4. ÜÇGENLER - II4.1 Merkezil Benzerlik ve Benzer Üçgenler

4.2 Üçgende Alan

4.3 Desargues Teoremi

4.4 Pappus Teoremi

4.5 Van Aubel Teoremi-I

4.6 Ceva Teoremi ve Karşıtı

4.7 Menelaus Teoremi ve Karşıtı

4.8 Temel Orantı Teoremi ve Karşıtı

4.9 Routh Teoremi

4.10 Tales Teoremler

4.10.1 I.Tales Teoremi

4.10.2 II.Tales Teoremi

4.11 Açıortay Teoremleri

4.11.1 İç Açıortay Teoremi

4.11.2 Steiner-Lehmus Teoremi

4.11.3 Dış Açıortay Teoremi

4.12 Heron Alan Formülü

4.13 Öklit Teoremleri ve Pisagor Teoremi

4.13.1 I.Öklit Teoremi

4.13.2 II.Öklit Teoremi

4.13.3 III.Öklit Teoremi

4.13.4 Pisagor Teoremi ve Karşıtı

4.13.5 IV.Öklit Teoremi

4.14 Van Aubel Teoremi-II

4.15 Kosinüs Teoremi

4.16 Kenarortay Teoremi

4.17 Leibniz Teoremi

4.18 Carnot Teoremi-I

4.19 Stewart Teoremi

4.20 Altın Üçgen

4.21 Pedal Üçgen ve Ortik Üçgen

4.22 Dokuz Nokta Çemberi

4.23 Euler Doğrusu

4.24 Simson Doğrusu

4.25 Fermat Noktası

4.26 Gergonne Noktası

4.27 Nagel Noktası

4.28 Napolyon Noktası

125

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ"Özel bir yeteneğim yok,

yalnızca aşırı meraklıyım." Albert Einstein

ÜÇGENLER - II

Bu bölümde; 1.bölümde tanıdı-ğımız üçgenleri tekrar ele ala-cağız. Bu kez, bundan önceincelenen olgularla üçgenlere daha yakından bakacağız.

BÖLÜM4

126

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.1 Merkezil Benzerlik ve Benzer Üçgenler

4.2 Üçgende Alan

Aşağıdaki şartlar sağlandığında; A' noktasına, A noktasının O ya göre merkezil benze-ri denir.

1) A' noktası, OA doğrusu üzerindedir.

2) Verilen (sıfırdan farklı) k sayısı için, IOA'I=k.IOAI dır.

3) k>0 olduğunda; O noktası [AA'] doğru parçasının dışında, k<0 olduğunda;O noktası [AA'] doğru parçasının içindedir.

Merkezil benzerliğin tanımından faydalanıp, benzer üçgenleri inceleyelim:* İki üçgenin köşeleri arasında yapılan bire bir eşlemede, karşılıklı açılar eş ve kenar uzunluklarıorantılı ise bu iki üçgene benzer üçgenler denir.

ABC ve A'B'C' üçgenleri için; s(A)=s(A'), s(B)=s(B'), s(C)=s(C') veIABI:IA'B'I=IBCI:IB'C'I=IACI:IA'C'I=k ⇒ ABC ve A'B'C' üçgenleri benzer olur.

Bu benzerlik ABC ≈ A'B'C' şeklinde gösterilir.

* Benzer iki üçgenin kenar uzunlukları oranı, benzerlik oranıdır. Buradan şu sonucu çıkarabiliriz:eş üçgenler de benzerdir ve benzerlik oranları da 1 dir. * İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarlarının uzunlukları orantılı ve bu kenarlar arasında kalan açıla-rı eş ise, bu iki üçgen benzer olur. Bu benzerliğe KAK Benzerliği denmektedir. Yani;

Bir çokgensel bölgeye, bir ve yalnız bir pozitif reel sayı karşılık gelir.

Bir Ç bölgesine karşılık gelen pozitif reel sayıya, Ç bölgesinin alanı denir ve A(Ç) ile gösterilir.

Bir düzlemin her A noktası-nı, O merkezine ve bütünnoktalar için sabit olan ksayısına göre, A' merkezilbenzerliğine dönüştüren birdönüşüme, düzlemin birmerkezil benzerliği adı veri-lir. O merkezine benzerlikmerkezi ve k sayısına dabenzerlik katsayısı denir.(Ressamlar tarafındanresimleri istenilen orandabüyültmek ya da küçültmekde bu değil midir zaten?)

Merkezil benzerliğin temelözellikleri;

1) O merkezinden geçmeyen birdoğru üzerinde bulunan [AB]doğru parçası; [AB] ye paralelve uzunluğu IA'B'I=kIABI ilebelirli bir [A'B'] doğru parçası-na dönüşür.

2) Merkezil benzerlik, bir doğru-yu kendisine paralel olan birdoğruya dönüştürür.

3) Doğrular arasındaki açınındeğeri korunur yani değişmez.

4) Merkezil olarak benzer olanher şekil çiftinde; karşıt doğruparçaları orantılı, karşıt açılarise birbirine eşittir.

5) Merkezil bir benzerlikte, eldeedilen şeklin alanının, verilenşeklin alanına oranı benzerlikkatsayısının karesine eşittir.

6) İkişer ikişer benzer olan üçşeklin benzerlik merkezleriaynı doğru üzerindedir.

7) Eşit olmayan ve eşmerkezlibulunmayan herhangi ikidaire, merkezil benzer olarakdüşünülebilir.

İlk önce benzerliğin tanımı içinmerkezil benzerliği göreceğiz.(Şunu belirtmeliyiz ki merkezilbenzerliğin sadece tanımınıgöreceğiz.) Sonra da üçgendealan vb. konulara geçerekdevam edeceğiz.

O

A

A'

B

B'

C

C'

D D'

A

A'

B

B'

A''

B''

O'

O''

O

Bir çokgen ile bu çokgenin içbölgesinin birleşimine Çok-gensel Bölge denir.

Birim Alan: Kenar uzunluğu1 birim olan karenin kapladığıalana Birim Alan denir ve1br2 olarak ifade edilir.

AB

C

DE

AB

C

DE

Çokgensel Bölge

127

ÜÇGENLER - II4. BÖLÜM

B

A C

B

A C

D

ac

Bir dik üçgenin alanı, dik kenar uzunlukları çarpımının yarısına eşittir. Gösteriniz.

Çözüm:1- Birim alan tanımını kullanarak,

kolayca şöyle gösterilebilir:[AD] ⊥ [CD] çizip, ABCD dik-dörtgeni oluşturulursa A(ABCD)=a.c olur. ABC ≅ ADC (KKK) ise,

Soru:

A

D

B CH

E

A

D

B C

E

s(A)=90° olan ABC dik üçgeninde [AH] yüksekliği ve [BD] kenarortayı çiziliyor. [AH] ınorta noktası E ise gösteriniz ki s(ABE)=s(CBD) dir.

Çözüm:

1- ABH ≈ CBA olduğunu biliyoruz (Niçin?).

2- KAK benzerlik prensibinden ABE ≈ CBD diyebiliriz. Bu benzerliğin doğal bir sonucu olarak,s(ABE)=s(CBD) çıkarımı elde edilir. Biz de bunu göstermek istiyorduk.

Soru:

1

1

A B

CD

A(ABCD)=4.2=8

A B

CD

A(ABCD)=a.b

a

b

1

1

4.3 Desargues (1591-1661) Teoremi

A, B, C doğrusal olmayan üçnokta olmak üzere; AA', BB', CC'doğruları birbirine paraleldir.

AB//A'B', AC//A'C' ise B'C'//BC dir.

İspat:

1- Elimizde şunlar var:AA'C'C paralelkenar veIAA'I=ICC'I , benzer şekildeABB'A' paralelkenar veIAA'I=IBB'I .

Bu veriler bize şunu söyler:BCC'B' bir paralelkenardır.Dolayısıyla B'C'//BC olur.

A A'

B B'

C C'

A A'

B B'

C C'

136

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.7 Menelaus Teoremi ( M.Ö.140 - M.Ö.70 ) ve Karşıtı

ABC üçgeninde BC, AC ve ABdoğruları üzerinde sırasıyla D, E ve F noktaları alınıyor.

D, E, F noktaları doğrusal ise;

C

B AF

D

EY

X

m

n

C

B A

F

D

E

dY

İspat:

Menelaus Teoremi:

1- B ve A noktalarının d doğrusuna uzaklıkları n ve m olmak üzere, d doğrusu üzerinde X ve Y nok-taları düşünülürse,

ABC üçgeninde BC, AC ve ABdoğruları üzerinde

eşitliğini sağlayan D, E, F nok-taları alınırsa; D, E, F doğrusalolur.

C

B AF

D

E

T

C

B AF

D

E

T

İspat:

Menelaus Teoremi'nin Karşıtı:

1- ED yi uzatalım, AB doğrusunu T noktasında kessin. Şu halde Menelaus teoremi,

olduğunu söyler.

2- Bize verilen eşitliğe (**) diyelim, yani

A

BC

D

O

X

Y

2

3

4

EA

BC

D

O

X

Y

2

3

4

E

Bir XOY açısının OX kenarı üzerinde IOAI=3, IODI=5 olacak biçimde alınan A ve Dnoktaları, OY kenarı üzerinde de IOCI=4 ve IOBI>4 olacak biçimde alınan C ve Bnoktaları için, [AB] ∩ [DC] = {E} ve IAEI.IOBI=3IEBI ise IOBI kaçtır?

Çözüm:1- Verilen eşitliği

IAEI:IEBI=3:IOBIşeklinde yazmakzor değildir. ŞimdiAOB üçgenine[DC] kesenine göre Menelaus teoremi uygulaya-lım.

Soru (1996 TÜRKİYE):

Uyarı: Buradaki (-) işareti yönle ilgilidir, bazen önemlilik arzeder. Görüldüğü üzere, FDE kenarlardan birini dıştan kesmiştir. Yani;

Ceva teoremi kenar sayısıtek olan her şekle uyar.Mesela bir ABCDE beşge-ninde A, B, C, D ve E köşe-lerine ait doğrular karşıkenarları A’, B’, C’, D’ ve E’noktalarında kestiğindeşöyle olur:

137

ÜÇGENLER - II4. BÖLÜM

A

B C

D

E

F

P

1

2

12

1

2

A

B C

D

E

F

1

2

12

1

2

P R

Q

3k

3k

k

3k

3k

ABC eşkenar üçgeninin [AC], [BC], [AB] kenarları üzerinde alınan D, E, F noktaları için

BD ∩ CF = {P} ise gösteriniz ki s(APC)=90° dir.

Çözüm:1- Menelaus teoremiyle başlıyoruz:

2- IREI=k alınırsa, IAQI=IQRI=3k olur. Simetriden dolayı, IAQI=IQRI=IPRI=IPQI=3k olur ki bura-dan şu anlaşılır: PQR eşkenardır ve PAQ 30°-30°-120° ikizkenarıdır. O halde s(APC)=90° dir.

Soru:

B

A C

c

B

A CH

c

h

b

Kenar uzunlukları a, b, c olan ABC üçgeninde, dır. Gösteriniz.

Çözüm:1- ABH üçgeninde

h=c.sinA olduğu açık-tır. Dolayısıyla

eşitliği kolayca görülür.

Soru:

Bir kenar uzunluğu a olan eşkenar üçgenin alanı dir. Gösteriniz.

* Yeri gelmişken şunu belirtelim: Yanda görüldüğü üzere, eşkenar üçgende O noktası;ağırlık merkezi, iç çemberin merkezi, diklik merkezi, hem de çevrel çemberin merkezidir.

Çözüm:

Soru:A

B C

G

r

r

r

H

149

ÜÇGENLER - II4. BÖLÜM

ABC üçgen ve k>0 dır. A', B', C' noktaları sırasıyla [BC], [CA], [AB] üzerinde

IAB'I=kIB'CI, ICA'I=kIA'BI ve IBC'I=kIC'AI olacak şekilde alınıyor. AA', BB' ve CC' doğru-

ları P, Q, R noktalarında kesiştiğine göre, A(PQR)(k2+k+1)=A(ABC)(k-1)2 olduğunu

gösteriniz.

(Bu problemin çözümünü size bırakıyoruz. Problemin genel hali için Routh teoremini inceleyiniz.)

Soru (1962 PUTNAM):

4.10 Tales Teoremleri ( M.Ö.624 - M.Ö.546 )

4.10.1 I.Tales Teoremi

4.10.2 II.Tales Teoremi

Birbirine paralel olan üç veyadaha fazla doğru, iki farklıdoğruyla kesişirse, kesenlerüzerinde ayrılan karşılıklıdoğru parçalarının uzunluklarıorantılı olur.

Kesişen iki doğru, paralel ikidoğru ile kesildiğinde, oluşaniki üçgenin karşılıklı kenaruzunlukları orantılı olur.

İspat:A

B

C

D

E

F

d

k

l

A

B

C

D

E

F

d

k

l

P

1- AF ∩ BE ={P} ise Temel Orantı Teoremi' nden

İspat:A

B

C

D

E

d

k

B

A

C

D

Ek

d

1- ABD ve CBE üçgenleribenzer (AA) olduğundan,

Yandaki şekilde[AB]//[CD]//[EF] vearalıklar da eş iken;

IABI, ICDI ve IEFI biraritmetik dizi oluşturdu-ğu gibi, A(ABDC) veA(CDFE) de bir aritme-tik dizi oluşturur.

T

a b

c d

c d

A

C

E

B

D

F

d

k

l

A

C

E

B

D

F

d

k

l

x

x+k

x+2k

A

C

E

B

D

F

d

k

l

x

x+k

x+2k

150

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

AB

C

E

D

1K

L

N

A'

AB

C

E

D

2

ABC üçgeninde D noktası [AB] kenarının orta noktasıdır. [BC] üzerinde IBEI=2IECI ola-cak şekilde E noktası ile s(ADC)=s(BAE) olabiliyorsa, s(BAC) kaç derecedir?

Çözüm:1- [BE] nin orta noktası K olsun. [BC] nin [BD] ye göre

simetriğini alıp, C ve K noktalarının simetrilerine N ve L

diyelim. Şu halde [AE] // [DK] olduğundan

s(KDB)=s(EAB), ayrıca simetriden s(KDB)=s(LDB) dir.

2- Bize s(ADC)=s(BAE) verildiğinden s(LDB)=s(ADC)olur. Yani D noktası, [CL] üzerindedir.

3- [BD] nin [CN] ile kesiştiği nokta A' olsun.ICNI=2ICA'I ve INLI=2ILBI olduğu gözönüne alına-rak Menelaus Teoremi uygulanırsa

D noktası hem [AB] nin hem de [A'B] nin orta nokta-sı ise A ve A' noktaları çakışık olmalıdır; dolayısıylas(BAC)=90° dir.

Soru (1998 BREZİLYA):

A

C

B

E

D

C'

D'

A

C

B

E

D

C'

D'

F

ABC ikizkenar dik üçgeninin [AC] ve [CB] dik kenarları üzerinde sırasıyla D ve E noktalarıICDI=ICEI olacak şekilde alınıyor. C ve D noktalarından [AE] ye çizilen dikmeler [AB] hipo-tenüsünü sırasıyla C' ve D' noktalarında kesiyor. ID'C'I=IC'BI olduğunu gösteriniz.

Çözüm:1- D noktasının [BC] ye göre simetriği F olsun.

AEC üçgenini 90° döndürüp, BFC üçgenini eldeederiz. AE⊥BF olduğundan IBC'I=IC'D'I olur.

Soru:

A

B C F

D

EH H'

ah dh

Benzer iki üçgenin karşılıklı yüksekliklerinin oranı, benzerlik oranına eşittir. Bununasıl gösterirsiniz?

Çözüm:1- Biz biliyoruz ki s(B)=s(E) dir; dolayısıy-

la ABH ≈ DEH' olur. Böylelikle

Soru:

Benzer iki üçgenin karşılıklıtüm elemenlarının uzunluklarıoranı, benzerlik oranına eşittir.

ÜÇGENLER - II4. BÖLÜM

A

B C

R

Q

P

N K

M L1

3

2

1

3

2

ABC dik üçgeninde s(A)=90° olsun. P∈[AC], Q∈[BC], R∈[AB] olacak şekilde APQRkaresinin alanı 9, N, K∈[BC], M∈[AB] ve L∈[AC] olacak şekildeki KLMN karesinin alanıda 8 ise IABI+IACI kaçtır?

1- ABC üçgeninin ikizkenar dik üçgen olması halindeIABI+IACI=12 olur. Özel çözümü verilen bu sorunungenel çözümünü de siz yapınız.

Soru (2008 TÜRKİYE):

A

B C

D

E F

L

H

P

A

B C

D

E F

L

H

P

ABC bir üçgen olmak üzere; [BC] kenarı üzerinde E ve F noktaları, [AB] ve [AC] kenar-ları üzerinde D ve L noktaları alınarak DEFL karesi çiziliyor. DEFL karesinin bir kenaruzunluğunu, a ve ha cinsinden bulunuz.

Çözüm:

Çözüm:

1- DEFL kare olduğundan [DL] // [BC] dir. Buyüzden ADL ≈ ABC olur. Benzer üçgenlerinyükseklikleri oranı, tabanları oranına eşitir.Dolayısıyla,

Soru:

ABC bir dik üçgen olmak üzere; [BC] hipotenüsü üzerinde E ve F noktaları, [AB] ve [AC]kenarları üzerinde D ve L noktaları alınarak DEFL karesi çiziliyor. Karenin bir kenaruzunluğunu; a, b, c kenar uzunlukları cinsinden bulunuz.

Çözüm:1- Yukarıdaki uygulamada bulunan sonucu kullanalım.

Soru:

Uyarı:

A

B C

A

B Ca

ha

A

B C

A

S1

S3

S2

ABC üçgeninde a tabanına aityükseklik ha olmak üzere, atabanı üzerine inşa edilenkarelerin alanları sırasıyla

ABC bir üçgen olmak üzere; [AB] kenarı üzerinde P noktası, [AC] kenarı üzerinde Qnoktası, [BC] kenarı üzerinde R ve S noktaları alınarak PQRS karesi çiziliyor. A nokta-sından [BC] ye indirilen dikme ayağı H ise aşağıdaki bağıntıları gösteriniz:

Çözüm:1- Bu soruyu da siz çözünüz.

Soru ( 2007 GÜNEY AFRİKA CUMHURİYETİ ) :

153

154

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

10

3

E

NL

K CB

A

R

D F

30°

30°

5

E

CB

AD F

10

Bir kenarı 10 br olan ABC eşkenar üçgeninin kenarları üzerine içe doğru kurulan üç karenindışarda kalan kenarları uzatılarak DEF üçgeni oluşturuluyor. Buna göre IDEI kaç br dir?

Çözüm:1- KCL ve LNE üçgenleri 30°-60°-90°

üçgenleridir. Bu nedenle

Soru:

A

B C

kb

(1-k)bc(1-k)

H

kc

R2R1

R3R4

A

B C

(1-h)kb

(1-k)bc(1-k)

H R2R1

R3R4

Phkb

A

B C

R3

S

R

Alanı 1 br2 olan ABC dar açılı üçgeninin içerisinde, R alanlı R1R2R3R4 dikdörtgeni; R1 ve R2

köşesi [BC], R3 köşesi [AC] ve R4 köşesi [AB] kenarı üzerinde olacak şekilde alınıyor. Benzerşekilde başka bir S alanlı dikdörtgen ise, AR3R4 üçgeni içerisinde alınıyor. R ve S alanlarıtoplamının maksimum olması için üçgen ve dikdörtgen nasıl seçilmelidir?

Çözüm:1- Benzer üçgenlerde alanlar oranı benzerlik oranının karesine eşittir. Yani

alınırsa, A(AR3R4)=k2 olur. Benzer düşünce ile,

A(BR4R1)=(1-k)2.A(BAH) ve A(CR3R2)=(1-k)2.A(CAH) olacağı için

A(BR4R1)+A(CR3R2)=(1-k)2.A(ABC)=(1-k)2 dir.

2- R=A(ABC)- A(AR3R4)-{A(BR4R1)+A(CR3R2)}=1-k2-(1-k)2=2k(1-k) olur.

3- Aynı şekilde olarak alınırsa, S=2h(1-h).A(AR3R4)=2h(1-h)k2 olur.

Soru (1985 PUTNAM):Soru (1985 PUTNAM):

A

B C2 D 6

4

20°

A

B C8

4

20°

A

B 2 D

4

Bir ABC üçgeninin [BC] kenarı üstünde IBDI=2, IDCI=6 olacak şekilde bir D noktasıbulunmaktadır. IABI=4 ve s(ACB)=20° olduğuna göre, s(BAD) nedir?

Çözüm:

1- Dikkatli bakılırsa hem B açısının ortak hem de IABI:ICBI=IBDI:IABI olduğu görülür. Bu

ABC ≈ DBA (KAK) anlamı taşır. Nitekim s(ACB)=20° ise s(DAB)=20° olur.

Soru (2006 TÜRKİYE):

162

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

4.11.2 Steiner - Lehmus (1833 ) Teoremi

İki iç açıortayı uzunlukça eşitolan bir üçgen, ikizkenar birüçgendir.

İspat:1- ABC üçgeninde, I içteğet çemberin merkezi olsun.

BA ve CA doğruları üzerinde P ve Q noktalarınıIAPI=IAQI=IBCI olacak şekilde alalım. APQ ikizke-nar üçgeninde IA açıortay doğrusu, aynı zamandayükseklik ve kenarortay işlevi görür. Burada APQikizkenardır, IPQ üçgeni de ikizkenardır ve|IQ|=|IP| dir.

2- P ve Q noktalarından, BE ve CF açıortaylarına çizilen yükseklik ayakları sırasıyla P' ve Q'

olsun. Açıortay doğrusu üzerindeki E noktasından kollara indirilen dikmeler eşit olduğundan,

A(PEA)=A(BEC) dir. Buradan A(ABC)=A(ABE)+A(BEC)=A(ABE)+A(PEA)=A(PEB) olur. Benzer

şekilde A(ABC)=A(QFC) olacağı için A(PEB)=A(QFC) dir. Bize başlangıçta IBEI=ICFI verildi-

ğinden IPP'I=IQQ'I olmalıdır.

3- Şunu biliyoruz; IQA ≅ IPA (KKK) olduğundan s(IQA)=s(IPA) dır. Ayrıca PIP' ≅ QIQ' olduğundan

şunu söyleriz; s(QCI)=s(PBI) olmalıdır. Bu zaten s(CBA)=s(BCA) demektir.

A

B C

EF

IA

B C

EF

PQ

P'Q'

I�

�

�

�

İkizkenar olmayan bir üçgeniniki dış açıortay uzunluğu eşitolabilir. (Steiner-LehmusTeoremi, dış açıortaylar içingeçerli değildir) Örneğin aşa-ğıdaki Bottema Üçgeni' nde,B ve T açılarının dış açıortayuzunlukları eşittir.

Uyarı:

B

T

O

12°

132°

36°

Çözüm:

Soru (1990 İMO Shortlist):

ABC üçgeninin AD ve BF açıortay doğruları, C noktasından [AB] kenarına çizilen para-lel doğruyu sırasıyla E ve G noktalarında kesmektedir. İspat ediniz ki IFGI=IDEI iseICAI=ICBI dir.

1- İlk bakışta, ABF ≈ CFG ve DEC ≈ DAB (AA) olduğu görülmektedir. Ayrıca, [AD] ve [BF] ninaçıortay olduğunu aklımızda tutuyoruz. Şu halde

2- Üçgenin şu özelliğini hatırlayalım: IACI>IBCI iken IADI>IBFI olmalıdır. Yani, eşitliğin aynı tara-fındaki iki büyüklük aynı anda büyük olamayacağından, IACI=IBCI olması gerekir.

EC

G

FDI

AB

E CG

FDI

AB

164

100 YILIN OLİMPİYAT SORULARIYLA GEOMETRİ

A

B CN

X

DE

K

L

ABC üçgeninde; AN iç açıortay doğrusunun çevrel çemberi kestiği nokta X olmak üzere,N noktasından [AB] ve [AC] kenarlarına çizilen dikme ayakları sırasıyla D ve E ise;A(ADXE)=A(ABC) dir. Gösteriniz.

Çözüm:1- AN açıortay doğrusundan kolara indirilen dikmeler eşit oldu-

ğundan IDNI=IENI ve IXKI=IXLI dir. Öte yandan, ABXC kirişlerdörtgeninde IXBI=IXCI dir. Bu ikisi ile şuna varırız: KBX ≅ LCX. Buradan da A(KBN)=A(CNL) yi anlarız.

2- Alan kaydırma tekniğiyle, DN II KX olan DNXK dik yamuğun-da, A(DNX)=A(DNK)=A(DBN)-A(KBN) ve ENXL dik yamuğun-da, A(ENX)=A(ENL)=A(ENC)+A(CNL) dir. Taraf tarafa topla-nırsa, A(NDXE)=A(DBN)+A(ENC) olur. BuradanA(ADXE)=A(ABC) bulunur.

Soru:A

B CN

X

DE

A

B CX

Z

K

A

B CX

Y

K

Ceva teoremini, Menelaus teoreminden faydalanarak gösteriniz.

Çözüm:1- Menelaus teoremini kullanalım.

eşitlikeri elde edilir.

Soru:A

B CX

YZ

K

2- Bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa, karşımıza Ceva teoremi çıkar.

C

A

B C

I

D

E

F

Bir üçgende iç açıortayların bir noktada kesiştiğini, Ceva teoremi ile gösteriniz.

Çözüm:1- Açıortay teoreminden

Bu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa,

2- Ceva teoreminin karşıtına göre; [AD], [BF] ve [CE] birnoktada kesişir.

* Bir üçgende kenarortayların bir noktada kesiştiğini de siz gösteriniz.

Soru:A

B CD

EF