1

Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA

Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević

1. Predavanje

FUNKCIONALNI MODEL GPS MERENJA

Princip merenja kodnih i

faznih pseudodužina

Postupak kojim GPS prijemnik vrši kodna i fazna merenja konceptualno je veoma

jednostavan, kao što ilustruje slika 1.1. Prijemnik ustvari generiše kopiju kodnog niza i

vremenski je pomera u odnosu na originalni kodni niz koga prima sa satelita, prateći pri

tome neprekidno vrednost korelacione funkcije. Kopija i original koda vremenski su

poravnate onda kada vrednost korelacione funkcije dostigne maksimum. Ukupan

vremenski pomak do momenta poravnanja predstavlja ustvari vreme potrebno signalu da

od satelitske antene stigne do antene prijemnika. Naknadno množenje brzinom

prostiranja radio talasa daje kodnu pseudodužinu. Ceo proces odvija se u povratnom

kontrolnom sistemu implementiranom u vidu kodnog filtera (DLL).

Slika 1.1. Princip merenja GPS prijemnika upoređenjem kopije i originala signala.

Nakon poravnanja i merenja vremena puta kodovi se uklanjaju iz signala, tako da

preostaje samo noseći talas modulisan navigacionom porukom. On se dalje prati u

drugom povratnom kontrolnom sistemu koji se naziva faznim filterom (PLL). U tu svrhu

prijemnik generiše kopiju nosećeg talasa i menja mu frekvenciju sve dok se ne poklopi

sa frekvencijom i fazom originalnog nosećeg talasa. Tokom tog procesa istovremeno se

identifikuju bitovi navigacionih podataka. Razlika između frekvencije kopije i originala

nosećeg talasa pokazuje koliko je satelitski noseći talas Doplerski pomeren usled

relativnog kretanja satelita i prijemnika. Razlika između faze kopije i originala nosećeg

talasa se u trenutku prvog merenja može odrediti samo u okviru jednog faznog ciklusa

zbog periodičnosti sinusne funkcije. Od tog momenta poseban registar počinje da

uvećava ili smanjuje svoj brojač kad god se fazna razlika promeni za ceo fazni ciklus.

Nepoznati ceo broj faznih ciklusa na početku merenja naziva se faznom neodređenošću.

Množenje izmerene fazne razlike talasnom dužinom radio talasa daje faznu

pseudodužinu, a kada se talasnom dužinom pomnoži izmereni Doplerski pomak dobija

se njena brzina promene.

Kodne i fazne pseudodužine predstavljaju meru istih rastojanja, ali između njih postoje

dve bitne razlike. Prva se odnosi na tačnost. Rezolucija sa kojom komponente prijemnika

mere vreme puta signala i njegovu fazu iznosi oko 1% odgovarajuće talasne dužine, što

znači da je tačnost kodnih pseudodužina na metarskom, a faznih pseudodužina na

milimetarskom nivou. Druga razlika sastoji se u tome da su kodne pseudodužine potpuna

mera rastojanja između prijemnika i satelita, dok su fazne pseudodužine neodređene

zbog nepoznatog celog broja faznih ciklusa.

2

Funkcionalni model

kodnih pseudodužina

Funkcionalni model je deo matematičkog modela koji opisuje matematičke veze između

izvršenih merenja i nepoznatih parametara. S obzirom na to da su GPS merenja funkcija

vremena jer se izvode u dinamičkom okruženju, neophodno je prvo definisati sledeće

veličine:

t: istiniti trenutak vremena prijema signala (trenutak kada je prijemnik izvršio

merenje),

τ: istinita vrednost vremena puta signala od satelita do prijemnika,

tr: pokazivanje časovnika prijemnika r,

ts: pokazivanje časovnika satelita s.

Pod istinitom vremenskom skalom podrazumevaćemo sistemsko GPS vreme. Iz

navedenih oznaka sledi da je signal napustio satelitsku antenu u istinitom trenutku

vremena t – τ. Pošto se GPS sateliti kreću na visinama od oko 20000 – 26000 km, vreme

puta signala iznosi u proseku 75 ms.

Sada se za kodnu pseudodužinu P između prijemnika r i satelita s izmerenu u istinitom

trenutku prijema signala t može napisati:

0( ) ( ) ( ) s s

r rP t c t t t t

gde c0 označava brzinu svetlosti. Pokazivanja časovnika prijemnika i satelita u istinitim

trenucima vremena prijema signala t i emitovanja signala t – τ opterećena su greškama

δtr(t) i δts(t – τ), tako da iznose:

( ) ( ) r rt t t t t

( ) ( ) s st t t t t

Zamenom u izraz za kodnu pseudodužinu dobija se:

0 0 0( ) ( ) ( ) s s

r rP t c c t t c t t

Prvi član c0τ predstavljao bi istinito geometrijsko rastojanje R koje bi signal prešao da se

kretao kroz vakuum. Međutim, zbog prisustva atmosfere dolaze do izražaja uticaji

jonosfere I i troposfere T, zbog čega je:

0 ( , ) ( ) ( ) s s s

r r rc R t t I t T t

Primetimo da se geometrijsko rastojanje R odnosi na dužinu između položaja satelita u

trenutku emitovanja signala i položaja prijemnika u trenutku prijema signala. Da bi se

kompletirao funkcionalni model kodne pseudodužine potrebno je još uzeti u obzir

sledeće:

Položaj satelita u trenutku emitovanja signala računa se na osnovu podataka

navigacione poruke, što znači da nije apsolutno tačno poznat. Stoga se mora

3

predvideti i greška kodne pseudodužine E satelitskih efemerida u trenutku

emitovanja signala. Pošto se ta greška sporo menja, može se reći da ima istu

vrednost i u trenutku prijema signala.

Satelitski časovnici su visokostabilni i njihova greška se takođe sporo menja.

Stoga se može reći da je greška satelitskog časovnika u trenutku prijema signala

ista kao i u trenutku emitovanja signala.

Izmerena kodna pseudodužina opterećena je greškom M zbog višestruke

refleksije koja nastupa kada se direktni signal meša u prijemniku sa signalom

odbijenim od okolnih prirodnih i veštačkih reflektujućih površi.

Konačno, u funkcionalnom modelu mora biti prisutna i slučajna greška merenja

ε koja se nikada ne može u potpunosti izbeći.

Imajući u vidu ove napomene, kompletan funkcionalni model kodne pseudodužine

dobija sledeći oblik:

0 0( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s s s s s s s

r r r r r r PP t R t t E t c t t c t t I t T t M t t

Pošto se sada svi članovi modela odnose na istiniti trenutak prijema signala, eksplicitna

zavisnost od vremena se može izostaviti da bi se pojednostavila notacija. Definitivni

funkcionalni model kodnih pseudodužina u tom slučaju glasi:

0 0

s s s s s s s

r r r r r r PP R E c t c t I T M

Funkcionalni model

faznih pseudodužina

Fazna pseudodužina Φ u ciklusima dobija se po definiciji upoređenjem faze nosećeg

talasa prijemnika φr u trenutku prijema signala i faze nosećeg talasa satelita φs u trenutku

emitovanja signala:

( ) ( ) ( )s s s

r r rt t t N

Celi broj ciklusa N je inicijalno nepoznat, ali ostaje konstantan sve dok ne dođe do

eventualnog prekida prijema signala, zbog čega je prikazan kao nezavisan od vremena.

Pošto je faza jednaka proizvodu frekvencije i vremena, sledi:

( ) ( ) ( )r r rt ft t f t t t

( ) ( ) ( )s s st ft t f t t t

Odavde se za faznu pseudodužinu u ciklusima dobija:

( ) ( ) ( )s s s

r r rt f f t t f t t N

Množenje fazne pseudodužine u ciklusima talasnom dužinom λ daje faznu pseudodužinu

L u linearnim jedinicama. Ako se još uzme u obzir poznata veza c0 = λf, sledi:

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )s s s s

r r r rL t t c c t t c t t N

Postupajući dalje na potpuno isti način kao kod kodnih pseudodužina, dobija se sledeći

definitivni oblik funkcionalnog modela faznih pseudodužina:

0 0

s s s s s s s s

r r r r r r r LL R E c t c t I T N M

4

Očigledno je da su funkcionalni modeli kodnih i faznih pseudodužina veoma slični, što

je logično jer i jedan i drugi opisuju istu veličinu. Međutim, prisutne su i dve značajne

razlike:

U funkcionalnom modelu faznih pseudodužina jonosferski uticaj ima negativni

predznak. To je posledica činjenice da jonosfera utiče na prostiranje kodova i

nosećih talasa istim intenzitetom ali suprotnog smera. Drugim rečima, kodne

pseudodužine su zbog jonosferskog uticaja uvek duže, a fazne pseudodužine

kraće.

Funkcionalni model faznih pseudodužina sadrži dodatni član N (ceo broj

talasnih dužina) zbog toga što je merenje fazne razlike u prijemniku moguće

samo u okviru jedne talasne dužine.

Koordinate prijemnika Pošto funkcionalni model predstavlja matematičku vezu između izvršenih merenja i

nepoznatih parametara, može se postaviti pitanje gde su u funkcionalnim modelima

kodnih i faznih pseudodužina koordinate prijemnika koje upravo predstavljaju geodetski

interesantne veličine.

Nepoznate koordinate prijemnika implicitno su sadržane u geometrijskom rastojanju R.

Ako se sa Xr, Yr, Zr označe koordinate prijemnika u trenutku prijema signala, a sa Xs, Y

s,

Zs koordinate satelita u trenutku emitovanja signala, geometrijsko rastojanje iznosi:

2 2 2( ) ( ) ( )s s s s

r r r rR X X Y Y Z Z

Vrednosti pojedinih

članova funkcionalnog

modela

Kodne i fazne pseudodužine predstavljale bi u idealnim uslovima meru geometrijskog

rastojanja R između prijemnika i satelita. U realnosti je, međutim, prisutan čitav niz

poremećajnih uticaja koje smo morali uzeti u obzir prilikom formulisanja funkcionalnog

modela. Njihov intenzitet je varijabilan jer zavisi od mnogih faktora, ali se za neke

prosečne uslove može reći sledeće:

Uticaj greške efemerida E: Da bi se sračunale koordinate satelita u trenutku

emitovanja signala koriste se podaci o satelitskim efemeridama iz navigacione

poruke. Greška pseudodužine E pojavljuje se zbog toga što su podaci iz

navigacione poruke takođe opterećeni greškama jer su rezultat merenja i

računanja koja vrši kontrolni GPS segment. Ova greška iznosi oko 1 m kada se

koriste komercijalne efemeride koje su dostupne u realnom vremenu. Precizne

efemeride imaju mnogo veću tačnost, i u tom slučaju greška E iznosi 2 – 3 cm.

Greška časovnika prijemnika δtr: Kod savremenih GPS prijemnika greška

časovnika nikad ne prelazi vrednost od 1 ms. Međutim, problem je u tome što

se ona množi brzinom svetlosti, tako da odgovarajuća greška pseudodužine

dostiže 300 km.

Greška časovnika satelita δts: Za razliku od prijemnika, GPS sateliti su

opremljeni rubidijumskim i cezijumskim atomskim časovnicima visoke

preciznosti i stabilnosti. Osim toga, u navigacionoj poruci emituju se podaci o

koeficijentima kojima se može sračunati greška satelitskog časovnika. Pošto su

ti podaci takođe rezultat merenja i računanja kontrolnog GPS segmenta,

preostala greška časovnika iznosi manje od 5 ns, što nakon množenja brzinom

svetlosti daje grešku pseudodužine od 1 – 2 m.

Uticaj jonosfere I: Jonosferski uticaj zavisi od doba dana, godine, Sunčeve

aktivnosti, frekvencije talasa i vertikalnog ugla satelita u trenutku opažanja.

5

Kada je satelit u zenitu, greška pseudodužine usled uticaja jonosfere kreće se od

3 – 15 m. Za satelite blizu horizonta ovaj uticaj može biti 3 – 4 puta veći.

Uticaj troposfere T: Troposferski uticaj pre svega zavisi od stanja atmosfere

odnosno vrednosti temperature, atmosferskog pritiska i vlažnosti vazduha. Osim

toga, od značaja su i visina na kojoj je prijemnik, kao i vertikalni ugao satelita u

trenutku merenja. Kada je satelit u zenitu, greška pseudodužine usled uticaja

troposfere iznosi 1 – 2.5 m. Za satelite u blizini horizonta, greška može biti i do

10 puta veća.

Uticaj višestruke refleksije M: Zbog odbijanja GPS signala od okolnih prirodnih

i veštačkih površi, u prijemniku dolazi do mešanja direktnih i reflektovanih

talasa, zbog čega je izmerena pseudodužina opterećena određenom greškom.

Ovaj uticaj nije isti za kodne i fazne pseudodužine. Kod kodnih pseudodužina je

greška usled višestruke refleksije 1 – 2 m u normalnim okolnostima. Greška

faznih pseudodužina teorijski može iznositi najviše četvrtinu talasne dužine,

odnosno oko 5 cm.

Slučajna greška merenja ε: Merenje vremena puta signala i fazne razlike obavlja

se u posebnim digitalnim filterima prijemnika, i to je proces kojeg prate

neizbežne slučajne greške. Elektronske komponente prijemnika omogućuju

tačnost merenja sa greškom manjom od 1% od talasne dužine. To znači da je

slučajna greška merenja kodne pseudodužine oko 2 – 3 m, dok je kod fazne

pseudodužine 2 – 3 mm.

6

Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA

Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević

2. Predavanje

ODREĐIVANJE POLOŽAJA GPS SATELITA

Keplerovi orbitalni

parametri

Kao što je poznato, opšte rešenje vektorske diferencijalne jednačine drugog reda koja

opisuje neporemećeno satelitsko kretanje zavisi od šest konstanti integracije. Njihov

izbor nije jedinstven. To, na primer, mogu biti elementi vektora položaja i brzine satelita

u određenom trenutku vremena. Međutim, iz teorije diferencijalnih jednačina poznato je

da jedan skup integracionih konstanti može zameniti drugi, pod uslovom da između ovih

skupova postoji obostrano jednoznačna veza.

Alternativni i geometrijski mnogo očigledniji skup integracionih konstanti predstavljaju

Keplerovi elementi. Pet Keplerovih elemenata definiše veličinu, oblik i orijentaciju

satelitske orbite, dok šesti određuje mesto satelita na putanji. Na taj način je fiksirano

svih šest stepeni slobode kretanja, tako da se uz pomoć Keplerovih elemenata mogu

odrediti položaj i brzina satelita za bilo koji trenutak vremena.

Slika 2.1. Ilustracija geometrijskog karaktera Keplerovih parametara.

Slika 2.1 prikazuje orbitu satelita S u inercijalnom referentnom sistemu sa početkom u

centru mase Zemlje, i istovremeno ilustruje geometrijski karakter Keplerovih elemenata.

Prva dva elementa određuju oblik i veličinu eliptične putanje. To su velika poluosa elipse

a i ekscentricitet e. Umesto njih se ravnopravno mogu upotrebiti kombinacije sa drugim

parametrima kao što su mala poluosa b, parametar p ili spljoštenost f, ali pod uslovom da

u izabranom paru barem jedan element ima dimenzije dužine.

Sledeća tri Keplerova elementa, inklinacija i, rektascenzija uzlaznog čvora Ω i argument

perigeuma ω, definišu orijentaciju orbitalne ravni u inercijalnom prostoru, odnosno

7

orijentaciju eliptične putanje u orbitalnoj ravni. Ove veličine imaju sledeća značenja:

Inklinacija i je ugao pod kojim je orbitalna ravan nagnuta u odnosu na ravan

ekvatora.

Rektascenzija uzlaznog čvora Ω predstavlja ugao u ravni ekvatora između

pravca ka γ tački (x osa inercijalnog sistema) i pravca ka uzlaznom čvoru

satelitske orbite. Uzlazni čvor je tačka u kojoj satelit prolazi kroz ekvatorsku

ravan pri svom kretanju iz južne prema severnoj hemisferi. Odgovarajuća tačka

na suprotnoj strani zove se silazni čvor. Uzlazni i silazni čvor definišu

takozvanu nodalnu liniju.

Argument perigeuma ω je ugao u orbitalnoj ravni između pravca ka uzlaznom

čvoru i pravca ka perigeumu P. Perigeum je tačka orbite u kojoj je satelit

najbliži Zemlji. Tačka u kojoj je satelit najudaljeniji od Zemlje zove se

apogeum. Perigeum i apogeum definišu duž koja prolazi kroz geometrijski

centar Keplerove elipse i naziva se apsidnom linijom.

Poslednji od šest Keplerovih elemenata određuje položaj satelita na putanji. To je prava

ili istinita anomalija ν, koja se definiše kao ugao u orbitalnoj ravni između pravca ka

perigeumu P i pravca ka satelitu S. Potrebno je primetiti da perigeum kod kružnih orbita

nije definisan, pa samim tim nije ni prava anomalija. Položaj satelita je u tom slučaju

određen uglom u = ω + ν koji se naziva argumentom širine. Osim toga, umesto prave ili

istinite anomalije ravnopravno se može koristiti i ekscentrična anomalija E ili srednja

anomalija M. Od sve tri pomenute, jedino se srednja anomalija menja linearno sa

vremenom.

Sadržaj navigacione

GPS poruke

Keplrovi elementi, sa izuzetkom srednje anomalije, imaju konstantne vrednosti tokom

vremena, ali to važi samo za neporemećeno satelitsko kretanje. U realnim uslovima

postoji još čitav niz poremećajnih sila koje utiču na kretanje satelita. Zbog toga se

aktuelno satelitsko kretanje mora opisivati i dodatnim parametrima koji definišu

promene Keplerovih elemenata tokom vremena.

Rešenje koje je usvojeno pri dizajnu NAVSTAR sistema podrazumeva sledeći sadržaj

navigacione poruke:

t0e: referentni trenutak vremena satelitskih efemerida na koji se odnose svi

Keplerovi elementi,

a1/2

: kvadratni koren velike poluose satelitske orbite,

e: prvi numerički ekscentricitet satelitske orbite,

i0: inklinacija satelitske orbite u referentnom trenutku vremena,

Ω0: longituda uzlaznog čvora satelitske orbite u referentnom trenutku vremena,

u odnosu na položaj Griničkog meridijana na početku aktuelne GPS nedelje,

ω: argument perigeuma satelitske orbite,

M0: srednja anomalija GPS satelita u referentnom trenutku vremena,

di/dt: brzina promene inklinacije satelitske orbite,

: brzina promene rektascenzije uzlaznog čvora satelitske orbite,

Δn: korekcija srednjeg kretanja satelita,

Crc, Crs: harmonijski koeficijenti za računanje korekcije rastojanja do satelita,

Cuc, Cus: harmonijski koeficijenti za računanje korekcije argumenta širine,

Cic, Cis: harmonijski koeficijenti za računanje korekcije inklinacije satelitske

orbite.

8

Računanje položaja GPS

satelita u proizvoljnom

trenutku vremena

Računanje položaja GPS satelita u proizvoljnom trenutku vremena t vrši se pomoću

podataka navigacione poruke u sledećim koracima:

Vremensko udaljenje tk od referentnog trenutka vremena:

0k et t t

Popravljeno srednje kretanje satelita n (pri čemu je vrednost geocentrične

gravitacione konstante GM poznata):

3

GMn n

a

Srednja anomalija Mk:

0k kM M n t

Ekscentrična anomalija Ek iterativnim rešavanjem Keplerove jednačine:

sink k kE M e E

Prava anomalija νk:

1

tan tan2 1 2

k kEe

e

Približna vrednost argumenta širine φk:

k k

Korekcija za rastojanje do satelita δrk:

cos(2 ) sin(2 )k rc k rs kr C C

Korekcija za argument širine δuk:

cos(2 ) sin(2 )k uc k us ku C C

Korekcija za inklinaciju orbite δik:

cos(2 ) sin(2 )k ic k is ki C C

Korigovano rastojanje do satelita rk:

(1 cos )k k kr a e E r

Korigovani argument širine uk:

k k ku u

9

Korigovana inklinacija orbite ik:

0k k k

dii i t i

dt

Korigovana longituda uzlaznog čvora Ωk (pri čemu je vrednost uglovne brzine

rotacije Zemlje poznata):

0 0( )k e k e et t

Koordinate satelita u orbitalnom sistemu x0, y0, z0:

0

0

0

cos

sin

0

k k

k k

x r u

y r u

z

Koordinate satelita u sistemu WGS84:

84 0 0

84 0 0

84 0

cos cos sin

sin cos cos

sin

WGS k k k

WGS k k k

WGS k

x x y i

y x y i

z y i

Objašnjenje za računanje

longitude uzlaznog čvora

Parametar Ω0 koji je dat u okviru navigacione GPS poruke predstavlja longitudu

uzlaznog čvora satelitske orbite u referentnom trenutku vremena, u odnosu na položaj

Griničkog meridijana na početku aktuelne GPS nedelje. On se dakle može prikazati kao:

0 0 0( ) ( )et t

gde Ω(t0e) označava rektascenziju uzlaznog čvora u referentnom trenutku vremena, dok

je θ(t0) časovni ugao Griničkog meridijana u trenutku početka aktuelne GPS nedelje.

Sledi da je longituda uzlaznog čvora u proizvoljnom trenutku vremena t jednaka:

0 0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

k

e k e e k

e k e e

t t

t t t t t

t t

Korekcija položaja

satelita zbog rotacije

Zemlje

Iako se već opisanim algoritmom dobijaju koordinate GPS satelita u trenutku emitovanja

signala, potrebno je napomenuti da se te koordinate odnose na referentni sistem WGS84

u istom tom trenutku. Međutim, dok signal putuje prema anteni na Zemljinoj površi,

referentni sistem WGS84 će se zarotirati zajedno sa Zemljom za neki mali ugao i u

trenutku prijema signala zauzeće položaj koji nije identičan položaju koji je imao u

trenutku emitovanja signala. Da bi dužina između prijemnika i satelita mogla da se izrazi

u funkciji koordinata krajnjih tačaka, te koordinate moraju se odnositi na jedinstveni

koordinatni sistem. To znači da je WGS84 koordinate satelita u trenutku emitovanja

signala potrebno transformisati u referentni sistem WGS84 za njegov položaj u trenutku

prijema signala.

10

Ova transformacija lako se izvodi. Ako je xWGS84, t – τ vektor položaja satelita u sistemu

WGS84 za trenutak emitovanja signala t – τ, tada se vektor položaja satelita xWGS84, t koji

se odnosi na sistem WGS84 u trenutku prijema signala t dobija kao:

84, 3 84,( )WGS t e WGS t x R x

pri čemu matrica rotacija R3 ima oblik:

3

cos( ) sin( ) 0

( ) sin( ) cos( ) 0

0 0 1

e e

e e e

R

11

Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA

Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević

3. Predavanje

MODELI POPRAVAKA I STOHASTIČKI MODEL GPS MERENJA

Računanje popravke za

časovnik satelita

Časovnici smešteni u GPS satelitima pripadaju klasi atomskih oscilatora zasnovanih na

oscilatornim svojstvima atoma nekih elemenata. U svakom GPS satelitu nalaze se dva

rubidijumska i dva cezijumska časovnika od kojih se jedan (obično cezijumski)

proglašava glavnim, dok ostali služe kao rezerva. MeĎutim, iako ih odlikuje visoka

preciznost i odlična dugoročna stabilnost, ni atomski časovnici nisu apsolutno tačni.

Tokom postupka odreĎivanja satelitskih orbita, kontrolni GPS segment ocenjuje za svaki

satelit i koeficijente kvadratnog polinoma, af0, af1, af2, pomoću kojih se može izračunati

odstupanje pokazivanja njegovog časovnika od sistemskog GPS vremena za proizvoljni

trenutak vremena. Ovi koeficijenti se zajedno sa referentnim trenutkom vremena t0c

smeštaju u navigacionu satelitsku poruku tako da su na raspolaganju u realnom vremenu.

Popravka satelitskog časovnika δts u proizvoljnom trenutku vremena t računa se onda po

izrazu:

2

0 1 0 2 0( ) ( ) ( )s

f f c f c rt t a a t t a t t t

pri čemu Δtr označava takozvanu periodičnu relativističku popravku časovnika. Imajući

u vidu činjenicu da su polinomski koeficijenti rezultat ocenjivanja na osnovu merenja,

jasno je da ukupna popravka časovnika satelita ne može biti apsolutno tačna. Tačnost

ove popravke procenjuje se na 2 – 3 ns što je u linearnim jedinicama manje od 1 m.

Računanje relativističke

popravke

Kod razmatranja vremena koje pokazuju časovnici GPS satelita moraju se uzeti u obzir

efekti teorije relativiteta, i to iz sledeća dva razloga:

GPS sateliti se kreću relativno velikim brzinama od oko 4 km/s, zbog čega

njihovi časovnici pokazuju vreme koje sporije teče u odnosu na časovnik na

Zemljinoj površi.

GPS sateliti se s druge strane kreću u polju višeg gravitacionog potencijala,

zbog čega njihovi časovnici pokazuju vreme koje brže teče u odnosu na

časovnik na Zemljinoj površi.

Oba navedena efekta imaju konstantne vrednosti za kružnu satelitsku orbitu. Ovaj

konstantni deo uzima se u obzir na taj način što se frekvencija satelitskog oscilatora

postavlja na nešto nižu vrednost pre lansiranja satelita. Pošto su orbite GPS satelita

eliptične, oni će periodično menjati svoje rastojanje do Zemlje, tako da se periodični

relativistički efekat može izračunati po izrazu:

sinrt Fe a E

Konstanta F ima vrednost – 4.44280763310-10

, e je prvi numerički ekscentricitet

satelitske orbite, a je velika poluosa orbite, a E je ekscentrična anomalija. Rezultat za

relativističku popravku časovnika satelita dobija se u sekundama i može se smatrati

tačnim.

12

Računanje popravke za

jonosfersku refrakciju

Jonosfera je disperzivna sredina za radio talase koje koristi GPS, tako da je još u fazi

dizajna NAVSTAR sistema bilo predviĎeno da GPS sateliti emituju signale na dve

frekvencije. Kombinacijom merenja izvršenih na dve frekvencije moguće je gotovo u

potpunosti eliminisati uticaj jonosferskog kašnjenja signala, ali je za to naravno potrebno

vršiti merenja dvofrekventnim GPS prijemnikom. Korisnici koji su opremljeni samo

jednofrekventnim GPS prijemnicima još uvek mogu svoja merenja korigovati zbog

jonosferske refrakcije koristeći podatke iz satelitske navigacione poruke. Ti podaci

sastoje se od ukupno 8 koeficijenata αi, βi (i = 0, .. 3) pomoću kojih se računaju

amplituda AMP i period PER jonosferskog kašnjenja u zenitnom pravcu:

3

0

3

0

AMP

PER

i

i m

i

i

i m

i

pri čemu φm označava geomagnetsku širinu tačke kroz koju signali prodiru kroz

jonosferu. Jonosfersko kašnjenje u proizvoljnom pravcu dobija se pomoću funkcije

zenitnog odstojanja ili vertikalnog ugla pod kojim signal dospeva u prijemnik. Postupak

po kojem se računa jonosfersko kašnjenje signala zove se model KLOBUCHAR po

svom autoru.

Model KLOBUCHAR čije koeficijente sadrži navigaciona poruka formulisan je tako da

odražava prosečne jonosferske uticaje tokom cele godine i za celu Zemljinu kuglu. Zbog

toga se ovim modelom ne može eliminisati ukupan uticaj jonosferske refrakcije.

Procenjeno je da se modelom KLOBUCHAR može u najboljem slučaju obuhvatiti oko

50% jonosferskog kašnjenja signala.

Računanje popravke za

troposfersku refrakciju

Za razliku od jonosfere, troposfera nije disperzivna sredina za radio talase koje koristi

GPS, tako da njihova brzina zavisi samo od atmosferskih parametara: temperature

vazduha, atmosferskog pritiska i vlažnosti (parcijalnog pritiska vodene pare). S obzirom

na to da se atmosferski parametri mogu direktno meriti ili procenjivati na lokaciji na

kojoj se nalazi GPS prijemnik, u satelitskoj navigacionoj poruci nisu predviĎeni nikakvi

podaci u vezi troposferske refrakcije.

Uticaj troposferskog kašnjenja signala može se izračunati po raznim modelima, ali su u

najčešćoj upotrebi model SAASTAMOINEN i model HOPFIELD nazvani po svojim

autorima.

Uticaj troposferske refrakcije za pseudodužinu koja je merena u pravcu zenita (Tz0)

razdvaja se na komponentu troposferskog uticaja suvih atmosferskih gasova (Tz,d) i

komponentu troposferskog uticaja vodene pare (Tz,w):

Tz0 = Tz,d + Tz,w

Suva komponenta po pravilu zavisi od temperature (T) i atmosferskog pritiska (P), dok

dominantni uticaj u vlažnoj komponenti ima parcijalni pritisak vodene pare (e).

Troposferske komponente računaju se po modelu SAASTAMOINEN sledećim

formulama:

13

,

,

0.002277(1 0.0026cos 0.00028 )

12550.002277 0.05

z d

z w

T H P

T eT

pri čemu φ označava geodetsku širinu stanice, H je visina stanice u (km) P je atmosferski

pritisak na stanici u (mbar), T je temperatura vazduha na stanici u (0K), i e je parcijalni

pritisak vodene pare na stanici u (mbar). Rezultati se dobijaju u metrima.

Komponente troposferske refrakcije po modelu HOPFIELD račinaju se u skladu sa

sledećim formulama:

6

,

, 2

77.6 105

0.3735

d

z d

w

z w

hPT

T

heT

T

pri čemu je hd referentna visina za suvu komponentu i iznosi 43000 m, hw je referentna

visina za vlažnu komponentu i iznosi 12000 m, a ostale oznake i njihove jedinice već su

definisane u modelu SAASTAMOINEN. Rezultati se dobijaju u metrima.

Većina drugih modela pored modela SAASTAMOINEN i HOPFIELD takoĎe definiše

troposfersko kašnjenje signala samo u zenitnom pravcu. MeĎutim, pseudodužina po

pravilu nije u pravcu zenita već se odnosi na satelit koji je pod zenitnim odstojanjem z u

odnosu na stanicu. Uticaj troposferske refrakcije za takvu pseudodužinu (Tz) može se

dobiti na razne načine, ali je najjednostavnije da se zenitna vrednost (Tz0) podeli

kosinusom zenitnog odstojanja:

0

cos

z

z

TT

z

Modeli SAASTAMOINEN i HOPFIELD kao i parametri na osnovu kojih se vrši

računanje ne mogu biti apsolutno tačni, tako da i popravka za troposfersko kašnjenje

signala ima odreĎenu nesigurnost. Suva komponenta troposferske refrakcije ne

predstavlja problem i može se odrediti sa milimetarskom tačnošću (1 – 2 mm). MeĎutim,

vlažna komponenta ne može tako lako da se modelira sa visokim kvalitetom jer su

sadržaj i prostorni raspored vodene pare u atmosferi veoma varijabilni. Stoga se

procenjuje da je standardna devijacija ukupne popravke za troposfersko kašnjenje signala

na nivou od 0.5 – 1 cm.

Stohastički model GPS

merenja

Pod stohastičkim modelom GPS merenja podrazumeva se opis stohastičkih osobina

izmerenih kodnih i faznih pseudodužina. Njihove greške obično se smatraju slučajnim,

centriranim i normalno rasporeĎenim. U tom slučaju, za konstrukciju stohastičkog

modela dovoljno je poznavati disperzije ili standardne devijacije GPS merenja.

Samo merenje kodnih i faznih pseudodužina u prijemniku obavlja se u filterima čije

performanse zavise pre svega od snage signala. MeĎutim, snaga signala je u direktnoj

vezi sa zenitnim odstojanjem ili vertikalnim uglom pod kojim dospeva u prijemnik. S

druge strane, atmosferski efekti (jonosferska i troposferska refrakcija) i efekti okruženja

(višestruka refleksija) utiču na tačnost pseudodužina takoĎe u skladu sa zenitnim

odstojanjem odnosno vertikalnim uglom. Zbog svega toga, principijeno je prihvaćeno da

standardna devijacija kodnih i faznih pseudodužina zavisi od zenitnog odstojanja z

14

odnosno vertikalnog ugla E po modelu:

0 0

cos sinz

z E

gde σ0 označava standardnu devijaciju u pravcu zenita, za koju se može usvojiti vrednost

0.5 – 1 m za kodne pseudodužine i 0.5 – 1 cm za fazne pseudodužine.

15

Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA

Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević

4. Predavanje

FREKVENCIJSKE KOMBINACIJE GPS MERENJA

Definicija frekvencijskih

kombinacija

Kao što je poznato, GPS sateliti emituju signale na dve frekvencije, tako da odgovarajući

dvofrekventni GPS prijemnik može simultano izmeriti kodnu i faznu pseudodužinu na

svakoj od frekvencija. Funkcionalni modeli na primeru faznih pseudodužina glase:

1 1 1 1

2 2 2 2

L I N

L I N

pri čemu je sa ρ označeno geometrijsko rastojanje opterećeno svim nedisperzivnim

članovima (greška časovnika prijemnika i satelita, i uticaj troposferske refrakcije). Radi

jednostavnosti, u modelu nisu prikazani efekti slučajnih grešaka merenja i višestruke

refleksije koji su u svakom slučaju prisutni. Donji indeks svih prikazanih članova modela

označava frekvenciju.

Pod frekvencijskom kombinacijom Lc podrazumeva se linearna kombinacija faznih

pseudodužina L1 i L2:

1 2cL aL bL

gde a i b predstavljaju realne koeficijente. Očigledno je da se može formirati beskonačno

mnogo frekvencijskih kombinacija variranjem koeficijenata. Potrebno je, međutim,

formirati samo linearne kombinacije koje su pogodne za dalju matematičku obradu, što

znači jedno od sledećeg:

Da linearna kombinacija ne sadrži neki od uticaja (kao što je jonosferska ili

troposferska refrakcija), ili da su oni svedeni na najmanju moguću meru,

Da linearna kombinacija omogućava lakše i pouzdanije rešavanje faznih

neodređenosti,

Da je linearna kombinacija pogodna u pogledu tačnosti.

Inače, iako su u ovom slučaju za primer uzete fazne pseudodužine na dve frekvencije,

linearne kombinacije se na potpuno isti način mogu formirati i za kodne pseudodužine. U

nastavku će biti prikazane četiri najčešće korišćene frekvencije ske kombinacije.

Frekvencijska

kombinacija LIF

Frekvencijska kombinacija pod nazivom LIF (IONO FREE) dobija se sledećim izborom

koeficijenata:

2

1

2 2

1 2

2

2

2 2

1 2

fa

f f

fb

f f

pri čemu f1 i f2 označavaju frekvencije čije su brojne vrednosti poznate (oko 1.5 GHz i

16

1.2 GHz respektivno). Imajući u vidu da je jonosfera disperzivna sredina, između

jonosferskih uticaja na prvoj i drugoj frekvenciji, I1 i I2, postoji sledeća veza:

2

1

2 12

2

fI I

f

Sada se funkcionalni model frekvencijske kombinacije LIF dobija kao:

2 2

1 2

1 22 2 2 2

1 2 1 2

2 2

1 2

1 1 2 22 2 2 2

1 2 1 2

IF

f fL L L

f f f f

f fN N

f f f f

Ova frekvencijska kombinacija očigledno je pogodna zbog toga što ne sadrži uticaj

jonosferske refrakcije (odakle joj i potiče ime). Kada se uzme u obzir činjenica da je

jonosferska refrakcija dominantni izvor grešaka GPS merenja, to čini frekvencijsku

kombinaciju LIF glavnim kandidatom za matematičku obradu u najvećem broju

softverskih paketa. Nedostatak frekvencijske kombinacije LIF sastoji se u tome što

odgovarajuće fazne neodređenosti više nisu celi brojevi tako da je otežano ocenjivanje

njihovih tačnih vrednosti.

Frekvencijska

kombinacija LGF

Frekvencijska kombinacija pod nazivom LGF (GEOMETRY FREE) dobija se sledećim

izborom koeficijenata:

1

1

a

b

Pomoću njih se funkcionalni model frekvencijske kombinacije LGF dobija kao:

1 2

1 2 1 1 2 2

2 2

1 2

1 1 1 2 22

2

GFL L L

I I N N

f fI N N

f

U ovoj frekvencijskoj kombinaciji nema geometrijskog rastojanja (odakle potiče ime),

niti bilo kakvih nedisperzivnih uticaja. Zbog toga se kombinacija LGF ne može koristiti

za pozicioniranje odnosno ocenjivanje koordinata tačaka. Isto tako, iz funkcionalnog

modela se vidi da je jonosferski uticaj prisutan, ali je zbog koeficijenta kojim se množi

znatno redukovan. S druge strane, fazne neodređenosti su celi brojevi tako da je olakšano

ne samo ocenjivanje njihovih tačnih vrednosti, već i njihove nagle promene zbog prekida

prijema signala (fazni skokovi).

Frekvencijska

kombinacija LWL

Frekvencijska kombinacija pod nazivom LWL (WIDE LANE) dobija se sledećim izborom

koeficijenata:

1

1 2

2

1 2

fa

f f

fb

f f

17

Funkcionalni model frekvencijske kombinacije LWL dobija se sada kao:

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

01

1 1 2

2 1 2

1

1

2

( )

WL

WL WL

f fL L L

f f f f

f f f fI I N N

f f f f f f f f

cfI N N

f f f

fI N

f

U izvođenju ovog izraza iskorišćena je poznata veza c0 = λf. Frekvencijska kombinacija

LWL očigledno sadrži jonosferski uticaj koji je još pri tome nešto povećan zbog

koeficijenta kojim se množi. S druge strane, fazne neodređenosti NWL su celi brojevi jer

se dobijaju kao razlika celih brojeva. Najznačajnija prednost ove frekvencijske

kombinacije je međutim njena relativno velika talasna dužina λWL = 86 cm po kojoj je i

dobila ime, i zbog koje je znatno olakšano rešavanje faznih neodređenosti.

Frekvencijska

kombinacija LNL

Frekvencijska kombinacija pod nazivom LNL (NARROW LANE) dobija se sledećim

izborom koeficijenata:

1

1 2

2

1 2

fa

f f

fb

f f

Funkcionalni model frekvencijske kombinacije LNL dobija se sada kao:

1 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

01

1 1 2

2 1 2

1

1

2

( )

WL

NL NL

f fL L L

f f f f

f f f fI I N N

f f f f f f f f

cfI N N

f f f

fI N

f

Frekvencijska kombinacija LNL sadrži jonosferski uticaj koji je nešto povećan kao i kod

frekvencijske kombinacije LWL. S druge strane, fazne neodređenosti NNL su celi brojevi

jer se dobijaju kao zbir celih brojeva. Najznačajnija karakteristika ove frekvencijske

kombinacije je međutim njena mala talasna dužina λNL = 11 cm, odakle joj i potiče ime, i

zbog koje je znatno otežano rešavanje faznih neodređenosti tako da se ona obično ne

koristi za precizno pozicioniranje.

Opšta svojstva

frekvencijskih

kombinacija

Navedene frekvencijske kombinacije karakterišu razna svojstva na osnovu kojih se može

suditi o njihovoj pogodnosti za geodetsko pozicioniranje. Najvažnija su: talasna dužina,

tačnost (relativno u odnosu na tačnost faznih pseudodužina na prvoj frekvenciji) i

prisustvo jonosferskog uticaja (relativno u odnosu na jonosferski uticaj fazne

18

pseudodužine na prvoj frekvenciji).

U narednoj tabeli prikazani su svi ovi parametri, kako za originalna fazna merenja na

prvoj i drugoj frekvenciji, tako i za frekvencijske kombinacije. Prilikom računanja

standardne devijacije frekvencijske kombinacije pretpostavljena je ista tačnost za

originalan fazna merenja na obe frekvencije:

2 2 2 2 2 2

1 2 1c a b a b

Frekvencijska

kombinacija

Talasna dužina

(cm)

Standardna devijacija

(u odnosu na L1)

Jonosferski uticaj

(u odnosu na L1)

L1 19 1.0 1.0

L2 24 1.0 1.6

LIF 0 3.0 0.0

LGF ∞ 1.4 0.6

LWL 86 5.7 1.3

LNL 11 0.6 1.3

19

Predmet TEORIJA SATELITSKOG POZICIONIRANJA

Nastavnik Prof. dr Dragan Blagojević

5. Predavanje

APSOLUTNO GPS POZICIONIRANJE

Neophodne definicije Pod pozicioniranjem tačaka ili objekata podrazumeva se određivanje njihovih položaja.

U zavisnosti od posmatranog prostora, pozicioniranje može biti jednodimenzionalno

(1D), dvodimenzionalno (2D) i trodimenzionalno (3D).

Pozicioniranje odnosno određivanje položaja tačaka ili objekata vrši se po pravilu

računanjem (ocenjivanjem) njihovih koordinata. Ako su to koordinate u odnosu na

koordinatni početak koordinatnog sistema, pozicioniranje se naziva apsolutnim. Kada se

ocenjuju koordinate jedne tačke u odnosu na neku drugu (određivanje koordinatnih

razlika) radi se o relativnom pozicioniranju.

Da bi se ocenjivale koordinate tačaka ili objekata bilo u apsolutnom ili u relativnom

režimu, neophodna su merenja. Koordinate ili koordinatne razlike se po pravilu ne mere

direktno jer ne postoje merni uređaji sposobni za tako nešto. Umesto toga mere se

skalarne veličine kao što su uglovi ili dužine, koji su sa koordinatama ili koordinatnim

razlikama funkcionalno povezani.

GPS prijemnik meri kodne (P) i fazne (L) pseudodužine između svoje antene i antene

satelita. U jednoj epohi vremena, GPS prijemnik izvrši merenja do svih elektronski

vidljivih satelita. Ako je ukupan broj elektronski vidljivih satelita n, skup merenja u

jednoj epohi predstavljaće u opštem slučaju ukupno 4n kodnih i faznih pseudodužina na

obe frekvencije:

1

1 1

1

2 2

1

1 1

1

2 2

,..,

,..,

,..,

,..,

n

n

n

n

P P

P P

L L

L L

kada se merenja vrše dvofrekventnim prijemnicima, odnosno 2n kodnih i faznih

pseudodužina na jednoj frekvenciji:

1

1 1

1

1 1

,..,

,..,

n

n

P P

L L

kada se merenja vrše jednofrekventnim prijemnicima. Odgovarajuće GPS pozicioniranje

se naravno naziva dvofrekventnim ili jednofrekventnim.

Pored toga, u zavisnosti od vrste pseudodužine koja se koristi, GPS pozicioniranje može

još biti kodno ili fazno, mada je uobičajeno da se koriste obe vrste simultano.

Konačno, GPS pozicioniranje se može podeliti na statičko i kinematičko. Kod statičkog

pozicioniranja prijemnik je stacionaran i stoji na tački dok se pseudodužine mere i

memorišu. Računanje u svrhu određivanja koordinata vrši se naknadno. Kinematičko

20

pozicioniranje je pozicioniranje dok je prijemnik u pokretu, ili se na tački zadržava

veoma kratko vreme. U ovom slučaju su koordinate po prirodi stvari potrebne u realnom

vremenu tako da se i računanje vrši na licu mesta. Moguće je, međutim, isto tako

memorisati rezultate merenja, a onda koordinate tačaka određivati naknadnom

matematičkom obradom.

U nastavku će radi ilustracije biti prikazan način apsolutnog pozicioniranja pomoću

kodnih pseudodužina izmerenih na jednoj frekvenciji i u jednom trenutku vremena.

Ovakav način trenutnog pozicioniranja u realnom vremenu naziva se navigacionim

rešenjem, i omogućen je softverski kod svakog GPS prijemnika.

Matematički model

apsolutnog pozicioniranja

Ako su jednofrekventne kodne pseudodužine izmerene u nekom trenutku vremena t na

stanici A prema n elektronski vidljivih satelita, njihov funkcionalni model glasiće:

0 0 ,

k k k k k k k k

A A A A A A P AP R E c t c t I T M

pri čemu je k oznaka satelita (k = 1,..,n), dok su ostale oznake već poznate. Za svaku

izmerenu pseudodužinu moguće je sračunati sledeće:

Uticaj greške časovnika odgovarajućeg GPS satelita pomoću podataka iz

navigacione poruke,

Uticaj jonosferske refrakcije po modelu KLOBUCHAR pomoću podataka iz

navigacione poruke,

Uticaj troposferske refrakcije pomoću nekog od troposferskih modela kao što su

SAASTAMOINEN ili HOPFIELD.

U tom slučaju se funkcionalni model dobija u jednostavnijem obliku:

0 0 ,

k k k k k k k

A A A A A A AP c t I T R c t

samo što je neophodno napomenuti da sada član ε ne predstavlja samo slučajnu grešku

merenja kodne pseudodužine, već sadrži i uticaj usled greške efemerida, preostale

nemodelirane uticaje jonosferske i troposferske refrakcije i uticaj višestruke refleksije.

Merena kodna pseudodužina koja je popravljena za sve nabrojane uticaje obeležena je

oznakom ρ.

S obzirom na to da su koordinate stanice A sadržane u geometrijskom rastojanju R, iz

funkcionalnog modela se vidi da on sadrži ukupno 4 nepoznate veličine: tri koordinate

tačke A (xA, yA, zA) i jednu grešku časovnika prijemnika (δtA). To je razlog zbog kojeg je

za GPS pozicioniranje neophodno najmanje 4 elektronski vidljivih satelita.

Stohastički model izmerenih kodnih pseudodužina formira se računanjem njihovih

standardnih devijacija. Po pravilu, standardne devijacije formulišu se u funkciji zenitnog

odstojanja odgovarajućeg satelita:

0

,cos

k

A kz

gde ζ0 označava standard kodne pseudodužine u pravcu zenita, za koji se može uzeti

vrednost od oko 1 m.

21

Linearizacija

funkcionalnog modela

Nepoznate koordinate stanice A sadržane su u geometrijskom rastojanju R, ali u

nelinearnom obliku:

2 2 2( ) ( ) ( )k k k k

A A A AR x x y y z z

sa napomenom da se koordinate satelita računaju pomoću podataka iz navigacione

poruke koji se odnose na trenutak emitovanja signala tk. Do tog trenutka vremena može

se doći pomoću izraza:

0

kk At t

c

Pored toga, sračunate koordinate satelita potrebno je još popraviti za efekat rotacije

Zemlje (Sanjakov efekat).

Nepoznata greška časovnika prijemnika δtA već je u linearnom obliku. Da bi se izbegli

numerički problemi obično se uvodi zamena u koja podrazumeva proizvod sa brzinom

svetlosti tako da je izražena u linearnim jedinicama:

0A Au c t

Prema tome, nelinearizovane funkcije veze imaju oblik:

2 2 2

,( ) ( ) ( )k k k k k

A A A A A Ax x y y z z u

Da bi se ove funkcije veze linearizovale potrebne su približne vrednosti nepoznatih

koordinata stanice x0, y0, z0. Za približnu vrednost greške časovnika prijemnika u0 može

se usvojiti nula. U tom slučaju, razvoj u Tejlorov red sa zadržanim linearnim članovima

daje:

,0 ,

0 0 0 0

k k k k

k k kA A A A

A A A A A A A

A A A A

dx dy dz dux y z u

pri čemu približna vrednost pseudodužine i priraštaji nepoznatih veličina imaju sledeći

oblik:

2 2 2

,0 0 0 0

0

0

0

0

( ) ( ) ( )k k k k

A

A A

A A

A A

A A

x x y y z z

dx x x

dy y y

dz z z

du u u

Parcijalni izvodi potrebni za linearizaciju glase:

22

0

,00

0

,00

0

,00

0

1

kk

A

k

A A

kk

A

k

A A

kk

A

k

A A

k

A

A

x x

x

y y

y

z z

z

u

Može se primetiti da parcijalni izvodi po koordinatama stanice A predstavljaju ustvari

komponente jediničnih vektora ek usmerenih od stanice prema svakom satelitu do kojeg

su izvršena merenja.

Ocenjivanje nepoznatih u

modelu izravnanja

Da bi se izvršilo ocenjivanje nepoznatih koordinata i greške časovnika prijemnika koristi

se formalizam metode najmanjih kvadrata. U tu svrhu potrebno je formirati matricu

dizajna A, vektor slobodnih članova f i kovarijacionu matricu merenja C. Njihov oblik je

sledeći:

1 1 1

0 0 01 T

2 2 2

2 T

0 0 0

T

0 0 0

1

( ) 1

1 ( ) 1

... ...... ... ... ...

( ) 1

1

A A A

A A A

A A A

A A A

n

n n n

A A A

A A A

x y z

x y z

x y z

e

eA

e

1 1

1,0

2 2

2,0

,0

......

A A

A A

n n

nA A

f

f

f

f

2

0

2 12

122022 2

2

2

0

2

0 ... 0cos

0 ... 0

0 ... 00 ... 0cos

... ... ... ...... ... ... ...

0 0 ...

0 0 ...cos

n

n

z

z

z

C

Dalji postupak podrazumeva računanje matrice normalnih jednačina N i vektora

slobodnih članova n:

T 1

T 1

N A C A

n A C f

23

Rešavanjem normalnih jednačina dobijaju se sledeći najvažniji rezultati primene metode

najmanjih kvadrata:

Vektor nepoznatih veličina:

1

A

A

A

A

dx

dy

dz

du

x N n

Vektor popravaka:

v Ax f

Standard jedinice težine:

2

2 T 11

04 4

ni

i i

v

n n

v C v

Kovarijaciona matrica nepoznatih veličina:

2

, , ,

2

, , , 2 1

02

, , ,

2

, , ,

dx dx dy dx dz dx du

dx dy dy dy dz dy du

x

dx dz dy dz dz dz du

dx du dy du dz du du

C N

Definitivne vrednosti nepoznatih koordinata stanice i greške časovnika prijemnika

dobijaju se naravno po izrazima:

0

0

0

0

A A

A A

A A

A A

x x dx

y y dy

z z dz

u u du

U opštem slučaju, može se smatrati da je tačnost ovako određenog položaja tačke na

nivou od nekoliko metara.

Kvalitet navigacionog

rešenja

Tačnost navigacionog rešenja zavisi od dva ključna faktora: tačnosti izmerenih kodnih

pseudodužina koju karakteriše standard jedinice težine ζ0 i geometrijske konstelacije

stanice i GPS satelita koju karakterišu dijagonalni članovi inverzije matrice normalnih

jednačina N. Kada bi se parametrizacija u funkcionalnom modelu izvršila ne po

pravouglim koordinatama stanice A već po njenim geografskim koordinatama φ, λ, h,

kovarijaciona matrica nepoznatih parametara imala bi oblik:

24

2

, , ,

2

, , , 2 1

02

, , ,

2

, , ,

d d d d dh d du

d d d d dh d du

x

d dh d dh dh dh du

d du d du dh du du

C N

U tom slučaju mogle bi da se definišu sledeće standardne devijacije:

Standardna devijacija horizontalnog položaja:

2 2

0H HDOP

Standardna devijacija visine:

2

0V h VDOP

Standardna devijacija prostornog položaja:

2 2 2

0P h PDOP

Standardna devijacija vremena:

2

0t u TDOP

Standardna devijacija navigacionog rešenja:

2 2 2 2

0G h u GDOP

Upotrebljene skraćenice imaju sledeća značenja:

HDOP: Horizontal Dilution of Precision

VDOP: Vertical Dilution of Precision

PDOP: Position Dilution of Precision

TDOP: Time Dilution of Precision

GDOP: General Dilution of Precision

Pojedine standardne devijacije biće očigledno tim manje što su manji DOP faktori. A oni

će biti manji ukoliko je broj satelita prema kojima se vrše merenja veći i ukoliko su oni

ravnomernije razmešteni i po visini i po horizontu.

Ostale kombinacije

apsolutnog pozicioniranja

U ostale kombinacije koje se koriste za apsolutno GPS pozicioniranje mogu se ubrojiti

još i slučajevi dvofrekventnih kodnih merenja, kao i jednofrekventnih i dvofrekventnih

faznih merenja:

U slučaju dvofrekventnih kodnih merenja može se postupiti kao i u slučaju

jednofrekventnih, a to je da se za svaku pseudodužinu formira funkcionalni i

stohastički model, a zatim primeni metod najmanjih kvadrata. Pošto u odnosu

na jednofrekventnu situaciju sada ima dvostruko više merenja može se očekivati

i nešto veća tačnost. Alternativa je da se na osnovu merenja na prvoj i drugoj

25

frekvenciji formiraju kombinacije oslobođene jonosferskog uticaja PIF pa da se

ocenjivanje koordinata vrši pomoći njih.

U slučaju jednofrekventnih faznih merenja, problem se sastoji u tome što se

pored koordinata stanice i greške časovnika prijemnika pojavljuju još i fazne

neodređenosti kao nepoznate veličine. Pošto njih ima onoliko koliko i satelita,

sledi zaključak da se faznim pseudodužinama ne može vršiti apsolutno GPS

pozicioniranje na osnovu merenja samo jedne epohe. Ako je dakle broj satelita

n, broj nepoznatih biće n + 4, tako da u slučaju neprekinutog signala broj epoha

merenja e može da se dobije iz uslova da je e > (n + 4)/n. Na primer, kada su

vidljiva 4 satelita, potrebne su najmanje dve epohe merenja.

Konačno, u slučaju kada se raspolaže dvofrekventnim faznim merenjima

najbolje je formirati kombinacije oslobođene jonosferske refrakcije i pomoću

njih ocenjivati koordinate u modelu izravnanja. U opštem slučaju korišćenje

bilo jednofrekventnih bilo dvofrekventnih faznih merenja ne obezbeđuje veću

tačnost u odnosu na kodne pseudodužine. To je uglavnom zbog toga što se

fazne neodređenosti ne mogu oceniti kao celi brojevi, i što je u slučaju faznih

pseudodužina broj suvišnih merenja veoma mali.