Upload
others
View
36
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
11. SINIFKONU ANLATIMLI1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET
7. Konu
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ
2
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
1. Ünite 7. Konu (İtme ve Çizgisel Momentum)
A’nın Çözümleri
1. Eğik atılan bir cismin hareketi boyunca yatay doğ-
rultudaki hızı değişmez. Bu nedenle eğik atışta ya-
tay doğrultuda momentum değişmez. Momentum
değişimi yalnızca düşey doğrultudadır. Atılış anın-
da top mermisinin düşey hızı;
vy = v0 . sin37°
vy = 20 . 0,6 = 12 m/s dir.
vy1
37°
vy2 v
0
vx
37°vx
v0
vx
vy=0
hmax
Top mermisi atılırken düşey hızı vy1 = 12 m/s dir.
Top mermisi yere düşerken düşey hızı vy2 = –12
m/s olduğundan momentum değişimi;
ΔP = m(vy2 – vy1
)
ΔP = 4(–12 – 12) = –96 kg m/s bulunur.
2.
vortak
çarpışmadan sonra
BA C
Çarpışmadan önceki momentumların vektörel top-
lamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel
toplamına eşittir. Momentumun korunumundan;
P önce = P sonra
m1 v 1 + m2 v 2 + m3 v 3 = (m1 + m2 + m3) v ortak
1 . 30 + 1 . 10 + 2 . 10 = (1+1+2) · vortak
vortak = 15 m/s bulunur.
3. a. Çarpışma sırasında cisimlerin momentumları ko-
runacağından;
Pönce = Psonra
m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2). vortak
1 . 3 – 2 . 6 = 3 . vortak
–9 = 3 . vortak
vortak = – 3 m/s
bulunur. O halde cisim (–) yönde 3 m/s hızla hare-
ket eder.
b. Çarpışmada kaybedilen kinetik enerji;
,
( )
,
, , .
E m v m v
E J
E m m v
E J
E J bulunur
2
1
2
1
2
11 9
2
12 36 40 5
2
1
2
13 3
13 5
40 5 13 5 27
· ·
· · · ·
· · ·
–
ilk
ilk
son ortak
son
kay p
1 12
2 22
1 22 2
ı
= +
= + =
= + =
=
= =
4.
37°
P2
P1
PortakPortak(y)
Portak(x)
Hem yatay eksende hem de düşey eksende mo-
mentum korunur. Yatay momentum korunumun-
dan; P ortak(x) = P 1
m · vortak · cos37° = m1 · v1
(3 + 2) · vortak · 5
4 = 2 · 4
vortak = 2 m/s
İtme ve Çizgisel Momentum7
3İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
αPönce = 16 kg.m/s
P2
P1 = 12 kg.m/s
x
y
P2 = P P12 2+
P2 = 12 162 2+ = 20 kg.m/s
P2 = m2 . v2
20 = 2 . v2 ⇒ v2 = 10 m/s
bulunur. O halde m2 kütleli cisim güneydoğu yönün-
de 10 m/s hızla hareket eder.
8. Cismin patlamadan önceki momentumu;
Pönce = m . v = 6 . 5 = 30 kg.m/s
dir. Patlamadan sonraki v1, v2 hızlı cisimlerin mo-
mentumları;
Pönce
x
y
60°
60°
P1 = 2 . 5 = 10 kg.m/s
P2 = 2 . 5 = 10 kg.m/s
|P1 + P2| = 10 kg.m/s
1 ve 2 numaralı parçaların momentumlarının bileş-
kesinin büyüklüğü 10 kg.m/s dir. Patlamadan son-
raki momentumun +x yönünde 30 kg.m/s çıkması
için üçüncü parça +x yönünde ve 10 m/s hızla hare-
ket etmelidir.
5. Pönce = Psonra
m1 . v1 – m2 . v2 = (M + m1 + m2) . vortak
0,1 . 300 – 0,4 . 50 = (500 + 100 + 400).10–3. vortak
30 – 20 = 1 . vortak
vortak = 10 m/s
dir. P1 > P2 olduğundan cisim (+) yönde ve 10 m/s
lik hızla hareket eder.
6. Balmumunun düşey momentum bileşeni araba yar-
dımıyla yola aktarılır. Yataydaki momentumun koru-
numundan;
60°m1 . v1
m2 . v2x
m2 . v2y
Pönce = Psonra
m1 . v1 – m2 . v2x = (m1 + m2) .vortak
9 . 8 – 1 . 4 . cos 60° = 10 . vortak
72 – 2 = 10 . vortak
vortak = 7 m/s bulunur.
7. Cismin parçalanmadan önce toplam momentumu
yatay eksen üzerinde ve doğu yönündedir.
Pönce = m . v
Pönce = 8 . 2 = 16 kg . m/s
dir. Patlamadan sonra m1 kütleli cismin momentu-
mu;
P1 = m1 . v1 = 12 kg . m/s
dir. Momentumun korunması için P2 nin düşey bile-
şeni 12 kg.m/s, yatay ekseni ise 16 kg.m/s olmalı-
dır.
4 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
12. a. Tahta bloktaki yükselmeye cisimlerin yatay mo-
mentumları neden olur. Momentumun korunu-
mundan;
Pönce = Psonra
m1 . v1 – m3 . v3 . cos 37° = mortak . vortak
10.10–3.160 – 5.10–3. 400 . 0,8 = 500 . 10–3 . vortak
1600 – 1600 = 500 . vortak
vortak = 0
bulunur. Yani tahta blok hareket etmez.
b. İpteki gerilmeyi yatay hızın oluşturduğu itme ve ci-
simlerin toplam ağırlıkları meydana getirir.
F . Δt = ΔP
F . 0,1 = m3 . v3 . sin 37°
F . 0,1 = 5 . 10–3 . 400 . 5
3 ⇒ F = 12 N
T = F + G
T = 12 + (m1 + m2 + m3) . g
T = 12 + (485 + 5 + 10) . 10–3 . 10
T = 17 N bulunur.
13. a. P = m . v0x
60 = 2 . v0x ⇒ v0x = 30 m/s
Yatayda alınan yol;
x = v0x . t
240 = 30 . t ⇒ t = 8 s bulunur.
Cisme uygulanan itme;
I = F . Δt = mg . Δt
I = 2 . 10 . 8 = 160 N . s bulunur.
b. tuçuş = 2 g
v y0
8 = 2 · v
10
y0 ⇒ v0y = 40 m/s
Cismin yere çarpma hızı ve momentumu;
v0 = v vx y02
02+
v0 = 30 402 2+ = 50 m/s
P = m . v0 = 2 . 50 = 100 kg.m/s bulunur.
9. Cisim tepe noktasında 30 m/s yatay hıza ve
Pilk = m . v0x = 3 . 30 = 90 kg.m/s
lik momentuma sahiptir. Patlamadan sonra bileşke
momentum aynı yönde ve 90 kg.m/s olmalıdır. Pat-
lamadan sonra hareketli iki cismin yatay momen-
tumlarının toplamı 90 kg.m/s olduğundan 3. parça
düşey aşağı doğru 30 m/s hızla hareket etmelidir.
10. Kuvvet - zaman grafiklerinin altında kalan alan mo-
mentum değişimini verir. O hâlde;
5
Fnet (N)
t(s)10
15
0
35
A1 A2
A1 = 2
35 15+ · 5 = 125 N.s
A2 = 15 · 5 = 75 N.s
∆P = A1 + A2 = 200 N.s
∆P = m(vson – v1)
200 = 10(vson – 0) ⇒ vs = 20 m/s
Ek = 2
1 m · vson2
Ek = 2
1 · 10 · (20)2 = 2000 J bulunur.
11. Momentumun korunumundan;
m1 · v = (m1 + m2) · vortak
50 · 10–3 · v = 1000 · 10–3 · 2 ⇒ v = 40 m/s
5İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
c. –x +xv1x v2x
m1 m2
Pönce = Psonra
m1 · v1x – m2 · v2x = (m1 + m2) · vortak
m · 30 – 3m · 40 = 4m · vortak
vortak = –22,5 m/s
bulunur. O halde cisim 22,5 m/s hızla –x yönün-
de yatay atış hareketi yapar.
16. m1 = 2m2 olduğundan m1 ve m2 kütleli cisimlerin A
noktasındaki momentumlarının eşit olması için bu
noktadaki hızları v2 = 2v1 olmalıdır. Serbest düşme
hareketi kurallarına göre h1 = h ve h2 = 5h olur. O
hâlde;
h
h
5
1
2
1= bulunur.
17. a. m1 kütleli cisim a = g . sin 37° ivmesiyle yavaşlar,
m2 kütleli cisim ise a = g . sin 37° ivmesiyle hızlanır.
Çarpışmadan önceki hızları;
v1 = v0 – g . sin 37° . t
v1 = 36 – 10 . 0,6 . 2 = 24 m/s
v2 = g . sin 37° . t
v2 = 10 . 0,6 . 2 = 12 m/s
bulunur. Momentumun korunumundan;
m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . vortak
2 . 24 – 1 . 12 = 3 . vortak
36 = 3vortak
vortak = 12 m/s
14. Mermi silindire çarptığında ona bir itme uygular.
F . Δt = ΔP = m . (v1 – v′1)
F . 2 . 10–2 = 10 . 10–3 . 80
F = 40 N bulunur.
F
h
L
G
r
Sistem dengede olduğuna göre L noktasına göre
moment alınırsa;
F . h = G . r
40 . 50 = G . 20
G = 100 N bulunur.
15. a. Cisimler t süre sonra çarpışsınlar. O halde;
v1x . t + v2x . t = 280
50 · cos 53° · t + 40 2 · cos 45° · t = 280
70t = 280
t = 4 s
bulunur. Cisimlerin hızlarının düşey bileşenleri
v1y = v2y = 40 m/s olduğundan bu süre cisimlerin
maksimum yüksekliğe çıkma zamanıdır. Bu ne-
denle cisimler yörüngenin tepe noktasında çar-
pışır.
b. hmax = ( ) ( )
g
v
g
v
2 2
y y12
22
=
hmax = ·
( · °)sin
2 10
50 53 2
= 80 m bulunur.
6 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
18. Cismin yere göre sahip v0y = 30 m/s
m = 2 kg
v0x = 40 m/s
olduğu hız bileşenleri
v0x = 40 m/s ve v0y = 30
m/s dir. Cismin havada
kalma süresi;
–h = v0y . t – 5t2
–35 = 30 . t – 5t2
t2 – 6t – 7 = 0
(t – 7) (t + 1) = 0 ⇒ t = 7 s
bulunur. Bu süre içinde cisme uygulanan itme, mo-
mentum değişimine eşit olacağından;
ΔP = F . Δt = mg . Δt
ΔP = 2 . 10 . 7 = 140 kg . m/s bulunur.
19. a.
30 m/s 30 m/s
40 m/s 40 m/s
x = 60 m
Yatay hızları 30 m/s olan iki cisim arasındaki
uzaklık 60 m dir. İki cisim birbirine yaklaştığı için
1 saniye sonra çarpışırlar. Yani t1 = 1 saniyedir.
b. Cisimlerin çarpışma anında yatay momentum-
ları eşit ve zıt yönlüdür. Bu nedenle yatayda
momentum sıfır olur. Yatay momentum sıfır ol-
duğundan ortak kütle düşeyde 40 m/s hızla ha-
reket eder. Cisimler atıldıkları noktadan sonra;
t = 2 · ·v
2 10
2 40y0= = 8 s
havada kalırlar. Bunun 1 saniyesi çarpışma ön-
cesinde geçtiği için çarpışmadan 7 saniye son-
ra atıldıkları noktaya gelirler.
b. vs son hız, vi ilk hız alınarak;
vs = vi – a . t
0 = vortak – g . sin 37° . t
vortak = g . sin 37° . t
12 = 10 . 0,6 . t ⇒ t = 2 s
bulunur. O hâlde ortak kütle çarpışmadan 2 sa-
niye sonra durur ve yön değiştirir.
c. Ei = 2
1 m1 · v12 +
2
1 m2 · v22
Ei = 2
1 · 2 · (24)2 + 2
1 · 1 · (12)2
Ei = 576 + 72 = 648 J
Es = 2
1 (m1 + m2) · vortak2
Es = 2
1 · 3 · (12)2 = 216 J
Kaybolan kinetik enerji;
E = Ei – Es = 648 – 216 = 432 J bulunur.
ç. m1 , m2 kütleli cisimlerin hız-zaman grafiği şe-
kildeki gibidir. m1 kütleli cismin aldığı yol x1 , m2
kütleli cismin aldığı yol x2 kadardır.
v (m/s)
t (s)
36
0
24
12
x1
x2
|AB| = x1 + x2
x1 = 2
36 24+ · 2 = 60 m
x2 = ·
2
12 2 = 12 m
|AB| = 60 + 12 = 72 m
7İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
ΔEk = Ek – E′k = 5000 – 2000
ΔEk = 3000 J olur.
22. m1 kütleli vagon, yaya dokunduğu andan itibaren bir
kuvvet uygulayarak m2 kütleli vagonu harekete geçi-
rir. Bu etkileşim iki vagonun hızı eşit oluncaya kadar
devam eder. Vagonların hızları eşit olduğu andan iti-
baren birbirinden ayrılırlar. Yaydaki en büyük sıkış-
ma iki vagonun hızlarının eşit olduğu andır. Momen-
tumun korunumundan;
P Pönce sonra=/ / m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · vort
4000 · 10 + 0 = (10000) · vort
vort = 4 m/s
bulunur. Sürtünmeler önemsenmediğine göre me-
kanik enerji korunur. Çarpışmadan önce yalnız m1
kütleli vagonun kinetik enerjisi vardır. Çarpışmadan
sonra ise toplam kütlenin kinetik enerjisi ve yayın
potansiyel enerjisi vardır. O hâlde;
E Eilk son=//
2
1 · m1 · v12 =
2
1 · (m1 + m2) · vort2 +
2
1 · k · x2
2
1 · 4 · 103 · 100 = 2
1 · (1 · 104) · 16 + 2
1 · 12 · 104 · x2
2 · 105 = 8 · 104 + 6 · 104 · x2
x = 2 m bulunur.
20.
45°
K
L
v0
–h
h
v0x
v0y
45°
K noktasından atılan cisim L noktasına düşmekte-
dir. Cisim hareketi sırasında yatayda ve düşeyde
eşit h yollarını almaktadır.
h = v0 · cos 45° · t = v0 22
· t ................. (1)
–h = v0 · sin 45° · t – 2
1 gt2 ..................... (2)
(1) denklemi (2) denkleminde yerine yazılırsa;
–v0 · 22
t = v0 · 22
t – 5t2
5t2 = 2( 22
v0) · t
5 · 2 = 2 · v0 ⇒ v0 = 5 2 m/s
PK = m · v0 = 2 · 5 2 = 10 kg.m/s
21. Çarpışmadan önceki momentumların vektörel top-
lamı, çarpışmadan sonraki momentumların vektörel
toplamına eşittir.
Cisimlerin çarpışmadan sonraki ortak hızı;
m1v1 + 0 = (m1 + m2)vortak
100 . 10 = (250) . vortak
vortak = 4 m/s
bulunur. Çarpışmadan önceki kinetik enerjileri;
Ek1 =
2
1 m1v12 =
2
1 100(10)2 = 5000 J
Ek2 = 0 dır.
Ek(top) = Ek1 + Ek2
= 5000 J
Çarpışmadan sonra sistemin toplam kinetik enerjisi
ise;
E′k = 2
1 (m1 + m2)vortak2
E′k = 2
1 (250)42 = 2000 J
olur. Kaybolan kinetik enerji;
8 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
3. Önce momentum vektörlerinin yatay ve düşey bile-
şenlerini alalım.
Şekil I
4 mv
2 mv
mv
2 mv A
Şekil II
3 mv
Birim karelerin kenarları 1 birim alındığında çarpış-
madan önceki momentum vektörlerinin bileşenleri
Şekil I deki gibidir. Cisimler çarpıştıktan sonra Şekil II
de gösterilen yönde hareket eder.
Yanıt B dir.
4. Soruda verilen şekil incelendiğinde v1 = 1 birim alı-
nırsa v2 = 2 birim, v3 = 2 birim olduğu görülür.
45°45°
P1 = mv
P2 = 2 2 mvP3 = 2 mv
Şekil I
2 mv
Şekil II
3 mvIV
Çarpışmadan önceki momentum vektörlerinin bü-
yüklükleri Şekil I deki gibidir. Bu vektörler sadele-
şince Şekil II deki durum ortaya çıkar. Bir başka ifa-
deyle, cisimler birbirine yapıştıktan sonra IV numa-
ralı yolu izler.
Yanıt D dir.
Test 1 in Çözümleri
1. Soruda verilen ivme-zaman grafiğinden yararlana-
rak hız-zaman grafiğini aşağıdaki gibi çizebiliriz.
–v
hz
zaman0
IIII
3tt 2t
–2v
II
Verilen hız-zaman grafiğinden yararlanarak I ve
II aralıklarında hızın arttığını III. aralıkta ise hızın
azaldığını söyleyebiliriz. Hangi aralıkta hız azalıyor-
sa aynı aralıkta momentum da azalır.
Yanıt E dir.
2. Momentum, P = m v bağıntısı ile bulunan vektö-
rel bir büyüklüktür. P ile v vektörleri birbirinin varlık
nedenidir. Bu nedenle momentum - zaman grafikleri
ile hız-zaman grafikleri birbirine çok benzer. Aradaki
tek fark m çarpanıdır. Momentum-zaman grafiği ve-
rilen cismin hız-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
t
hız
zaman2t 3t
4v
3v
2v
v
0
I II III
Bilindiği gibi hız-zaman grafiklerinde eğim ivmeyi
verir. Şekilden a1 = 0, a2 nin artan, a3 ün sabit oldu-
ğu görülür. F = ma olduğuna göre I. aralıkta kuvvet
sıfır, II. aralıkta artan, III. aralıkta sabittir.
Yanıt E dir.
9İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
7.
v v
v
120°
120° 120°
Psonra = 0
A noktasında iç patlama sonucu üç eşit parçaya ay-
rılan cismin patlama sonrası momentumu sıfırdır. O
hâlde patlama olmadan önceki momentum da sıfır-
dır. Bunun böyle olması için cismin tepe noktasına
varmış olması gerekir. Buradan;
hmax = g
v
2 20
6002 2
=
hmax = 180 m bulunur.
Yanıt D dir.
8.
ipm1
= 300 kg m2
= 400 kg
v1 v2
(–) (+)
İp kesilmeden önce cisimler durgun olduğundan
momentumları sıfırdır. İp koptuğunda momentum-
ların vektörel toplamı yine sıfır olacağından;
Pönce = Psonra
0 = 400 · v2 + 300 · (–v1)
4 · v2 = 3 · v1
v
v
3
4
2
1= bulunur.
Yanıt A dır.
5. Soruda verilen şekil incelendiğinde v1 = 2v ,
v2 = 2 v olduğu görülür. Çarpışmadan önceki mo-
mentum vektörleri şekildeki gibidir.
P1 = 2m1.v
P2x
P2y
P2 = 2 m2.v
–x45°
+x
Ortak kütlenin (–x) yönünde hareket edebilmesi
için;
P1 = P2y
P1 = 2 m2v · sin 45°
2m1v = 2 m2v · 22
2m1 = m2
m
m
2
1
2
1= bulunur.
Yanıt C dir.
6. a
m1.g = 5 N
m2.g = 15 N
m2 = 1,5 kg
m1 = 0,5 kg
Destek çekildiğinde sistem ok yönünde a = 5 m/s2
lik ivmeyle hızlanır. İki cisim aynı ipe bağlı olduğun-
dan hızları her zaman eşit olur. Bu nedenle;
,
,.
P
P
m v
m v
P
Pbulunur
1 5
0 5
3
1
·
·
2
1
2
1
2
1
=
= =
Yanıt C dir.
10 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
11.
BCA
60 m 45 m
v1x=20 m/s
v1y=15 m/s v1=25 m/s
37° 45°
v2x=15 m/s
v2y=
15 m
/s
v2=15 2 m/s
Şekil I
m1, m2 kütleli cisimlerin atılma anındaki hızlarının
yatay ve düşey bileşenleri Şekil I deki gibidir. Her iki
cismin düşey hızları eşit olduğundan, cisimler, aynı
yükseklikten geçer. Cisimlerin düşey hızları 15 m/s
olduğundan, her iki cismin de uçuş süresi 3 s dir.
Bu nedenle A noktasından atılan m1 kütleli cisim,
3 s de yatayda 60 m yol alarak C noktasına varır.
Benzer biçimde B noktasından atılan m2 kütleli ci-
sim de aynı sürede 45 m yol alarak C noktasına va-
rır. C noktasında hız vektörlerinin düşey bileşenleri
yer tarafından dengelenir.
m m
v1x = 20 m/s v2x = 15 m/s
m m
vort = 2,5 m/s
Şekil II
C noktasında cisimlerin hız vektörlerinin yatay bile-
şenlerinin etkileşimi Şekil II deki gibi olur. Ortak küt-
le ise sağa doğru 2,5 m/s lik hızla yatay yüzeyde
düzgün doğrusal hareket yapar.
Yanıt B dir.
9. B noktası yörüngenin tepe noktası olup bu noktada
yalnızca yatay hız vardır. B noktasında cismin ya-
tay hızı vx = v0 . cos 60° = 15 m/s dir. Yani patlama
olmadan önce cismin momentumu;
Px = m · vx = 2 · 15 = 30 kg.m/s
dir. Patlamadan sonra da bu momentumun korun-
ması gerekir.
v1 = 30 m/s
1 kg 45°v2x = 30 m/s
v2y = 30 m/sv2 = 30 2 m/s
1 kgB
Bu nedenle patlamadan sonra diğer parça yatayla
45° lik açı yapacak biçimde v2 = 30 2 m/s ilk hız-
la eğik atış yapar.
Yanıt B dir.
10. Eğik atış hareketinde yatay eksende hız değişimi
olmadığından momentum değişimi de yoktur. Dü-
şey eksende ise momentum değişimi vardır.
B
C
vilk = v
vson = –v
T
Cismin B den C ye varıncaya kadarki momentum
değişimi;
ΔP = m . Δ v = m . ( v son – v ilk)
ΔP = m (–v – v) = –2mv bulunur.
Yanıt E dir.
11İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
14. m2 kütleli cisim arabadan atılmadan önce, araba-
nın, +x doğrultusunda bir momentumu vardır. Atıl-
dıktan sonra cismin y doğrultusunda bir momentu-
mu oluşacak ancak bu momentumun arabanın hız
vektörüne bir katkısı olmayacaktır. +x yönündeki
momentumun korunumundan;
v2y
60°v2x
v1 = 4 m/sm2
v2
P Pö ( ) ( )nce x sonra x=/ / (m1 + m2)v1 = m1v′1 + m2v2x
10 · 4 = 8 · 4 + 2 · v2x
8 = 2v2x ⇒ v2x = 4 m/s
bulunur. Buradan v2 hızı;
v2x = v2 . cos 60°
4 = v2 · 2
1 ⇒ v2 = 8 m/s bulunur.
Yanıt C dir.
15.
m1 = 4 kg
v1 = 14 m/sv2 = 0
m2 = 3 kg m1
v1 v2
m2
ç. önce ç. sonra
Şekil I Şekil II
Hızı v1 = 14 m/s olan m1 kütleli cisim, durgun hâl-
deki m2 kütleli cisme merkezi esnek olarak çarpıyor
(Şekil I). Cisimlerin çarpışmadan sonraki hızları v′1,
v′2 olsun.
v′2 = (m m
m2
1 2
1
+) · v1
v′2 = (7
8 ) · 14 = 16 m/s olur.
Yanıt C dir.
12.
yer
h = 80 m
v0 = 40 m/s
30 m/s
2 kg
yatay
Balondan atılan cismin yere düşme süresi;
–h = v0y · t – 2
1 · g · t2
–80 = 30 · t – 5t2
t2 – 6t – 16 = 0
(t – 8) · (t + 2) = 0 ⇒ t1 = 8 s, t2 = –2 s olur.
Zaman negatif değer almayacağına göre t = 8 s dir.
Cismin uçuş süresi 8 s olduğuna göre bu cisme uy-
gulanan itme;
itme = F . Δt
itme = mg . Δt
itme = 2 . 10 . 8 = 160 N.s olur.
Yanıt C dir.
13. m1 = 4 kg
m2 = 1 kg
m2.g = 10 N
a = 2 m/s2
Şekildeki sürtünmesiz sistem serbest bırakıldığın-
da ok yönünde a = 2 m/s2 lik ivme ile hızlanır. Sis-
temin, dolayısıyla m2 kütleli cismin hızı arttıkça po-
tansiyel enerjisi azalır. m2 kütleli cismin potansiyel
enerjisi 360 J azaldığında
∆Ep = ∆Ek
∆Ep = 2
1 · (m1 + m2) · v2
360 = 2
1 · 5 · v2 ⇒ v = 12 m/s
bulunur. Bu hız, her iki kütlenin ortak hızıdır. m1 küt-
leli cismin ilk hızı sıfır, son hızı 12 m/s olduğundan
momentumundaki değişme;
ΔP = m1 . Δv = 4 . (vson – vilk)
ΔP = 48 kg m/s bulunur.
Yanıt D dir.
12 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
16. Momentumun korunumundan çarpışmadan sonraki
ortak hızı bulalım.
P Pnce sonraö =/ / m1v1 + m2 · 0 = (m1 + m2) · vort
0,1 · 300 + 0 = 1 · vort
vort = 30 m/s
v1
= 300 m/s v2
= 0
m2
m1
vort
m1 + m
2
ç. önce ç. sonra
Ortak kütle, sahip olduğu kinetik enerjiyi potansiyel
enerjiye dönüştürerek yükselir. Yükselme miktarı;
Ek = Ep
2
1 · mv2 = mgh
h = g
v
2 20
900ort2
=
h = 45 m bulunur.
Yanıt A dır.
17. Merkezi esnek çarpışma yapan iki cismin ilk mo-
mentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan son-
ra, cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler.
Pönce = 2m . 3v + 3m (–2v) = 0
olduğundan, Psonra = 0 olmalıdır. Bu nedenle;
v′1 = –3v
v′2 = 2v olur.
m1 = 2m
v1 = 3v v2 = 2v
m2 = 3m
(–) (+)
Yanıt E dir.
13İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
4. • Kuvvet-ivme grafiğinin eğimi cismin kütlesini ve-
rir.
• Cisim başlangıçta durmakta olduğundan kuvvet
zaman grafiğinin altında kalan alan momentumu
verir.
• Momentum P = m . v olduğundan P ve m bilinen-
leriyle v hızı bulunur.
Yanıt D dir.
5. hz
I IIIII
t 2t 3tzaman
v
0
Momentum-zaman grafiği ile hız-zaman grafiği bir-
birine benzer grafiklerdir. Şekildeki grafiğe göre ci-
sim I. aralıkta a ivmesiyle hızlanmış II. aralıkta a = 0
ivmesiyle sabit hızlı III. aralıkta a ivmesiyle yavaşla-
mıştır. Yani cisme II. aralıkta kuvvet etki etmez.
Yanıt D dir.
6. itme = ∆P
itme = m(vs – vi)
itme = m(– v
2 – v) = – ·m v
2
3
bulunur. (–) işareti itmenin azaldığını gösterir.
Yanıt B dir.
Test 2 nin Çözümleri
1. Bir cismin kinetik enerjisiyle momentumu arasında
Ek = m
P
2
2 bağıntısı vardı. Grafik incelendiğinde;
P = 5 kg.m/s
iken Ek = 5 J olduğu görülür. Buradan;
5 = m2
52
2m = 5
m = 2
5 bulunur.
Yanıt A dır.
2.
2t
kuvvet
F
0
–F
t
3t 4tzaman
+
–
Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum
değişimini verir. Buradan 4t anında momentumun
sıfır olduğu görülür.
Yanıt E dir.
3. ivme-zaman grafiğinden cismin 2 s sonraki hızı
1. s için; v1 = 10 – 2 . 1 = 8 m/s
2. s için; v2 = v1 + 2 . 1 = 10 m/s
dir. Momentum değişimi;
ΔP = m . (v2 – v1)
ΔP = 2 . (10 – 10) = 0 bulunur.
Pratik Çözüm: İvme-zaman grafiğine göre ilk 2 sa-
niyede hızdaki değişim sıfırdır.
Yanıt C dir.
14 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
10. m1 ve m2 kütleli cisimlerin A noktasındaki hızı;
v1 = 2 · ·g h2
v2 = · ·g h2
olur. Cisimler çarpıştıktan sonra durduklarına göre
ilk momentumları birbirine eşit ve zıt yönlüdür. O
hâlde;
P1 = P2
m1 · 2 gh2 = m2 · gh2
m
m
2
1
2
1= bulunur.
Yanıt B dir.
11. m kütleli K cismi duran m kütleli L cismine çarptığında
hızını ona aktarır ve kendisi hareketsiz kalır. O hâlde K
cisminin kinetik enerjisi, 2
1 mv2 kadar azalır.
Yanıt C dir.
12.
A
P2 = 6 kg.m/s
x
y
30°
60°60°
P = 6 kg.m/s
P1 = 6 kg.m/s
Şekil incelendiğinde ortak kütlenin momentumu
P = 6 kg . m/s olduğu görülür. O hâlde ortak kütle-
nin hızı;
P = (m1 + m2) . vortak
6 = (3 + 2) . vortak
vortak = 1,2 m/s
Yanıt D dir.
7. Cismin 50 m yükseklikten 10 m yüksekliğe ininceye
kadar geçen zaman;
h = 5t2
40 = 5 . t2
t = 2 2 s
bulunur. Bu sürede cismin kazanacağı hız ve mo-
mentum;
v = g . t
v = 10 . 2 2 = 20 2 m/s
P = m . v
P = 2 · 20 2 = 40 kg . m/s
Yanıt C dir.
8. Grafikte cismin ilk hızı 10 m/s, son hızı –10 m/s ola-
rak verilmiştir. Momentumdaki değişim;
ΔP = m (vs – vi)
ΔP = 2 . (–10 – 10)
ΔP = 2 . (–20) = –40 kg . m/s
Yanıt C dir.
9. Momentumun korunumu ilkesinden, Pilk = Pson
olmak zorundadır ve momentum vektörel bir büyük-
lük olduğundan →P2 ve
→P1 momentumlarının vektörel
toplamı →P momentumunu vermelidir. Bunu sağla-
yan →P1 momentumu Şekil II de kesikli çizgilerden IV
ile ifade edilmiştir.
Yanıt D dir.
15İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
15. Pönce = Psonra
m . v = (M + m) . vortak
10 . 10–3 . 400 = (990 + 10) . 10–3 . vortak
vortak = 4 m/s
bulunur. Ortak kütlenin yükselme miktarı;
h = g
v
2
ortak2
h = ·
( )
2 10
4
5
42
= m bulunur.
Yanıt C dir.
16. m kütleli cismin L noktasındaki hızı;
mgh = 2
1 m · v2
10 · 1,8 = 2
1 v2 ⇒ v = 6 m/s
bulunur. Momentumun korunumundan;
Pönce = Psonra
m . v = (m + 2m) . v′
m . 6 = 3m . v′ ⇒ v′ = 2 m/s
bulunur. Çarpışmadan sonra cisimler;
h = g
v
2
2l
h = m20
4
5
1=
yüksekliğe çıkar.
Yanıt B dir.
17. Pönce = Psonra
m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · vortak
m1 · v = (m1 + m2) · v
3
m1 · v = m1 · v
3 + m2 · v
3
3
2 · m1 · v = 3
1 · m2 · v
m
m
2
1
2
1=
Yanıt B dir.
13.
Ax
y
P1 = 1 · 12 = 12 kg.m/s
PP2 = 2 · 8 = 16 kg.m/s
P = ( ) ( )12 162 2+ = 20 kg.m/s
P = (m1 + m2) · vortak
20 = (2 + 1) · vortak
vortak = 3
20 m/s
Yanıt A dır.
14. Sistemin ilk kinetik enerjisi;
Ek1 = 2
1 mv2 + 2
1 · 2m( v
2)2
Ek1 = 4
3 m · v2 .............................................. (1)
bulunur. Cisimlerin çarpışma sonrası sahip oldukla-
rı kinetik enerji;
m · v + 2m · v
2 = 3m · v′
2mv = 3m · v′ ⇒ v′ = 3
2 v
Ek2 = 2
1 · 3m · (3
2 v)2
Ek2 = 3
2 mv2 ............................................... (2)
bulunur. (1) ve (2) denklemi oranlanırsa;
·
·
E
E
m v
m v
4
3
3
2
9
8
k
k
1
2
2
2
= =
Yanıt B dir.
16 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
20. F
37°
9 m
Fx
Fy
Dinamiğin temel prensibinden;
Fnet = F . cos 37° = m . a
60 . 0,8 = 6 . a
a = 8 m/s2 bulunur.
x = 2
1 a · t2
9 = 2
1 · 8 · t2 ⇒ t = 2
3 s
I = Fnet · ∆t
I = 60 · cos 37° · 2
3
I = 60 · 5
4 · 2
3 = 72 N.s bulunur.
Yanıt A dır.
21. Cismin momentumdaki değişimi;
Δ→P =
→Ps –
→Pö
dir. O hâlde;
30°
mv
30°
60°
60°
mv
mv
bulunur.
Yanıt A dır.
18. Çarpışmadan sonra;
Pönce = Psonra
m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) . vortak
1 · 20 = (1 + 3) · vortak
vortak = 5 m/s
hızla ortak kütle yatay atış hareketi yapar. O hâlde;
h = 5 t çu2
20 = 5 t çu2 ⇒ tuç = 2 s
x = vortak · tuç = 5 · 2 = 10 m bulunur.
Yanıt D dir.
19. Momentumun korunumundan;
Pönce = Psonra
m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . v
380 . 20 – 20 . 100 = 400 . v
5600 = 400 . v
v = 14 cm/s
bulunur ve P1 > P2 olduğundan cisim +x yönünde
hareket eder.
Yanıt D dir.
17İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
3.
m1
m2
P1
2P
P
P2
1 br
1 br
Şekle bakıldığında;
P1 = m1 . 2 br = P ............................................ (1)
P2 = m2 . 1 br = 2P .......................................... (2)
elde edilir. (1) ve (2) denklemleri oranlanırsa;
·
·
m br
m br
P
Pm
m
1
2
2 4
1
2
1
2
1&= =
Yanıt E dir.
4. 3m kütleli cismin iç patlama sonucu parçalanmadan
önceki düşey momentumu sıfırdır. Bu nedenle par-
çaların da düşey momentumlarının bileşkesi sıfır
olur. Böyle olması için m kütlesi cismin hızı 2v olur.
Her birinin momentumu 2mv olan parçalar arasın-
daki açı 120° olduğundan bileşkeleri +x yönünde
2mv olur.
Momentumun korunması için 3m kütleli cismin par-
çalanmadan önceki hızının 3
2 v olması gerekir.
Yanıt B dir.
Test 3 ün Çözümleri
1. Balmumu sahip olduğu düşey momentumu araba
yardımıyla yere aktarır. Yatayda momentumun ko-
runumu göz önüne alınıldığında;
Pönce = Psonra
m1 . v = (m1 + m2) . vortak
4 . 10 = (4 + 1) . vortak
vortak = 8 m/s bulunur.
Yanıt C dir.
2. A noktasındaki cismin K noktasında sahip olduğu
hız ve kinetik enerji;
mgh = 2
1 m · v2
10 · 20 = 2
1 · v2 ⇒ v = 20 m/s
Ek(önce) = 2
1 m · v2 = 2
1 · 1 · (20)2 = 200 J
bulunur. Çarpışma sonrası hızı ve kinetik enerjisi;
Pönce = Psonra
m · v = (m + m) · vortak
1 · 20 = (1 + 1) · vortak ⇒ vortak = 10 m/s
Ek(sonra) = 2
1 · 2m · vortak2 =
2
1 · 2 · (10)2 = 100 J
Çarpışma sırasında ısıya dönüşen enerji;
E1 = Ek(önce) – Ek(sonra) = 200 – 100 = 100 J
bulunur. Enerjinin korunumundan;
Ek(sonra) = E2 + mgh
100 = E2 + 2 . 10 . 2,5 ⇒ E2 = 50 J
bulunur. O hâlde;
E
E
50
100
2
1= = 2 bulunur.
Yanıt E dir.
18 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
7. Cisim maksimum yükseklikte patladığı için ilk mo-
mentumu sıfırdır. Patlamadan sonra üç parçanın
momentumlarının bileşkesi yine sıfır olur.
| P 1 + P 2 + P 3| = 0
P 3 = – ( P 1 + P 2)
olmalıdır. O hâlde;
60°60°
|P2| = 20 kg.m/s
|P1| = 20 kg.m/s |P1 + P2| = 20 kg.m/s
|P3| = 20 kg.m/s
60°
P3 = m . v3
20 = 2 . v3
v3 = 10 m/s bulunur.
Yanıt B dir.
8. Cisimlerin çarpışma öncesi momentumları eşit ve
zıt yönlü olduğundan çarpışma sonrasında geldik-
leri hızın tersi ile hareket ederler.
Yanıt A dır.
9. I. hg
v
2maxortak2
=
bağıntısı ile bulunur. g, iki gezegende farklı ol-
duğundan çıkabilecekleri h yükseklikleri farklı
olur.
II. m . v = (m + 2m) . vortak
bağıntısına göre sarkacın ortak hızları her iki
yerde de aynıdır.
III. Her iki gezegende sarkacın çıkabileceği h yük-
sekliği farklı olduğundan düşeyle yaptığı α açısı
da farklı olur.
Yanıt B dir.
5. Cisimler 3h yüksekliğinden bırakıldıklarından P
noktasında kazanacakları hız değeri v = gh6 dır.
Momentumun korunumundan;
2m · gh6 – m · gh6 = 3m · vortak
m · gh6 = 3m · vortak
vortak = gh
3
6
bulunur. Bu hızla ortak kütlenin çıkabileceği maksi-
mum yükseklik;
mgh′ = 2
1 m · (vortak)2
gh′ = gh
2
1
3
62
d n
gh′ = ··g h
2
1
9
6 ⇒ h′ = h
3
bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cis-
min momentumundan büyüktür. Bu nedenle ortak
kütle PS arasında bir noktaya çıkar.
Yanıt D dir.
6. Çarpışmadan hemen önce m kütleli cismin kazan-
dığı hız v1 , 2m kütleli cismin kazandığı hız v2 ol-
sun. Şimdi bu hızları bulalım.
mgh = 2
1 m · v12
10 · 0,8 = 2
1 · v12
v1 = 4 m/s
2mgh = 2
1 · 2m · v22
10 · 3,2 = 2
1 · v22
v2 = 8 m/s bulunur.
Çarpışmadan sonra momentumun korunumundan;
2m . v2 – m . v1 = (m + 2m + 3m) . vortak
2m . 8 – m . 4 = 6m . vortak
12m = 6m . vortak
vortak = 2 m/s
bulunur. 2m kütleli cismin momentumu m kütleli cis-
min momentumundan büyük olduğundan (b) yö-
nünde hareket eder.
Yanıt A dır.
19İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
13. Çarpışma sonrası kütleler +x yönünde hareket et-
tiğine göre düşeydeki momentum sıfır olmalıdır. O
halde;
P1y = P2y
m1 · v · cos 37° = m2 · v · sin 37°
°
°
cos
sinm
m
37
37
4
3
2
1= = bulunur.
Yanıt D dir.
14. Pönce = Psonra
m1 . v1 – m2 . v2 = (m1 + m2) . vortak
90 . 10 – 10 . 30 = (90 + 10) . vortak
600 = 100 . vortak
vortak = 6 cm/s
bulunur. m1 kütleli cismin momentumu daha büyük
olduğundan cisim v1 yönünde hareket eder.
Yanıt A dır.
15. Momentum vektörel bir büyüklük olduğundan;
1 br
1 br
|P1 + P2| = 4 kg.br
|P2| = 2 2 kg.br
|P1| = 2 2 kg.br
x
y
P3
| P 1 + P 2 < P 3|
4 kg.br < m3 . 1 br
4 kg < m3
olmalıdır. Sistemin –x yönünde hareket edebilmesi
için m3 kütlesi 5 kg olabilir.
Yanıt A dır.
10. m kütleli cisim 4h yüksekliğinden bırakıldığından
B noktasındaki hızı v = 2 gh2 olur. Çarpışmadan
sonra momentumun korunumundan;
m · 2 gh2 = 2m · vortak
vortak = gh2
bulunur. Ortak kütlenin çıkabileceği yükseklik;
h
g
v
hg
ghh
2
2
2
ortak2
=
= =
l
l
bulunur. O hâlde ortak kütle C noktasına çıkar.
Yanıt C dir.
11. Patlamadan önceki momentum +x yönünde ve
Pönce = 8 · 12 = 96 kg.m/s dir.
Patlamadan sonra m1 ve m2 kütleli parçaların mo-
mentumlarının bileşkesi +x yönünde 6 kg.m/s dir.
Momentumun korunması için m3 kütleli parçanın
momentumu +x yönünde 90 kg.m/s olması gerekir.
m3 = 2 kg olduğundan v3 hızı +x yönünde 45 m/s
olur.
Yanıt A dır.
12. Pönce = Psonra
(m1 + m2) . v2 = m2 . v2′ – m1 . v1 . cos 60°
(m + 2m) · 15 = 2m · v2′ – m · 30 · 2
1
45m = 2m · v2′ – 15m
2mv2′ = 60
v2′ = 30 m/s bulunur.
Yanıt C dir.
20 Ünite 2 Kuvvet ve Hareket
Nih
at B
ilgin
Yay
ıncı
lık©
16. Parçalanma olmadan önce momentum +x yönün-
dedir. Parçalanmadan sonra eşit kütleli dört parça-
nın momentumlarının bileşkesi +x yönünde olmalı-
dır.
Parçalanmadan sonra v1 ile v3 hız vektörlerinin
düşey bileşenleri eşit olduğundan düşey momen-
tum sıfırdır. Bu nedenle dördüncü parçanın hız vek-
törü v2 ile birlikte +x yönündedir.
Yanıt B dir.
17. Momentumun korunumundan;
Pönce = Psonra
m1 · 2v = (m1 – m2) · v′
v′ = m m
m2
–1 2
1 · v
bulunur.
Yanıt E dir.