1 Thierry Dias janvier 2005 La géométrie géo : la terre metrikos : mesure

Thierry Dias janvier 20051

La géométrie

géo : la terre

metrikos : mesure


Thalès

- 625

Pythagore

- 500

Platon

- 427

Euclide

- 300

Archimède

- 287

XVIII siècle

Si on représente par un segment de 20 cm la distance dans le temps entre Thalès et Archimède, quelle est, à la même échelle, la longueur du segment qui représente le temps écoulé entre Archimède et le XVIII° siècle ?

1 mètre...

pendant lequel il ne s’est quasiment rien passé !

L’ère des principaux géomètres grecs


« Nous devons regarder comme suffisamment constatée l’impossibilité de déterminer, en les mesurant directement, la plupart des grandeurs que nous désirons connaître.

C’est ce fait général qui nécessite la formation de la science mathématique… Car, renonçant, dans presque tous les cas, à la mesure immédiate des grandeurs, l’esprit humain a dû chercher à les déterminer indirectement, et c’est ainsi qu’il a été conduit à la création des mathématiques. »

Auguste Comte, XIX siècle


ConstatsConstats

• La géométrie à l’école élémentaire

• La géométrie au collège

• Difficultés d’apprentissages

plan

Re-médiations et détoursRe-médiations et détours

• situations de recherche (des énigmes à résoudre à plusieurs)

• situations de communication (donner du sens aux propriétés et aux relations grâce au langage)

• utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique : de la perception à l'expérience.


Ma devise habituelle :

Avant de faire faire des mathématiques,

commençons par faire des mathématiques !

intermède


Le géoplan 3 x 3

Combien peut-on tracer (fabriquer) de triangles et de quadrilatères (non croisés) différents sur ce géoplan ?

voici déjà deux triangles… comment trouver le maximum ?

intermède

Une petite situation de recherche en géométrie...Une petite situation de recherche en géométrie...


contenus des textes officielscontenus des textes officiels

L ’école élémentaire

espace géométrie

repérage

orientation

relations et propriétés

solides

figures planes

compétences et savoirs :

pluri-disciplinaire

compétences et savoirs :

mathématiques


L'objectif principal est de permettre aux élèves de passer progressivement :

d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception

à une géométrie où ils le sont par explicitation de propriétés et recours à des instruments.

deux géométries : deux géométries : empiriqueempirique et et théoriquethéorique


référence aux travaux de Salin et Berthelot


deux géométries : deux géométries : empiriqueempirique et et théoriquethéorique

de l'objet au concept



GéométrieEmpirique (pratique)

GéométrieThéorique

Intuition Sensible et perceptive Liée aux figures

ExpérienceLiée à l’espace

mesurableSchéma de la réalité

DéductionProche du réel et liée à l’expérience par la

vue

Démonstration basée sur des axiomes


aider au passage d'une géométrie à l'autre :

du type empirique au type théorique

référence aux travaux de Houdement et Kuzniak



liens entre intuition et expérienceliens entre intuition et expérience

intuition expérience

nourrit

structure

évidences informations

référence aux travaux de Coppe


Comment résoudre ce paradoxe perceptif ??


d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique


Les activités du domaine géométrique :

ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles,

utiles pour résoudre des problèmes dans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur.

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programmes : progressionprogrammes : progression


Les apprentissages se déroulent de manière continuede manière continue de la petite section de maternelle jusqu’au CM2. Un vocabulaire précis doit être progressivementprogressivement mis en place.

Le principe est de partir du réel (et donc d’objets matériels) puis d’abstraire peu à peu. La primauté est donnée à la géométrie dans l’espace.

Il n’y a pas de démonstration bien entendu, mais un début d’apprentissage du raisonnement, notamment dans les activités de reproduction de figures.


Structuration de l'ensemble des concepts :aspects notionnels

Objets :

point, droite, segment, angle, milieu

carré, rectangle, losange, parallélogramme,

triangles, cercle

cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet

Relations : alignement, égalité de longueurs, perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale

Vergnaud

Mesures : longueurs et aires : périmètre et aire du carré et du rectangle, longueur du cercle.



quatre mots-clés (types de tâches) :

Reproduire : des figures, y compris la réalisation pratique de solides

Décrire : des figures, pour les identifier ou les représenter

Représenter : notamment des solides, avec les problèmes de faces visibles ou invisibles, les patrons

Construire : des figures, avec des matériaux et des outils multiples : règle, équerre, gabarit, calque, compas



démarchedémarche

• La résolution de problème,

• Dans des situations finalisées :

• Situations de référence complétées par des situations de réinvestissement.



mise en oeuvremise en oeuvre

• un temps de présentation• un temps de recherche• un temps de confrontation• un temps de synthèse si nécessaire.• un temps de réinvestissement



Quelques axes du programme en cycle 3…

Géométrie dynamique

Géométrie expérimentale et place des logiciels de géométrie dynamique Un logiciel de géométrie dynamique

peut permettre la constitution d’un milieu (au sens de Brousseau) « mathématisé » … laissant la place à des actions correspondant à des concepts mathématiques offrant des rétroactions fondées sur le modèle mathématique sous jacent au logiciel.



Le collège

ProgrammesProgrammes En sixième :• Reproduction de figures simples• Mesures• Parallélépipède rectangle (représentation, patron, volume)• Symétrie axiale dans le plan (construction d ’images, conservation de propriétés, axes de symétrie d ’une figure)• Abscisse d ’un point sur une droite. Coordonnées (entiers relatifs) de points du plan.

En cinquième :• Prismes droits, cylindres de révolution (représentation, patron)• Symétrie centrale dans le plan, parallélogramme, caractérisation angulaire du parallélisme• Triangle (somme des angles, inégalité triangulaire, construction de triangles, cercle circonscrit)• Aires du triangle, du parallélogramme, du disque• Repérage sur une droite graduée et dans le plan muni d’un repère orthogonal


Le collège

ProgrammesProgrammes En quatrième :• Pyramide et cône de révolution• Translation (à partir du parallélogramme)• Triangle (droite des milieux et théorème de Thalès dans le triangle, droites remarquables)• Triangle rectangle et cercle (Pythagore et sa réciproque, tangente à un cercle, cosinus d’un angle aigu)

En troisième :• Sphère, sections planes d ’une sphère, d ’un cube. Sections d ’un cône et d ’une pyramide (par des plans parallèles à la base)• Relations trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente)• Théorème de Thalès et sa réciproque• Vecteurs (écriture, égalité, somme à partir du parallélogramme). Lien avec la translation. Coordonnées d ’un vecteur. Distance de deux points exprimée à partir des coordonnées. Composée de deux symétries centrales.• Rotations, polygones réguliers (triangle, carré, hexagone). Angle inscrit et angle au centre.


de l’école au collège : une transition difficile ?

Deux modes de construction des connaissances qui peuvent s’opposer :

Où se trouvent les principales difficultés des élèves...

2. Un mode de type théorique s’appuyant sur la déduction et qui trouve son aboutissement dans la démonstration

géométrie platonicienne

1. Un mode de type empirique basé sur l’intuition et l’expérimentation

géométrie science expérimentale


Dans le mode de type empirique, l’expérience est constitutive d’une géométrie « naturelle »

l’objet sensible (matériel) et l’objet mathématique sont confondus

l’expérience en tant qu’action sur les objets peut constituer un mode de preuve ultime

Dans le mode de type théorique, les axiomes et les définitions idéalisent l’espace réel

on parle de figure et de raisonnement

l’expérimentation n’est pas admise comme preuve, c’est le raisonnement hypothético-déductif qui prend sa place


De l’école au collège : une transition difficile ?De l’école au collège : une transition difficile ?


Dans le mode de type empirique

Dans le mode de type théorique

Ceci est un carré…

et un carré n’est pas un rectangle !

Les propriétés de cette figure (4 angles droits, 4 côtés isométriques) définissent un carré…

et un carré est aussi un rectangle !!




Dans le mode de type empirique

Dans le mode de type théorique



Les problèmes spatiaux relèvent d’une solution validée empiriquement.

Les problèmes de géométrie relèvent d’une solution prouvée mathématiquement.




Pour aider les élèves à franchir cette difficulté, il faut aménager des situations dans lesquelles on permet aux élèves de faire progressivement la différence entre :

réalité spatiale

et

modèle géométrique




En instaurant une transition entre ces deux modes de construction des connaissances : l’utilisation des instruments.

monde réel - outils perceptifs : la vue, le toucher

espace géométrique - outil de validation : la théorie

espace spatio-géométrique -

outils d ’aide à la perception : les instruments


Quels outils de contrôle...Quels outils de contrôle...

…pour un contrôle perceptif instrumenté

Il s'exerce sur des propriétés spatiales et/ou spatio-géométriques. Il utilise comme instruments certes encore la vue mais aussi d'autres instruments qui peuvent être :

- calque, gabarit, papier quadrillé, règle graduée- ou règle, équerre, compas- ou commandes d'un logiciel de géométrie dynamique

Il a pour finalité la production d'un dessin possédant certaines propriétés."



Pour quoiPour quoi enseigner la géométrie : enseigner la géométrie :

1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement

2. Apprendre aux élèves à voir dans l ’espace

3. Apprendre aux élèves à raisonner

CommentComment enseigner la géométrie : enseigner la géométrie :

1. Mettre en œuvre des situations de recherche et de communication

2. Faire une place aux nouvelles technologies

3. Lier la géométrie aux autres disciplines

donc...


Pour quoi enseigner la géométriePour quoi enseigner la géométrie

1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement :

varier les registres de représentation

développer la construction d’images mentales

mettre en évidence des liens entre la géométrie et la numération


Pourquoi enseigner la géométrie

Apprendre aux élèves à penser géométriquementApprendre aux élèves à penser géométriquement

Identités remarquables… et remarquées !!Identités remarquables… et remarquées !!

Jean Jacques ROUSSEAU (1785) , Les confessions


(a + b) (a + b) = (a+b)2 = a2 + 2ab + b2




Une autre, une autre !!!


(a + b) (a - b) = a2 - b2




Une petite dernière pour la route...


Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.



Animation Pythagore Cabri


Comment enseigner la géométrieComment enseigner la géométrie

1. Mettre en œuvre des situations de recherche :

pour faire vivre de vraies situations de construction de « nouveaux savoirs »

pour traiter du passage de la problématique pratique à celle de modélisation

pour faire plaisir à Vygotski et mettre en œuvre (enfin) la notion de constructivisme social


Comment enseigner la géométrie

Mettre en œuvre des situations de rechercheMettre en œuvre des situations de recherche




Les solutions de la Les solutions de la croix Grecque...croix Grecque...


A la recherche des carrés de Mac MahonA la recherche des carrés de Mac Mahon

Combien peut-on trouver de façons de colorier complètement ce carré avec 3 couleurs différentes ? Attention, les carrés ne doivent pas être superposables.





Mettre en œuvre des situations de communicationMettre en œuvre des situations de communication

Donner du sens à la notion de programme de

construction

Analyser, reproduire et décrire une figure

à vos crayons !!


Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser


Mettre en œuvre des situations de communicationMettre en œuvre des situations de communication

A B C D E F

G H J K L M



Faire une place aux nouvelles technologiesFaire une place aux nouvelles technologies

Le logiciel Cabri-géomètre

Cabri II




Pourquoi l’environnement Cabri-géomètre ?

Permet la modélisation d’une situation problème

Met en œuvre la médiation du théorique :

«caractère » plus théorique des outils via la médiation du

logiciel (et notamment langagière).

Caractère dynamique de la géométrie (apparition des

invariants et validation par le milieu a-didactique).


Un premier axe de recherche…

Limiter le nombre de relations pour faire émerger le

concept visé

Faire apparaître les relations et les objets comme

invariants dans des configurations spatiales




Exemple de scénario 1 Travailler le changement d’environnement

L’élève passe du :

papier-crayon : un seul dessin fixe; validation

spatiale avec instruments

au logiciel : ensemble de dessins, le déplacement

faisant « apparaître » les propriétés




- Les élèves disposent de trois figures ressemblant à des carrés, d’abord sous forme papier, puis sous forme de fichier Cabri. Il s’agit pour l’élève de décider si ce sont des carrés et de justifier ses réponses.

- Avec le document papier montrant un état de chacune des figures, l’élève va être amené à .....

- Avec le fichier Cabri, le déplacement va montrer que ...

- Une mise en commun vise à faire émerger ...

Exemple de scénario 1 : à propos des propriétés de la figure




Exemple de scénario 1 : à propos des propriétés de la figure

Dans l’environnement papier-crayon, est-ce un carré ?

Dans l’environnement Cabri 2 , est-ce un carré ?



situation 1




Exemple de scénario 2 : situation de communication sur droites et points

Objectifs Mathématiques Ancrer les notions de droite et de segment. Les envisager comme supports de trajectoire de points. Utiliser le vocabulaire géométrique correspondant : “ la droite passe par … et … ”; “ le segment a pour extrémités … et … ”

Géométrie dynamique Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme.Déterminer ces objets-trajectoires en déterminant des liens de dépendance entre objets.Construire ces objets et invalider des constructions perceptives : droite ne passant pas explicitement par deux points donnés ; segment dont les extrémités ne sont pas explicitées.




Exemple de scénario 2 : situation de communication sur droites et points

On propose à deux élèves A et B de travailler directement sur Cabri, mais sur deux fichiers voisins. Celui pour B montre uniquement des points de référence alors que celui pour A montre, en plus des mêmes points, deux autres qui se déplacent sur une droite ou un segment définis à l’aide des points de référence.

La tâche pour l’élève A est de déterminer les objets (il s’agit ici de droite ou de segment) sur lesquels se déplacent les points, de construire ces objets, de rédiger un message qui permettra à l’élève B de construire les mêmes objets.

La validation se réalise par comparaison entre les constructions sur les fichiers de A et B.Les rôles de A et B sont ensuite échangés.Une institutionnalisation peut clore cette activité.

élève A

élève B




Exemple de scénario 3 : situation de communication sur droites parallèles et droites perpendiculaires

Objectifs Mathématiques Ancrer les notions de droites parallèles ou perpendiculaires. Les envisager comme supports de trajectoire de points. Utiliser le vocabulaire géométrique correspondant : “ la droite parallèle à la droite … passant par le point … ”; “ la droite perpendiculaire à la droite … passant par le point … ”

Géométrie dynamique Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme.Déterminer ces objets-trajectoires en déterminant des liens de dépendance entre objets.Construire ces objets et invalider des constructions perceptives : droite ne passant pas explicitement par un point donné ; direction parallèle ou perpendiculaire fixée perceptivement.




Exemple de scénario 3 : situation de communication sur droites parallèles et droites perpendiculaires

La tâche pour l’élève A est de déterminer les objets (il s’agit ici de droites parallèles ou perpendiculaires à une droite donnée, passant par des des points donnés) sur lesquels se déplacent les points, de construire ces objets, de rédiger un message qui permettra à l’élève B de construire les mêmes objets. La validation se réalise par comparaison entre les constructions sur les fichiers de A et B.

Les rôles de A et B sont ensuite échangés.

Une institutionnalisation peut clore cette activité.élève A

élève B




Situation 2

Exemple de scénario 4


Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en

Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170

"Un concept est un triplet de trois ensembles C= (S, I, S) S : ensemble des situations qui donnent sens au concept (la

référence)I : ensemble des invariants sur lesquels repose

l’opérationalité des schèmes (le signifié) S : ensemble des formes langagières et non langagières qui

permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)"


BERTHELOT R. & SALIN M.H.,L’enseignement de la géométrie à l’Ecole primaire, Grand N n°53 (p. 39-56), IREM de Grenoble, 1994BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3, Grand N n°56 (p. 69-116), IREM de Grenoble, 1995BERTHELOT R. & SALIN M.H., L’enseignement de la géométrie au début du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive ?, Petit x n° 56, IREM de Grenoble, 2001IREM DE LILLE, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord - Pas de Calais, 2000HOUDEMENT C., KUZNIAK A., Géométrie et paradigmes géométriques, Petit x n° 51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999

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1 Thierry Dias janvier 2005 La géométrie géo : la terre metrikos : mesure