Upload
hyd-arnes
View
1.078
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
52
1.10 Binom Teoremi
Bu kesimde ( )nba + ifadesinin a ve b nin kuvvetleri cinsinden açılımını vereceğiz.
Önce faktoriyel ve binom katsayısı kavramlarını verelim.
1.10.1.Tanım. Sabit bir doğal sayı k olmak üzere 1 den k ya kadar olan doğal sayıların
çarpımına k faktoriyel (ya da k çarpansal) denir ve k! ile gösterilir. Buna göre
k!=1.2.3...(k-1).k
dır. 0!=1 olarak tanımlanır. Örneğin, 4!=1.2.3.4=24 , 5!=1.2.3.4.5=120 dir.
Bu tanımdan her kÎIN için (k+1)!=k!(k+1) olduğu hemen görülmektedir.
1.10.2.Tanım. a bir reel sayı ve k da bir doğal sayı olmak üzere
÷øö
çèæa
k sembolü a altında k diye okunur ve
!)]1()][2()...[2)(1(
kkk
k
------=÷
øö
çèæ aaaaaa
ile tanımlanır ve ayrıca 10=÷
øö
çèæa olarak tanımlanır.
Mesela
,61.2
12!23.4
!2)14(4
!2)]12(4[44
2===
-=
--=÷
øö
çèæ
,161
483
683
1.2.3
)23)(
21(
21
!3
)221)(1
21(
21
!3
)13(21)[1
21(
21
21
3===
--=
--=
---=
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
,252
2254
2
)54(
51
1.2
)151(
51
!2
)]12(51[
51
51
2-=
-=
-=
-=
--=
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
,31
!131
31
1==
÷÷÷
ø
ö
ççç
è
æ
dir.
Özel olarak n ile k doğal sayılar olduğunda, kn ³ olmak üzere
!)1)(2)...(2)(1(
kknknnnnn
k
+-+---=÷
øö
çèæ
eşitliğinin sağ tarafının pay ve paydasını (n-k)! ile çarparsak,
])![(!!
])![(!])!)[(1)(2)...(2)(1(
knkn
knkknknknnnnn
k -=
--+-+---
=÷øö
çèæ
elde edilir.
MatematikNet.Com
53
Ayrıca her n doğal sayısı ve her nk ££0 için
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ n
kn
n
keşitliği sağlanır.
1.10.3.Teorem. }0{0 INUIN = olmak üzere her a reel sayısı ve her 0INk Î için
÷øö
çèæ=÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ +
++
1
11
aaa
kkk
eşitliği sağlanır.
İspat.
aaa
+=÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ 1
10 ve 1
1
1+=÷
øö
çèæ +
aa
olduğundan k=0 için eşitlik doğrudur. Şimdi de
herhangi bir k doğal sayısı için eşitliğin sağlandığını gösterelim.
)!1())(1)...(2)(1(
!)1)(2)...(1(
1 +-+---
++-+--
=÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ
+ kkk
kkk
kk
aaaaaaaaaaa
)!1())(1)...(2)(1(
)!1()1)(1)(2)...(1(
+-+---
++
++-+--=
kkk
kkkk aaaaaaaaa
=)!1(
))(1)...(2)(1()1)(2)...(1()1(+
-+---++-+--+k
kkkkk aaaaaaaaa
=)!1(
)]()1)[(1)(2)...(1(+
-+++-+--k
kkkk aaaaa
=)!1(
)1)(1)(2)...(1(+
++-+--k
kk aaaaa
= ÷øö
çèæ=
++-+--+ +
+
1
1)!1()1)(2)...(1()1( aaaaaa
kkkk
bulunur.
Şimdi Binom teoremini veriyoruz:
1.10.4.Teorem. (Binom Teoremi) Her a b, reel sayısı ve her n doğal sayısı için
( ) nn
n
nn
n
nn
nn
nnn babbabaaba ÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ=+ -
-
-- 1
1
22
2
1
10...
dir.
İspat. İspatı tümevarım yöntemi ile yapacağız.
Önce n=1 için eşitliğin doğru olduğunu görelim.
( ) baba +=+ 1 ve 1,11
1
1
0=÷
øö
çèæ=÷
øö
çèæ olduğundan, bababa +=+=÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ .1.1
1
1
1
0
olacağından eşitlik n=1 için sağlanır.
Şimdi de n=m için eşitliğin doğruluğunun n=m+1 için doğruluğunu gerektirdiğini ispat
edelim. Eşitliğin n=m için doğru olduğunu kabul edelim. Bu takdirde
54
( ) mm
m
mm
m
mm
mm
mmm babbabaaba ÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ=+ -
-
-- 1
1
22
2
1
10...
dir. Bu eşitliğin her iki tarafını ( )ba + ile çarparsak,
( ) ]...)[()( 1
1
22
2
1
10
mm
m
mm
m
mm
mm
mmm babbabaabababa ÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+=++ -
-
--
( ) +÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ=+ -
-
-++ mm
m
mm
m
mm
mm
mmm abbababaaba 12
1
21
21
1
0
1 ...
+ 1
1
12
2
32
2
21
10... +
-
-
-
-- ÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ m
m
m
mm
m
mm
m
mm
mm
mm
babbabababa
bulunur. Burada
,11
1
1
00=÷
øö
çèæ=÷
øö
çèæ=÷
øö
çèæ=÷
øö
çèæ +
+
+ m
m
m
m
mm
olduğu ve Teorem1.10.3 den dolayı k=0,1,2,...m-1 için
÷øö
çèæ=÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ +
++
1
11
m
k
m
k
m
k
olduğu kullanılırsa
( ) 11
1
112
1
1
211
2
1
1
11
0
1 ... ++
+
+-
+
-
-++
++
+÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ=+ m
m
m
mm
m
mm
m
mm
mm
mmm babbababaaba
elde edilir. Böylece tümevarım prensibinden dolayı her n doğal sayısı için Binom formülünün doğru
olduğu ispat edilmiş oldu.
55
1.10 Alıştırmalar (Binom Teoremi)
1) nn
n
n
n
nnn2...
1210=÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ
- eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol Gösterme:
Binom formülünde a=1, b=1 yazınız.).
2) 0)1()1(...1
1
210=÷
øö
çèæ-+÷
øö
çèæ-++-÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ-÷
øö
çèæ
-
-n
n
nn
n
nnnn
eşitliğinin sağlandığını gösteriniz.
(Yol Gösterme: Binom formülünde a=1, b=-1 yazınız.).
3) ......420531÷øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ=+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ nnnnnn
eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol Gösterme:
Bir önceki alıştırmayı kullanınız.).
4) 1
5312... -=+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ n
nnn eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol Gösterme: Bir önceki
alıştırmayı ve birinci alıştırmayı kullanınız.).
5)11
2
32 ÷øö
çèæ -
xx ifadesinin açılımında x3 lü terim var mıdır? Varsa bulunuz.
6) 2
22
1
2
2
2
1
2
0 )!()!2(...
nnn
n
n
n
nnn=÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ
- eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol
Gösterme:
]...][...[)1()1( 2
210
2
210
nn
n
nnnn
n
n
nnnnn xxxxxxxx ÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ
÷øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ=++
eşitliğinde xn in katsayılarını karşılaştırınız ve÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ n
kn
n
k eşitliğini kullanınız.).
7) nn
n
nn
n
nnnn
322...221
1
2
2
10=÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ++÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ+÷
øö
çèæ
-
- eşitliğinin sağlandığını gösteriniz. (Yol
Gösterme: binom formülünde a=1, b=2 yazınız.).
MatematikNet.Com