Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Jelena Jankov

Fundamentalni teoremi funkcionalne analizeDiplomski rad

Osijek, 2014.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Jelena Jankov

Fundamentalni teoremi funkcionalne analizeDiplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Krešimir Burazin

Osijek, 2014.

Sadržaj1 Uvod 4

2 Povijesni pregled 52.1 Hahn-Banachov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Teoremi o uniformnoj ograničenosti i teorem o otvorenom preslikavanju 6

3 Pregled osnovnih rezultata 8

4 Fundamentalni teoremi 164.1 Hahn-Banachov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Teoremi o uniformnoj ograničenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Teorem o otvorenom preslikavanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Literatura 39

Sažetak 41

Title and summary 42

Životopis 43

1 UvodU ovom radu obrađeni su neki fundamentalni teoremi funkcionalne analize: Hahn-Banachov teorem, teoremi o uniformnoj ograničenosti i teorem o otvorenom pres-likavanju. Za funkcionalnu analizu često se kaže da je apstraktna grana matematike.Njezin razvoj započeo je krajem 19. stoljeća i bio je potaknut problemima iz bro-jnih područja, pogotovo iz linearne algebre. Danas se ona primjenjuje u mnogimgranama i problemima: nejednakostima, matematičkoj fizici, običnim i parcijalnimdiferencijalnim jednadžbama, slučajnim procesima, teoriji mjere, matričnoj teoriji,neuralnim mrežama, vjerojatnosti... Funkcionalna analiza raznim problemima izprimjene daje teorijsku podlogu i matematičku preciznost.U Poglavlju 2 dan je kratak povijesni pregled rezultata koji su doprinijeli razvojufunkcionalne analize, te povijesni pregled rezultata koji su prethodili ovim teo-remima.Poglavljem 3 dan je pregled osnovnih pojmova i rezultata vezanih za topološke,metričke i normirane prostore, a koji su korišteni kasnije u radu. Potpoglavlje 4.1odnosi se na Hahn-Banachov teorem, te su iskazane dvije verzije tog teorema, zapolunorme i normirane prostore. Naglašena je i veza s aksiomom izbora, koji jejedan od najkontroverznijih aksioma u matematici. Navedene su i neke posljediceovog teorema, koje su izuzetno važne u primjenama.U Potpoglavlju 4.2 obrađeni su teoremi o uniformnoj ograničenosti. Značaj ovihteorema krije se u tome što uz određene uvjete, iz ograničenosti na svakom mjestu,slijedi uniformna ograničenost. Kao bitan rezultat navodi se Baireov teorem, po-moću kojeg se dokazuje većina teorema u ovom potpoglavlju.Na kraju je dokazan teorem o otvorenom preslikavanju. Navedene su i dvije njegovebitne posljedice koje također imaju široku primjenu, teorem o zatvorenom grafu iteorem o inverznom operatoru. Pokazano je i da su teorem o otvorenom preslika-vanju i teorem o zatvorenom grafu ekvivalentni.

4

2 Povijesni pregledFundamentalni teoremi koje obrađujemo u ovom radu, nastali su u 20. stoljeću, kadase dogodio procvat funkcionalne analize. Stoljeće ranije, znanstvenici su uglavnomproučavali samo funkcije jedne varijable. Neki od njih, kao na primjer Cauchy,proučavali su nizove i redove funkcija, ali je glavni cilj bio opisati funkciju jednevarijable. Prostori funkcija nisu bili značajno proučavani, a mnogi, do tada uvedenipojmovi, bili su neprecizno definirani. Primjerice, vektor je bio definiran kao n-torka.Geometrija i analiza za znanstvenike 19. stoljeća nisu imale previše dodirnih točaka.Mnogi dokazi zasnivali su se na tome da se tvrdnja izloži, te da se ostale uvjeri unjezinu vjerodostojnost, bez preciznog dokaza na kakav smo navikli. Pogledajmokratak pregled radova koji su najviše doprinijeli razvoju funkcionalne analize:

• Fredholmov rad o integralnim jednadžbama, 1900.

• Lebesgueova teza o integraciji, 1902.

• Hilbertov rad o spektralnoj teoriji, 1906.

• Frechetova teza o metričkim prostorima, 1906.

• Rieszovi radovi o C[a, b] i Lp, 1910. i 1911.

• Hellyjevi radovi, 1912. i 1921.

• Banachova teza o normiranim prostorima, 1922.

• Hahnov rad iz 1927. i Banachov rad o dualnosti iz 1929.

• Banachov i Steinhausov rad iz 1927.

• Frechetova knjiga Les espaces abstrait, 1928.

• Banachova knjiga Theorie des operations lineaires, 1928.

Primijetimo da su najbitniji rezultati nastali u prvoj polovini 20. stoljeća.

2.1 Hahn-Banachov teorem

Iako se velike zasluge pripisuju Hellyju i Hahnu, mnogi misle da je razvoju funkcionalneanalize najveći doprinos dao Stefan Banach. U svojoj tezi Sur les operations dansles ensembles abstraits et leur application aux equations integrals, 1922. godine,proučavao je funkcionale, te je na jedan novi, apstraktan način, pristupio matem-atici. U tezi je uveo i pojam potpunog normiranog prostora, kojeg danas nazivamo iBanachov prostor. Upravo rezultati s početka 20. stoljeća omogućili su razvoj teorije

5

koja nam je dala neke fundamentalne teoreme.Ključan korak za ovaj teorem napravili su Hahn 1922., Wiener 1922. i Banach 1923.koji su nezavisno jedan od drugog proučavali realan normiran prostor. Hahn i Ba-nach su smatrali da je potpunost neophodna, te je Banach u knjizi koju je napisao1932. godine, pravio razliku između normiranih i Banachovih prostora. Zasebnosu razmatrali problem proširenja neprekidnog linearnog funkcionala definiranog napotprostoru na cijeli prostor. Problem je među prvima proučavao Helly, ali za pot-prostore vektorskog prostora CN, odnosno vektorskog prostora čiji su elementi nizovikompleksnih brojeva. Pretpostavio je da je na takvim prostorima definirana norma‖ · ‖, te je udaljenost između elemenata prostora definirao kao d(x, y) := ‖x− y‖.Zahvaljujući radovima Hellyja i Riesza, koji je nešto prije također proučavao normu,generalizacija norme na vektorske prostore nad poljem R ili C pojavila se pot-puno prirodno. To su nezavisno jedan od drugog napravili Hahn i Banach, kojisu se uglavnom bavili potpunim prostorima. Banach je u svojoj tezi proučavaoneprekidne linearne operatore s X u Y, gdje su X i Y potpuni normirani prostori.Sličnim se u isto vrijeme bavio i Hahn. Zanimljivo je to da niti jedan tada nijeproučavao proširenje funkcionala. 1927. Hahn je uzeo jedan od Hellyjevih radova, teje uz pomoć dokaza koji je napravio Helly dokazao teorem u formi koju smo naveliu radu, ali za potpun normiran prostor.Dvije godine kasnije je Banach, koji nije znao za Hahnov dokaz, objavio isti teoremdokazan na isti način, ali generaliziran na normirane prostore (dakle, ne isključivopotpune normirane prostore). Svi navedeni dokazi odnosili su se samo na realanslučaj. F. Murray je 1936. pronašao vezu između kompleksnog i realnog dijela kom-pleksnog linearnog funkcionala f :

Ref(ix) = Imf(x).

Korištenjem te veze, sveo je kompleksan slučaj na realan, te je dokazao verziju Hahn-Banachovog teorema za potprostore od Lp[a, b] za p > 1.Murrayevu metodu iskoristili su Bohnenblust i Sobcyzk koji su dokazali teorem zakompleksan normiran prostor. Oni su prvi koji su teorem nazvali imenom Hahn-Banachov teorem. Isto svođenjem na realan slučaj, teorem su za vektorski prostornad poljem kompleksnih brojeva dokazali Soukhomlinov 1938. i Ono 1953. Nekemalo drugačije pristupe teoremu i dokazu, koristili su Hustad 1973., Holbrook 1975.i Mira 1982., no zbog njihove specifičnosti, nećemo ih detaljnije opisivati u radu.

2.2 Teoremi o uniformnoj ograničenosti i teorem o otvorenompreslikavanju

Povijesni pregled ovih teorema nema smisla navoditi odvojeno, iz jednog jednos-tavnog razloga. Oba su dokazana pomoću Baireovog teorema, koji se u literaturi

6

često naziva i Baireov teorem o kategorijama. Kategorijalnim skupovima koje defini-ramo u Poglavlju 4, i koji su osnova ovog teorema, Baire je posvetio samo jedanodjeljak u svojoj doktorskoj tezi. Prilikom definiranja skupa prve kategorije, koris-tio je Cantorovu definiciju gustog skupa (skup je gust ako je njegov zatvarač jednakčitavom prostoru) i P. du Bois-Reymondovu definiciju rijetkog skupa (skup je rijedakako je komplement njegovog zatvarača gust). Zaključio je da skup realnih brojevanije skup prve kategorije.Teorem koji u radu navodimo kao Baireov teorem dokazao je W. F. Osgood 1897.godine za skup R, a nezavisno od njega dokazao ga je Baire 1899. godine za Rn.Pogledajmo koliko se o ograničenosti znalo početkom 20. stoljeća. Hahn je 1922.dokazao sljedeću tvrdnju: neka je X potpun normiran prostor, (un, n ∈ N) nizneprekidnih linearnih funkcionala na X, te pretpostavimo da je za svaki x ∈ X nizbrojeva |un(x)| omeđen brojem koji ovisi o x; tada je niz normi ‖un‖ omeđen.Hellinger i Toeplitz, koji su bili Hilbertovi studenti, uveli su nešto drugačiju defini-ciju omeđenog bilinearnog funkcionala nego što ju je dao Hilbert. Pokazali su daje umjesto pretpostavke da je |Kn(x, y)| ≤ M za svaki n i sve x = (xp) i y = (yp)

takve da je∑p

x2p ≤ 1 i

∑p

y2p ≤ 1, dovoljno pretpostaviti da za svaki par (x, y),

vrijedi da je |Kn(x, y)| ≤ Mx,y za sve n ∈ N, gdje broj Mx,y može ovisiti o x i y naproizvoljan način.Pojavili su se još neki značajni rezultati, čiji je pregled dao Hahn u radu [5], teje pokazao da su to sve posljedice njegove tvrdnje koju smo iskazali. Banach je usvojoj tezi dokazao nešto generalniju tvrdnju od Hahnove. Za niz neprekidnih lin-earnih operatora un s potpunog normiranog prostora X u potpun normiran prostorY pokazao je da pretpostavka da su norme ‖un(x)‖ omeđene za svaki x, brojem kojiovisi o x, povlači da je niz normi ‖un‖ omeđen.Banach i Steinhaus su 1927. pokazali da se prethodna tvrdnja može dokazati ko-rištenjem Baireovog teorema o kategorijama.Banachov teorem o inverznom operatoru prvi je dokazao Banach 1929., a dokazteorema o otvorenom preslikavanju dugujemo Schauderu, koji ga je dokazao 1930.Schauder je bio prvi koji je dokazao teorem o inverznom operatoru korištenjem teo-rema o otvorenom preslikavanju.Detaljniji povijesni pregled rezultata nalazi se u [2], [10] i [13].

7

3 Pregled osnovnih rezultataKako bi stvorili teorijsku podlogu za iskaze i dokaze fundamentalnih teorema, potrebnoje uvesti nekoliko pojmova i rezultata čije će se poznavanje podrazumijevati u nas-tavku ovog rada.

Definicija 1. Za niz (xk, k ∈ N) u metričkom prostoru (X, d) kažemo da je Cauchy-jev ako za svaki ε > 0 postoji k0 ∈ N sa svojstvom da je d(xm, xk) < ε za svem, k ≥ k0, odnosno

(∀ε > 0) (∃k0 ∈ N) m, k ≥ k0 =⇒ d(xm, xk) < ε.

Definicija 2. Za metrički prostor (X, d) kažemo da je potpun ako svaki Cauchyjevniz iz X konvergira prema nekoj točki iz X.

U nastavku ćemo raditi i s topološkim prostorima, te koristiti svojstva interiorai zatvarača.

Definicija 3. Skup U ⊆ X iz metričkog prostora (X, d) je otvoren ako za svaku točkux0 ∈ U postoji r > 0 takav da je K(x0, r) ⊆ U. Prazan skup ∅ također smatramootvorenim.

Propozicija 1. (vidi [8]) Neka je U familija svih otvorenih skupova u metričkomprostoru (X, d). Familija U ima sljedeća svojstva:

(i) unija svake familije članova iz U je član iz U

(ii) presjek konačno mnogo članova iz U je član iz U

(iii) ∅, X ∈ U .

Definicija 4. Neka je X neprazan skup. Familija U podskupova od X sa svojstvima(i) − (iii) iz Propozicije 1 zove se topološka struktura ili topologija na X. Uređenipar (X,U) se zove topološki prostor. Članove familije U zovemo otvoreni skupovi.

Definicija 5. Normirani prostori (X1, | · |) i (X2, ‖ · ‖) su izomorfni (potpunije:topološki izomorfni) ako postoji linearna bijekcija ϕ : X1 −→ X2 takva da su ϕ i ϕ−1

neprekidne funkcije. Ukoliko je dodatno ϕ izometrija onda govorimo o izometričkomizomorfizmu.

Definicija 6. Neka je (X,U) topološki prostor i A ⊆ X. Uniju svih otvorenihskupova koji su sadržani u A zovemo interior ili nutrina skupa A i označavamos IntA.

Napomenimo da je interior skupa A najveći otvoreni skup iz X koji je sadržanu A.

8

Teorem 1. (vidi [8]) Interior ima sljedeća svojstva:

(i) IntA ⊆ A

(ii) IntX = X

(iii) A ⊆ B =⇒ IntA ⊆ IntB

(iv) skup A je otvoren onda i samo onda ako je A = IntA

(v) Int (IntA) = IntA

(vi) Int (A ∩B) = IntA ∩ IntB.

Definicija 7. Neka je (X,U) topološki prostor. Za skup F ⊆ X kažemo da jezatvoren ako je njegov komplement X/F otvoren.

Teorem 2. (vidi [8]) Familija svih zatvorenih skupova ima sljedeća svojstva:

(i) presjek svake familije zatvorenih skupova je zatvoren skup

(ii) unija konačno zatvorenih skupova je zatvoren skup

(iii) ∅ i X su zatvoreni skupovi.

Definicija 8. Neka je A ⊆ X. Presjek svih zatvorenih skupova iz X koji sadrže Azovemo zatvarač ili zatvorenje skupa A i označavamo s A.

Primijetimo da je zatvarač skupa A najmanji zatvoreni skup iz X koji sadrži A.

Teorem 3. (vidi [8]) Zatvarač ima sljedeća svojsta:

(i) A ⊆ A

(ii) X = X

(iii) A ⊆ B =⇒ A ⊆ B

(iv) skup A je zatvoren onda i samo onda ako je A = A

(v) A = A

(vi) A ∪B = A ∪B.

9

Prisjetimo se direktne sume i Kartezijevog produkta prostoraX1, X2, .., Xn. Nekaje X vektorski prostor i S neki njegov podskup, te označimo s L(S) skup svihkonačnih linearnih kombinacija λ1x1 + .. + λnxn vektora x1, .., xn ∈ S, n ∈ N. Akoje (Xj, j ∈ J), familija svih potprostora Xj od X koji sadrže skup S, onda je

L(S) = ∩Xj (j ∈ J).

Primijetimo da je L(S) najmanji potprostor prostora X koji sadrži skup S.Neka su X1, X2, .., Xn potprostori vektorskog prostora X i S = X1 ∪ .. ∪ Xn.

Tada vektor x ∈ X pripada potprostoru L(S) ako i samo ako postoje vektori x1 ∈X1, .., xn ∈ Xn takvi da je

x = x1 + ..+ xn. (1)

Kažemo da je L(S) suma potprostora X1, .., Xn i umjesto L(S) pišemo

X1 + ..+Xn. (2)

Suma (2) je direktna ako svaki vektor prostora (2) ima jedinstven prikaz oblika (1).Tada pišemo:

X1 + .. +Xn

umjesto (2).

Definicija 9. Neka su X1, .., Xn vektorski prostori nad poljem Φ i neka je

X = X1 × ..×Xn

Kartezijev produkt skupova X1, .., Xn. Za x = (x1, .., xn), y = (y1, .., yn) i λ ∈ Φdefiniramo

λx = (λx1, .., λxn), x+ y = (x1 + y1, .., xn + yn).

U odnosu na tako definirane funkcije (x, y) 7→ x+y, (λ, x) 7→ λx, X je vektorski pros-tor nad Φ. Tako dobiven prostor X nazivamo Kartezijev produkt prostora X1, .., Xn.

Potrebno je uvesti i kvocijentni prostor. Neka je V vektorski prostor i W pot-prostor. U skupu V definiramo relaciju ∼ na sljedeći način:

x ∼ y ⇐⇒ x− y ∈ W.

Dokažimo da je ∼ relacija ekvivalencije. Za bilo koji x ∈ V vrijedi x− x = 0 ∈ W,jer je nulvektor sadržan u svakom potprostoru. Dakle, vrijedi da je x ∼ x. Nadalje,ako je x ∼ y, to jest x−y ∈ W, onda je y−x = −(x−y) ∈ W, pa je i y ∼ x. Iz x ∼ yi y ∼ z slijedi x− y ∈ W i y− z ∈ W, dakle i x− z = (x− y) + (y− z) ∈ W. Prematome je x ∼ z. Zaista, ∼ je relacija ekvivalencije. Skup svih klasa ekvivalencije u

10

skupu V u odnosu na tu relaciju označavat ćemo s V/W. U skupu V/W definiratćemo operaciju zbrajanja i množenja skalarima iz K :

(x+W ) + (y +W ) = (x+ y) +W, λ(x+W ) = (λx) +W.

Dokažimo da su ove operacije dobro definirane. Neka su x ∼ x′ i y ∼ y′, to jestx + W = x′ + W i y + W = y′ + W, to jest vrijedi da je x − x′ ∈ W i y − y′ ∈ W.Tada je

(x+ y)− (x′ + y′) = (x− x′) + (y − y′) ∈ W,

dakle je (x+y) ∼ (x′+y′), odnosno (x+y)+W=(x’+y’)+W. Time je dokazano da jezbrajanje u V/W dobro definirano. Analogno se dokazuje da je i množenje skalaromdobro definirano. Uz tako definirane operacije skup V/W je vektorski prostor nadpoljem K. V/W se zove kvocijentni prostor prostora V po potprostoru W.

Sljedećih nekoliko pojmova i rezultata, koji se tiču operatora, bit će nam korisnikroz čitav rad. Neka su X i Y normirani prostori. S L(X, Y ) označit ćemo skupsvih neprekidnih linearnih operatora s X u Y . Pokazat ćemo da je L(X, Y ) zapravoi skup svih ograničenih linearnih operatora, odnosno da je neki operator neprekidanako i samo ako je ograničen.

Prije dokaza, potrebno je definirati kada je linearni operator ograničen.

Definicija 10. Linearan operator A : X −→ Y je ograničen ako vrijedi

(∃M > 0)(∀x ∈ X) ‖Ax‖y ≤M‖x‖x. (3)

Sljedeći teorem bit će nam potreban za dokaz da je linearan operator neprekidanako i samo ako je ograničen.

Teorem 4. Ako je aditivan operator A : X −→ Y neprekidan u jednoj točki domene,onda je on neprekidan na čitavoj domeni.

Dokaz. Neka je A : X −→ Y aditivan operator i neka je x0 ∈ X točka u kojojje operator neprekidan. Neka je x proizvoljna točka iz X. Uzmimo proizvoljan niz(xn, n ∈ N) ⊂ X, takav da xn → x, kad n→∞. Promotrimo niz (xn − x+ x0, n ∈N) ⊂ X. Vrijedi da

xn − x+ x0 → x0, kad n→∞,

pa zbog neprekidnosti operatora u točki x0 slijedi da je

A(xn − x+ x0)→ Ax0, kad n→∞.

Iskoristimo li aditivnost i svojstva limesa, dobivamo

limn→∞

A(xn − x+ x0) = limn→∞

(Axn − Ax+ Ax0) = limn→∞

Axn − Ax+ Ax0 = Ax0,

11

iz čega slijedi da jelimn→∞

Axn = Ax,

odnosno operator je neprekidan i u točki x. Zbog proizvoljnosti x ∈ X, slijedi da jeA neprekidan na čitavoj domeni.

Teorem 5. Linearan operator je neprekidan ako i samo ako je ograničen.

Dokaz. Dokažimo da je svaki neprekidan linearan operator ujedno i ograničen.Neka je A : X −→ Y neprekidan linearan operator. Pretpostavimo da on nijeograničen. Tada

(∀n ∈ N)(∃xn ∈ X, ‖xn‖ = 1) ‖Axn‖ > n.

Promotrimo sada nizzn =

xnn, n ∈ N.

Za njega vrijedi

‖zn‖ =‖xn‖n

=1

n→ 0, kad n→∞,

odnosno zn → 0, kad n→∞. Tada imamo

‖Azn‖ =1

n‖Axn‖ ≥ 1, n ∈ N,

iz čega slijedi da Azn ne konvergira prema 0 kad n → ∞, što je u kontradikciji sneprekidnosti operatora.Dokažimo da je svaki ograničen linearan operator ujedno i neprekidan.Neka je A ograničen operator, to jest ‖A‖ < ∞. Uzmimo proizvoljan x ∈ X i nekaje (xn, n ∈ N) ⊂ X, takav da xn → x, kad n→∞. Zbog ograničenosti slijedi da je

0 ≤ ‖Axn − Ax‖ = ‖A(xn − x)‖ ≤ ‖A‖‖xn − x‖ → 0, n→∞.

Dakle, A je neprekidan u točki x, pa je prema Teoremu 4, A neprekidan operator.

Zaista, skup neprekidnih linearnih operatora je ujedno i skup ograničenih lin-earnih operatora.

Teorem 6. Neka je A : X −→ Y linearan operator. Operator A je neprekidan akoi samo ako ograničene skupove iz X preslikava u ograničene skupove u Y.

Dokaz. Dokažimo da neprekidan linearan operator ograničene skupove iz Xpreslikava u ograničene skupove u Y.Neka je A : X −→ Y ograničen linearan operator, to jest

(∀x ∈ X) ‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖,

12

i neka je S ⊂ X ograničen skup, to jest

(∃M > 0)(∀x ∈ S) ‖x‖ ≤M.

Označimo sa S ′ sliku skupa S,

S ′ = Ax : x ∈ S.

Za proizvoljan y ∈ S ′ tada vrijedi

‖y‖ = ‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖ ≤M‖A‖ = M ′ <∞,

te je S ′ ograničen skup.Dokažimo sada da je linearan operator koji ograničene skupove iz X preslikava uograničene skupove u Y ujedno i neprekidan. Neka je A linearan operator kojipreslikava ograničene skupove u ograničene skupove. Kako je jedinična kugla K =x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1 ograničen skup u X, skup

AK = Ax : ‖x‖ ≤ 1

je ograničen u Y, odnosno

(∃M > 0)(∀x ∈ X, ‖x‖ ≤ 1) ‖Ax‖ ≤M.

Iz ovoga vidimo da je operator A ograničen, odnosno prema Teoremu 5, operator Aje neprekidan.

Teorem 7. Neka su X i Y normirani prostori. Tada je preslikavanje‖ · ‖ : L(X, Y ) −→ R definirano s

‖A‖ := supx∈X\0

‖Ax‖‖x‖

, A ∈ L(X, Y )

norma na L(X, Y ).

Dokaz. Pokažimo da tako definirano preslikavanje zaista zadovoljava svojstvanorme:

(i) 0 ≤ ‖A‖ = supx∈X\0

‖Ax‖‖x‖

< +∞.

(ii)

‖A‖ = 0 ⇐⇒ 0 = supx∈X\0

‖Ax‖‖x‖

≥ ‖Ax‖‖x‖

, x ∈ X\0

⇐⇒ ‖Ax‖ ≤ 0, x ∈ X\0⇐⇒ ‖Ax‖ = 0, x ∈ X\0⇐⇒ Ax = 0, x ∈ X\0⇐⇒ A = 0.

13

(iii) Za λ ∈ Φ je

‖λA‖ = supx∈X\0

‖(λA)x‖‖x‖

= |λ| supx∈X\0

‖(λA)x‖‖λx‖

= |λ| supy∈X\0

‖Ay‖‖y‖

= |λ|‖A‖.

(iv) ‖(A+B)x‖ = ‖Ax+Bx‖ ≤ ‖Ax‖+ ‖Bx‖ ≤ ‖A‖‖x‖+ ‖B‖‖x‖= (‖A‖+ ‖B‖)‖x‖, tj.

‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖.

Pokažimo i da za prethodno definiranu normu vrijedi:

‖A‖ = sup‖x‖≤1

‖Ax‖ = sup‖x‖=1

‖Ax‖.

Zbog homogenosti operatora A je

supx∈X\0

‖Ax‖‖x‖

= supx∈X\0

∥∥∥A( x

‖x‖

)∥∥∥ = sup‖x‖=1

‖Ax‖.

Preostalo je dokazati drugu jednakost. Imamo da je

supx∈X\0

‖Ax‖‖x‖

≥ sup‖x‖≤1

‖Ax‖‖x‖

≥ sup‖x‖≤1

‖Ax‖.

S druge strane, kako je supremum na većem skupu veći, vrijedi da je

sup‖x‖≤1

‖Ax‖ ≥ sup‖x‖=1

‖Ax‖ = supx∈X\0

‖Ax‖‖x‖

,

pa mora biti

supx∈X\0

‖Ax‖‖x‖

= sup‖x‖≤1

‖Ax‖.

Proučavanje funkcionalne analize nemoguće je bez poznavanja Banachovih iHilbertovih prostora: Banachov prostor je potpun normiran prostor, a potpun uni-taran prostor zovemo Hilbertov prostor. Jedan od Banachovih prostora koji će bitibitan u radu je dualni prostor, kojeg ćemo sada definirati. To je posebno zanimljivslučaj prostora L(X, Y ) kad je Y = Φ. Tada se X ′ = L(X,Φ) naziva dualni prostor.Napomenimo još da ćemo L(X, Y ) pisati kao L(X) ukoliko je X = Y.

Napomena 1. Norma na X ′, odnosno dualna norma, definirana je s

‖x∗‖ = sup |x∗(y)| : y ∈ X, ‖y‖ ≤ 1.

14

Teorem 8. Prostor X ′ = L(X,Φ) svih neprekidnih linearnih funkcionala na X jeBanachov prostor.

Dokaz. Neka je (Ak, k ∈ N) Cauchyjev niz u X ′. Tada za ε > 0 postoji n0 ∈ Ntakav da za n,m ≥ n0 slijedi da je ‖An −Am‖ ≤ ε. Za x ∈ X i n,m ≥ n0 vrijedi daje

|Anx− Amx| ≤ ε‖x‖, (4)

iz čega slijedi da je (Anx, n ∈ N) Cauchyjev niz u prostoru Φ. Budući da je Φpotpun prostor postoji jedinstven vektor A0x u Φ, takav da Anx konvergira premaA0x kad n teži u ∞. Zbog neprekidnosti množenja skalarom i zbrajanja, imamo:

A0(λx) = limn→∞

An(λx) = limn→∞

λAn(x) = λ limn→∞

An(x) = λA0x

A0(x+ y) = limn→∞

An(x+ y) = limn→∞

(Anx+ Any) = limn→∞

Anx+ limn→∞

Any

= A0x+ A0y,

što pokazuje da je A0 linearan funkcional s X u Φ. Iz (4), za m→∞ dobivamo

n ≥ n0 =⇒ |Anx− A0x| ≤ ε‖x‖. (5)

Budući da je Cauchyjev niz ograničen, iz nejednakosti

|A0x| ≤ ε‖x‖+ |Anx| ≤ (ε+ ‖An‖)‖x‖

za n ≥ n0 slijedi da je A0 ograničen funkcional. Tada (5) povlači da je ‖An−A0‖ ≤ ε.Budući da za svaki ε > 0 postoji n0 ∈ N takav da za n ≥ n0 slijedi da je ‖An−A0‖ ≤ε, niz (An, n ∈ N) konvergira funkcionalu A0 ∈ X ′.

15

4 Fundamentalni teoremi

4.1 Hahn-Banachov teorem

Hahn-Banachov teorem jedan je od fundamentalnih teorema funkcionalne analize.Mnogi poznati matematičari sudjelovali su u nastanku ovog teorema i njegovogdokaza. Najprije Riesz i Helly oko 1900. godine, a zatim Hahn i Banach koji sunezavisno jedan od drugog dokazali teorem za realan slučaj 20 godina kasnije. Nakontoga je Murray dao dokaz za kompleksan slučaj. Postoji nekoliko verzija dokaza ovogteorema. U ovom radu najprije ćemo iskazati i dokazati Hahn-Banachov teorem zapolunorme, pomoću kojeg ćemo dokazati Hahn-Banachov teorem za normirane pro-store. Prije nego što iskažemo ove teoreme, navest ćemo neke osnovne pojmove kojiće biti korišteni u dokazu.

Definicija 11. Za uređen par (S,≤) skupa S i binarne relacije "≤" na S kažemoda je parcijalno uređen skup ako relacija uređaja "≤" ima ova svojstva:

(i) x ≤ x za svaki x ∈ S ( refleksivnost uređajne relacije)

(ii) ako je x ≤ y i y ≤ z, onda je x ≤ z ( tranzitivnost uređajne relacije)

(iii) ako je x ≤ y i y ≤ x onda je x = y ( antisimetričnost uređajne relacije)

Definicija 12. Parcijalno uređen skup (S,≤) je potpuno (linearno) uređen ako zasvaki par (x,y) ∈ S × S vrijedi x ≤ y ili y ≤ x.

Definicija 13. Podskup A parcijalno uređenog skupa S je odozgo ograničen akopostoji element l ∈ S (gornja ograda, gornja međa ili majoranta skupa A) takav daje x ≤ l ∀x ∈ A.

Definicija 14. Element l ∈ S je maksimalan za skup S ako l ≤ y i y ∈ S povlačiy = l.

Slijedi aksiom koji je zbog svoje specifičnosti i kontroverznosti uzrokovao bro-jne rasprave, a istovremeno se pokazao neophodnim u dokazivanju mnogih tvrdnji.Potreba za takvim aksiomom javila se najprije na intuitivnoj razini, kada se B. Rus-sell zapitao sljedeće: ako je zadana beskonačna familija F nepraznih skupova, dali postoji skup S koji sadrži po točno jedan element iz svakog skupa te familije?Za svoj problem dao je i sljedeći primjer. Ukoliko imamo beskonačan skup parovacipela, možemo koristiti pravilo izbora takvo da, na primjer, iz svakog para odaber-emo lijevu cipelu. Što ako imamo beskonačan skup parova čarapa koje međusobnone možemo razlikovati? Pretpostavku da i tada postoji prethodno opisan skup Sformulirao je kao aksiom izbora 1906. godine.

Aksiom izboraZa svaku familiju F = (Sj, j ∈ J) nepraznih skupova Sj postoji barem jedna funkcija

16

f sa skupa indeksa J u uniju⋃Sj(j ∈ J) skupova Sj takva da je f(j) ∈ Sj za svaki

j ∈ J .Takva funkcija naziva se funkcija izbora za familiju F zato što nam omogućava

da iz svakog skupa Sj familije F izaberemo po jedan element f(j). Sljedeća lemaekvivalentna je aksiomu izbora, na kojeg ćemo se vratiti nešto kasnije, te je poznatapod nazivom Zornova lema.

Lema 1. Ako je svaki potpuno uređeni podskup parcijalno uređenog skupa S 6= ∅odozgo ograničen, onda skup S ima barem jedan maksimalan element.

Budući da ćemo govoriti o polunormama i normama, bitna nam je i sljedećadefinicija.

Definicija 15. Neka je X vektorski prostor nad poljem Φ ∈ R,C. Funkcijap : X −→ R je

(i) pozitivno homogena, ako je

p(λx) = λp(x) (x ∈ X,λ ∈ R+0 )

(ii) subaditivna, ako je

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) (x, y ∈ X)

(iii) polunorma na X, ako je

p(x) ≥ 0, p(λx) = |λ|p(x) (λ ∈ Φ, x ∈ X)

p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) (λ ∈ Φ, x, y ∈ X)

(iv) norma na X, ako je p polunorma i ako p(x) = 0 povlači x = 0.

Primjer 1. Vektorski prostor svih linearnih operatora s X u Φ naziva se algebarskidual prostora X i označava s X∗. Elementi prostora X∗ su linearni funkcionali naX. Ako je f ∈ X∗, f 6= 0, onda je s x 7→ |f(x)| definirana polunorma p na X ip 6= 0. To se lako vidi iz svojstava apsolutne vrijednosti i linearnosti funkcionala f :

• p(x) = |f(x)| ≥ 0 ∀x ∈ X

• p(λx) = |f(λx)| = |λf(x)| = |λ|p(x) (x ∈ X,λ ∈ Φ)

• p(x+y) = |f(x+y)| = |f(x)+f(y)| ≤ |f(x)|+|f(y)| = p(x)+p(y) (x, y ∈ X).

17

Sljedeći teorem naziva se još i Hahn-Banachov teorem za polunorme. Kasnijećemo pomoću njega dokazati Hahn-Banachov teorem za normirane prostore.

Teorem 9. Neka je:

(i) p polunorma na realnom ili kompleksnom vektorskom prostoru X

(ii) Y potprostor od X

(iii) f : Y −→ Φ linearan funkcional.

Ako je

|f(y)| ≤ p(y) (y ∈ Y ),

onda postoji barem jedan linearan funkcional F : X −→ Φ takav da je

|F (x)| ≤ p(x) (x ∈ X) i F (y) = f(y) (y ∈ Y ).

Ovaj teorem dokazat ćemo najprije za realan slučaj, odnosno dokazat ćemosljedeći teorem koji je malo općenitiji od Teorema 9.

Teorem 10. Neka je X realan vektorski prostor, p : X −→ R subaditivan pozitivnohomogen funkcional na X, Y potprostor od X i f : Y −→ R linearan funkcional.Ako je

f(y) ≤ p(y) (y ∈ Y ),

onda postoji barem jedan linearan funkcional F : X −→ R takav da je

F (x) ≤ p(x) (x ∈ X) i F (y) = f(y) (y ∈ Y ).

Dokaz. Dokaz se sastoji od dva dijela.Naprije ćemo pokazati da za svaki vektor x1 ∈ X, x1 /∈ Y postoji barem jedanlinearan funkcional g1 : M1 −→ R na potprostoru M1 = L(x1 ∪ Y ) razapetomvektorom x1 i potprostorom Y takav da je

g1(x) ≤ p(x) (x ∈M1) i g1(y) = f(y) (y ∈ Y ).

To ćemo dokazati u tri koraka.a) Svaki vektor x ∈ M1 ima jedinstven prikaz oblika x = λx1 + y, gdje je λ ∈ R iy ∈ Y . Zbog toga je s

g1(λx1 + y) = λγ1 + f(y) (λ ∈ R, y ∈ Y ), (6)

definiran linearan funkcional na prostoru M1 i vrijedi g1(y) = f(y) za svaki y ∈Y . Pri tome je γ1 = g1(x1) bilo koji realan broj. Funkcional g1 po linearnostiproširuje funkcional f za svaki realni broj γ1. Pokušajmo odabrati γ1 tako da vrijedinejednakost g1(x) ≤ p(x) za x ∈M1, tj. da vrijedi

λγ1 + f(y) ≤ p(λx1 + y) (λ ∈ R, y ∈ Y ). (7)

Iz (7) za λ = 1 dobivamo

18

γ1 ≤ p(x1 + y)− f(y) (y ∈ Y ),

što povlači γ1 ≤ µ1, gdje je

µ1 = inf p(x1 + y)− f(y) : y ∈ Y . (8)

Isto tako iz (7) za λ = −1 dobivamo

−p(−x1 + y) + f(y) ≤ γ1 (y ∈ Y ),

što povlači µ−1 ≤ γ1, gdje je

µ−1 = sup −p(−x1 + y) + f(y) : y ∈ Y . (9)

Ako funkcional (6) zadovoljava uvjete teorema, onda je µ−1 ≤ γ1 ≤ µ1, gdje jeγ1 = g1(x1), a brojevi µ−1 i µ1 su određeni s (8) i (9).b) Pokažimo sada da je µ−1 ≤ µ1. Za y′, y′′ ∈ Y imamo:

f(y′) + f(y′′) = f(y′ + y′′) ≤ p(y′ + y′′)

= p[(y′ + x1) + (y′′ − x1)]

≤ p(y′ + x1) + p(y′′ − x1),

iz čega slijedi

− p(−x1 + y′′) + f(y′′) ≤ p(x1 + y′)− f(y′) (y′, y′′ ∈ Y ). (10)

Iz (10) uzimanjem supremuma po y′′ ∈ Y , pa onda infimuma po y′ ∈ Y , dobi-vamo µ−1 ≤ µ1, gdje su brojevi µ−1, µ1 definirani s (8) i (9). Dakle, postoji baremjedan realan broj γ1 takav da je µ−1 ≤ γ1 ≤ µ1.c) Za ovako odabran broj γ1 s (6) definiramo linearan funkcional g1 naM1 i pokažimoda on zadovoljava nejednakost (7). Ako je λ = 0, onda vrijedi (7), jer je f(y) ≤ p(y)za svaki y ∈ Y prema uvjetima teorema. Ako je λ > 0, onda za y ∈ Y imamo:

γ1 ≤ µ1 ≤ p(y

λ+ x1)− f(

y

λ)

što povlači (7).Ako je λ < 0, onda za y ∈ Y imamo:

γ1 ≥ µ−1 ≥ −p(−y

λ− x1)− f(

y

λ) = −p(λx1 + y

−λ)− 1

λf(y)

= −(−1

λ)p(λx1 + y)− 1

λf(y) =

1

λ[p(λx1 + y)− f(y)],

odakle ponovo slijedi (7).Prelazimo sada na drugi dio dokaza, gdje ćemo koristiti prethodno dokazanu

tvrdnju i Zornovu lemu: sa S označimo skup svih linearnih funkcionala h koji suproširenje funkcionala f i takvih da je

19

h(x) ≤ p(x) (x ∈ D(h)),

gdje je D(h) potprostor na kojem je h definirano. Za svaki h ∈ S je Y ⊆ D(h).Definiramo relaciju ≤ na S na sljedeći način: za dva elementa h1, h2 ∈ S je h1 ≤ h2

ako je h2 proširenje od h1. U odnosu na tu relaciju S je parcijalno uređen skup.Uzmimo da je L potpuno uređen podskup od S. Očigledno je

M :=⋃h∈L

D(h)

potprostor od X. Na M definiramo funkcional H na sljedeći način: za x ∈ M ih ∈ L takav da je x ∈ D(h), definiramo H(x) = h(x). S obzirom na to da je Lpotpuno uređen podskup od S, H je dobro definirana funkcija i H je element odS. Nadalje je H proširenje svakog funkcionala h ∈ L, dakle je h ≤ H za svakoh ∈ L. To pokazuje da parcijalno uređen skup (S,≤) zadovoljava uvjete Zornoveleme, pa S ima barem jedan maksimalan element, označimo ga s F . Tvrdimo daje F definirano na X. U protivnom bi postojao barem jedan vektor x1 ∈ X, takavda x1 /∈ D(F ). Primjena tvrdnje dokazane u prvom dijelu na par D(F ) i F dajeproširenje g1 od F na potprostorM1 razapet s x1 i D(F ). Budući da je g1 proširenjeod F i F proširenje od f , to je g1 proširenje i od f ; dakle g1 ∈ S i F ≤ g1. S drugestrane je D(f) ⊂M1 = D(g1), pa je g1 6= F . To je kontradikcija s maksimalnosti odF . Dakle je D(f) = X, F (x) ≤ p(x) za svako x ∈ X i F (y) = f(y) za svako y ∈ Y .

Dokažimo sada Teorem 9 za kompleksan slučaj.Dokaz Teorema 9 za Φ = C. S Xr, odnosno s Yr, označimo prostor X,

odnosno Y , promatran kao realan vektorski prostor. Očigledno je Yr potprostor odXr. Nadalje su sa

f1(y) = Ref(y), f2(y) = Imf(y) (y ∈ Yr)

definirani linearni funkcionali f1 i f2 na realnom vektorskom prostoru Yr.Iz f(iy) = if(y) dobivamo

f1(iy) + if2(iy) = if1(y)− f2(y),

što daje

f1(iy) = −f2(y), f2(iy) = f1(y).

Dakle, sf(y) = f1(y)− if1(iy) (y ∈ Y ) (11)

je linearan funkcional f na kompleksnom prostoru Y izražen samo preko svojegrealnog dijela f1. Ta činjenica ima važne posljedice. Na trojku Xr, Yr, f1 možemoprimijeniti Teorem 10 jer je

20

f1(y) ≤ |f1(y)| ≤ (|f1(y)|2 + |f2(y)|2)1/2= |f(y)| ≤ p(y),

tj. f1(y) ≤ p(y) (y ∈ Yr). Dakle, postoji linearan funkcional F1 : Xr −→ R takavda je

F1(x) ≤ p(x) (x ∈ Xr) i F1(y) = f1(y) (y ∈ Yr).

Sada na X definiramo linearan funkcional F formulom:

F (x) := F1(x)− iF1(ix) (x ∈ X). (12)

Očigledno je F aditivan funkcional na X, a iz aditivnosti i homogenosti funkcionalaF1, za λ = σ + iτ(σ, τ ∈ R) i x ∈ X, slijedi

F (λx) = F1(σx+ iτx)− iF1(−τx+ iσx)

= F1(σx) + F1(iτx) + iF1(τx)− iF1(iσx)

= σF1(x) + τF1(ix) + τiF1(x)− iσF1(ix)

= λF1(x)− λiF1(ix)

= λF (x).

Dakle, F je linearan funkcional na kompleksnom vektorskom prostoru X. Lakose vidi da za x ∈ X možemo pronaći α ∈ R takav da je |F (x)| = eiαF (x). Naime,ako je F (x) = r · cis(ϕ), prethodna jednakost vrijedi odaberemo li α = −ϕ. Slijedida je

|F (x)| = eiαF (x) = F (eiαx) = F1(eiαx)

≤ p(eiαx) = |eiα|p(x);

dakle je |F (x)| ≤ p(x) za svako x ∈ X. Kako je F1 proširenje od f1 sa Yr na Xr, zay ∈ Y imamo:

F (y) = F1(y)− iF1(iy)

= f1(y)− if1(iy) = f(y).

Pokušajmo dokazati tvrdnju sličnu Teoremu 9, ali za normirane prostore: Hahn-

Banachov teorem za normirane prostore. On ima brojne posljedice i primjene, okojima ćemo nešto više reći u nastavku.

Teorem 11. Ako je Y pravi potprostor normiranog prostora X, onda za svakineprekidan linearan funkcional y∗ : Y −→ Φ postoji barem jedan neprekidan lin-earan funkcional x∗ : X −→ Φ takav da je

‖x∗‖ = ‖y∗‖ i x∗(y) = y∗(y) (y ∈ Y ).

21

Drugim riječima, funkcional y∗ može se proširiti do neprekidnog funkcionala x∗ kojiima istu normu kao i funkcional y∗.

Dokaz. Neka je x 7→ ‖x‖ norma na X. Za y∗ ∈ Y ′, y∗ 6= 0 stavimo p(x) =‖y∗‖ · ‖x‖ (x ∈ X). Tada je p norma na X i |y∗(x)| ≤ p(x) za svako x ∈ Y . PremaHahn-Banachovom teoremu za polunorme, postoji barem jedan linearan funkcionalF na X takav da je F (y) = y∗(y) za y ∈ Y i |F (x)| ≤ p(x) za x ∈ X. No,|F (x)| ≤ p(x) = ‖y∗‖ · ‖x‖ za x ∈ X povlači da je F ograničen funkcional na X ida je ‖F‖ ≤ ‖y∗‖. Budući da je

‖F‖ = sup |F (x)| : x ∈ X, ‖x‖ ≤ 1 ≥ sup |F (x)| : x ∈ Y, ‖x‖ ≤ 1

= sup |y∗(x)| : ‖x‖ ≤ 1, x ∈ Y = ‖y∗‖,

to je ‖F‖ = ‖y∗‖. Ako je y∗ = 0, onda F = 0 zadovoljava tvrdnju teorema. Dokaz prethodnog teorema velikim dijelom slijedi iz Teorema 9. Mogu se pronaći

različite verzije dokaza Teorema 11. U nekoj literaturi se teorem najprije dokazujeza polunorme, kao u ovom radu, a nekad se dokazuje odmah za normirane prostore.U svakom slučaju se u dokazima koristi Zornova lema, za koju smo napomenili daje ekvivalentna aksiomu izbora. Mnogi matematičari postavili su sljedeće pitanje:može li se Hahn-Banachov teorem dokazati bez korištenja aksioma izbora? Odgovorna to pitanje dao je W. A. J. Luxemburg 1962. godine, u radu [12]. Hahn-Banachovteorem može se dokazati bez korištenja aksioma izbora, i to upotrebom Teorema omaksimalnom idealu1, koji je nešto slabiji od aksioma izbora: vrijedi da aksiom izb-ora povlači Teorem o maksimalnom idealu, a samim time i Hahn-Banachov teorem.Kako se Hahn-Banachov teorem pokazao kao koristan alat pri dokazivanju mnogihmatematičkih tvrdnji, mnogi su naslutili da Hahn-Banachov teorem povlači aksiomizbora, iz čega bi slijedilo da su oni ekvivalentni. Da to nije točno, pokazali su J.D. Halpern i A. Levy 1967. godine u radu [6], tako što su dokazali da iz Teoremao maksimalnom idealu ne slijedi aksiom izbora. D. Pincus je 1972. u radu [15]pokazao da Hahn-Banachov teorem ne povlači Teorem o maksimalnom idealu.Dakle, iz ovih tvrdnji možemo zaključiti sljedeće:

aksiom izbora ⇒ Teorem o maksimalnom idealu ⇒ Hahn-Banachov teorem, aliHahn-Banachov teorem ; Teorem o maksimalnom idealu ; aksiom izbora.

Sada ćemo navesti neke posljedice ovog teorema u slučaju kada je X normiranivektorski prostor s normom ‖·‖. Mnoge posljedice Hahn-Banachovog teorema vezanesu uz dualne prostore.

Korolarom 1 osigurana je egzistencija netrivijalnih neprekidnih funkcionala nanormiranom prostoru. Pokazuje nam i da takvih funkcionala ima puno, odnosno daje dualni prostor bogat.

1Ovaj teorem se u engleskoj literaturi najčešće navodi kao Prime ideal theorem.

22

Korolar 1. Ako je X normiran prostor i x0 ∈ X, x0 6= 0, onda postoji neprekidanlinearan funkcional x∗ na X, takav da je ‖x∗‖ = 1 i x∗(x0) = ‖x0‖.

Dokaz. Na potprostoru Y = λx0 : λ ∈ Φ s

f(λx0) = λ‖x0‖

definiran je linearan funkcional. Iz

f(x0) = ‖x0‖ i |f(λx0)| = |λ|‖x0‖ = ‖λx0‖

proizlazi ‖f‖ = 1. Dakle je f ∈ Y ′. Prema Hahn-Banachovom teoremu za normiraneprostore, postoji x∗ ∈ X ′ takav da je x∗(y) = f(y) za svako y ∈ Y i ‖x∗‖ = ‖f‖.Dakle je ‖x∗‖ = 1 i x∗(x0) = f(x0) = ‖x0‖.

Sljedeći korolar omogućava nam da normu bilo kojeg vektora izrazimo prekodjelovanja nekog funkcionala.

Korolar 2. Za svaki vektor x0 ∈ X vrijedi

‖x0‖ = max|x∗(x0)| : ‖x∗‖ = 1, x∗ ∈ X ′. (13)

Dokaz. Uzmimo da je x0 6= 0 jer je za x0 = 0 (13) očigledno. Iz definicije norme‖x∗‖ funkcionala x∗ ∈ X ′ slijedi |x∗(x0)| ≤ ‖x∗‖ · ‖x0‖, pa je ‖x0‖ ≥ d, gdje smo s doznačili desnu stranu formule (13). S druge strane prema Korolaru 1 postoji f ∈ X ′takav da je f(x0) = ‖x0‖ i ‖f‖ = 1, pa slijedi da je ‖x0‖ ≤ d, te

d = ‖x0‖ = max|x∗(x0)| : ‖x∗‖ = 1, x∗ ∈ X ′.

23

4.2 Teoremi o uniformnoj ograničenosti

U ovom poglavlju rada dokazat ćemo teoreme o ekvivalentnosti više vrsta ograničenosti.Neki od njih u literaturi se navode kao Banach-Steinhausov teorem. O rezultatimatih teorema razmišljalo se još 1910. godine, kada su Hellinger i Toeplitz dokazali daje niz ograničenih bilinearnih funkcionala (Bn, n ∈ N) na Hilbertovom prostoru, čijesu vrijednosti Bn(a, b) ograničene za svaki par (a, b), uniformno ograničen na svakojkugli. Iste godine, Lebesgue je dokazao da je slabo konvergentan red u L1 omeđen unormi. Banach i Steinhaus su 1927., uz malu pomoć S. Saksa, povezali ove rezultates pojmom rijetkog skupa koji je definiran u nastavku, te su iskazali generalnu tvrd-nju koja obuhvaća prethodna zaključivanja o uniformnoj ograničenosti. Dokazi ovihteorema zasnivaju se na Baireovom teoremu, no prije nego što ga iskažemo moramodefinirati nekoliko pojmova.

Napomena 2. Prisjetimo se da je skup S, odnosno familija (xj, j ∈ J), ograničenako i samo ako je sup ‖x‖ : x ∈ S <∞, odnosno sup ‖xj‖ : j ∈ J <∞.

Definicija 16. Skup A iz metričkog prostora (X, d) je rijedak (nigdje gust) u X akoje intA = ∅.

Definicija 17. Skup A iz metričkog prostora (X, d) je prve kategorije u X ako seA može prikazati kao unija od prebrojivo mnogo rijetkih skupova.

Iz ove definicije odmah se vidi da je unija od prebrojivo mnogo skupova prvekategorije opet skup prve kategorije.

Definicija 18. Skup A iz metričkog prostora (X, d) je druge kategorije u X ako onnije skup prve kategorije.

Sada možemo iskazati Baireov teorem koji će nam biti osnovni alat pri dokazi-vanju teorema koji slijede. Rene Baire je 1899. u svojoj doktorskoj disertacijinapisao: "Skup R sačinjava skup druge kategorije." Također je definirao skupoveprve i druge kategorije, te je vezano za potpune prostore govorio jedino o skupu R.Baireov teorem je u formi koja se koristi za potpune prostore formuliran tek 20.-akgodina kasnije.

Teorem 12. Potpun metrički prostor je skup druge kategorije. Štoviše, svaki neprazanotvoren podskup potpunog metričkog prostora je skup druge kategorije.

U dokazu ovog teorema trebat će nam sljedeća lema.

Lema 2. Unija od prebrojivo zatvorenih i rijetkih podskupova potpunog metričkogprostora je pravi podskup toga prostora.

24

Dokaz.Uzmimo da su (Fn, n ∈ N) rijetki i zatvoreni podskupovi u potpunom metričkom

prostoru X i dokažimo da je A =⋃n∈N

Fn 6= X.

Stavimo Un = X\Fn. Skup U1 je otvoren pa sadrži kuglu K(x1, r1) s r1 < 1.Pokažimo da bilo koji rijedak skup F ne sadrži nijednu kuglu: F ⊆ F , jer jesvaki skup podskup svog zatvarača, iz čega slijedi da je IntF ⊆ IntF = ∅, zbogmonotonosti interiora i definicije rijetkog skupa. Imamo da je IntF = ∅. Dakle,budući da je F2 rijedak skup, on ne sadrži nijednu kuglu, pa je U2∩K(x1, r1) neprazanotvoren skup. Tada skup U2∩K(x1, r1) sadrži kugluK(x2, r2) s r2 < 1

2. Primijenimo

li analogan postupak na skupove F3, F4, . . . , dolazimo do niza zatvorenih kugala:

K(x1, r1) ⊇ K(x2, r2) ⊇ .. ⊇ K(xn, rn) ⊇ ...

s tim da je rn < 1n, n ∈ N. Ako su p, q ≥ n, onda je xp, xq ∈ K(xn, rn), što povlači

d(xp, xq) <2n. Odavde zaključujemo da je (xn, n ∈ N) Cauchyjev niz, pa zbog pot-

punosti prostora X taj niz konvergira nekom elementu x0 ∈ X. Sada p ≥ n povlačixp ∈ K(xn, rn) pa prijelazom na limes po p dobivamo x0 ∈ K(xn, rn). Tada imamoda x0 /∈ Fn, te slijedi da x0 nije iz A.

Dokaz Teorema 12.Najprije ćemo dokazati da je potpun metrički prostor skup druge kategorije.

Pretpostavimo suprotno, odnosno da je

X =⋃n∈N

Xn, IntXk = ∅ (k ∈ N).

Odavde je

X =⋃n∈N

Xn, IntXk = ∅ (k ∈ N),

što je u suprotnosti s Lemom 2. Dakle, X je skup druge kategorije.Pokažimo sada da je svaki neprazan otvoren podskup potpunog metričkog prostoraskup druge kategorije. Uzmimo da je Ω ⊆ X otvoren neprazan skup i pretpostavimoda je Ω prve kategorije, tj.

Ω =⋃n∈N

Ωn, Int Ωk = ∅ (k ∈ N). (14)

Ako je K ⊂ Ω zatvorena kugla, onda (14) povlači

K =⋃n∈N

K ∩ Ωn. (15)

25

Budući da je Int (K ∩ Ωn) ⊆ Int Ωn = ∅ i da je zatvorena kugla potpunogmetričkog prostora potpun metrički prostor, (15) je u kontradikciji s Lemom 2.Dakle, Ω je skup druge kategorije.

Najprije ćemo navesti tri teorema, čije se modifikacije u literaturi mogu pronaćikao Banach-Steinhausov teorem (pogledati na primjer u [3], gdje se Teorem 13 navodikao Banach-Steinhausov teorem).

Sljedeći teorem nam kaže da ograničenost po točkama niza odozdo poluneprekid-nih funkcija, na nekom podskupu metričkog prostora X koji je druge kategorije,povlači uniformnu ograničenost na odgovarajućoj kugli K(x0, r). Prije iskaza, pod-sjetimo se kada za neku funkciju kažemo da je odozdo poluneprekidna.

Definicija 19. Funkcija f : X −→ R = [−∞,+∞] je odozdo poluneprekidna na Xako je za svaki a ∈ R skup x ∈ X : f(x) > a otvoren.

Teorem 13. (W. F. Osgood) Neka je X metrički prostor i (fj, j ∈ J) familija naX definiranih i na X odozdo poluneprekidnih realnih funkcija.

Ako postoji skup X0 ⊆ X druge kategorije takav da je za svaki x ∈ X0

sup |fj(x)| : j ∈ J <∞,

onda postoje kugla K(x0, r) i broj M > 0 takvi da je

|fj(x)| ≤M (x ∈ K(x0, r), j ∈ J).

Dokaz. Za j ∈ J i n ∈ N skup

Gjn = x ∈ X : |fj(x)| ≤ n

je zatvoren zbog poluneprekidnosti odozdo funkcije |fj|, koja slijedi iz poluneprekid-nosti odozdo kompozicije neprekidnog i odozdo poluneprekidnog preslikavanja. Tadaje i skup

Fn =⋂j∈J

Gjn

zatvoren i sastoji se od onih x ∈ X za koje je |fj(x)| ≤ n za svaki j ∈ J . Budući daje po pretpostavci skup |fj(x)| : j ∈ J ograničen za svaki x ∈ X0, to je

X0 ⊆⋃n∈N

Fn. (16)

Budući da je X0 skup druge kategorije, ne može se prikazati kao unija od prebrojivomnogo rijetkih skupova, pa iz (16) zaključujemo da postoji indeks m takav da skupFm nije rijedak. Tada je njegov interior neprazan i postoji kugla K(x0, r) takva daje

K(x0, r) ⊆ Fm = Fm.

26

Odavde slijedi da je|fj(x)| ≤ m

za svaki j ∈ J i svaki x ∈ K(x0, r).

Za razliku od prethodnog teorema u kojem smo promatrali poluneprekidne funkcije,Teorem 14 odnosi se na ograničenost odozdo poluneprekidnih polunormi. Lako sevidi da iz sljedećeg teorema direktno slijedi da ograničenost odozdo poluneprekidnepolunorme na skupu druge kategorije povlači njezinu neprekidnost.

Teorem 14. (I. M. Gelfand) Neka je X normiran prostor i (pj, j ∈ J) familijaodozdo poluneprekidnih polunormi na X. Ako postoji skup X0 ⊆ X druge kategorijetakav da je

sup pj(x) : j ∈ J <∞ (x ∈ X0), (17)

onda jep(x) = sup pj(x) : j ∈ J (18)

na X neprekidna polunorma i postoji broj M takav da je

p(x) ≤M · ‖x‖ (x ∈ X).

Dokaz. Prema Teoremu 13 postoje kugla K(x0, r) i broj M1 > 0 takvi da‖x− x0‖ ≤ r povlači da je pj(x) ≤M1, za j ∈ J, pa dobivamo

pj(x− x0) ≤ pj(x) + pj(−x0) ≤M1 + pj(x0) ≤ 2M1,

za j ∈ J i x ∈ K(x0, r). Dakle ‖x‖ ≤ r povlači pj(x) ≤ 2M1 za svaki j ∈ J. Ako jex 6= 0, onda je

∥∥∥r x

‖x‖

∥∥∥ ≤ r, pa je

pj

(rx

‖x‖

)≤ 2M1.

Odavde dobivamopj(x) ≤M‖x‖ (j ∈ J, x ∈ X), (19)

gdje je M = 2M1/r. Iz (19) slijedi p(x) ≤M‖x‖ za x ∈ X. Iz (18) i p(x) <∞ zbogsvojstava polunorme i supremuma, slijedi da je p polunorma na X:

• p(x) = sup pj(x) : j ∈ J ≥ 0 ∀x ∈ X

• p(λx) = sup pj(λx) : j ∈ J = |λ| sup pj(x) : j ∈ J = |λ|p(x)(λ ∈ Φ, x ∈ X)

• p(x+ y) = sup pj(x+ y) : j ∈ J ≤ sup pj(x) + pj(y) : j ∈ J≤ sup pj(x) : j ∈ J+ sup pj(y) : j ∈ J = p(x) + p(y) (x, y ∈ X),

27

pri čemu posljednja nejednakost slijedi iz ograničenosti polunormi pj.Sada je

p(x)− p(y) = p(x− y + y)− p(y)

≤ p(x− y) + p(y)− p(y) = p(x− y)

i na analogan načinp(y)− p(x) ≤ p(y − x) = p(x− y).

Odavde je|p(x)− p(y)| ≤ p(x− y),

iz čega slijedi da je

|p(x)− p(y)| ≤M‖x− y‖ (x, y ∈ X),

što pokazuje da je p neprekidan funkcional. Posebno je svaki od funkcionala pjneprekidan.

Slijedi teorem koji kaže da je, uz određene uvjete, familija linearnih operatorakoja je ograničena po točkama ujedno i uniformno ograničena.

Teorem 15. Neka su X i Y normirani prostori i (Aj, j ∈ J) familija operatora izL(X, Y ). Ako postoji skup X0 ⊆ X druge kategorije takav da je

sup ‖Ajx‖ : j ∈ J <∞ (x ∈ X0), (20)

onda jesup ‖Aj‖ : j ∈ J <∞. (21)

Dokaz. Spj(x) = ‖Ajx‖ (x ∈ X)

definirana je polunorma na X. Budući da se (20) svodi na (17), prema Teoremu 14postoji broj M > 0 takav da je pj(x) ≤M‖x‖ za svaki j ∈ J i svaki x ∈ X. Iz

‖Ajx‖ ≤M‖x‖ (j ∈ J, x ∈ X)

slijedi ‖Aj‖ ≤M za j ∈ J , pa je time (21) dokazano. Suština teorema o uniformnoj ograničenosti je ta da se ograničenost na svakom

mjestu prenosi na ograničenost na odgovarajućim kuglama. To se vidi iz sljedeća triteorema, koji se podrazumijevaju pod principom uniformne ograničenosti.

Teorem 16. Neka je X Banachov prostor i (x′j, j ∈ J) familija iz X ′. Sljedećetvrdnje su ekvivalentne:

(a) sup ‖x′j‖ : j ∈ J <∞

28

(b) sup |x′j(x)| : j ∈ J <∞ za svaki x ∈ X.

Dokaz. Ako u Teoremu 15 uzmemo X0 = X, Y = Φ i Aj = x′j, onda pret-postavka (b) ovog teorema prelazi u (20). Budući da je prema Baireovom teoremuBanachov prostor skup druge kategorije, vrijedi (21), tj.

sup ‖x′j‖ : j ∈ J <∞.

Napomenimo da ćemo drugi dual normiranog prostora X označavati s X ′′, pri

čemu podrazumijevamo da je drugi dual dan na sljedeći način:

X ′′ = (X ′)′.

Prije dokaza sljedećeg teorema, uvest ćemo pojam kanonskog ulaganja. Za poče-tak, prisjetimo se da je i : X −→ Y, gdje su X i Y normirani prostori, (neprekidno)ulaganje ukoliko je neprekidna linearna injekcija. Za vektor x0 ∈ X s x′ 7−→ x′(x0)definiran je linearan funkcional f na X ′. Kako je

|f(x′)| = |x′(x0)| ≤ ‖x′‖ · ‖x0‖,

funkcional f je ograničen i ‖f‖ ≤ ‖x0‖. Prema Korolaru 1 postoji funkcional y′ ∈ X ′takav da je ‖y′‖ = 1 i y′(x0) = ‖x0‖. Sada f(y′) = y′(x0) = ‖x0‖ povlači da je‖f‖ ≥ ‖x0‖. Slijedi da je ‖f‖ = ‖x0‖. Kako je f neprekidan linearan funkcional naX ′, f je iz X ′′. Time je s x0 7−→ f, odnosno s

(κx0)(x′) = x′(x0) (x′ ∈ X ′),

definiran operator κ s X u X ′′. Ovako definiran neprekidan linearan operatorκ : X −→ X ′′ naziva se kanonsko ulaganje normiranog prostora X u njegov drugidual X ′′.

Teorem 17. Neka je X normiran prostor i (xj, j ∈ J) familija iz X. Sljedećetvrdnje su ekvivalentne:

(a) sup ‖xj‖ : j ∈ J <∞

(b) sup |x′(xj)| : j ∈ J <∞ za svaki x′ ∈ X ′.

Dokaz. Dokažimo da (b) povlači (a).Neka je κ : X −→ X ′′ kanonsko ulaganje prostora X u X ′′:

(κx)(x′) = x′(x) (x′ ∈ X ′).

Za familiju (xj, j ∈ J) iz X promotrimo familiju (κxj, j ∈ J) iz X ′′. Zbog pret-postavke (b) vrijedi:

sup ‖κxj(x′)‖ : j ∈ J

29

= sup ‖x′(xj)‖ : j ∈ J <∞,

te iz Teorema 16 slijedi da je

sup ‖κxj‖ : j ∈ J <∞.

Odavde zbog ‖κx‖ = ‖x‖, x ∈ X, dobivamo:

sup ‖xj‖ : j ∈ J <∞.

Obratna implikacija lako slijedi jer neprekidan linearan funkcional ograničene skupoveiz X preslikava u ograničene skupove u polju Φ.

Teorem 18. Neka je X Banachov prostor, Y normiran prostor i (Aj, j ∈ J) familijaiz L(X, Y ). Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne:

(a) sup ‖Aj‖ : j ∈ J <∞

(b) sup ‖Ajx‖ : j ∈ J <∞ za svaki x ∈ X

(c) sup |y′(Ajx)| : j ∈ J <∞ za svaki x ∈ X i svaki y′ ∈ Y ′.

Dokaz. Budući da je Banachov prostor skup druge kategorije, iz Teorema 15slijedi da (b) povlači (a). Dokažimo da (c) povlači (b). Neka je

sup |y′(Ajx)| : j ∈ J <∞ (x ∈ X, y′ ∈ Y ′). (22)

Ako za x ∈ X stavimo yj = Ajx, onda (22) prelazi u

sup |y′(yj)| : j ∈ J <∞ (y′ ∈ Y ′),

iz čega prema Teoremu 17 slijedi da je

sup ‖yj‖ : j ∈ J <∞,

to jest vrijedi da je

sup ‖Ajx‖ : j ∈ J <∞ (x ∈ X).

Time je implikacija (c) =⇒ (b) dokazana.Uniformna ograničenost povlači ograničenost po točkama, pa tvrdnja (a) povlačitvrdnju (b). Neprekidan linearan funkcional ograničen skup preslikava u ograničenskup, pa vrijedi i da (b) povlači (c).

30

4.3 Teorem o otvorenom preslikavanju

Posljednji u nizu fundamentalnih teorema funkcionalne analize koji ćemo obraditiu ovom radu je teorem o otvorenom preslikavanju. Dokazao ga je Schauder, te je unjegovom dokazu ključan Baireov teorem kojeg smo naveli u Potpoglavlju 2. Navestćemo i dvije njegove direktne posljedice, a to su teorem o inverznom operatoru iteorem o zatvorenom grafu. Kasnije je dokazano da teorem o zatvorenom grafupovlači teorem o otvorenom preslikavanju, iz čega slijedi da su oni ekvivalentni.Definirajmo što je to otvoreno preslikavanje.

Definicija 20. Funkcija f : X −→ Y je otvoreno preslikavanje na X ako je za svakiotvoren skup U ⊆ X i skup f(U) otvoren u Y.

Teorem 19. (Teorem o otvorenom preslikavanju) Neka su X i Y Banachovi prostorii T neprekidan linearan operator s X u Y koji je surjekcija. Tada je T otvorenopreslikavanje.

Dokaz. a) Dokazat ćemo ekvivalentnu tvrdnju, odnosno da pretpostavke ovogteorema povlače da postoji konstanta c > 0 takva da je

T (KX(0, 1)) ⊃ KY (0, c). (23)

Zaista, svojstvo (23) povlači da operator T svaki otvoren skup iz X preslikavau neki otvoren skup iz Y. Uzmimo proizvoljan otvoren skup U iz X i pokažimo daje T (U) otvoren. Fiksirajmo proizvoljnu točku y0 ∈ T (U), takvu da je y0 = Tx0

za neki x0 ∈ U. Neka je r > 0 takav da je K(x0, r) ⊂ U , to jest x0 + K(0, r) ⊂ U.Slijedi da je

y0 + T (K(0, r)) ⊂ T (U).

Koristeći (23), dobivamoT (K(0, r)) ⊃ K(0, rc),

te slijedi da jeK(y0, rc) ⊂ T (U).

b) Najprije ćemo pokazati da za linearan, surjektivan operator T : X −→ Y postojikonstanta c > 0 takva da je

T (K(0, 1)) ⊃ K(0, 2c). (24)

U tu svrhu, neka jeXn := nT (K(0, 1)). Kako je T surjektivan, imamo da je⋃n∈N

Xn =

Y, te po Baireovom teoremu postoji neki n0 ∈ N takav da je int (Xn0) 6= ∅. Kako jey 7→ ny, y ∈ Y, topološki izomorfizam, slijedi da je

int [T (K(0, 1))] 6= ∅.

31

Uzmimo c > 0 i y0 ∈ Y takve da je

K(y0, 4c) ⊂ T (K(0, 1)). (25)

Lako se vidi da zbog simetričnosti skupa T (K(0, 1)) u odnosu na nulu vrijedi i da je

− y0 ∈ T (K(0, 1)). (26)

Zbrojimo li (25) i (26), dobivamo da je

K(0, 4c) ⊂ T (K(0, 1)) + T (K(0, 1)).

Budući da je T (K(0, 1)) konveksan skup, imamo da je

T (K(0, 1)) + T (K(0, 1)) = 2T (K(0, 1)),

iz čega slijedi (24).b) Sada ćemo pokazati da za neprekidan linearan operator s X u Y koji zado-

voljava (24) vrijedi da jeT (K(0, 1)) ⊃ K(0, c).

Želimo pokazati da postoji neki x ∈ X takav da je ‖x‖ ≤ 1 i Tx = y. Zbog (24)možemo odabrati y ∈ Y takav da je ‖y‖ < c i 2y = lim

n→∞Tzn, gdje su zn ∈ K(0, 1).

Tada za svaki ε > 0 postoji zn0 ∈ X takav da je

‖zn0‖ < 1 i ‖2y − Tzn0‖ < 2ε.

Iz ovoga slijedi da za svaki ε > 0 postoji z ∈ X (z =zn0

2) takav da je

‖z‖ < 1

2i ‖y − Tz‖ < ε.

Odaberemo li ε = c2, postoji z1 ∈ X takav da je

‖z1‖ <1

2i ‖y − Tz1‖ <

c

2.

Primijenimo li isti postupak na y−Tz1 (umjesto na y), te odaberemo ε = c4, postoji

z2 ∈ X takav da je

‖z2‖ <1

4i ‖(y − Tz1)− Tz2‖ <

c

4.

Nastavimo li, induktivno dobivamo niz (zn, n ∈ N), takav da je

‖zn‖ <1

2ni ‖y − T (z1 + z2 + ...+ zn)‖ < c

2n,

32

za svaki n ∈ N. Slijedi da je niz xn = z1 + z2 + ...+ zn Cauchyjev niz. Neka xn → x,pri čemu je očito ‖x‖ < 1 i y = Tx, zbog neprekidnosti od T .

Napomenimo da se analogno otvorenom preslikavanju, definiraju i zatvorenapreslikavanja. Pri tome vrijedi da su otvorena, zatvorena i neprekidna preslika-vanja međusobno nezavisna, te da nikoja dva ne impliciraju treće. Poznato namje da neprekidnost preslikavanja f znači da je original svakog otvorenog skupaV ⊆ Y otvoren skup u X. No, nije točno da neprekidna funkcija uvijek pres-likava otvoren skup u otvoren skup. Jednostavan primjer neprekidnog preslikavanjakoje nije otvoreno je funkcija f(x) = 0, pri čemu f : R −→ R.

Teorem koji slijedi govori o neprekidnosti inverznog operatora.

Teorem 20. (Banachov teorem o inverznom operatoru) Neprekidna linearna bi-jekcija s Banachovog prostora na Banachov prostor je izomorfizam, tj. inverznopreslikavanje također je neprekidno.

Dokaz. Ako je A neprekidna bijekcija s Banachovog prostora X na Banachovprostor Y, onda je prema Teoremu 19 A otvoreno preslikavanje. No, tada je i A−1

neprekidno preslikavanje, pa je A izomorfizam prostora X i Y . Sljedeći teorem daje karakterizaciju neprekidnog operatora u terminima njegovog

grafa. Ekvivalentan je teoremu o otvorenom preslikavanju.

Teorem 21. (Teorem o zatvorenom grafu) Ako je graf linearnog operatora s Bana-chovog prostora u Banachov prostor zatvoren skup, onda je taj operator neprekidan.

Dokaz. Neka je A linearno preslikavanje Banachovog prostora X u Banachovprostor Y sa svojstvom da je graf GA operatora A zatvoren skup. Budući da je GA

zatvoren potprostor Banachovog prostora X × Y , GA je Banachov prostor. Neka jep1 kanonska projekcija s X × Y na X i p2 kanonska projekcija s X × Y na Y

p1(x, y) = x, p2(x, y) = y (x ∈ X, y ∈ Y ).

S p označimo restrikciju funkcije p1 na GA, tj. preslikavanje s GA na X definirano s

p(x,Ax) = p1(x,Ax) = x, (x,Ax) ∈ GA.

Operator p : GA −→ X je linearan i neprekidan jer je p1 neprekidan operator

‖p1(x, y)‖ = ‖x‖ ≤ (‖x‖2 + ‖y‖2)12 = ‖(x, y)‖.

Vidimo da je p bijekcija s GA na X, pa je prema Teoremu 20 p−1 neprekidan operators X na GA. Budući da je

Ax = p2(x,Ax) = p2(p−1x) = (p2 p−1)x (x ∈ X),

neprekidnost operatora p−1 i p2 povlači neprekidnost operatora A = p2 p−1.

33

Dokažimo sada da iz Teorema 21 slijedi Teorem 19. Pri tome ćemo Teorem 21zapisati malo drugačije: ukoliko je graf linearnog operatora s Banachovog prostorau Banachov prostor zatvoren skup, onda je taj operator ograničen. To smijemo,budući da je neki linearan operator neprekidan ako i samo ako je ograničen. Sadaćemo iskazati teorem vezan za kvocijentne prostore koji će nam biti potreban unastavku, te ćemo ujedno navesti i jedan primjer otvorenog preslikavanja. Neka jenadalje s d(x, Y ) := inf ‖x − y‖ : y ∈ Y definirana udaljenost vektora x ∈ X odpotprostora Y.

Lema 3. (F.Riesz) Ako je Y zatvoren potprostor normiranog prostora X i ako jeY 6= X, onda za svaki ε > 0 postoji jedinični vektor xε ∈ X takav da je

d(xε, Y ) ≥ 1− ε. (27)

Ako je dimY <∞, onda možemo uzeti jedinični vektor xε takav da je d(xε, Y ) = 1.

Dokaz. Neka je 0 < ε < 1 proizvoljan. Uzmimo δ > 0 takav da je δ <ε

1− ε.

Za x0 ∈ X, x0 /∈ Y definiramo

d := inf ‖x0 − y‖ : y ∈ Y = d(x0, Y ).

Tada je d > 0 zbog zatvorenosti prostora Y, pa za broj d+ dδ postoji vektor y0 ∈ Ytakav da je

d ≤ ‖x0 − y0‖ ≤ d+ dδ. (28)

Za vektore =

x0 − y0

‖x0 − y0‖imamo: ‖e‖ = 1 i za y ∈ Y

‖e−y‖ =1

‖x0 − y0‖‖x0− (y0 +‖x0−y0‖y)‖ ≥ d

‖x0 − y0‖≥ d

d+ dδ=

1

1 + δ> 1−ε.

Iz ‖e − y‖ > 1 − ε za svaki y ∈ Y slijedi (27) za xε = e. Ako je dimY < ∞, ondaje potprostor Y0 = L(x0, Y ) konačno dimenzionalan. Ako dokazano primijenimo naprostor Y0, onda za svaki prirodni broj n postoji jedinični vektor xn u Y0 takav daje

d(xn, Y ) ≥ 1− 1

n.

Niz (xn, n ∈ N) jediničnih vektora iz Y0 ima konvergentan podniz (xp(n), n ∈ N).Neka je x = limxp(n). Tada je x jedinični vektor i za svaki y ∈ Y imamo

1− 1

p(n)≤ ‖xp(n) − y‖.

34

Odavde za n→∞ dobivamo 1 ≤ ‖x−y‖. Budući da za svaki y ∈ Y vrijedi ‖x−y‖ ≥1, slijedi da je d(x, Y ) ≥ 1. S druge strane 0 ∈ Y povlači d(x, Y ) ≤ ‖x − 0‖ = 1.Dakle, d(x, Y ) = 1.

Teorem 22. I. Kvocijentni prostor X/Y normiranog prostora X po zatvorenompotprostoru Y je normiran prostor u odnosu na normu:

‖x+ Y ‖ = inf ‖x+ y‖ : y ∈ Y (x ∈ X). (29)

II. Kanonska projekcija

π(x) = x+ Y (x ∈ X) (30)

s X na X/Y je neprekidan linearan operator i ‖π‖ ≤ 1. Ako je Y 6= X, onda je‖π‖ = 1. Štoviše, π je otvoreno preslikavanje s X na X/Y.

Dokaz.Najprije ćemo pokazati da iz pretpostavki teorema slijede određena svojstva, te

ćemo korištenjem tih svojstava dokazati tvrdnje I i II ovog teorema.a) Dokažimo da je ‖π(x)‖ ≤ ‖x‖, za x ∈ X.Iz (29), (30) i 0 ∈ Y slijedi ‖x+ Y ‖ ≤ ‖x‖, tj.

‖π(x)‖ ≤ ‖x‖ (x ∈ X). (31)

b)Sada ćemo dokazati da je ‖π(u+ v)‖ ≤ ‖π(u)‖+ ‖π(v)‖, za u, v ∈ X.Uzmimo u, v ∈ X. Za ε > 0, zbog (29), postoje vektori u1 ∈ u + Y i v1 ∈ v + Ytakvi da je

‖u1‖ ≤ ‖π(u)‖+ ε, ‖v1‖ ≤ ‖π(v)‖+ ε.

Odavde i iz (31) dobivamo

‖π(u1 + v1)‖ ≤ ‖u1 + v1‖ ≤ ‖π(u)‖+ ‖π(v)‖+ 2ε.

Budući da je π(u+ v) = π(u1 + v1), vrijedi da je ‖π(u+ v)‖ ≤ ‖π(u)‖+ ‖π(v)‖+ 2εodakle zbog proizvoljnosti broja ε > 0 dobivamo:

‖π(u+ v)‖ ≤ ‖π(u)‖+ ‖π(v)‖.

c) Dokažimo da je ‖λπ(x)‖ = |λ| · ‖π(x)‖, za λ 6= 0.Ako je λ 6= 0, onda

‖λπ(x)‖ = ‖λx+ Y ‖ = inf ‖λx+ y‖ : y ∈ Y

= |λ| inf ‖x+y

λ‖ : y ∈ Y = |λ|‖x+ Y ‖

35

povlači‖λπ(x)‖ = |λ| · ‖π(x)‖.

d) Dokazat ćemo da ‖π(x)‖ = 0, povlači da je π(x) = Y.Ako je ‖π(x)‖ = 0, onda postoji niz (yn, n ∈ N) u Y takav da ‖x + yn‖ → 0. Tadayn → −x, pa je x ∈ Y zbog zatvorenosti potprostora Y . Budući da ‖π(x)‖ = 0povlači x ∈ Y, slijedi da je x+ Y = Y. Zaključujemo da ‖π(x)‖ = 0⇒ π(x) = Y.

Dokaz tvrdnje I. Svojstva b), c) i d) pokazuju da je x + Y 7−→ ‖x + Y ‖ normana X/Y.

Dokaz tvrdnje II. Svojstvo a) daje ograničenost linearnog operatora π i ‖π‖ ≤ 1.Ako je Y 6= X, onda za ε > 0 prema Rieszovoj lemi postoji jedinični vektor xε ∈ Xtakav da je

1− ε ≤ d(xε, Y ) = inf ‖xε − y‖ : y ∈ Y = ‖π(xε)‖.

Lako se vidi da je 1− ε ≤ ‖π‖, što povlači ‖π‖ = 1.Dokažimo da preslikavanje π kuglu K(0, r) prevodi na kuglu

K(0, r) = x ∈ X : ‖x‖ < r

gdje je 0 = Y i X = X/Y. Zaista ‖x‖ < r pokazuje da je ‖x‖ + ε < r za nekiε > 0. Nadalje postoji vektor x ∈ X takav da je ‖x‖ ≤ ‖x‖ + ε. Sada je πx = x ix ∈ K(0, r). To pokazuje da je

K(0, r) ⊆ πK(0, r).

Budući da ‖x‖ < r povlači da je ‖πx‖ < r, vidimo da je πK(0, r) = K(0, r). Izovoga slijedi otvorenost preslikavanja π u nuli. Iskoristimo li tvrdnju koja kaže daje linearno preslikavanje A : X −→ Y koje je otvoreno u jednoj točki, otvoreno nacijelom prostoru X, slijedi da je π otvoreno preslikavanje na X.

Dokaz da Teorem 21 povlači Teorem 19.Dokaz se sastoji od dva dijela.a) Neka su X i Y normirani prostori i A ∈ L(X, Y ). Dokazat ćemo da tada postojijedinstven operator A ∈ L(X/KerA) takav da je Aπ = A, te da je operator Ainjekcija i vrijedi ImA = Im A.Definirajmo A([x]) = Ax. Jasno je da je A dobro definiran jer [x] = [x′] povlačix − x′ ∈ KerA pa je Ax = Ax′. Operator A je očito linearan. Pokažimo da jeneprekidan u točki 0. Uzmimo otvoren skup V ⊆ Y koji sadrži 0. Tada, jer je Aneprekidan, postoji otvoren skup U ⊆ X takav da je 0 ∈ U i A(U) ⊆ V. Budućida je π otvoreno preslikavanje, i skup π(U) je otvoren. Pri tome vrijedi A(π(U)) =A(U) ⊆ V.

b) Pretpostavimo da vrijedi Teorem 21 i uzmimo surjektivan linearan opera-tor A ∈ L(X, Y ), pri čemu su X i Y Banachovi prostori. Definirajmo operator

36

G : Y −→ X/KerA s G(Ay) = [x]. Operator G je dobro definiran: ako je Ax = Ax′

onda je x−x′ ∈ KerA pa je [x] = [x′]. G je linearan, te je G zapravo inverz operatoraA. Pokažimo da je graf operatora G zatvoren.Neka je ((yn, [xn]), n ∈ N) niz u Γ(G) koji konvergira prema (y, [x]). Kako je(yn, [xn]) ∈ Γ(G), imamo G(yn) = [xn], odakle je Axn = yn, za svaki n ∈ N. Izkonvergencije niza po komponentama vidimo da yn → y i [xn]→ [x].Ovo povlači da‖[xn − x]‖ → 0, odnosno inf ‖xn − x − v‖ : v ∈ KerA → 0. Zbog toga postojiniz (vn, n ∈ N) u KerA takav da ‖xn − x − vn‖ → 0. Odavde zaključujemo daxn − vn → x. Zbog neprekidnosti operatora A, slijedi A(xn − vn) → Ax, a kakoje Axn = yn, za svaki n ∈ N, ovo možemo pisati kao yn → Ax. Kako smo prijezaključili da yn → y, slijedi da je Ax = y. Zato je (y, [x]) = (Ax, [x]) ∈ Γ(G). Timeje pokazano da je graf operatora G zatvoren. Prostori X/KerA i Y su Banachovi,pa Teorem 21 povlači da je operator G neprekidan. Zbog toga je njegov inverz Aotvoreno preslikavanje. Vrijedi da je A = Aπ, pa je operator A kao kompozicijaotvorenih preslikavanja, otvoreno preslikavanje.

Pogledajmo neke direktne posljedice Teorema 19, 20 i 21. Sljedeći korolar jeposljedica Teorema 20 i govori o ekvivalentnosti dviju normi.

Korolar 3. Neka su | · | i ‖ · ‖ dvije norme na vektorskom prostoru X i neka su(X, | · |) i (X, ‖ · ‖) Banachovi prostori. Ako postoji konstanta C > 0 takva da je

|x| < C‖x‖ (x ∈ X), (32)

onda su te dvije norme ekvivalentne, tj. postoji broj c > 0 takav da je

c‖x‖ ≤ |x| ≤ C‖x‖ (x ∈ X). (33)

Dokaz. Prema (32) jedinični operator

I : X −→ X

je ograničen operator s Banachovog prostora (X, ‖ · ‖) na Banachov prostor (X, | · |).Tada Teorem 20 povlači neprekidnost inverznog operatora I−1 s (X, | · |) na (X, ‖·‖),a to daje egzistenciju broja C1 > 0 takvog da je

‖x‖ = ‖I−1x‖ ≤ C1|x| (x ∈ X).

Odavde slijedi (33) s c =1

C1

.

Slijede dva korolara, oba posljedice Teorema 20, koja govore o izomorfizmimadvaju prostora.

Korolar 4. Ako je Banachov prostor X direktna suma zatvorenih potprostora X1 iX2, onda su Banachovi prostori X/X1 i X2 topološki izomorfni.

37

Dokaz. Restrikcija p kanonskog preslikavanja π : x 7−→ x+X1 na potprostor X2

je linearna bijekcija s X2 na X/X1 i ‖p‖ ≤ ‖π‖ ≤ 1. Prema Teoremu 20 preslikavanjep−1 je neprekidno, te su X/X1 i X2 izomorfni.

Korolar 5. Neka je X Banachov prostor i X1, .., Xn zatvoreni potprostori od Xtakvi da je

X = X1 + .. +Xn.

Tada su Banachovi prostori X1 × ..×Xn i X izomorfni. Kažemo da je X direktnatopološka suma prostora X1, .., Xn.

Dokaz. S‖(x1, .., xn)‖ = ‖x1‖+ ‖x2‖+ ..+ ‖xn‖

je dana norma na prostoru X1× ..×Xn. Preslikavanje A : (x1, ..., xn) 7−→ x1 + ..+xnje neprekidna bijekcija s X1 × .. ×Xn na X. Prema Teoremu 20, A je izomorfizamprostora X1 × ..×Xn i X.

Prije sljedećeg korolara potrebno je definirati projektor. Neka je X direktnasuma prostora X1 i X2. Tada se svaki vektor x ∈ X može na jedinstven načinzapisati u obliku x = x1 + x2, x1 ∈ X1, x2 ∈ X2. Definirajmo operator P : X −→ Xrelacijom P (x) = x1. Vidimo da je P ∈ L(X), ImP = X1 i KerP = X2. Nadalje,

X1 = ImP = x ∈ X : Px = x.

Tako definiran linearan operator P zove se projektor prostora X na potprostor X1

duž potprostora X2.

Korolar 6. Ako su X1, .., Xn zatvoreni potprostori Banachovog prostora X i akoje X = X1 + .. +Xn, onda su projektori Pi : X −→ Xi za koje je R(Pi) = Xi,Pi|Xj = 0 za i 6= j (i, j = 1, .., n) neprekidni.

Dokaz. Stavimo P = P2+..+Pn i dokažimo da je graf G1 projektora P1 zatvorenskup. Neka (xk, P1xk) → (x0, y0). Tada xk → x0 i P1xk → y0 pa xk = P1xk + Pxkpovlači da niz k 7−→ Pxk konvergira nekom vektoru u0 ∈ X2 + .. +Xn. Iz x0 =y0 +u0 i y0 ∈ X1, u0 ∈ X2 + .. +Xn slijedi y0 = P1x0. Dakle (xk, P1xk)→ (x0, P1x0),što pokazuje da je G1 zatvoren skup. Na isti način dokazuje se zatvorenost grafaoperatora P2, .., Pn. Prema Teoremu 21, budući da je graf operatora Pt zatvoren, tajoperator je neprekidan.

38

Literatura

[1] D. Bakić, Normirani prostori, skriptahttp://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/np/np-predavanja-v2.pdf

[2] N. Bourbaki, Elements of the history of mathematics, Springer, New York, 1998.

[3] H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations,Springer, New York, 2011.

[4] B. Guljaš, Normirani prostori i operatori, skriptahttp://web.math.pmf.unizg.hr/∼guljas/skripte/normirani_prostori.pdf

[5] H. Hahn, Uber Folgen linearer Operationen, Monatsh. fur Math. and Phys.,Volume 32, 1.–88., 1922.

[6] J. D. Halpern and A. Levy, The Boolean prime ideal theorem does not implythe axiom of choice, Proc. of Symposium Pure Math. of the AMS 13, Part I,83.–134., 1971.

[7] S. H. Jones, Applications of the Baire category theorem, Real analysis exchange,Volume 23, 357.–816., 1999.

[8] D. Jukić, Realna analiza, skriptahttp://www.mathos.unios.hr/∼jukicd/realna/materijali.html

[9] H. Kraljević, Vektorski prostori, skriptahttp://www.mathos.unios.hr/vektorski/skripta.pdf

[10] S. G. Krantz, A Guide to Functional Analysis, Mathematical Association ofAmerica, Washington, 2013.

[11] S. Kurepa, Funkcionalna analiza, Školska knjiga, Zagreb, 1981.

[12] W. A. J. Luxemburg, Two applications of the method of construction by ultra-powers to analysis, Bull. Am. Math. Soc. 68, 233.–237., 1962.

[13] L. Narici, On the Hahn-Banach theorem, Advanced Courses of MathematicalAnalysis II, 87.–122. World Sci., Hackensack, 2007.

[14] N. Okičić, Funkcionalna analiza, skriptahttp://www.pmf.untz.ba/studijski_odsjeci/mat/zaposleni/NerminOkicic/PMF

39

[15] D. Pincus, Independence of the prime ideal theorem from the Hahn Banachtheorem, Bull. Am. Math. Soc. 78, 766.–770., 1962.

40

SažetakU radu su iskazani i dokazani najbitniji teoremi funkcionalne analize. Najprije jedan kratak povijesni pregled u kojem su navedeni ključni rezultati koji su utjecalina razvoj funkcionalne analize. Zatim su uvedeni neki osnovni pojmovi koji se ko-riste u radu. Obrađen je Hahn-Banachov teorem i neke njegove direktne posljedice.Definirani su neki bitni pojmovi, kao što su rijedak skup, skup prve i skup drugekategorije, te su zatim dokazani Baireov teorem i rezultati koji se tiču uniformneograničenosti. Dokazan je teorem o otvorenom preslikavanju, te je posebno naglašenarazlika između otvorenih i neprekidnih preslikavanja. Navedene su i dvije posljediceovog teorema, teorem o zatvorenom grafu i teorem o inverznom operatoru. Posebnosu u ovom poglavlju obrađeni i neki rezultati vezani uz kvocijentne prostore.

41

Title and summaryFundamental theorems of functional analysis

In this paper fundamental theorems of functional analysis have been stated andproved. First, a brief history in which a list of the most important results which af-fected development of functional analysis are given. Furthermore, some elementarynotions used in the paper are introduced. The Hahn-Banach theorem is stated, to-gether with some of his consequences. Some fundamental notions, such as nowheredense set, set of first category and set of second category, are defined and clarified,after which the Baire theorem and results concerning uniform boundedness prin-ciple are proved. The open mapping theorem is proved with particular attentionon difference between continuous and open mappings. Two consequences of openmapping theorem are given: closed graph theorem and Banach inverse mappingtheorem. Some results about quotient spaces are also tackled in this section.

42

ŽivotopisRođena sam 26. ožujka 1991. godine u Vukovaru. Godine 1997. upisala sam osnovnuškolu "Borovo" u Borovu, koju sam završila 2005. godine. Nakon toga, upisala samGimnaziju "Vukovar" u Vukovaru, koju sam završila 2009. godine. Iste godine, up-isala sam se na Odjel za matematiku, Sveučilišta J. J. Strossmayera u Osijeku, nakojem sam 2012. završila Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Od 2012.sam studentica diplomskog studija, smjer Financijska matematika i statistika. Nadrugoj godini diplomskog studija dobila sam nagradu Lions kluba Osijek. Tijekomstudija sudjelovala sam u izvannastavnim aktivnostima u sklopu Odjela i Udrugematematičara Osijek, kao što su Zimska matematička škola i pripreme učenika sred-njih škola za natjecanja.

43