1 LA GRANDE AVENTURE DES NOMBRES ET DU .Des marques sur un support "en dur" ou bien, des objets (cailloux,

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    LA GRANDE AVENTURE DES NOMBRES ET DU CALCUL

    Ateliers Dcouverte

    Le "Canon de Vitruve" pour mesurer ses proportions. Initiation la cryptographie (primaire, collge), aux comptages anciens.

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    Pour l'Humanit, l'invention des chiffres est aussi importante que celle des lettres. Chiffres et calculs se sont imposs comme des outils essentiels dans presque toutes les activits humaines.

    Sensibilisation des plus petits aux plus grands aux diffrents modes de comptage par un apprentissage du maniement du boulier chinois. Des concours de boulier, mme pour les dbutants, peuvent tre organiss durant la prsentation de l'atelier.

    Des manipulations, des jeux expliquant certains grands principes gomtriques faisant appel la logique et au calcul mental.

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    LHistoire et les nombres

    L'humanit a mis des millnaires pour passer de la quantit aux nombres. L'ide de nombre est l'aboutissement d'un long travail d'abstraction de la pense.

    -30 000 Prsence d'entailles numriques.

    -8 000 Apparition des calculi au Moyen Orient.

    -3 300 -2 700

    Premiers chiffres Sumer et en Elam. Premire numrotation crite. (Naissance de l'criture). Chiffres sumriens cuniformes.

    -2 000 Apparition de la base dcimale.

    -1 800 Numrotation babylonienne. Premire numrotation de position.

    -1 300 Apparition des chiffres chinois

    - 6me s. Dcouverte des valeurs irrationnelles. Pythagore.

    - 4me s. Premire crise du concept d'infini. Aristote.

    -300 Numrotation alphabtique grecque.

    -3me s. Apparition du premier zro de l'histoire dans la numrotation savante babylonienne. L'ide de limite est formule pour la premire fois. Archimde.

    -2me s. Numrotation de position chinoise sans zro. Apparition des neuf chiffres brhmis qui deviendront les chiffres indiens.

    Premiers sicles ap. J.-C.

    Les nombres ngatifs.

    4me /5me s. Numrotation de position indienne.

    5me /9me s. Numrotation de position maya avec un zro.

    fin 8me s. Arrive du calcul indien Bagdad.

    10me s.

    Chiffre ghobar dans le Maghreb et dans la pninsule ibrique. Ces chiffres dont la graphie diffre de ceux en usage dans le moyen orient arabe sont les anctres des chiffres en usage aujourd'hui. Sylvestre II tente d'imposer ces nouveaux chiffres.

    12me /15me s. Prsence du zro de la numrotation indienne en Occident.

    13me s. Premier usage d'une suite. Fibonaci.

    16me s. Premier emploi systmatique des fractions continues. Bombelli. Cardan et Bombelli formulent pour la premire fois les nombres complexes.

    16me s. Invention de la notation littrale par Vite.

    1635 Les valeurs infinitsimales. Cavalieri.

    1677 Invention du calcul infinitsimal par Newton et Leibniz. Premier emploi systmatique des sries infinies. Newton et Leibniz.

    1797 Dcouverte d'une interprtation gomtrique des nombres complexes par Gauss.

    1825 Dcouverte des nombres algbriques, ne pouvant pas s'exprimer par radicaux. Abel.

    1843 Invention des quaternions. Hamilton.

    1844 Dcouverte des nombres transcendants par Liouville. L'expression "transcendant" est cependant de Leibniz (17e).

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    1/ Linvention des nombres

    Pour mmoriser combien il y avait d'lments dans un ensemble de choses (btes, hommes ou objets), les hommes du Palolithique faisaient une marque, souvent une entaille, sur le support choisi. Ainsi, des "os numriques" ont t retrouvs.

    Pour assurer cette fonction de mmorisation de la quantit, l'homme, hormis l'os, le bois ou la pierre, a aussi utilis son propre corps (doigts, orteils, bras, jambes, articulations...). Les calculi Lors de la dernire partie de la prhistoire ( 10 000 3500 ans), l'Homme passe du nomadisme la sdentarisation. Il vit en communaut dans des villages et bien qu'il continue se nourrir de chasse et de pche, il commence se tourner vers l'levage et l'agriculture. L'Homme devient artisan dcouvre les premiers mtaux. C'est aussi le dbut des villages o les maisons accueillent toute la famille. Cette phase de la prhistoire s'arrtera avec l'invention de l'criture vers 3 000 ans avant notre re. Mais les hommes commencent alors disposer de quelques richesses et ont besoin des nombres pour compter et pour se souvenir de ce dont ils disposent. Les numrotations figures font alors leur apparition. Chaque nombre est reprsent par un signe physique. Des marques sur un support "en dur" ou bien, des objets (cailloux, perles, coquillages, nuds, ficelles..) reprsentent donc des nombres. Toutes sortes de dispositifs matriels ont t mises au point : calculi, tables compter, abaques, bouliers, cordelettes nuds sont prsentes dans la Perse de Darius au 5me sicle av. J.-C...

    Bois de renne entaill datant du Palolithique (15 000 ans av.J.-C.)

    Les marques numriques plus anciennes datent des premires civilisations du Palolithique 30 000 ans environ av. J.-C.. Les hommes qui durent apprendre conserver les nombres, avaient leur disposition deux supports privilgis, les os et le bois.

    C'est en Msopotamie et dans d'autres lieux du Moyen-Orient vers - 5 000 qu'apparaissent les calculi. Dans la pratique, chaque caillou vaut "un" et pour des raisons de commodit vidente, on eut l'ide de remplacer un tas par un seul caillou de nature diffrente, par sa couleur ou par sa forme. On retrouve en Msopotamie chez les Sumriens des objets fabriqus "pierres d'argile"), les calculi (calculus, "caillou" en latin), ds la moiti du 4me millnaire av J.-C.

    Les petits cailloux sont placs dans la boule dargile et correspondent un nombre. Quand on veut vrifier ce nombre, on casse la boule dargile comme une tirelire. Ces dispositifs matriels souffrent d'une grande faiblesse : ils sont impuissants garder trace du pass car chaque tape du calcul supprime les prcdentes. On commence alors crire sur ces boules dargile pour garder la trace des quantits quelles renferment.

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    Lexistence matrielle des nombres est alors remplace peu peu par des signes et par des dessins. Lobjet devient symbole et les premiers nombres sont invents par la civilisation sumrienne en Msopotamie vers 3 000 ans. On situe vers 2 700 ans lutilisation des Phonogrammes qui associent sous forme symbolique le quantitatif (120) et le qualitatif (bufs).

    2/ Comment comptaient les Sumriens ?

    Lhistoire des Sumriens. L'hritage Sumrien

    1. C'est pour leurs mythes de la cration du monde et de la naissance de la civilisation que les Sumriens sont connus. On leur doit, par exemple, des mythes fondateurs comme la notion de dluge. Toutes ces histoires ont t reprises dans la Bible tout en tant adaptes au monothisme.

    2. Les Sumriens ont aussi lgu l'humanit les concepts de loi, de gouvernement et de vie urbaine.

    3. On leur doit galement un systme astronomique et mathmatique qui permit de diviser le temps et l'espace en degrs ce qui allait, plus tard, aboutir nos heures, nos minutes et nos units de mesure angulaire.

    4. N'oublions pas non plus la poterie et le dveloppement de la roue des fins de transport. Ces deux bonds en avant dans les domaines de la vie quotidienne sont bel et bien d'origine sumrienne.

    5 . Et enfin, LA grande invention sumrienne par excellence : : "l'criture" qui marque la fin de la Prhistoire.

    L'histoire des Sumriens est indissociable de l'entit gographique que l'on connat sous le nom de : "Msopotamie". Cette rgion, qui s'tendait du Golfe Persique au sud la mer Mditerrane au nord de l'Iraq actuel. Diverses civilisations se sont succdes en Msopotamie. Les Sumriens furent les premiers occuper la Msopotamie. Ils en colonisrent la partie mridionale. Cette partie a d'ailleurs donn son nom aux Sumriens. En effet, en histoire ancienne, on appelle galement la Basse Msopotamie : "le pays de Sumer".

    La Msopotamie centrale est le lieu o s'est dveloppe la civilisation dite 'akkadienne'. Ce peuple dont la capitale tait Akkad habitait probablement la frontire entre la Msopotamie centrale et la Msopotamie mridionale. Les Akkadiens ont cependant connu un dveloppement plus tardif que les Sumriens.

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    L'HERITAGE SUMERIEN PAR EXCELLENCE : "L'ECRITURE" :

    Les numrations crites. Ltablissement d'une comptabilit, devenue de plus en plus complexe, a ncessit un enregistrement des comptes. Ainsi serait ne la premire numrotation crite qui est sumrienne. Les chiffres sont le plus souvent reprsents par des symboles particuliers mais quelques civilisations choisissent de ne pas en crer : la numrotation crite grecque - l'alpha est 1, bta 2 Les rgles de construction des numrations crites sont simples : il faut permettre une lecture sans ambigut, une mme criture ne devant pas reprsenter deux nombres diffrents. Il faut reprsenter un maximum de nombres avec un minimum de symboles.

    Tablette d'argile (2 400 ans av. J.-C.) en criture cuniforme o figurent clous et chevrons qui seront les chiffres de cette numration.

    Cest donc Sumer, vers 3 300 av. J.-C., en Msopotamie quest ne l'criture des nombres. Elle aurait t labore pour la gestion de l'empire, terres, troupeaux, hommes, grains... Dans les premires tablettes d'argile (qui nous ont rvl l'criture), apparaissent des nombres. Numration crite et criture semblent tre contemporaines.

    La langue sumrienne ne peut s'apparenter aucune autre langue connue. On ne peut la comprendre et la traduire qu'en ayant recours des traductions de cette langue en d'autres langues qui nous taient connues,u