1 Vectores Aleatorios 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio 2 Distribuciones marginales y condicionadas 3 Independencia entre variables aleatorias

1

Vectores Aleatorios

1 Distribución conjunta de un vector aleatorio

2 Distribuciones marginales y condicionadas

3 Independencia entre variables aleatorias

4 Características de un vector aleatorio

EsperanzaVarianza, Covarianza, Correlación

5 Transformaciones de vectores aleatorios

6 Distribución Normal multivariante

Estadística. Profesora: María Durbán2


En el tema anterior estudiamos distribuciones de probabilidad para unavariable aleatoria. Sin embargo, a menudo nos interesa estudiar más deuna variable en un experimento aleatorio.

Por ejemplo, en la clasificación de señales emitidas y recibidas, cada señalse clasifica como de baja, media o alta calidad. Podemos definir X=númerode señales de baja calidad recibida, e Y=número de señales de alta calidad

En general, si X e Y son dos variables aleatorias la distribución de probabilidad que define simultáneamente su comportamiento se llama distribución de probabilidad conjunta



Variables discretas

Dadas dos v.a. discretas, definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de probabilidad conjunta:

( , ) Pr( , )p x y X x Y y

,X Y

Como en el caso unidimensional está función debe verificar:

( , ) 0

( , ) 1x y

p x y

p x y

La función de distribución conjunta:

0 0

0 0 0 0( , ) Pr( , ) Pr( , )x x y y

F x y X x Y y X x Y y



Ejemplo

En el desarrollo de un nuevo receptor para la transmisión de informacióndigital, cada bit recibido se clasifica como aceptable, sospechoso o noaceptable, dependiendo de la calidad de la señal recibida.Se transmiten 4 bits y se definen las siguientes v.a.:

X = Número de bits aceptablesY = Número de bits sospechosos



Ejemplo


0 1 2 3 4

4 4.1x10-5

3 4.1x10-5 1.84x10-3

2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2

1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333

0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561

( , ) 0

( , ) 1x y

p x y

p x y

X

Y



Ejemplo


0 1 2 3 4

4 4.1x10-5

3 4.1x10-5 1.84x10-3

2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2

1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333

0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561

Pr( 1, 2)X Y

X

Y



Variables continuas

Dadas dos v.a. continuas, definimos su función distribución de probabilidad mediante la función de densidad conjunta:

( , )f x y

,X Y

Como en el caso unidimensional está función debe verificar:

( , ) 0

( , ) 1

f x y

f x y dxdy

La función de distribución conjunta:

0 0

0 0 0 0( , ) Pr( , ) ( , )y x

F x y X x Y y f x y dxdy

2 ( , )( , )

d F x yf x y

dxdy



Variables continuas

La probabilidad ahora se calcula como un volumen:

Pr( , ) ( , )b d

a ca X b c Y d f x y dxdy

Pr( 1 1, 1.5 1.5)X Y



Ejemplo

Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario.

La función de densidad conjunta viene dada por:

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

¿Pr( 1000, 2000)?X Y



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

¿Pr( 1000, 2000)?X Y

X

Y

Recinto donde la función dedensidad no es 0

1000

2000

3000

1000 2000 3000



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

¿Pr( 1000, 2000)?X Y

X

Y

1000

2000

3000

1000 2000 3000

Recinto de integración para el cálculode esa probabilidad



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

1000

0 0Pr( 1000, 2000) ( , )

yX Y f x y dxdy

X

Y

1000

2000

3000

1000 2000 3000

x=y



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

1000 2000 1000

0 0 1000 0Pr( 1000, 2000) ( , ) ( , )

0.915

yX Y f x y dxdy f x y dxdy

X

Y

1000

2000

3000

1000 2000 3000

x=y


2 Distribuciones marginales

Si se definen más de una v.a. en un experimento, es importantedistinguir entre la distribución de probabilidad conjunta y la distribuciónde probabilidad de cada variable individualmente. A la distribución de cada variable se le denomina distribución marginal.

Variables Discretas

Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta las funciones de probabilidad marginales de ambas variables son:

,X Y( , )p x y

( ) Pr( ) Pr( , )

( ) Pr( ) Pr( , )

Xy

Yx

p x X x X x Y y

p y Y y X x Y y

Son funciones de probabilidad

Se puede calcular su esperanza,varianza, etc.


Ejemplo


0 1 2 3 4

4 4.1x10-5

3 4.1x10-5 1.84x10-3

2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2

1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333

0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561

X

Y

La función de probabilidadmarginales se obtendríansumando en ambas direcciones




Ejemplo


0 1 2 3 4 0.0001 0.0036 0.0486 0.2916 0.6561

X

Y





Ejemplo


0 1 2 3 4

4 4.1x10-5

3 4.1x10-5 1.84x10-3

2 1.54x10-5 1.38x10-3 3.11x10-2

1 2.56x10-6 3.46x10-4 1.56x10-2 0.2333

0 1.6x10-7 2.88x10-5 1.94x10-3 7.83x10-2 0.6561

X

Y





Ejemplo


4 0.00004

3 0.00188

2 0.03250

1 0.24925

0 0.71637

X

Y






Variables Continuas

Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjuntalas funciones de densidad marginales de ambas variables son:

,X Y ( , )f x y

( ) ( , )

( ) ( , )

X

Y

f x f x y dy

f y f x y dx

Son funciones de densidad


-4 -2 0 2 4x

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(x)


Ejemplo

Sea X la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que un servidorse conectar con tu ordenador (en milisegundos) e Y el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario. La función de densidad conjunta viene dada por

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

¿Pr( 2000)?Y



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

¿Pr( 2000)?Y

Podemos resolverlo de dos formas:

Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado

Calcular la función de densidad marginal de Y y calcular esa probabilidad



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

X

Y

1000

2000

3000

1000 2000 3000

¿Pr( 2000)?Y


Integrar la función de densidad conjunta en el recinto adecuado

2000 0Pr( 2000) ( , ) 0.05

yY f x y dxdy

Y



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

X

Y

1000

2000

3000

1000 2000 3000

¿Pr( 2000)?Y


3 0.002 0.001

0( ) ( , ) 6 10 (1 ) 0

y y yYf y f x y dx e e y


Y

0



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

Y

1000

2000

3000

¿Pr( 2000)?Y


2000Pr( 2000) ( ) 0.05YY f y dy


Y

0



2 Distribuciones condicionadas

Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimientode una de las variables puede afectar las probabilidades que se asociancon los valores de la otra variable

Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):

ABA

ABPr

PrPr

Mide el tamañode uno conrespecto al otro



Cuando se definen más de una v.a. en un experimento, el conocimientode una de las variables puede afectar las probabilidades que se asociancon los valores de la otra variable

Variables Discretas

Dadas dos v.a. discretas, con función de probabilidad conjunta la funcion de probabilidad de Y condicionada a X=x0:

,X Y( , )p x y

0 00

0 0

( , ) Pr( , )( | )

( ) Pr( )X

p y x Y y X xp y x

p x X x

( , ) Pr( , )( | )

( ) Pr( )X

p y x Y y X xp y x

p x X x

Para un valor genérico de x

( , ) ( | ) ( )Xp y x p y x p x

A B

Podemos calcular su esperanza,varianza, etc.

0( ) 0Xp x A


Ejemplo



Como sólo se transmiten 4 bits, si X=4, necesariamente Y=0 si X=3, Y=0 ó 1

Saber lo que vale X cambia la probabilidad asociada con los valores de Y



Ejemplo



Como sólo se transmiten 4 bits, si X=3, Y=0 ó 1 Pr( 0, 3) 0.05832

Pr( 0 | 3) 0.2Pr( 3) 0.2916

Pr( 1, 3) 0.2333Pr( 1| 3) 0.8

Pr( 3) 0.2916

Y XY X

X

Y XY X

X

Pr( 0 | 3) Pr( 1| 3) 1Y X Y X

[ | 3] 0 0.2 1 0.8 0.8E Y X

Número esperado de bits sospechosos cuando en número de aceptables es 3




Variables Continuas

Dadas dos v.a. continuas, con función de densidad conjuntala función de densidad de Y condicionada a X

,X Y ( , )f x y

( , )( | )

( )X

f x yf y x

f x

Es función de densidad


( , ) ( | ) ( )Xf x y f y x f x


Ejemplo


6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

¿Cuál será la probabilidad de que el tiempo hasta que el servidor te autoriza como usuario sea más de 2000 milisegundos si el tiempo que ha tardado elservidor en conectarse ha sido 1500 milisegundos?

¿Pr( 2000 | 1500)?Y X



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

X

Y

1000

2000

3000

1000 2000 3000

( , )( | )

( )X

f x yf y x

f x

Y

0

¿Pr( 2000 | 1500)?Y X

0.003( ) ( , ) 0.003 x 0xX xf x f x y dy e

0.002 0.002( | ) 0.002 0x yf y x e x y



Ejemplo

6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y

X

Y

1000

2000

3000

1000 2000 3000

Y

0

¿Pr( 2000 | 1500)?Y X

0.002 0.002( | ) 0.002 0x yf y x e x y

2000

3 0.002

2000

Pr( 2000 | 1500) ( | 1500)

0.002

0.368

y

Y X f y X dy

e dy




En algunos experimentos, el conocimiento de una de las variables puede no afectar ninguna de las probabilidades que se asocian con los valores de la otra variable

Recordamos del Tema 3 (Probabilidad):

)Pr()|Pr(

)Pr()|Pr(

PrPrPr

BAB

ABA

BABA



Variables Discretas

,X YDiremos que dos variables son independientes si:

( | ) ( ) ( | ) ( ) Y Xp y x p y p x y p x

( , ) ( | ) ( ) ( ) ( ) , Y X Yp x y p x y p y p x p y x y



Variables Continua

,X YDiremos que dos variables son independientes si:

( | ) ( ) f ( | ) ( ) Y Xf y x f y x y f x

( , ) ( | ) ( ) ( ) ( ) , Y X Yf x y f x y f y f x f y x y


Ejemplo


6( , ) 6 10 exp( 0.001 0.002 ) 0f x y x y x y


0.002 0.002( | ) 0.002 0x yf y x e x y

3 0.002 0.001( ) 6 10 (1 ) 0y yYf y e e y

Para todos los valores de x



Esperanza

Dadas n v.a. definimos el vector n-dimensional 1 2, , , nX X X

1

2

n

X

X

X

X

La función de probabilidad/densidad del vector es la función deprobabilidad/densidad conjunta de los componentes del vector.

Se define el vector de medias como el vector cuyas componentes son las medias o esperanzas de cada componente.

1

2

n

E X

E XE

E X

μ X



Covarianza

Primero comenzamos por definir la covarianza entre dos variables:

Es una medida de la relación lineal entre dos variables

( , )Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y

Propiedades

Si son independientes ya que

Si sean independientes

Si hacemos un cambio de origen y escala:

,X Y ( , ) 0Cov X Y E XY E X E Y

( , ) 0 ,Cov X Y X Y

( , ) ( , )

Z aX b

Cov Z W abCov X Y

W cY d



Covarianza

( , )Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y

¿Cómo lo calculamos?

Necesitamos calcular la esperanza de una función de dos variablesaleatorias:

( , )E h X Y ( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y

h x y p x y

h x y f x y dxdy



´Covarianza positiva Covarianza cero

Covarianza negativa Covarianza cero

Hay relaciónpero nolineal


Ejemplo



¿Es la covarianza entre X e Y positiva o negativa?

Sabemos que cuando Y se acerca a 4, X se acerca a 0Por lo tanto la covarianza el negativa

4X Y




Correlación

La correlación entre dos variables también es una medida de la relación linear entre dos variables

( , )

( , )Cov X Y

X YVar X Var Y

Si son independientes ya que

Si

,X Y ( , ) 0X Y , 0Cov X Y

| ( , ) | 1X Y

| ( , ) | 1Y aX b X Y



Matriz de Varianzas y Covarianzas

Dadas n v.a. llamamos matriz de varianzas y covarianzasdel vector a la matriz cuadrada de orden n:

1 2, , , nX X XX

1 1 2 1

1 2 2

1

, ,

,

,

n

X

n n

Var X Cov X X Cov X X

Cov X X Var XE

Cov X X Var X

M X - μ X - μ

Propiedades

SimétricaSemidefinida positiva



Al igual que en el caso univariante, hay ocasiones en que es necesariocalcular la distribución de probabilidad de una función de dos o más v.a.

Dado un vector aleatorio con función de densidad conjuntay lo transformamos en otro vector aleatorio de la misma dimensiónmediante una función

X ( )f XY

g1 1 1

2 2 1

1

( , , )

( , , )

( , , )

n

n

n n n

y g x x

y g x x

y g x x

Existen lastransformacionesinversas

1( ) ( ( ))d

f f gd

X

Y YY

1 1

1

1

n

n n

n

dx dx

dy dyd

ddx dx

dy dy

X

Y



Si tiene menor dimensión que , completamos con elementos de hasta completar la misma dimensión.

XY YX

Ejemplo

1

1 2 1 21 22

4 0 , 1( , )

0 en el resto X X

x x x xf x x

Calcular la función de densidad de

1. Definimos

2. Buscamos la distribución conjunta de

3. Calculamos la marginal de

1 1 2Y X X

2 2Y X

1 2( , )Y YY

1Y



Ejemplo

1

1 2 1 21 22

4 0 , 1( , )

0 en el resto X X

x x x xf x x

1( ) ( ( ))d

f f gd

X

Y YY

Buscamos la distribución conjunta de1 2( , )Y YY

21

11 2 2 1 2 2( ) ( , ) ( ) ( , )

YY

g X X X g Y Y Y X Y

1 11

0 1

d

d

X

Y1

1 2 2( ( )) 4( )f g y y y Y

1 2 2( ) 4( )f y y y Y ¿En qué recinto está definida?



Ejemplo

1 20 , 1x x

1 1 2 1

2 2 2 1 2 2 1 2

0 2

0 1 0 1

Y X X y

Y X y Y Y X y y

2

1

1 2 0y y 1 2 1y y



Ejemplo

1 20 , 1x x

1 1 2 1

2 2 2 1 2 2 1 2

0 2

0 1 0 1

Y X X y

Y X y Y Y X y y

2

11 2 1

1 1 2

0 1 0

1 2 -1 1

y y y

y y y

1 2 2

1 2 1

1 1 2

( ) 4( )

0 1 0

1 2 -1 1

f y y y

y y y

y y y

Y

1 2 0y y 1 2 1y y



Ejemplo

Calculamos la marginal de 1Y

1

1

1

31 2 2 2 1 1

01 1

31 2 2 2 1 1 1

1

34( ) 0 1

2( )

8 34( ) 4 1 2

3 2

y

Y

y

y y y y y y

f y

y y y y y y y



Convolución de X1 y X2

Si X1 y X2 son variables aleatorias independientes con funciones de densidad y , la función de densidad de es 1 1( )Xf x

2 2( )Xf x 1 2Y X X

1 2( ) ( ) ( )Y X Xf y f y x f x x

Se utiliza en casos como la transformada de Fourier



Un caso que merece mención especial es el cálculo de esperanzas yvarianzas de transformaciones lineales:

1 1 m m n n m n Y A X

E E

Var M

X

Y A X

Y A A

Ejemplo

11 2

2

1 1

XY X X Y

X

1 2

1 1 21 2 1 2

1 2 2

( , ) 11 1 2 ( , )

( , ) 1

E E E

Var CovVar Var Var Cov

Cov Var

Y X X

X X XY X X X X

X X X





E E

Var M

X

Y A X

Y A A

Ejemplo

11 2

2

1 1

XY X X Y

X

1 2

1 1 21 2 1 2

1 2 2

( , ) 11 1 2 ( , )

( , ) 1

E E E

Var CovVar Var Var Cov

Cov Var

Y X X

X X XY X X X X

X X X





E E

Var M

X

Y A X

Y A A

Caso particular: Distribución Normal

1 1 2 2

~ , 1, , independientesi i i

n n

X N i n

Y a X a X a X

2 2

1 1

n n

i i i ii i

E Y a Var Y a

Normal



Ejemplo

Una pieza en forma de U está formada por tres partes, A, B y C. La longitudde A sigue una distribución Normal con media 10mm y desviación típica 0.1mm. El grosor de las partes B y C se distribuye normalmente con media2mm y desviación típica 0.05mm.Suponiendo que las dimensiones de las partes son independientes:

1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.2. En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza de esta forma sea inservible?

A

B CD



Ejemplo

1. Determinar la media y desviación típica de la distribución del hueco D.

A

B CD

D A B C ~ (10,0.1)

~ (2,0.05) ~ (2,0.05)

A N

B N C N

2 2 2

10 2 2 6

0.1 0.05 0.05 0.015

. 0.122

E D

Var D

DT D



Ejemplo

2. En esa pieza ha de encajar otra de 7.9 mm, ¿cuál es la probabilidad de que una pieza de esa forma sea inservible?

A

B CD

~ (6,0.015)D N

5.9 6Pr( 5.9) Pr

0.122

Pr( 0.82) 1 Pr( 0.82)

D Z

Z Z

1 0.7939 0.2061

El 20% de laspiezas fabricadases inservible


Si vector aleatorio sigue una distribución Normal bivariante

con vector de medias y matriz de varianzas-covarianzas

tiene función de densidad:

2

1

μ

)()'(

2

1exp

2

1 12/1 μXμXX

f

2

1

X

XX

2221

2121




)()'(

2

1exp

2

1 12/1 μXμXX

f

2 2 21 2 (1 )

21 1 21

2

21 2 2

1

1

1(1 )

2 2

1 1 2 2 1 1 2 21 2 22

1 2 1 21 2

1 1, exp 2

2(1 )2 (1 )

x x x xf x x

2221

2121

x

y

f(x,y)

x

y

f(x,y)

x

y

f(x,y)

The Bivariate Normal Distribution

x

y y y

x x1

2

1 1

2 2

Contour Plots of the Bivariate Normal Distribution

x

y y y

x x1

2

1 1

2 2

Scatter Plots of data from the Bivariate Normal Distribution

1 21 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 21 2

1 2

Función de densidad

Diagrama de dispersión


2

1

μ

2221

2121

2

1

X

XX


Propiedades

1 2

1 1 1 2 1 1

1 2 2 1

0 , independientes

X ~ , X ~ ,

X | X X | X son normales

X X

N N

y



Ejemplo

En el proceso de fabricación de lámparas electroluminiscentes (luz negra), se depositan capas de tinta en una base de plástico. El grosor de esas capas es determinarte a la hora de satisfacer las especificaciones relativas al color e intensidadde la luz.Sean X e Y el grosor de dos capas de tinta, se sabe que ambas siguen una distribución Normal, con medias 0.1mm y 0.23mm y desviaciones típicas 0.00031mmy 0.00017mm respectivamente. La correlación entre ambas es 0.Las especificaciones de grosor son las siguientes:

0.099535 0.100465

0.22966 0.23039

X

Y

¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegidaal azar satisfaga las especificaciones?



Ejemplo

0.099535 0.100465

0.22966 0.23039

X

Y

¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara elegida al azar satisfaga las especificaciones?

~ (0.1,0.00031)

~ (0.23,0.00017)

X N

Y N

Pr(0.099535 0.100465,0.22966 0.23039)X Y

0 independientes

Pr(0.099535 0.100465) Pr(0.22966 0.23039)

Pr( 1.5 1.5) Pr( 2 2)

2Pr( 1.5) 1 2Pr( 2) 1

X Y

Z Z

Z Z

0.827

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1 Vectores Aleatorios 1 Distribución conjunta de un vector aleatorio 2 Distribuciones marginales y condicionadas 3 Independencia entre variables aleatorias