Colori:rosso indica una condizione di D.blu indica una condizione di N.verde indica una condizione di tipo misto

Condizioni al contorno

PDE Mode

Per impostare il tipo di problema da risolvere si può selezionare direttamente l’icona

Mesh Mode

Per generare la triangolazione (mesh) si seleziona l’opzione mesh dal menu e poi Initialize Mesh oppure cliccando direttamente l’icona

Mesh ModeSi può decidere di raffinare la mesh, cioè di generare triangoli più piccoli ciccando sull’icona

Si possono modificare i parametri che controllano la generazione della mesh selezionando Parameters dal menu Mesh.

Solve ModePer calcolare la soluzione del problema si selezioni l’icona

La soluzione può essere esportata nel workspace come un vettore selezionando l’apposita opzione dal menu solve.

Plot solutionSi può modificare la presentazione del risultato selezionando l’opzione Plot e poi Parameters dal menu oppure cliccando l’icona

Verrà aperta la finestra:

Color consente di graficare la grandezza desiderata (in genere la soluzione approssimata) con una superficie colorata;Contour visualizza la grandezza desiderata usando le curve di livello;Arrows disegna delle frecce per indicare l’andamento del campo vettoriale;Deformed Mesh dà una rappresentazione deformata del dominio, la deformazione dipende dal modulo del gradiente;Height di default disegna la superficie (x,y,u), tuttavia è possibile scegliere

la grandezza che si desidera rappresentare sull’asse delle z utilizzando il menu a tendina;Contour plot levels indica quante curve di livello disegnare;Show mesh rappresenta la griglia nel grafico;Colormap indica quali colori usare per la rappresentazione

grafica.

Color consente di graficare la grandezza desiderata (in genere la soluzione approssimata) con una superficie colorata;Contour visualizza la grandezza desiderata usando le curve di livello;Arrows disegna delle frecce per indicare l’andamento del campo vettoriale;Deformed Mesh dà una rappresentazione deformata del dominio, la deformazione dipende dal modulo del gradiente;Height di default disegna la superficie (x,y,u), tuttavia è possibile scegliere

la grandezza che si desidera rappresentare sull’asse delle z utilizzando il menu a tendina;Contour plot levels indica quante curve di livello disegnare;Show mesh rappresenta la griglia nel grafico;Colormap indica quali colori usare per la rappresentazione

grafica.

Per salvare il modello del problema studiato e la corrispondente soluzione si seleziona dal menu file l’opzione save.

Esercizio 2

2 1 2 1 in

0 su

u y y x x

u

Risolvere il seguente problema

0,1 0,1 . con

Sapendo che la soluzione è:

calcolare l’errore assoluto e verificare se, con successivi raffinamenti della mesh,l’errore diminuisce.

, 1 1 ,u x y xy x y

Boundary Mode

PDE Mode 2 1 2 1 inu y y x x

Mesh Mode

Rappresentazione della soluzione

Errore

Err=abs(u-(x.*y.*(1-x).*(1-y)))

Errore dopo aver raffinato la mesh

Esercizio 3

2 2( ) 0 in

, 0 1, ,1 0,1

0, 1, 1, 0,1

x

y

u x y u

u x u x e x

u y u y e y

Sia dato il seguente problema

0,1 0,1 . con

Calcolare l’errore assolutosapendo che la soluzione è:

, .xyu x y e

Boundary Mode

PDE Mode

2 2( ) 0 inu x y u

Mesh Mode

Rappresentazione della soluzione

Errore

Err=abs(u-exp(-x.*y))

dove è il dominio mostrato in figura, ed è dato dall’unione di due circonferenze C1 e C2 di raggio unitario e di centro rispettivamente (-0.5,0) e (0.5,0).N.B. t varia in [0,3] con passo 0.2.

Esercizio 4Risolvere il seguente problema di tipo iperbolico:

2

21 in , 0, 3

0 su

, , 0 sin

' , , 0

uu u t

tu

u x y x y

u x y x y

Boundary e PDE Mode

2

21 in , 0, 3

uu u t

t

Mesh Mode

Solve Mode

Risultati visibili in Command Window quando si fa calcolare la soluzione

341 successful steps18 failed attempts720 function evaluations1 partial derivatives70 LU decompositions719 solutions of linear systems

2

21 in , 0, 3

0 su

, , 0 sin

' , , 0

uu u t

tu

u x y x y

u x y x y

Rappresentazione della soluzione

-2-1

01

2

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Time=3 Color: u Height: u

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Time=0 Color: u Height: u

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Animazione

-2-1

01

2

-1

-0.5

0

0.5

1-15

-10

-5

0

5

Time=0 Color: ux Height: ux

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

0

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Time=0 Color: u Height: u

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

-2-1

01

2

-1

-0.5

0

0.5

1-15

-10

-5

0

5

Time=0 Color: uy Height: uy

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

Soluzione per t=0 e sue derivate parziali