10a lezione di laboratorio

Laurea Specialistica in

Ingegneria MatematicaIngegneria dei Sistemi Energetici

Laurea Specialistica in

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a.a. 2007-2008

Comando ezsurf

figure(1)z='X.*exp(-(X.^2+Y.^2))';ezsurf(z,[-2,2,-2,2]);%se non si specifica l’insieme la superficie è disegnata nel dominio di default -2*pi<x<2*pi,-2*pi<y<2*picolorbar;title(' ezsurf')

figure(1)z='X.*exp(-(X.^2+Y.^2))';ezsurf(z,[-2,2,-2,2]);%se non si specifica l’insieme la superficie è disegnata nel dominio di default -2*pi<x<2*pi,-2*pi<y<2*picolorbar;title(' ezsurf')

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2-0.5

0

0.5

X

ezsurf

Y

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Comando ezcontour

X

Y

X exp(-(X.2+Y.2))

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Con il comando contour tracciamo le linee di livello nel dominiofissato, se non si fornisce vengono plottate nel dominio di default

figure(2)z='X.*exp(-(X.^2+Y.^2))';ezcontour(z,[-2,2,-2,2]);

Comando ezsurf

Il comando ezsurf permette di rappresentare anche

superfici date in coordinate parametriche ad esempio:

figure(3)funx='2*cos(s)';funy='2*sin(s)';funz='z';ezsurf(funx,funy,funz)

-2-1

01

2

-2-1

01

2

-5

0

5

x

x = 2 cos(s), y = 2 sin(s), z = z

y

z

% Le istruzioni servono per i tre grafici che seguono.x=-2:.2:2;y=-2:.2:2;[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.*exp(-(X.^2+Y.^2));

% Le istruzioni servono per i tre grafici che seguono.x=-2:.2:2;y=-2:.2:2;[X,Y]=meshgrid(x,y); Z=X.*exp(-(X.^2+Y.^2));

% comando surf figure(4)surf(X,Y,Z);colorbartitle('surf')

% comando surf figure(4)surf(X,Y,Z);colorbartitle('surf')

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2-0.5

0

0.5

surf

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Comando surf

Comando contour

figure(5)contour(X,Y,Z,20) % si specifica il numero di curve %contour(X,Y,Z,[-.4:.2:.4]) %si specificano i valori in cui si vogliono le curvetitle('contour')

figure(5)contour(X,Y,Z,20) % si specifica il numero di curve %contour(X,Y,Z,[-.4:.2:.4]) %si specificano i valori in cui si vogliono le curvetitle('contour')

contour

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Comando quiver

figure(4)[px,py]=gradient(Z,.2,.2);%[px,py]=gradient(Z);quiver(X,Y,px,py)title('quiver')

figure(4)[px,py]=gradient(Z,.2,.2);%[px,py]=gradient(Z);quiver(X,Y,px,py)title('quiver')

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5quiver

quiver e contour

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

figure(5)contour(X,Y,Z,20;hold onquiver(X,Y,px,py);hold off

figure(5)contour(X,Y,Z,20;hold onquiver(X,Y,px,py);hold off

Esercizio 1

Sia dato il seguente problema alle derivate parziali (pde):

2

2

3 0 0,10 , 0

,0 2 exp 2 2

0, 3 2 exp 2 3 2

t xu u x t

u x x x x

u t t t - t

2

2

3 0 0,10 , 0

,0 2 exp 2 2

0, 3 2 exp 2 3 2

t xu u x t

u x x x x

u t t t - t

Quesiti a, b

b) Si valuti l’errore assoluto che si commette se si usa il “metodo upwind” ed il “metodo implicito”, fissando il numero di intervalli temporali M = 10, al variare del passo temporale k e considerando il valore del passo spaziale h=0.25.

Si indichi con N il numero degli intervalli spaziali sull’asse x.

a) Si verifichi che la funzione:

è soluzione del problema. 21 , 3 2 exp 2 3 2u x t x t x t 21 , 3 2 exp 2 3 2u x t x t x t

Soluzione del quesito a): Verifica

21 , 3 2 exp 2 3 2 ;u x t x t x t

2 2exp 2 3 2 1 4 3 2xu x t x t

2 23 exp 2 3 2 1 4 3 2tu x t x t

Quindi e:

3 0,t xu u

2,0 2 exp 2 2 ,u x x x

20, 3 2 exp 2 3 2 .u t t t

Quesito b): Metodo UPWINDApprossimazioni utilizzate:

, 1 , 1,

2

,0

2

0,

1 1,2, , , 0,1,

2 *exp 2* 2 0,1,2, ,

3 2 *exp 2* 3 2 0,1,

i j i j i j

i i i

j j j

u u u i N j

u x x i N

u t t j

30

ck k

h h

, 1 , , 1,

, ,,

i j i j

i j i j i j i j

x t x t

u u u uu u

t k x h

Indicando quindi si ottiene:

Sistema relativo al problema discretoSe si assume per ogni livello temporale j:

1j j jU AU V

1, 2, ,, , , ,Tj j j N jU u u u

0, ,0, ,0 ,0, ,0 ,T Tj j jV u t

Sappiamo che se:

1,ck

h

il problema discreto diventa:

il metodo CONVERGE quando ., 0h k

Costruzione delle formuleDalle relazioni:

1 1 1

2 1 2

1

1 0

0.

0 1 0

j j j

j j

N j N j

u u

u u

u u

si ottiene, per ogni livello temporale j, tenendo anche conto della condizione al contorno, il sistema lineare:

, 1 , 1,1 1,2, , , 0,1,i j i j i ju u u i N j

Forma della matrice A

1 0

,

0 1

A

Si deduce allora che la matrice A, di dimensioni NxN ,per ogni j, ha la forma:

e, nell’ipotesi risulta:

11 1 1.A A

0 1,

Il metodo è condizionatamente stabile!!!

Quesito b): Metodo IMPLICITO

In questo caso si colloca la pde in

3,

ck k

h h

il problema diventa:

1 1

, 1 , , 1 1, 1

, ,

,i j i j

i j i j i j i j

x t x t

u u u uu u

t k x h

Si indica ancora:

1,i jx t

e si approssimano le derivate parziali con:

due differenze all’indietro!!

Problema discretizzato per il metodo implicito

, 1 1, 1 ,

2

,0

2

0,

1 1,2, , , 0,1,

2 *exp 2* 2 0,1, ,

3 2 *exp 2 3 2 0,1,

i j i j i j

i i i

j j j

u u u i N j

u x x i N

u t t j

Indicando ancora: 1, 2, ,, , , ,Tj j j N jU u u u

1 0, 1 1,0, ,0 ,0, ,0 ,T

Tj j jV u t

si ottiene il sistema:

Sistema relativo al metodo implicito

1 1 sistema lineare,j j jAU U V 1 0

,

0 1

A

Poiché risulta:

11 j jE A E

La formula per l’errore è:

, !!!h kil metodo converge quindi per:

1

11 , ,A h k

Convergenza incondizionata!!!

Istruzioni relative al quesito b)clear all; clct0=0;x0=0;xN=10;h=0.25; M=10;c='3';c1=eval(c);f='(x-2).*exp(-2*(x-2).^2)';% cond. inizialeg='-(3*t+2).*exp(-2*(3*t+2).^2)';%cond.contornor='0';%termine notofprintf(['M =',num2str(M),'\n\n h k k+h alpha err_imp err_up \n'])Uveras='(X-c1*T-2).*exp(-2*(X-c1*T-2).^2)';for k=[0.05 h/3 0.1 0.5] alpha=c1*k/h; hpk=h+k; [x,t,sol1]=PDE_upwind(t0,M,x0,xN,h,k,c,r,f,g); [x,t,sol2]=PDE_implicito(t0,M,x0,xN,h,k,c,r,f,g); [X,T] = meshgrid(x,t);Uvera=eval(Uveras); err1=abs(Uvera-sol1);% matrice degli errori: upwind err2=abs(Uvera-sol2);% matrice degli errori: implicito errore_max_up=max(max(err1)); errore_max_imp=max(max(err2)); tab=[h k h+k alpha errore_max_imp errore_max_up]; fprintf('%6.2f %8.4f %8.4f %6.2f %13.4e %13.4e \n',tab')end

Function PDE_upwindx=(x0:h:xN)'; x(end)=xN; N=length(x)-1; tM=k*M+t0; t=linspace(t0,tM,M+1)';U0=eval(f).*ones(N+1,1); %condizione iniziale U(x,t0)vv=eval(g).*ones(M+1,1); %condizione al contorno U(x0,t)Vj=zeros(N,1); Uj=U0(2:N+1);sol=U0';t=t0;x=x(2:end);for j=1:M alpha=(eval(c)*k/h).*ones(N,1); tnoto=eval(r).*ones(N,1); A=diag(1-alpha)+diag(alpha(2:end),-1); Vj(1)=vv(j); Uj1=A*Uj+alpha(1)*Vj +k*tnoto; sol=[sol;[vv(j+1); Uj1]']; Uj=Uj1; t=t+k;endt=linspace(t0,tM,M+1)';x=[x0;x];

Function PDE_implicitox=(x0:h:xN)'; x(end)=xN; N=length(x)-1;tM=k*M+t0; t=linspace(t0,tM,M+1)'; U0=eval(f).*ones(N+1,1); %condizione iniziale U(x,t0)vv=eval(g).*ones(M+1,1);%condizione al contorno U(x0,t)Vj1=zeros(N,1);sol=U0';Uj=U0(2:N+1);t=t0;x=x(2:end);for j=1:M t=t+k; alpha=(eval(c)*k/h).*ones(N,1); tnoto=eval(r).*ones(N,1); A=-diag(alpha(2:end),-1)+diag(1+alpha); Vj1(1)=vv(j+1); b=Uj+alpha(1)*Vj1 +k*tnoto; Uj1=A\b; sol=[sol;[vv(j+1); Uj1]']; Uj=Uj1;endt=linspace(t0,tM,M+1)';x=[x0;x];

Risultati al variare del passo k

h k Errore max IMP Err max UPW h+k 0.25 0.05 0.6 0.2467 0.1249 0.30 0.25 h/3 1 0.2878 4.4409e-016 0.3333 0.25 0.1 1.2 0.2957 0.3387 0.35 0.25 0.5 6 0.3523 9.9564e+006 0.75

l’ implicito converge, upwind è instabile! e quindi non converge.

1:

entrambi i metodi sono consistenti:

sono stabili, e quindi convergono.

1: O h k

M = 10

Osservazione sul caso

1 11 = coeff. angolare delle caratteristiche!!!

3

k

h c

1

il metodo upwind fornisce:

1j j jU AU V

0 0

1con .

0 1 0

A

03x t x Linee caratteristiche :

Commenti sul caso

1 1, 2, 1,

1 1,0 2,0 1,0

se 0 0

Tj j j j N j

T

N

U t u u u

j U u u u

Sono valori corretti perché assegnati dalle condizioni. Lo stesso per j > 0.In questo caso, il metodo upwind calcola la soluzione esatta, i nodi sono tutti sulle rette caratteristiche!!!!

1 Si ottiene, per la forma di ,A

Rappresentazione della soluzione e delle curve di livello

%% Rappresentazione della superficie e delle% curve di livello % k=h/3[X,T]=meshgrid(x,t);figure(1) S=surfl(X,T,sol1); %surfltitle('soluzione approssimata:metodo upwind')xlabel('x'),ylabel('t')

figure(2)C=contour(X,T,sol1,20); %20 curve di livellotitle('Curve di livello') xlabel('x'),ylabel('t')

Superficie: metodo upwind

0

5

10

0

0.5

1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

x

Soluzione approssimata: metodo upwind

t

h=0.25, k=h/3h=0.25, k=h/3

2 4 6 8 10-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Andamento della soluzione al variare di t per x fissato.

Si ottiene selezionando Figure Palette dal menu del tasto View; sulla sinistra compare la lista delle variabili coinvolte. La figura presentata si ottiene premendo su sol1. Cliccando su una linea si individua a quale componente della sol1 corrisponde.

Migliore definizione dei comandi PLOT, SURF, CONTOUR

Se si vuole definire meglio le figure, conviene

utilizzare istruzioni del tipo:

H=surf(X,T,sol1);

set(gca,'Fontsize',14) % 14 punti per pollice

set(H, 'LineWidth',2) % spessore della linea

H=surf(X,T,sol1);

set(gca,'Fontsize',14) % 14 punti per pollice

set(H, 'LineWidth',2) % spessore della linea

Istruzioni analoghe per plot e contour

Esercizio 2

Si consideri il seguente problema misto ai valori

iniziali ed al contorno, con coefficienti non costanti:

2

4

2 0 0,3 , 0

1( ,0) 0

11

(0, ) 01

t xu tu x t

u x f x xx

u t g t tt

Quesiti a, b

b) Si valuti il massimo dell’errore assoluto che si commette usando il “metodo upwind” ed il “metodo implicito” se si fissa il tempo finale tM=3 e si prendono i passi spaziali h=0.5,0.2,0.1.

a) Si determinino le linee caratteristiche e si verifichi che la soluzione del problema ai valori iniziali su tutto l’asse reale, soddisfa

anche la condizione al bordo per x = 0.

Soluzione del quesito a)

2 20 0 ,x t x x x t p x t

0, con ,0x t x

02 0dx

t x xdt

Si verifichi ora che

è la soluzione del problema pde+ condizione iniziale che soddisfa anche la condizione assegnata al bordo.

Per individuare le caratteristiche della pde data, si risolve il problema di Cauchy:

Esso ha la soluzione

e p(x,t) è la linea che collega

222

1,

1u x t f x t

x t

Soluzione del quesito b)clear all; clct0=0;tM=3; % in questo caso si assegna tmaxx0=0;xN=3;c='2*t';t=tM;c1=eval(c);h=[0.2 0.1 0.05]'; k=h./c1; M=round((tM-t0)./k);alpha=c1*k./h;f='1./(1+x.^2)'; %condizione iniziale g='1./(1+t.^4)'; %condizione al contorno r='0';Uveras='1./(1+(X-T.^2).^2)'; % soluzione veratab=[];for i=1:length(h) [x,t,sol1]=PDE_upwind(t0,M,x0,xN,h(i),k(i),c,r,f,g); [x,t,sol2]=PDE_implicito(t0,M,x0,xN,h(i),k(i),c,r,f,g); %soluzione vera e errore massimo del metodo [X T]=meshgrid(x,t);Uvera=eval(Uveras); if i==1 %grafici per h=0.2 e k=h/6 grafici end err1=abs(Uvera-sol1);err2=abs(Uvera-sol2); err1max=max(max(err1));err2max=max(max(err2)); tab=[tab;err2max err1max];endtab=[h k h+k alpha tab];fprintf(['h k k+h alpha err_imp err_upw \n'])fprintf('%6.2f %8.4f %8.4f %6.2f %13.4e %13.4e \n',tab')

File grafici (prima parte)figure()

surf(X,T,Uvera)

set(gca, 'FontWeight','bold','Fontsize',12)

title('Soluzione vera');xlabel('x');ylabel('t')

titolo1=['- h =', num2str(h(i))];

for m=1:2

if m==1

sol=sol1;

titolo=['metodo upwind',titolo1];

elseif m==2

sol=sol2;

titolo=['metodo implicito',titolo1];

end

File grafici (seconda parte)

figure()surf(X,T,sol)set(gca, 'FontWeight','bold','Fontsize',12)title(['Soluzione approssimata:', titolo]);xlabel('x');ylabel('t')figure()[C,H]=contour(X,T,sol,20);% 20 linee di livelloset(gca, 'FontWeight','bold','Fontsize',12)set(H,'LineWidth',2)title(['Curve di livello:',titolo])xlabel('x'); ylabel('t')

Rappresentazione della soluzione vera

Superficie approssimata: metodo upwind

k=h/6k=h/6

Curve di livello: metodo upwind

k=h/6k=h/6

Superficie approssimata: metodo implicito

k=h/6k=h/6

Curve di livello: metodo implicito

k=h/6k=h/6

Errori in t= tM=3

h k k+h alpha err_imp err_upw

0.20 0.0333 0.2333 1.00 3.1685e-001 2.0392e-001

0.10 0.0167 0.1167 1.00 2.1497e-001 1.2541e-001

0.05 0.0083 0.0583 1.00 1.3615e-001 7.2635e-002

h k k+h alpha err_imp err_upw

0.20 0.0333 0.2333 1.00 3.1685e-001 2.0392e-001

0.10 0.0167 0.1167 1.00 2.1497e-001 1.2541e-001

0.05 0.0083 0.0583 1.00 1.3615e-001 7.2635e-002

La tabella si riferisce al tempo finale tM=3; i valori di k sono

stati calcolati con la relazione k=h/c(tM) dove c(tM)=2*tM e quindi k=h/6.

Esercizio 3

Sia dato il seguente problema alle derivate

parziali a coefficienti non costanti:

.00),0(

,40)0,(

0,40)2()(2

22

ttu

xxxu

txxtxeuxtu txt

.00),0(

,40)0,(

0,40)2()(2

22

ttu

xxxu

txxtxeuxtu txt

con soluzione vera:

.),()1( 2xetxu t .),()1( 2xetxu t

Quesiti 1) e 2)

2) Si valuti, per il passo spaziale h=0.2 e fissando il tempo finale tM=1, l’errore assoluto massimo che si commette usando il “metodo upwind”ed il “metodo implicito”.

1) Si verifichi che la funzione (1) è soluzione del problema proposto e si calcoli, in corrispondenza del passo spaziale h=0.2, il passo temporale k massimo per cui il metodo esplicito converge.

Quesito 3)3) Si costruisca una tabella che riporti l’intestazione: t sol1 sol2 err1 err2 con le quantità t, sol1, sol2, err1, err2 rappresentanti rispettivamente, i nodi temporali, la soluzione numerica e l’errore ottenuti con i due metodi, da riportare uno ogni due, valutati in corrispondenza del valore x=2, utilizzando i seguenti formati di stampa: 3 cifre decimali e formato virgola fissa per i nodi, 6 cifre decimali e formato esponenziale per la soluzione nei due metodi, 2 cifre decimali e formato virgola mobile per l’errore nei due metodi.

Istruzioni per risolvere i quesiti 1) e 2)clear all; clc

t0=0;tM=1;

x0=0;xN=4;

h=0.2;

c='t.^2+x';

t=tM;x=xN;k=h/eval(c);M=round((tM-t0)/k);

r='exp(-t).*(2*t.^2+x).*x';

f='x.^2'; % condizione iniziale U(x,t0)

g='0'; % condizione al contorno U(x0,t)

[x,t,sol1]=PDE_upwind(t0,M,x0,xN,h,k,c,r,f,g);

[x,t,sol2]=PDE_implicito(t0,M,x0,xN,h,k,c,r,f,g);

[X T]=meshgrid(x,t);

Uvera=X.^2.*exp(-T); % soluzione vera

err1=abs(Uvera-sol1);

err2=abs(Uvera-sol2);

Costruzione delle tabelle: quesiti 2) e 3)err1max=max(max(err1));% massimo dell’errore

err2max=max(max(err2));% massimo dell’errore

tab=[h k h+k err2max err1max];

fprintf([h k k+h err_imp err_upw \n'])

fprintf('%6.2f %8.4f %6.2f %13.4e %13.4e \n',tab')

x_val=2; j=round((x_val-x0)/h)+1;

tab1=[t sol1(:,j) sol2(:,j) err1(:,j) err2(:,j)];

tab1_rid=[tab1(1:2:end,:);tab1(end,:)];

fprintf(' \n\n Tabella per x=2 \n\n t \t\t sol1

\t\t sol2 \t\t err1 \t\t err2 \n')

fprintf(' %7.3f %14.6e %14.6e %10.2e %10.2e \n',

tab1_rid')

Istruzioni per la rappresentazione grafica

h1=num2str(h); k1=num2str(k);

titolo1=['metodo upwind-h=',h1,', k=', k1];

titolo2=['metodo implicito-h=',h1,', k=',k1];

figure(1)

surf(x,t,Uvera),xlabel('x'),ylabel('t'),title('Soluzione vera')

figure(2)

surf(x,t,sol1),xlabel('x'),ylabel('t')

title(['Soluzione approssimata:',titolo1])

figure(3)

surf(x,t,sol2),xlabel('x'),ylabel('t')

title(['Soluzione approssimata:',titolo2])

figure(4)

contour(x,t,sol1,20),xlabel('x'),ylabel('t')

title(['Curve di livello:',titolo1])

figure(5)

contour(x,t,sol2,20),xlabel('x'),ylabel('t')

title(['Curve di livello:',titolo2])

Tabelle dei risultati: quesiti 2) e 3)Tabella per x=2

t sol1 sol2 err1 err2

0.000 4.000000e+000 4.000000e+000 0.00e+000 0.00e+000

0.080 3.717258e+000 3.726409e+000 2.48e-002 3.39e-002

0.160 3.454842e+000 3.471142e+000 4.63e-002 6.26e-002

0.240 3.211372e+000 3.233120e+000 6.49e-002 8.66e-002

0.320 2.985532e+000 3.011265e+000 8.09e-002 1.07e-001

0.400 2.776066e+000 2.804522e+000 9.48e-002 1.23e-001

0.480 2.581778e+000 2.611861e+000 1.07e-001 1.37e-001

0.560 2.401536e+000 2.432298e+000 1.17e-001 1.47e-001

0.640 2.234266e+000 2.264889e+000 1.25e-001 1.56e-001

0.720 2.078954e+000 2.108743e+000 1.32e-001 1.62e-001

0.800 1.934646e+000 1.963017e+000 1.37e-001 1.66e-001

0.880 1.800444e+000 1.826920e+000 1.41e-001 1.68e-001

0.960 1.675506e+000 1.699703e+000 1.44e-001 1.68e-001

1.000 1.616261e+000 1.639202e+000 1.45e-001 1.68e-001

Tabella per x=2

t sol1 sol2 err1 err2

0.000 4.000000e+000 4.000000e+000 0.00e+000 0.00e+000

0.080 3.717258e+000 3.726409e+000 2.48e-002 3.39e-002

0.160 3.454842e+000 3.471142e+000 4.63e-002 6.26e-002

0.240 3.211372e+000 3.233120e+000 6.49e-002 8.66e-002

0.320 2.985532e+000 3.011265e+000 8.09e-002 1.07e-001

0.400 2.776066e+000 2.804522e+000 9.48e-002 1.23e-001

0.480 2.581778e+000 2.611861e+000 1.07e-001 1.37e-001

0.560 2.401536e+000 2.432298e+000 1.17e-001 1.47e-001

0.640 2.234266e+000 2.264889e+000 1.25e-001 1.56e-001

0.720 2.078954e+000 2.108743e+000 1.32e-001 1.62e-001

0.800 1.934646e+000 1.963017e+000 1.37e-001 1.66e-001

0.880 1.800444e+000 1.826920e+000 1.41e-001 1.68e-001

0.960 1.675506e+000 1.699703e+000 1.44e-001 1.68e-001

1.000 1.616261e+000 1.639202e+000 1.45e-001 1.68e-001

h k k+h err_imp err_upw

0.20 0.0400 0.24 3.6397e-001 2.4374e-001

h k k+h err_imp err_upw

0.20 0.0400 0.24 3.6397e-001 2.4374e-001

Rappresentazione della soluzione vera

Superficie approssimata: metodo upwind

Curve di livello: metodo upwind

Superficie approssimata: metodo implicito

Curve di livello: metodo implicito