1 Thierry Dias décembre 2006 La géométrie géo : la terre metrikos : mesure

Thierry Dias décembre 20061

La géométrie

géo : la terre

metrikos : mesure


contenus des textes officielscontenus des textes officiels

L ’école élémentaire

espace géométrie

repérage

orientation

relations et propriétés

solides

figures planes

compétences et savoirs :

pluri-disciplinaire

compétences et savoirs :

mathématiques


L'objectif principal est de permettre aux élèves de passer progressivement :

d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception

à une géométrie où ils le sont par explicitation de propriétés et recours à des instruments.

deux géométries : deux géométries : empiriqueempirique et et théoriquethéorique


référence aux travaux de Salin et Berthelot


deux géométries : deux géométries : empiriqueempirique et et théoriquethéorique

de l'objet au concept


du dessin à la figure

de je vois à je sais


GéométrieEmpirique (pratique)

GéométrieThéorique

Intuition Sensible et perceptive Liée aux figures

ExpérienceLiée à l’espace

mesurableSchéma de la réalité

DéductionProche du réel et liée à l’expérience par la

vue

Démonstration basée sur des axiomes


aider au passage d'une géométrie à l'autre :

du type empirique au type théorique

référence aux travaux de Houdement et Kuzniak



liens entre intuition et expérienceliens entre intuition et expérience

intuition expérience

nourrit

structure

évidences informations

référence aux travaux de Coppe


Comment résoudre ce paradoxe perceptif ??


d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique

illustration :


Les activités du domaine géométrique :

ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles,

utiles pour résoudre des problèmes dans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur.

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programmes : progressionprogrammes : progression


Les apprentissages se déroulent de manière continuede manière continue de la petite section de maternelle jusqu’au CM2. Un vocabulaire précis doit être progressivementprogressivement mis en place.

Le principe est de partir du réel (et donc d’objets matériels) puis d’abstraire peu à peu. La primauté est donnée à la géométrie dans l’espace.

Il n’y a pas de démonstration bien entendu, mais un début d’apprentissage du raisonnement, notamment dans les activités de reproduction de figures.


Structuration de l'ensemble des concepts :aspects notionnels

Objets :

point, droite, segment, angle, milieu

carré, rectangle, losange, parallélogramme,

triangles, cercle

cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet

Relations : alignement, égalité de longueurs, perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale

Vergnaud

Mesures : longueurs et aires : périmètre et aire du carré et du rectangle, longueur du cercle.



quatre mots-clés (types de tâches) :

Reproduire : des figures, y compris la réalisation pratique de solides

Décrire : des figures, pour les identifier ou les représenter

Représenter : notamment des solides, avec les problèmes de faces visibles ou invisibles, les patrons

Construire : des figures, avec des matériaux et des outils multiples : règle, équerre, gabarit, calque, compas



Pour quoiPour quoi enseigner la géométrie : enseigner la géométrie :

1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement

2. Apprendre aux élèves à voir dans l ’espace

3. Apprendre aux élèves à raisonner

CommentComment enseigner la géométrie : enseigner la géométrie :

1. Mettre en œuvre des situations de recherche

2. Mettre en œuvre des situations de communication

3. Faire une place aux nouvelles technologies

4. Lier la géométrie aux autres disciplines

donc...


Comment enseigner la géométrie

Mettre en œuvre des situations de communicationMettre en œuvre des situations de communication

Analyser, reproduire et décrire une figure

Donner du sens à un programme de construction

à vos crayons !!


Organisation 1 : une seule figure par binôme E/RDans un premier temps, les élèves élaborent un message écrit (sans dessin), qu’ils transmettent pour exécution à leur correspondant. Dans un second temps, les récepteurs réalisent la production demandée par leur camarade. En cas d’ambiguïté, ils peuvent poser une question aux émetteurs mais par écrit.Dans un troisième temps, émetteurs et récepteurs appariés, se réunissent pour comparer avec l’attendu, débattre des différences et écrire deux messages définitifs qu’ils donnent à l’enseignant*.

* Celui-ci peut alors, soit organiser un débat collectif pour valider les messages, soit évaluer chaque message avec le groupe réalisateur de la dernière mouture.


Organisation 2 : deux figures simultanées (une différente pour chaque binôme E/R)• temps 1 : travail en binôme : observation de la figure, reproduction de la figure, description par un message• temps 2 : travail en binômes : échanges des messages : lecture de la description écrite, construction de la figure• temps 3 : mise en commun par regroupement de binômes : comparaison des figures et conclusions sur les écrits, si des différences sont importantes, on peut essayer de corriger le message écrit en tenant compte de ces différences• temps 4 : mise en commun collective : difficultés et réussites rencontrées, dégagement par l'enseignant des invariants (ce qui fonctionne bien), institutionnalisation


Un exemple de séquence

A/ règle + équerre : 2 séances

B/ règle + équerre + compas : 2 séances


A/ Règle + équerre

séance 1

objectif : permettre de découvrir que ce sont les propriétés

qui fondent les caractéristiques des polygones particuliers

que sont le carré et le rectangle et non pas leur forme.

propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à

deux), angle droit.


Fig. 1 Fig. 2

mots interdits pour les émetteurs : carré, rectangle

remarque : l'enseignant veille bien à proposer les figures de façon inclinées afin d'éviter la position prototypique.


séance 2

objectif : prendre conscience que l'orientation d'une

figure ne change pas ses propriétés, mais que le

programme de construction peut s'en trouver changé.

propriétés travaillées : côtés isométriques (et/ou deux à

deux), angle droit, milieu d'un segment, éventuellement

diagonales


Fig. 1 Fig. 2

remarque : même figure, même dimension, mais orientation différente


B/ Règle + équerre + compas

séance 3

objectif : découvrir des constructions de figure à partir d'un carré

propriétés travaillées : milieu d'un segment; arc de cercle, centre d'un cercle, éventuellement diamètre et rayon d'un cercle


Fig. 1 Fig. 2

remarque : même base carrée (visible ou non au choix)


Fig. 1 Fig. 2

séance 3 bis

remarque : ces figures peuvent être données en même temps que celles de la séance 3 lors d'un séance plus différenciée


Une classe de 6 eme du collège de la Grange du Bois et les classes de CM2 se sont lancées un défi dans le domaine de la géométrie. Les fiches proposées ont été élaborées par les élèves...Pour les utiliser, tu peux effectuer une impression de la page principale. La solution apparaît si tu cliques dans le cadre tout en bas.

http://perso.orange.fr/ecole.pierre.brossolette/geompr.html


Trace un cercle de centre A et de 3,5 cm de rayon.

Trace un cercle de 3,5 cm de rayon et qui passe par le point A.

Place les points B et C aux intersections des deux cercles.

Trace un cercle de centre B et de 3,5 cm de rayon.

Trace un cercle de centre C et de 3,5 cm de rayon.

Colorie comme tu veux avec les crayons de couleur ou les feutres.

Repasse sur les contours avec ton feutre noir.



Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser

Comment enseigner la géométrie

Mettre en œuvre des situations de communicationMettre en œuvre des situations de communication

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Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en

Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170

"Un concept est un triplet de trois ensembles C= (S, I, S) S : ensemble des situations qui donnent sens au concept (la

référence)I : ensemble des invariants sur lesquels repose

l’opérationalité des schèmes (le signifié) S : ensemble des formes langagières et non langagières qui

permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)"


BERTHELOT R. & SALIN M.H.,L’enseignement de la géométrie à l’Ecole primaire, Grand N n°53 (p. 39-56), IREM de Grenoble, 1994BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3, Grand N n°56 (p. 69-116), IREM de Grenoble, 1995BERTHELOT R. & SALIN M.H., L’enseignement de la géométrie au début du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive ?, Petit x n° 56, IREM de Grenoble, 2001IREM DE LILLE, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord - Pas de Calais, 2000HOUDEMENT C., KUZNIAK A., Géométrie et paradigmes géométriques, Petit x n° 51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999

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