Unidad 2Números y Muestras

Autor de la Presentación: Rolando Simon TitioskyBibliografía:•Ing Luis Zuloaga Rotta. Investigación de Operaciones, 2005. UNI FIIS, Peru. •Guido J. Pace (UNNE FCENA). Modelos y simulación, 1993.

Números ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS

Sucesiones de dígitos equiprobables, entre 0 y 9, ubicados aleatoreamente en toda su extensión.• Una Variable aleatoria es una función de valor

real, definida sobre un espacio muestral de naturaleza azarosa.

• El valor numérico resultante de un experimento, de una variable aleatoria, se llama número aleatorio.

Métodos De Generación• Métodos manuales: Generación de números con artificio

manuales: bolillas, patentes de los autos, guía telefónica– Ventajas: Son aleatorios y son Simples, – Desventajas: No reproducibles y Lentos

• Tablas de biblioteca: La mas importante: “A millón randon digist” editorial RAND, configurada con las radiaciones termoiónicas de un tubo de rayos catódicos.– Ventaja:

• Provienen de un fenómeno aleatorio • son reproducibles.• Se las puede estudiar y analizar rigurosamente antes de ser utilizada.

– Desventaja: • No se obtiene en tiempo real.• Necesidades de memoria.

Métodos De Generación • Métodos De Computación Analógica: Generados con

procesos físicos aleatorios (Ej: una corriente eléctrica).– Ventaja: Aleatorios.– Desventaja: No reproducible.

• Métodos De Computación Digital: Con computadoras:– Provisión Externa: Se graba en memoria las tablas Randa.– Procesos Físicos Aleatorios: Usar algún dato interno de la

computadora (temperatura, segundos, ciclos, cantidad de memoria asignada, etc).

– Relación de recurrencia: Generar números pseudoaleatorios por medio de ecuaciones de recurrencia en las que necesariamente se tiene que dar un valor inicial o semilla para obtener los siguientes valores.

• Ventaja: – Son reproducibles.– No afectan en demasía al procesador ni sobrecargan la memoria.– Existe la posibilidad de su absoluta reproducción

• Desventaja: – Son pseudoaleatorios.– Hay que probar la Calidad Aleatoria del método.

• Uniformemente distribuido (sin recurrencia):– Es recurrente cuando uno o varios elementos

se repiten con mayor frecuencia teórica, => disminución de frecuencia de los demás números.

– Estudiar la recurrencia de : 2, 6, 6, 8, 7, 6, 6, 6, 4, 7, 2, 6, 5, 6, 2,6,6,7, 6, 5, 4, 3, 3, 6, 6, 6, 2, 9,4,8,6,4,6, 9,6,3,7,6,9,6, 0.

– Hay 40 Números, por lo tanto la frecuencia teórica de cada uno de los dígitos (del 0 al 9) deberá ser 4.

– De una tabla de frecuencias se obtiene que el digito 6->F(6)=18 veces.

Propiedades de los Números aleatorios

• Estadísticamente independientes (sin periodicidad):– Tiene periodicidad cuando varios elementos,

repetidos o no, formando una cadena, aparecen en la misma secuencia.

– Estudiar periodicidad de: • 1,0,2,2,6,8,2,3,3,0,1,0,2,2,6,8,4,1,7,0,2,2,6,8,

7,6,5,3,3,5,1,0,2,2,6,8..... – Secuencia periódica 02268. . de Frecuencia 4

• 1,0,2,4,6,8,2,3,3,0,1,0,2,4,6,8,4,1,7,0,2,4,6,8, 7,6,5,3,3,5,1,0,2,4,6,8.....

– Secuencia periódica 02468. de Frecuencia 4

Propiedades de los Números aleatorios

• Reproducibles: Cuando el Método comienza con la misma Semilla, DEBE dar la misma secuencia de números Pseudoaleatoreos.

• Rápidos, velocidad de generación acorde a las necesidades.

• Mínimos de memoria.

Propiedades de los Números Pseudoaleatorios

Conclusiones: •Hay que verificar la calidad estadísticas de las series. Comprobarlas en tiempo de Ejecución es una perdida de tiempo, entonces se prueba la calidad estadística del Método.•Por la cantidad de números que se necesitan y por la velocidad de su ocurrencia, es imprescindible generarlos en la medida que se lo necesiten.

Método De Los Cuadrados Centrales Método De VON NEUMANN

• El 1er método para computadores.• Tomar un numero cualquiera de 4 dígitos y asignarlo como semilla (1er elemento de

la serie), luego se lo debe elevar al 2 y obtener un numero de 8 cifras (si la cantidad de cifras es < 8, se lo debe completar con 0 a la izquierda).

• Posteriormente se deben desechar los 2 primeros y los 2 últimos dígitos: Tomar solamente los dígitos centrales y asignarlo como el siguiente elemento de la sucesión.

• Basta solo con repetir el procedimiento para obtener la cantidad de números aleatorios necesarios.

Semilla: X0=5166.

X0=5166; X02 =26687556

X1=6875; X12 =47265625

X2=2656; X22 =07054336

X3=0543; X32 =00294849

Hallar hasta X7, realizar un análisis de Periodicidad y Recurrencia

Von Neuman. EjemploSemilla: X0=5166.• X0= 5166; X02 =26687556• X1= 6875; X12 =47265625• X2= 2656; X22 =07054336• X3= 0543; X32 =00294849• X4= 2948; X42 =08690704• X5= 6907; X52 =47706649• X6= 7066; X62 =49928356• X7= 9283; X72 =86174089

• Serie: 5,1,6,6,6,8,7,5,2,6,5,6,0,5,4,3,2,9,4,8,6,9,0,7,7,0,6,6,9,2,8,3• Largo: 32 Números. Frecuencia Teórica=32/10= 3,2Periodicidad • El 66 aparece 2 veces• El 69 aparece 2 veces• … …Recurrencia• El 6 aparece 8 veces• El 1 aparece 1 vez

Cuando la semilla es un número Primo, Impar y Fraccionario se obtiene mejores Series.

Método De FibonacciTiene 3 parámetros de tres a siete dígitos c/u y primos• Los dos 1eros se asignarán como 1er (V1) y 2do

elemento (V2) de la serie, • Un parámetro de control (A > MAX(V1, V2)) .

El 3er elemento y los siguientes se obtendrán con el modelo de generación :

Vn+1 = Vn + Vn-1 + k.ADonde: K = 0 si Vn + Vn-1 A -1 en otro caso

Notar que es como el Método de Congruencias donde K=1 y m=A

Ejemplo FibbonaciVn+1 = Vn + Vn-1 + k.A

K=(Vn + Vn-1 A)? 0:-1

/ A > [V1, V2]

Método Fibonnaci V1 30524 V2 17175

A 35818 N Vn Vn-1 Vn-1+Vn-1 K Vn+1

2 17175 30524 47699 -35818 11881 3 11881 17175 29056 0 29056 4 29056 11881 40937 -35818 5119 5 5119 29056 34175 0 34175 6 34175 5119 39294 -35818 3476 7 3476 34175 37651 -35818 1833

8 1833 3476 5309 0 5309

Prueba Estadística de CHI cuadrado: X2

• Verifica la calidad estadística de los números/métodos que se utilizarán.– Prueba de frecuencias para verificar si hay

recurrencia.• Cuanto más se aproxima a cero el valor de chi-

cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones.– n: pruebas independientes: cantidad de

Números/dígitos generados– fi: Frecuencia de un determinado suceso. La

frecuencia de uno de los dígitos generados en toda la serie.

– La Frecuencia teórica del suceso es n*pi.• Si X2<XE Entonces la serie es Equiprobable.

k

i i

i

np

npfX

i

1

22 )(

Debemos encontrar un XE en la tabla X2 que nos asegure la EquiProbabilidad de nuestra Serie. E (nivel de significación) típico:0,1XE=14,684

Ejemplo 1 CHI cuadrado: X2

Ejemplo: someter a un test de X2 la siguiente serie:8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,8, 1,4,7,0,3,6,9,2,5,8,1,4,7,0,3,6,9,2,5,8.

k

i i

i

np

npfX

i

1

22 )(

Dígito Fi n*Pi Fi-nPi (Fi-nPi)2 (Fi-nPi)2/nPi0 4 4,1 -0,1 0,01 0,002441 4 4,1 -0,1 0,01 0,002442 4 4,1 -0,1 0,01 0,002443 4 4,1 -0,1 0,01 0,002444 4 4,1 -0,1 0,01 0,002445 4 4,1 -0,1 0,01 0,002446 4 4,1 -0,1 0,01 0,002447 4 4,1 -0,1 0,01 0,002448 5 4,1 0,9 0,81 0,197569 4 4,1 -0,1 0,01 0,00244

41 Suma 0,21951

N=41, K=10n*Pi=4,1E=0,1

XE=14,684

0,21951<<14, 684 Los Números SON Equiproblables

Ejemplo 2 CHI cuadrado: X2

Someter a un test de X2 la siguiente serie:8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8, 1, 2, 9, 8

k

i i

i

np

npfX

i

1

22 )(

N=41, K=10n*Pi=4,1E=0,1

XE=14,684

61,68>>14, 684 Los Números NO SON Equiproblables

Dígito Fi n*Pi Fi-nPi (Fi-nPi)2 (Fi-nPi)2/nPi0 0 4,1 -4,1 16,81 4,100001 10 4,1 5,9 34,81 8,490242 10 4,1 5,9 34,81 8,490243 0 4,1 -4,1 16,81 4,100004 0 4,1 -4,1 16,81 4,100005 0 4,1 -4,1 16,81 4,100006 0 4,1 -4,1 16,81 4,100007 0 4,1 -4,1 16,81 4,100008 11 4,1 6,9 47,61 11,612209 10 4,1 5,9 34,81 8,49024

41 Suma 61,68293

Muestras Artificiales

Autor de la Presentación: Rolando Simon TitioskyBibliografía: Construido en base a extractos de:•Extracto de: Guido J. Pace (UNNE FCENA). Modelos y simulación,1993.•Ing Luis Zuloaga Rotta. Investigación de Operaciones, 2005. UNI FIIS, Peru.•Wikipedia.org

Muestras Artificiales• Los números aleatorios por si solos no son directamente

utilizables, a menos que posean la distribución real – Es necesario construir sucesiones numéricas a partir del

conocimiento estadísticos de la variable en cuestión.• Los métodos pueden ser definidos como:.

– General: Técnica para modelar cualquier distribución de probabilidades.

• Para Variables Continuas y/o Discretas: Números Índices– Especial: Las muestras artificiales deben ajustarse a una

determinada distribución, conocida y formalizada. Presentamos algunos casos, pero en la vida práctica, puede ser necesario la investigación de otras distribuciones especiales.

• Para Variables Continuas: Distribución Uniforme y Distribución Normal

• Para Variables Discretas: Distribución Bernoulli y Distribución Binomial

Método especial cuando el fenómeno no se ajusta a distribución alguna y posee una variable Discreta (Se puede discretizar variables continuas) o Continuas.

f(x): función de densidad de probabilidades, es la derivada de F(x).

F(X): función de distribución de probabilidades de X.

Marca A B C D E

f(x) 0,08 0,17 0,26 0,35 0,14

F(X) 0,08 0,25 0,51 0,86 1,00

N.I Inf 0 8 25 51 86

N.I Sup 7 24 50 85 99

El Método Opera así: Obtener TABLA con Marcas

1. Obtener Dígitos Aleatorios. Ej: 5 y 3= 53

2. Verificar a que marca corresponde 53 D

3. Próximo elemento de la Muestra : D.

4. SI “NO FIN” ir paso 1

Números Índices

Creación de la Tabla de los Números Índices1.Hay que definir las Marcas o Ítems discretos de la tabla2.Definir las f(x) para c/Marca:

a.Si el evento ‘x’ ocurre ‘n’ veces y se han realizado ‘z’ experimentosb.La f(x)=(n/z)

3.Calcular la F(x) para c/ Marca como Sumatoria de las f(x) antecesoras

Metodo Especial: Variable Continua

Útil donde todos los sucesos Ai tiene la misma probabilidad de ocurrencia entre los límites (a,b) de la serie: X=a+(b-a)*u

u: elemento de la sucesión aleatoria en 0 u 1 a: Origen del intervalo. b: Final del intervalo. x: elemento de la muestra.

Si desconoce los valores a y b, pero se sabe E(X) y V(X) (media y varianza), entonces se puede hacer:

)(*3)( xVXEa axEb )(*2

Distribuciones Uniforme:

Ejemplo de Distribución Uniforme

Distribución de Bernoulli• Metodo Especial: Variable Discreta• Aplica a variables aleatorias que pueden tener solo 2

valores. – Ejemplos: 0 y 1; Si/No; Alto/Bajo; Llueve o no llueve.

• Sean Y1,Y2,... Yn elementos de una Muestra Artificial con distribución uniforme en el intervalo (0,1),

• Los elementos Xk de una Muestra Artificil con distribución de Bernoulli de parámetro p, se define como:– si Yk p Xk = 1 – si Yk > p Xk = 0

Ejemplo de Bernoulli

• Parámetros de la Distribución: p=75%– p=0,75 – q=0,25

• Muestra:– si Yk p Xk = 1

– si Yk > p Xk = 0

Aleatorio. Uk Muestra Xk

0,29 1

0,35 1

0,93 0

0,50 1

0,47 1

0,40 1

0,54 1

0,83 0

0,27 1

0,18 1

Distribución BinomialEs una serie de “n” pruebas repetidas e independientes de Bernoulli con

parámetro p.

• Parámetros – N= serie de pruebas repetidas e independientes de Bernoulli – P= Parametro de Bernoulli ( q = 1 – p )– E(x) = n * p– v(x) = 2 = n * p * q

• Sean y1, y2, ... yn una muestra artificial de Beroulli de parámetro E(x) = p  n

Xk = yj

j=1• Cada Xk corresponde a un elemento de la muestra artificial Binomial con

Distribución con parámetros n, p. • La variable Xk puede tomar valores entre:

• 0: si todos los experimentos han sido fracaso• n: si todos los experimentos han sido éxitos

– Un valor x, (0< x < n) implica que han tenido éxito x experimentos de Bernoulli.

Distribución Binomial. Ejemplo