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THÉORIE DES NOMBRES

PAIUS. - IMPRIMERIE GAUTHIER- V1LLARS ET Cu

66178 Quai des Grands-Augustins, 55.


PAR

M. KRAITCHIK,INGÉNIEUR A LA SOCIÉTÉ FINANCIÈRE DES TRANSPORTS

ET D'ENTREPRISES INDUSTRIELLES,

DIRECTEUR A L'INSTITUT DES HAUTES ÉTUDES DE BELGIQUE.

AVEC UNE PREFACE

de M. d'OCAGNE,Membre de l'Institut.

PARIS

GAUTHIER-V1LLARS ET C«, ÉDITEURS

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE

55, Quai des Grands-Augustins, 55

1922

Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés

pour tous pays.

PRÉFACE

J'ai eu, à diverses reprises, l'occasion cle faire remarquer

que, contrairement à un préjugé assez répandu, il n'est

pas ordinaire de trouver réunis chez une même personne

un talent distingué de mathématicien et une aptitude

particulière pour le calcul numérique; il s'agit, en réalité,

là de deux dons parfaitement distincts, de même que ceux

de la composition et de l'exécution musicales; encore uncompositeur de musique sera-t-il bien plus généralement

bon exécutant qu'un mathématicien habile calculateur;

tels illustres analystes, ayant puissamment contribué auprogrès cle nos connaissances dans les parties les plus

élevées de la théorie pure, n'ont jamais cessé de se montrer,

dans le maniement des chiffres, d'une véritable mala-

dresse. Ce n'est donc pas donner de l'auteur de cet

Ouvrage une caractéristique banale que de dire qu'il est

à la fois bon mathématicien et très remarquable calcu-

lateur; il peut, suivant la locution de Jacobi, chère à

Hermite, être regardé comme un vir arithmeticus ; il se

trouvait donc voué, en quelque sorte, par prédestination,

à poursuivre les études d'où est sortie cette Théorie des

nombres qu'il m'a fait l'honneur de me demander de pré-

senter au public.

J'ai accepté d'autant plus volontiers de le faire (bien

que n'ayant point de compétence spéciale en la matière),

que M. Kraïtchik, qui s'est fait connaître comme un ingé-

nieur distingué, en même temps qu'il poussait fort loin

PREFACE.

ses études mathématiques, s'est aussi classé parmi les

adeptes les plus fervents de la nomographie dont il a

publié nombre de très importantes applications, parti-

culièrement aux calculs financiers. Cela atteste la sou-

plesse de son esprit capable de se plier à la fois à la rigide

discipline de la théorie du nombre pur et à la multiple

variété des procédés destinés à réduire à son maximumde simplicité l'exécution des calculs approchés, seulement

requis par les besoins de la pratique courante. Les habi-

tudes d'esprit qu'il a prises en se familiarisant avec ces

procédés ne l'ont d'ailleurs peut-être pas desservi au

cours de ses études de pure théorie des nombres. On verra,

en effet, quel parti il a su tirer de certains procédés gra-

phiques — voire mécaniques — dans ses recherches rela-

tives aux propriétés des nombres entiers.

La théorie des nombres occupe une place à part dans le

domaine des mathématiques, et son développement n'a

pas été absolument concomitant de celui des autres parties

de ce domaine, ses plus notables progrès s'étant produits,

en quelque sorte, par brusques à-coups.

L'aurore de cette discipline spéciale est dominée par

deux grands noms, ceux de Fermât et d'Euler.

La participation de Fermât (i6oi-i665) à l'éclosion de

cette science ne laisse pas d'être entourée d'une sorte de

mystère; ce profond mathématicien s'est borné à formuler

les énoncés des théorèmes qu'il avait découverts en faisant

de leur démonstration, proposée aux autres chercheurs,

l'objet d'une sorte de défi. Il n'a d'ailleurs jamais fait

connaître lui-même la voie par laquelle il les a obtenus, se

bornant à affirmer que s'il la divulguait, on serait étonné

de sa simplicité.

Émanant d'un homme tel que lui, une telle déclaration

ne doit pas être regardée comme faite à la légère, et cela

incite d'autant plus à déplorer qu'il n'ait jamais révélé

le secret de sa méthode, vu les efforts qui ont été dépensés

TREFACE. VII

depuis lors par nombre de chercheurs, dont quelques-uns

des plus éminents, pour venir à bout des questions ardues

qu'il a offertes à leur sagacité. Ces efforts ont, au reste,

été couronnés de succès dans un grand nombre de cas et

n'ont abouti jusqu'ici à infirmer qu'une seule proposition

avancée par Fermât, celle-ci, au reste, sous forme dubi-

tative (voir plus loin p. 3 et 21). De celles qu'il a formulées

sans réserve, aucune, si l'on n'est pas encore parvenu à

l'établir, n'a en tout cas été trouvée en défaut.

Parmi les vainqueurs de cette sorte de tournoi arithmé-

tique, une place à part revient à Euler (1707- 1783) dont

le génie, universel en mathématiques, s'est attaché en

particulier à ce sujet difficile.

L'objet de cette étude étant principalement la recherche

des propriétés des nombres entiers, donc d'une suite essen-

tiellement discontinue, échappait a priori aux méthodes

de l'analyse infinitésimale; d'où la nécessité de créer des

modes d'investigation entièrement différents qui lui

fussent spécialement applicables; telle a été, en ce do-

maine, l'œuvre propre d' Euler.

Depuis lors, de nouveaux horizons ont été ouverts sur

cette science captivante par les travaux de plusieurs

grands mathématiciens, parmi lesquels je me bornerai à

citer Lagrange, Legendre, Gauss, Lejeune-Dirichlet,

Hermite.

Mais, bien que se rattachant encore étroitement pai leur

essence à l'arithmétique supérieure, ces travaux débordent

le cadre primitif où les premiers pionniers de cette branche

spéciale avaient borné l'objet de leurs explorations. C'est

la théorie arithmétique des formes quadratiques à deuxvariables que cette nouvelle pléiade de chercheurs a eu

surtout en vue.

Rappelons d'un mot de quelle extraordinaire fécondité

s'est montrée l'idée, conçue par le génie d' Hermite, de

l'introduction, en ce domaine, de variables continues,

VIII PREFACE.

fécondité encore attestée dernièrement par les élégantes

recherches poursuivies par Georges Humbert, pendant les

dernières années de sa carrière trop tôt terminée.

Pour en revenir à la théorie des nombres proprementdite, il convient de noter qu'en dépit de sa prodigieuse

ingéniosité. Euier n'a .pu absolument affranchir ses pro-

cédés d'investigation d'une sorte de tâtonnement ou,

plus exactement, de recours à la méthode expérimentale

consistant en des séries d'essais numériques propres à

réaliser un véritable criblage. Hermke aimait à souligner

ce caractère quasiment expérimental de certaines re-

cherches d'arithmétique pure.

Il va sans dire que ce mode opératoire, véritablement

fondé sur l'expérience, ne vise que la résolution de cer-

tains problèmes, non la démonstration des théorèmes qui

exige, comme dans les autres parties des mathématiques,

toute la rigueur des raisonnements purement logiques.

Mais, quand il s'agit de résoudre des problèmes, il con-

vient de noter que, même dans les cas où l'on peut donner

une solution directe, l'emploi du procédé par tâtonnement,

tout aussi sûr, l'emporte généralement en simplicité.

(Comparer à cet égard les nos 24 et 25 du Chapitre IV,

p. 83 et 85.)

Le tâtonnement devant, d'après cela, être regardé

comme inévitable en ce genre de recherche, la question

qui se posait consistait à le perfectionner. L'introduction

par Euler des diviseurs linéaires de formes quadratiques,

dont l'usage fut étendu par Gauss, permit déjà de réa-

liser, à cet égard, un sensible progrès.

Il y avait néanmoins plus encore à faire : il s'agissait

d'imaginer des procédés opératoires aussi sûrs, faciles et

rapides que possible, permettant d'effectuer les criblages

dont il vient d'être question sur des ensembles de nombres

assez considérables pour décourager toutes les tentatives

poursuivies par les voies ordinaires. C'est ici qu'inter-

PREFACE.

vient l'intéressante contribution due, en ces matières, à

M. Kraïtehik lui-même.

Alors que les procédés de criblage anciens ne pouvaient

guère s'appliquer pratiquement à plus d'une trentaine

ou une quarantaine de valeurs possibles, celui de M. Kraït-

ehik permet, sans plus de dépense d'effort ni de temps,

d'étendre l'opération à des ensembles comprenant plu-

sieurs millions et même plusieurs dizaines de millions

de nombres, sans que, giâce à l'emploi d'un dispositif

graphique approprié, il soit nécessaire d'écrire ces nombres.

M. Kraïtehik est même allé plus loin; il a imaginé unprojet de machine (voir p. 43) qui permettrait l'applica-

tion purement automatique du procédé et son extension

à des ensembles pouvant comporter des milliards de

valeurs à étudier.

J'ai tenu à insister sur ce qui précède pour mieuxmettre en lumière la part qui, dans le travail qu'on valire, revient plus personnellement à l'auteur; mais, en

fait, dans la façon de présenter les parties plus classiques

de son sujet et d'établir les démonstrations, il fait encore

montre d'une incontestable originalité.

Le présent Volume, borné à ce qui constitue les éléments

proprement dits de la théorie des nombres, peut être

considéré comme une sorte d'introduction à cette théorie.

Il est dans les intentions de M. Kraïtehik de poursuivre,

dans des Volumes ultérieurs, l'exposé des développements

théoriques qui s'y rattachent.

Tel qu'il est, ce premier Volume, grâce en partie à

l'abondance des tables numériques auxiliaires qu'il ren-

ferme, me semble appelé à rendre déjà de grands services

à tous ceux qu'attirent les recherches variées auxquelles

les nombres peuvent donner naissance.

M. d'Ocagne,

de l'Académie des Sciences.


CHAPITRE I.

GÉNÉRALITÉS.

1. Un nombre N est dit premier s'il n'est divisible par aucun

autre nombre, excepté les nombres i et N. Tels sont les nombres :

2.3.5.7.II...2 31— I...2 61— I ...5.2 73 -|-I.. . 2 89— I. ..•2 1^_T ....>127_ I

Tout nombre qui n'est pas premier est composé et est divisible

par quelques autres nombres. Tels sont :

4.6.8.9. 10. 12. I/|. l5...2 128+ I . . . 2256 -f- Vm .;

Le plus petit diviseur d'un nombre composé est un nombre premier;

car si N n'est pas un nombre premier, il est divisible par N,, ce

nombre étant compris entre 1 et N. Si N, n'est pas premier, il est

divisible à son tour par N 2 >> c et N 2 sera aussi diviseur de N.

En effet, si N est divisible par N,, on aura IN = N, q. Si N, est

divisible par N 2 , on aura de même N, = N.2 gr, donc N = N.2 qq'.

Si N2 n'est pas premier, il est à son tour divisible par N 3> 1 et

ce nombre N 3 sera aussi diviseur de N, etc. ; le plus petit diviseur

sera donc nécessairement un nombre premier.

2. La suite des nombres premiers est illimitée.

Nous allons démontrer qu'étant donné un nombre premier N,

aussi grand qu'on le veut, il existe toujours un nombre premier plus

grand que N.

Considérons à cet effet le nombre P(N) formé en multipliant

entre eux tous les nombres premiers depuis 2 jusque N :

P(N) = 2.3.5. 7 .u...N,

KRAÏTCHIK. t

CHAPITRE

et considérons le nombre P(JN ) -f- i qui n'est divisible ni par 2, ni

par 3, ni par 5,. . ., ni par aucun nom lue premier inférieur à N. Si

le nombre P(N)+ i est premier, le théorème est démontré. Dans

le cas contraire, son plus petit diviseur est premier, et ce plus petit

diviseur sera supérieur à N. Il existe donc, même dans ce cas, un

nombre premier supérieur à N. Dans les deux cas, le nombre Nn'est pas le dernier nombre premier, et il n'en existe pas.

3. Toutefois, les nombres premiers deviennent de plus en plus

rares dans la suite des nombres entiers. C'est ainsi qu'on compte

168 nombres premiers de 1 à 1000 (le nombre 1 n'est pas compris

dans ces 168 nombres). On n'en trouve plus que 1 35 de 1000

à 2000, 77 entre iç)C)oooet2ooooo, 71 entre 10000000 et 10001 000,

54 entre io s et io 8 -f-iooo, /J9 entre io'J et io°-j-iooo, etc.

Nous donnerons dans le deuxième Volume plus de détails à ce

sujet. Pour le moment, bornons-nous à dire qu'on possède actuel-

lement des Tables des nombres premiers jusqu'à io 7 (plus exac-

tement jusqu'à 10 01 7 000).

Ce sont les Tables de Lelimer (Factor Table). Elles donnent le

plus petit diviseur des nombres composés non divisibles par 2, 3,

5"et 7.

4. Depuis longtemps on s'est occupé de la question de savoir

s'il existe une formule qui n'exprime que des nombres premiers,

tous les nombres premiers ou certains d'entre eux. Euler a démon-

tré qu'il n'existe aucun polynôme algébrique de ee genre. Soit

F(x) = a -+- bx +- cx 2 -+- dx z -\-. .

.

un polynôme qui pour x = n donne le nombre premier N, de sorte

queN = a -+- bn -+- c/i 2+ dn*+

Si l'on fait

x = n -h AN,

on obtiendra pour F (a?) un nombre divisible par N, donc non

premier.

Fermât croyait avoir la solution de ce problème avec la formule

GENERALITES. >

qui donne :

Pour n = o F n = 3

» i 5

« 2 17

3 >5 7

4 65 537

Toutes ces valeurs de F„ sont bien premières. Il croyait donc

pouvoir affirmer que tous les nombres de la forme précitée sont

premiers. Or, Euler a démontré que.pour n ~ 5 on trouve

F 5 = 641 x 6700417.

Depuis, on a trouvé bien d'autres résultais infirmant l'assertion

de Fermât. Nous donnons la liste de tous les résultats connus au

paragraphe 6, Chapitre II.

Toutefois, on trouve des polynômes qui donnent beaucoup de

•nombres premiers. Telles sont les formules

•r 2 -h x -+ 17, 2X 2 -\--2g, x* ^- x -\- î

qui donnent 1-, 2g et \\ nombres premiers pour les 17, 29,

4i valeurs croissantes de x en commençant par x = o.

5. Deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'ont pas de

facteurs communs. Tels sont les nombres 14 et i5, 2'1— 1

et 2"+ 1.

Si N est un nombre premier, il sera premier avec tout nombre

qu'il ne divise pas, et en particulier avec tous les nombres qui lui

sont inférieurs.

On appelle plus grand diviseur de deux nombres, le plus grand

nombre qui divise chacun des nombres donnés.

Le plus grand diviseur de deux nombres A et B sera désigné par

la notation D (A, \\ ).

Tout diviseur du plus grand diviseur de deux nombres est aussi

un diviseur commun de ces nombres et sera désigné par la nota-

tion g? (A, B).

Le plus grand commun diviseur de nombres premiers entre eux

est 1

.

Le plus grand commun diviseur de deux nombres dont le plus

4 CHAPITRE I.

petit divise l'autre est le plus petit de ces nombres :

D(A, KA) = A.

Le plus grand commun diviseur de deux nombres quelconques

est égal au plus grand commun diviseur du plus petit nombre et?

du reste, de la division du plus grand par le plus petit.

Ainsi, si B = Kq -|-R, on aura

D(A,B) = B(A, R).

Il en résulte que l'algorithme du plus grand commun diviseur est

le même que celui des fractions continues.

6. Si AdB sont premiers avec C, le produit AB est aussi

premier avec C.

En effet, cherchons le plus grand commun diviseur de A et C par

une série d'égalités :

on aboutira à R«== i, car par hypothèse D( AC) = i

.

Si l'on multiplie ces égalités par B, il vient

AB = CB?,-hR,B,

CB = R,B<7 2+ B 2 B, ..., Rra_2 B — RJi-iB^-hRrtB.

Ces dernières égalités expriment successivement :

D(AB, C) = D(C, R,B) = D(C, R 2 B) =...= D(C, R„B) = D( CB) = 1

.

Corollaires :

i° D(AB, AG) = A.D(B, C);

2 Si G- est premier avec A et divise le produit AB, G divise B;

3° Si A et B sont premiers entre eux et que chacun divise C, le

produit AB divise aussi G.

En effet, soit G = AQ. Puisque B divise G ou AQ tout en étant

premier avec A, B divise Q. Soit Q = BQ,, doncC = ABQ, et

par conséquent le produit AB divise G.

7. Si l'on décompose le nombre N en ses facteurs N = a 7" b n cP. . .,

on voit que N est premier avec tout nombre ne contenant aucun

GENERALITES. 5

des facteurs «, b ou c. Par contre, N est divisible par tout

nombre IN'= am'bn'cp '

. . . qui ne contient que les facteurs a, &, c

avec des exposants m', /i', //, ... respectivement inférieurs ou

égaux à wî, /^, /?, ....

En particulier, si A e*st un nombre premier, autre que a, b, c, ...,

on auraD(N, A) = i.

La décomposition d'un nombre en ses facteurs n'est possible que

d'une seule façon.

SoientN = a"1 b n cP . . .

et

N = af'bfcp' ....

on aura

a"tb*cP..* —a^'b<c^... ;

donc les nombres a<, b{ , c, se retrouvent dans les nombres a, &,c,

Soienta = «i, 6 s= bi, c = Ci»

On notera de plus que m n'est pas supérieur à m', de même que mn'est pas supérieur à m ; donc m — m 1

, de même que 7i = /*', etc.

8. Une racine Â ième d'un nombre n'est rationnelle que si tous les

exposants dans la décomposition am bn cP

.

. . sont divisibles par k.

En effet, soit

^N = am'b ll'cP' .".., d'où N = akm '

b

kn'

c

k i''. . . = a"» b n cP . .

.

,

ce qui entraîne

m == A:m', rc = Ât', p = kp'', ....

9. Zta/is toute progression arithmétique de n termes

a, a-^-d, a-hidy

..., a-h(/i— i)c?}

où a et d sont premiers avec n, il existe un et un seul termedivisible par n, les autres termes donnent des restes différentsquand on les divise par n.

Soient q t , q.2 , </,,, ...<q n les quotients et r{ , r 2 , . .., rn les restes

de la division de termes de la progression arithmétique donnéepar n.

b CHAPITRE I.

Nous allons d'abord promer que tous les restes sont différents.

Si, en effet, il existait deux restes identiques, r/(= n avec k et /

inférieurs à N, on aurait

a + ( k — i)d= nqic-4- r#, a +- (l — i) d == nqi -h r t

ou, par soustraction,

(A— ijd = n(q/,~q ( ).

Or, cette égalité n'est pas possible, car k et / étant inférieurs à /?.

k — / n'est pas divisible par n ; <^ est aussi premier avec n.

Puisque tous les restes sont différents, la série de n restes r<,

r 2 , . . -, rn ne diffère de la série o, i, a, . ..,(n — i) que par l'ordre

des termes. 11 n'existe donc qu'un et qu'un seul terme divisible

par n ; tous les autres termes donnent des restes différents si on les

divise par n.

10. Proposons-nous de déterminer la plus grande puissance d'un

nombre premier A donné qui divise

n = i .2.3. .. n (n > A).

Convenons de représenter par E(#) le plus grand nombre entier

contenu dans x. Ainsi,

E(io) = io, E/Ï5 = 3.

Parmi les n facteurs qui forment le produit n !, il y a E( — ) = Ktermes divisibles par A. Ce sont les termes

A, >A, 3A, ..., (K — i)A,KA.

Parmi ces E I — ) termes, il y en a E(-j =E(—) Q 111 son ^

divisibles non seulement par A, mais aussi par A 2.

On trouvera de même E (—

3 jtermes divisibles par A 3

, E (

-^ )

termes divisibles par A 7', etc.

Ainsi n sera divisible par Am avec

E(l).-KêH(£)

GENERALITES. 7

Comme cas particulier, posons

n = 2*j a = 2.

On auram = 2 A'~ [ 4- 2 /l

'- 2 4- 2*~ 3+ ...+ 2 + l = 2 /, -l.

On trouve de même pour n = i k— i , a = 2,

m = (2*— 1) — /,- = 2*— (£ 4- 1).

11. Si N est décomposé en ses facteurs N = am b n cf'

.

. ., le

nombre de diviseurs de N est

(m-t-i)O-hi) (/j + i)....;

leur somme est

s =a — 1 b — 1

En effet, tout nombre de la forme a'"'

b

n'

c

r'

. . . sera diviseur de INI

si O < m < m, O < n < n, O </>'</> ?

Il en résulte que chacun des termes du produit

(1 + «-+- a 2 4-. . .4- a"') (14- 6 4- 6 2 4-. . .4- 6") (r.4- c -+-. . .4- c /;

)

est diviseur de N, et inversement, tout diviseur de N est un terme

de ce produit. Le nombre de diviseurs est donc le nombre de

termes de ce produit ou

(m + i)(fl+ i)(/) + i)

La somme de tous les diviseurs est ce produit lui-même, ou

a»i+\— l bm-hl_i c/»-n_ I

S =b —

Remarque. — Nous avons dans ce paragraphe compté parmi les

diviseurs de N les nombres 1 et N.

Dans quelques problèmes on ne compte pas le nombre N parmile^ diviseurs.

Applications. — i° Trouver la somme des £ièmes puissances des

diviseurs d'un nombre donné N = am b n cP

Cette somme est le produit

(1 + a /l4a2/'+...+ a"^)(i + 6*4- ô**1k..-+. H)(i + c*+c2/'+...+ c" /')

8

ou

CHAPITRE I.

a (;n+l)i j£<7H-l)/t

j c[P-hi)k j

6 — i

2° Trouver le plus petit nombre admettant le nombre donné de

diviseurs, par exemple 24.

Soit N = am b n ci\. . . le nombre cherché. On aura

(m + i)(n + i)(j5 + i)...= 2/i,

d'où les solutions possibles :

711 -+- ] = 24, /i = p = . . = et N = a23;

m -+-[ = 12, n + ] = 2, p = q = ..= 0, N = a"6;

m -+- [ = 8, rc-h = 3, N = a- 62

.

m -f- [ = 6, n +] = 4, N =« 5 63;

m -f- r = 6, n -h L = 2, p-hi = 2, g=..v=o5

N = a*bc;

m -+- i = 4, n -+- [ = 3, yn-i = 2, N =a3^2c;

m?r = 3, n -+-[ = 2, P + ï = 2, «7+1=2, N = aïbcd.

Le plus petit nombre s'obtient par la forme

N = a z b 2 c avee n = 2, 6 = 3, c = J.

(I ouN = 36o.

3° Trouver la somme de tous les diviseurs du nombre N = 2".

On trouveS = 2"+!— 1 = 2N — 1.

4° Trouver la somme de tous les diviseurs du nombre

N = 2 /i- , (2"— i)

en supposant i n— 1 premier; on a

S = - ¥ À =2"(2"-l) = 2N.2— I (2«— l) — IV '

12. Nombres parfaits. — Nous venons de trouver que si

N = 2"- 1 (2«— i),

on a

S = 2N

si, toutefois, le nombre 2 n— 1 est premier.

GENERALITES. 9

Il en résulte que si l'on ne compte pas le nombre N parmi les

diviseurs du nombre N, on aura

S = iN— N = N

et la somme des diviseurs d'un tel nombre sera ('gale à ce nombre.

Un tel nombre est ait parfait.

Dans le second Volume de ce Livre nous donnerons plus de

détails sur les nombres parfaits. Actuellement, bornons-nous à

remarquer que les nombres parfaits pairs sont tous de la forme

2»-l(2»-rl)

a\ec la condition que 2 n— i soit premier. On ne connaît pas de

nombres parfaits impairs. Pour ce qui est des nombres parfaits

pairs, on en connaît les douze suivants qui correspondent à

/ï = 2.3.5.7.13. 17. 19.3 1 .61 .89. 107 et 127

dans la formuleN = 2 re~1 ('2«'— i).

Les sept premiers sont connus depuis assez longtemps. Euler

(1772) a vérifié le cas de /i = 3i, Seelhof (1886) a donné le cas

de n = 61, Powers (1911)8 établi la primalité de 2*9 —1 , Powers et

Fauquembergue (1914) ont trouve le cas pie n =107 et, enfin,

Fauquembergue (1914) a trouvé le nombre parfait correspondant

à n =? 1 2 7

.

13. A ombres amiables. — Considérons deux nombres tels que

Ni = 220 = 22.5. 11

et

N 2 = 284 = 22.71.

Soit S, et S 2 la somme de leurs diviseurs en exceptant le nombre

N4ou N 2 du nombre des diviseurs. On trouve :

S, = (2^ - 1) (5 + 1

)(1 1 + 1 ) — N

x= 5o4 — Ni == 284 = N 2 ,

S 2 = 7 . 72 _N 2 = 5o4— N 2 = Nt.

Ainsi ces deux nombres sont tels que la somme des diviseurs de

chacun d'eux est égale à l'autre.

Des nombres semblables sont dits nombres amiables. Nous en

10 CHAPITRE I.

donnerons une théorie plus détaillée dans le deuxième volume de

cet Ouvrage.

14. Soit à déterminer de combien de manières on peut décom-

poser un nombre donné N==ùm bn cP... en produit de deux

facteurs.

Désignons par R le nombre des diviseurs

K= (m -f-i)(/i + i) (/?-+-!)...,

et supposons en premier lieu que le nombre donné n'est pas carré

parfait, c'est-à-dire qu'au moins un des nombres m, n,p est impair

et K est par conséquent pair.

Le nombre des décompositions possibles est alors évidemment

de

-K=-(»i + i)(tt + i)(jo + ii....2 2

Si, en second lieu, le nombre donné est un carré parfait, le

nombre des décompositions possibles est de

-(i+K)=-(i + (m + i)(/i + i)(/)+i)...].

15. On appelle indicateur de N et l'on désigne par e (N) le

nombre de nombres plus petits que N et premiers avec lui.

Ainsi y(6) = 2, car il n'y a que deux nombres plus petits que 6 et

premiers avec (3 (i et 5).

Dans cette question le nombre i est considéré comme étant

premier avec n'importe quel nombre.

Si N est un nombre premier, on a

ç(N) = N— i.

En effet, tous les nombres i , 2, 3, . .. ,(N — i) sont inférieurs à N

et premiers avec lui.

Si N — a™, a étant un nombre premier :

©(N) = a»l- l (a — i).

En effet, seuls les nombres a, 2«, 3a, . .. ,

(aw_1 — i)a, parmi les

nombres i, 2, 3, . ..,(N — i), ne sont pas premiers avec N; donc :

©(N) = N— i — (a"1- 1 — i) = am—a"l- i = am- l (a — i).

GENERALITES. I I

16. Théorème. — *SYD(A, B) = i,o/îfl

cp(ÀB)== cp(A)o(B).

Soient at , a 2 , « 3 , . . ., a,n tous les nombres inférieurs à À cl

premiers avec lui, et b{ , b 2l èa, . -

., bn tous les nombres inférieurs

à B et premiers avec lui.

Pour avoir tous les nombres inférieurs à AB et premiers avec AB,

formons le tableau :

A 4- a,,

2 A -+- a i

,

3 A -hau

« 2 , «3,

A -h a 2 ,A H- «3,

2A + fl 2 .•2 A H- «3,

3A -h «2, 3 A -f- a 3 ,

i

[)A + a 2 ,(B -i)A+ fl3l

A -+- a,„.

2 A -f- am,

3 A H- «//*,

(B — i) A +-«!, (B-i)A + a„ (B-i)A + a3 , ..., (B-i)A + « w .

Chaque colonne contient B termes qui forment une progression

arithmétique dont la raison est A, nombre premier avec le premier

terme av{i= ï,2,3, ...) et avec B. Si l'on divise chacun des

termes de ce tableau par B, on obtient dans chaque colonne les

restes

o, i, 2, 3, 4, .-., (B— i).

Seul l'ordre de ces restes différera d'une colonne à l'autre.

Remarquons encore que tous les termes de ce tableau sont

premiers avec A. Et si l'on élimine de ce tableau les nombres qui

ne sont pas premiers avec B, on aura tous les nombres inférieurs

à AB et. premiers avec AB.

Or, dans chaque colonne, seuls les restes (de la division par B)

b\, b.>, 6 3 , ..., b n

lia sont pas à éliminer. Il en résulte que le nombre total des

nombres inférieurs à AB et premier avec AB ou co(AB) est le

produit cp(A)o(B), le premier de ces facteurs est le nombre de

termes de chaque ligne, le second est le nombre de termes qui

restent non éliminés dans chaque colonne.

17. Par les considérations qui précèdent (I, 15, 16) nous pouvons

trouver l'indicateur de n'importe quel nombre, si l'on connaît la

décomposition de ce nombre.

12 CHAPITRE I.

Soit

N = am bn cp . . .,

a, b, c, . . . étant supposés différents, donc premiers entre eux.

On a

© (a"1) = am ~l (a — 1),

©(£") = b"~i(b — i),

©(<:/') = c''-i(c — 0,

d'où

ou

®(a'"b n cP ...) = fl»-iin-i cP-i(<i-ii)(è — ^(c — i)

©(N) = a'"-i6»-Jc'»-i(a — i)(6 — t)(c — i) . .

.

--*"(' -à) (-s) (-:)

=*fe)H) (-;)•••

Celte dernière formule peut être obtenue directement de la manière

suivante :-

La suite

1.2.3.4. 5.. -N

contient IN nombres non supérieurs à N.

Pour avoir les nombres inférieurs à N et premiers avec lui, il

suffit d'éliminer de cette suite tous les nombres non premiers

avec a, 6, c, . . . . Or, a étant un nombre premier, seuls les

nombres

a, sa, ù a, . . . , ( — ja

Nne sont pas premiers avec a. Leur nombre est de - •

La suite primitive 1, 2, 3, 4, . ..

, N ne contiendra plus après

élimination que les

N'= N = N (1— -) nombres

a \ a )

1 .'.).. 3 ... a — 1 , a H- j ... 2 a — 1 , 1 a +- 1 ... N — 1

.

Ces ~Nf nombres peuvent être distribués en -j- progressions de b

termes chacune, la raison de la progression étant a qui est premier

avec /;. Chaque progression contiendra un et un seul terme non

GÉNÉRALITÉS. l3

premier avec b (divisible par b). Ces termes sont à éliminer, car

ils ne sont pas premiers avec N.

Après cette élimination, il restera

N---T=-(---;HK)('-y

termes premiers avec a et 6, donc avec ab ou am b n.

Ces N" nombres peuvent à leur tour être distribués en — pro-

gressions de c termes chacune. Chaque progression contiendra un

et un seul terme divisible par c, donc non premier avec c et qui

est à éliminer. Il restera

N-=N--Ç = N-(.-c) = N (.-i) (--;)(.-;)

termes non divisibles ni par a, ni par 6, ni par c, donc premiers

avec abc ou am b n cP ou avec N.

D'où

Applications :

?(4 W ) = 20(2/1),

Cp(4rt + 2)= ©(2/1 H- 1),

ç(2w)= 2'"- 1,

ç(3«.)== 2.3'»-- 1

,

?(3o) = 8,

©(210) = 48,

cp(3oo3o) = 5760.

18. Soit à déterminer le nombre des nombres premiers avec Net dont le plus grand commun diviseur avec N est A.

Remarquons d'abord que le nombre A donné doit être un divi-

seur de N.

Soient ensuite A# { , Kx 2l A# 3 , ..., A.xn les nombres cher-

chés.

Puisque Aa?t*(i = 1, 2, 3, . . .) est inférieur cà N, on aura

I \ CHAPITRE I. — GÉNÉRALITÉS.

Ensuite, D(À#v, N ) = A donne

N . Ndonc tous les nombres X; inférieurs à — et premiers avec — peuvent

être employés.

Leur nombre est donc

(")

19. Si «i, a 2l a 3 , . . . , a/s sont tous les diviseurs du nombre

N= am bn cP. . . [donc k = (m -f-i) (n -f- 1) (p 4- 0- • • |, on a

o(al ) + ?(a 1 ) + 8(a})+ l ..+ o(a

J[)= N.

En effet, distribuons les N nombres i, 2, 3, . . . , N en À séries,

de sorte que les termes de chaque série aient le même plus grand

commun diviseur ai(i= 1 , 2, 3, . . . , / ) avec IN.

On aura alors, en vertu du paragraphe précédent,

Nor, — (i = 1 , 2, 3, . . . , k) est aussi un diviseur

aj(J = 1, a, 3, ..., k)\

donc©(«!) + o(a 2 ) -h ®(a 3 )

-h.. .-+- o(a /c ) = N.

Remarquons, toutefois, qu'il est essentiel de poser 0(1) = 1 pour

que la formule ne soit pas en défaut.

Corollaire. — Si p est un nombre premier et a 4 , a 2 , . . . , ctk

tous les diviseurs de p — \ , on aura

?(P) = <P( a l) + Ç(«2) + <P(«3) -H...+ ?(«*)•

CHAPITRE II.

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRÉ.

1. Deux nombres a et b sont dits congrus au module m quanti

leur différence a — b est divisible par m.

On écrit

a = 6 (modm).

Cela veut dire que les nombres a et b divisés par m donnent le

même reste.

11 résulte de la définition que tout nombre N est congru avec Oquand on prend pour module un diviseur quelconque de N.

Ainsi

Ak = o (mod A).

Le dividende est congru avec le reste, quand on prend pour modulele diviseur (ou le quotient).

Si A = Bq -+- r, on a

A~r (mod B) et A = r (raod^).

En effet, la différence A — r ou Bq est divisible par B et par q.

Deux nombres quelconques sont congrus quand on prend pourmodule un diviseur quelconque de leur différence.

2. Propriétés des coivgruences. — i° Deux congruences demême module peuvent être ajoutées {algébriquement) membreà membre.

Si A = a et B = b (mod m), on a aussi

A±B == a±b (modm).

En effet, la divisibilité de A — a et B — b par m entraîne celle de

(A — a)±(B — b) ou (A±B) — (a±6),

l6 CHAPITRE II.

ce qui s'exprime par

A ± B == a ± b ( mod m ).

2° Deux nombres congrus avec un même troisième et poun même module sont congrus entre eux.

ur

Si A = a et B = a (mod m), on aura

A = B (mod m).

En effet, A — a et B — a étant divisibles par /n, leur diffé-

rence A— B l'est aussi, donc A = B (mod m).

3° Une congruence ne change pas, si Von ajoute aux deuxmembres la même quantité {positive ou négative).

Si A = a (mod m), on a

A±K-a±K (mod m).

En effet, la différence (A±R) — (a±K) ne diffère pas de

la différence A— a.

Il résulte de là que les termes d'une congruence peuvent être

transportés d'un membre de la congruence dans l'autre, en chan-

geant les signes de ces termes, tout à fait comme s'il s'agissait

d'une équation.

4° Les termes dûne congruence peuvent être multipliés parun même nombre.

Si A = a (mod m) on a

KA = Ko (mod m).

En effet, la différence KA— Ka=K(A— a) est divisible

par A— a, donc par m qui est diviseur de A— a.

5° Deux congruences d'un même module peuvent être mul-

tipliées membre à membre.

Si A n^ a et B = b (mod m), on a

AB == ab.

En effet, les différences A— a et B— b étant divisibles par /??,

désignons par x et y les quotients, de sorte que

A — a = m x et B — b = my

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRE. IJ

OUA. = mx -+- a et B = my +- b,

d'oùAB = (mx -h a) (my -h b ) = m 2^ -t- ?n(bx -+- ay) -\- ab,

d'où il résulte que la différence

AB — ab = m~ xy h- m(bx -f- aj^

)

est divisible par m, ce qu'on peut exprimer par la congruence

AB = ab (modm).

6° *Sï À= ae/B= ft( mod a?z)

, on aura aussi

A"B /; = a" b? (mod m).

En effet, la congruence A = « (mod m) entraîne celle de

A'* = a re (mod m) (par une répétition successive d'une multipli-

cation de deux congruences ou simplement en remarquant que la

différence An— an est divisible par A — a, donc par m).

De même, la congruence B = b (mod m) entraîne celle de

B/> = bP. Ces dernières congruences, multipliées membre à

membre, donnentkn BP=a"bf>.

7 On peut diviser les termes d 'une congruence par tout-

diviseur premier avec le module.

Si K et m sont premiers entre eux et AK = aR (mod m), on

auraA = a (mod m).

En effet, AK — aK = (A— a)K étant divisibles par m, et Kétant premier avec m, A— a est aussi divisible par m; donc *

A = a (mod m).

8° Un diviseur commun de deux membres de la congruence

et du module peut être écarté.

Si RA =ee Ka (mod m = K/?), on aura

A = a (mod p).

En effet, (RA— Ra) = R(A— a) étant divisible par m = Rp,KRAÏTCHIK. 2

ïS CHAPITRE II.

il en résulte que A— a est divisible par/? ou que

Asa (mod p).

9° Si j\x) est une fonction algébrique avec des coefficients

entiers et a = b (mod m), on aura

/(«0=/W (mod m).

En effet, posons

f(œ) = Ax" -h Bx»-* + ...+- Ex -^ F;

la congruence a =e b (mod /?z) entraîne les suivantes :

A an ==? A bn ( mod m),

Ea = E6,

F^F.

En ajoutant ces congruences membre à membre, on obtient

f(a)^f(b).

io° Deux nombres congrus suivant deux modules premiers

entre eux sont congrus suivant un module égal à leur

produit.

Si A= « (mod m) et A= a (modn), m et ji étant premiers

entre eux, on auraA = a (mod ma).

En effet, A— a étant divisible par m et /i qui sont premiers

entre eux, A— a sera divisible par le produit mn ou

A = a (mod mn).

3. Nous avons vu que tout nombre est congru avec le reste de

la division de ce nombre par le module.

Si donc le reste de la division de A par m est /•, le quotient

étant désigné par ^, on aura

A = /- (mod m).

Puisque le reste d'une division est toujours inférieur au diviseur,

C0NGRUEN6E DU PREMIER DEGRE. IQ

il en résulte qu'on peut toujours trouver un nombre inférieur au

module et congru avec le nombre donné.

On peut maintenant distinguer deux cas :

i° i\> — • Si alors on remplace q par q -f- 1 et le reste positif ;*

par le reste négatif /•'== /' — m, on aura

:° 01 /• < —j on aura

mr'< -

1

mr > -

1

Dans les deux cas, il existe :

i° Un nombre positif compris entre o et m et congru avec le

nombre donné suivant le module m;

2 Un nombre positif ou négatif inférieur à — et congru avec le

nombre donné suivant le module m.

Le premier reste ou résidu est le reste du nombre consi-

déré (mod m) ; le deuxième reste est le résidu minimum du nombre

considéré (mod m).

Exemples :

1 10 = 6 (mod i3),

6 est le résidu du nombre i 10 (modi3); c'est aussi le résidu

minimum;io 2 'î+1 = -f- 10 =— 1 (mod 11),

10 est le résidu de io2n+1 , — i est le résidu minimum du nombre

considéré (mod 1 1).

4. Théorème. -— Si m est un nombre impair, et a la valeur

absolue du résidu minimum de A (mod m), le signe de a est

déterminé par le signe de la quantité

(-0 '",

E(— \ désignant le plus grand entier contenu dans (

— - )•

En effet, si q est le quotient de la division de A par m, on peut

20 CHAPITRE II*

avoir deux cas :

Ai° </<- <«H— » alors

^ aA ". r /'iA\2^r< < 2^4-1 et E = 2 î

le résidu minimum de A (mod m) sera positif.

2° ût -I— <C — <* a -I- 1 , alors* 2 m *

<7 —î

— 1 1 < A < 2 </ -+- > et EY -— j= •29-4-1

et le résidu minimum de A (mod m) sera négatif.

On aura donc toujours :

résidu minimum de A(mod m) = (— i)m a.

a étant la valeur absolue du résidu minimum.

O. Si dans l'expression de

f(x) = kxm -+- B^'"- 1 H-...-f- E#-f- F,

où les coefficients A, B, C, ... sont des entiers (positifs [ou

négatifs), on remplace x par les valeurs

o . i . 2 .#. . . k. 2 .m

.

.

.

m -f- le . . >

,

et l'on calcule les valeurs

/(o), f{l\ f{%)\ ..., f(m\ ..., (mod m),

la suite ainsi obtenue est périodique, car

f(m-\-k)=f(k) (mod m).

Ainsi, si par exemple /'(#) = # 3— Sx-\-6 et jn= 5, on aura

# = 0.1.2.3.4.5.6.7.8...,

y(.r) = i.4.3.4.3.i.4.3.4... (mod 5).

Dans le cas envisagé, la période est (1.4. 3. 4*3).

Dans la suite des valeurs de x, on ne rencontre point les valeurs

/(x) = o mf(x) = 2 ; conséquemment, les congruences

x z— 8 .2? -4-6 = ou x z — 8.r-4-6 = 2 (mod 5)

n'ont pas de solution.

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRE. 21

A fortiori, les équations

x 3— 8 #-+-6 = et a? 3— 8.r-t-6 = 2

n'ont pas de racines rationnelles.

6. Des propriétés fondamentales des congruences résulte la

possibilité de les utiliser pour la vérification des opérations de

calcul.

Ainsi, si le résultat d'une opération quelconque sur les nombres

A, B, C, ... nous a conduits au résultat X,

X = F(A, B, C, ...).

Si Ion désigne par #, a, 6, c, ... les résidus dès nombres

X, A, B, C, ... (mod 7>i), on doit avoir

x = F(a, b, c, . . .) ( mod m).

Parfois le calcul par congruence est non seulement plus simple

que le calcul de valeur absolue, mais indispensable.

Ainsi, soit à trouver, par exemple, le reste de la division

2 20',8par g-74849. Le nombre 2 20 '* 8 aurait contenu plus de

600 chiffres. Rien qu'exprimer ce nombre en système décimal

est difficile, mais il est relativement facile de trouver le reste

demandé de la division 2***.* par 974849 sans avoir le dividende

explicitement.

On trouve :

•2 16 = 65536,

•2 32 = 65536'-=— 217398 (mod 974849;

2 6 * =2173982=236035,

2 128 =236o35 2= — 99125,

2 236 = 99I25 2 =262 554,

2«« = 2Ô2 554 2 = I05 576,

2io24= io55-6 2 =5oi57-,

22048= 5QI 5^2 == — I#

Puisque 220 * 8 ==— 1 (mod 974849), on aura

22043_l_

I ^ o (mod 974 84 9 ),

ce qui exprime que 2 20 '' 8 -|- 1 est divisible par 974849.Ce résultat infirme encore le théorème de Fermât (I, 4).

22 CHAPITRE II.

Voici tous les résultats connus à ce jour :

n = 5. F n — ?.-n

-Jt- i = 641.6700417

6. » 274 177.67280421 3 10- >i

7. [ Les nombres correspondants sont composés, mais on ne

8. | connaît pas les facteurs de ces nombres.

9. F n est divisible par 2U . 374-1

11. » 2 ,3 .3.i3-hi et 2 13. 7. 17 -h 1

12. » 2 14 .7 4- 1,2 16 .397 4-1 et 2 1G.7.139

iP. » 220.13 -f-I

23. » 2 25 .5 4- I

36. •> 2 39 .5 4-i

38. >» 2*1.3 4-1

7). » 275 .54-I

Le premier résultat est d'Euler (1^32), le second de Landry

(1880), les deux suivants de Morehead et Western (1909). Le

résultat pour n = 9 est encore de Western (iT)o3), ceux qui cor-

respondent à n = 1 1 sont de Cunningham (1 899V Pour n = 12, le

premier facteur est de Lucas et Pervouchine (1878), les deux

autres de Western (1908). C'est encore M. Western qui a trouvé

les résultats pour n = i8 (1903). Le cas de « = 23 est de

Pervouchine (1878). Seelhoff (1886) a trouvé le facteur pour

n = 36. Cunningham, Cullen et Western ont trouvé le facteur

pour n = 38. Enfin, M. Morehead (1906) a trouvé le facteur

pour n = 7 3.

Le nombre 2273

-4- 1 est donc divisible par 5 . 2 7 5 4- 1

.

Le nombre 2273

-f-i est tellement grand qu'il est impossible de

l'écrire explicitement dans le système décimal. Il aurait contenu

o,3 x 9444 X io 18,

soit plus de 2700 x io 18 chiffres.

Avec des chiffres de imm de largeur, la bande qui le contien-

drait aurait 2700 X10 12 kilomètres de longueur et ferait plus

de 60 X io° fois le tour de l'équateur terrestre.

A raison d'un chiffre par seconde, 10 heures de travail par jour

et 36o jours ouvrables par an, il faudrait travailler pendant

2700 XIO 18

= 2 X io 14 ans60 x 60 x 10 x 36o

rien que pour recopier ce nombre.

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRÉ. 23

Si toute la population de la Terre (i,5Xio 9 habitants) était

occupée uniquement à recopier ce nombre, supposé écrit en

système décimal, on aurait une besogne qui durerait

142 X IO

i .5 X io 9= i joooo années.

Ces considérations montrent que le calcul par congruence est

une véritable nécessité pour obtenir des résultats qu'on ne peut

pas aborder autrement.

7. Le nombre des congruences possibles suivant un module

déterminé est limité. Ainsi, suivant le module m, tout nombre Aest congru avec un des nombres de la suite o. i . 2 .3 . . .(m — 1).

Il n'existe donc que m congruences différentes (mod/??).

En d'autres termes, tout nombre A est un multiple de /??,.

augmenté d'un nombre de la suite o. ï .2. $...4 • . .(m — 1). On dit

encore que, suivant le module /??, les nombres- se subdivisent

en m classes :

i° Nombres de la forme Km ou =0 (mod m >

2 » K»i + i » =1 »

3° » Km -h 2 » == 2 »

ni" » Km -+- (m — 1) » = m — 1 »

Ainsi, suivant le module 5, on aura les cinq classes :

i° Nombres de la forme 5K ou =0 (mod 5)

2 » 5K+i » =i »

3° » 5 K -1- 2 » = 2 »

4° » 5K + .3 » =35° » 5K + 4 » =4

8. Nous avons vu (II, o) que la suite f(x) est périodique quandon remplace x par la série des nombres naturels, donc si x = r

satisfait à la congruence f(x) = o ( mod m),

x=Km-+-r ou x = /* (mod m)

satisfait aussi à cette congruence. Toutes ces solutions ne seront

comptées que pour une solution. Nous pouvons donc dire que lu

congruence

f{x) = o (mod m)

2 4 CHAPITRE II.

a autant de solutions différentes qu'il y a de nombres dans la suite

o . i . 2 . 3 . . . ( m — i)qui lui satisfont.

Ainsi la congruence x 2 = 5 (mod 3i) a deux solutions :

x = 6 et x = iS (mod 3i).

La congruence x 3 = 2 (mod 1 1) n'a qu'une solution :

x = 7 (mod r 1).

La congruence x 3 = 2 (mod 7) est impossible.

9. Abordons maintenant la résolution d'une congruence du

premier degré à une inconnue. Une telle congruence peut être

mise sous la formeax = b (mod m).

Remarquons d'abord que la congruence ax = b (mod m) n'est

pas possible si a et m ont un diviseur commun qui ne divise pas b.

En effet, la divisibilité àe ax — b par m peut s'exprimer par

ax — b = m K ou b = ax — m K.

Il résulte de la dernière égalité que tout diviseur de a et m est

aussi un diviseur de b. Dans ce cas, on peut simplifier la congruence

(ainsi que le module) par ce diviseur. Nous traiterons ultérieure-

ment ce cas (II, 14-).

Nous allons démontrer que si a et m sont premiers entre eux,

la congruence ax = b (mod m) est toujours possible et n'admet

qu'une solution.

En effet, la progression

o, a, ia, 3a, ..., ra, ..., (m — \)a

contient un et un seul terme qui est =6 (mod /m). Si ce terme

est m, de sorte que m = è(mod/n), on aura x = r, et d'une

façon générale x = r (mod m) comme solution de la congruence

. ax = b (mod m).

10. On peut trouver cette solution de la manière suivante :

Si l'on exprime la fraction — en fraction continue, on trouve

a— = /'1 r2 r3 . . . r„;m

CONGRUEN'CE DU PREMIER DEGRE. 2)

si ensuite on forme les réduites successives, dont la dernière est — tmon a

El El .Pn ~

l —qi q% " qn-i m*

d'où

« q?i-\— rnph-\ = (— i;'S

ou«?«-i = (—0" (mod m),

ou, en multipliant par (— i)"6,

(

—

\)n abq n- x=b (mod m),

d'oùx = (

—

\)»-bq n-\ (mod m).

Nous verrons dans la suite deux autres solutions de ce pro-

blème (III, 4; V, 12).

Exemples. — Soit à résoudre la congruence

i3.r = 6 (mod 17).

On a

13

Les réduites sont :

o 1 3 i3

V 7' V Tyd'où

i3. 4 — i-.3=-hi ou i3.4 = i (mod 17),

ou, en multipliant par 6 :

13.24 = 6 (mod 17),

d'où

x = 24 = 7 (mod 17).

11. On peut attribuer une signification au symbole - de façon

à avoir xee- (mod m) comme solution de la conorucnce

ax = b (mod m).

Nous allons adopter la définition suivante :

Si a et m sont premiers entre eux, le symbole - (mod m) désigne

26 CHAPITRE II.

un nombre entier qui, multiplié par a, donne un nombre

= b (mod m ).

Par cette définition, la solution de la congruence ax = & (mod ni)

est

x = — (mod m).

On peut aussi définir ce symbole en disant que : « diviser

b par a (mod m) veut dire qu'il faut diviser par a le nombre b 4- Km,K étant convenablement choisi, de façon que b-\-K?n devienne

un multiple de a ».

D'après cela, ayant la congruence i3# = 6 (mod 17), on peut

écrire

16 6 + 5.17 . :

x = —- == —- = 7 (mod 17).1 > 1

3

12. Nombres associés. — On appelle associé de a (mod m) le

nombre a tel que #a=i (modm). Les nombres a et /?i étant

supposés premiers entre eux.

Tout nombre autre que = o (mod m) a son associé, car si a et msont premiers entre eux, la congruence ax = 1 (modm) est tou-

jours possible.

Ainsi, pour le module 1 1, les nombres

1234567 8 910

auront pour associés

1 6 4 3 9 9. 8 7 5 10

et, pour le module i3, les nombres

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1,2

auront pour associés

1 7 9 10 8 11 2 5 3 4 6 12.

On notera qu'il n'y a pas d'autre nombre que 1 et m — 1 qui

soient identiques à leurs associés.

13. Bien que la solution de la congruence ax z^b (mod ni) est

générale, il est quelquefois préférable de la remplacer par d'autres

coiigiuences si le module m est un nombre composé.


Soit la congruence

ax = b (mod m =pq).

On la remplacera par les congruences

ax = b (mod />),

ax = b (mod q).

Bien entendu, dans la congruence ax = 6 (mod/?), les nombres

a et b seront remplacés par leur reste (mod/)). Il en est de mêmede la deuxième congruence.

Si

x = /* (mod /?),

« = r (mod q

)

sont les solutions de ces congruences, on trouvera un nombre qui

est à la fois = /* (mod p) et =-;*' (mod q) et Ton aura une solution

de la congruence donnée.

Exemple :

9973? = u> (mod 720 = 16.9. 3).

La congruence donnée devient :

5:r = i, d'où x — i'ï (mod i(i);

7^ = 5, » x = 2 (mod 9);

2.2? =3, » x = î (mod 5).

Pour trouver un nombre qui soit = i3 (mod 16) et = 2 (mod g),

on opérera de la façon suivante :

Les nombres qui sont s i3 (mod 16) peuvent s'écrire 16 y -t- i3;

on aura donci6^-hi3 = 2 (mod 9)

ou

77=7 (mod 9), d'où y^\ (mod 9)

et

16/ + i3 = 29 (mod 1 44 )

Ainsi les nombres qui sont = 29 (mod 1 44) sont à la fois

= i3 (mod 16) et =='2 (mod 9).

Il reste à trouver les nombres qui sont

= 29 (mod 144) et =4 (mod 5).

28 CHAPITRE II.

Les nombres = 29 (mod 1 44) s'écrivent 144^ + 29; on aura

donc

l44£4-29^4 (mod 5) où 4^ = (modo),d'où

s = o (mod 5)

et

144-4-29 = 29 (mod 720).

Ainsi, x = 29 (mod 720) est solution de la congruence donnée.

14. Supposons maintenant que les nombres a, b et n ont un

lacteur commun A, mais tel que j et -r soient premiers entre eux.

En remplaçant dans ax = b (mod m) les nombres «, b et mpar ko!

ykb' et A m', il vient

ka'x~kb' (mod km1) ou a'x = b' (mod m')

qui donne

mou /n = -T-

Cette solution unique (mod m) donne k solutions (mod/?i) :

m 2m (k — 1 )m . .

.37 = 7', r-h-r-t r -\ — > ..., /'H?

(mod m).

Exemple. -— La congruence Ziox = 1 10 (mod 21 5) donne

63^7 = 22 (mod 43) ou a? = 14 (mod 43),

oux = 1 4 , 57 , 100, i43, 186 ( mod 21 5)

15. Supposons maintenant qu'il s'agisse de résoudre simulta-

nément plusieurs congruences :

a x x = bx

(mod m,),

a^x =. b.2 (mod m 2 ), ..., a nx = bn (mod m n ).

Les congruences (mod m), dans lesquelles le module m n'est

pas premier, seront remplacées par les congruences des modules

m\ m\ m"\ . . ., dans lesquelles les modules sont premiers entre

eux (III, 13). On aura ainsi le système :

a\x = b\ (mod /Ki), a\x^b\ (mod m'2 ), ..., a'nx~b'a (mod m'n );

a\x=àb\ (mod/Kj), a".z x=b\ (mod/Kg), ..., à'nx =. b"n (mod m"n );

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRE. 21)

En résolvant chacune de ces congruences, on obtient :

x es r\ (mod ?n\ ), x = /-'2

(mod//i'2 ), ..., x = r'n (mod m'n );

x = r\ (mod m'i ), x = r 2(mod m 2 ), .. ., .r = r^ (mod Jn"n )\

Si quelques modules m'i sont identiques à quelques autres

modules my, il faut que les solutions correspondantes soient

identiques. S'il n'en est pas ainsi, le système est incompatible.

De plus, tous les modules /w/ étant des nombres premiers ou des

puissances de nombres premiers, si l'on trouve dans le système

des solutions deux modules mi et ray qui sont des puissances

d'un même nombre premier, les solutions correspondantes sont

contradictoires (dans ce cas le système est incompatible) ou sont

contenues l'une dans l'autre. Dans ce dernier cas, on gardera la

solution correspondant au plus grand module et l'on rejettera les

autres.

Par exemple, si l'on trouve parmi les solutions

x = 5 (mod 8), a? = 3 (mod 8),

le système est incompatible.

Le système est également incompatible si l'on trouve

x = 5 (mod 8), x es i i (modiG);

mais si l'on trouve

x = 5 (mod 8), x == 21 (mod 32),

on remarquera que la solution x = 21 (mod 32) est contenue dans

la solution x = 5 (mod 8).

On gardera la solution x := 21 (mod 32) qui limite la valeur de xmieux que ne le ferait la forme x = 5 (mod 8).

Ayant ainsi constaté que le système est compatible, et ayant

écarté les solutions inutiles, on aura un système des solutions

indépendantes :

x = r x (mod m,), x = r2 (modm,), ..., x = rn (modm„)

qui donnent

x = r (mod m = m )5 m 2 , . . . , m n ).

30 CHÀPITUE II.

Exemples. — i° Le système

j337 = i5 (mod 24), 17.27 = 10 (mod 2 5), 173^ = 12 (mod 72)

donne

5#=ê=.7 (mod 8), 1737 = 10 (mod 23), 3? = 4 (mod 8),

37=o (mod 3), 8a7 = 3 (mod 9).

La congruence 5^ = 7 (mod 8) donne x;=== 3 (mod 8), ce qui

est incompatible avec # eee 4 (mod 8), dont le système est incom-patible.

2 Le système

1737=44 (mod 72), 837 = — 1 (mod 9), 1137 = 12 (mod 16),

10037 = — 1 (mod 73)donne

37 = 4 (mod 8), 837 = 8 (mod 9), 1137 = 12 ( mod 16),

10037=— 1 (mod 73), 837 = 8 (mod 9),ou

37 = 4 (mod 8), 37 = 1 (mod 9), 37 = 4 (mod 16),

37 = 27 (mod 70), 37 = 1 (mod 9).

Les solutions # = 4 (mod 8) et ^ = 4 (mod 16) peuvent être

remplacées par une seule : x = 4 (mod 16).

On obtient ainsi les solutions indépendantes

37 = 4 (mod 16), 37 = 1 (mod 9), 37 = 27 (mod 7"3)

qui donnent

37 = 100 (mod io5i2 = 16.9.73) (111,13).

3° Le système

1137 = 53 (mod 72), 337= i3 (mod 100), 67937 = 484 (modG75),

737 = 25 (mod 96), 737 = 247 (mod 25o), 837= 68 (mod 112Ï;,

537=11 (mod 108), 1137= 21 (mod 80), ii37 = 25i (mod 270)

donne successivement :

A. Module 2m :

337 = 5 (mod 8), 337 = i (mod 4), 737 =.25 (mod 32).

37 = 1 (mod 2), 37=3 (mod 4), 1 1 37 = 5 (mod 16),

37 = 1 (mod 2),

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRE. 3l

dont les solutions sont :

x = 7 (mod 8), 37 = 3 (mod 4), x=Z\ (mod 32),

ic = i (mod 2), 2?=3 (mod 4), 07 = i5 (mod 16),

07 = i (mod a")

el dont on gardera la solution

x = 3i (mod 3-2).

B. Module 3» :

2^ = 8 (mod 9), !\x~ib (mod 27), x = 1 (mod 3),

8,r = 5 (mod 9"), 5a7 = n (mod 27), 1 1 x = 8 (mod 27),

dont les solutions sont :

x es 4 (mod 9), x = i3 (mod 27), 07 == 1 (mod 3),

x = 4 (m°d9), .rs=i3 (mod 27), ar=!=i3 (mod 27)

et dont on gardera la solution

x = i3 (mod 27).

C. Module 5" :

3a? = i3 (mod '25), 4# = 9 (mod 25), 707=1*2 (mod 125),

8 x = 68 (mod 12)), 37 = i (mod 5), x = i (mod 5),

<lont les solutions sont :

x = 21 (mod 25), a?=2i (mod 25), x = 71 (mod 125),

:r = 7[ (mod 125), a? es 1 (mod 5), x = 1 (mod 5)

et dont on gardera la solution

x == 71 (mod 125).

Les modules des eongruences données ne contenant pas d'autres

facteurs simples que 2, 3 et 5, on peut satisfaire à toutes les

eongruences données avec les eongruences

37 = 3i (mod 32), =i3 (mod 27), =71 (mod 125)

qui (III, 13) donnent

x es 23071 (mod 108000).

16. Ainsi que nous l'avons vu par ce qui précède, la résolution

3'Jj CHAPITRE II.

d'un système quelconque se ramène à un système tel que

x = r\ (modfl!), = /*2 (inod a»), ..., == rB (inod a /t ),

les modules étant des nombres premiers ou des puissances de

nombres premiers.

Il est facile de démontrer que ce système est toujours compa-

tible, si les modules sont premiers entre eux.

En effet, si a{et a 2 sont premiers entre eux, les congruences

x ss r{

(inod «i), = r2 (moda 2 )

peuvent être remplacées par la congruence

a\y +• >'i = r.2 (mod « 2 ),

qui est toujours possible (II, 9).

Pour ce qui est de la résolution de ce système, nous avons

vu (II, 13) une solution directe très simple. Voici une autre

solution.

Soit le système

j = /'i (mod fl]), =5 rt (mod «2)5 •••? — rn (mod fl /t ).

On déterminera n nombres m/(* = 1, 2, 3, . . . , ri) tels que

m/=i (mod ai) et = (mod a t a 2 a 3 ..., cti-i «i+i ...««),

alorsn

se == ^ mjrj (mod axa 2 «3 ... ari)

1

est la solution du système donné.

En effet.n

1

== nii

r

t+ m 2 r2 4- m 3 r3 -+-* .

. -H m„ rn ( mod ai a 2 ... a„)

donnex = mi?\ (mod ai),

carr tous les termes, sauf le premier, sont divisibles par «, et

CONGRUEXCE DU PREMIER DEGRÉ. 33

puisque mK

= i (mod «,), on aura

x = î\ (mod ai).

On trouvera de même

x = r 2 (mod «à)» x — r3 (mod a 3 ), ....

Pour ce qui est de la détermination de n nombres m,, le travail

peut être facilité par les considérations suivantes :

Désignons par A les produits a{ , a 2 , a 3, . . . . an ; \e nombre

rm(i = r, 2, 3, . . . , n)

est alors déterminé par les considérations suivantes :

/«/= i ( mod ai), == o ( mod —j ;

donc nii(i = i , 2, 3, . . . , n) figure parmi les nombres .

A 2 A 3 A (ai— i)A

a, a, a,

Exemples. — i° Nous avons trouvé dans le paragraphe précé-

dent (exemple 2 ) les congruences

x = 4 (mod 16), =1 (mod y), =27 (mod 73).

On trouvera

nix== 9.73 = 637, m 2

= 4 . 16.73 =2 4672,

m 3 = 36. 16.9 == 5i 84 (mod 16.9.73);

d'oùx = 6J7.4 4- 4672. 1 -+- J184.27 (mod 16.9.73)

ou:r [47268 = 100 (mod 10112).

2° De même la solution du troisième exemple du même para-

graphe,

:r=3i (mod 32), =i3 (mod 27), = 71 (mod 225),

donnem

1= 13.27. I2 ^ = 5o6i5, m 2 = 7 .32. 1 25 === 28000,

ra 3 = 34.32.27 = 29376 (mod 32.27. 125);

d'où

x se 5o625. 3 1 -+- 28000. i3 -t- 29376.71 = 4019071 = 23071 (mod 108000).

KUAÏTCHIK. 3

3{ CHAPITRE II.

17. Il arrive très fréquemment qu'on ait plusieurs solutions

pour chaque module.

Si l'on a plusieurs congruences analogues, on aura plusieurs

solutions.

Ainsi supposons que la solution conduise aux résultats sui-

vants :

x == /', ou r 2 ou /-;;. r,n (mod ai),

x = /?i ou p-i p n (mod a 2 ),

x = Si ou s 2 sf)

(mod a 3 ),

i

x == t xou t 2 iq ( mod ai).

En combinant chacune des solutions possibles pour chaque

module avec chacune des solutions possibles pour les autres

modules, on obtiendra :

m 71 p ... q solutions ( mod a x a 2 ... #/).

Exemple. — Soient les deux congruences

x = o, 1,4 (mod 5),

x = ,o, 4, 5, 8 (mod iG).

On a 3 solutions (mod 5) et l\ solutions (mod'i6), ce qui équi-

vaut à

3 x 4 = 12 solutions (mod 5. 16 = 8o).

Voici ces 12 solutions :

x = o.4.5. i6.2o-.al . '24*36.4° • j6.64.O9 (mod 80).

Pour trouver ces 12 solutions, on peut opérer de la façon sui-

vante : on écrira les 4 solutions (mod 16) sous la forme de

5.4 = 20 solutions (mod 16. 5 =80).

x= o 4 5 8

16 20 ai 24

02 30 37 40

48 5i 53 56

6/» 68 69 72 (mod 80).

On éliminera de ce tableau les solutions x = r± . 3 (mod 5) qui ne


sont pas conformes avec la première condition x = o. i -4 (mod 5)*

Les solutions qui doivent être éliminées sont soulignées.

Les solutions non soulignées sont celles qui répondent à la ques-

tion, c'est-à-dire celles qui satisfont aux conditions imposées.

On arrive au même but par le procédé graphique suivant : Onconstruira une table à double entrée, composée de 4 colonnes

(pour les 4 solutions module 16) et de 5 lignes (le module de

l'autre congruence étant 5). Les colonnes seront marquées par

les nombres 0.4.0.8 (solutions module 16) et les lignes par les

nombres

o, 1x16 = 16, 2x16 = 32, 3 x 16 = 48 et 4x16=64.0. 4. 5. 8.

o -

16

32 - A -

48 - - -

64

o

De cette façon chaque case est réservée à un nombre parfaite-

ment déterminé par la somme de deux autres, dont l'un est inscrit

au début de la ligne de cette case et l'autre dans l'en-tête de la

colonne de ladite case.

Ainsi la case A correspond au nombre 32 -\- 4 = 36.

Cela étant, construisons une bande auxiliaire sur laquelle on

écrira les nombres

o, 16 = 1, 2x16 = 2, 3 Xi6 = 3 et 4x16=4 (mod 5)

avec un trait en face de 2 et 3, puisque x = 2 ou 3 (mod 5) est en

contradiction avec la condition

x = o.\ ou 4 (mod 5).

Si maintenant on applique cette bande auxiliaire le long d'une

colonne, de façon que la première case de cette colonne vienne

3

G

CHAPITRE II.

coïncider avec le résidu (mod5) du nombre de Fen-tête de cette

colonne, toute autre case coïncidera avec le résidu (mod5) du

nombre correspondant à cette case. Il suffira, dès lors, de trans-

férer les traits de la bande sur les cases qui viennent coïncider

avec ce trait, pour éliminer les nombres qui ne conviennent pas.

Les nombres restants (qui correspondent donc aux cases exemptes

de trait) donnent les solutions.

On obtient ainsi les mêmes solutions que précédemment.

18. Etant donnée l'importance de cette question, nous croyons

utile de résoudre encore quelques questions par le procédé gra-

phique envisagé.

Soit, par exemple, à résoudre les congruences

x =--

i 2 ou 5 (mod 7),

a7 = o.2.3.5 ou 8 (mod 11),

x ~ 0.1.4.5.9 ou n (mod i3).

Le premier tableau portera en tête des colonnes les nombres

X == o • 2 . 3 . 5 . 8 ( mod 1 1 ) et sera composé de 5 colonnes et 7 lignes,

ces dernières étant marquées par les nombres o . 1 1 . 22.33.44- 55

el 66. Ce tableau donnera 3 X 5 = 1 5 solutions (mod 7 X 1 1 = 77 ) -

o

n.

22

33

44

55.

66

- o

- 4

1

5

2

6

3

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRÉ. 37

La bande sera formée de la façon suivante :

On écrira le long de la bande les nombres

o, ii == 4, 2x11=1, 3xir = 5, 4xn = 2,

5xii = 6, 6xir=3 (mod 7)

avec un trait en face de o . 3 . 4 et 6, solutions qui seraient en contra-

diction avec les solutions imposées x = i . i. 5 (mod 7).

Cette bande auxiliaire sera promenée le long de chaque colonne,

de façon que la première case de cette colonne vienne coïncider

avec le résidu du nombre de l'en-tète de la colonne (mod 7). Onmarquera d'un signe quelconque, par exemple d'un trait, les cases

qui viennent en face d'un trait de la bande et qui correspondent

aux nombres qui ne conviennent pas (mod 7).

Seules les cases exemptes d'un trait correspondent aux solutions.

On obtient ainsi les i5 solutions suivantes en remplacement des

3 solutions (mod 7) et des 5 solutions (mod 1 i ) :

x = 2.5.8. 16. 19.22.30.33 .36. 4

4

-47- 5j. 58.68.71 (mod 77).

On construira un second tableau comportant i5 colonnes [pour

les i5 solutions (module 77)] et i3 lignes.

Les colonnes porteront en en-têtes les i5 solutions (mod 77)et les lignes seront réservées aux nombres o, 77, 2X77 = 1 >i,

3 X 77 = 23 1 jusqu'à 12X77 — 9 2Z«-

2. 5. 8. 16. 19. T7. 30. 33. 36. 44. 47. 57. 58. 68. 71.

i54..

23l..

3o8..

385..

462..

53g..

616..

69 3 ..

770..

847- -

924..

38 CHAPITRE II.

0.

- 12

II

- TO

9

-. 8

- 7

- 6

5

4

- 3

2

I

O

La bande sera formée des nombres

o, 77 = 12, 2x77 = 11, ... (mod ij)

avec un trait en face de 2.3.6.7. 8. 10. 12, solutions qui ne cor-

respondent pas à celles exigées (modi3).

On promènera cette bande le long de toutes les colonnes commeprécédemment, et l'on marquera d'un trait les cases qui viennent

en face d'un trait de la bande et qui correspondent aux solutions

non admissibles (modi3). Seules les cases exemptes d'un trait,

correspondent à une solution. On obtient :

X eee 5.22.30.44.57.79.82.96. 11 3. 121 . i34- i35.i48. 1 56. 170. 173. 187.212.

222 . 225 . 239 . 247 . 261 . 264 . 278 . 299 . 3 10 . 3 1 3 . 3 16 . 33o . 338 . 352 .355.365.

39o.4oi.4o4-4°7 -42i .429. 44 2. 443. 453. 4 56. 464. 48 1.492 -4 9^. 498. 520.

533. 544. 547. 555.

5

7 2. 583. 586.

5

96 607.624.635.638.646.663.674.687.

698. 7 15.726. 729. 737. 75o. 772. 778. 789. 806. 817. 828. 84 1.849. 863.869.

880.915.932.940.954.960.971.992 (mod 1001).

19. Soit à trouver tous les nombres premiers avec

N = 2.3.5 = 3o, N = 2.3.5.7 =210, N = 2.3.5.7. 11 = 23io,

N = 2.3.5.7.11.13-== 3oo3o.

CONGRUENC.E DU PREMIER DEGRÉ. >Ç)

Les nombres premiers avec 2 sont i (mod 2) ou 1.3.6 (mod 6);

donc les nombres premiers avec 2.3 sont i .5 (mod 6) ou

i .5.7. 1 1 . i3 . 17. 19.23.25.29 (mod 3o).

Si Ton élimine de ces nombres les nombres 5 et 20 non premiers

avec 5, on aura les o(3o) = 8 nombres premiers avec 2 . 3. 5 =='36.:

#=(.7.11.13.17.19.23.29 (mod 3o).

Si on les développe par un tableau contenant 8 colonnes et

7 lignes7et qu'on élimine les nombres qui ne sont pas premiers

avec 7 (il y aura un nombre à éliminer dans chaque colonne); on

aura les 0(210) = \S nombres qui sont premiers avec

210 = 2.3.5.7.

donc non divisibles ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par -. Ce sont

les nombres :

x == 1 . 1 1 . 1 3 .17 .

19 . 2 3 . 29 . 3 1 . 87 .4 1 .43 . 47 • ~>3 . 39 . 6 1 . 67 .

7 1.73 . 79

.

83.89.97. 10 1 .io3. 107. 109. u3. 121. 127. i3i . 137.139. 143.149.

i5l. 157. i63. 167. 169.) -3. 179. 181 .187. 191 . 193. 197. 199 et

209 (mod 210).

Ce sont les nombres qui servent d'en-têtes dans les Tables de

Le limer (II, 3).

On obtient de même :

cp(23io) = 480 nombres premiers avec 23io,

o(3oo3o) = 5760 » 3oo3o.

20. Soit à trouver tous les nombres inférieurs à une limite

donnée et satisfaisant à plusieurs congruences données.

Pour fixer les idées, déterminons tous les nombres inférieurs

à 1 000000 et satisfaisant aux congruences :

x = 2 ( mod 4 ), ==± 1 ( mod 9), =+ 1 [ ( mod 2 j),

= 0.1.2 (mod 7); £=3.4.6.8.9 (mod 11),

= 0.1.2.3.8.9.11 (mod i3), =±(1.2.5.7) (mod 17),

==±(3.5.7.8.9) (mod 19), =±(0.1.2.3.4.8) (mod 23),

e==± (o. 1 .4.6.8. 10. [i .12) (mod 29),

= ±(3.5.8.9.10.12.13.14) (mod 3i),

= ±(1.2.4.5.6.8.10.15.17) (mod 37).

On obtient successivement :

x = 3 (mod 4), =±1 (mod 9),

/)() CHAPITRE II.

OU

'ar^ddio (mod 46), a?H=zbiô (mod 36), = + u (mod 2.5),

ou

x = -!- 386.586 (mod 900), x = 386.586 (mod 900),

== o. 1 .1 (mod 7),

ou, par le procédé graphique envisagé plus haut,

x =586. i486. 2186. 4186.4886. 5986 (mod 63oo).

Ces solutions avec celles qui sont exigées (mod 1 1) donnent :

.r= 2186.4186.6686.7786.10486. 12986. 14086. 19286. 20386. 23o86.

23 786. 24 886. 3 1886. 32986. 33 686. 36386. 37 486. 4^686. 43 786.

46 286. 48 986.50 086. 52 586. 5 {586. 58 886.

6

1586.62 686. 63 386.

64486.67186 (mod 69300).

Ces solutions sont obtenues parmi tableau comprenant 6 colonnes

(pour les solutions correspondant au module 63oo) et 1 1 lignes

(pour les nombres o, 63oo, 2 x 63oo, . . . , 10 X 6000).

Mais il serait assez compliqué de continuer de cette façon. Aussi,

sans chercher les formules générales des solutions pour les modules

plus compliqués, écrivons tous les nombres inférieurs à i 000000

et satisfaisant aux solutions (mod 69300) :

o

- ro

CON'GRUENCE DU PREMIER DEGRÉ 4'

On les écrira encore sous la forme d'un tableau comprenant

3o colonnes (pour les 3o solutions, mod 69800) et 10 lignes, car

la seizième ligne correspondrait aux nombres supérieurs à 1 000000.

Ainsi, la première colonne correspond aux nombres

69300K-+- 2186 avec K= . 1 . 2 .

.

.14

la deuxième 69300K+ 4186 avec K = Q . 1 . 2 .

.

• i4

la troisième 69300K+ 6686 avec K =.0.1.2.. .14

la treizième 69300K+ 3 1886 avec K = . 1 . 2 . . .i3

la trentième 69300K -f- 67 1 86 avec K = , i- . 2

.

. .i3

Le tableau ne contiendra donc que

12. î'5-+- 18. 14 = 432

nombres inférieurs à 1000000 et satisfaisant aux formes exigées

par le module 6g3oo.

On construira une bande auxiliaire qui portera sur sa longueur

les nombres

o, 69300 = 10, 2 x 69 !oo 7, 3 x 69 ioo j, ... (mod i3)

avec un trait en face des nombres 4 • 5 .6. 7 . 10. 1 2 qui ne con-

viennent pas (mod i3).

On promènera cette bande le long de toutes les colonnes, de

façon que la première case de chaque colonne coïncide avec le

résidu (mod i3) du nombre de l'en-tête de la colonne.

Alors chaque case viendra coïncider avec le résidu (mod i3) du

nombre qui correspond à cette case. On marquera un trait < ou le

nombre i3) dans les cases qui viennent en face d'un trait. Seules

les cases exemptes d'un trait (ou du nombre i3) satisfont à toutes

les conditions exigées par les modules 6g3oo et i3.

Il ne reste que 23o nombres satisfaisant à ces conditions (280 cases

exemptes d'un trait ou du nombre i3).

On éliminera ceux de ces 23o nombres qui ne sont pas

= ±1.2.5.7 (mod 17)

ou qui sont

= 0.3.4.6.8.9. [i.i3. 14 ( mod 1 7

)

au moyen d'une autre bande portant sur sa longueur les nombres

o, 69300 =.8, 2X69300 = 16, 3 x 69300 = 7,

42 CHAPITRE II.

avec un trait en face de

o. 3.4.6.8.9. 11 . r>. 14.

On promènera cette bande comme précédemment et l'on mar-

quera d'un signe quelconque (ou le nombre 17) dans les cases qui

viennent en face d'un trait.

Il ne reste que 102 cases exemptes d'un trait ou du nombre 17,

qui correspondent aux 102 nombres inférieurs à 1 000000 et qui

satisfont à toutes les conditions imposées parles modules 69800,

i3 et 17.

Au moyen dune bande portant sur sa longueur les nombres

o, 69800 = 7, 2x69300 = 14, 3 X 69800 = 2, ... (mod 19)

et un trait en face deo . 1 . 2

. 4 • 6 • 1 3 . 1 5 . 1 7 . 1 S;

on éliminera les nombres ne convenant pas (mod 19).

Il ne restera que 55 nombres dont le plus petit est 58886 et le

plus grand 953486 qui satisfont à toutes les conditions exigées par

les modules 69800, i3, 17 et 19.

De la même façon, on éliminera les nombres ne convenant pas

pour le module 23.

Après cette opération, il ne reste que les 25 nombres suivants :

x = 132686.181286.182386.227180.230986.287686.314686.327286.

339 886. 409886. 453286. 491 786. 5o8i86.549586. 667 486. 682586.

700786. 705 986. 812 386. 823 886. 863 486. 881 686. 886 186. 921 286

et 953486

qui satisfont à toutes les conditions envisagées jusqu'ici.

Si l'on élimine les nombres ne convenant pas (mod 29), il reste

x = 132686. 227 186. 230986. 287686. 327 286. 339886. 409886. 49 1786.

508186.700786.705986.823886.863486,881686.886186,

dont, les six suivants satisfont aux conditions imposées par le

module 3i :

x = 227186. 230986. 327286. 508186.705986. 863486.

De ces six nombres, seuls les trois suivants :

x = 117 180. 2 )o 986 . 863 486,

satisfont aux conditions imposées par le module 37, ainsi qu'à

toutes les conditions exigées par tous les autres modules.

CONGRL'ENCE DU PREMIER DEGRÉ. 43

21. Il est facile d'imaginer une machine à laquelle on pourrait

confier l'élimination des solutions qui ne conviennent pas pour un

module quelconque.

Sup posons qu'on fasse le tableau précédemment étudié (111,17,20)

de sorte qu'il ne soit composé que d'une seule colonne, mais d'un

nombre de lignes suffisamment grand. Les bandes aussi seront

d'une longueur suffisante. Si l'on pose les bandes correspondant

aux différents modules les unes à côté des autres, de façon que le

nombre de la première ligne coïncide avec le résidu du nombre de

len-tête de la colonne, une solution sera donnée par une ligne

blanche à travers toutes les bandes.

Une bande de longueur indéfinie peut être réalisée par une cir-

conférence tournant autour de son centre.

Imaginons un système d'engrenages composé d'un certain

nombre de paires de roues montées sur deux axes parallèles, Aet A.

Les roues montées sur Taxe A ont toutes le même nombre de

dents, par exemple 64, et sont solidaires avec Taxe. Les roues qui

leur correspondent sur l'autre axe A' sont folles sur l'axe et ont un

nombre variable de dents.

Ainsi, si Ton désigne par nt

et n-2 Je nombre de dents, et par R,

et R2 les rayons, on peut prendre une distance entre les axes A et

A' de :>oomm et les valeurs suivantes de ji

,, n 2 . R

f , R2 (en milli-

mètres) :

11,. R2 .

Pour le module in C>4

» 3 ou 9 ou, 27. 64

» 5 ou 25 64

> 7 ou 49 H» 11 64

i3 64

» 17 64

19 64

» 23 64

» 29 64» 3i 64

» 37 64

» 4i 64

43 64

» 47 64

64 100 100

54 108.7 91.3

5o 109.3 90.7

49 1 io.3 §9-7

44 118.

5

8i.5

52 in.

3

88.7

5i 1 1 2 . > 87.73~ 106.0 94.0

46 ii6.3 83.7

58 105.9 95.0

62 100.9 99-i

37 126.8 73.2

4i 122.0 78.0

4» 119.6 80.4

47 u5.3 84-7

44 CHAPITRE II.

Sur les roues montées sur l'axe A', on tracera une circonférence

d'un rayon inférieur à la plus petite valeur de R 2 ,par exemple

d'un rayon de 65 mm .

Cette circonférence sera divisée en n 2 parties égales. Aux points

de division, on percera des trous, ou bien on placera un contact

électrique, suivant qu'on se propose de se servir d'un rayon de

lumière ou de courant électrique. Ces trous ou contacts seront

numérotés.

Cela étant, si l'on a un système de congruences dont les modules

sont inférieurs à 5o, on procédera de la façon suivante : On bou-

chera les trous qui correspondent aux numéros ntqui sont des

solutions non admissibles (modjo). Si l'on se sert de contacts

électriques, on enlèvera les contacts des numéros qui correspondent

aux solutions non admissibles.

La machine étant mise en marche, quand elle présentera une

série de trous non bouchés, ou une série de contacts alignés,

donnera un nombre satisfaisant à toutes les conditions imposées.

Ce phénomène sera constaté par un rayon lumineux faisant tache

sur un écran placé devant la machine si Ton se sert de trous per-

forés. Si l'on se sert de contacts électriques, on s'arrangera de

façon que, par une série de contacts alignés, la machine soit arrêtée.

Dans les deux cas, on sera extérieurement informé de ce qu'une

solution est obtenue. Un compte-tours placé sur l'axe A donnera

le nombre de tours effectués et, partant, la solution.

22. Considérons un système de n congruences de même module

à n inconnues :

«u#i -h an &2 -+- «13^3 ... H- a\k%k • ••-+- am xn= &i ( mod m),

«21^1 -h a>ikxk = & 2 ,

««1^1+ «r2^2 O-nkXU b„.

Si l'on forme le tableau rectangulaire

«11 «12 «13 • • • a \k • • • «1« — &1

«21 «22 «23 • • • «2A • • • «2tt ^2

«Ml«/i2««3 • • • ank ' • • ann— "n

CONGRUENCE DU PREMIER DEGRE.

composé de n lignes et de (/i-f-i) colonnes, et si l'on désigne par

D,, Do, D 3 , . . ., D„, D les déterminants qu'on obtient du tableau

rectangulaire, en supprimant dans ce tableau la première, deuxième,

troisième, .... n lème dernière colonne, on aurait

— x x x2 — x 3 (—i)»xn (— i)»+«

D, ~D 2" D 3

~' D» D

si le système donné était un système d'équation.

Il est évident qu'en remplaçant la solution précédente p;

- Xy 37 2

ï>7"=

Dt

(-\)»xn (— i)'

D„ D(mod m),

on aura la solution du système de congruences.

Cette solution peut être achevée de la manière suivante : On a

ou

Xi==zt. — (mod m )

Do7/= ± D/ (mod m);

d'ailleurs, nous pouvons (II, 11) interpréter la solulion

a7/=±~ (mod m).

Exemple. — Soit le système

ix — Sy — 5z ~ 7

3 x — 6jk — 8 z. = ii,

837 H- jK + 2-3= 2,

(mod ioi ),

Le tableau rectangulaire

1 — 3 — :> 7

3 — G — 8 —i [

8 4- i 4- 2 — i

46 CHAPITRE II. — CONGRUENCE DU PREMIER DEGRE.

donne

D 1 =+ 29, D 2=:-/h D 3= -65, D 4 = — 53;

doù

(mod ioi)— x _ y _

— z "+-1

29 — 4 — 65 — 53

53;r = 29 donne 37 = 52 (mod 101),

53^ = 4 )) JK = 42,

53 £ = — 65 » z = 75.

CHAPITRE III.

GÉNÉRALITÉS SUR LES CONGRUENCES DE DEGRÉS SUPÉRIEURS.

1. Théorème de Fermât. — Si p est un nombre premier et anon divisible par p, on aura

a p-\ = i (mod /?).

Considérons les deux termes de la progression

a, ia, 3 a, .'":., (p — i)a

et soient

ru 7*2> rii • • • , rp-r 1

leurs résidus (mod/>), de sorte que

a = /-l5 2<7 = /-

2 , 3a = r3 , ..., (p — i)a ==rp-\ (mod/?).

Si L'on fait le produit de ces congruences, membre à membre, il

vient

1 .2. 3 «4 • • -{p — i)aP-~* = rv i\ /-3 • . . rp-i ( mod p ).

Or, les facteurs r4 , r 2 , r 3 , • • -, >>_< ne diffèrent que par Tordre des

facteurs i , 2, 3, 4, . . . (p — i) (I, 9); donc

rira ''3 • • • '7>-i= i.2.3. ..(/? — i).

En supprimant de la dernière congruence les facteurs communs

.

1.2.3.4. • •(/> — 1) = r t r2 r3 . . . rp-uil vient

aP~ x = i (mod/?).

Remarque. -'- Quel que soit «, on aura aP=a (mod/?) si pest premier.

En effet, la congruence aP~ a (mod/?) est vraie non seulementquand a n'est pas divisible par p (alors a**

-1 = 1 et aP=a), maisaussi quand a est un multiple de p.

48 CHAPITRE III.

2. Le théorème que nous venons de démontrer est d'une impor-

tance capitale dans la théorie des nombres. Aussi allons-nous

donner une autre démonstration de ce théorème :

Soit donc/? un nombre premier et a non divisible par p. On a

(a 4- b)i'= a>'-h pai>-iô 4- P P ~ *

aP-*b'2 -{- . . .4- pabP~ l 4- bP.

11 est facile de voir que tous les termes du second membre, sauf les

termes extrêmes, sont divisibles p r p\ donc

(a -h b )/> aP-^r bP (riiod p ).

Si, dans celle congruence, on remplace b par b 4- c, il vient

(a -+- b -+- c )p == «/'+ ( b 4- c )/' aP h- £/' 4- cP ( mod /> ).

En continuant de cette façon, on arrivera à

( a 4- b -+• c 4- . . .-+- /i -f- / )P = aP h- b'' 4- c/' -h ... 4- A/' 4- //' ( mod /? ).

Si l'on fait dans cette congruence

a = b == c = . . . = A = i

et leur nombre égal à a, on aura

a/,= i + i + i + ...4i:;:« ( ni od p ).

Si a n'est pas divisible par p, on peut supprimer le facteur

commun a et écrire

aP -iî i mod p ).

3. Euler est le premier qui ait démontré le théorème de Fermai.

C'est encore Euler qui a donné le théorème suivant, dont celui de

Fermât n'est qu'un cas particulier :

Si Von désigne par ©(N) V indicateur de IN (I, 15) et si a est

premier avec IN, on aura

a«P(N)=i (mod Nj.

En effet, soient

N„ N„ N 3 ; ..., Kn

les n = co(N) nombres inférieurs à N et premiers avec lui.

GÉNÉRALITÉS SUR LES CONGRUENCES DE DEGRÉS SUPÉRIEURS. 49

Considérons les nombres

aNi, aN 2 , aN 3 , ..., aN„et soient

^l? r2i r3f ' • • ir ri

leurs résidus positifs (mod N), de sorte qu'on aura

aN| = r t , «N 2 = r2 ,..., flN„= r„ (mod N).

Puisque « et N/ (7 = i , 2, 3, ..., /i) sont premiers avec N, le

produit aN/ est aussi premier avec N et le nombre r,- qui lui est

congru est inférieur à N et premier avec lui; donc r, figure

parmi les nombresN l5 N 2 , N„ ..., Na.

D'autre part, les valeurs de r/(*=î, 2, 3, ..., /i) sont toutes

distinctes, car si l'on avait /•;= r*, il en résulterait

âN/= «N^. (mod N)

ou, puisque a est premier avec N,

N/sNi (mod N),

ce qui est impossible, étant donné que N/ et N* sont tous deux

inférieurs à N.

Il en résulte que les facteurs du produit r{r 2

;*:,

. . . rn ne différent

(jue par l'ordre des facteurs du produit N, N 2 . . . N„.

Si maintenant on fait, membre à membre, les produits des con-

gruences

aNt^/'i, aN s =r2 ,..., aN„=r„ (modN),

il vient

a«N t N 2 N3 . . . N„= r, /•,

r

3 . . . rn (mod N)

et, en supprimant les facteurs communs, premiers avec le module,

N,N 2 N 3 ... ^n=r xrt rz ... rre ,

on auraa'l =i (mod N

)

ou ,

a?^=i (mod N).

On notera que si N est premier, o(N) = N — 1 et l'on aura le

théorème de Fermât.

KRAÏTCHIK. 4

50 CHAPITRE III.

4. On peut appliquer ces deux théorèmes pour la résolution de

congruences du premier degré.

Supposons d'abord que le module est premier.

Pour résoudre la congruence

ax = b (mod m),

a étant premier avec /?, remarquons qu'on a (mod m)

aP~i = i, ou baP x =b, ou abav^^b.

En comparant cette identité avec la congruence

ax = b (mod m) v

on voit qu'on peut prendre

x = b afJ-- ( mod /> ).

Pour trouver la valeur de x = — (mod p), on peut aussi multiplier

membre à membre cette congruence et la congruence i = aP~ {

;il

vient

x=baP- 2 (mod p).

Si, enfin, p n'est pas premier, on multipliera, membre à membre,

les congruences

i=aW et x = — (modp),a r

il vient

a; = 5 a?ip)-1

( mod p ).

o. Théorème. — Les diviseurs primitifs d'un nombre de la

forme an— i sont de la forme kn H- 1

.

Remarquons d'abord qu'on entend par diviseur primitif d'un

nombre de la forme an— i, un diviseur de an —î qui ne divise

ax— i pour aucune valeur de x inférieure à n.

Ainsi :

2 25— j = 3j gOI !8oi.

De ces trois facteurs, le premier, 3i, divise i :> — i et n'est pas un

diviseur primitif; les deux autres ne divisent ix— t que pour

x = 25.S0.75 ... = 25 K

GÉNÉRALITÉS SUR LES CONGRUENCES DE DEGRÉS SUPÉRIEURS. 5l

et la plus petite valeur de x est x = 20. Ces deux facteurs sont

donc primitifs.

Remarquons encore que si 1'1— 1 est divisible par p, p étant un

diviseur primitif, on aura

a"=i (iiiod/>),

et puisque, d'après le théorème de Fermât,

aP~ l = 1 imodjo),

// est nécessairement un diviseur dey? — 1 , car la suite

a°=\, aâ i aâ^...a ll =\, an+l = «'... a"+A === a k,

aP~ x = 1 (niod/?)

renferme nécessairement un nombre entier de périodes

1, a, a 2 a 3 a* . . . a 11.

Ainsi/? — 1 est divisible par n. Si Ton désigne par k le quotient

de p— 1 par zi, on aura

p — 1 — kn ou p == krm- 1.

Nous reviendrons sur ce sujet qui est dune importance capitale

(V, 24).

6. Nous allons nous occuper maintenant des congruences de.

degré supérieur dont le module sera supposé premier. La forme

générale d'une telle congruence est

Aa?'»-+- B/'«-'+ C^'"-2 + . . .-h x -hK = o (mod/?)1

.

Les coefficients A, B, C, ..., K sont des nombres positifs ou

négatifs, mais entiers.

Remarquons d'abord que le coefficient du terme qui contient la

puissance la plus élevée de x peut être transformé en 1 sans que les

autres coefficients ne deviennent fractionnaires.

Si, en effet, a est l'associé de A(mod/>) (II, 12), on aura

A«=I.

En multipliant par a la congruence donnée, on aura

#'"-i-Baa?'"-i-+- Cax" l -*-+-.. .-+ ax -i-Ka ~ o (mod m u

5l CHAPITRE III.

Si A est divisible par p, le nombre A n'a pas d'associé, mais

alors on peut simplement supprimer le terme Axm qui est

= o (mod/?).

Ainsi, ayant la congruence 2X'J -+- 3# -f- 7 = o (modii) et

l'associée de 2 (mod 1 1) étant 6, multiplions la congruence donnée

par 6, on aurax 3 -4- 7 x -+- 9 = o (mod ii).

7. Théorème. — Une congruence de degré mxm -+- A x"'-- 1

-f- P> xm~* + ...+ Hir+K = o ( mod p )

riadmet pas plus de m solutions différentes.

On remarquera que si # = a(mod p) est une solution de la

congruence donnée, le premier membre est divisible par

x— a (mod/>).

En effet, soient Q (polynôme du degré m — 1) le quotient, et Rle reste de la division de

xm -\- Axm~ l -i-. . .-4- Hx -+- K par x— a,

on aura

œm -\- Axm- l -h. ..+ Hir + K = i^-rt)Q + R (mod/)).

Si Ton fait x = a, onaR = o; donc

xm ^- Ax fn- l -+-...-hHx-hK='(x— a)Q = (x—a) (xm~l -+- A l xm-*-4-...).

Ainsi à chaque solution x = a (mod p) correspond un facteur

linéaire dans la décomposition du premier membre de la con-

gruence.

Puisque le nombre de facteurs linéaires n'est pas supérieur à m,

le nombre des solutions différentes n'est pas supérieur à m.

On énonce quelquefois ce théorème autrement en disant que la

congruence

Ax"l-t- Bx'"- 1 -^. . .-h Hx-h K = o (mod/>)

n'admet pas plus de m solutions, à moins que tous les coefficients

ne soient divisibles par/?, et alors elle a une infinité de solutions.

Ou encore : si la congruence

Ax'"-+- Y$xm- x -\-. . .-+- Hx -f- K = o (mod/))

GÉNÉRVLITÉS SUR LES CONGRUENCES DE DEGRÉS SUPÉRIEURS. 53

admet plus de m solutions, tous les coefficients sont = o(mod p).

8. Considérons l'expression

/(a?) = (x — i) [x — 2) (x — 3) . . . [x — ( p — i)] — (xP-* — i)

composée de deux termes dont le premier est le produit de (/?— i)

facteurs x— i, x— 2, . ..,# — (p — 1) et le deuxième est

xp~ {— 1.

Chacun de ces deux termes s'annule pour

œ = 1 . 2 . 3 . . . p — 1

.

Donc la congruence(jr)'==Êû (mod/>)

admet/? — 1 solutions.

Mais /(a?) n'est que du degré p — 2, car les termes xP~ K dispa-

raîtront, donc tous les coefficients def(x) sont = o (moà p).

Les coefficients de f(x) sont :

1 — 1 = pour le terme en xP~ l

,

-II + 2 + 3+...+ jO + l) » xP~-,

+ (l.2+I.3+.,.+ 2>3+...j » xP~z,

•>

(— i)P-J 1.2. 3.4. :.(/> — i)-f-i » x°.

On aura ainsi :

i + 2 + 3+...+ (j5-i) = o (mod/?),

1 . 2 + 1 . 3 -f- . . . -h 2 . 3 -h . . . -+- ( p — 2 ) (p — ï) = o,

(— i)^- 1 1.2.3. ..(/> — !)-+- T = 0.

9. Théorème de Vilsojs. — Si p est un nombre premier, on

aura1.2.3... (p — 1 ) -h 1 = o ( mod p ).

Le théorème est vrai pour/? — 2, car 1 -+- 1 = o (mod 2).

Si p ;> 2, p est impair et p — 1 est pair.

La dernière relation trouvée dans le paragraphe précédent

devient1.2.3. . .(p — 1) + 1 = o.

Tl est à noter que le théorème de Vilson est une caractéristique

de nombres premiers, mais malheureusement inapplicable pour

reconnaître si un nombre est premier.

54,

CHAPITRE III.

10. Théorème. — Tout nombre premier de la forme /\n-\-\

est un diviseur d 1une somme de deux carrés.

En effet, si p = l\n + i est premier, on aura

i . 2 . 3 . . .-( 4 n) -+- 1 . == b ( mod p )

Qll

i . i . 3 . . . ( 2 n ) ( •>. n -+- t ) ( i n -+- 2 ) . . . ( 4 /i ) 4- i = o ( m od p ).

Les 4™ nombres formant le produit (4n)l peuvent être distri-

bués en deux groupes, chacun contenant in facteurs.

De plus, ces facteurs sont, au signe près, les mêmes (mod p).

Ainsi :

4/i eeee— i 4/i— i = — 2. . . 2 rc-i-2=— (in— i),'?./i-r- 1=— in (mod p \.

Le nombre des facteurs de chaque groupe étant pair, le chan-

gement de signe de ces facteurs n'altère pas le résultat et l'on

a u ra

[t .i.'\ . . .( 2rt)] 2+ i = o (mod/?);

donc le nombre premier p = /\n + i est un diviseur de

[l.2.3...(27l)J 2 -Hl

ou d'une somme de deux carrés.

11. Si la congruence

Aj7'"h- Ba^-i-f-, . .-h H.r -+- K = o (mod p)

admet m solutions an a 2 , . . ., am , on aura

— A(«!-h a 2 -i- «3+ - • •+ «m) = B (mod/? ),

A(o1 o!+a 1 aî+ ) = C,

(— i)"i Aa 1 a 2 a3+ . . -h a,„) = K.

En effet, on aura

A.rm -\- B.r'»- 1 -}-...-^ Ha?-t- K = A(x — a t ) (a? — a % )...(x — am )(mod/?)

ou

A.rw -+- Ba?**- 1 -*-. . .-f- Ha? + K = Aa?'"— A(fl 1 a2 a 3+ . . .--H^'»- 1

-+- A(aia 2 4- «i«3 . • .;a7'/t-2 -f-. .

.

-h (

—

i)"î Àaiaî ...a /„ (mod/?).

GÉNÉRALITÉS SUR LES CONGRUENCES DE DEGRES SUPÉRIEUKS. 55

Cette dernière congruence étant du degré m — i el admettant

m solutions aâ*,. . ., am aura tous les coefficients = o (mod/?);

donc— A( «j h- «2+ «3+ . . .) = B (mod/>),

+ A(rt 1 ffl 2+ «i«3+ • • •) = G,

(— i )/» A ai afc aj .-.; . a /lt = K.

12. Théorème. — Zes solutions communes à deux con-

gruences

f(x)==o et F(a7)sï=o (mod/>)

sorcf aussi solutions de la congruence D(#) = o (mod/?), D(#)étant le plus grand commun diviseur (mod/?) de f(x) et de

V[x).

En effet, à toute solution x = a (mod /?) des congruences

f(x) = o et F(.r) = o (mod/>)

correspond un facteur linéaire #— a dans la décomposition de

f(x) et F (a?), donc dans la décomposition de D(x); par consé-

quent x = a (mod/?) sera aussi solution deD(^) = o (mod p).

Inversement, les solutions de D(#) = o (mod/?) sont aussi solu-

tions def(x) = oetdeF(#) = o.

13. Théorème. — Si m est supérieur à p, la congruence dudegré m (mod/?) peut être remplacée par une congruence dudegré p — i qu'on obtient en cherchant le reste de la division

du polynôme donné du degré m par xP— x.

Soit

Aa?'"-H Bx»'- 1 -*-... -i- Ux-h K==o (mod/?)

la congruence donnée. Divisons

Axm -h Bx ,n~ l -{-. . .-4- Ex +- K par xP—x

et soient Q (un polynôme du degré m —p) le quotient et R le reste.

R est un polynôme du degré p— i au plus, tel que

k l xP-K+- B^-2+ ...-h H 2 # + K.

56 CHAPITRE III.

On aura

kx>n -+- B^'«-i+ . ,.+ Ha:+K = (xP— x)Q_

(mod /?).

Puisque (^— #)Q est = o (mod /?) quel que soit x, les deux

congruences

Ax"'+ Ba;'"-ï + . ..+ Ha; + K = o (mod p)et

ont les mêmes solutions, ce qui démontre le théorème.

14. Théorème. — Si la congruence

/< x ) = xm -\- Aic'"- 1 -^-. . .-+- Ha?+ K= x) (mod ^?)

admet m solutions, tous les coefficients du reste de la division

de xp— x par f(x) sont = o (mod/>).

Soient F (a?) le quotient et R(x) le reste de la division de xp— xpar/(.r). On aura

xP — x =f(x)¥(x) + R(x)

ourr^— x —f(x)F(x) = R(x ).

Or le premier membre de cette égalité est =o(mody») pour

m valeurs de #, au moins, car xp— x est eeo pour toute valeur

de x et f(x)Y(x) est = o (mod p) pour au moins m valeurs qui

satisfont f(x) = o (mod/?). Donc la congruence R(#) = o (mod/>)

admet aussi au moins m solutions. Comme R(#) est le reste de la

division de xp— x par/(.r) qui est un polynôme du degré m, le

reste R(#) est d'un degré inférieur à m. Et puisque la congruence

R(#) = o admet au moins m solutions, tout en étant d'un degré

inférieur à m, tous les coefficients de cette congruence sont

= o (mod p).

15. Inversement, si dans le reste de la division de

xv—x par f(x) = Ax'"- l -i-. . .-h H a? -h K,

GÉNÉRALITÉS SUR LES CONGRUENCES DE DEGRÉS SUPÉRIEURS. 67

tous les coefficients sont eé o (mod /?), la congruence

f(x) = o (mod/?)

admet m solutions.

Soient F (a?) le quotient et R(V) le reste de la di\ision de xP— x

par f(x); on aura

xP— x = f(x) F(x) + R(>)

ouxP— x — R(x) = f(x) F (x).

Le premier membre de cette égalité est congru à o (mod/?) pour

toutes valeurs de x, car les deux termes qui le composent %p— x

et R(x) sont congrus à o (mod/?) pour toute valeur de x.

Donc la congruence

f(x)F(x) = o (mod/?)

peut être satisfaite par n'importe quelle valeur de x.

Or, le quotient de la division de xP— x par f(x) est du degré

p — m et son premier terme est xP~m; conséquemment, la con-

gruence f(x) = o (mod p) n'a pas plus de m solutions, et la

congruence F(x) = o (mod p) plus de p — m solutions.

Puisque la congruence f(x)F(x) = o (mod/?) du degré

m -{-(p —-m) admet p solutions

x = o. 1 .2.3. . .(p — l) (mod/?),

il en résulte que la congruence f(x) ™ o (mod p) admet m solu-

tions et la congruence F (oc) = o (mod p) admet /? — m solutions.

Exemples. — i° La congruence

x 3 -h x 2 -+- 4 x -+- 1 = o (mod 7)

admet trois solutions, car le reste de la division de

x~— x par x %-r- x--\- \x H- 1 est — 28 xr— jjx — 7,

puisque

x' — x = (.r3 -h# 2 -+- \x-hi)(x'*~ x z— 3xi -^-6x-h 7) — 7(4#*-h 5a? -f- 1).

58 CHAP. MI. — GÉNÉRALITÉS SUR LES CONGRUENCES DE DEGRÉS SUPÉRIEURS.

2° La congruence

x*— x 2 -i-x — i == o (niod 7)

admet moins de trois solutions, car le reste de la division de

x~ — x par xz — a?2 H-.r — 1 est x-— ix-hi,

puisque

x" — x = (x z— x 2 -h x — 1) (.r4 -f- a? 3 -}- 1) -h (x 2 — IX +- 1).

CHAPITRE IV.

CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ.

1. La forme générale d'une congruence du second de»ré esto o o

rt.r 2 + bx -h c = o (mod/?).

Remarquons que si a = o (mod p), la congruence donnée n'est que

du premier degré'. Nous supposons donc a différent de o (mod y;).

Le module lui-même doit être supérieur à 2, car si p==2 la

congruence donnée peut être remplacée par une autre du degré

p— 1 = 2 — 1 = 1 (III, 13).

Supposons donc p ^> 2 et pour commencer supposons/? premier.

Dans ces conditions, la congruence

ax 2-i- bx -+- c = o (mod/?)

esl équivalente à

(2a^ + è)2 =i 2 -4«c (mod/?;ou

z-= q (mod />),

étant posé>ax-\-b = z et 6 2 — 4 ac — </.

Si l'on parvient à résoudre la congruence

z^—q — b- — \ac (mod/?),

on aura, pour déterminer a?, l'équation iax -\- b = z ou la con-

gruenceiax-\-b = z (mod/?)

que nous savons résoudre (II, 10).

Ainsi toute congruence de second degré

#a? 2 -t- bx-\- c — o (mod/?)se lamène à

z-=q (mod p).

Nous allons donc nous occuper de cette dernière.

60 CHAPITRE IV.

2. Nous supposons que q n'est pas = o (mod/?), car autrement

la seule solution de la congruence est £ = o(mod/?). En effet,

£ 2 =o(mod/>) exprime la divisibilité de z- par p. Or, p étant

premier, z 2 n'est divisible par p que si s l'est; donc z = o (mod/?)

est la seule solution possible de la congruence s 2= o (mod/?).

Nous allons prouver que si q ^ o (mod/?), la congruence

£ 2 = </(mod/?) admet deux solutions ou n'en admet aucune.

On sait que la congruence z 2= q (mod /?) a autant de solutions

qu'il j a de nombres dans la suite o, i, 2, 3, ...,/? — 1, qui lui

satisfont. D'autre part, cette congruence ne peut pas avoir plus de

deux solutions.

A cause de a 2 =(/? — a) 2, on voit qu'à toute solution z = a

correspond une solution z=p — a distincte de la première,

puisque a — /? — a entraînerait p — 2a; or p est premier par

hypothèse. D'autre part, si a <Cp — 1? p — # est aussi <^p — 1

;

donc si une solution # = a existe, il en existe aussi une seconde

x =p — a (mod p).

3. Nous avons vu (III, 14, 15) que pour connaître si une con-

gruence de degré m a m solutions (mod/?), il faut prendre le reste

de la division de xP— x par le premier membre de la congruence

proposée et s'assurer que les coefficients de ce reste sont= o (mod p) .

Donc, pour savoir si la congruence z- = q [mod p) admet deux

solutions ou aucune solution, il faut trouver le reste de la division

de zP— z par ^ 2— q.

Or

Le premier termeT }—-

p ~~~\

L(i«)2 ~q 2

J

est divisible par z 2 — q, donc le reste de la division de z-— p par

s 2 — q est

.puPour que la congruence s 2= </(mod p) ait deux solutions, il

CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ. Gl

faut que le coefficient de z soit = o (mod p) ou

i

q - — 1 = (mod/)).

Ainsi la congruence £ 2 =2(mod 7) admet deux solutions, car

7 — I- = 3 et 2 3= i (mod 7).

La congruence z 2 = 2 (mod 1 1) n'est pas possible, car — — 5 et

2 5= 32 n'est pas = o (mod 1 1).

4. Inversement, si la congruence 5 2 =^(mod /?) admet deux

solutions3 = a et z = (p — a) (mod/?),

on aurap-t

q2 = 1 (mod/?).

En effet, puisque z = a est une solution de z- = q (mod/?), on

aura a-= q (mod/?) ou, en élevant les deux membres à une puis-

sance dont l'exposant est*

ou

Or

donc

5. Nous avons vu (III, 1) qu'on a toujours

qiJ ~ l — 1 = (mod p),

ce qu'on peut écrire

\92 — iJW 2 +1^0 (mod/?).

On aura donc toujours

q2 = dz 1 (mod /?).

il est y

ilp—i) p —

a i = q ~ (mod p

P-i

a i>-\ === ^ 2 (mod /?)

a/'-i = 1 ( mod /?) ;

P -\

q2 ^1 (mod/)).

G

2

CHAPITRE IV.

Ainsi la valeur absolue de q - (mod//) est ï.

Nous avons vu que si l'on a

(]l = + i (mod/?),

la congruence £ 2 =/? (mod/?) admet deux solutions.

Si l'on a q2 = — ï (mod/?), la congruence z 2= q (mod p) n'est

pas possible.

On désigne par le symbole (-) la quantité ±i ou mieux la

quantité q2

.

On écrira donc symboliquement :

(?)- si ?2 =-f-i (mod/?),

d)-— si (mod />).

Ainsi :

(ï)-* car 2 3

1 (mod 7),

tè)-- car 2 5 ^=— 1 (mod 11).

Nous pouvons donc résumer le paragraphe 3 de ce Chapitre en

disant que la congruence z 2= q (mod p) est possible et admet

deux solutions si

(ï)--

Par contre, cette congruence n'est pas possible si(- \ = — 1

.

Dans le premier cas, q sera dit résidu quadratique de p: dans

le second cas, q est non-résidu quadratique.

Rappelons que p est supposé premier, mais aucune hypothèse

n'est faite sur q si ce n'est que q ^ o (mod p).

6. Théorème. — On a toujours

(ONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ. fi

3

()=-+-i si /? = i (mod 4),

/Zlij=— i si /> = 3 (mod 4)-

En effet, on a/> —

i

[|j= ^ *

: (modp)

(j)I.

2 àkl.

Si /; = i (mod 4), posons p ±= 4 £ -f- * j alors

(£)-(-,>-<-*

Si jt> = 3 (mod 4), posons p =s 4 Ar -+- 3, alors

_ > Lzl-ij^(-l) * ^(_,)**-M^_,.

Ainsi i est toujours un résidu quadratique.

(— i) est résidu quadratique pour tout nombre premier de la

forme ^k-\-\.

(— i) est un non-résidu quadratique pour tout nombre premier

de la forme 4 k H- 3. •

En d'autres termes, la congruence .g2 =i (mod/?) est toujours

possible; la congruence z'2 ~ — î (modp) n'est possible que si le

module p est de la forme \k-\-i.

7. Théorème. — Si q = q t , q 2 , q-i-, • • -, qm

J)-(?)(5K?):;:'(Ç)-

En effet, on a

De même que

(j)=?2 (mod/,).

64 CHAPITRE IV.

d'où, en multipliant ces congruences membre à membre

p-\ P -\ p-i

p-\ r -\p—\

^(qiq-2-..qn)2 ^q 2

=(|) (mo.l/>).

Ainsi la détermination du symbole (-)» quand q n'est pas

premier, se ramène à la détermination de ce symbole quand q est

premier.

En particulier, remarquons qu'on peut éliminer les facteurs qui

entrent dans q avec un exposant pair.

Si, par exemple, q = a 2 b,

(J)-g)(«oa,).

En effet,

(î)- (?)-©(?)(;) -G)'® -G)-

8. Théorème. — Si p est de la forme 4 k -+- i, les nombres qet — q sont tous deux résidus quadratiques ou tous deux non-

résidus quadratiques. Si p est de la forme 4 k -f-3, les deux

nombres q et — q sont l'un résidu quadratique et Vautre non-

résidu quadratique.

En effet,

(îMtX?)'or (— i) est résidu quadratique si p est de la forme 4 k -f- i , alors

c'est-à-dire que les nombres q et — q sont tous deux résidus qua-

dratiques ou tous deux non-résidus quadratiques.

Mais si p est de la forme 4 k -f- 3, alors

c'est-à-dire que si q est résidu quadratique, (— q) est non-résidu

CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ. 65

quadratique, et inversement si q est non-résidu quadratique, (

—

q)

est résidu quadratique.

9. Théorème. — Si q = q (mod p), on aura

(?)

En effet, la congruence q^q (mod p) entraîne celle-ci :

p-i p-

i2 -=?' «

ou

(Î)-KS <mod ">-

Or, la valeur absolue de (—

)étant i , la congruence

(ïWï) <-*/?entraîne l'égalité

(ï)-(ï)-

10. Théorème. — Si Von désigne par R un résidu quadra-tique^ et par IN un non-résidu quadratique, on aura

RR'=R", RN = N', NR = N', NN'= R,

c'est-à-dire que le produit des deux résidus est un résidu, le

produit d'un résidu et d'un non-résidu est un non-résidu, le

produit de deux non-résidus est un résidu.

En effet, nous avons vu que si q = q K q 2 q 3 . . . qn , on aura

(ÏM5) («)$•';$);

Puisqu'on a par définition

S)-.' « (5)'-;

-KRAÏTCH1K.

66 CHAPITRE IV.

on aura

(?)©-—(!) ©:(?) =-=©(+ï)(-0

et enfin

e)(l)^-><->-— e:

11. Moyennant les théorèmes que nous avons examinés, le carac-

tère de q(mod'p) ou la détermination du symbole (-] peut

toujours se ramener au cas de q inférieur à p et premier.

Pour ce cas (donc quand q et p sont premiers et q<Cp)-, nous

allons démontrer le théorème suivant :

(!)= (-<>* avec , = E(^) +E (i

? )....+ E-

P

E(#) désignant le plus grand nombre entier contenu dans x.

En effet, nous avons vu (II, 4) que si r,-( i= i, 2, 3, . . .,j

désigne le résidu minimum absolu (mod p) du nombre iq, le signe

de ri est déterminé par le signe de la quantité

(- >' •

On aura donc, en respectant le signe de rn

— / — \

n^(-x)P iq (mod/>) (i=i,2,3, ..., ^--j

ou, en explicitant,

e (-) e (-)r,= (-i) v ^ ? , rlŒ (-0 v " ; 2 ? , ...,

E ( p — 1 ) q

V-i = (-0 ~ E^1 <1 (mod/>)

2

ou, en multipliant membre à membre,

'Wj • • • rp_ l= (— i)*? iqZq ..

2

Or, les facteurs 77, /*2 , /*3, ..., r

;,_i ne diffèrent que par l'ordre

r/.r2 r3 . . . r/ï_ 1W(— i-J*^ iq3q ... t^-1 q (mod/?).

CONGRUENCES DU SECOND DEGRE. 07

des facteurs i, 2, 3, . ..,- > car ils sont tous non supérieurs

à- (comme résidus minimums) et sont tous distincts.

Si, en effet, on avait r,= r* avec i et k non supérieurs à- >

on aurait

(—1) v P J iq = (— 1)v P J kq ( mod /?),

ce qui donneraitiq = ±kq (mod/>)

et entraînerait la divisibilité de î ifc A" par/?, ce qui est impossible,

i et k étant deux nombres supérieurs à •

Ainsi

n/*2^3- •• '>-!= 1.2.3.4 •• -^—

-

et

O^'-a- • • ^_,= (—-r)*j iq 3q \q . . .^—

-

(mod /?)~~2~ *

devient, quand on supprime les facteurs communs,

i = (— i)*^2 (mod/?).

Si, enfin, on multiplie les deux membres par (— 1)*, il vient

q 2 s-(-i)A (mod/?),

A désignant la quantité

(_i) v />y V. P / \ p ) \

Ainsi, pour déterminer le caractère de 5 (mod i3), on calculera

"(S)- »(SB (£)** EfêH"(S)-* «(SB

/: = o-i-n-2-+-3-f-3-i-4 = i3

et

^) = (-Oa =(-i) 13 = -i.

68 CHAPITRE IV.

12. La relation précédente est vraie quel que soit q. Elle peut

être simplifiée si q est impair. Supposons donc q impair, et remar-

quons que

(l).=(£#e

);

Si, dans la formule du para graphe précédent,

©=<-'* ^m-e>-'(?)— E (P

Pûi,

on fait

q == -(p -+- a),

a étant supposé impair (ainsi quep), il vient

{*-(*+*) p + a 2(»-H<7) ( p— li( p-¥n)+ E— -K..+ E — -

I) P P P =(-0*,

et si l'on multiplie les deux membres par f -Jet en remarquant

que l'exposant de (— i) est

= 1 + 24-32 p

•2rt.-\-

(P — i)

ip

a

/>-+-! P — 1

2 2 +e/:?)

„ /''2Û

)+... + E (Pip

)a

a.

+ 1M

= />2—

i

8+e)* (

2a\.-+- E (/? - ]

ip

)aj

on trouve

Si l'on fait dans cette relation a = i, on trouve

G)"(y)<->'8


tous les E( — jétant nuls et en multipliant cette relation membre

à membre avec la précédente, on aura

p) =(-,)

E0;)

+E (7r) + - E—

,

relation de la même forme que celle du paragraphe précédent, mais

dont les termes sont deux fois plus petits.

13. Nous avons trouvé, dans le paragraphe précédent, la relation

p5-i

= (f)<-Ên multipliant les deux termes par

(-1) 8 =i-i) 8,

il vient

(-> » =g>-) ' ,

et puisque le carré de tout nombre impair est de la forme 8 n -f- 1

,

car

(ik-+-if= 4A 2+4^ + i = 4/v(^ + i)h-i

et k (k -f- i) étant pair, (2 h:'+ i) 2= Sn -f- 1 ; donc £—— est pair et

p--i

(— 1)4 = -f- 1 ; donc on aura

Nous avons vu que ^—— est toujours pair si p est impair.

Pour ce qui est du nombre ?—?— > il peut être pair ou impair

suivant que p est de la forme 8 Â =b 1 ou 8 k zb 3.

Ainsi, si p = 8 /r rh 1

,

^-ïï-= 5 = Ji—ô = P a "' et 2)=

70 CHAPITRE IV.

Mais si p = 8 k±i 3,

p*-i (8Ha)»-i 64A 2 ±48£ + 8 //; ,,. /N^-g— = g = — £ =2(4A-2 dz 3/k) + i = impair

et

(I)-.-

Ainsi, nous avons le théorème :

i si /? =± i (mod 8),(?)

-) = — l si /?==±3 (mod 8),

ou

Ainsi\Sk± i)

etSA

(è)=

14. Théorème. — Si a eut impair et inférieur à /?, on aura

En effet, nous avons la relation

(f)-<-?>. avec * =E

(j)+ B

fë)+ ... +E^.

Cherchons la valeur de A". Remarquons, à cet effet, que k est

une somme de plusieurs entiers dont le plus petit est

et le plus grand

B<f,-„

E(,P -i)a =E /«_ -± \ = E

/q-i

1p \1 ip J \ 2

p — a

Ainsi k est une somme de nombres croissant de o à •

Pour déterminer cette somme, calculons combien il y a de termes

dont la valeur est o, combien il y a de termes dont la valeur est î

,

puis 2, 3, . .., jusqu'à

CONGRl'ENCES DU SECOND DEGRE.

Posons-nous la question d'une façon générale.

Etant donnée la somme

(p — i)ayt=E

g)+ E^) + ... +Eg)+ E!l±^ + ...+ E-

la

déterminer combien il y a de termes dont la valeur est a?, le nombrea — i

entier x étant compris entre o et —

Supposons que le dernier terme inférieur à x soit E( —J,

de

sorte qu'on aurava (y+i)aJ— <x< H L.,P P

px

B ,?«

ce qui donne

ce qui montre qu'il y a

nombres dont la valeur est inférieure à x.

On trouvera de la même façon qu'il y a

Ep(v-+-*)

a

nombres dont la valeur est inférieure à x -h i

Il y a donc

Ep(.x-+-i)

Epx

a a

nombres égaux chacun à x.

Ainsi la valeur de k se compose de :

a-E

a

a a

Ea-e2£

a

E;< -Dp

a

,->a

3)/>

p — a

i

,;<*a

l)P

nombres égaux chacun à

a — 3

72 CHAPITRE IV.

On trouve ainsi :

A =„7E£_EÛifE^-E£Ù 2(E2£-.EÎ£V ••\ a a ) \ a cl } \ a a ]

•2 |_ a a J

2 2 J

ce qui donne

k = a ~~ l p ~ l

L a a a a J

ainsi

v/<- / .\ 2 2 V a a la J

(i)-(-1)*=(-1)

15. Théorème. — «S'/ a et b sont deux nombres premiers

impairs et distincts, on aura.... a — 1 b — 1

En effet, on a (IV, U)

d'autre part (IV, 12),

, ft 1b \a— \\bl E-+E K..-f*E

—

_ __ / \\ a a 2a

a ' '

d'où, en multipliant membre à membre,

C'est en cette formule que consiste la loi de réciprocité des

nombres premiers.

On peut encore interpréter la dernière formule d'une autre

façon. On a


Si donc un des nombres a ou b est de la forme 4 k -h i , l'un des

facteurs de l'exposant de (— i) sera pair et le second membre

est + i ; donc

et alors

ce qui revient à dire que le caractère de( t )

est le même que celui

*.©•;Mais si les deux nombres sont de la forme 4 £+ 3, l'exposant

de (— i) contient deux facteurs impairs et

ce qui revient à dire que si a est résidu (mod b), b est non-résidu

(mod a).

16. Ainsi, nous avons établi les résultats suivants :

i ° -h i est résidu de n'importe quel nombre où (-) ==+ i

.

2° — i est résidu des nombres de la forme 4 k -+- i et non-résidu

de nombres de la forme 4^+ 3.

3° Si p est de la forme 4 k -+-1

, les nombres a et — a sont à la

fois tous deux résidus ou tous non-résidus.

5° ^\= + i si p = Sk±i,

(2) =—

i

si p = $/czt3.

6° Si l'on désigne par R, IV, R" des résidus ; et par N, N', N", . .

.

des non-résidus (mod/)), on aura

RR' = R", RN = N', NR = N', NN' = R.

Si a et 6 sont premiers, impairs et distincts, on aura

a — 1 />—

:

(-) 2 2•(ï)(î)

74 CHAPITRE IV.

ou bien on aura toujours

à moins que les nombres a et b ne soient de la forme 4^+ 3;

alors

©--(!)

Moyennant ces formules, on peut trouver la valeur du symbole

( j ]quels que soient a et 6, sous la seule condition que b soit

premier.

Ainsi :

*'3\ _ /4i2\ / 4.io3 \ _/io3\ _ /6oi\ _/ 86 \

oi/ \6<M/ \ 6or /""\6oi/ \io3/~\io3/

17. Avant de continuer l'extension de cette théorie pour le cas

d'un module composé ou d'un module 2 re, il est bon d'envisager

toute la question sous un autre point de vue.

Nous avons défini le symbole ( j \ par la congruence

(?)== a 2 (mod p)

et avons démontré que si ( t )= i , la congruence x 2= a (mod b)

admet deux solutions. On peut aussi arriver à la définition du sym-

bole ( j ) d'une autre manière.

Tout nombre est congru à l'un des nombres o.i.2.3...(p — i)

(mod /;); donc, quel que soit a?, on aura

x ss.o.i.a.3. : ,{p — 2) ou (p — 1) (mod/?).

Si l'on élève tous ces nombres au carré, on aura non pas p valeurs

différentes de x 2, mais

— valeurs différentes,

CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ. j5

et si, provisoirement, on exclut la valeur x = o [donc aussi la

valeur x'2= o (mod /?)], on aura p — i valeurs différentes de #,

mais

— valeurs différentes de x 2,

i

car il existe toujours deux valeurs x et (p — x) dont les carrés sont

les mêmes (mod /?), puisque x 2 = (p— x) 2 (mod p).

Ainsi/? = 7 donne

œ ==1.2.3.4.5.6 (mod 7),

a? 2 = i .4.2.2.4.1 (mod 7).

Ainsi, quel que soit x, non divisible par 7, on aura toujours

a?2 =i ou 4 ou 1 (mod 7).

Donc, pour le module 7, les nombres 1 , 2 et 4 sont des résidus

quadratiques; les autres nombres de la série 1 . 2 . 3 . 4 • 5 .6 autres

que 1.2.4, c'est-à-dire les nombres 3.5.6, sont les non-résidus

et la congruence ,r2 =3.5 ou 6 (mod 7) est impossible. Ainsi un

nombre de la forme 7 k -+- 3 ou 7 /r-f- 5 ou 7 k -f- 6 ne peut jamais

devenir un carré.

Quelques-unes de ces notions sont connues dans l'arithmétique

élémentaire. Ainsi aucun carré ne peut finir par les chiffres 2.3.7

ou 8, car un nombre qui finit par ces chiffres est = 20u3 (mod 5)

et 2 et 3 sont non-résidus (mod 5).

Il est évident que, pour un module donné, il y a autant de

résidus que de non-résidus.

18. Toujours en excluant la valeur o pour le nombre considéré

et la valeur i n pour le module, prenons pour module une puissance

d'un nombre premier impair et voyons quels sont les résidus

(modjo"). «

Il est facile de démontrer que tout résidu (mod/?) est aussi

résidu (mod/> n) et, inversement, tout résidu (mod/;n ) est égale-

ment résidu (mod/?).

En effet, supposons que

76 CHAPITRE IV.

je dis qu'on aura aussi ( —)= + i et, d'une manière générale,

—) = 4-

1

si N=a (moàp).pn)

Kl)Si (

-j= 1 , on peut trouver un nombre x tel que x 2 = a (mod/?).

Nous allons prouver qu'on peut aussi résoudre la congruence

y-= a -hpk (mod/? 2).

Si l'on pose y =pz -\- x (mod /?2), x étant déterminé parla

congruence x 2 = a ( mod p ), il vient

X2— /?2 ^ 2

-f- ipzx -\- x 2= -ipzx -+ a (mod /?2).

La congruence donnée y 2 = a -{-pk (mod />2) devient

•ipzx -\- a = a -{- pk (mod y? 2)

ou2£a? = k ( mod /?),

congruence qui est toujours possible puisque p est premier.

De proche en proche on peut s'assurer que, si I -j— i , la con-

gruencex'2 = a +- bp -h cp 2 -\-. . .-h kpn ~ l (mod pn

)

est toujours possible et n'admet que deux solutions (mod pn).

19. Examinons maintenant la valeur de o pour un module pn

,.

p étant supposé premier impair.

Il est évident que o est résidu (mod p).

Mais <2= o(modyp) peut donner a = kp (mod p 2) et il est

évident que a n'est résidu que si k = o, c'est-à-dire de tous les

nombres = o (mod p) tels que = o,/?, 2/?, ..., (p— \)p (modjo 2),

seul le premier est résidu (mod p2).

Si l'on désigne par r f ra r2. -. .rAi±=

Jtous les résidus

différents de o (mod /?), on aura :

Résidu (mod p) :

x = o /'i r2 r 3 • • • 'V ;

Résidus (mod p2) :

i=/VV . r'i (moàp) et ;r == o (mod/?2);

CONGRUENCES DU SECOND DKGRÉ. 77

Résidus (mod/> 3) :

x = /*! rz .

.

, /*,• (mod/?) et a? = o ou p 2 n (modjt? 3)

fi = i, 2, 3, ...,P

^

Etc.

Ainsi fl = o (mod jD n ) n'est résidu que si

aàsp**ri (mod/?") et /-

/^ pouvant du reste être o.

Exemple. — p = 5 donne les résidus suivants :

Module 5 :

r == è, i ou 4 ;

Module 2 5 :

r = i ou /( (mod 5) ou = o (mod25),

soit en tout i i résidus (mod 25);

Module i25 :

r = i ou 4 (mod 5) ou o.25.ioo (mod 125),

soit en tout 53 résidus (mod 125);

Module 625 :

r = i ou 4 (mod 5) ou o.i5(5k ± 1),

soit en tout 261 résidus (mod 625);

Etc.

20. 11 nous reste à examiner le cas de p = i n .

D'abord pour n = 1 le module est 2 et tout nombre est résidu.

Cela résulte aussi du (III, 13) puisque dans ce cas la congruence

x 2 ~ q (mod p) peut être remplacée par une congruence du pre-

mier degré, toujours possible.

Si n = 2, p = 4 et le seul résidu impair est 1 , le seul résidu pair

est o (mod 4).

Si 71 = 3, p = S. Puisque tout carré impair est de la forme

8/V + 1, le seul résidu impair est -pi, les résidus pairs sont

0.4 (mod 8).

En reprenant ensuite ce qui est dit au paragraphe précédent, on

78 CHAPITRE IV.

trouve que, quel que soit le module 2 71, avec n non inférieur à 3,

les résidus impairs sont 8/:-f-i et les résidus pairs 2 2a (8Xr+i)

ou o (mod 2 7

).

21. Voyons maintenant quels sont les résidus pour un nombre

composé p = abc. ... Il est évident que si N est un résidu de p, il

sera aussi résidu de tout diviseur de /?, donc de a.b.c Inver-

sement, tout résidu de a.b.c. . . sera aussi résidu de leur produit p.

Cette dernière conclusion se démontre facilement de la façon

suivante : Si N est résidu de a . b . c

.

..

, on peut résoudre les con-

gruences :

x 2 = N (mod a),

# 2 = N (mod b),

x*= N (mod c),

Si

x = r x(mod a), x == r2 (mod 6), x = r3 (mode)

sont des solutions de ces congruences, on peut trouver un nombre

#= R(mod/?) qui remplace les solutions trouvées (II, 13, 16).

Mais si N n'est pas résidu d'un ou plusieurs facteurs, il n'est pas

résidu de leur produit.

Jacobi représente par le symbole de Legendre(— \ le caractère

de ^(modjo), quel que soit/?, donc même si p n'est pas premier,

tandis que Legendre n'a introduit ce symbole rien que pour le cas

de p premier.

Voici la définition de Jacobi : Si p = ab, (—

)=====

(—

) (f)'

Moyennant certains théorèmes auxiliaires, faciles du reste à

établir, Jacobi trouve pour son symbole (-) les mêmes formules

que nous avons trouvées pour le symbole ( -jde Legendre.

Ainsi, pour fixer les idées, considérons le symbole (-

)•

Nous avons vu que si /? = 8 A* —|— i, (

-j= + i , et f -

)=— i

,

si p = Sk±3.

Supposons maintenant que p n'est pas premier et soit p = ab.

Les cas suivants peuvent se présenter (mod 8) :


i° p = 1 :

a =. 1 3 5 7

6=1 3 5 7

(i).*

(|)= + i -1 -1 + ,

2 p = 7 :

a = 1 3 5 7

6=7 5 3 1

( — ) =+i -1 -1 +1w(y= + I -, -I + ,

Dans tous les cas,

(ÏHl)(ï>-

tout comme si p était premier.

3° p = 3 :

a = 1 3 5 7

6 = 3 1 7 5

(i)- - - •

(l)s- +I +I -

4» p s= 5 :

a = I 3 5 7

6=5 7 1 3

(s).r*1 "' " +I

(1)--' +I +'

_I

et

(î) -.©#)-comme si /? était premier.

80 CHAPITRE IV.

Ainsi le symbole ( -)peut se calculer par la règle connue

(IV, 13) quel que soit/?.

Remarquons cependant que si l'on ne connaît pas la nature du

nombre /?, on n'est pas avancé par le calcul du symbole( -)•

En effet, si l'on trouve l -J= -f- 1

, a n'est résidu de p que si p

est premier ou composé de facteurs pour chacun desquels a est

résidu. Mais si p contient deux facteurs (ou en général un nombre

pair de facteurs) et que a n'est pas résidu de ces facteurs, on

trouvera aussi ( -)= + i sans que a soit résidu de /?, donc sans

que la congruence # 2= a (mod p) soit possible.

Si, cependant, on trouve l —j= — i, a n'est jamais un résidu

de p quel que soit p (premier ou composé).

22. Application. — Trouver les derniers chiffres d'un carré.

Le dernier chiffre d'un carré est x tel que I —)= -f- i , condition

qui exige

Or l^-\ =+ I est toujours vérifié et (-

) =-f-i est vérifié pour

37 = o.i .4 (mod 5).

On aura donc

# = 0.1.4 (mod 5) ou # = 0.1.4.5.6.9 (mod 10).

Le dernier chiffre d'un carré est donc o . 1.4 • 5 . 6 ou 9.

Les deux derniers chiffres d'un carré sont tels qu'ils forment un

nombre x et

(-\ioo,

conditions équivalentes aux deux suivantes :

(1)=- et (5)= +I -

Or( y ) =+ 1 est vérifié pour x = 0.1 (mod 4) et ( — \ =+ 1 est

CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ. 8l

vérifié pour x = }\4

(

mod 5 ) ou x = o ( mod 25 ) soit pour 1 1 va-

leurs (mod 25).

On trouvera donc

2 X il == 22 valeurs de x (mod ioo).

On trouve :

4

X = oo.oi .04.09.16.21 .24.25.29.36.41 .44.49-56. 6 1 .64.

69.76.81.84.89.96 (mod 100).

On trouvera les trois derniers chiffres par la condition

= + ' ou f 7T l *= "+1000/ \8

Les solutions de (—

) = f- 1 sont

(125/

ar.so,.i.4 (mod 8 ).

Les solutions de (—- ) === -J---I sont

\I25/

# = 1.4 (mod 5) ou o. 25. 100 (mod 125),

soit pour 53 valeurs de x (mod 125), d'où il résulte

3 x 53 = i5g solutions (mod 8 X 125 == 1000).

Les quatre derniers chiffres s'obtiennent par la condition

\ 10000/

(^)= +1 el (es)—*-••

Or (—

j= -f- 1 est vérifié pour

ou

# = 0.1 .4.9 (mod 16)

I =r —1— 1 PÇt vp625

et ( —)=-|- 1 est vérifié pour

# = 1.4 (mod 5) ou o ou 25 (5 k ±1) (mod 625),

soit pour 261 valeurs de x (mod Ô25).

On aura donc en tout 4 X 261 = io44 solutions (mod 10000).

On peut grouper ces io44 solutions de la façon suivante :

KRAÏTCH1K. 6

82 CHAPITRE IV.

Si les deux derniers Les deux avant--derniers seront tels que :

chiffres sont :

oo(t^)= +i -

d'où 22 solutions

01. 09. 41.49.81.,89 2/1, » 3oo »

2F .29.6l.69 4* -M, » 200 »

04. 36. 84 4^ + o.3, » i5o »

24.56 4k -+-.2.3, » 100 »

16.64.96 4 k -+- . 1

,

>^ i5o »

44.76 4A -+- 1 .2, » 100 »

25 10k h- 0.2

ou 5oÂ-

-t- 6

soit en

»

»

tout

22 »

: 1044 solutions

23. Pour terminer, nous donnons (Table IV) une Table de

résidus pour tous les modules p premiers et inférieurs à 200. Ce

sont les solutions de la congruence symbolique( — ) ==-|-i. Les

nombres qui manquent dans cette Table sont solutions de la con-

gruence

)—Pour former cette Table, on peut cribler tous les nombres infé-

rieurs kp. Ainsi, avec p = i3, on aura :

•')—• ®~-. ©Pi ' \P) \3-+- 1

4-3\ /3

p / \p:(3H(;)=- (?)-(l)-(S)=-

©-è)(i)-<-><->-"

G?)-®--;-Ainsi les seuls résidus sont 1.3.4.9-10 et 12.


II est plus simple d'élever au carré les nombres

x = i .2.3.4.5.6 (mod i3),

on trouve.r 2 == 1.4. 9. 3. 12. 10 (mod i3),

d'où la même série de résidus.

24. Ayant reconnu que

2)PJP

on est certain que la congruence x 2 = a(modp) est possible et

admet deux solutions, si p est premier.

Nous allons nous occuper maintenant de la résolution effective

de cette congruence.

Remarquons d'abord que si le module p n'est pas premier, on

transformera la congruence donnée en d'autres dont les modules

sont premiers ou puissances de nombres premiers.

Soit donc p premier et x 2 = a (mod /?), la congruence donnée.

En excluant le cas où a est un carré parfait a = b 2, ce qui donne

immédiatement x 2= zh b (mod /?), on ne connaît la solution directe

que dans les trois cas que voici :

i° a = — 1 . — Il faut alors que p soit de la forme 4 k -\-1 , car

autrement(—

jne serait pas égal à -f- 1

.

D'après le théorème de Wilson, on a (III, 9)

i.2.3...(4£)-hi = o (mod/>)

ou[1.2. 3. . ,(ik)]*=— 1 (mod/?).

En comparant ce résultat avec la congruence donnée

a?2= — 1 (mod/?),

on voit qu'on peut prendre

as=kzh. [i.2.3i-. ,(a£)] (mod/?).

Cette solution directe est bien plus compliquée que la solution

par tâtonnement que nous verrons plus loin (IV, 25).

84 CHAPITRE IV.

2° Si p est de la forme 4^+ 3, on peut encore trouver la solu-

tion de la congruence x 2= a (mod p).

En effet, cette congruence étant supposée possible, on a

fa\ —(-j= + i ou a 2 es «****-* é=i (mod/?)

ou

a2#-t-2=a (mod/?), d'où x = ± ak+1 (mod/?).

Par exemple, si /? = 1 9 1 , (—

J= —(— i

,pour résoudre la congruence

# 2 = 2 (mod 191), on prendra

x si 2 48 (mod 191).

Or9.12=4096 = 85 (mod 191),

22* == 85 2= 7225= i58 = — 33,

2'^=(— 33)2 = io89 = i34;

ainsi

a?=±i34 ou #=±57 (mod 191).

3° On peut encore trouver une solution directe dans le cas de

p = 8* -h 5.

Nous verrons (IV, 39) qu'alors p peut être mis sous la forme

p= rn 2 -)-n 2.

Soit donc x 2= a (mod/? = 8 k -+- 5), la congruence donnée

supposée possible, donc

(i)ce qui donne

= H- 1 ou a'

«2^+1 = +!.

Cela étant, considérons les deux cas qui peuvent se présenter :

i° Si l'on obtient a2k+i ee+ i, on aura

a ik+*=a, d'où x = ±ak+*;

2° Si l'on obtient a 2k+i =— 1, posons

M = ak+i

,

ce qui donneM 2 = a 2*+2 = — a .


Supposons encore effectuée la décomposition du module p en

somme de deux carrés p = m--\- ri2

.

Si maintenant on détermine deux nombres a et ^ soumis à la

condition mu— nv == M, on aura la solution sous la forme

a:=±(mc + ra) (mad p).

En effet, on aura

X 2+ M 2 = (mp + nû)*-h{mu — nv)*= (a 2 -+- v*) (m» -h rc2) = p(w 2+ p 2

) ;

orM 2=— a (mod/?;;

donc on aurax'1— a = o (mod/?).

Excepté les trois cas envisagés, on ne peut résoudre la con-

gruence x 2 = (mod p) que par tâtonnement.

25. Soient donc p un module premier, et a résidu de/?,

x-= a (mod />),

la congruence donnée.

Transformons la congruence donnée x 2 =a{n\oàp) en équa-

tion

Cette dernière sera à son tour remplacée par des congruences de

modules différents pour trouver les formes linéaires de x pour

différents modules.

Remarquons d'abord que x aura deux solutions (mod/?) dont

une est inférieure à — • Il existe donc une valeur de y inférieure2 J

à j qui rend l'expression py-\-a carré parfait. C'est cette valeur

de y que nous cherchons.

Soit m un module tel que 2 ou 2 n , 3 ou 3 n , 5 ou 5'*, 7,

11, i3, 17, 19, ... et donnons à y toutes les valeurs possibles

o .j . 2 . 3 . . .(m— 1

)pour ce module

jK= 0.1 .2.3. ...(m — 1) (mod m).

Calculons la valeur correspondante (mod m) de x 2 = py-ha, il

86 CHAPITRE IV.

vienta?5= aia2 «3 • • • «/« (mod m).

Or certaines de ces valeurs ai sont résidus (mod/?z); certaines

autres sont non-résidus. Si, pour y = £ (mod m), on obtient pour

# 2 un non-résidu, la valeur y =k (mod m) ne peut pas rendre

py H- a carré parfait et est, par conséquent, inadmissible.

Sont seules admissibles les valeurs de y qui donnent pour x 2 unrésidu.

On trouvera ainsi plusieurs formes linéaires dey qui détermine-

ronty et ensuite x (II, 20).

Exemple. — Soit la congruence

:r 2 == i (mod io32i).

Elle est possible car

\io32i/

On la transforme en équation x 2= io32ijr-h 2 qui a une solution

o < y < -Ç ou o <y < 258o.4

Posonsy == o.i .2.3 (mod 4),

a? 2= 2.3.0.1,

(Nous désignons par r un résidu et par n un non-résidu).

Puisque y = o.i (mod 4) conduisent à un non-résidu, ces valeurs

sont à éliminer et l'on aura

y == 2.3 (mod 4).

On peut même serrer de plus près l'élimination et développer

ces deux solutions (mod 4) en huit solutions (mod 16) :

y =2.3.6.7.10.11.14.15 (mod 16),

a: 2 ==4-5. 8. 9. 12. i3. o. 1,

r n n r n n r r,

dont quatre seules sont admissibles.

On trouve ainsi

jk = 2.7.i4.i5 (mod 16).


Si, de même, on a recours à d'autres modules, on trouvera une

série de formes linéaires telles que les suivantes :

Module. Formes linéaires de y.

16 2.7.14.15

2.5 2.4 (mod 5) ou i3 (mod i5)

9 2 (mod 3) ou 1 (mod 9)

7 0.2.3.4

11 1.3.4.6.7.8

i3 1 .-2.3.5.6. 11 .12

17 o. 1.3. 7. 8. 12. 14. i5. 16

Par le procédé que nous avons indiqué (II, 20), on trouve la

solution y = 1 799 donnant x = 4^09.

Nous verrons dans la suite comment on trouve une solution sans

tâtonnement quand on possède une Table d'indices pour le module

considéré (V, 13).

26. Supposons maintenant que le module soit une puissance

d'un nombre premier impair p == kn .

Si a est différent de o et t j V= -\-1 , la congruence

à?2=a (mod A"'1)

est possible. La façon la plus simple pour la résoudre est la sui-

vante :

On commencera par résoudre la congruence x'2 = a (mod k).

Si x = b (mod k) en est la solution, on posera

x = ky-{-b (mod A 2) et (ky 4- 6)2= a (mod /c

2).

On aura une congruence du premier degré pour déterminer^.

Connaissant y [donc x = ky + b = c (mod A"2)], on posera

x = k*z-*rc (mod £3) et (k*z -+- c) 2= a (mod A3

).

On aura donc une congruence du premier degré pour déterminera.

On continuera ainsi jusqu'à ce qu'on arrive au module kn.

Si a = o, la congruence n'est possible que si a = o(mod/r 2).

En posant alors x == ky, on aura une congruence de la forme pré-

cédente dont le module sera kn~ 2.

88 CHAPITRE IV.

Exemple :

x2 =435i3o6 (mod 9765625 = 5 10).

Elle donne (mod 5) :

jK2 =i> d'où y=±\.

Il suffit, du reste, de prendre un seul signe, soit y = -H 1

.

(Mod 25) :

(5sH-i) 2 =6, d'où ios-i-i = 6,' 103 = 5,

d'oùz = 3 (mod 5) et 5z -+- 1 = 16 ou 9.

(Mod 125) :

(25w -f- 9)2 = 56 ou 45om = ioo (mod 125) ou 9^ = 2 (mod5),

d'où

w = 3 (mod 5) et 25w-f-g = 84 ou 41 (mod 125).

(Mod5*) :

(i25t-h 4i) 2 =56 (mod 623) ou 25o.4i t -+- 1681 = 56 (mod 625)

ou 200.41 £ = 25o (mod 625),

ce qui donne

4il=si (mod 5), d'où £ = 1 (mod 5)

et 125 t-{- 4 1 devient 166 (mod 620).

En continuant ainsi, on trouve la solution

^ = ±4218291 (mod5 10).

27. Voyons maintenant comment se représente la solution de la

congruence# 2=a (mod/») avec p = in .

D'abord, pour n = 1, la solution est immédiate, étant donné que

tout nombre est résidu; donc

x = 1 (mod 2) si a = i,

x = o (mod 2) si a = o.

Si 7z = 2, le seul résidu pair est o et le seul résidu impair

est 4-1.


Si a = 1 (mod 4), on aura

x = impair ou = i (mod 2);

x = pair,

et si a = 2 ou 3, la congruence est impossible.

Dans tous les autres cas, on divisera «, s'il est pair, par une

puissance paire de 2.

Si, après avoir divisé a par une puissance paire de 2, on obtient

un nombre de la forme 8â* + i, la congruence est possible. Soit

Pour résoudre x- = a (mod 2 re

), on posera

x = i kyet Ton aura

y*= 8/1 + 1 (mod i n~ïk).

Nous nous occupons donc du cas, quand n est supérieur à 3 et

a impair = 1 (mod 8),

x-= a ( mod in ).

Il existe alors deux valeurs (mod 2 n~

{

) , donc quatre valeurs

(mod 2 n)qui peuvent satisfaire à la congruence donnée.

En effet, on a

{ik± xy==xi (mod2 /i"+l

).

Il en résulte qu'en choisissant convenablement la valeur de y, on

aurax = (2't- 1 zt y) et x 2~a (mod 2").

Exemple :

37 2 = n3 (mod 128)

donne

a? =±25 (mod 64) ou 4 solutions (mod 128).

On trouve.r = 25. 39.89. io3 (mod 128).

28. Applications. — i° Trouver les n derniers chiffres d'un

nombre, connaissant les n derniers chiffres de son carré.

Le problème revient à résoudre la congruence x 2 = N (mod io 7*)

90 CHAPITRE IV.

qui se décompose en deux congruences :

# 2=N (mod in ) et iJ=N (modo").

La première donne deux solutions (mod2'i_ ') ou quatre solu-

tions du (mod2 ra

); la deuxième donne toujours deux solutions

(mod 5"). On aura donc en tout huit solutions (mod io n ).

2° Trouver un nombre qui finisse avec les mêmes n chiffres que

son carré (on fait abstraction du nombre ion+ o et ion -f-i).

Soit x le chiffre d'unités. On aura

(io.A: -h x)"1 = x (mod 10) ou #2 =.r,d'où

r = o ou i (mod 2 et 5) ou x = o. 1.5.6 (mod 10).

Les cas de x = o et x = 1 (conduisant aux nombres 10" -f- o et

io^-j-i) étant exclus, développons les deux autres cas.

Soit y le chiffre de dizaines. On aura

(\oy -+- 5) 2 = \oy -+- 5 (mod 100), d'où y = 2 (mod 10),

(10^ -+- 6)* = iojk H- 6 » » ^ = 7 »

Les deux premiers chiffres sont ainsi 2 5 ou 76.

Soit z le chiffre des centaines. On aura

(ioo£ -f- 25) 2 = 100* H- 25 (mod 1000), d'où z = 6 (mod 10),

(100,3 -h 76 )2 = 100 £ -+- 76 » » ,z = 3 »

En continuant, on trouve les dix chiffres suivants :

8212890625 et 1787109376 (mod io 10)

(voir Dickson, History 0/ the Theory of numbers, vol. I,

p. 458).

29. Occupons-nous maintenant de la question inverse, à savoir :

Un nombre a étant donné, trouver les nombres pour lesquels

a\ (a

(?) \#.)=

c'est-à-dire trouver tous les nombres pour lesquels il est résidu ou

non-résidu.


Nous excluons le cas de a = o, ainsi que le cas de a carré parfait.

Ces deux cas ne présentent aucune difficulté, ni d'ailleurs aucun

intérêt, car o ainsi que k 2 est résidu de n'importe quel nombre.

Remarquons que, dans ce qui précède, nous avons la solution de

ce problème dans certains cas. Ainsi nous savons (TV, 6) que — i

est résidu de tous les nombres de la forme /\k-\-\ et non-résidu

des nombres de la forme 4 k -+- 3.

Ainsi la solution de I ) =+i est

x == i (mod 4),

la solution de (—

j= — i est

x = 4^+ 3,

la solution étant supposée être un nombre premier.

-j= + i avec

# = 8À--bi,et(-J ee: — i donnera

x = ±3 (mod 8).

Nous allons démontrer quelques théorèmes qui nous faciliteront

la solution de ce problème pour d'autres cas.

30. Théorème. — Si a est positif et de la forme /\k -\- i (pre-

mier ou non), oji aura

_£_) =na -+- x )

a

ina — x

à la condition que x ainsi que 2na ± x soient premiers.

En effet, si a est premier, on a

ina zn x

puisque a est de la forme 4 k -j- i

.

Si ensuite a n'est pas premier, on aura a = bc et b et c seront

tous les deux de la forme /\k-\-\ ou tous les deux de la forme

4*+ 3.

9*2 CHAPITRE IV.

Dans le premier cas, on aura

(a W b

)(c

) = (L)(°-) = (^) = «.\2 na ± x ) \ina ± x ) \9.fia± x ) \x J \x / \ oc / x

Dans le second cas, il vient

/ a \ _ ( b \ / c \ _ /ina± x\ I ina±x\\inazhxj \ina±.xj \ina±x) \ b / \ c )

b]~c

Le signe du caractère dans le deuxième membre dépend de la

nature du nombre premier 2naàz.x. De toute façon, on aura le

même signe pour les deux facteurs, donc le signe -}- pour leur

produit.

Ainsi

oc\ I x\ (b\ I' c\ I

' bc\ a

•ma H- x ) \b J \c 1 \x } \ x j \ x J x

les signes de (-) et ( -jdevant encore être les mêmes.

Exemple. — 5 est résidu de tout nombre premier de la forme

5

ioa ± i

On démontrera de la même façon les formules suivantes

a \ (a/\na± x / \x

— a \ ( — a

4 na -\- x ) \ x

(——W—\ina + x J \ x

si

a == 3 (mod 4 )•

Dans toutes ces formules, les quantités îiazh x, ^na-\-x,

2na-\~x, ainsi que x sont supposés premiers, a est quelconque

dans les deux premières formules et =3 (mod 4) dans la qua-

trième, mais a est supposé être positif.

CONGRUENCES DU SECOND DEGRE. g3

31. Revenons à la congruence symbolique

a = i.

x

Supposons d'abord que a est positif.

Par les formules que nous venons d'établir

4 na ± x ) \ x J

dont la première s'applique au cas où a est de la forme /\k -\-\, et

dont la deuxième est vraie quel que soit «, on voit que les valeurs

dont a est résidu forment des progressions dont la raison est 2 a,

si a est de la forme 4^ + 1 et 4 a dans les autres cas. Il suffit donc

de trouver tous les nombres inférieurs à 2 a dans le premier cas,

ou inférieurs à 4a dans le second cas, pour avoir le premier terme

de ces progressions. Il suffit même de connaître la moitié de toutes

ces valeurs, car on trouve l'autre moitié en soustrayant la moitié

déjà trouvée de 2 a ou de 4 a.

Bien entendu, il faut éliminer de ces progressions les nombres

non premiers.

Exemples. — i° a=5. Pour trouver tous les nombres dont 5

est résidu, il suffit de trouver tous les nombres inférieurs à 10

dont 5 est résidu. Ces nombres sont 1 .3 .7 et 9, et 5 est résidu de 1

et de 9 (plus exactement, 5 est résidu de iok-{-g); donc, d'une

façon générale, 5 sera résidu de io/c-j-i et de ioA-f-9 ou de

iokzk.1. Ces deux formes linéaires donnent les deux progres-

sions :

1.11.21.31.41.51.61.71.81.91.101...

9. 19. 29. 39. 49. 59. 69. 79. 89. 99. 109...

dont il faut éliminer les nombres composés pour avoir tous les

nombres dont 5 est résidu.

On trouve1 . 11 ,3i .41.61.71 . 101

.

i3i . .

.

19. 29. 59. 79. 89. 109. 139.149-. ••

2 Considérons une valeur composée de a, par exemple

a = 33 = 3. 1 r.

94 CHAPITRE IV.

Pour trouver tous les nombres dont 33 est résidu, on écrira tous

les o(33) = 2o nombres inférieurs à 33 et premiers avec 33. Cesont les nombres

i .2.3.4.5.7.8.10.13. 14. 16.17. 19. 20.23.25.26. 28. 29.31 et 32

dont on peut supprimer les nombres pairs comme premiers avec

2X33 = 66.

Il reste les nombres

1 .5.7. 1 3. 17. 19.23.25.29.3 [.

Nous allons voir pour lesquels de ces nombres 33 = 3. 11 est

résidu. Or, 33 ne peut être résidu que si 3 et 1 1 sont tous les deux

résidus ou tous les deux non-résidus.

Si l'on désigne par /• un résidu et par n un non-résidu, on trouve

que pourN = 1 .5.7. 1 3. 17. 19.23. 2.5. 29.31

3 = r n n r n n r r n n

11 = r r r n n r n r n n

(I)

Ainsi 33 est résidu de a :

1 17 25 29 3i

et de 66 — a :

65 49 4i 37 35

ou, d'une façon générale, de

66 A: ± 1. 17.25.29.31.

Remarque. — On ne peut pas supprimer la valeur a = 25, bien

que 26 ne soit pas premier, mais 66 k =b 25 peut devenir un nombre

premier. Pour déterminer le caractère de 3 (mod 25), on cherchera

le caractère de 3 (mod 66 k-\- 25).

On trouve

/ 3 \ / 66A-f-25 \ /i\ _\mk-+-i5)~\ 3 /~V3y

_ + I *

3° Prenons a = 3. Cette fois-ci la raison de la progression est

4x3 î=i2. Les nombres inférieurs à 12 et premiers avec 12 sont


i . 5 . 7 . 1 1 . Or, 3 n'est résidu que de i et de 1 1 ; donc les nombres

dont 3 est résidu sont 1 2 k -f- 1 et 1 2 k -h 11

, ou bien 1 2 k zh 1

.

4° a = 7 ; 4 « = 28. Il suffît d'essayer les nombres impairs infé-

rieurs à 28 : 2 = i4 et premiers avec 14. On trouvera les autres en

soustrayant de 28 les nombres trouvés.

Les nombres inférieurs à i4 et premiers avec i4 sont :

N = i.3.5.g.ii.i3

è/- rr nr n n

Donc 7 est résidu de 28 n zh 1 . 3.9.

5° Considérons, enfin, un nombre contenant plus de deux fac-

teurs tels que a= 66— 2 . 3 . 1 1 . Or, 66 ne peut être résidu d'un

nombre que si tous les facteurs sont résidus, ou bien si un seul est

résidu.

De plus, la raison de la progression est 4^ = 264 et il suffit

d'examiner tous les nombres inférieurs à 264 '. 2 = 1 32 et premiers

avec i32. On aura cp(i 3a) = 4o nombres à examiner :

N =i.5. 7. 13.17. 19. 23.^5. 29. 3i.35. 37. 41. 43. 47. 49- 53. 59. 61. 65

2

N

N

(S)— + +

)=++ + + + + + ++ + + + + +

N = 67.71.73.79.83.85.89.91.95.97.101.103.107.109.1 1 3.i i5.i 19.125. 1 23.i 3

1

/2\IN/

+ + + +++ + + + +

(D-

G»-

ffl-

96 CHAPITRE IV.

Ainsi 66 n'est résidu que des nombres suivants :

264 k h- 1 .5. 1 3. 17. 19.25.31 .41 .43.49-53.59.6i .65.85.95.97.103.109.125.

Remarque. — On peut aussi décomposer 66 en deux facteurs

tels que 2 et 33 ou 3 et 22 et opérer comme au deuxième exemple.

Il faut alors posséder les solutions de (—

J

= 1 ou de ( —J= 1

.

32. Supposons maintenant que a soit négatif. La raison de la

progression est alors 2 a si a = 3(mod4) et 4 a dans les autres

cas.

Exemples. — i° a = — 1 est résidu de 4 k H- l •

2 a — — 2. Si l'on examine les nombres 1 . 3 . 5 . 7, on remarque

que — 2 n'est résidu que de 1 et 3; donc — 2 est résidu de

8A- -+- i.3.

3° a = — 3 est résidu de 6 k -\- 1

.

4° a = — 5 est résidu de 20 A: + 1 . 3 . 7 .9.

5° a = — 6. Considérons tous les nombres inférieurs à

6 x 24 = 24

et premiers avec 24 :

N = 1 5 7 11 i3 17 19 23

2

N

-3N

(t)

11 en résulte que — 6 est résidu pour

N = i^k -{-1.5.7. 11.

6° a =— 3o. On peut décomposer — 3o en deux facteurs (— 6)

e t 4- 5 pour lesquels on connaît les formules linéaires.

Ainsi(— 6) est résidu pour 24 k -h 1 .5.7. 11,

5 » io/c±i.


Or, pour que a = — 3o soit résidu, il faut que les deux facteurs

soient tous deux résidus ou tous deux non-résidus.

Tous les deux sont résidus pour

N = 1 20 k -+- 1 . 1 1 . 29 . 3 1 . 49 . 59 • 79 . 1 o 1

.

Ils sont tous les deux non-résidus pour

N = 120^ + 13.17. 23. 37. 43. 47. 67. n".

Donc a = — 3o est résidu de

\ = 120/1 -+- 1 . 11 . i3. 17.23.29.31 .37. 43. 47 -49- 59. 67. 79. 101 . 11 3.

33. On trouve ainsi toujours la forme linéaire des nombres

premiers pour lesquels zh a est résidu.

Ces formules linéaires sont très importantes pour la recherche

des facteurs d'un nombre.

Si, par exemple, on trouve que ±a est résidu d'un nombre à

factoriser, on est certain que db a est résidu des facteurs de ce

nombre, et partant ce facteur ne peut être que parmi ceux qui sont

donnés par les formes linéaires correspondant au résidu ± <i.

A raison de l'importance de ces résultats, nous donnons une

Table de solutions de mpour toutes les valeurs de a inférieures à 200.

Nous verrons dans la suite (V, 3o, 36; VI, 2) comment on trouve

un résidu d'un nombre dont on ignore la nature (premier ou

composé).

34. La théorie que nous venons d'exposer trouve son application

dans la théorie des formes quadratiques. Tout en nous réservant

de traiter ce sujet dans le deuxième Volume de cet Ouvrage, nous

donnerons ici les premiers éléments de cette théorie.

Nous considérerons les formes quadratiques simples, telles que

x 2 ±Dy 2. Disons une fois pour toutes que x et y seront toujours

supposés premiers entre eux. Dans le cas contraire, si x et y ont

un diviseur commun d, l'expression x 2± Y>y 2 sera divisible par d2,

et ce facteur sera à écarter.

KRAÏTCHIK.

*)& CHAPITRE IV.

35. Théorème. — Si le nombre IN ou son multiple peut se

représenter par la forme x-±i D/ 2, le nombre qz D est résidu

de®.

En effet, si l'on a

on aura,r2 =+D/ 2 (niodN);

or a?2 et y 2 sont résidus (mod N), donc q= D est aussi résidu.

36. Le théorème que nous venons de démontrer est très impor-

tant, car il permet de trouver les résidus des nombres dont on

ignore la nature. Si l'on trouve plusieurs représentations quadra-

tiques du nombre N, on aura plusieurs résidus zh D, et, partant,

plusieurs formes linéaires des diviseurs éventuels du nombre N.

Il reste à trouver les représentations quadratiques du nombre

considéré.

Ce travail sera facilité par les quelques théorèmes que nous

allons exposer.

37. Théorème. — Les diviseurs linéaires de la forme qua-

dratique x 2 dz Dy 2 sont les mêmes que ceux de la forme f2 zh D.

En effet, soit z l'associé dey (mod N) (II, 12). On aura donc

zy \ ( mod N).

Or, si l'on multiplie KN é= x- àz Dy 2 par z:

il vient

zKN = z*x*-t- by-z* ou zKN =(xzy--hDou

(xzY±D=o (modN) ou ^±D = o (mod N)

étant posé xz = t ( mod N ) . .

Il s'ensuit que si IN ou son multiple peut être représenté par la

forme a?2 :±:Dy 2

, ce même nombre ou son multiple peut également

être représenté par t2 zt: D. Inversement, tout nombre N qui divise

t2 dz D divise aussi x'1 zb Dy 2

.

38. Théorème. — Tout nombre qui divise une somme de deux

carrés est également une somme de deux carrés.


Soit/) un nombre qui divise une somme de deux carrés x'2 -\-y-,

le même nombre p divise aussi une somme de deux carrés x 2 -4- i

(IV, 37). On aura donc

a? 2 -4- i = o (modjo).

Exprimons maintenant - en fraction continue et cherchons toutes1

P

les réduites dont la dernière est -• Gomme les dénominateurs desP

réduites croissent de i à p, on trouvera toujours deux réduites

successives

telles que

Cela étant, on aura

Pn9n

etqa+i

9l ij qnqn+i 9h+\

ou, si l'on ajoute q\ aux deux membres, il vient

(xq n— ppn)*-*- qlou bien

(x 2 -+-l)qrt— 2pxp„q n -hpïp n < >/>.

Or, le premier membre de cette inégalité est positif et un multiple

de p, donc on aura

(fqn—pPn)*-h ql=P,

c'est-à-dire que p est une somme de deux carrés.

39. Théorème. — Tout nombre premier de la forme ^k-\-\

est une somme de deux carrés.

En effet, nous avons vu (III, 10) que tout nombre premier de la

forme 4 /"-+- i divise une somme de deux carrés

[i.a.3...(a£)]*-f i,

et puisque tout diviseur d'une somme de deux carrés est une

somme de deux carrés, ce nombre ^k -\-\ est une somme de deux

carrés.

IOO CHAPITRE IV.

40. Ainsi que nous Favons vu (V, 39), tout nombre premier de

la forme 4k-+~ i est une somme de deux carrés. Pour ce qui est

des nombres premiers de la forme 4^ + 3, ils ne sont jamais une

somme de deux carrés, car si N == Jc'2-^-f

2,

(— i)est résidu de N;

or (— i) n'est pas résidu d'un nombre de la forme 4 A" -h 3.

Voyons maintenant comment se comporteront les nombres

composés;

Si N est composé et est de la forme f\k + 3, il contient un facteur

(ou en général un nombre impair) de la forme 4 A + 3 et ne peut

pas devenir une somme de.deux carrés, car, dans le cas contraire,

ce nombre composé N admettrait des diviseurs 4 k -f- 3 qui ne sont

pas sommes de deux carrés, ce qui est contraire au théorème du

paragraphe 38.

Pour les nombres composés de la forme 4 k -\- i , il y a deux cas

à considérer :

i° Si le nombre composé N = 4^"-f- 1 contient deux facteurs

(ou en général un nombre pair) de la forme 4 A 4- 3, la décompo-

sition en sommes de deux carrés est impossible;

2" Si le nombre composé N ne contient que des facteurs de la

forme 4A + i, la décomposition en sommes de deux carrés est

possible de plusieurs manières, comme nous allons le voir.

41. Soit donc un nombre N composé de n facteurs inégaux

N = «i aâ >,. . . a,n

chacun de la forme 4A + i. Voyons comment se fera la décompo-

sition de N en sommes de deux carrés.

On a

(a 2 -+- 6.2)(c 2 + cl1 ) = (ac ± bd)*-h (adzpbc)*,

identité (Euler) qui prouve que le produit de deux nombres, dont

chacun est une somme de deux carrés, est aussi une somme de

deux carrés, de deux façons différentes.

On aura donc autant de façons différentes de décomposer N en

sommes de deux carrés, qu'il y a de façons différentes de décom-

poser N en deux facteurs.

Or, on peut décomposer N en deux facteurs de la manière sui-

vante :

CONGRUENCES DU SECOND DEGRE. IOÏ

On prendra

i. pour i facteur et N pour l'autre, d'où i solution

N//

a%

ai a/, » » G;t

»

3 facteurs » (n — 3) restants » C£ »

N » i » i »

C l

fidésignant le nombre de combinaisons de n lettres pris i à i.

Or, la somme

i -+- n -+- C* -h C% -+- . .. -4- i = C° -+- G* -4- G,2, -+- . .

. -+- C£ = -2".

[On s'en assure en prenant le développement par la formule du

binôme de ( i -+- 1 )" .

]

Puisque nous avons compté chaque décomposition de N deux

fois, le nombre de décompositions du nombre N en deux facteurs

est 2 n I i = 2n ~*. Le nombre de décompositions en somme de deux

carrés est aussi i n~

K (I, 14).

Exemple. — 32040 = 5.13.17.29 est un produit de quatre

facteurs et peut être représenté par une somme de deux carrés de

2 3= 8 façons différentes.

Voici les huit solutions de N =^20 {5 = x--\-y- :

x= 2 4^> 7I «s <> i2-2 143 166 178,

y =179 173 i63 1 57 i3i 109 67 19.

42. En pratique, la question se présente d'une autre façon.

Soit N un nombre dont on ignore la nature. Supposons que Nsoit de la forme f\k -\- \. On est alors amené à chercher la décom-

position de N en x 2 -\-y-.

On ne trouvera qu'une solution si N est premier, on n'en

trouvera aucune si N est composé et contient deux facteurs (ou

en général un nombre pair) de la forme /\k-\-Z. Enfin, on trouvera

plusieurs solutions si N est composé de facteurs de la forme

4*+ i.

On verra, dans la suite, comment on trouve alors les facteurs.

102 CHAPITRE IV.

43. On peut répéter à peu près la même chose que ce que nous

avons développé pour la forme x 2 -\-y2 pour les formes x 2 -\-2y 2

et x 2 -hoy 2.

Nous abrégeons et résumons les conclusions :

i° Tout diviseur de x2 -+- 2y 2 est aussi de la forme t2 -4- 2 a 2

.

2 Tout diviseur de x 2-f- 3y 2 est aussi de la forme t- -+- 3 a 2

.

3° Tout nombre premier de la forme 8/r-f-i.3 peut être mis

sous la forme x 2 H- 2y 2, et cela d'une seule façon.

4° Tout nombre premier de la forme 6 k -4- 1 peut être mis sous

la forme x 2 -4- 3y2, et cela d'une seule manière.

5° Les nombres composés de la forme 8 /r H— 1 . 3 ne peuvent être

mis sous la forme x 2 -4- 2

y

2 que s'ils ne contiennent pas d 'autres

facteurs que ceux de la forme linéaire précitée.

6° Les nombres composés de la forme 6 k + 1 peuvent être mis

sous la forme x 2 -\-Zy 2 s'ils contiennent uniquement les facteurs

de la forme 6 /« + 1

.

7 Pour un nombre composé de n facteurs convenables, on aura

2 n~ l décompositions différentes.

Voici comment on démontre les deux premières propositions :

Si p divise .r2 4rl 2j2

, p divise aussi x 2 -4- 2 ([V, 37) et l'on

aura'

a? 2 -H 2 = ( mod p).

Soit — la réduite choisie comme il est dit (IV, 38). On aura,Pn

comme dans le paragraphe cité,

(xq n— pp a )2 ^-iql<p-^-2ql< */>,

et puisque le premier membre de cette inégalité est =0 (mod/?),

le deuxième membre ne peut être que p ou 2 p.

On aura donc

p = 3 2-f- 2JK

2,

rl

(xq n — ppny-h2q*=p, c'est-à-dire

ou bien

(orq n— ppn)- +- iql= >P et p = J^LZ

CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ. Io3

De même, si p est diviseur de x'2 -h 3y 2, p divisera aussi x 2 -\- 3

(IV, 37) et, en choisissant pH et qn comme précédemment, on

aura{xqn— pPnY--Jr 3q%-<p-h 3£>ï.

Le premier membre étant divisible par/?, le second ne peut être

que p, 2 p ou 3/?.

Donc(ccq n— pp n y--{-3q?l = p, ip ou 3/?.

Or l'égalité

{xq n— pp n y -h 3 grjj = 2 />

est impossible, car p étant diviseur de x 2 -\-3y2 est de la forme

f)/r -4- i et

{xqn— PPn y+ 3 y * = ip

deviendrait

(oou i) + (oou ,)) = 2 ( mod 4 )»

ce qui est impossible.

On aura donc(xq n— ppn y-+-5qh= p ou 3/>-

Dans le premier cas,

dans le second cas, on aura

ce qui est de la même forme.

Les autres propositions se démontrent comme pour le cas de

a?2 H-

y

2.

On remarquera l'identité

(.r 2 -h Dj-)( z2r

-+- D* 2) = (-a?* ± DjO'-t- D(#* =F7 Z )

2,

analogue à celle d'Euler (IV, 41).

44. 11 nous reste à montrer l'application de la théorie des résidus

quadratiques à la résolution des équations indéterminées.

Nous considérerons le cas d'une équation à deux inconnues.

Si l'on a n équations à (fl+ i) inconnues, on éliminera toutes

104 CHAPITRE IV.

les inconnues, sauf deux, et l'on entrera dans le cas que nous allons

envisager.

Nous étudierons successivement les équations

ax +- by-f- c = o, axy -+- bx -+- cy -h d = o, ax*- -h bx -h c = y-,

et d'une façon générale l'équation

f(x) = F(x),

y et F étant des fonctions algébriques.

Il est entendu que nous nous bornerons aux solutions entières

et, s'il n'y en a pas, nous dirons que l'équation est impossible.

45. L'équation ax -+- by -+- c = o n'est mentionnée ici que pour

compléter l'ensemble. Elle fait l'objet de l'Algèbre élémentaire;

d'ailleurs elle se ramène à une congruence du premier degré,

toujours possible si a et b sont premiers entre eux.

On sait que l'équation ax -\- by = c admet à une unité près

solutions entières et positives, E(#) désignant le plus grand entier

contenu dans x.

Si a et b sont de signe contraire, l'équation ax — by= c admet

une infinité de solutions entières et positives.

46. Considérons l'équation bilinéaire

axy H- bx -+- cy -h d = o.

Si l'on prend pour inconnue xy et bx -f- cjk, on aura une équa-

tion linéaire en xy et (bx-\-cy) qui admet des solutions telles

quexy = ri,

/;^ + r/=r2 (mod a),

ou, t étant une nouvelle inconnue,

bx -i- cy = at -h /-2 ,

xy = — t -h f\ .

CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ. IOD

-d'où

(at.-h r*)*— \bc{— t-^-ri) — z*-,

ce qui nous ramène à une équation du second degré

A 2 * 2+ 2B< + C = ,s2

,

dont nous allons nous occuper.

47. Soit l'équation

ax*-\- bx -h c =jk 2-

Sans nous arrêter aux solutions qu'on ne peut obtenir que dans le

cas où l'on peut factoriser le nombre b-— âc, nous allons exposer

la méthode qui donne la solution, entre les limites assignées, dans

tous les cas.

Supposons qu'il s'agisse de déterminer une solution entre les

limites /, et l2 de l'équation

ax 2 -\- bx -+- c = y*.

On prendra pour module m les nombres 2 ou 2", 3 ou 3 n , 5 ou

5 •'. -. 1 1 . i3 . 17 . . .; on donnera à x toutes les valeurs possibles

pour ce module :

x = o. 1 . 2 .3. . . (m — 1) (mod m).

On calculera la valeur de y 2= ax 2 -\- bx -+- c et l'on formera le

tableaux = o. 1 .2. 3.4 . . . (/« — 1) (mod m),

yï~bxb i b z b>t ...b in (mod m).

Or il se fait que certaines valeurs bi sont résidus (mod m),

certaines autres non-résidus (mod m).

Si une certaine valeur x conduit à un non-résidu, cette valeur

de x est à éliminer.

On forme ainsi une suite de formes linéaires qui contribuent à

l'élimination de valeurs non convenables de x.

Si, par le procédé que nous avons indiqué (II, 18-20), on crible

toutes les valeurs entre les limites assignées, on trouvera toutes les

solutions qui se trouvent entre ces limites.

!<)<) CHAPITRE IV.

Exemple. — L'étude du nombre N =6493oi 71 2 182209 nous

a conduit à l'équation

2i3i6a? 2 -h 2569.oo8i.r-t- 83ii64'i$ = j 2

avec des limites

— 3 <x < 71 628.

( Voir pour les détails le numéro spécial de Sphinx Œdipe,

p. i3-i6; Nancy, 191 1 . Le nombre IN est un facteur de2 73 -p- 2^+ 1

qui est lui-même facteur de 2 |,,fi +i.)On trouve les formes linéaires suivantes :

Modules. Formes linéaires.

16 . . 2. 3. 1 1 . 1 \

9- 5.7

25 2.7 . 1 2 . 1 3 .

17 . 2 1 . 22

7 o.3.,ï.6

11 0.1.2.5.6.7

1

3

1.2.3.5.6.7

17 o . 1 . 2 . 3 ,4 . 5 . 8 . 1

4

On ne trouve aucune solution entre les limites assignées.

Gomme cas particulier de l'équation générale

a a?2 -f- bx -+- c = j 2,

on obtient pour a = o l'équation y 2= 6# -f- c, qui ne diffère que

par la notation de celle que nous avons étudiée (IV, 24-25).

48. Considérons ensuite l'équation générale f(x) = F(y) don!

toutes celles que nous avons envisagées ne sont qu'un cas parti-

culier.

Si, en général, les polynômes f(x) et F (y) sont quelconques,

on procédera de la façon suivante :

On cherchera la valeur àe f(x) el de F (y) pour un système

complet de valeurs de x ou y (mod/n) :

x oujj'ESE 0.1.2.3. . .(m — 1) (mod/n),

f(x) = b{b,. . . Bm ,

F 00 = ci c 2 • • . cm .

CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ. IOJ

Si, pour x = ï, la valeur correspondante de F(y) = c;+1 ne

figure pas parmi celles qu'on obtient pour /(#), c'est-à-dire parmi

les 0, la valeur x = i (mod m) est inadmissible.

On obtiendra donc une série de formes linéaires de #, et par le

procédé que nous avons indiqué (III, 17-21) on trouvera les solu-

tions.

Il est toutefois à noter que le procédé est inapplicable quand les

deux fonctions sont linéaires. Mais alors l'équation donnée n'est

que du premier degré et admet une solution directe.

Il y a une précaution à prendre : Si les degrés des polynômes

sont respectivement m et /ï, il est bon de n'employer commemodule des nombres premiers p, de sorte que p — i soit divisible

par le plus petit commun multiple de m et n.

Si, par conséquent, les deux polynômes sont du deuxième degré,

tout nombre premier peut être pris pour module. Mais si un des

polynômes est du troisième degré, par exemple F (y) = V :}

,il est

clair que, pour un module de la forme 6 k +5, F (y) peut prendre

toutes les valeurs possibles. On utilise, dans ce cas, les modules de

la forme 6 k -\-i. A cet effet, on trouvera une Table de résidus à la

fin de ce Volume (Table IV).

49. Les équations de la forme x 2 -{-Dy- = N entrent dans le cas

envisagé. Une attention toute spéciale doit être apportée aux formes

suivantes :

L'importance de la première est évidente. Si l'on parvient à

trouver une solution de N == x 2— y 2, on aura la factorisation de N.

Si, au contraire, on connaît la décomposition de N, on aura une

solution en décomposant N en deux facteurs et en prenant un des

facteurs (le plus grand) pour X-hy, et l'autre pour x— y. Il yaura évidemment 2 n~ i solutions, n étant le nombre de facteurs

contenus dans N (IV, 41).

L'importance des autres équations sera montrée dans le deuxième

Volume. On verra que les décompositions de N en x 2 -Jr y-.

x'2 -\-2y'2, x 2 -\-3y 2 servent pour reconnaître les caractères rési-

duels plus élevés.

I08 CHAPITRE IV. — CONGRUENCES DU SECOND DEGRÉ.

Aussi donnons-nous une Table donnant les solutions de l'équa-

tion x 2 -\-Dy 2= N.

Nous n'avons pas étudié l'équation

x*— Aj- 2 = zti ou x 2— AjK 2 = + D

qui admet une solution directe. Nous nous réservons de revenir,

dans le deuxième Volume, sur ce très important sujet.

CHAPITRE V.

CONGRUENCES BINOMES. INDICES. CONGRUENGES EXPONENTIELLES.

1. Nous allons nous occuper des congruences de la forme

X"< = A (mod/?).

Nous commencerons par le cas le plus simple. C'est le cas de A = i

et quand/? est un nombre premier. Nous allons d:abord démontrer

la proposition suivante :

Théorème. — Si le même nombre x ~r (mod p) satisfait àdeux congruences

x'n = i et x n = i,

il satisfait aussi à la congruencé xd= i (mod/?), d étant le plus

grand commun diviseur de m et n.

En effet, d étant le plus grand commun diviseur de m et n y

m = dy, n = dz avec y et z premiers entre eux.

Or, y et z étant premiers entre eux, on peut trouver deuxnombres u et v tels que yu — zy = i, ce qui donne, en multipliant

par t/,

dyu — dzv = d ou mu — nv = d.

Puisque rm= rn= i (mod/?), on aura aussi

rWB= rnv= r"] u-nv == rd =\ (mod p).

2. Théorème. — Si m est la plus petite puissance de a qui est

== i (mod /?), m est diviseur de p — i

.

En effet, on aura par hypothèse <2w =i (mod/?) et, puisque

(HT, 1) aP~ s == i (mod/?), on aura aussi (V, 1) ad= i (mod/?),

d étant le plus grand commun diviseur de m et p — i . Or, m est

1 10 CHAPITRE V.

la plus petite puissance de a qui est = i ( niod p) ; donc d n'est pas

inférieur à m. Gomme m n'est divisible par aucun nombre plus

grand que m\ on aura d = m; m est donc un diviseur de p — i

.

3. Théorème. — d désignant le plus grand commun diviseur

de m et de p — i , la congruence x"1 = i (mod p) admet d solu-

tions qu on peut obtenir de la congruence xd= î (mod p).

En effet (V, 1), toute solution de la congruence #"*= i (mod/?)

est aussi une solution de la congruence xd= i (mod/?). La deuxième

partie de la proposition est donc établie. Reste à démontrer que la

congruence xd= i (mod/?) admet d solutions.

On sait (III, 14, 15) que la congruence xd= i (mod/?) admet

d solutions, si tous les coefficients du reste de la division de xP— xpar xd— i sont = o (mod p).

Or, %P— x = x{xP~ { — i ); de plus, d étant diviseur de p — i

,

xp—\ — ! es t divisible par xd— i, donc xP— x est divisible par

xd— i, donc la congruence xd = i (mod/?) admet réellement

d solutions.

4. Théorème. — La congruence xm= i (mod/?), m étant un

diviseur de p — i, peut être satisfaite par x = kn, k étant

premier avec p et n le quotient de la division de p — i par m,

p— i = mn.

En effet,

a"1 == k'nn= kP ! = i ( mod p ).

5. Théorème. — Si x = / (mod/?) satisfait à la congruence

xm= i (mod/?) sans satisfaire aux congruences

xa =i et 3^=1, ... (mod /??),

a, 6, . . . étant les différents diviseurs de m [en y comprenant

aussi le nombre i), toutes les m solutions de la congruence

x rn= i seront

x=r, x == /*2, a?=/- 3

, ..., x = r'n (mod/>).

[La dernière solution donne x = rm = i qui est aussi solution de

CONGRUENCES BINOMES. INDICES. CONGRUENCES EXPONENTIELLES. III

^m= i (mod /?), mais satisfait à une conoruence xa~ i (mod p)

avec a = i

.]

Remarquons d'abord que si x e= r (mod p) est solution de la

congruence xm= 1 (mod/?), toute puissance de /• est aussi une

solution, car x = r" donnerait

^w =/•«/«= rmn = in= i (mod/?).

Ainsi les nombres

.r = /•, ar'ss r*

,

. . .

,

a- = r"' ( mod p )

satisfont tous à la congruence #"'= i (mod p).

Et si nous parvenons à établir qu'ils sont tous différents, le

théorème sera démontré.

Or, supposons, au contraire, que deux puissances telles que

x é= rh et x === r /i (mod /> )

soient identiques, /i et k étant tous les deux compris entre o et met h > A\

On aura donc

•h =± rk nu rà—k (mod m).

ce qui est contraire à l'hypothèse, car r serait alors solution de la

congruence x h~k = i (modp), donc aussi de la congruence

xd= i (mod p), d étant le plus grand commun diviseur de h— k

et /w, donc inférieur à />?, puisque h — k est évidemment inférieur

à m.

Ainsi les nombres

r = /-, x == r2, .... x==r,m (mod/?)

sont tous différents, et sont tous solutions de la congruence

donnée xm= i (modp). Ils constituent donc un système complet

de solutions.

6. Ainsi, parmi les solutions de la congruence xm =. i (mod p),

il y a des solutions qui satisfont à la congruence donnée sans

satisfaire à une congruence de même espèce, mais avec un plus

petit exposant. Il y a d'autres solutions qui satisfont à la congruence

donnée, mais satisfont aussi à une congruence de même espèce

1 12 CHAPITRE V.

dont l'exposant est un diviseur de m. Une solution de la première

espèce sera dite « racine primitive de la congruence donnée ». 11

convient de ne pas confondre la racine primitive dune congruence

avec une racine primitive d'un nombre dont il sera question ulté-

rieurement.

Ainsi la congruence x 6 = i (mod 19) admet six solutions :

a? = 1 .7.8.11. 12.18 (mod 19);

de ces six solutions, la première est aussi solution de la congruence

x K = 1 (mod 19), la dernière est solution de x- = 1 (mod 19); les

solutions x := 7 . 1 1 (mod 19) sont solutions de la congruence

x* = j (mod 19). Seules les solutions x= 8. i 2 (mod 19) appar-

tiennent à la congruence x G = 1 (mod 19) sans satisfaire à

#'"= 1 (mod 19) avec m =1 .2.3.

Les seules racines primitives de la congruence # c =(mod 19)

sont 8 et 12 et toutes les autres solutions peuvent être obtenues-

moyennant l'une de ces solutions. Ainsi la solution x = 8 (mod 19)

donnerait

j?==8, # = 8 2 = 7, ars8'si8, d?==8V==u, x = 8 ;i =i>,

x = 8 6= 1 ( mod 19).

De même la solution x = 1 2 ( mod 1 9 ) donnerait

x = 1

a? = i2 5 =8,. ,r = i2 6 = i (mod 19),

ce qui donne, à l'ordre près, les six mêmes solutions.

7. Si l'on fait m = p — 1 , on aura la congruence

xP~ l = 1 (mod p)

qui admet p— 1 solutions

x = 1 .2.3. . . ( p — 1) (mod p).

La congruence donnée est donc vérifiée par n'importe quel

nombre, les multiples de p ou les nombres qui sont == o (mod pyseuls devant être exceptés, car x = o (mod p) donnerait

xiJ~ l = o et non =1 (mod/?).

CONGRUENCES BINOMES. INDICES. CONGRUENCES EXPONENTIELLES. I 1 3

Or, p étant supposé premier, p — i est composé.

Soient dt , d2 -> <^3, •••, d„ tous les diviseurs de p — i, le

nombre i étant compté parmi les diviseurs et n étant le nombre de

diviseurs.

Les (p — i) solutions de la congruence xP~ { = i (mod/?).

peuvent être distribuées en n groupes contenant chacun un nombre

variable de termes.

i° Le premier groupe comprendra les nombres qui satisfont à la

congruence xdi = i (mod/?), dK

étant le plus petit diviseur de

p — i, donc d{=z\. Le seul nombre qui satisfait à la congruence

x 1 = i (mod p) est x = i (mod p). Ainsi le premier groupe com-

prendra toujours le seul nombre i

.

2° Le deuxième groupe comprendra les nombres qui satisfont à

la congruence xd%= i (mod p) sans satisfaire à la précédente

x'!l~ i (mod p), d 2 étant le plus petit diviseur de p — i en excep-

tant le diviseur dK

. Puisque/? est supposé premier impair, on aura

toujours d2 = 2, car/? — i est évidemment pair.

Or, les solutions de la congruence x 2 =i (mod p) sont évi-

demment

a?=zhi (mod/)) ou x = i ou p — i (mod/?).

De ces deux solutions, la première appartient à la congruence

plus simple x { = i (mod/?), la seconde est une solution primitive

de la congruence x 2 = i (mod p).

3° Le troisième groupe comprendra les nombres qui satisfont à

la congruence xd3= i (mod/?) sans satisfaire à une congruence de

même espèce, mais plus simple, d3 étant le plus petit diviseur de

p— i, sans compter les diviseurs d{et d2 déjà examinés.

Il est facile de constater que cette congruence auracp(<^3 ) racines

primitives. En effet, elle admet en tout d% solutions qui sont toutes

primitives, sauf celles qui sont solutions de congruences de mêmeespèce, mais plus simples.

En effet, d3 est toujours divisible par i, le nombre i étant

compté parmi les diviseurs, donc une de ces d^ solutions n'est pas

racine primitive. Si maintenant d% est pair, une autre solution

KRAÏTCH1K. 8

I l4 CHAPITRE V.

(x = p — i) n'est pas primitive non plus. Alors d3 — 4 5 4 étant le

plus petit nombre pair en exceptant 2.

Or ç(4) = 2 et des quatre solutions de la congruence

x k= 1 (mod />)

deux appartiennent aux congruences x { = 1 et # 2 = 1 (mod/?). Il

ne restera donc que 4 — 2 = 2 racines primitives de la congruence

# 4 = 1 (mod/?).

Si tf?3 est impair, c/3 est nécessairement premier et

9 ( û?3 ) = d3— 1

.

Or, des <i 3 solutions de la congruence a?rfs= 1 (mod/?), une seule

n'est pas primitive. Le nombre de solutions primitives est donc

dans tous les cas çp(c? 3 ).

4° Soient enfin <i/ un diviseur quelconque de p — 1 et e t1 e 2 ,

e 3 , . .., e* tous les diviseurs de dt (le nombre 1 est compté parmi

les diviseurs) ;donc e

{= 1 , ek= d[.

On a

<p(ei)-t-<p(e 2 )-t-.. +?<>*) = ^ (I, 1.9).

Or, des c/t- solutions de la congruence xdi^ 1 (mod/?),

<p(i) = 1 solution appartient à la congruence x x = \ (mod />),

<p(e a )= cp(2) = 1 » x* = i »

?(«*).*==

ce qui prouve que la congruence # rf<EEE i (mod/?) aura Q~(di) solu-

tions primitives.

Ainsi la congruence xP~ K = 1 (mod/?) aura cp (/? — 1) solutions

primitives.

Si de plus

di == 1 , <^2 = 2, <^3 , 6/4, . . • , dn =p — \

sont tous les diviseurs de /?— 1 , ces p — 1 solutions se répartissent

de la façon suivante :

CONGRUENCES BINOMES. INDICES. CONGRUENCES EXPONENTIELLES. Il5

Solutions primitives. Gongruence.

cp(i)==i appartiennent à x 1 = i (mod p)

cp ( i ) = I )) # 2= I »

cp ( dz )» ,r rf3= I »

<p(û?i) » a^==i »

tç(dn ) = y(p — i) )) XP~ l EE,l »

Ce sont les solutions primitives de la congruence xP~ { = i (mod/?)

qu'on appelle « racines primitives du nombre premier/? ». [Voir

V, 23, Exemple.)

8. Nous avons vu (V, 5) que si a? = r(mod/?) est une racine

primitive d'une congruence xm= i (mod /?), toutes les racines de

cette congruence s'obtiennent par les m puissances successives

de r qui sont toutes distinctes.

Donc si r est une racine primitive du nombre /?, c'est-à-dire

une racine primitive de la congruence

a?p-i==i (mod/»),

les p — i puissances successives de r seront toutes différentes.

Il en résulte que la congruence

/'*== a (mod p)

est toujours possible, sauf quand a = o (mod p), si r est une racine

primitive de p. De plus, elle n'admet qu'une solution, inférieure

à/?-i.

On appelle x l'indice de a (mod/?) dans le système de base r.

Puisque rP~* = i, l'indice n'est déterminé qu'à un multiple de

(P — P rès, car .

ce qui montre que l'indice de a peut être indifféremment x oux -\- k(p — i). Nous pouvons donc écrire d'une façon générale

indice a = x (mod/? — i)

ou, en abrégé,indfl = ^ (mod/? — i).

Il6 CHAPITRE V.

9. Nous avons vu (V, 7) que tout nombre premier p aura

<p(/? — i) racines primitives, ce qui donne o(p — i) systèmes d'in-

dices pour chaque nombre premier p. Il est, toutefois, sans

importance de se servir de tel ou tel système d'indices. Nous

verrons du reste qu'on peut facilement passer d'un système d'indices

à un autre.

Mais quelle que soit la base, on aura toujours

ind i = o (mod/> — i),

En effet, on a

et

•o= rk(P-\)= l (mod p)

La première relation est évidente. Pour ce qui est de la deuxième,

remarquons qu'on a

rP~ l =i, d'où r 2 =±i (mod p).

Or, on ne peut pas avoir

r 2 =-f-i (modp),

car r ne serait pas alors racine primitive ; donc

r 2 = — i (mod p).

Il importe de remarquer que le module est toujours p pour les

nombres et p — i pour les indices.

10. Théorlme. — L'indice d'un produit est égal à la sommedes indices des facteurs; V indice d' une puissance est égal au

produit de V indice de la base par Vexposant de la puissance.

Soientk~ra

, B = 7h

,C = rc (mod p)

ou, ce qui revient au même,

a = ind A, b = lnd B, c == ind G (mod/? — i).

CONGRUENCES BINOMES. INDICES. CONGRUENCES EXPONENTIELLES. 117

On auraABC = ra+ /j+c (modp)

ou

a -+- b 4- c == ind (ABC) (modp — i),

ou encore

ind (ABC) =indA 4- ind B + ind G (modjo — i).

De même, Am= ram (mod p) donne

ind (A'") = a'"= m ind A (mod/> — i).

Corollaire. — L'indice d'un quotient tj est

ind A — ind B (mod/) — i).

En effet,

A r

donc

A

_ — — /*a—b >

B /•*:

ind— = a — b = ind A — ind B (modp — i).

11. Il résulte de ce qui précède qu'une Table d'indices peut

rendre, dans la théorie des nombres, les mêmes avantages qu'une

Table de logarithmes pour le calcul numérique.

La plus simple façon de construire une Table d'indices est de

choisir une racine primitive, de préférence la plus petite ou 10 si

cela est possible, et calculer la série complète de p — i puissances

de cette racine primitive.]

Ainsi p = i.3, r = 2 donneraient :

œ -..= i a 3 4 5 6 7 8 9 io ii 12 (mod 12),

rx —i 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 1 (mod i3).

On aura ainsi :

ind 1 = 12 ou o, ind 2 = 1, ind 3 = 4, ind 4 = 2, ind 5 = 9,

ind 6 = 5, ind 7 = 11, ind 8 = 3, ind 9 = 8, ind 10 = 10,

indu=7, indi2 = 6 (mod 12).

Si le nombre/? est quelque peu grand, il devient incommode de

chercher quel est l'indice d'un nombre donné. On construit alors

deux Tables, l'une pour les indices, l'autre pour les nombres.

47 42 34 14 29 23 21 24

i6 20 10 56 8 49 11 22

3 2 39 3 28 7 6 573 J i5

55 27 36 37 58 33 9 2

52 4i 19 38 26 4o 5o 46

54 5i 53 59 44 4 12 '7

II» CHAPITRE V.

Ainsi yp = 6i, /- = io donnent les Tables suivantes, dans les-

quelles chaque nombre N est mis sous la forme 10 a-\- b. Les

dizaines a sont inscrites dans la première colonne verticale, les

unités dans la première ligne horizontale.

Table d'indices (mod 60).

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

o o

1 1 45

2 48 5

3 43 i3

4 35 18

5 i5 3i

6 3o

Table des nombres (mod 61).

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

o 1 10 39 24 57 21 27 26 16 38

1 14 18 58 3

1

5 5o 12 59 41 44

2 i3 8 19 7 9 29 46 33 25 6

3. 60 5i 22 37 4 4o 34 35 45 23

4 47 43 3 3o 56 11 49 2 20 17

5. 48 53 42 54 52 32 i5 28 36 55

Ainsi, on trouvera pour la première Table :

ind 1 = o, ind 2 = 47 > • • *, ind 10== f, ind i5 = 56, ...,

ind (— 1) = ind 60 == 3o (mod 60).

La deuxième Table donne :

o = ind 1, 1 == ind 10, . . . , 10 = ind 14, i5 = ind 5o, ....

12. Une Table d'indices du nombre premier p permet de résoudre

facilement une congruence du premier degré (mod jo).

Ainsi, soit donnée la congruence

ï3x = 18 (mod 61).

Elle donne

xbb i| (mod 61) (II, II).

CONGRUENCES BINOMES. INDICES. CONGRUENCES EXPONENTIELLES. 1 1 9

Or,indx = ind 18 — ind i3 == 1 1 — 20 = — 9 = 5i (mod 60),

d'oùx == 53 (mod 6i\

13. Une Table d'indices peut aussi servir pour la résolution de la

congruence,r 2 = « (mod/>) qui fait l'objet des paragraphes (IV, 2o).

Soit donnée la congruence x 2 = 57 (mod 61), elle est possible,

car

Elle donne

2 inda? = ind 5y = 4 (mod 60),

d'où

màx = 2 (mod 3o) ou ind:r=2 ou 32 (mod 60)

et

a? = 39 ou 22 (mod 61).

14. On voit, par ces exemples, l'utilité d'une Table d'indices.

Il est toutefois à remarquer qu'une Table spéciale est nécessaire

pour chaque nombre premier. Et même si l'on veut se contenter

d'une seule Table pour chaque nombre, il ne serait pas possible

d'établir une Table complète pour tous les nombres inférieurs à

une certaine limite (10000 par exemple).

Jacobi a donné (Berlin, 1 83g) une Table d'indices pour tous les

nombres inférieurs à 1000. Nous avons entrepris le travail d'une

Table d'indices pour tous les nombres inférieurs à 10 000 ('). Mais

tandis que Jacobi donne pour chaque nombre les deux Tables

(l'une pour les indices, l'autre pour les nombres), nous nous bor-

nons à donner pour tout nombre premier inférieur à 10 000 les

indices de tous les nombres premiers inférieurs à 100.

Un exemple fera comprendre le procédé que nous avons suivi

pour établir les indices de tous les nombres premiers inférieurs

à 100 sans calculer toutes les (p— 1) puissances de la racine pri-

mitive. Remarquons que nous avons depuis longtemps (191 1)

établi une Table donnant une racine primitive pour tout nombre

inférieur à 10000. Cette Table se trouve dans le numéro spécial de

mai 191 1 du Sphinx Œdipe (Nancy, 1911).

(l

) On peut se procurer chez l'auteur une copie photographique de cette Table.

120 CHAPITRE V.

15. Problème. — Trouver les indices de tous les nombres pre-

miers inférieurs à ioo (mod 9649).

On prend pour base une racine primitive quelconque, par

exemple r = 7, et l'on calcule quelques dizaines de puissances

de r (mod 9649). On trouve :

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

o 1 7 49 343 2401 7i58 1861,3378 4348 1489

1 774 54i8 8979 4959 5766 1766 2713 9342 75oo 4^55

2 838 5866 2466 73i3 5o46 6375 6029 3607 595i 3o6i

3 2129 5254 783i 6572 7408 36u 5979 3257 35oi 5209

4 7516 4367 1622 1705 22«6 5353

On notera les relations (mod 9649)

9600 = — 49,

7*. 4^-45,

718= 7500,

ou, avec les notations,

ind2 = #, ind3=j/-, \nà5==z,

on a

yx -+- y -h 2Z = 48^6,

ix — iy — £ = 4820,

2 # 4- y +4-3 = 18,

ou, en éliminant z,

u# — 3> = 4818,

io^r — 7y = 2;

d'où

47jK = 48 i58 (mod 9548) = g566 = 270062,

y == 5746 = ind3,

x == 1128 = ind 2,

z = 524o == ind 5;

p == 7 étant pris pour base, on aura

i n d 7 == 1

.

La relation n>o== ^4 = 1 8.43 donne

ind 43 =10 — 1128 — 2x5746 = 6686.

CONGRUENCES BINOMES. INDICES. CONGRUENCES EXPONENTIELLES.,

1.2 1

La relation 7' 2= 8979=— 870 donne

ind 29 = 12 4-48^4 — (1 128 + 5;46 -h 524o) = 2370.

La relation 725 e= 63^5 = 17X3.215 donne

ind 17 = 25 —(5746 -f- 3o524o) = 75o3.

La relation 29 X 336 = 9774 = 9^ donne

ind 19 — (2370 — 4 x 1128 + 5746 4-1) — 5240 = 7389.

La relation 23 X 4 2 ^ == 9770 = T26 donne

ind 23 == (1128 4- 2.5746 -h 1) — (75o3 4- 2.5240) = 4286,

La relation 7

*

9 e^ 4255 == 5.23.37 donne

ind 37 = 19 — (524o -f- 4^86) ==ï4i.

La relation 3 1 X 3 1 5 = 97^5 = 116 donne

ind 3i ='(2 X 1128 -h 2370) — (2.5746 4- 5240 + 1) = 7189.

La relation 7',3 eee 1705 = 1 1 . 1 55 donne

ind 1 1 = 43 — (524o -f- 7189) ==6910.

La relation 1 3 X 729 = 9477 = — 1 7 2 donne

ind i3 = (6686 + 2.11284-4824) — 6.5746 = 8234.

La relation 4 1 X 234 = 9^94 =— 55 donne

ind 4i = (524o 4- 6910 4- 4824) — (1 128 4- 2. 5746 4- 8234) = 5768.

La relation 47 X 2o5 == 9635 =a— 14 donne

ind 47 = (1128 4- 1 4- 4824) — (524o 4- 5768) = 4590.

La relation 53 X 1 82 = 9646 = — 3 donne

ind 53 = (5746 4- 4824) — (1128 4- 1 4- 8234) = 1207.

La relation 59 X 164 = 9676 = 27 donne

ind 59 = 3.5746 — (2.1128 4- 5768) = 9214.

Ï22 CHAPITRE V.

La relation 6 1 X 1 5g = 9699= 5o donne

înd 61 = (2.5240 + 1128) — (2.5746 + 1207) = 855;.

La relation 67 X 1 43 = 958 1 = — 68 donne

ind 67 = (2.1128 + 7503 + 4824) — (6910 + 8234) = 9087.

La relation 7 1 X 1 36 = 9666 = 7 donne

ind 71 = 1 — (3. 11 28 -+- 75o3) = 8410.

La relation 73 X 1 33 = 97°9 ~ 60 donne

ind 7 3 = (2 + 1 128 4- 5746 h- 5a4o) — (1 -h 4286) = 8955.

La relation 79 X 121 = 9559 = — 90 donne

ind 79 = (1128 -4- 2.5746 4- 52^0 -+- 4824) — 2.6910 sa 8864-

La relation 83 X 1 17 = 977 1 = 62 donne

ind 83 aa= (1 128 4- 7189) — (2.5746 4- 8234) sa 7987.

La relation 89 X 1 08 = 96 1 2 = — 37 donne

ind 89 sa (141 -h 4824) — (2. 1 128 H- 3 .5746) sa 4767.

La relation 9700 = 5i donne

ind 97 =(5746 4- 75o3)— 2(1128 4- 5240) = 5i3.

16. Cette Table abrégée est naturellement moins commode que

la double Table complète que nous avons établie précédemment.

Toutefois, elle rend suffisamment de services pour justifier le

travail demandé pour son établissement.

D'abord, connaissant les indices de tous les nombres premiers

inférieurs à 100, on trouve facilement l'indice de n'importe quel

nombre. Par exemple, pour trouver l'indice de N, on opérera delà

façon suivante :

i° Si N est composé de facteurs premiers inférieurs à 100, on

aura l'indice de N par la somme des indices de ses facteurs.


Ainsi, pour/? = 9649,

ind 143 = ind 11 + ind i3 = 6910 -+- 8a34 = i5i44 = 54g6 (mod 9648).

2° Si N est premier, on prendra une relation quelconque de la

forme aN = b (mod p) avec a et b inférieurs à 100 ou composés

de facteurs inférieurs à 100, ce qui est toujours possible.

Par exemple, pour trouver l'indice de 1021 (mod 9649), on

prendra la relation

10. 1021 = 56 1 = 3. 11. 17

donnant

ind 1021 = (ind 3-hindn-+-indi7) — (ind 1 -4- ind 5)

= (5746 + 6910 -H 75o3)-h(ii28 -h 5240) = 1 3 791 = 4i43

(mod 9648).

Ensuite il est facile de trouver un nombre N(mod/?) dont on

connaît l'indice i (mod p — 1). En effet, r étant la racine primitive

qui a servi pour le calcul des indices, on aura

NssW (mod/?).

Par exemple, si l'on connaît, pour le module 9649,

ind N = 6368 (mod 9648),

on auraN = 7

63 68 (mod 9649).

Or,N = 7

6368 =_76368-4824=_

715U

( mod 9649).

Puisqu'on trouve parmi les indices connus ind 97 = 5 1 3, on a

7513 =97, d'où -2 1539 = 97

3

et

N =— 973.7

5=~ 97.9409.7158 =-+- 97.240.7158

= 240.9247 ss — 240.402 =— 96480 =+ IO.

17. Théorème. — La congruence a;"1= A (mod p) n'est pos-

sible que si l'indice de A est un multiple de m, m étant supposé

un des diviseurs de p — 1

.

En effet, cette congruence donne

m ind x = ind A (mod/?— 1).

124 CHAPITRE V.

Or, si p — i est divisible par m, il faut que ind A le soit aussi. Onaura alors

ind A / p — i \( mod — ),m \ m /

ind x

ce qui donnera ni solutions pour ind x (mod/? — i) et, partant,

m solutions pour x (mod /?).

18. Si l'on ne possède pas de Table d'indices, on peut encore

être fixé sur la possibilité ou l'impossibilité de la congruence

xm= A (mod /?) de la'manière suivante :

Soit q le quotient de p — i par m, de sorte que p — i = mq. Si

l'on élève les deux membres de la congruence xm:= A (modp) à la

puissance ^r, il vient

xm'i=kn ou xp-i==A9 (modjo);

or5

xp-* = \ (mody>);

donc on auraA?=i (mod/>).

Ainsi, si la congruence #™= A (mod/?) est possible, on aura

À m .ssi (mod/;),

Inversement, si l'on a

A m ssi (mod/?),

la congruence j?w^ A (mod />) est possible. En effet, soient r

une racine primitive de/? et i l'indice de A dans ce système; donc

r'"=A (mod/?).

Puisque

riç=zAv=A m =i (mod/?),

on aura

iq=p — i (mod/?— i) ou ^ = o (mod/) - i)

ou

i = o ( mod = m )•

\ ^ /

Ainsi i est un multiple de m, ce qui établit la possibilité de la


xm=k (moàp).

19. Comme nous l'avons dit, il y a plusieurs systèmes d'indices.

A chaque racine primitive correspond un système d'indices. Il est

du reste facile de passer d'un système d'indices à un autre.

Soit r la base d'un système d'indices et supposons qu'on veuille

trouver l'indice d'un nombre N dans une autre base r .

On aura donc, x désignant l'indice de N dans la base r et i

l'indice de N dans la base r,

A = r'= r'x (mod/>)

oui ind /• = x ind r' (mod/> — i);

orind /* = i,

d'où

x = -—-—

,

(modo — i),ind r •v ^ '

ce symbole devant être interprété comme nous l'avons dit (II, 11).

Mais quelle que soit la base choisie, on aura toujours :

ind 1 = (mod p — i),

ind(— i) = ind (p — i) = — (mod p — i),

relations que nous avons établies (V, 9) et qui sont indépendantes

de la base choisie.

20. En supposant toujours que le module p est un nombrepremier supérieur à 2, étudions maintenant la congruence

a r =i ^mod/>).

On voit facilement que si x = r est une solution, x = kr en est

une aussi, la solution générale étant

x — kr -h n(p — i) ou x = kr (mod/? — i).

Si ensuite cl est le plus grand commun diviseur de r et p— i,

X.= d satisfait encore à la congruence a-v=i(modp— i). Il en

résulte que la plus petite solution de cette congruence est d, d étant

126- CHAPITRE V.

un diviseur de p— i, en comprenant parmi les diviseurs de p — i

le nombre/? — i aussi.

Ainsi, si d est la plus petite solution de cette congruence, toutes

les solutions sont

x = kd (mod/? — i) ou simplement x = o (modo?).

Ainsi, la plus petite solution de la congruence

ix =i (mod 22gi53)

est x = 176 et toutes les solutions sont x = o (mod 176).

Il en résulte que

2 176 =i (mod 229153),

d'où2 88= — 1 (mod 229 i53j

;

donc 2 88+i est divisible par 229153.

[On ne peut pas avoir 2 88 = -+- 1 (mod 229 1 53), car la plus

petite solution serait alors x = 88 et non x = 176.]

Nous avons établi une Table donnant la plus petite solution de

la congruence 2 r= 1 (mod/?) pour tous les nombres premiers pinférieurs à 3ooooo (*).

21. Théorème. — Si la plus petite solution de la congruence

ax= 1 (mod/?) est ni. l'indice de a est divisible par

P — 1

m 2

En effet, on aura

îndaô (mod y? — 1),

doncm ind a = o ( mod p — i)

;

P — l ~„ — „ — P — l

ce qui exige que ind a soit divisible par ou par q =

On dit que a est un résidu de îème de p et l'on écrit ( -) == 1.

On trouvera à la fin une Table (IV) de résidus î(mes de /; avec

q =2. 3. 4-5. G. 7. 8. 9. 10. 14. 16. 18.

Ainsi, quelle que soit la base qui a servi pour l'établissement du

(x

) On peut se procurer chez l'auteur une copie photographique de cette Table.

CONGRUENOES BINOMES. INDICES. CONGRUENCES EXPONENTIELLES. 127

système d'indices, on aura toujours

D(ind a, p— 1) = q,

D(#,y) désignant le plus grand commun diviseur de x ely, car

cette relation montre que la plus petite solution de la congruence

ax= 1 (mod/>) est

P — lm = -

9

et cette plus petite solution est évidemment indépendante du choix

de la base

Cette relation est un invariant d'un système d'indices.

22. Inversement, si le plus grand commun diviseur de ind a et

p — 1 est*/, la plus petite solution de la congruence ax= i (mod p)est

Soient /' la base choisie et i l'indice de a, donc

/•'=a (mod 7?).

Puisque i est divisible par q, on aura

i = qq'

OUrf/v'= a (mod/>

)

ou, en désignant r?' par r', il vient

r'<7=a (mod p).

Si l'on élève les deux membres à la puissance P ~~ '

? on aura

r'i>-^ = a 1 = 1 (mod p).

Ainsi ax= 1 (mod p) est vérifié pour x =Il est facile de démontrer que c'est la plus petite solution.

23. Il résulte de ce qui précède que, relativement au module jo,

les nombres non divisibles par p se répartissent de la façon sui-

vante :

I28 CHAPITRE V.

Soient <#,==i, d2 =z 2, d3 , d k ,.".

., dn = p — 1 les /z diviseurs

du nombre/? — 1.

Il y aura :

<p(/? — 1) nombres tels que la pi us petite solution dea^î (mod/>)est.r=/>— 1,

Ç(^n-l) » X=zdn-U?

<p(û?i) » x=dt ,

<p(2)=I » fl?=2,

9(1)= 1 » a?=i.

(On aura # = 2 si a = /? — 1, et x = 1 si a = 1.)

De cette façon, tous les /? — 1 nombres sont classés, car

?(/>) = P — 1 = 9(P — + <p(<4-i )-+-•••+ ?(<*/) -+-.. •

+ ï(a) + f(0 (I, 19).

Exemple. — p — 61, cp = 6o, 71 = 12 (nombre de diviseurs

de 60) :

n - dn . <p(c?B ). N.

1 1 1 1

2 2 1 60

3 3 2 i3.47

4 4 2 11 .5o

5 5 4 3.20.34.58

6 6 2 14.48

7 i° 4 9.27.41.52

8 12 4 21.29.32.40

9 i5 8 12. i5. 16.22.25.42.56.57

10 20 8 8.23.24.28.33.37.38.53

11 3o 8. 4-5.i9.36.39.45.46.49

12 60 16.... 2.6.7. 10. 17. 18. 26.3o. 3i. 35.43.44»5i .54.55.59

Les nombres de la colonne N sont ceux qui satisfont à la con-

gruence %rf'= 1 (mod 61), sans satisfaire à une congruence de la

même forme, mais avec un plus petit exposant. En d'autres termes,

les nombres de la colonne N sont les racines primitives des con-

gruences yf1^ 1 (mod 61). Tous les <p(6i)= 6o nombres inférieurs

à 61 et premiers avec 61 figurent dans cette colonne.

24. Théorème. — Les diviseurs primitifs d ) un nombre de la

CONGRUENCES BINOMES. INDICES. CONGRUENCES EXPONENTIELLES. I29

forme q™— \ sont de la forme km-f\, les diviseurs primitifsd'un nombre de la forme am+ i sont de la forme ikm -\-i,lesdiviseurs primitifs d'un nombre de la forme 2 4w -{- i sont de laforme i6mk -f- i.

Nous avons vu (III, 5) ce qu'on entend par diviseur primitif.Soit p un diviseur primitif de am— i , on aura

a ,n ~\ (moàp).

Puisque p est un diviseur primitif, la congruence

ax =\ (moUjo)

admet, comme plus petite solution, la solution x = m, diviseur dep — i

. Ainsi p— i est divisible par m.Si Ton pose p— i = mk, on aura

Si l'on a

on a aussi

donc

Soit enfin

On aura

ce qui donne

p = m /f _i_ I#

a'n ^- i == o (mod p),

a 2 '"=i (modp),

p = imk -+- 1.

2tm+iso (moàp.

2»'»=i (mod/?),

p = Hmq -+- 1.

Nous allons démontrer que q est pair.

En effet, on a

donc 2 est résidu quadratique de/?; donc

2 - = 24""7= i(IHO( | „

,

Il en résulte que imq est divisible par 8m, ce qui exige que <7soilpair.

KltAÏTCHIK.9

l3o CHAPITRE V.

Posons q = 2Â, on aura

p = 8 mq +- i = 1 6 mk -f- i

.

Ainsi les diviseurs de 2 32 H- i doivent être de la forme 4-32 k -\- i

ou 128/f -h i. Le premier nombre premier de cette forme est 64 i

qui effectivement divise 2 32 -j- i (I, 4; II, 6).

25. Supposons maintenant que le module p n'est pas premier.

Si le module p contient plusieurs facteurs premiers a 1", bn , . ..,

on décomposera la CQngjruence donnée en plusieurs, dont les

modules sont a"\ b 7'

Supposons donc que le module est une puissance d'un nombrepremier impair, p = am .

Si r est une racine primitive du nombre a, r est aussi une racine

primitive du nombre p = am et l'on aura

r< ,-

1 '"""~'i ( mocl p) ( III, 3).

Si Ton construit une Table d'indices avec la base /•, la Table

contiendra les indices de tous les z>(p) = (a — i)am~ { nombres

inférieurs à p = a'n et premiers avec p, donc non divisibles par a.

Ainsi tout nombre non divisible par p a un indice et inverse-

ment.

Toutes les relations que nous avons établies restent vraies, sauf

à remplacer pour les indices le module p — i par le module

cp( />) = (a — i)a" l-K

26. Si, enfin, le module est une puissance de 2, on peut prendre

pour base soit le nombre 3, soit le nombre 5.

Si Ton prend pour base le nombre 3, seuls les nombres de la

forme 8 /« —|— i . 3 auront un indice. De même, si l'on prend pour

module le nombre 5, seuls les nombres 8 Â• + i . 5 auront un

indice.

Il est donc nécessaire de modifier la définition des indices pour

le cas du module 2".

On adoptera, par exemple, la définition suivante :

i\_lwN-:ji

3'= (— 1) * . N ( mod 2n ).

CONGRUENCES BINOMES. INDICES. CONGRUENCES EXPONENTIELLES. l3l

Ainsi avec le module 2 5= 32, on obtient :

i = i 2 3 4 5 6 7 S (mod S ),

±3'= 3 9 5 i5 i3 7 n i (mod 32).

Ainsi les indices de

i 3 5 7 9 ii i3 i5 (mod 32)

serontoi 362754 (mod 8).

Nous nous réservons de développer ultérieurement ce sujet plus

en détail.

CHAPITRE VI

FACTORISATION.

1. Une des applications de la théorie qui précède est la factori-

sation des grands nombres. Par un court historique de la question,

on verra le progrès de ce problème pendant les 5o dernières

années.

En 1772, Euler a démontré que le nombre

1 147 483 647 = *-x31 — »

est premier, et c'était le plus grand nombre premier connu à cette

époque.

En 1875, Lucas écrit [Nouvelles Annales de Mathématiques,

187.5, p. 523) qu'il n'a pu vérifier si le nombre

8831418697 = —83

est premier. Il ajoute : c< II serait facile de s'assurer si ce nombre

est premier, et, dans le cas de réussite, ce serait, je pense, le plus

grand nombre premier connu actuellement. »

Lucas semble ignorer, en 1875, les travaux de Landry (Paris,

1867 et 1869), où sont donnés plusieurs nombres premiers bien

plus grands que celui cité par Lucas.

Et cependant trois ans plus tard Lucas a surpassé Landry. En

1878, Lucas a donné la factorisation de 2"dzi pour des valeurs

de n dépassant de beaucoup celles de Landry.

Nous n'avons relevé dans les travaux de Lucas que les erreurs

suivantes ; de ces résultats, la décomposition de 2 eJ-+- 1 a été donnée

par Landry en 1880 à l'âge de 82 ans et celle de 2 7T 4-i par

Cunningham en 1910 :

a »o _2 77 +2 91 -H

2 80 4.

264 _+_

276 +282 _+_

v 106+2 122 +•>198 _j_

FACTORISATION. 1 33

== (7 x 23 x 73 x 89 x 599479) x ('99 x «53 649 x 33057806959),

=I ! X 43 X 683) X (617 X 78233 X 33 53>. 364099),

= (3 x 43 x 2731) x (224771 x 31266402706564481),

= 63 537 x ( 4'4 721 x 44 479210368001),

= 274177 x 672804213107-21,

= 17 x (1217 x 148961 x 24517014940753),

= 3 X (10 169 X 40249589) X (181 549 X 12 112 549),

= 5 x 1800439824 io4653 x (15358129 x 586477649),

= 5 . 733 .1 709 . 368 1 4o 58 1 01 3 .( 3 456 749 .667 o55 378 1 4g ),

= ( 5 . 109 . 397 .4 327 489 ) x ( 42 373 . 1 5 975 607 282 273 )

x (13.37.2113.312709) x (235621 .8463901 912489).

Depuis cette époque, on a étudié des nombres laissant loin

derrière eux ceux qui ont été envisagés par Euler ou par Lucas en

i87 5.

Ainsi Ton sait actuellement que les nombres 2 e1 — 1, 2 89 — 1.

1 sont premiers et, par contre, que les

sont composés, mais on ne connaît pas

, .2'

25Cnombres 2 ,28-f-

les facteurs de ces nombres.

2. Si le problème de la factorisation n'a pas fait de progrès

sensibles jusqu'en ces tout derniers temps, c'est à cause des diffi-

cultés spéciales qu'il présente.

Il est, en effet, facile de vérifier si un nombre donné, quelque

grand qu'il soit, divise un autre nombre donné, puisque la vérifi-

cation se fait par division, c'est-à-dire par un procédé direct; mais

le problème inverse, c'est-à-dire le produit de deux nombres étant

donné, en trouver les facteurs, résulte essentiellement du tâtonne-

ment; et le perfectionnement des procédés n'est qu'un perfec-

tionnement des tâtonnements, en ce sens qu'on ne fait pas d'essais

pour certains cas qu'on élimine d'avance comme ne pouvant

satisfaire à certaines conditions.

Remarquons d'abord que la factorisation peut se faire par deux

procédés :

^ i° Par la recherche directe des facteurs;

2 En ramenant le nombre donné à une forme connue, dont h)

plus simple est une différence entre deux carrés.

1 34 CHAPITRE VI.

C était surtout le premier procédé qui était en usage depuis

l'antiquité, et Fibonacci (1202) donne pour la première fois la

règle connue d'essayer tous les facteurs possibles inférieurs à la

racine carrée du nombre donné.

Fermât et Euler ont perfectionné ce procédé en se servant de

formes linéaires des diviseurs. Ainsi, si par exemple le nombre

donné peut être mis sous la forme a'1 H- 6 2, les diviseurs ne peuvent

être que de la forme 4 k'-+- 1 . Il en résulte qu'il est inutile d'essayer

la division par les nombres premiers de la forme 4^ + 3.

La connaissance de chaque forme quadratique réduit environ

deux fois le nombre d'essais à faire. Il en résulte que si Ton connaît

une dizaine de formes quadratiques, on réduira environ 2 10 fois le

nombre d'essais à faire, ou d'environ 1000 fois.

Quand il s'agit de décomposer un nombre de 8-10 chiffres, le

procédé peut encore être employé avec succès. C'est pourquoi nous

allons donner quelques détails sur son application.

On trouvera à la fin de ce Volume des Tables donnant les divi-

seurs linéaires de formes quadratiques x-^t:Dy 2 pour toutes les

valeurs de D inférieures à 200.

On a omis les valeurs de D qui sont divisibles par un carré, car

si l'on a D = aK 2 la forme

xi 4. D^> = x i _4_ a ( Ky y.

ne diffère guère de la forme plus simple x 2 -\-ay 2.

L'emploi de ce procédé est très simple. Après avoir trouvé plu-

sieurs représentations quadratiques, telles que x- ± Dy 2, on

construit, en premier lieu, une Table des nombres premiers

convenant pour les formes les plus simples, et l'on exclut de cette

Table les nombres qui ne satisfont pas aux formes linéaires corres-

pondant aux formes quadratiques restantes.

Ainsi, ayant trouvé la représentation

;r 2 + / 2, x*~^--2y 2

, x"-— 3j 2,

.r2— 7JK2

, j 2 +ioj2, **-m3j*,

a?2— 2172, X e*-— 3ijk 2

, a?2 -f-86jK 2,

on procède de la façon suivante :

i° Les diviseurs linéaires de x- -\-

y

2 sont \ K -f- 1 et ceux de la

FACTORISATION. >35

forme x- 4- 2 y- sont 8 K -f 1 . 3 ; donc 8K+1 est la seule forme

linéaire qui convient aux deux formes quadratiques.

2 Les diviseurs linéaires de la forme x 2—

3

y 2 étant i2K±iou 24 K -+- 1 . 1 1 . i3 . 23, seule la forme 24K-f-i coïncide avec la

forme trouvée précédemment.

3° Les diviseurs linéaires de la forme x'1— jy2 sont 28 K ±: i .3.9

ou

168 K ± 1.3.9. 19.25.27.29. 3i .37. 47 «53. 55. 57. 59. 65. 75.8i.83,

dont les formes i68K-|- 1 . 26 . 1 21 seules satisfont à toutes les

formes considérées jusqu'ici.

i° Ces formes développées suivant le module 84o ( = 5 X 168)

donnent les formes

840 K -+- 1.25. 121. 1G9. [33.289.337.351 . {57. 5o5.529. 625. 673. 697. 793

dont les formes

S1 o K -+- 1 . 1 2 1 . 1 69 . 289 . ](> 1 . 5 2

9

seules sont diviseurs de la forme x 2 -{-ioy- et des formes précé-

demment envisagées.

Il reste à utiliser les formes x- -+- \3-y'2, x 2 — 21 ) -, x-— 3 1 jk

2,

.r2 +8(iyvDe ces formes, x- — 21 y- n'apprend rien de nouveau, car elle

résulte des formes x'1 — 3j^2

, et x'1 — 7y- déjà envisagées. En effet,

si 3 et 7 sont résidus d'un nombre quelconque, 3 X 7 = 21 le sera

aussi, la forme x 2 -\-#6y 2 peut être remplacée par x'- — 43y-, car

si — 86 et —1 sont résidus (— 86) : (— 2) =-\- {3 l'est aussi

(— 2 est résidu à cause de la forme x 2 -\- 2 r-).

Il reste ainsi à utiliser les formes a?2+ i3.y

2, x 2 —>3iya et

**— 43jk».

Avant de le faire, formons une Table des nombres premiers

inférieurs à la racine carrée du nombre considéré et des formes

84<> K -h 1 . 121 .169. 289 . 36 1 .

3

>.[).

Si, par exemple, la limite est 12000 (ce qui correspond à un

I

»36 CHAPITRE VI.

nombre voisin de 1 44^00000), on auraPour la forme.

D == 252 1 . 336 1 . 420 1 . 588 1 . 75(i 1.9?. \ \ 840 K -+- 1

1801. 6841. 7681. 852i 121

[009.2689.3529.0209 169

1 129.86K9. îo'Uig 289

r>.oi .456i .8761 .9601 36

1

îo4<) . 3889 . \~j >[) 5 569 . 8089. 8929 .9769 52g

De ces nombres, seuls les suivants sont diviseurs de la forme

x 2+ 13 y 2:

D == 2521.5209.6841.8089-8761,

dont D = 252i . 5209.8761 sont diviseurs de la forme x 2— 3 1 r'-

et dont D = 5209 seul est diviseur de la forme x 2— /\?>

y

2'•.

Ainsi il suffira d'essayer la division du nombre donné par 6209

pour le factoriser ou être fixé sur sa primalité.

Donc toute la question se résume à trouver des formes quadra-

tiques du nombre donné. On peut y arriver par les deux procédés

que nous allons indiquer.

On sait que le développement de y/N en fractions continues

donne lieu à une fraction continue périodique. Si un quotient

complet quelconque est

_ B„H-y/N _ 1

A rt — pj — U/l-hl -+~ y '

(— i)BDn est résidu de N et N ou son multiple peut être repré-

senté par la forme x 2 -\- (— i)"Dv"-.

De là résulte une règle très simple pour trouver autant de repré-

sentations quadratiques qu'on voudra. Toutefois, si le nombre des

termes de la période est petit, ces formes peuvent ne pas suffire.

Gela arrive, en particulier, pour N = a2 -{~ 1 et dans bien d'autres

cas.

On considérera alors le développement de y/2 A, ou celui de y/3A

ou, d'une façon générale de y//iA, étant donné que tout résidu de

/tA est aussi résidu de A.

Toutefois, le développement de y/A est assez laborieux et une

méthode de tâtonnements est, dans bien des cas, préférable.

FACTORISATION. 1 37

Soit IS un nombre impair sur la nature duquel on n'est pas fixé.

Soit encore a le plus grand entier dont le carré est inférieur à N.

PosonsN = (« + a?)*-*- r,

x étant choisi de façon à rendre r divisible par des carrés. D'une

façon générale, on trouve plusieurs valeurs de x pour lesquelles r

devient un carré, le double d'un carré, le triple d'un carré, etc.

Voici comment on procédera : On déterminera uue série de

congruences linéaires :

\ r.2 ( mod 2 3) = /*3 ( mod 3 ) = rs ( mod 5.) = : . •= rp (mod p).

Si N ~rp (moàp) est un résidu quadratique, on déterminera

IN = rp(moà p

2). La solution de la congruence auxiliaire

.z2 = r'p (mod p)

nous fournira deux valeurs de 3 telles qu'en posant

a ± x = z

•On aura

r == o (mod />2) ou r = Kp- et N = (a H- x )- -f- \\p 2

.

Un exemple fera comprendre la marche à sui\ je :

Soit donné le nombre 123456789 exprimé en système décimal

par les neuf chiffres significatifs. On a

123456789 = 9.113717421.

PosonsN = 13717421

et proposons-nous de décomposer ce dernier nombre.

On a

Sf Ses 5 (mod 8)== 2 (mod 3) = 1 (mod 5) = 4 (mod 7) =3 3 (mod 11)

es 3 (mod i3) = 2 (mod 17) = 10 (mod 19) = 14 (mod 23)

= r") ( mod 29) == 14 ( mod 3i) = 4 (mod 37 ) . . .,

N == 21 (mod 25) == 18 (mod 49) = i4 (mod 121) == 29 (mod 169;

= 36 ( mod 289) = 107 (mod 961) = 41 (mod 1 ^69 ) ;

I 38 CHAPITRE Vf.

d'où

± .s = 1 1 (mod 25) = 19 (mod 49) = 16 (mod 121) eee 69 (mod 169)

= 6 (mod 289) = 359 ( mod 961) = 33 1 (mod 1369).

On a, de plus,

N = 3;o3'2 -f- 5212 == (3;o3 — xf -+- r.

On a

N = i 7 n2_ 5/j! . I02= 36892+1087.102= 366i*h-3i45.jo s

= 36k) 2 h- ï-n.10 2 .. .

N = 369 i2 -4- 1 J6 5 . ;

2 = 37432— 1 493 .142 = 3645 2 -4- 2201 . 1

4

2• • •

= 37352— ;3i.22 2 = 37672 — 977.222 = 36462 4- 701.112 = 36i V2 — 21 [.55*...

= 37872 - 907 . >f>2 = 36492 -+ 095 . 522 = 5408 2 - 707 x 1 43 2. :

.

= 37632— 5SÎ. V,2=3 7 5i2_3o5.34 2=3474 2+ 57o5. 172 = 34622-4- )99 5.1 :

2..

= 4'>.o3 2 — 1027.622 = 34852 -+- 409. 622. .

.

= 37762— 39Ï.37 2

On a ainsi les résidus suivants :

")|i; — [°87; — 3i45 = — 5.17.37; — î.751 ;— 1 4^> >

= — > • '-9 > ;

1 19 3 ; — 2201 = — 31.71; 73 1 — 17.43; 977; — 701; — 211;

907; — 59") = — î.7. 17 ; 707 = 7.101; 383; 3o5 = 5.6i;

— 3701 = — 5.7. i63 ; — >99"3 = — i3.46i; 1027 = 13.79:

— 409; 395 = 5.79.

Si l'on y ajoute les formes

N = 761*+ 7 x i37o 2 = 34292+ 5.6262,

on aura les résidus — 7, — 5 qui, combinés avec les résidus trou\ es

précédemment, donnent les résidus

— 17; — 61; — 101 ; — 43; —79; — '>

ou les formes

^2+13^2- oçl^-ir-yï^ X% -\--43/*; J? 2 +6lJ/2j ;r2_)_--gj2. x 2 ->- IOI

y

2

Les diviseurs communs aux deux formes x 2 + 5y- et x'2 -h ~ Y 1

sontijoK+i .9.23.29. \\ .67.81 . 107. [09. 121. 12-3 . T27

FACTORISATION. l3(>

qui donnent les nombres premiers suivants comme diviseurs éven-

tuels de N :

23.29.43.67.107.109. 127. 149. 163.263.281 .347.389.401 .421 .443. 149. 460.

487. 54 1.547. 569 . 64 1.683. 70 1.709. 743. 809. 82 1.823. 827. 863. 883. 907.947

•

967. 1009. 1061 . 1087. uo3. 1129. 1 163. 1201 . 1229. 1283. 1289. i3o3. 1 3 >7 . 1367

.

i38i . 1409. i423. 1429. I481 . i523. i549- 1583. 1607. 162 1 . i663. 1667. 1709. 172 L

1747. 1787. 1789. 1801 . 1901 .2003.2027.2069.2081 .2083.2087. 2129.2143.

2207.2221 .2269.2347.2381 .2389.2423.24 i7.2ao3.25ai .2543.2549-2647.2683.

2689 . 274 1 . 2767 . 280 1 . 2843 . 2909 . 2927 . 2963 . 2969 . 3o49 . 3o6 1 . 3067 . 3089

.

3io9 . 3187.3203. 3221. 3229. 3301.3329. 3343. 3347. 3361.3389.3467 3^69.3529.

3 58 1.3607. 3623.

De ces nombres, seuls les suivants sont diviseurs de la forme

x 2 +\3y 2:

29 . 67 . i63 . 38g .463. 487 . 369 .641 .683

.701 .743 . 809 . 827 . 863 .947 .967 . 1087

.

1 io3 . 1 163 . 1367 . 1 3 8 1 . 14 23 . 1 î >9 . ( }8 1 . 1">••>.3 . 1607 . 1621 . 1723 . 1747. 1787. 190 1

.

208 1 . 2087 . 2 1 29 . 2 1 43 .2)47. 238g . 2 \i 3 . 2 ')o3 . 252 1 . 2543 . 2549 . 2647 • 2683 .

2767 . 2909 . 2927 .3187. 3>o3 . 3>2 1 . 33oi . 3329 . 33 \'\. 3347 . 3389 • 3706

.

De ces nombres, les suivants sont diviseurs de la forme x 2 -\- 1

7y- :

163.389.487.569.683.743.827.947. n63. 1367. 1 38 1 . 1423. 1429. 148 1 . i52.3

179.3 . 2 1 89 . 2389 . 2543 . 2549 • 2647 • 2683 . 2909 . 2927 . 3207 . 322 1 . 3343 . 3607

.

Seuls les nombres suivants sont diviseurs de la forme x- -f- 43 y2:

487 . 569 . 683 . 827. 947 . 1 38 1 . 1423 . 2389 . 2 m 3 • 2647 • ^683 . 3207 . 3607

.

Seuls les suivants sont diviseurs de la forme # 2 -f-6i y- :

569 . 683 . 9 J7 . i38i . 2 "> 4 3 . 2647 • :î6°7-

Seuls les suivants sont diviseurs de la forme x 2-f- jgy'2 '.

569.683.1381.2647.3607.

Seuls les nombres 56g. 1 38 1.3607 sont diviseurs de la forme

H- ioiy 2.

Ainsi, si N n'est pas premier, il est divisible par un de ces

l40 CHAPITRE VI.

nombres. On trouve, en effet,

N = 3607 x 38o3 et 123456789 = 9 X 3607 x 38o3.

Ce procédé est inapplicable dès qu'il s'agit d'un nombre supé-

rieur ta ion , étant donné qu'on ne possède pas de Table de nombres

premiers au delà de 10 millions.

C'est donc le second procédé que nous allons étudier.

3. Avant d'aborder la décomposition d'un nombre par l'équa-

tion X 2— \- = N, examinons quelques autres procédés de facto-

risation indirecte.

Si le nombre donné est de la forme l\k'-f-i, on peut essayer la

décomposition de N en somme de deux carrés. Dès lors, si l'on ne

trouve aucune solution (si l'on est certain qu'il n'en existe aucune)

le nombre est composé des facteurs (en nombre pair) de la forme

4 A" —f- 3 . S'il n'existe qu'une solution, le nombre est premier. Si

l'on en trouve plusieurs, le nombre est composé de facteurs de la

forme 4 k + 1

.

Dans ce dernier cas, on trouve les facteurs de la façon suivante.

Supposons qu'on ait trouvé

Posom

d'où

et

ou

N = a 2-t- 6 2 = c 2 -t-d2

.

\ = (>2 + yt) (^-j-jfî) _-(xz dzyt)* -+- (x t ±fZ )

2,

xz -+- yt = a, xz — yt = c,

xt— yz = b, xt-\-yz = d.

aiz = -(a-KC), yt=-(a — c), xt=~(dA-b), yz—-{d — b).

(On suppose que a et c de même que b eld sont de même parité,

c'est-à-dire tous les deux pairs ou tous les deux impairs, ce qui est

toujours possible.)

Ce système n'aurait pu être résolu d'une façon générale, car

(xz)(yt)==(xt)(yz);

donc les quatre autres équations se réduisent à trois; mais puisque

FACTORISATION. ! \ I

x, y, z et t sont des entiers, on aura

- (a-\- c)xz 2 a -h c m

ny* i(rf-è)d- h

m et n étant premiers entre eux; d'où

x = m, y =='n.

et l'un des facteurs est

Exemples. — i° Le nombre 1 33 est de la forme 4 A* 4- i , mais

ne peut pas être mis sous la forme x-^-y'2 , donc t 33 contient un

nombre pair de facteurs de la forme \k H- 3. On trouve, en effet,

133',=== 7 . 19; il en est de même de

1 729 == 7 . 1 3 .19.

2 Le nombre 89 == 8 2 H- 5 2 ne peut pas être mis autrement sous

la forme x'2 -\-y 2, donc 89 est premier.

C'est de cette façon qu'Euler a trouvé que le nombre 10 091 4oi

est premier comme ne pouvant se mettre sous la forme de % 2 -\-y2

que d'une façon avec x = 2920? y —= 1 2.5 1 .

3° Le nombre221 = 1 \

2 -\- 5 2 = io 2+ 1 i2

est composé. On trouve

xz -\-yt = j43

#•/ — x- = 5,

373 — j/^ = 10, xt-\-yz = 11,

d'où

xz = 12.; yt=>, agi=&J

yz — j,

r; _ r2 _ t

d ou

x = 4, JK = i- a7?-+-^2 = 17 et 221 = 17.13.

i° Le nombre

N = a'* -h 46'*'= (a 2 -'>j2)2+ 4^6»

est une somme de deux carrés de deux façons différentes. On

142 CHAPITRE VI.

auraxz-^-yt = a^, xt —yz=z2b*,

xz —yt = a'z— 2 6 2,

xt -4-j'z = iab,

d'où

xz = aï— 6V JK^ = 6 2,

xt — ab^-b'-, yz = ab — è 2,

«z a 2— 6 2 a -\- b

yz ab — b**- b '

d'oùar = a -4- £, r = 6,

et

z= a — b, t = b

les deux facteurs sont

x2_^y2— aï^- 2 ab -+- 2& 2, s 2 4- £ 2 = a 2— 2a6 •+- 26*

et

a*-+- 4^ = (a 2 -H-aa6 -H26 2) (a 2— >.ab^->.b-) (Sophie Germain

)

aveca = 1 , 6 = 2»;

il vient

24«+2_1_ I _ ( 22«+i + 2«+i + i)(^+1-2M1 + ]) (Aurifeuille).

On peut, dans le même but, se servir d'une forme quadratique

quelconque x- + Dk2-

Partant de l'identité

(a 2 H- Dô»)(c»-t-M2) = (ac ± D6d) 2 -+- D(adzp &c) 2

,

on trouvera les facteurs chaque fois qu'on aura une double repré-

sentation du nombre donné.

Ce procédé convient surtout quand on possède déjà une repré-

sentation quadratique.

4. On peut aussi se servir de la réciproque du théorème de

Fermât.

Si l'on constate que la congruence rtN-1= 1 (modN) n'est pas

vérifiée, le nombre N est certainement composé.

Si cette congruence est vérifiée sans qu'elle le soit pour un sous-

multiple de N— 1 , le nombre IN est premier.

On voit de suite le point faible de cette méthode.

FACTORISATION. l43

Après avoir fait des opérations compliquées, on est souvent peu

avancé, étant donné que si la congruence en question n'est pas

satisfaite, on ne connaît pas les facteurs, et, si elle l'est, il est

difficile de s'assurer qu'elle ne l'est pas pour un sous-multiple

de N - i

.

Cependant, dans le cas de N = 2 2 'l

-f- i et a = 3, la méthode est

infaillible, car

donc, si N est premier, on aura

3* = — i (modNj

sans que cette relation puisse être vérifiée par un sous-multiple

de (N — i), les seuls sous-multiples étant dans ce cas 22* avec

k <.n.

C'est ainsi que Morehead et Western (1909) ont prouvé que les

nombresN = F 7 =t 2*' -+-•

1 et N = F 8 = <228 -4- 1

respectivement de 3g et 77 chiffres sont composés, puisque la

congruence- (N — 1)

\* =_! (modN)

n'est pas vérifiée.

o. Passons à la décomposition par la forme x-— jk2 =N. La

première question qui se pose est de savoir laquelle des inconnues

sera trouvée directement par tâtonnement, l'autre pouvant être

déterminée par les opérations directes. Si, par exemple, on

connaît y, on aura x = yN -\-y'1

. De même, si l'on connaît #, on

aura y = \/x- — N.

Remarquons d'abord que nous faisons abstraction de la solution

éxidente :

N + 1 N —

1

x = ~T~ ' y = ~~T '

qui correspond à la décomposition "non moins évidente, N= 1 . ]\.

On aura toujours y <^ x et il semble qu'il soit plus commode de

I 44 CHAPITRE VI.

prendre y comme inconnue devant être trouvée directement par

tâtonnement. Tel n'est pas le cas.

On peut le prouver sans calcul, en considérant la branche de

l'hyperbole équilatère représentée par l'équation x 2 — y- = N.

Si P est un point entier de l'hyperbole ( c'est-à-dire un point

dont les coordonnées sont des nombres entiers), on aura

:r = OB, y = BP.

Or, y peut assumer toutes les valeurs comprises entre () et BP?

tandis que x ne peut assumer que des valeurs comprises entre OAet OB et l'on aura évidemment AB << PB.

Gomme la Géométrie est étrangère à l'Arithmétique, nous allons

donner une démonstration directe de ce qu'on aura moins de valeurs

à essayer pour x que pour y.

Soient à et b les deux limites entre lesquelles on se propose de

situer le plus petit facteur a <^b <i y/N.

Comme le produit de ces facteurs est constant (IN ), la somme de

ces facteurs est minimum quand les facteurs sont égaux, et croît

au fur et à mesure que ces facteurs s'écartent l'un de l'autre.

On aura donc

;(* x< Na

et, puisque a < x — y < 6,

i / N _\ i / M \

Le nombre des valeurs à essayer est la différence des deux limite;

FACTORISATION. l45

OU

2 \ a J i\ b ) -lab

i /N \ i /N .\ (N + a6)(6 — a)s(i^ a

/\ sU^*) dà (paur-r) -

On réalise donc une économie de

(N + aô)(b -a) _ (N — ab)(b— a)

lab 2ab(b — a) essais.

Nous verrons, dans la suite, d'autres raisons pour préférer la

recherche de la valeur de x plutôt que celle de y,

6. Avant d'aller plus loin, remarquons qu'il est parfois préfé-

rable d'introduire un nouveau facteur et considérer la décomposi-

tion de tiN = #2 — y-\ le facteur n devant être convenablement

choisi. Le but de l'introduction de ce facteur est de rapprocher

les deux facteurs et, partant, de diminuer le nombre des essais à

faire.

Soit, comme précédemment,

a <x—y (*+ ïï)_ l(b+ «N (N-abHb-a)2 \ a / 2 \ b

)

lab

valeurs de x à essayer.

Considérons le nombre

nN = x\—y\= n (x*-—yî)

avec les limites

na < n(x— y) < nb < /«N,

d'où

i

£62 " §)•<*,< *(*.-*

-J)KRAÏTCHIK.

>46 CHAPITRE VI.

et, par conséquent,

i /. N\ i/,, N\ (N — kab)(b — a)- ka h (kb +- -y =

72 \ a / 2 \ b I 2 <7 />

valeurs de jr, à essayer.

Il en résulte une économie de

(N- ab)(b — a) (H — kab)(b-a) i.. ...~i — v

-r = -(b — a)(k — i) essais.lab lab >.

Toutefois, dans le choix de ;*, il est nécessaire de tenir compte

de la relation

na < n{x — y) < nb << \/n N on nab < N.

Il est à remarquer que l'économie de - (h — a) (k— i ) essais est

payée relativement cher, car on aura à opérer sur de plus grands

nombres. En définitive, l'introduction d'un nouveau facteur n'est

justifiée que rarement.

7. Supposons qu'il s'agisse d'un nombre de la forme a" =h h"

dont les facteurs sont de la forme kn -f- i

.

On aura donc

et

x -f-y = t (mod /*),

x — y = 1

,

le module n étant supposé impair, d'où

.ri, / = o ( mod ri).

Ainsi x est limité à un cas sur « cas possibles, ainsi que y.

Mais y' = o ( mod n ) donne

y- = o ( mod /i 2 ).

Cette valeur portée dans x- — y- == N donne

a?2=N (mod /i 2 ), d'où r = ± r (mod n 2).

Cette relation, jointe à la précédente x = 1 (mod Ai), donnera

f/fie solution et ^ serait limité à un cas sur n 2 cas possibles, tandis

quey ne serait limité qu'à un cas sur n cas possibles.

FACTORISATION.j e-

Exemple.— N = a" + 2 3« + T estfacteur de V»*+ i. PosonsIN =j7 2— r a, on a

N si+ 36. 61 (mod 6i 2 = 3721),

x =1 + 18.61 (mod 3721) r = (mod 61).

Supposons enfin qu'on ait établi

x = 1 (mod >."),

y = o,

la relation y = o (mod 2") donne

,, ,r2 = o (mod pj*),

d'où

•r 2^N (mod i*n) ou x =ztr (mod^-i).

Cette relation avec celle qui est indiquée plus haut

ac == r (mod 2")

donne U /i<. solution (mod 2"-') et x serait limité à un cas sur2 2n

' cas, tandis que y serait limité à un cas sur 2" cas.

Exemple. -- 2« +I est divisible par ,7^289. Le quotientest *

N = 1 02 1 273 028 302 2 58 9 1 3 = r 2— yi;

on a

N = 1 + 9.17 (mod i 72 = 289) =222 (mod 2 56),

les deux facteurs devant être x = -+- 1 (mod 272) ( V, 24).Si l'on pose

x -+- j/ = 1 6 /»• -+- 1

.

a? — j = 1 6 / + 1

,

on aura

256kl -h 16 (/c -h /) + 1 — 225 — 256 m.

H en résulte que * -M est pair et par conséquent A-l aussi,d où

2jr-i6(£— l) donne y = o (mod 16).

Ainsi on aura

jk 2 =o (mod 256), d'où a?2=N( 256),d où

•z=±i5 (mod 128), a? = i (mod 8).

I 48 CHAPITRE VI.

Cette relation et celle trouvée précédemment donnent

a?=-Hii3 (mod 128).

On aura ainsi

x = 1 -+- i3. 17 (mod 17 2)= 1 i3 (mod 256)

OU.27 = 14961 (mod 36999).

Ainsi x est limité à un seul cas sur 36992 cas possibles; y aurait

été limité à un cas sur 1- x 16 = 272 cas possibles.

Ces considérations confirment notre affirmation qu'il est préfé-

rable de prendre x comme inconnue devant être trouvée par

tâtonnement.

8. Par les considérations précédentes, nous sommes ainsi amenés

à chercher une valeur de x satisfaisant à l'équation x 2— y- = N.

Cela revient à dire qu'il faut trouver entre certaines limites une

valeur de x rendant x-— N carré parfait.

Si l'on prend un module quelconque P et qu'on donne àx toutes

les valeurs possibles pour ce module, si l'on calcule les valeurs

correspondantes de y'1, on trouve une série de valeurs dont certaines

seront résidus quadratiques, certaines autres non-résidus (mod P),

Si une valeur quelconque de x donne pour y un non-résidu, cela

prouve que cette valeur de x est inadmissible. Par là même, on

éliminera certaines valeurs de x et l'on gardera les seules valeurs

de x qui donnent pour^- 2 un résidu.

Exemple. — Prenons, pour le module, le nombre i3 et suppo-

sons qu'on ait N = 10 (mod i3). Si l'on fait

jr ==± o • T. 2 3 4 5 6 (mod. i3)

on obtient

x % — 014 9 3 12 10

yi — x%— 10= 3 4 7 12 6 2 o

/• r n r- n n

Ainsi, seules les valeurs x = dz o. i . 3 .6 (mod 1 3) sont admis-

sibles.

Les valeurs x = 2.4.0 ( mod 1 3 ) sont à éliminer.

FACTORISATION.\ ^

Si, avec P = i3, on a N = i i (non-résidu), on aura

a?_==±: p i 2 34 5 6 (mod i3)

a?2= o 1 4 9 3 12 10

r'2 == 37 2

—

IIEE= 2 3 6 11 5 1 12

/i r 11 n n r r

et

x ==± 1.5.6 (mod i3)

sont les valeurs admissibles et

a? = ± 0.2.3.4 (mod i3;

sont à rejeter.

Chaque fois que N est un résidu pour le module considéré, il

existe une valeur de x qui correspond à y = o. Dans ce cas, l'éli-

mination peut être poussée plus loin.

Ainsi, dans le cas envisagé précédemment,

P = i) et N =10 (mod i3),

on aura pour x les solutions

x ==±o.i.3.6 (mod i3j.

Les solutions x = dz o. 1 .3 (mod i3) donnant pour y une valeur

différente de o (mod i3) ne peuvent plus être réduites. Mais les

solutions ^===h 6 (mod i3) donnant/ = o peuvent être réduites.

Soit, pour fixer les idées,

N=io (mod i3) avec N = 73 (mod 169).

Si l'on développe la solution x = db 6 ( mod 1 3)pour le module 1 69,

on obtient :

x = ± 16. 7.19. 20. 32.33. 45.46. 58. 59. 71. 72. 84 (mod 169),

^2 = -h 35.49.23. 62. 10.75.166.88.153.101.140.114.127,

(^.='a7»-75_=i3o.a6.52.i56.io4. o. 91.13. 78. 21. 65. 39. 5a.

Toutes les valeurs de y 2 sont == o (mod i3), mais seul

jk2== o (mod 169)

peut devenir un carré. Il en résulte que des solutions

x~±6 (mod i3)

1 lO CHAPITRE V

seules les solutions x = db 33 (mod 169) sont admissibles et les

formes linéaires de x sont

#.==±0.1.3 (mod i3) ou ±33 (mod 1 (ig )

.

11 est cependant à remarquer que l'utilisation des modules P 2 ne

peut être justifiée que pour les petites valeurs de P et lorsque les

limites des valeurs de x sont très grandes.

9. Considérons en premier lieu le module 2 n.

Soit posé N = x'1— y'1. Il est évident que siN = 1 (mod 4), oc est

impair et si N = 3 (mod 4), X est pair.

Ce dernier cas se subdivise en deux suivant que N == 3 ou

7 (mod 8) :

Si N == 3 (mod 8), on aura x == 2 (mod \).

Aucune réduction ultérieure n'est plus possible, étant donné

que, dans ce cas, y est différent de o (mod i n ).

Mais le cas de N = 1 (mod 4) donne lieu à des réductions plus

importantes. D'abord, dans le cas de N = 5 (mod 8),

Si N =3 5 ( mod 32 ), on aura x ==± \ ( mod 16)

» 29 » 1 »

sans réduction ultérieure.

Mais, dans le cas deN~i (mod 3), la réduction peut être pou!

suivie plus loin de manière à obtenir finalement 2 cas sur 61

2 cas sur 256, 2 cas sur 1024, etc., soit à la limite à

_L / I _L \ — _L A — _L32 V

1 "**4

- .16'"/ 32 3

"24

de tous les cas possibles, c'est-à-dire 1 cas sur 24.

10. Considérons en second lieu le module 3.

Si N == 1, on aura x = ± 1 ;

» 2 » o.

FACTORISATION. 131

Le deuxième cas est irréductible puisque y est différent

de o (mod 3); mais le premier cas donne :

Si N = i (mod 9), on aura x =± 1;

» 4 » '*'•

» 7 » i.

Dans ce cas, la réduction peut être poussée plus loin. Finale-

ment, on aura dans ce cas : 2 cas sur 27, 2 cas sur 243, etc., ou à

la limite :

l IO >o

>: 9 i\ >

Si, toutefois, on s'arrête au module 8 i , on aura 2 cas sur 27 et

2 cas sur 81

, soit 8 cas sur 8 1

.

11. Considérons le module 5 :

Si N 2, on aura x = ± 1 ;

sans réduction ultérieure, puisque yô.

Mais si N = 1, on aura ar = oou±i,

» \ )> » ± 2

.

La solution x = o est irréductible ; l'autre peut être ramenée à

2 cas sur 25 qui eux-mêmes peuvent être ramenés à 6 cas sur 125 ou

à 4 cas sur 1 25 et 2 sur 626, etc.

Il en est de même des autres modules.

12. Afin de bien faire comprendre le procédé à suivre, nous

allons refaire tous les calculs qui nous ont conduit à la décomposi-

tion d'un nombre de 19 chiffres.

On sait que

2 122_f. I = ( 261_ 231_hI )(.2 61 + .2 31 H_ I ).

On trouve

z 6i _ 2 3i + ,_ 5.733. 1709. 3G8i4o58ioi i,

2 6i + 2 3i _+. ï = 2 3o5<S4'îoi 1 36i 177601 = JV.

l52 CHAPITRE VI.

C'est ce dernier nombre qui a échappé aux investigations de

Lucas que nous allons décomposer.

Nous avons construit encore en 1914-1918 une Table donnant

la plus petite solution de ix= 1 (mod P) pour toutes les valeurs

de P inférieures à 3ooooo (*). On trouve, par exemple, dans cette

Table :

P = 733, # = 244,

P == 1709, x — 244;

donc ^33 et 1709 divisent a 24 '' — 1 ou '2 r22 -\-\.

En effet, ces facteurs divisent 2 ,H — a 3* —f— 1 , facteur de 2 r2 --\-i.

On ne trouve point d'autre facteur de 2 24 '' — 1, donc de 2 ,2-+i,donc de 2 e1 -+- 2 3

' -f- 1 , ce qui prouve que N n'a point de facteur <;

à 3ooooo.

En prenantN = 2 61 -+- 2* 1 4- 1 = a 2— 6 2

,

on aura

v/N < a < l

- U x io 5N

ou3oo.ooo/

1 5i8 5oo25o < a < 3843 071 835 601.

Ces résultats peuvent décourager plus d'une personne non

habituée à ce genre de calcul; on a, en effet :

3 843071 835 fioi

— 1 >i 8 :)o<> > m

384 1 5 53 33 5 35 1

nombres à considérer dont le plus petit est ^/N = 1 5i85oo25o. Araison d'un nombre par seconde et 12 heures de travail par jour et

36o jours par an, ce travail demanderait :

384xioi° •

= 370.370 années.60 x 60 x 12 x 36o

Et cependant nous allons le décomposer dans les quelques lignes

qui suivent :

On a, en effet,

N = a 2 — 6 2= 1 -h 36 x 6r (mod 6i 2)= i (mod 16) = 2 (mod 3);

(') Voir la note en bas de la page 126.

FACTORISATION. l53

puisqu'on a b = o (mod 61), on a

a=-h(i4-i8.6i) (mod 61 2)

D'autre part, les facteurs devant être de la forme 244^ + t? onaura

a + 6^ ( mod 4 ) ou a -+- b — 4 k -+-1

,

a — b =: ou a— 6 = 4^+1-et

16 £/ -4- 4 (K -(- /) -h 1 = 1 -4- 16/1,

-d'où /, -f- / = pair, de même que k — /. Il en résulte

6 = (mod 4) et a = i.

Mais 6 = o(raod4) donne

b^=o (mod 16) et a2 =i (mod 16),

d'où

a = + i (mod 8),

•ce qui avec a = 1 (mod 4) donne

a =+ 1 (mod 8).

IN = 2 (mod 3) donne

a == o ( mod 3)

•sans réduction ultérieure.

Ainsi on a

« = 1 + 18.61 (mod 3721) = 1 (mod 8) ==0 (mod 3)

oua = 53 ig3 (mod 8g3o4).

Posonsa = 89304 s -+- 53 19 3;

eette valeur substituée dans

N< a < "ï (3 x io5 -+- — r)•>. V 3 x io a

/donne

17003 < - < 43o33 kjo.

Afin de ne pas commencer l'élimination à partir de 17003, rem-plaçons encore z par 17003 + x. Il vient

a = 89304^ + 1518578409 avec o < x < 43016587.

1 54 CHAPITRE Vf,

Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de trouver les formes

linéaires de x pour différents modules. De ces derniers, le module 3

est seul épuisé, puisque a = o (mod 3) et b ^ o (mod 3).

Commençons par le module 2 n. On a (mod 64) :

a = %\ se+- 4i et N == i

.

Posons :

37 = o 1 2 3 4 5 6 j'

(mod 8)

a == >.4^ -+- 4i = 4i 1 25 49 9 33 57 17 (mod 64)

« 2 = 17 1 u3 97 81 65 49 33 ( mod [28 I

62 = a2„ I;_ 16 112 96 80 64 48 32 »

b"- : 16 = 1 7 6 5 4 3 2 (mod 8 )

/• n n /i Ai n

La forme linéaire i = o (mod 8) seule conduit à un résidu irré-

ductible;

les formes linéaires #== 2 .3 .4.6 . 7 conduisent aux

non-résidus et doivent être rejetées. Les formes x= 1. 5 I mod 8)

peuvent être réduites.

Elles donnent :

X == I 5 9 i3 17 21 25 29 (mod >2)

a = 2164? -h 233 = 193 33 [2<) 225 65 161 1 97 (mod 236 )

«2=385 65 257 449 129 321 1 i 93 (mod 5 12)

2 = a 2— N = «*_!= 384 64 2 56 448 128 320 192 (mod 5i2)

62: 64 = 6 1 4 n

J 2 5 3 (mod 8)

/i r n n n n

La forme linéaire # = 5 (mod 32) conduit seule à un résidu

irréductible, les formes linéaires

x = 1 . 1 3 .17 . 2 1 . 29 ( mod 32

)

conduisent à un non-résidu; les formes # = 9.25 peuvent être

réduites.

Pour ces dernières, on aura

x 9.25.41 .57.73.89. io5. 121 (mod 128)

dont la forme x= 7 3 (mod 128) seule conduit à un résidu irréduc-

tible; les formes # = 25. 89 (mod 128) peuvent être réduites; les

autres sont inadmissibles.

FACTORISATION.j5-

Les formes

.2? = 9.5.89 (mod 128)donnent

x = 89.153 (mod 256).

Arrêtons-nous là. Nous aurons donc :

r = o(mod 8) ou 5 (mod 32) ou 7 3 (mod 128) ou 89. 1 53 (mod 256).*

Considérons ensuite le module 5.

On a (mod 5) :

X = 1 > 3 4

a = 4 x -f- 4 = 4 3 » 1

«2 = 11 i 1

b* = a*— N = a 2— 1 = 3 > 1

n 1 t r

La forme linéaire x ~ 4 (mod 5) seule conduit à un résidu irré-

ductible; les formes x ==1.2 sont à rejeter. Les formes x = <> . 3-

peuvent être réduites par le module 25 et deviennent

# = io.23 (mod 25).

Ces dernières peuvent à leur tour être réduites à 4 valeurs sur 1 >:>.

et 2 sur 625.

On trouve

* = 48.60.73 ;85 (mod 125) ou 260.3-3. mod 625).

En résumé, les formes linéaires de x sont (mod 5*) :

x^\ (mod5), 48. 60. 7 3. 85 (mod 12$) ou >6o.3 7 3 (mod62

Considérons ensuite le module n.

On a

N=5 et a = 5x + 5 (mod 71.Posons :

x == o 1 2 3 4 5 6 (mod 7 )

a = îx -h 5 ~ 5 3 t 6 \ >. o

a 2 ==4 2ii-2 4 o

&2= a2_N = ai--5= 6 4 3 3 4 6 -,

n r n n r n rdonc

t = 1.4.6 (mod 7).

Ces formes ne donnent pas 6— o et ne peuvent être réduites (mod 4g)

> »..

o6 CHAPITRE VI.

Le module 1

1

donne

Posons :

N = 5 et a = 6 37+7-

X = o i 2 3 4 5 (5 nJ 8 9 IO

a = 6x -+- 7 ==7 2 8 3 9 4 IO 5 o 6 î

a- = 5 4 9 9 4 5 i 3 o 3 i

b*~= cfl - N = o IO 4 4 IO o 8 9 7 9 8

/l /• r /i n /• /> r n

(mod n)

Donc les formes x= 2 . 3 . 7 .g (mod 11) sont admissibles; les

formes x = 1 .4.6.8. 10 (mod 1 1) sont à rejeter; les formes x = o. 1 5

peuvent être réduites par les modules 121 et donnent

x = ii.38 ( mod 121).

En continuant ainsi, on forme le Tableau suivant :

Décomposition de N = 2 61 -H 2 31 H- 1 = 2 3o5 843oi 1 36i 177601 = a 2 — b'1,

a = 8930437 +- i5i 807409 (o < x < 43oi6587).

Mod. N. a. x.

2n » » o (mod 8), 5 (mod 32), 73 (mod 128), 8g.i53 (mod 256)

5 n » » 4 (mod 5), 48. 60.73. 85(mod 125), 260.373 (mod 625;

7 5 5^ + 5 1.4.6

11 5 6.2? -h 7 2. J.7.9 (mod îî)ou H.38 (mod 121)

i3 1 737+10 2.5.6.7. 10 (mod i3 ) ou 47-56 (mod 169)

17 8 3a7+i2 1 .3.6.8. 12. i3. il ( mod 17) ou 204.264 (mod 289)

19 18 4^ + 8 4.5.7.8.10.11.16.17.18.

23 2 18 x -h 5 3.4.6.7.8. 17. 18. 19.21 .22 (mod 23)

ou 46.48 (mod 529 )

29 12 10^-1-21 o. 1 .2.6.7. 10. 11 . 17. 18.21 .22.26.27.28.

3i 5 2437-1-9 0.2.5.7.9. 11. 12. i5. 16. 17.21 .22.23.26.27.29.

37 6 2037-1-26 o. 1 .3.6. 8. 9. 10. 12. i3. 14. 18.21 .25.28'. 32.33.34-36.

4i 1 637 -h 32 o. 1 .2 . 3.6.

1

1.12. i3. i5. 18. 19. 20.22. 24 .25.26. 29.31.

32.33.38.

4~ 3o 4#-+-43 1 -3 .8.9. i3. 14 • i5. 17. 20. 21 .23.24.25 .26.28.29.32.

34.35.36.40.41.46.

53 4 523?-+- 43 o. 1.3. 5. 6.10. 11. 14. i5. 16. 17. 18. 19. 22. 23. 27. 28. 3o.

32.33.34.35. Ji. 43- 45.5i. 52.

59 5 3737-+- 6 1 .6.10. 12. 16.21 .23.24.25.28.29.30.31 .32.33.35,39.

40.41.42.46.48. 49 . 5b . > 1 . 52 .53. 56 . 57 .58.

FACTORISATION. l57

Pour se servir du module 61, il est nécessaire d'opérer de la

façon suivante :

On a b 2=a 2— N ou, en posant b — 4-6i.y,

( 244 y)2 = (89304^ "M 5l8578 409) 2— (261+231+1)

OU

y2 = 1 33956^7 2 h- 4555735227^7-4- 3987048505

ou(mod 61) jk

2= 3 a? -f- 55,

d'où

a? = 1.2.3 5.6.7.11.14.15.16.17.18.21.22.24.27.29.36.38.41.43,44.47.48.

4g . 5o . 5 1 . 54 . 58 . 59 . 60

.

Etant donné que le champ de variation de x est très grand

(o <r < 43016387),

on procédera par plusieurs étapes de la façon suivante :

i° On cherchera une solution :

x = 89.153 (mod 256) = 4 (mod 5).

On trouvera qu'un seul nombre # = 8^4649 satisfait à toutes

les conditions requises, mais à cause de x = 17 (mod 289), il ne

convient pas.

2 On cherchera une solution :

.r=.89.i53 (mod 256) = 48.60.78,85 (mod i>3 ).

Aucune valeur de x ne satisfait à toutes les conditions.

3° Aucune valeur ne donne

x = 89.153 ( mod 256) = 260.373 (mod 625)

avec toutes les autres conditions.


x = 73 (mod 128 )= 4 (mod 5)


l38 CHAPITRE VI.

5" Aucune valeur ne donne

# = 73 (mod 128 )== 48. 60. 7'). 85 (mod 125)



# = 73 (mod 128) = 260.073 (mod 625)


-° On cherchera ensuite une solution

x = 5 (' riiod 32 ) = 4 ( mod 5 >.

On trouvera une seule valeur satisfaisant à toutes les conditions

requises : c'est

x = 6789829.

8° On cherchera une solution

x = 5 ( mod 32 ) = 48.60.73.8') ( mod (25 I.

On trouvera deux valeurs : #==69$] 1 7 3 , 10 i63 1 ^3, qui satis-

font à toutes les conditions requises, dont la deuxième donne

x = 26 (mod 329) et ne convient par conséquent pas.

9 On ne trouvera aucune solution donnant

x = 5 (mod 3z ) = 26o.3;3 1 mod 625).

io° On trouvera une solution

x = o (mod 8) = 260.373 ( mod 625)

et c'est la valeura; = 3717 760.

1 i° On ne trouvera aucune solution

x = o (mod 8) = 48.60.73 .85 (mod 12.5).

12° On trouvera cinq solutions

x = ( mod 8 )= 4 ( m^d 5 ) :

ce sont

# = 683624, 12026381, 5858624,3 923781, 102**8664

FACTORISATION. l5g

Ainsi on a huit nombres qui satisfont à toutes les conditions

imposées.

La recherche de ces valeurs se fait par le procédé graphique que

nous avons indiqué dans le troisième Chapitre.

Pour ne pas être obligé de vérifier les huit valeurs, on continuera

l'élimination par les autres modules supérieurs à ôi, mais sans

chercher toutes les formes linéaires qui sont admissibles pour ces

modules. On procédera de la façon suivante :

On a

#==6789829, 6931 1-3, 3717760, 6836-24, 12026 384, 5858624,

3923784, 10238664,

ou (mod 67 ) :

x ==il) 23 64 23 18 10 63 59

a = 60 # -+- 26 = 18 66 47 66 34 2 3 54 i5

a 1 — 56 1 65 1 17 60 35 24

b'1 = a?- — N = « 2 — 28 = 28

n

4o 57 4o 56 32

n

7

n

63

n

Il reste les quatre valeurs :

37 = ^931173, 3717760, 683624, 12026384

donnant (mod 71 ) :

X = I L 58 36 Ï9

2 1 == 9 61 i4 r>

«2 = 10 29 54 37

60 2

1

n

4o 65 i8£2= a2_ N E-a*

Il ne reste que les deux valeurs x == 3717760 et 12 026 384 qui

résistent aux modules ^3 aussi. La seconde aurait été éliminée par

les modules supérieurs à 73; la première donne :

x = 3717 760, a = 89 3o4^r +1 5 18 578409 = 333 529 \ 17 4 »9,

a«= 1 11 2 i 1 872303 8G9 305667601, N =3 23o5843oit36i 177601,

^>- = iii 2.39 566 460 8 57 9 \ \ 490000 = 333 525 960 70S2.

Ainsi :

a = 333 529417449

b — 333525960700

a 4- b = 667055378 149

a — b — 3 456749

l6o CHAPITRE VI.

et

N = 2 fil-i-2âl+ I= 3 456749 X 667655378149.

Nous avons trouvé de la même façon

7 o3+ 2*7+i = 15 358 129 X 586 477 649et

est premier.

- (io 19— 1 )== 1 m III III III III III

9

13. Il est peut-être intéressant de comparer le progrès réalisé par

le problème de factorisation avec le progrès des Tables des nombres

premiers. Euler n'avait à sa disposition qu'une Table des nombres

premiers jusqu'à 100000. Aussi ne s'attaque-t-il que rarement aux

nombres de 9-10 chiffres et encore dans des cas spéciaux.

C'est Euler qui a donné le plus grand nombre premier connu à

cette époque 2 31 — 1. C'est encore lui qui a décomposé

2 32 H_ [_ (54, x 6700417

infirmant l'assertion de Fermât.

Au xixesiècle, on a fait des Tables des nombres premiers jusque

10 millions et même au delà. Les procédés d'Euler deviennent

insuffisants; et il est rarement avantageux de se servir de ces pro-

cédés, sauf, peut-être, quand il s'agit d'un nombre excédant peu

la limite des Tables, de 9 ou 10 chiffres. Mais s'il s'agit d'un

nombre de 12-1 3 chiffres, seul le procédé indirect par décomposi-

tion en x'1— y 2 est pratique.

Si le nombre est d'une forme spéciale (diviseur de a n dz 0" ), on

peut encore s'attaquer à un nombre de 18-20 chiffres. Le nombre2°' -t-2

8, + i, précédemment étudié, en fournit un exemple. .

Mais la Science ne possède pas aujourd'hui une méthode par-

tique pour factoriser un nombre quelconque de 25-3o chiffres.

Pour ces nombres, on ne peut — et encore dans des cas excep-

tionnels — qu'être fixé sur la primalité ou non-primalité de ces

nombres et encore sans avoir les facteurs dans le cas d'un nombre

composé.

Nous avons cité des exemples : 2 127 — 1 est premier; 2 r- 8 -(-i

ainsi que 2 2;iG -+- « sont composés. Ces nombres sont respectivement

de 39 et 77 chiffres.

TABLES

KRAÏTCHIK

l6'2 TABLES DONNANT LLS CARRÉS DE TOUS LES NOMBRES INFÉR.

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l(j TABLE II DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

II. — Diviseurs linéaires des formes quadratiques.

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TABLE II. — DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES. l65

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i66 TABLE H. DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

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43 49 57 61 63 65 85 91 95 101 107 n5 Iig 121- 123 127 129 1 33

69 7 1 75 77 81 85 i35 139 i43 1 57 i5<j 161 169 179 ,87 189 191 205

99 101 io3 11

1

209 2i3 2i5 219* 221 225 227 229

236 1 5 9 1

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2 3 25 29 3i 39 4" 35 41 45 49 5i 53 5 7 63 7 1 75 79 81

43 45 47 49 53 55 85 87 95 io5 107

5 7 67 81 83 85 9 1

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1

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122 1 3 5 9 i3 i5 61 244 1 ^79 11 i3 23 25 3i 35 4, 43

r 9 25 2 7 39 4" 45 45 49 5i 55 57 59 63 65 67 7 1 73 77

47 49 57 79

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81 87 91

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217 223

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117 121

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229 241

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23 25 2 9 33 35 37 39 41 43 47 49 53 61 63 7 1 7 5 77 81

4i 49 5i 53 55 ^9 83 85 87 91 95 97 99 Io3 11

1

n3 n5 117

61 67 77 79 81 85 121 123 129 139 41 i43 i4 7 i59 169 i 75 179 181

97 •°7 ii3 117 "9 121

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i3o 1 7 9 2 9 33 37 65

'suite p. 167)

260 1 3 9 11 !9 23 27 29 3i 33 3 7 43

TABLE II. DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES. KV

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243 253

264 1 5 i3 17 19 25 66 >6'4

1 5 7 i3 ,7 23 25 35 4 1 47 49 53

3i 4« 43 49 53 59 61 65 67 7 1 79 83 85 91 97 107 109 n561 65 85 95 97 Io3 ll 9 125 127 i3i i5i 161 i63 169 175 191 205 221

109 125 227 233 235 245

268 1 3 7 9 11 17 67 .34 1 9 i5 «7 »9 21 23 25 29 33 35 37

21 25 27 29 3i 33 39 47 49 55 09 65 71 7 3 77 81 83 89

37 43 49 5l 63 65 9 1 93 io3 107 121 120 127 I2() l3l

73 75 77 79 81 8,7

8j 93 95 99 m 1 1

5

"!) 121 129

68 = 17 (C-*

1 38 1 5 11 1

3

I 7 2J 6g 276 1 5 7 i3 17 19 25 35 43 47 49 53

3 c 49 55 55 65 5g

ll 9

199

65

12.1

2l5

67

125

221

71 73

i3i i.')3

235 239

79 85 89 91 95

107 i4g 167 169 175

245 >4 7265

io3 n3'79 i93

280 1 3 9 ]I 17 23 7° 280 ] 9 «7 19 33 3 7 39 43 4 7 53 59 61

27 3i 33 3 7 5i 53 67 69 7 1 7 3 79 81 87 93 97 IOI io3 107

61 69 73 Si 83 9 3 121 123 i3i i3g i43 1 5 1 i53 i63 167 169 171 181

97 99 101 III 121 127 l 9 l ï97 223 229 23g 249 25 1 253 257 267 269 277

284 1 5 7 9 II 237 ' i4> 1 3 5 9 *5 19 25 27 29 37 43 45

25 2 9 3i 35 3 7 39 49 5 7 73 75 77 79 81 83 87 89 9' 95

45 47 49 5i 55 57 IOI io3 107 109 m 119 121 125 129 i3i 1 33

59 63 67 7 3 77 «•

89 99 101 109 1 i5 121

123 1 j5 I2 7 129 139

72 = >. a"-

146 I 3 9 «9 23 25 73 292 I 7 9 1 1 i5 25 3i 37 39 4 1 43 47

s 7 35 3 7 4i 49 55 49 5i ^7 59-61 63 65 69 77 81 83 85

^7 61 65 67 69 71 87

i35

i 7 5

247

89

i3 7

'79

25 7

95

i3g

181

25g

97 99

145 149

J 9 l r 99

263 265

io3 io5 107 109 n5i5i 159 i63 i65 167

201 2l3 217 221 2 25

269 271 273 275 279

121 1 3

1

169 i 7 3

2

3

7>39

287 289

296 1 5 7 9 i3 19 74 296 1 3 5 9 TI i3 i5 23 25 27 29 3i

25 29 33 35 4.1 43 33 39 4" 45 49 55 61 65 67 69 7 3 7 5

45 47 49 5l 59 61 79 81 83 87 93 99 io3 107 109 n5 117 119

63 65 69 71 7 3 81 121 120 125 i33 x35 137 1 39 143 145 147 i55 1 65

9 1 93 95 109 117 121 167 169 i83 191 195 199 201 2o5 207 211 219 225

125 127 i3i i33 i37 i45 233 237 239 243 245 249 253 261 275 277 279 289

75 =? 3 a 2

i68 TABLE II. — DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

W '. z 7— Dy\

D.

5 2-t- \)y 1

> (=r);.

wpQO

37.

W

POO

X.

76 = 19^154 rfc 1 9 i3 i5 l

lx 9 77 3o8 -h 1 3 9 ,3 *7 25 27 3i 37 39 41 43

23 25 3 7 4i 53 .6. 47 5i 53 5g 61 73 75 79 81 93 95 IOI

G7 7 r 73 io3 107 in n3 11

5

117 123 127 129 i3 7 141 145

i5i i53 i5g 169 i 7 3 177 i83 199 211 219 221 223

225 237 23g 241 243 25l 263 279 285 289 2g3 3o3

3l2 1 7 11 23 25 2 9 78 3l2 I 19 25 29 35 37 ii 4 7 49 53 55 67

3i '7 41 43 49 53 71 77 79 85 89 IOI io3' 107 109 n5 119 121

09 77 83 85 89 95 127 i3i 1 37 i55 161 iG3 167 173 r 79 187 199 21

5

101 109 121 137 i39 1 5

1

217 229 239 2JI 253 269 281. 289 295 3oi 3o5 307

3i6 1 3 5 7 9 i3 79 .58 I 5 9 11 i3 *9 21 23 2 5 3i 4^ 49

.5 21 25 27 35 39 5i 55 65 67 73 81 83 87 89 95 97 99

43 45 47 49 •J9 g:; IOI ioj ni 1 15 117 IJ 9 1 >i 123 125 129 i3i i/ji

6.5

9 1

71

97

7 3 ?5

101 io3

81

io5

89

107

i43 i5i 1 55

1 17 121 125 127 129 iî5

139 141 1 17

80 = 5«2

81 = « 2

3 2 8 1 3 9 lI i3 19 82 328 1 7 9 «3 i5 26 29 33 43 47 4g 5i

2 3 25 27 29 3i 33 53 55 57 59 63 69 71 73 79 81 83 85

35 39 49 53 57 67 9 1 93 95 IOI io5 107 109 ni n3 n5 117 121

69 73 75 81 85 87 i3i i35 i3g i4g 1 5

1

i55 i57 i63 1G7 169 175 181

93 99 101 io3 io5 tog i83 i85 187 191 i 95 !99 201 203 209 225 2.9 :i ;l

n3 117 119 121 127 i43 239 241 25i 253 261 263 267 283 289 291 293 297

147 i49 157 i5g 3oi 3o5 307 3og 3n 3i 7 323 325

332 1 9 i5 17 19 21 83 166 1 3 79 11 l l 21 2 3 2 5 2 7 29 3i

25 2 9 33 35 37 39 33 3 7 41 49 5i 5.9 61 63 65 69 7:> 77

4» 43 47 49 55 61 81 87 9 3 95 99 109 in 1 1

3

"9 121 133 127

05 67 69 71 77 79 i3i 1 47 i5i 1 53 161

81 9 1 g3 io3 107 IO()

iz3 n5 121 i35 i3 9 143

i53 i55 i5g 161 i63

84 = 2 1 cû

170 1 3 7 9 *9 2] 85 34o 1 9 IT 2I 3i 37 3 9 43 47 49 57 67

23 2 7 3 7 49 5 7 59 69 71 73 79 81 83 87 89 9 1 97 99 I01

G3 69 73 81 io3 1 1 3 121 123 127 i3i i33 i39 ^9 i59 161 1G9

r7 3 177 i83 ,89 i 9 3 î97 199 203 211 223 229 23 I

233 247 263 277 2 79 281 287 299 307 3n 3i3 317

32 1 327 333 33;

344 1 5 7 9 1

1

17 8G 344 I 3 5g i5 T 7 19 23 25 2 7 2g 3r

2b 2 9 35 37 39 4 1

(suite p. 16,9)

37 4i 45 47 49 5i 57 61 ^9 7 5 77 79

TABLE II DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES. 169

o i>j

344

36Z,

186

:

4"> 49 55 57 5g 61

63 67 69 71 77 81

83 85 93 97 99 107

119 121 i35 i3g i4i i45

i4g i5i i53 157 i5g 169

1 i3 17 19 2 3

jo 41 43 49 55

59 71 77 79 83 89

101 107 109 n3 121 1 37

137 iG3 167 169

1 5 9 11 17

p5 39 45 4 7 49

55 57 67 69 71

79 81 85 87

I 6 5 9 1

1

1 j 9 1

25 27 29 33 *i 45

53 55 67 71 73 75

81 87 89 97 99 IO-'i

n3 121 123 125 i3i 1 35

i3g .45 i5i i5g i63 iG5

93 = 33 «1 7 11 17 19 >'> 93

3 5 29 49 53 65 67

77 83 89

1 3 5 9 i3 i5 94

17 23 3 5 37 ") .h

39 45 49 5i 59 65

G9 75 77 81 83 85

87 89 93 97 109 n5117 121 125 127 i3i i33

1.35 i45 i47 i5i i53 i55

167 169 i 77 181

1 7 9 i3 2 3 3i 95

33 37 43 47 49 5i

(suite p. 170

D.

86

tsuilc)

87

88 = 33 a-

89

90 = ioa-

3 V

356

[82

376

190

i>r2 m-

io3

i5 7

- 81 85 89 91 93 95 9-

i35 127 i3i i35 141 i43 i45 i47 x 49 i53 i55

i63 167 169 171 179 1 8

3

i85 19.) 3o5 307 211 220

337 23i 235 237 23g 243 245 255 361 371 373 377

279 281 285 289 391 3o5 309 3n 323 33i 333 337

1 7 11 i3 17 25 4 1 47 49 67 77 89

91 95 101 to3 109 1 1

3

n5 119 131 i3i 1

3

7i3g

i43 i5i i55 169

1357 9 *5 17 M) 2r 2 3 '5 '7

3i 35 43 45 49 5i 53 57 09 63 69 73

75 8r 83 85 g.3 g.5 97 io3 io5 109 n5 im»

i3i i>5 137 129 1 3.3 1.35 i43 1^7 i5i i53 i55 157

1 09 161 i63 169 171 17.) 17.") 177 189 191 207 211

21.5 317 219 235 3.33 3.39 343 24.) 249 355 257 >65

269 277 279 ?.85 289 291 295 3oi 309 3i5 317 3ig

32.3 3>7 343 345

17 "9 "9

53 5g

in 1 1 .3 1 15 1 14.)

3i 33 fi 43 45

s:; 89 §5 97 I0 7

55 i65 167 171 179

1 ll 25 29 35 43 17 ï<) 53 55 59 65

71 77 79 89 9 1 î'' 97 107 109 ri 5 121 127

i3i i33 ,3 7 ,39 i43 i5i i.57

161 169 i85 i9 l i 9 3

'97 *99 203 209 323 227 247 2.53 2 59 269 271 287

289 299 3o5 3 11 33

1

3.35 349 353 359 36

1

365 36 7

1 5 7 9 1

1

i3 17 *9 2.5 29 35 43

45 $9 55 63 63 (n m 71 / / 79 81 85

89 9 1 93 ')">97 99 10.3 107 109 1 1

1

117 "9121 123 125 1 33 i3g i43 145 1.53 i5g i63 169 171

i-a *77 "79 181 i83 187 *9' 2o3 209 211 2l5 219

221 225 227 339 239 2 4

1

245 2 47 2lo 361 263 271

375 289 393 3oi 3o3 3 1

5

3i 7 3i9 3>3 3 2 5 335 ''7

339 343 345 349 353 355 36

1

3 7 3

1 3 9 1

1

i3 27 .33 3 7 3<) 49 53 Ci

67 81 97 99 101 io3 107 1 1

1

1 13 117 "9 121

TAULE — DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

(D;

= • z-—\)y\

1).

,.,,, (^) = I .

Qc

X.

WJPQO

X.

~-

JL

38o ± 53 >9 61 63 71 70 9^ 190 -1—1:27 J 3i i3g i43 147 i49 *5g 161 167 169 i7 3

i83

Si 83 87 91 97 101

121 123 149 i5i

(suite)

161 i63 169 173 179 187

<)6 = 6 a-

M>4 i 3 9 11 25 27 97 388 1 7 9 i5 19 sr3 2 5 33 3g 49 5' 53 :

3i 33 35 4,3 4 7 49 55 5g 61 63 65 67 71 73 81 83 85 87

53 61 65 73 75 79 89 g3 10 1 io5 107 109 m 1 1

3

12" 1 1 >3 127 129

8i 85 89 91 g3 9'.

98 = 2rt 2

99— no?

100 = « ?

i3i 1 33 1 35 1 39 1 4 « i43 i4> T 55

179 i85 187 193 197 199 2o5 207

2 25 229 23 1 2 35 237 23g 2'|I 25 1

285 289 293 297 369 >n 3 1 3 019

347 35i 353 3>7 35g 36i 367 371

161 169 171 175

211 2l5 221 223

263 269 271 273

33i 34i 343 345

3 7 5 377 383 385

202 i 5 9 l3 l 7 *9 101 4o4 1 3 5 7 9 1 1 1 3 1

5

17 21 25 27

21 23 25 3i 33 :;: 33 35 37 39 45 49 5i 55 59 63 65 67

43 45 47 49 65 7

,

75 77 81 83 85 91 97 99 1 o3 1 o5 m 117

77 79 81 85 87 95 119 121 i25 127 i35 137 1 3g i43 \l\~i i5i i53 157

97 i63 i65 167 169 175 177 181 i85

ig5 197 199 201 221 225 23i 233

25g 263 271 273 275 281 289 291

3i5 3i 7 325 33i 333 335 343 347

3 7 3 375 38 1 385

187 189 191 ig3

243 2 /

|5 249 255

2g5 2g7 3og 3n35 1 35 7 36 1 363

4o8 i 7 il 19 25 "»I 102 408 1 2 3 25 35 3 7 41 49 53 55 5g '61 65

3 7 4' 5-3 47 49 55 71 77 83 91 g5 101 io3 109 1 1 3 121 127 1 33

6i 65 6 7 77 79 «01 i3g i43 147 i49 i5ï i55 i63 167 16g 17g 181 2<)3

io 7 109 1 1 3 1 1 5 121 in 209 211 2i5 217 223 233 235 247 25i 271 277 283

i33 i45 149 l69 J75 lSl 2g3 3oi 3n 319 329 335 34i 36

1

365 3 77 379 38g

Ï9 1 J 99 3g5 397 !\§\ 4°3

\ I 2 1 3 9 » i3 17 io3 206 1 7 9 i3 i5 17 19 23 25 29 33 4 1

25 27 29 3i 33 35 4g 55 5g 61 63 67 81 83 91 g3 g7 io5

39 4i 43 47 49 5i 107 m 117 ng 121 129 i3i 1 33 i35 137 i3g i4i

61 67 71 7 5 81 87 i4g i53 i55 i5g 161 i63 167 169 171 175 177 i85

93 95 97 99 io5 n5 ig5 201 203

117 121 123 127 129 i33

i37 14, i43 147 i4g i5i

i53 161 169 i'83 i85 187

19 1 J 99 201

104 = 26 a 2

2IO 1 i3 23 41 53 5g io5

(suite p. 171)

420 1 11 i3 19 3i 4 X 43 47 53 57 71 73

TABLE II. — DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

(§)=, *-->,..

D.

-w, (=2);=-.:

OO

210

X. a X.

* 7 3 79 89 97 I01 Io3 io5 420 -{- 83 89 97 101 109 1 1 3 121 127 1 87 1 89 1^3 157

(suite) i63 167 169 T79 191 197 199 209 227 233 23g 247

269 271 289 3i3 317 3î 359 36i 383 391 397 4o3

424 1 3579017 19 21 25 27 35

45 47 49 5i 57 61

63 67 7 5 81 83 85

89 g5 97 101 io5 109

n3 119 121 i25 i33 i35

i3g i4i ï4 3 *47 *53 157

169 171 173 175 179 181

i83 189 199 201

106 424 1 5 9 11 17 21 28 25 3i 39 43 4^

49 55 57 59 61 73 79 81 85 87 89 91

97 99 101 io3 io5 107 109 m n3 n5 121 128

125 127 i3i 1 33 1 4 ! i5i i53 i55 157 i63 167 i6<j

173 181 187 189 191 195 201 2o3 207 211 2i5 219

225 227 23i 23g 241 245 247 249 253 259 263 275

2-7 279 281 285 287 289 295 3o5 307 829 33 1 S'il

347 349 35 1 355 35 7 359 36 1 3 7 3 377 383 387 3893gi 3g5 3 97 4o5 409 4n 417 421

1^ 1 7 9 i3 i5 25

29 3i 33 3 7 41 43

49 5i 53 55 57 59

61 63 67 69 71 81

85 89 91 95 101 io3

io5 n5 117 121 127 i3i

1 35 137 139 141 i49 '67

169 t 7 5 179 187 191 198

ig5 197 203 209 211

107

108 = 3^ 2

21

1

1 3 9 11 18 19 23 25 27 29 33 35

37 39 4 1 47 49 53 57 61 69 75 79 81

83 85 87 89 99 101 io5 ni 117 119 121 123

137 14 i i43 i47 '49 '5i i55 1 59 i63 169 171 i83

'9 1 i97 '99 2 <>7 309

2l8 1 3 5 7 91321 25 27 29 3i 35

43 45 49 61 63 71

7 3 75 81 83 87 89

9 3 97 io5

109 436 1 5 9 11 19 21 28 25 29 39 45 47

49 5i 55 59 61 67 78 79 81 89 91 9.)

95 97 99 io5 107 m 1 1 3 n5 119 121 123 125

127 129 137 i3g i45 i5i 157 i5g i63 167 169 171

173 179 189 rg3 195 197 199 207 209 2i3 219 221

225 23i 233 235 245 249 25i 253 255 25g 261 271

275 281 283 287 289 2g3 295 3oi 3o3 3o5 3ig 333

335 349 35i 353 35g 36i 365 367 3 7 i 3 7 3 3 79 383

3g3 3g5 3gg 401 4°3 4°5 4°9 4'9 4 2 * 4 2 3 4 2 9 433

440 1 9 17 21 23 29

37 39 43 47 49 53

57 59 61 73 79 81

83 89 91 93 101 io3

107 109 123 i33 i4g i5i

i53 157 169 179 189 193

201 207 2i3 217

1 10 44o 1 3 7 9 17 19 21 27 29 3i 37 3g

5i 53 57 61 63 67 71 7 3 81 87 89 9 3

101 109 m 119 127 i3i i33 i3g 147 i49 i53 157

Ô9 i63 167 169 171 i83 189 191 198 199 201 2o3

207 211 2i3 219 233 243 259 261 263 267 279 289

299 3o3 3n 317 323 327 333 387 343 349 357 36i

371 38i 393 897 3gg 4oi l\\~) 4 2 7

M 4 1 5 11 17 19 j5

29 3i 43 47 49 55

71 73 79 83 85 89

91 95 io3 107 1 i 3 121

m

(suite p. 172)

222 1 5 7 17 23 25 29 35 49 5g 67 78

85 89 n3 n5 119 121 125 127 i3i i3g 1 43 i45

i5i Ô7 161 167 169 175 179 181 191 2o3 209 211

TABLE II. DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

(5)- 1, ^--\)r\

D.

-°r. (^)=-

Poo

uC.

U3

QO

X.

444 Ihl25 i45 i55 i57 161 i63 m169 181 187 199 209 3l5 (suite)

1 1 2 = 7 a-

226 I 7 9 n i3 i5 1.3 452 4-1 3 9 i3 19 20 25 27 35 39 4 1 43

25 3i 4i 49 5l 53 47 49 53 55 57 59 61 67 69 71 75 77

57 61 63 69 77 81 79 81 85 97 io3 io5 107 109 117 119 121 123

83 85 87 91 g5 97 129 14 1 i45 i47 J 49 J 5i i55 1 07 159 i65 167 16g

99 io5 109 1 1

1

173 177 179 i83 1 85 187 191 199 201 2o3 207 2i3

217 223 225 23l 233 237 24l 243 247 255 257 2.5g

263 271 277 289 291 299 309 3i3 3i5 317 3ig 32i

3 25 32 7 33 7 34i 35 1 353 357 359 36i 363 365 36g

379 387 389 097 401 4°7 4'5 4'9 42r 4 23 ^ 3i 4 3 5

43 7 441 445 447

456 1 5 7 11 i3 25 "4 456 1 5 i3 23 >5 3i 07 4' 4 3 47 4î) %35 07 4 1 49 55 65 65 73 77 79 89 101 io3 107 109 1 1 3 1 1 5 1

i

9

C 7 71 73-77 83 89 121 125 127 1 39 149 i5i i55 i63 169 179 181 i85

9 1 1 1 109 1 1 3 121 125 187 Kjl 197 203 205 2l5 223 227 235 239 2/|5 257

i3i i43 149 167 169 i 7 5 263 281 283 289 295 299 3 1 1 3i3 3ig 325 359 365

181 i85 197 199 2o5 211 37 i 37 3 385 389 395 4oi 4o3 421 427 439 445 44g

46o 1 3 9 11.17 i-9 n5 230 1 7 9 17 29 3i 33 3 7 39 41 43 4g

27 •«, 33 37 4i 47 53 57 5g 63 67 71 81 83 97 101 io3 107

49 5i 53 57 79 81 1 1 3 119 121 j3i i3 7 i3g 1 4 1 iri> i5i i53 157 169

«7 9 1 97 99 I01 1 1

1

179 i83 2o3 209 211 217 219 227

n3 121 123 127 137 141

i47 i53 r 57 i5g i63 167

16g 171 187 191 199 209

217 223

116 == 29a 2

117 = i3« 2

4 7 2 1 3 9 i3 17 *9 118 4 7 2 1 7 9 11 i3 i5 17 25 37 4i 43 4g

23 25 27 3i 35 3 7 57 61 63 67 69 71 77 79 81 83 87 gi

39 41 47 49 5i 55 g3 g5 99 101 io5 109 n5 117 1 19 121 127 1 3

1

57 61 69 75 77 81 i35 137 14 1 1 43 i45 i4o i-53 i55 i5 7 i5g i65 167

93

ni101 io3 io5 107

117 121 123 137

109

i3g

169 173 175 179 187 ig3 ig5 igg 211 21g 221 223

225 227 22g 235 23g 241 255 257 25g 263 265 267

141 i45 j4 7 149 i5i i53 26g 2 7 i 2 7 5 281 283 287 289 291 3oi 3og 3n 3 2

1

i5 7 i63 i65 169 171 i 7 3325 333 33g 343 34 7 34g 35g 36. 1 365 36g 375 383

i83 191 193 2o3 207 2l5 387 3g 7 3gg 407 417 419 421 425 427 433 437 43g

221 225 229 23 I 441 443 445 449 45i 453 467 469

476 1 5 9 11 19 23 Il9 2 38 1 3 5 9 i5 25 27 3i 4 1 4 3 45 53

2 5 3 9 4 1 45 47 53 61 67 73 75 81 g3 g7 121 1 23 i25 127 12g

55 59 61 71 73 79 (suite p 173i i3i i35 i3 7 i3g 1 43 i4g i5i i55 i5g i67 169 i 7 3

DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

s?- Dr*.

5o8

h 81 83 87

99 io3 107

i25 129 1 87

171 17a 181

207 209 2 1

1

29

47

63

9»

ir»3

i33

161

9 n35 3 7

49 5i

67 69

93 95

d3 1 15

i35 137

iG5 167

189 195 211

225 227 23 £

1 7 17

29 37 49

61 65 67

89 101 107

i33 i3 7 i43

161 169 170

2i5 233 235

1 3

21 23

4, 43

61 63

81 83

117 119 1

145 147 149

157 161 i65

177 i83 189

209 219 221

239 243 249

9-5

1 1

1

i 95

223

13

39

53

/^

97

"9109

169

2l3

23 7

19

53

73

"9'49

i99

241

9

2 7

5i

69

9^

123

i5i

167

J 97

223

93

n51 63

201

225

21

4*

57

81

99121

i55

I7 3

217

239

23

55

79121

i5i

203

97

121

169

2o5

235

25

43

59

85

10

1

I2 7

,5 7

181

221

25

59

83

i3.

: 55

21

1

I 5 i3 25 29

49 65 67 71 77

89 97 io3 109 1 1

3

i3

3 7 3 9

55 59

7 3 7 5m 1 1

3

129 i3g

i53 i55

169 175

201 20

225 235

"9(suite)

3o<r

21 = a'

122

i2l\ — 01 a

125= 5rt-

126 = i4<?

127

2 38

i\G

254

21 120 12'

128= lœ129

(suite p. r

5i6

d^, m179 l8l l83 191 199 201 205 209 2l5 219 2 25 22'

1 3 7 9 19 21 23 25 27 29 3 t 3 7

4i 49 53 55 57 63 65 69 71 73 75 79

81 83 85 87 93 97 101 107 m 1 1

3

121 123

i3i 1 33 1 37 i43 1 47 '5i 157 i5g 161 i,63 i65 169

171 173 175 179 181 187 189 191 195 203 207 2l3

2i5 217 219 221 223 225 235 237 241 243 249 255

257 259 261 277 279 283 287 289 291 295 3o3 3n321 333 335 339 343 34 7 349 353 359 36

1

363 369

371 373 379 383 385 38g 393 397 399 4n 4a 1 429

43 7 441 443 4'.5 449 453 455 47' 473 47^ 477 483

1 ii 17 25 29 3i 35 37 43 47 49 53

61 65 71 73 89 91 95 101 io3 n5 121 127

1 33 137 i3q ï/|g 161 i63 167 169 179 187 191 223

227 233 23g \\ 1

1 9 11 i3 i5 17 19 21 25 3i 35 37

41 47 49 Gl 69 7* 7 3 79 81 8 7 99 io3

07 n3 n5 117 1 2 1 129 i3i i35 (43 i/

|5 149 i53

57 i5g 161 i63 i65 169 171 »77 J 79 ,87 ,89 I 9 I

195 197 199 20I 2()3 209 211 21 5 22 1 2 25 227 23 1

247 249 25l

1 5 7 11 i3 19 23 25 29 35 47 49

55 59 65 77 83 89 91 95 97 107 109 n3n5 121 i25 i33 137 i43 i45 i49 i5i 161 i63 167

169 175 181 193 199 2o3 209 211 223 229 233 235

74 TABLE II. DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

Po

œ- 1

,

X.

ï)y\

]>.À.j

X.o

129

(sui'rcj

5 16 >3g 245 247 25i 253 257 275 289 2g5 29g 3 1 1 3 19

325 32g 33 1 337 343 35g 36 1 377 385 38g 3g7r\i3

4i5 43i 437 443 445 449 455 463 475 479 485 499

520 ± i 3 7 9 11 19 i3o 520 1 9 21 23 3 1 33 49 î 53 57 67 71

2 I '1 33 43 47 49 73 77 81 83 87 97 io3 109 m ng 121 123

53 57 5g 63 7 3 77 127 12g 1 3 1 1 33 137 i3g 1 4 1 1 49 '5i l0 l JD>3 173

79 81 97 99 107 109 177 179 i83 187 189 ig3 2o3 207 209 211 227 229

121 129 i33 i3 7 >4.i «4ï 287 239 25i 25g 263 267 271 277 279 287 289 297

'49 i5 7 i59 167 171 i 7 3 3oi 3o3 307 3ig 32i 323 329 33g 34g 353 35g 36i

*77 189 191 190 i99 20g 36 7 3 7 3 407 4'3 4i9 42i 427 43i 44i 45i 4^7 4^9

21 9 223 229 23l 237 243 461 473 477 479 483 49 l 4g3 5oi 5o3 5og 5i3 517

52 \ i 5 9 l3 19 21 i3i 262 1 3 5 7 g 11 i3 1 5 ,21 25 27 33

23 25 3i 33 41 45 35 3g 4i 43 45 4g 53 55 5g 61 63 65

47 49 5i 53 61 65 75 77 81 8g gi gg îot io5 107 10g n3 117

«7 7 1 77 79 81 83 121 i>3 125 12g i35 i43 i47 J 5i i5g i65 167 16g

37 89 95 101 io3 io5 i-5 177 17g i83 18g igi ig3 ig5 »o5 211 2i5 >25

109 1 1

1

1 1 3 n5 117 ùg 23 1 233 23g 243 245

121 125 127 129 ,39 i55

i63 i65 169 171 177 187

189 , 9 3 199 203 2o5 207

219 223 225 227 2 33 j35

245 2 47 25i 255 25g

i32 = 33 a3

266 1 3 9 ll i3 23 i33 • 53a 1 g i3 i5 25 33 4 1 47 5i ' 55 67 6g

25 2 73i 33 39 41 71 7g 81 83 85 87 89 g3 97 107 m n5

43 59 69 7 5 81 85 117 121 127 12g i3i i35 137 13$ i45 i4g i5i i55

89 93 97 99 io3 117 i5g 169 173 177 179 181 i83 i85 187 ig5 197 19g

121 123 129 211 2i5 21g 225 233 241 25i 253 257 26a 269 271

277 283 28g 2g3 2g5 >g7 3o3 3o5 3og 3n 3n.

32 7 33 1 33g 34i 365 367 36g 375 379 38g 3gi 407

4<»g 419 423 42g 43i 433 457 45g 467 471 4 7 3 4 7g

487 48g 4g3 49^ Soi 5o3 5o5 5og 5i5 52 1 527 52g

536 I 5 7 9 i3 17 ÏZ\ 536 1 3 5 g 11 i3 i5 17 23 25 27 33

19 25 3i 33 35 45 3g 43 45 47 49 5i 53 55 61 65 6g 71

49 53 59 61 63 65 73 75 81 85 8g 99 10 j io3 109 n5 117 121

69 73 79 81 83 85 i25 127 129 1 33 i35 i3g i4i i43 i47 l^ 1 I^ l $4

87 89 9 1 9 5 101 107 i65 167 169 179 i83 187 ig3 19.) 197 19g 2o3 207

109 1 1

1

117 119 121 123 2l3 21 5 217 2ig 221 223 225 22g 235 24l 243 2'j5

125 129 i3i t 33 i4i i53 25 1 253 255 257 25g 263 265 267 275 287 28g 2g7

i55 i63 i65 169 171 i 75 2gg 3o3 3o5 3og 325 327 33i 345 :'>\-j 35i 355 35g

*9* i 9 3 197 211 2i3 217 36 1 363 365 3 7 3 37 5 3 7g 38 1 387 3gi 3gg 4o5 4i3

22

1

225 227 229 23 1 23g (suilc p. 175) 4,7 423 ',25 439 43l 4 39 44l 4 /, 3 4 4 r> 449 453 457

TABLE II. — DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

(-) = 1,-2_ Dr2

. *H-Vy\ (-#)='\xj

]).

_J J

a x. Q X.o O

536

S

±241 245 247 253 257 265 i34 isuil<>) 536 +459 47.3 477 479 4g5 499 5oi 5<>5 .307 5i5 5i 7 52g

i.35= i5a 2

i36 == 34à2

274 1/ 9 !I l5 l l ,3 7 54S 1 3 9 17 23 2.5- 27 3i 35 37 43 'i7

J 9 25 :i 7 3g 4g 5g 4g 5i 55 61 65 67 69 71 73 75 77 79

61 63 65 6g 7 3 77 81 83 91 g3 g5 101 io5 109 m 121 127 129

81 87 g3 99 loi io3 i3i i33 141 i43 i4^ *47 Ï53 i63 i65 169 i 7 3 179

io5 107 109 Il5 119 13 1 i8x i83 191 ig.3 1 9.5 197 199 301 3o3 2o5 307 20g

123 t2g i33 1.35 2l3 2ig 223 225 237 2.3l 237 23g 243 2^7 2/

jg 2.3l

257 :>65 27 i 27.3 279 >8i 285 387 389 2g3 2g5 3o3

3o 7 3 i3 3i5 319 327 33 1 333 337 35g 36 1 363 371

373 377 38i 387 38g 3gi 39-3 397 3gg 4°9 4*3 V'*

425 429 43i 433 435 44-1 445 449 4ôi 4>9 46i 463

485 4^9 49 1 49^ J°3 5o 7 5og 5i5 5ig 527 529 533

535 537 54i 543

552 1 J7 19 35 29 3. i38 55 3 1 7 11 17 35 29 .37 47 ',g 61 65 71

35 37 43 4g 55 5g 73 77 79 83 89 g5 101 io3 107 109 n3 119

61 65 67 7 3 77 89 121 137 i3g 1 .35 i57 1 63 167 i63 173 17.3 181 187

9 1 IOI 109 1 1 3 121 1 37 19.3 197 199 2o3 3o5 311 3i5 337 229 2.3g 247 23i

i3i x37 i(3 i5i i57 16g >5() 265 26g 375 281 289 295 307 3 1 1 317 3ig 039

«73 *79 181 191 19.3 197 33 1 335 343 36 1 367 37.3 401 4°3 4°7 4°9 4 '9 4 '•'

>o3 223 229 2 35 26.) 265 V'3 V; '»"»•'\Cn 1 G 7 4 S ">

'i9 3 '\ {M \\)\) 5o9 5l1 :>I 7

269 271 53i 533 539 547

556 1 3 5-9.1 3 1

5

1 3g 378 1 5 7 9 11 1 3 >.') 2g 3i 35 37 \ \

»9 23 2.3 27 29 37 'i> 47 49 ôl 55 57 63 63 67 6g 7 i 77

% + r 43 45 4g 57 7g 81 8.3 89 91 99 107 ii3 117 i3i i>,3 127

&9 65 6g 75 77 81 12g i3i i3.7 i'j.3 i45 i53 i5g i63 i6 7 169 173 i 7 5

8: 89 g5 io3 ni n3 177 181 1 83 18.3 191 19.3 2o3 2o5 317 219 225 235

1 15 Il 7 Iig 121 12.3 13.') 23g 343 3.3 1 2.35 257 2.3g 261 268 270

129 1 35 i.3 7 i45 i4 7 i5i

169 I 7 I 17.3 177 i 79 181

i85 187 19.3 i 95 199 2ô5

207 21

1

2l5 317 223 22.)

.,.,_ 23 I 3|3 245 347 2.")7

261 267 271

i4<) = 35 à?

282 1 5 7 II 2.3 20 •4* 564 1 5 19 35 2g 3i 3 7 \i 43 49 >9 '•'

2 9 35 3 7 41 49 55 6 7 7 1 77 83 9 1 95 97 " 3 ]I 9 I?I'

,:> li l

61 77 79 97 io3 107 i.'ii 1

3

7 i.3g i43 i45 i.3i i55 i57 161 1 63 169 i85

n3 1 15 121 13) I.37

(suite p. 17G)

187 igi 199 30.3 3ii 2i5 221 223 233 2.39 241 245

2.3i 3.33 357 263 377 281 289 2g3 2g5 >gg 3o5 3i'7

335 33 7 347 355 36i 367 3 7i 383 385 38g S91 397

176 TABLE II. DIVISEUBS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

:.)l . --— )y1.

D.

w , (=*) = ,.

w

Q©

.r.

w-J

QO

X.

*4* 564 -4-41 3 431 449 455 457 461 463 475 4 79 485 491 499(suiltM 5og 5n 529 54i 547 55 1 553 557

568 ± 1 3 7 9 ,3 i 9 t42 568 1 9 11 i3 i5 21 2.5 35 49 5i 53 57

2

1

2.) •>5 :>

7 3, 3g 59 61 67 69 73 79 81 85 87 89 93 95

43 4: 49 53 55 57 99 io3 m n5 117 119 121 12.3 129 1 33 1 35 i3g

61 63 69 73 75 8. i4i i4 3 ! 4 J ^9 T 5i 1 5.5 161 i63 i65 167 169 170

83 85 ^9 9 1 93 107 181 i85 189 191 195 197 139 2o3 2o5 211 2i5 217

117 121 l2 7 l29 i3i i33 223 22.5 227 23i 233 235 249 259 263 269 271 273

iîi 1 '| 5 '47 "49 1 5g 161 >-5 283 287 289 291 3oi 3o3 307 3n 3i3 3i5 3i 7

165 169 171 i 7 3 J 73 J 79 32i 323 325 32 7 3> 9 33i 33g 34 7 349 359 36i 367181 i83 i85 187 lS9 *97 375 38 1 385 389 3g 1 3g3 397 409 4 11 4*^ 4 21 43

1

2o5 207 2i.7 !, 9 225 2 33 Î37 44» 443 455 45<)'

fGi 463 46 7 471 477 485 491

2 39 243 >'\: 249 25 1 2 55 ')().> 5o3 5o5 5i3 52i 52.3 5>5 527 529 53 1 5.35 5.37

267 269 273 27;, 539 54i 545 549 55 1 56 1 563 565

572 I 9 i5 21 2 5 3i l43 286 1 3 7 9 19 21 23 25 27 4 ! 49 53

35 4i 43 47 49 :>1 57 63 69 73 70 81 83 85 io3 109 n3 123

53 57 5g 67 69 71 1 33 i45 147 1 49 l

'

)l 1)) r ^7 '^9 161 167 171 175

73 79 Si 85 87 95 179 181 i85 189 191 193 197 199 207 210 219 225

107 109 m 1 1

3

1 1 5 119 227 235 2.3g 241 243 249 25i 255 257 269 271 281

127 i3i 1 33 i35 i39 i45

»49 i5 7161 i63 181 i83

i85 189 J 9* 3 *97 2()3 211

223 225 241 249 257 259

263 267 269 279 281 283

i44 = «2

290 I 3 9 J 7 27 3 7 145 58o 1 7 9 11 17 19 »3 3i 37 39 49 63

43 47 4g 5i 59 7" 6 7 7 3 77 79 8l 83 97 99 Io3 I0 7 I09 II3

7 3 77 81 91 97 I09 119 121 123 129 i3i 1 33 137 i4i i49 I,r>3 157 i5g

1 1

1

n3 121 127 129 t33 161 167 169 171 177 181 i83 187 191. ig3 207 209

i3 7 i39 141 i43 >;i 2 1 3 217 223 227 241 25i 253 2,39 267 271 273

279 281 283 289 29.3 3o3 3n 317 323 33i 333 337

34i 343 347 349 35 1 359 36i 379 38i 383 3gi 4GI

407 417 429 433 437 4'm 453 463 469 479 487 489

• 49 1 5og 5n 5ig 52i 523 527 52g 5.33 537 53g 5^

-

553 559 567 577

584 1 5 9 " i3 21 1-46 584 1 3 5 7 9 i3 i5 19 21 a5 27 29

2.3 25 29 41 43 45 3i 35 39 4 1 4^ 47 49 53 57 63 65 67

49 5i 53 55 57 5g 7 5 77 81 87 89 91 ()3 g5 97 101 io3 io5

65 7 1 77 79 81 83 117 121 123 125 i33 i35 137 i4i i4^ i4t 1 ^ 1 r ^5

89 93 97 99 101 io5 157 i5g 167 169 171 17.5 187 189 191 ig5 197 199

107 1 11 1 1 5 117 121 12 3 201 2o3 2o5 211 217 225 227 229 235 239 243 245

l2n/

1 3

1

i33 i3 7 i39 14, (suite p 177) 247 25i 253 257 261 263 265 267 271 273 277 279

TABLE II. — DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES. 177

©.== 1, X)y\

D.

't1* (^) = -

PS

584

x.

WJPOOS

X.

±143 i45 1')- i63 169 «79 146 584 +283' 285 287 289 291 3o9 3i5 325 329 335 343 347i83 189 «97 201 205 207 (suite) 35r 353 36i 363 36g 371 375 377 391 3gg l\oi 4<>3

2l5 217 223 225 229 23l 4o5 407 4 11 4 x 9 4? 1 4^3 43i 435 44 1 445 453 453

245 253 2 55 25 7 2 59 261 457 4^5 469 47 1 473 47^ 477 483 499 5°« 5o5 507

265 273 270 277 285 289i4 7 = 3 a 2

i48 = 37 a2

5i3 5i5 523 525 529 533 54i 547 55 1 56i 567 573

298 1 5 7 9 l l «9 «49 5g6 1 3 5 9 11 i5 17 23 25 27 29 33

2 5 29 3i 33 35 37 37 43 45 49 5i 53 55 59 61 69 71 73

39 43 47 49 53 61 75 79 81 83 85 87 91 99 m n3 n5 121

63 67 69 73 81 85 125 129 i3i i33 1 35 139 i45 147 i5i i53 i5g i63

93 io3 107 n3 "9 121 i65 167 169 173 177 i83 i85 187 199 207 211 2i3

r2.) 125 127 129 i33 «43 2i5 217 219 223 225 227 229 237 239 243 245 2 47

i45

1 5o = 6 a*

249 253 255 261 265 269 271 273 275 281 283 287

289 293 295 297 3o5 3n 317 319 329 333 337 339

345 355 36 1 363 367 373 387 3gi 3q3 3g5 399 4ch

4o3 4o5 407 4 ! 5 4n 421 4 2 5 435 439 44 r 453 455

459 4^9 47 3 477 479 487 489 49 r 493 495 499 5oi

5o3 507 5ig 529 53i 533 53g 54g 555 557 56i 565

57 5 577 583 58g

604 1 3 5 7 9 i5 i5i 3o2 1 5 9 11 17 19 21 25 29 3i 37 3g

«7 21 23 25 27 29 43 45 4 7 49 55 5g 69 81 85 91 95 9735 37 45 49 5i 63 99 io3 io5 121 i23 i25 127 137 i3g i45 i53 i55

G7 69 7 17 3 79 81 i5g 161 167 169 171 173 i83 i85 187 189 191 ig3

83 85 87 97 io5 107 ig5 201 209 2i3 2i5 219 223 225 227 229 23l 235

1 1

1

1 15 ««9 1 2

1

125 i3i 237 23g 241 245 249 25i 261 267 269 275 27g 287

i35 i3 7 i43 i45 '47 i53 28g 2 95 2 9g' 161 i63 x69 , 73 i 7 5 '79

i85 i83 193 «99 201 200

207 209 211 2l3 225 229

237 241 243 245 247 249

255 259 261 263 269 271

283 289 291

i52 = 38a'

i53= 17 à1

616 1 3 5 9 i5 J 7 154 616 1 5 g 17 19 25 2g 3i 39 4i 45 4723 25 2~> 29 4i 43 67 6g 73 7g 81 83 85 g5 io3 10g 11 1 n345 5i 59 69 7 1 73 125 127 12g i3i 137 i3g i45 i4g i5i i53 i55 157

7 5 81 85 87 107 109 i5g i63 16g 171 177 17g 181 i83 ig5 ig7 igg 2o5

n3 1 15 123 125 129 i35 2i3 223 225 227 22g 235 23g 241 261 263 267 26g

i.37,'

f5 «49 1.53 i57 167 (sniîe p. 178) 277 27g 2S3 28g 2gi 2gg 3o3 307 3n 32 1 323 33i

KRAÏTCIIIK.

178 TABLE II DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

w

X.

1).

X.o

616 ±169 177 181 191 197 20.") 154 616 335 345 35 1 35q 36 1 365 067 369 373 379 383 3g5

207 211 21 3 2i5 219 2 25 (suile) 397 401 4°5 4°9 4*5 42 3 42 5 43i 443 449 47^ 4® 1

229 24l 243 247 2.5l 2.').") 4q3 499 5oi 509 5i5 519 52.3 527 529 541 545 55i

261 269 271 277 289 29.") 555 557 559 563 565 573 579 589 5g3 601 6o3 61

3

620 1 7 9 11 i3 17

37 4i 4/ 49 53 5 7

63 67 69 73 77 79

81 87 91 99 101 io3

IO7 IO9 117 119 121 129

1.37 i3g i43 i49 ï5i i53

i63 169 177 179 i83 187

197 199 2i3 221 227 239

249 231 289 267 271 277

281 283 287 289 291 307

1 55

1 56 = \\^<i'1

3io 1 3 9 i3 17 19 2.3 27 3 7 39 4.1 43

49 5i 53 57 5g 69 71 7.3 77 81 83 101

109 ni 117 121 123 127 129 i3i 137 i47 *49 *53

1)9 167 169 171 177 191 197 2o3 207 211 2i3 219

221 223 2.3i 243 247 249 26.3 277 281 289 299 3o3

3,4 1 3 9 11 i3 17

19 25 27 3i 33 3)

37 39 47 49 5l 57

67 71 7.5 81 89 93

99 101 100 107 m n31 1.5 117 121 127 i4i i^3

i45 1.47 i53

107 628 1 7 9 i3 i5 17 23 2.5 33 37 43 49

55 57 59 63 79 81 83 .87 89 91 9.3 9.5

101 io3 io5 107 109 1 1 3 117 119 121 i23 i3i i35

1 39 1 4 r i45 i5i i53 i55 159 161 i63 169 17.3 i-5

179 i83 191 193 195 197 201 2o5 207 209 211 2i3

219 221 223 225 227 23l 233 235 25l 255 257 25;)

265 271 277 281 289 291 297 299 3oi 3o5 307 3i3

317 3 19 325 333 335 34i 343 345 349 353 355 35g

36i 365 367 3 7 5 3 7g 38i 383 385 387 38g 3gi 3gg

4n 4 T 3 42 5 4 29 43g 44 1 443 447 45i 457 461 463

471 479 48 1 4^5 49 1 4g5 499 5oi 5o3 5i3 517 53i

543 55i 553 555 557 55g 56i 563 56 7 5 7 5 577 58

1

583 587 58g 5g3 5g7 5gg 601 607 60g 617 623 625

63a 1 7 9 11 i5 19

2J 29 37 39 47 49

5i 53 61 63 65 6 7

69 71 7 3 77 81 83

85 89 98 97 99 io3

io5 109 1 i5 121 123 127

129 i3i i33 i35 149 1 55

157 i63 i65 169 171 173

i 7 5 177 179 191 197 199

203 205 209 2l5 221 225

229 24l 257 25g 261 271

2 7 3 27 5 281 283 285 289

293 295 299 3o3 3 1 1 3i3

i.58 632 1 3 g 23 25 27 29 3i 35 37 43 49

53 55 5g 61 65 6g 7 3 7 5 77 81 85 87

89 9 1 93 g5 97 io5 107 10g 111 11g 121 129

i33 i3g i43 147 «49 *5i l ^l x 5g '^5 167 16g 173

177 i83 187 ig5 197 2o5 207 209 211 219 221 223

225 227 229 23i 235 23g 241 243 247 25i 255 257

261 263 267 273 27g 281 285 287 28g 2gi 2g3 307

3i3 3i5 32i 3a3 327 32g 33i 333 335 33 7 34g 355

35 7 36 1 363 367 3 7 3 379 383 38 7 3gg 4i5 4»7 4'9

429 431 433 439 441 443 447 45i 453 457 461 469

471 477 479 48 7 49 T 4g5 497 5oi 5o5 507 5og 5i5

5i 7 5ig 52g 53i 533 54g 56i 565 56g 575 58i 585

587 5gi 5g3 5gg 611 6i3 6i5 617 619 621 625 627

636 i 5 ii i3 19 25 i.59(suite p. 17)9

3i8 1 5 7 i3 23 25 35 3 7 /M 43 49 65

TABLE II. DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES. »79

S)-.z 1— Dy-.

D.

' *+*»,

> (^H'

X. 3Q X.

O O

636

S

=h 3i 3 7 4i 47 49 5.) i59 3.8 -+-7

1 83 91 97 ïoi 1 1 5 121 125 137 161 i63 167

5g 65 67 799'1 97

isuilc) 169 178 175 179 i85 187 191 199 2o5 209 211 :m 5

ioi io3 107 119 121 125 223 229 233 23g 241 245 25i 257 25g 263 271 287

127 1 3

1

«37 i3g i43 i5i 289 299 3oi 307

i55 161 169 i 7 3 i85 2o3

2o5 209 227 229 233 235

241 245 247 257 275 283

289 295 3oi 3n160 = 10« 2

322 1 5 9 n *$ 25 161 644 I 3 5 9 11 i5 17 25 27 29 3 1 33

29 33 39 45 61 7 1 43 45 47 $1 55 ^9 î 67 75 79 81 85

81 83 85 89 93 9 5 87 89 g3 97 99 107 121 i2J 129 i3i i35 i3g

: 97 io3 III 1 2 1 123 I2D »4i i45 i53 i55 157 i65 167 169 177 181 i85 187

I27

I >g »4i 1^3 i45 l5l J 9 r 193 197 201 2i5 223 225 229 233 235 237 241

i 53 i5 7 ,59 *43

293

359

43i

493

247 255 261 263 267 271 275 277 279 289 291

295 297 3o5 307 3n 3i3 317 3ig 32 1 335 34

1

36i 363 375 379 387 393 3g5 l\ob 4 «7 4 2 3 4 2^

433 435 ^3g 445 44g 45g 465 4 7 i 4 73 481 485

4g"> 5oi 507 517 52i 527 53i 533 535 541 543

-

l6j : = l(f

S49 56 i 571 573 5 7g 587 5gi 6o3 6o5 607 6ï5 63i

65 2 1 3 7 9 « «9 i63 3>() 1 g i5 21 25 33 35 3g 4 1 43 47 4g

21 23 25 27 3i 33 5i 53 55 57 61 65 6g 71 77 81 83 85

4* 49 53 5 7 09 61 87 gi g3 g5 g7 11 1 n3 n5 ng 121 i3i i33

63 65 67 69 75 77 i35 i43 i45 i5i i55 161 167 16g 17.) 177 179 i85

79 8l 85 93 97 99 187 189 197 igg 201 2o3 20g 217 21g 221 223 225

io3 107 n3 121 123 127 227 237 247 25i 2j3 259 263 267 281 28g 2g5 2g7

i33 139 145 i47 i5g 161 299 3o3 307 3og 3i3 3 1 5 3 19 32i 323

169 171 i 7 3 i 75 177 i83

i85 189 19 1 *& «97 201

207 209 211 2i5 217 221

225 23l 235 237 239 243

2 53 255 271 2 7 5 279 281

283 287 289 291 297 309

3it 3i3 321

164 = 4ia-

33o 1 7 i3 23 >9 3i 1 65 660 1 i3 ig ag 41 ',9 53 5g 67 71 73 7g4i 43 47 49 53 73 83 ioi io3 107 n3 ng 137 i3g 1 49 J 5i *6i l() 3

91 IOI 1 12 127 l3l i3 7 i0- 169 179 181 191 ig3 an 217 2 >3 227 22g. 247

«49 lGl

isuiie p. 180)

201

537

f&7

257 25g 263 271 277 281 28g 3oi 3n 3 j 7 02g

347 353 36i 367 373 377 3gi 4*9 4 21 42 7 43g

461 463 487 5o3 527 52g 533 55i 563 56g 571

l8o TABLE II. — DIVISEURS I INEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

(?H *r-D.

a,-;.!*., (=£)*..

.

W wJ

57. a X.o

33o

s

i65 (suite) 660 +599 6i3 617 623 629 687 6^3 653

664 ± i 3 5 9 ii i3

i5 17 25 27 33 39

4i 45 47 49 5i 53

55 5g 65 71 75 79

81 85 99 101 io3 n3117 121 i23 i25 i3i 1 33

i35 i4i i43 i47 *4-9 J 53

157 159 161 i65 169 177

166 664 1 5 7 9 i3 17 19 23 25 3i 33 35

4i 43 45 49 53 63 65 67 81 85 87 91

95 101 107 ni n3 n5 117 119 121 125 127 1 33

i3g 141 i49 *5i i53 i55 157 161 i63 i65 167 169

171 175 177 179 181 i83 191 193 199 2o5 207 211

2i3 2i5 217-219 221 225 23i 237 241 245 247 25l

265 267 269 279 283 287 289 291 297 299 3oi 307

3o9 3x3 3i5 3i 9 3 2 3 3*25 3j 7 33i 335 343 347 353

181 187 193 195 203 205 359 36i 369 371 379 383 387 389 3gi 3g3 4oi 4°3

2l3 217 221 223 225 227 4o5 407 4°9 4 11 4 21 4 2 5 4 29 43i 435 437 44 » 4^5

235 237 239 241 243 2/(5 461 463 467 469 473 475 479 49 1 5o5 517 519 52i

255 259 263 265 269 271 527 529 533 535.54i 555 559 56i 565 567 571 575

275 289 295 297 3oi 3o3 585 587 589 5gi 5g3 5g5 6o3 6o5 607 609 61 3 617

309 3n 3i3 325 625 627 635 63 7 643 649 6$3 661

668 1 9 i5 21 23 25

29 33 35 39 43 49

5i 55 57 ôg 61 6b

67 71 77 79 81 83

85 89 9 t 9 3 95 97

io3 111 119 121 i23 i3i

1 33 i35 187 i3g i4* i43

1 5 1 i55 107 i5ç) i63 169

173 181 i85 187 189 2o5

207 209 217 219 221 225

227 229 233 235 247 259

261 265 271 281 287 289

293 297 3o3 307 3i5 317

32i 323 327 329 33i

167

168 = 42 a-

169 = a?

334 1 3 7 9 il 19 21 25 27 29 3i 33

47 49 57 61 63 65 75 77 81 85 87 89

9 3 97 99 107 n5 121 127 i33 i3 7 i_4« 147 ^7169 171 173 175 179 181 i83 i85 189 191 195 199

2o3 2o5 209 211 2i5 217 221 223 225 229 23l 233

23g 243 25i 255 261 263 >65 267 275 279 281 283

289 291 2g3 2g5 297 299 3n 317 3ig 32i 029

68o 1 7 9 11 i3 23

29 43 49 53 57 61

63 67 7 3 77 81 83

89 9 1 9 3 97 99 109

m 11 3 117 121 i23 i3i

139 i4i i43 i5i 157 161

167 169 177 181 191 193

2o3 207 211 2i3 233 237

239 253 261 269 271 281

2g3 299 3oi 3o3 307 3og

3i3 319 32i 337

170 680 1 3 9 i3 19 27 29 3i 39 47 49 53

07 59 61 71 7 3 77 79 81 87 89 g3 97

io3 107 109 n3 117 121 127 1 4 » i4t ^7 l ^9 I ^ 1

i63 169 171 177 179 181 i83 193 199 2i3 219 223

227 23i 233 237 243 247 25i 253 259 261 263 267

269 279 281 283 287 291 293 3oi 309 3n 3i3 32i

327 33 1 33 7 33y 34^ 35i 36i 363 3 7 3 377 38i 383

4o3 407 4°9 4 2 3 43i 439 44 1 4î 4^3 4% 47 l 473

477 479 4$3 489 49 T 5°7 5i3 529 53i 537 54i 543

5'|7 549 55i 557 569 579 58i 589 597 611 6i3 617

637 63g 643 647 65 7 659 669 67 3

TABLE 11. — DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES. l8l

§) = **-»>

346

696

354

712

1 9

25 29

i3 i5 21 23

3i 33 35 3 7

4i 43 47 49 5i 55

5 7 67 73 77 81 83

85 89 g5 109 n3 117

119 121 i33 i35 137 139

149 i5i 157 159 i63 167

169

1 5 11 17 23 25

3i 37 4 1 49 °3 55

67 71 79 85 89 91

n3 n5 121 125 127 i3i

i33 137 j3g 149 i55 157

167 169 173 i85 187 197

2o3 2o5 229 239 241 245

247 25i 253 265 271 275

283 289 3oi 3o5 3i3 329

335 34

1

47

85

i3i

161

19

77 791 1 3 121

23 25

49 65

89 101

i33 139 i45 149

i63 169 173 175

71 = iga-

72 = fia 1

i 7 3

'74

173

176 1 d'

Dr2,

692

696

127

i55

1 3 9 i3 17 19

25 27 29 35 37 39

43 47 49 °i 55 57

178

(suite p. 182)

708

- 1 3

3 7 39

81 85

117 121

169 171

219 223

257 25g

297 3o5

339 343

397 399

45 1 465

5og 5n553 557

6?5 627

669 67 5

1 5

53 59

i25 i33

i85 191

245 253

3n 3i3

4o3 4*3

47 5 47958i 587

665 673

7

4i

87

[23

9

49

89

127

i 7 5 177

225 229

26l 265

307 3i3

345 35i

401 4°7

4-1 475

5i3 525

563 567

63 1 63 7

677 687

7 J 7

61 83

i3 7 i43

«97 *99

259 263

3i3 329

4i5 419

487 5o3

5g5 599

683 685

11 i3

5 7 59

9 1 99i3i i33

189 191

23i 233

267 269

317 3ig

36 1 363

4n 413

48i 485

527 529

57 3 587

639 641

19 21

63 71

io3 107

i3 7 i43

r97 ?99~

235 237

271 27 3

321 325

369 377

4i5 429

487 491

53 1 533

591 595

645 647

«9

85

2 5 35

89 95

149 i5t i57

205 211 2l5

265 287 28g

33i 34i 343

421 4 2 ^ 4 2 7

5og 5i5 529

6o5 617 619

25 27

7 3 7 5

109 mi47 149

2o3 209

239 243

275 283

32 7 333

38 1 38g

439 44<

497 499

539 54i

597 599

649 655

37 4 1 43

io3 107 n3i63 169 173

223 227 229

295 299 3oi

347 35g 36i

43g 445 449

535 54t 55 7

623 625 629

29 33

77 79

n3 n5i55 i57

2l3 2l5

247 255

287 289

335 33 7

3gi 393

443 447

5o5 507

547 55i

609 623

657 661

47

"!)

i 7 5

49121

179

235 241

3o5 307

3 7 i 379

45 7 463

565 569

63i 641

I 25 3r 35 43 49 55 65 67 71 77 85

89 9 1 95 IOI io3 107 n3 n5 "9 121 i33 i43

145 '49 i5i 161 167 169 i 7 3 181 i85 187 193 203

205 209 211 221 233 235 239 241 247 25l 2 53 25g

263 265 269 2 77 283 287 289 299 3o5 3n 3ig 32 3

329 353 359 36

1

365 367 371 3 7 3 3 77 383 3gi 395

4o 1 407 4x5 427 433 437 45i 463 479 48i 485 49 ï

493 5og 5n 5i 7 529 533 545 55i 553 569 5 7 i 577

58i 583 599 611 625 629 635 647 655 661 667 671

679 685 689 691 695 697 701 7o3

1 7 9 1 r i3 i5 l l 23 25 29 3i 37

49 57 61 63 67 73 77 81 9 1 95 97 99

IOI io3 io5 107 117 "9 121 123 127 129 i3i i35

i8>. DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

3

@ = s'-D^

D.

J

.+ IV , (-^) = ..

OO

712 ± 59 61 71 7 3 7 5 77 178

a

712 4-i3g i 4 1 i43 i4o i5i 1 53 159 161 1 65 169 175 177

79 81 83 87 97 101 (suite, 179 181 187 191 195 197 2o3 2o5 207 2i3 2i5 217

io5 m n5 117 121 129 221 225 227 229 233 235 237 239 249 25i 253 255

i4t 147 i49 J 53 i55 161 257 259 261 ?.65 275 279 283 289 293 295 299 307

i63 i65 167 169 171 177 3i 9 3 2 5 32 7 33i 333 339 34* 343 345 34 7 349 355

181 i83 i97 *99 2o5 211 359 36 1 3 7 5 377 383 389 39 i 3g5 397 399 401 4o3

2l3 217 219 221 223 225 407 '409 4 1 ' 4*5 421 4 2 5 427 43i 435 439 44 1 443

229 23i 233 237 243 24 7 449 465 4G 7 4^9 47 1 48i 489 493 5oi 5o3 5n 5i3

249 253 257 261 263 265 5 19 523 527 529 539 5î 545 549 555 557 565 567

271 287 289 291 293 3o3 575 579 587 597 599 601 6o3 619 625 627 629 633

3n 3i5 3 2 3 325 333 335 63 7 6{i 643 64 7 653 65 7 65g 661 665 667 669 671

34! 345 349 35

1

673 677 679 685 691 693 707 709

716 1 5 7 9 11 .3 179 3.r)S 1 3 5 9 i3 iô 17 19 25 27 29 3

1

I 7 23 l'y 29 35 45 39 43 45 4 7 49 5i 5 7 59 61 65 67 7 5

49 55 5 7 61 63 65 77 81 83 85 87 89 93 95 101 107 117 121

7 1 77 79 8l 85 89 1 î5 129 1 35 i3g i4i i4^ "47 *49 I ^ 1 J 53 i55 161

9 1 93 99 10 1 io3 1 1

1

169 171 173 177 i83 191 193 195 199 201 2i5 221

i.5 117 119 121 12 3 125 2 >5 227 23i 235 239 243 245 247 249 253 255 25g

127 129 i3i i/|i i43 i45 261 267 279 285 289 289 295 3o3 3o5 317 32i 323

*49 i53 159 161 i63 167 .'»>5 335 33 7 347 35i

169 173 175 177 187 ic,3

201 2o3 207 211 219 221

223 225 2J5 249 25

1

253

26l 263 271 2 7 5 283 285

289 291 299 3o5 307 3nt

3i5 317 3ig 32i 3î5 32 7

33i 33 7 339 343 355

180 = 5« 2

36a 1 3 5 9 11 i3 181 724 1 5 7 9 i3 19 23 25 29 3i 33 35

i5 25 27 29 33 37 3 7 45 4 7 4 9 5i 63 65 71 7 3 81 83 91

39 43 45 49 55 59 95 101 io3 107 n5 117 i2! i23 125 127 129 1 3 1

65 67 7 3 7 5 79 81 i33 137 i45 i5i i55 159 161 i63 i65 169 171 175

87 99 I01 lir J1 7 "9 177 179 i83 i85 187 191 193 197 199 201 2o3 207

121 125 129 i33 i35 i3 7 211 217 225 229 23i 233 235 237 239 241 245 247

i3q i43 i45 147 161 i65 255 259 261 267 271 279 281 289 291 297 299 3n

,67 169 177

(suite p. 183)

3i3 3i5 3i 7 325 327 329 33 1 333 33 7 33g 343 34g

353 355 359 36i 365 373 3 77 379 383 389 4oi 4<>3

4o5 4i5 417 4^9 421 423 429 43i 437 4 39 44 1 447

449 45ï 455 4% 49 1 467 4? 1 473 ki^ 48i 497 Soi

5o3 5o5 5og 5n 5 c5 5ig 529 535 55 1 557 067 571

5 75 577 58i 583 585 58g 6o5 611 6i3 6i5 619 625

627 63 1 635 63 7 63g 645 6't7 64g 655 65 7 663 665

TABLE II DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES. IS'

(§H z"-— Dr 2

D.

,+ ,,,, (=^) = ,.

Oa:.

5GO

X.

36â 181 (suite) lA +667 669 671 681 683 685 697 703 707 709 713 719

728 ± 1 3 5 911 !.') 182 728 1 5 9 19 23 25 29 3i 33 4 1 43 45

a5 27 29 33 41 45 47 5i 53 59 73 79 81 83 89 95 97 107

53 55 67 71 7 3 75 ni n3 1 1 5 121 ia5 127 i45 i55 i65 167 171 179

81 87 89 97 99 io3 i83 187 191 201 ao5 207 211 2i3 2i5 223 225 227

1 i3 121 123 125 i3i i35 229 233 235 241 255 261 263 265 271 277 279 289

i39 i45 i5i i5g i63 i65 >()> 295 297 3o3 307 309 327 337 347 349 353 36i

199 201 2o5 2i3 219 225 365 369 373 383 387 389 393 395 397 4o5 407 4°9

229 233 239 241 243 25. 4n 4i5 417 423 437 443 445 447 453 45g 461 47'

261 265 267 2 7 5 277 283 475 477 479 4^5 4^9 49 1 5og ^19 ^ 2 9 53i 535 543

289 291 293 297 309 3n 5(7 55 1 555 565 56g 571 570 077 579 587 589 591

3ig 32 3 33i 335 337 339 593 597 599 6o5 619 625 627 629 635 641 643 653

349 353 355 359 36

1

363 657 659 661 667 671 673 691 701 711 713 717 725

732 1 7 i3 17 20 29 i83 366 1 11 i3 17 19 23 25 29 35 49 53 59

3i 43 47 49 53 55 71 73 89 97 101 io3 109 121 127 i43 i55 i63

67 7 3 79 83 89 9 1 169 173 i85 187 191 199 2o5 209 2x5 217 221 227

9^ 97 101 107 109 u5 229 233 235 241 247 2>i 253 259 271 275 281 283

119 121 i3i i.3g i5i 167 287 289 299 3oi 3n 3ig 323 325 329 335 359 36i

169 i 7 3 i 75 179 i85 203

200 209 21 1 217 221 22 3

229 2 33 239 241 253 263

281 289 29.3 Sot 307 3>5

Î2g 33i 343 34 7 355 36

1

184 ^ \( )n -

;-o 1 9 11 1 3 17 21 i85 7l<> 1 3 7 9 i3 17 19 ai 27 3i 3g 4 1

23 4i 43 49 57 7' 47 49 5i ^1 ^9 63 67 79 81 83 91 93

81 87 93 97 99 101 97 101 107 1 1 3 117 119 121 i23 127 1 3 1 1 33 i4i

io3 i 1

3

117 121 i33 i3g 147 149 i53 169 171 177 179 181 189 jgi ig3 199

141 143 149 i5i i53 I.')Q 201 217 221 223 229 237 23g 243 247 249 25i 257

i63 16- 169 177 181 18 3 263 269 273 277 279 287 289 291 3o3 307 3n 3 1

3

3u) 32i 323 329 33 i 339 3 43 34 9 35 1 353 35 7 36i

363 36 7 36g 38 1 393 3gg 4o3 4i3 423 43 1 43g 44

1

443 447 45 7 45g 46g 47 3 479 499 507 5og 5i3 5 2 i

527 52g 53i 533 537 543 553 557 567 573 577 57g

58 1 583 58g 097 601 6o3 611 63 1 637 64 1 65 1 653

661 663 667 669 671 679 687 697 707 711 717 729

ft 1 5 7 «3 17 23 186 744 1 5 11 i3 17 19 25 37 47 49 55 61

25 35 37 43 49 59 65 67 71 79 83 85 89 g5 97 101 121 iî5

61 65 85 89 91 97 127 137 i43 i4g i5i 161 i63 169 173 17g 181 i85

101 io3 107 1 1 5 119 121 187 igi ig3 igg 2o3 209 211 221 223 229 235 245

i25 i3i 137 i3g 149 161 247 25i 271 275 277 283 287 289 2g3 3oi 3o5 307

167 169 173 175 j8i i.85 (suite p. 18V) 3u 3i 7 323 325 335 34 7 353 355 35g 36 1 36 7 37 i

184 TABLE II. — DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES.

(

£3.T.

D.

Ph-D* (=J>) = ,.

X.O

744 ±193 209 2l5 221 227 229

239 245 25g 263 277 289

293 295 299 3oi 3o5 317

3i 9 325 33i 343 353 36.

186

O

744 -1-379 3g5 401 4°7 4*3 4'5 4-5 43i 445 449 4^3 vfi

47g 481 48 ^ 4 8 7 4g 1 5o3 5o5 5n 517 52g 53g 547

56g 577 587 5gg 6o5 611 61 3 625 62g 63i 635 687

641 653 667 671 685 6gi 701 703 70g 7-1 5 721 787

748 1 3 9 19 23 25

27 29 3i 35 4 1 43

49 53 57 61 65 69

71 7 3 75 81 83 87

89 91 93 io5 109 123

127 129 137 147 i5i 1.37

159 i63 169 171 173 i83

i85 193 195 197 199 207

2i3 219 225 229 233 235

239 241 243 249 257 259

261 263 267 271 278 277

279 295 307 3n 3i5 827

329 335 337 353 359 36i

36 7 369

,87

188 = 47 a'

189 = 21a'

374 1 7 9 i5 2.5 29 3g 4i 47 4g 53 57

5g 61 63 65 67 6g 73 7g 81 8g g3 g5

io3 io5 107 109 m n5 129 1 3 1 1 35 137 i3g i55

157 167 16g 173 175 17g i85 igi 19.3 197 2o3 211

2i3 2i5 223 225 227 229 233 241 247 249 25i 257

261 273 277 283 287 291 29g 3o3 32g 33 1 387 33g

343 347 35 r 353 355 36 1 36g 871

760 1 3 7 9 1 1 2

1

2 3 27 29 3i 33 47

49 63 67 69 71 77

79 8l 87 93 97 99

107 109 n3 119 121 i3i

109 t4i i47 ï5i i57 161

169 181 189 ig3 201 2o3

207 2i3 217 221 227 23l

237 243 25i 253 257 261

263 269 277 279 289 291

297 807 3 19 32i 327 329

337 339 34i 343 363 367

igo 760 1 9 21 29 33 39 |.i 4 g 5i 5g 6g 77

81 83 gi g3 g7 108 10g in u3 ng 121 i>3

127 141 i43 IJ7 i5g 161 i63 167 16g 17g 181 188

187 18g igi ig3 ig7 îgg 201 211 218 217 219 221

223 237 239 253 257 25g 261 267 26g 271 277 283

287 28g 2g7 2gg 3o3 3u 32i 32g 33i 337 34i 347

35i 35g 3 7 i 37g 383 38 7 3gi 3g3 3g7 4o3 407 4n

417 421 427 433 44' 443 447 45i 453 459 467 469

47g 481 48 7 497 5og 5n 517 5ig 527 52g 53 1 533

553 557 583 58 7 607 60g 611 6x3 621 623 62g 63i

643 653 65g 661 671 6 7 3 681 687 68g 6g3 6g 7 6gg

707 7 i3 719 723 72g 7 33 737 743 747 749 753 7 57

764 1 5 7 9 1 1 1

3

17 19 25 3i 35 45

47 49 55 63 65 69

71 77 81 83 85 87

9 1 95 97 99 109 111

117 119 121 123 125 127

129 i3i i33 i3g i43 i4p

i5i i53 i55 i5g 167 i6r

,71 t 7 3 177 179 i83 18-

19.3 ig7 201 20g 217 21c

'9' 382 1 3 5 g i3 i5 17 28 25 27 3g 43

45 4g 5i 5g 65 67 6g 75 77 7 g 81 85

g7 io3 107 10g n5 117 121 i25 12g i33 i35 147

i4g i53 i63 16g 177 ig3 195 197 199 201 2o3 207

209 211 2i5 217 221 223 >25 227 23i 237 23g 241

243 245 25 1 255 25g 263 26g 271 277 281 288 287

28g 291 2g3 2g5 2gg 3og 3n 3ig 821 325 327 32g

835 34i 345 34 7 34g 3.5 1 858 36i 363 871 8 75

TABLE II. — DIVISEURS LINÉAIRES DES FORMES QUADRATIQUES. l85

S)- Z-— Dy :

764

386

776

780

:22i 225 235 237 241 245

247 267 269 271 277 279

281 289 2 9 3 3o3 3o7 309

3i5 32i 323 325 329 33

1

339 34i 343 345 349 353

355 35g 36i 36 7 3; 9

1 3 7 9 21 23

25 27 3r 43 49 55

5g 63 65 67 69 75

81 83 85 93 95 9 ;

101 107 109 i2i i3i 137

1 39 i43 i45 147 i5i 1 55

157 161 i65 169 175 177

179 1S1 i85 187 189 191

1 5 9 i3

25 29 3i 33

4i 49 5i 5g

G9 73 77 79

89 g5 io3 io5

117 II9 121 123

1,3 1 1 09 i45 149

157 i5g 161 i65

171 i 73 179 181

187 189 191 193

225 2 35 241 245

253 255 261 273

287 289 2 95 297

3i3 3i 7 325 3-27

335 345 347 349

365 371 3-3 377

1 17 19 3i

43 47 49 53

77 83 89 97

D.

192 = 3a-

i 93

J 9 21

37 45

65 67

81 83

107 n3123 129

IJI i55

167 169

i83 i85

211 ai3

247 25l

277 2 79

3oi 3o3

33i 333

353 36

1

38

1

385

37 4i

61 7 3

io3 n3

2M-Djra— 1)

382

V-

77"

ig5 3g<

1 9 1 1 i5 ig 21 25 35 3g 47 49 :>l

65 69 71 79 81 85 87 91 93 97 99 101

io3 109 m n5 119 121 123 127 129 i35 137 i45

167 i5g 161 i63 i65 167 169 171 177 181 i83 i85

189 197 201 203 2o5 209 2i5 217 219 22 1 22.3 225

227 229 241 249 i5 1 257 259 263 >65 267 271 275

277 283 285 287 289 29 3 2g5 299 3oi 3o5 3o7 3i5

317 3>i 335 337 33g 347 35 1 36 1 365 367 3 7 i 375

377 385 389 391 3g3 399 4o3 409 4' 3 ii5 4*7 4^9

423 427 429 43.1 439 H' Ï43 i45 447 44g 453 459

461 463 4^9 47 » 48. 4gi 4g3 499 5o3 5i

1

517 5ig

5> 5 527.529 533 535 537 53g 54i 55g 56

i

565 57.3

577 58 1 585 5g3 •>97 ">99 617 619 621 6î3 620 629

63 t 633 63g 64

1

647 655 65g 665 667 677 683 68g

6g5 697 699 705 709 711 7 l3 7,:

> 7*7 7*9 : '7 in7 3i 735 739 711 7.3 7'i> 7 19 7

:>>7

:>9 7G5 7G 7 7

69

x 3 5 7 9 JI i.i i5 -1 -. 80 27

29 33 35 37 39 43 45 ^9 55 63 65 69

71 73 7

:> 77 81 87 8g 91 gg io5 111 1 1

3

1 1 5 117 121 125 127 12g 1 35 i4> i\~> 147 i4g i5 7

161 i63 i65 16g 173 175 181 1 8.5 18g ig3 195 J 99

2o3 207 2l3 2l5 2ig 223 > •.") » 27 >3i 2.3g 241 243

2 4 5 2 53 25g 261 263 267 2 7 [ 2 73 275 2 77 2.83 289

297 2 99 3o1 3o7 3n 3i3 3i5 3i 7 3ig 323 325 333

33g 343 345 34g 35 1 353 355 35g 36 1 363 365 367

373 375 377 379 38 1 383 385 387 ',o5 407 4 «9 429

435 43g 44 1 445 447 44g 4: 48i 483

48g 4g 1 4g5 497 5ot 5n 5ig 5>i 5>5 527 529 53g

54i 543 547 555 55g 565 567 571 575 579 585 58g

5g3 5g7 5gg 6o5 60g 617 621 62.3 620 635 63 7 63g

643 645 653 65 7 667 669 67.3 6 75 681 683 6g 1 6g3

G97 70g 7 i5 717 71g 72 3 72.5 729 7.').')7 45 7.J7 7og

1 7 11 17 23 3 7 41 4 g 53 5 g 61 67

7 1 73 77 79 *9 97 107 11 3 11g 121 i3g 149

161 i63 173 181 ,87 i 93 igg 211 2 2.3 233 2 3g 253

i86 TARLE Iï. — DIVISEURS LINEAIRES DES FORMES QUADRATIQUES

" ©==-Ii y:— l)y\

D.

h=B**: (-T

2

) ':

X. X.c

780

s

±121 127 i3i i4g i5i 161 ig5 3go -4-257 >5g 263 281 287 289 3o7 3',3 347 35g 36i 37

i

167 173 179 181 191 193

203 227 233 25i 253 257

271 281 283 289 3n àig

3 2 3 33 1 36 1 36 7 379 383

196 = a 1

394 1 7 9 i5 19 23 »97 788 1 3 9 11 25 27 29 3i 33 35 37 4 1

2 5 29 33 37 3g 4' 4g 53 61 65 6- 71 7 5 79 81 85 87 91

43 47 4gr>i r>

3 55 g3 g5 97 99 101 io3 io5 109 in u5 119 121

r»f)

61 63 65 81 83 123 i3i i33 i37 i3g i4 7 i5i i5 7 i5g 161 167 16g

85 93 97 10 1 io5 107 173 179 181 i83 ig3 ig5 igi 201 211 2i3 2i5 221

109 121 r>7 i33 i35 i37 225 227 233 235 237 243 247 255 257 261 263 271

i43 r55 157 161 i63 169 273 27") 279 >83 285 28g 2gi 2g3 2g5 2g7 2gg 3oi

*7! 173 175 181 187 191 3o3 3o 7 3og 3i3 3i5 3ig 323 32 7 32g 333 34i 3^5

i 9 3

198 = 22 a 2

353 35 7 35g 36 1 363 365 367 36g 383 385 3g 1 3g3

3gg 401 4°7 4og 4 11 4 «3 4i5 4» 7 433 437 43g 44 f

445 449 45i 453 45 7 463 467 47 i 477 4^3 5oi 507

5n 5ig 52i 523 5 2g 535 537 53g 543 54 7 54g 55 7

55g 565 56g 571 5jg 58i 583 585 5g7 5gg 601 6o3

611 6i3 617 623 625 633 635 63g 643 6',5 64 7 653

65g 661 663 671 675 681 6gg 705 711 715 71g 725

72g 7 3i 7 33 7 37 741 7 43 745 74g 765 7G7 769 77'

77 3 775 781 783

7!i (i 1 3 5g 11 i3 '99 3y8 1 5 7 g i3 23 25 2g 3i 33 35 43

i5 19 25 27 29 33 45 47 4g 5i 53 57 61 63 65 7g^ 81 89

39 45 4g 53 55 57 91 io3 m n5 117 121 i23 i25 i3i i3g i45 i5i

•

r>9 61 65 67 71 7") i55 157 161 i65 16g 175 177 187 ig3 201 2o3 207

81 83 87 89 95 9-9 20g 2i3 2i5 217 21g 225 227 23i 235 23g 245 249

107 117 1 ig 121 i25 127 :>5i 255 261 263 265 269 271 279 285 289 291 2g3

i35 i43 i45 147 1 57 i5g 297 2gg 3oi 3o3 3o5 3og 3u 3i3 3i5 32 1 323 325

161 i63 i65 167 169 171 327 3 2g 33 1 33g 343 357 359 36 1 377 379 38 1 383

i 77 179 i83 191 i 9 3 ig5 38 7 3g5

201 209 211 2l3 217 223

225 243 245 247 24g 259

261 265 267 26g 275 283

2*85 287 28g 293 295 297

3oi 3o5 307 3og 3i3 3ig

32 1 325 329 335 3'17 35

1

355 357 36 1 363 36 7 3;5

••77 38 1 3g 1

000 = 2 a 1

TABLE III. — FORMES LINEAIRES. 1*7

III. — Valeurs (mod. -i'1) de a, b, x et y dans a- 4- ô 2 = ./

?—_/

2 = N.

N. (7 OU 6. X. N. a c

Ik-h 2«± 2 a : 4 /. -+- 250/. + 04«±

! j r 3 1 25

3 -1 9

»7

25

1

1

1

310/

+

8tf=b 8«± 10/. +33

4>j T 1 i5 5

3

5 ;

2

3

i3

1

1

49

5 7

1

7

10

7- 0/, 9

65/

9 3 3 7 73 2 1

11 - 2 5 81 3i

i3 3 1 3 «9 29

i5 - 0, '1 1 97

io5

n3

9

32 /,— 16fl± 10" 32 k -+- i5

1 a 1 '9

5 1 3 2 712g 2 5

i3

2 \

3

5

*9

1

1

i3 7

i45

2 9 5 1 3 1 53

161

169

3

64 k - 32«± 3ïa± 64 k-+- 5

«77

i85

,_

, '5 7 1, 9 63

9 3,n 3, 5 55i 9 3 7

17

25

*> 9

3, 5

9> l5

5, i3

47

:; 9

201

209 3

1

33 9i*5 7 ,i5 3i 217 2 9

4i

49

57

5, i3

7 ,i5

11

, i3

11, ,3

»i 7

3,ii

23 22D

233

24l

249

9

2 7

i5

*9

y N

128o

i,3i

3,35

23,55

5,27

1 5 ,1

7

45, 5i

7> 39

43,53

i,33

3,29

9^3

5,37

»7>49

1 9 , 5

1

7,25

11 ,43

33,03

29,61

9.4»

37j 59

47-49

1 3 , 1 g

25,57.

11,21

3., 63

35,6i

\ ' -55

2 7> 59

i5,47

i3,45

39,57

2 1 ,53

04*

2

1

3i

2 9

9

2~

1

5

'9

>."»

1

3

23

5

X.

__

128«± 250/. +

1 ,33 l>55

3,29 247

9,23 239

5,37 23 I

'7,49 223

ig,5i 2 1 5

7,25 207

n,45 <99

33,63 M) 1

29,61 i83

9 5 4» 176

3 7> 59 1O7

47-49 159

i3, 19 i5i

25,57 1 ,3

11,21 i35

3i.63 127

35,61

41,55

27,59

»ô,47

1 3 , 45

3 9 ,

5

7

2i,53

1 , 3

1

3 , 35

2 3,55

5,27

15,17

45, 5i

7,39

43,53

9J

87

79

71

G 3

55

\~

3!)

3i

23

i5

7

i88 TABLE III. — FORMES LINEAIRES.

III. — Valeurs (mod. a») de a, b, x et / dans a--+-b-=x~—

j

2=N (suite).

N. « O u 6.

+1 \\

X

+1

N. a , b.

+1-FI

X

+1++1 +1 \ +

+J II +A!

e « 8 e S "^ -< ~ e « B e e •4s

c-t «* CD c-< >.—

1

c-t r~, c> «* c< Vf 0* 0*o <X> LO CO LO O co et lO

5 93

IT3

I 25 3i 1,127 23 33 1,129 ,023 393 II 29 67,195 61,67 63

1

9 ] I 93 3,i3i 5 99 3, i25 ,oi5 /|0, I 119 87,2,5 17 55 4', 87 6:>3

T 7 I 55 io5,233 '7 9 i5i,233 1007 4o9 3 37 59,, 87 i3 ,01 >9>69 6i525 3 101 5,123 i3 9 1 5,i33 999 4^7 23 49 47,8i 7 i,3 81,209 60733 23 n3 1,1,239 7 79 17,1,1 99' 420 5 !9 ,3,, 4, 2, 45 ,41,243 5994' 5 45 77,205 21 109 179,205 983 433 i 7 100 57,i85 3» 39 185,199 591

49•Il

39 7, '35 3i 25 7,121 97° 44, ,3 a 21,, 0797j ,2253o, g3

29 75 2,,, 49 5835 7 7

5 43,85 2 9 n 85,2i3 9«7 449 .7 9 , ,59 ,225

93,221,83,20,

5 7 5

65 7 1 33,95 9 65 33, 1 61 9°9 45 7 673

3 56773 2

1

3 29,167 27 61 167,227 95, 465 3, 87 73,20, 23 5598i 3i 23 9^ 1J 9 1 > 4' 9> l37 943 4 7 3 29 59 ,55,229 »9 5 27,155 55

1

89 29 5 9! 52I 9 19 69 3,7, T 9' 935 48, 9 81 , 5 , , 1

3

25 , 11 1 1 3, 24

1

>43

97 9 inJ9 ,207 2 5 47 49,79

•9^47927 489 27 1 ,5 ,.3,2,,

39, 167

21 5, 83,2i, 535IOJ 2 7 5i 1

1

i3 9'9 497 ,5 71 1 7 39,89 527

n3 i5

âi53,23i 1 5; io3,23, 9" 5o5 M) 2, 75, 203 3 85 53,75 5 19

121 '9 n,i39 3 107 11,1,7 9°3 5,3 25 3i ,29,255 23 33 127,255 5n129 25 33 63,65 23 97 65,193 895 52, , 1 93 , 25 , 253 5 99 ,3 ,,253 5o3i3 7 11 99 189,

,

95 5 35 67,195 887 52g 1 55 23, 131

n9 23, io5 495

,4.» 1 9 169, 2 i5 T 7 73 87,2,5 8/9 53 7 3 ,01 i33,25i 91 123,25, 487i53 3 9 1 1^7,197 i3 2 7 59 , ,87 87" 545 2 3 ,,3 i7,,45 7 79 145,239 479161 23 79 47> x 7 5 /

i5 47,8i 863 553 5 45 5l'

I 79121,249

21 ,09 5l ,77i35,249

47'169 5 109 i3,ii5 21 83 ,3,i4. 855 56

1

*7 39 3i 25 463

180n 25 57,71 3i

lï57,185 «47 569 ,3 7 5 171,2,3 29 1

1

43,171 455i3 1

1

107,235 2 9 21,10797,225

839 577 7 , 101 ,223 9 65 95,223 447i 9 3 1

65 3 1,97 9 ,27 83i 58o 2, 3 99, 22 7 36, 29,99 459

201 21 61 35, ,63 27 125 35, 9 3 823 5g3 3, 23 137,247 4i •'9,247 43

1

209 3. 4i 55,73 i5 io5 73,201105,229

8i5 601 2 9 5 37, ,65 l9 49 165,219 423

iii29 69 101 ,229 T 9 123 807 609 9 m 49,i77 25 \l 177,207 4i5

9 47 i5, i43 2 5 '7 1 5 , 1 1

3

799 617625 3

5i 19*109 11 ,3 ,(>9,23 7

25, ,53407

2 33 2

l10

i3 45,173 21 77 173,211 79' 125, io3 1 5

7 399241 5 7 ,67,217 1 121 3g,i6-

75,200783 633 J 9 85 117,245 3 107 ,39,245 391

2 49 x 9 107 i8t,2o3 3 43 775767

64i 25 33 191,193 23

\\63 ,

193 383

^ 25 97 I , I2C) 23 9J 129,255 649 n 99 61,67 5 61, 189 3 75

265 1

1

35 3,i25 5 2 9 125,233 7 59 65 7 , 9 41,87;j

-3 41,169 367

273281

1 73 i5i,233 l lJI 9 23, i5i 7 5, 665 3 9 1 59,69

n69, '97 359

3 27 5,i33 i3 & I 33, 231 743 673 23 79 8, ,2oq 7 175,209 35i

289 2 3 i5 17,111 7 49 17,145 7 35 681 5 109 14,, 243 2, 83 n5,243 3432 973o5

5 83 179,205 2

1

a 51,179121,249

727 689%

25 '85,199 3, 89 7 I,I 99 335

\l

89 7,121 3i 7'9 6977o5

1

1

21,1^9 29 53 i49,235 3273i3 53 85, 21

3

29 117 171 ,2l3 71, 7 65 i5g,225 9 ,27,20

3i,i59 3,9321 7 127 33,i6i 9 63 161,223 703 7,3 2, 6, 93,221 2i

i5

l63,22l 3u329 21 125 167,227 27 67 99> 22 7 6q5 72, 3, 4i i83,2o, io5 55,1 83 3o3

33 7 3i io5 9^37 i5 87 137,247 687 7 2 9 29 69 27, ,55 ! 9 123 27, 101 295

287345 2 9 123 37,91 J 9 59 37, i65 679 7 3 7 9 SIl3,24l 25 »7 ,43,241

353 9 l l 49 ,79 25 81 49, '77 671 745 27

83,2n 2, 77 45,83 2 7936

1

27 il 19,147 1

1

u5 19, 109 663 753 i5 57 39, 8q 1 121 ^9,21726336q i5 121 io3,23i 1 7 1 25, io3 655 761 J 9 io7 53,75 3 43 53,i8i

377 !9 43 11,117 3 2

1

117,245 647 769 25 97 127,255 23 9> 1,127 255

385 2 3 9.5 65,193 23 3, ,91 ,243 639 777 1

1

35 i3i,253 5 29 3,i3j 247

V N y N

TABLE III. — FORMES LINEAIRES. 89

I. — Valeurs (mod. 2") de a, b, x et y dans <? 2 4- b- = x-— j2 = N {suite),

N.

+1

«2 ou b. X N. a ou b. X.

+ +1 +! +| +! +1 + ++1 +1 +1 +1 +] fl +

«4se

CD et8 «si* e et e

e*

><

O <o c< iO et

T, 9

iO O ~ et iO CV iO

785 I 73 23,io5 *1 io5,233 239 9o5 1

1

29 61,189 5 93 189,195 **9

79 J 3

3123, 25l 10 37 5,i23 23l 9i3 1 "9 41,169

10

55 1 69 ,

2

I 5 1 11

801 23 i45, 239 7 49 111,239 223 93 1 3 h 69>ï97 101 187,197 io3

809 5 83 5l >77 21 19 77,200 2l5 9 29 a 3 49 175,209 7 u3 47, 17 5 058i 7825 11

89 i35,249 3i io3 7, i35 207 <fil 5 *9 n5,243 21 45 i3, n5 8753 43,i7i 29 "3 43,85 »99 945 17 io3 7 I

>I 99 3i 39 57>7* 79

833 7 127 95,223 9 33, 9 5 I9 1 953 1.' 117 149,235 29 73 107,205 7'

84, 21 125 29>99 21

10

67 29,167 i83 961 7 63 3i, 159 9 1 3i,97 63

84q 3i io5 119,247 «7 9, JI 9 i 7 5 9% 2

1

«7 1 63, 221 27 3 35,i63 55

867 29 123 165,219 if) 59 Q I , 2 1 9 167 9x73i 87 55,i83 i5 23 55,73 47

865 9 T 7 177,207 25 81 79,207i4t, 2 3

7i53,23i

,59 2q 59 27,101i43,24i

'Â5 101 ,229 39

8 7 3

i577 109,237

25, iob

1

1

n5 i5i 993 * 81 111 i5,i43 3i

88. 121 1 7 i i43 1001 0- n5 4^,83 21 5i 45,i73 23

889 !9 43 i39,345 2

1

11 , 139 i35 1009 i5 7» 89,217 1 7 167,217 i5

«97 20 9^ 63 , 193 3.

H

3. 63,65 127 1017 M 21 53,i8i 85 181 ,203 7

y N y N

IV. a ou 6. X.

T+| +1 M _L|

\\ +1 M +1 +~< B « e B a h^j

C -5J" 00 Q -^ GOet et T CiO O O O

•01 ,a< et et

1 25 3i 127 i,5n 23 33 129 i,5i3 4oc)5

267 25 97 I 129,383 23 93 207 129,641 38395i3 a5 3i 129 255,257 23 33 385 257,769

385,897

3583

769 2.) 97 207 127, 385 23 95 5n 33271025 20 3i 385 1 ,5i3 23 33 383 5i3, 1023 3071I28l 25 97 5n 129,641 23 95 255 641,895 28i5i53t

1793

25 3Î 383 257,769 23 33 127 767,769639,897

255g20

1?255 385,897 23 93 1 23o3

2049 20 127 5i3, io23 23 33 129 5ll ,T03.3 2047»3o5 25 97 1 64 1,

8

95 23 9 :> 257 383,895 Ï79 1

2661 25 3i 129 767,769 23 33 385 255,767 i535

2817 25 97 257 639,«97 ,

23 9^ 5n 127,639 12793o73 25 01 385 5n ,102.3 23 33 383 1,011 1023

3329 25 97 5ix 383, 895

255,767

20 q5 20 139,383 7673585 20 3i 383 23 33 127 305,257 5n384 l 20 97 200 127,639 23 95 1 137, 385 255

SiN est de la forme 8

A

-

-+- 1, «, 6 et a; peu\

y N

rent être limités à 2 cas sur 64, 2 sur 256, 2 sur

1024 elc ., soit à la limite à 1 cas sur 24. Il en est de même de y pour IS =2 7 (mod. 8).

'0° TABLE III. FORMES LINEAIRES.

ni. — Valeur (mod. p) de a, b, x,y, z, t

dans « 2 + & 2 = .z 2 — jk2 = ^ 2+ >v* 2 -+- 1 1 -h nvî = N.

r désigne un résidu quelconque el n un non-résidu (mod. p).

a. b, z. x, t.

3 /. 3Ar±3k

8i*-+- i

4

710

i3

16

*922

25

283i

4o

4346

49. 52

555861

6467

576

79

9 k -+- 1 3 À +0 9'± 1 .s

4 2 - 5

7 4_ ,2-4- 9 A"

27*-+- 1 3 /.• -h 27Ait 1.8 26

4 2,11 - 2 3

7 4,i3,

20

10 8,10

21 .! 7,"4,5

-

16 - 1

1

*9 I , 10 - 8

22 2 i7- 5

25 5,i3 ~~ 2 -f- 57/.

3/.' + o. 277f± 8,81 k± 1 80

410

7

i3

3516

-

11

5 4- 65

1 10 - 62

2 34 - °9i3 - 568 26 - 53

1

1

2 9- 5o

4 1.4- 47

4410 19 -

71

1

23 :4i

381 l l

- 35

2 i - 32

i3 32 - 2 98 28 - 26

IT 25 ~ 23

•'4 40 - 20to

7

8

38

_

:?5 3i -

1

1

1 37 - 8

2 20 - 5

i3 22 - 2 + 81Â-

y N

TAULE III. — FORMES LINEAIRES. 191

III. — Valeur (mod. p) de a, b, .r, y, z, t

dans a 2 h- b-= ./- — y-= - 2 -H r/t 2 = £ 2 -h «t' 2 = N (suite).

r désigne un résidu quelconque et n un non-résidu (mod. p).

N. a, b, x, c. £.

5A--+- 1 3 /, ± I 2 42 1 6,2 3

3 2 0, I 2

4 2 I 1 -h bk

25A+ 1 5 A: -ho • 25 k ± 1 5 /. -h 2 *4

4 . 2 1

6 9 2 *9

9 3 1 16

6 2 <4

II 8 1 1

1

16 4 2 9J 9 1 2 1 62

1

1

1

2 4

4 «> 7 1 I -H 20 A

J2Ô/i -H 1 bk -H i> 3/. ±: 1 49 5i 2 ,24

4 2 j3 27 1 I I I

6 lê 34 593 22 2§

2 ,J 99 1 116

6 19 56 2 i! 4r4 17 42 58 1 1 1

1

16 4 46 54 2 109T 9 12 i3 37 1 10621 1 1 36 3q 2 i<>4

24 7 32 57 1 10126 1 26 49 2 99^9 2 2 3 48 1 963i 16 34 41 2 9434 3 28 53 1

%36 6 44 56 2

% 8 17 42 1 864i 4 21 54 2 8444 ii i3 38 1 81

46 i'4 36 3q 2

H49 7 18 32 1

di 24 26 49 2 7454 2 3 48 52 1 7 1

56 9 34 41 2 6959 28 47 53 1 6661 6 3i 44 2 6464 8 17 33 1 6166 21 29 54 2 %69 i3 38 62 1 56

7 1 i4 36 61 2 5474 7 18 43

24 26 5t

1 5i

76 2 49

I?27 48 52 1 46

9 4* 5o 2 4484 22 47 53 1 4i

y \

IQ2 TABLE III. — FORMES LINEAIRES.

III. — Valeur (mod. p) de à, b, x,_y, z,

dans « 2 4- &* = .r 2— jk2 = s 2 4-r/? 2 = £2+ /îp2 = N (suite).


N. a, b, x, z. t.

i25/,- + 86

8y9'

9'.

96

99IOI

104106

109

\\\116

"912

1

124

5/,- + o 125/r ± 19 3i 448 33 58

21 29 4637 38 6211 14 6-1

18 43 571 24 5i

2 27 52

9 l6 593 22 4719 3i 5633 42 58

4 29 4612 37 62

11 39 61

32 43 5 7

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

3936

343t

2926

2421

M)16

i4

1

1

96

41 -4- i:>5 A

y N

N. a, b, z. X, t.

7 A + 1

2

3

45

6

7 k ± 2

1

1 3

3

1 2

2 3

3

2

3

2

1

3

1

6

5

43

2

i%7*

2

48

91

1

i5

16

18

22

23

20

2 93o32

36

43

4446

7 A- ± 2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

4 9A± 1

10

2

203

16

8

4J 9i3

1

1

5

i5

18

96

2423

22

17

7 A-±3

3

2

1

3

2

1

3

2

3

2

1

3

2

3

2

48

474^4*

4038

3433

3i

2726

2420

19

i3

12

10

6

5

3 + 49A-

y N

TABLE III. — FORMES LINEAIRES. '93

III. — Valeur (mod. p) de a, b, a?,JK, z, t

dans « 2 -+- 6 2 = a? 2— jk2 = s 2 h- /vi 2 = * 2 4- nv'î = N (suite).

r désigne un résidu quelconque et /i un non-résidu (mod. p).

N. a, b, z. x, t.

1 1 A• -h i 1 1 A- ± o 3 5 j 2 4 10

2 I 2 3 1} 5 93 o 3 4 5 1 2 8

4 o i 5 9 3 4 75 O I 2 4 3 5 G6 i 4 5 023 5

7 2 3 5 1 4 48 2 4 5 1 3 3

9 024 3 1 5 2

IO 1 3 4 02a 1 -h 1 1 A

y N

N. r/, 6, a?, z. t.

1 3 A -h 1 i.!A ±02 lj 1 3 4 5 12

2 . 4 5 2 3 6 1

1

3 2 5 4 1 3 6 10

4 1 4 2 3 5 6 95 12 3 o456 8

6 3 4 6 12 5 72 4 6 I 3.5 6

8 2 3 5 0146 5

9 5 6 3 I 2 4 410 1 3 6 2 4 5 3

1

1

1 5 6 0234 2

12 3 4 5 I 2 6 1 -h i3A

1 7 A -+- 1 i7A=bo 3 4 6 1 2578

345816

2 0127 G i5

3 1246 3 5 7 8 i4

4 5 6 8 2

4 5 G 7

i3

5 12 3 8 12

6 2 ."> 6 7 1 3 4 8 1

1

7 3 4 5 7 01268 10

8 0234 5 16782 3 4 7 î9 1 5 8 3

10 1 3 3 6 0247801245 l11 3 6 7 8

12 2458 01367 5

i3 0237 8 1 4 5 6 4i4 1478 2 3 5 6 3

i5 0468l

i235 2

16 0107 2 3 6 8 1 + 17 A

y N

KRAÏTCH1K.

194 TABLE III. — FORMES LINEAIRES.

III. — Valeur (mod. p) de a, 6, x, y, z, t

dans « 2 + 6 2 = x^ — jk 2 = £ 2+ m 2 = £2-h /i^ 2 = N (suite).


a, b, z x. t.

I9*-h I 1 g /. ±02 3 4 7 1 5 6 8 9 18

2 12469 0357 8 l l

3 4'» 6 7 9 1 2 3 s 16

4 \ 5 6 8 2 1 3 7 9 i5

5 01268 9 3457 i4

6 1 3 4 9 5 2678 ï3

7 1 3 5 6 8 ^479 . 12

s 12478 3 5 6 9 1

1

g 02679 3 1 4 5 8

'

10

10 12 3 5g 04678 91

1

02889 71 3 4 6 8

12 15789 2 3 4 6 7i5 2 3 4 5 8 01679 6

^4 34689 01257 5

i5 2 3 5 6 7 01489 416 03789 4 1 2 5 6 3

*7 01457 6 2 3 8 9 2

18 1 3 6 7 8 02459 1 +- 19/.

3 k

78

910

1

1

12

i3

i4

i5

16

'7

iS

M)20

21

23/c- ±0489 10 1

1

1 2 3 5 6 7 2 2

0134 6 9 5 2 7 8 10 1

1

>i

1 5 6 8 10 7 2 3 4 9 JI 20

1 3 5 7 8 4 6 9 10 11 *9

. 2 5 5 7 9 3 6 8 10 11 18

0245 6 7 1

1

1 3 8 9 I0 l l1 2 7 8 9 ll 3 4 5 6 10 16

2 5 6 8 ti 10 1 3 4 7 9 i5

1 4 7 10 11 3 2 5 6 8 9 i4

12 3 5 10 11 4 6 7 8 9 i-3

3457 8 10 O I 2 6 i| n 12

0237 10 1

1

9 1 4 5 6 8 1

1

1 2 3 8 9 6 4 5 7 10 11 10

1 5 6 9 10 1

1

2 3 4 7 8 93 5 6 7 9 JI 1 2 4 8 10 8

0267 9 10 4 1 3 5 8 11 71 2 3 4 6 10 5 7 8 9 " 6

o345 9 « 8 1 2 6 7 10 5

1467 8 11 023 5 9 10 42458 9 I0 1 3 6 711 3

3 6 7 8 9 10 1 2 4 5 11 2

2 3 4 6 8 11 1 5 7 9 ïo I H- 23*

r N

TABLE IIÏ. — FORMES LINEAIRES. 1 93

III. — Valeur (mod. p) de «, b, x, y, z, t

dans « 2 4- 6 2 = x î — yï = ^ 2+ m 2 = * 2 -+- /ip 2 = N (suite).

désigné un résidu quelconque et /i un non-résidu (mod. p).

IV. «, 6, J7, Z. £.

29/1-4- I 2()/,'±o 5 C 8 9 n i3 1 2 3 i 7 ,0 12 14 28

1 3 5 6 8 i3 14 2 4 7 9 10 11 12

II3 234 5 6 9 12 1 7 8 10 11 i3 14

4 3 7 1 1 1 1 2 1

3

2 ! 5 > 6 8 9 14 25

5 012 3 5 8 \ >. 1

1

4 6 7 9 10 i3 i4 246 1 6 10 11 12 14 8 2 3 4 5 7 9 i3 23

7 014 7 8 9 10 6 2 3 5 11 12 i3 14 22

8 i23 6 10 -12 i3 o43 7 8 9 ll J 4 21

9 2 4 5 10 11 14 3 1 6 7 8 9 12 i3 2010 123 4 8 911 O 5 (i 7 10 12 i3 14

5 9 10 12 14 I

9s1

1

2 4 6 7 8 11 i3

4 3 6 8 10 1 1 12

1 3

12 1 2 3 7 9 i3 14 «7i3 023 6 7 8 14 10 1 4 5 9 11 12 i3 i(j

«4 1 3 6 7 9 10 11 2 \ 5 8 12 i3 14 i5

i5 3 4 7 8 12 i3 14

3 3 6 7 9 14

1 2 5 6 9 10 11 i4

16 4 1 2 8 10 11 12 1

3

i3

i.n 124 9 10 i3 14 3 5 6 7 8 11 12 12

18 3 5 9 10 11 i3 14 1 2 4 G 7 8 12 1

1

19 578 9 1 1 2 1

3

1 2 3 4 6 n 14 1000 024 5 6 10 i3 n 1 3 8 q 11 12 1

4

92 I i45 7 11 12 1',

3 4 8 9 H) 12

2 3 ii 8 9 10 i3 809 14 1 2 5 G 7 11 i3

^ 8 10 11

8 10 n 14

723 1 4 6 12 i3 14 9 2 3 5 G

24 012 5 7 9 12 i3 3 4 G 5

25, 1 3 4 7 1 1 1

3

5 2 6 8 9 10 12 14 426 r25 7 8 10 14 3 \

6 9 1 1 12 i3 3

27 2 G 7 9 11 12 14028 p u i3 14

1 3 4 5 8 ,0 i3 >

28 1 > 1 3 \ 5 6 7 10 1 -1- 29 k

>' N

\. a, &, 5. x, t.

3iAh- 1 3i A- ±: 2 4 •> 7 10 1

1

i3 , 3 6 8 9 12 14 i5 3o2 1 5 6 9 1 1 1

3

i5 8 > 3 S 7 10 12 14 293 1 3 4 5 .7 8 12 i3 2 6 9 10 11 i4 i5 28

4 \ 5 8 9 1 1

1

«} 2 1 3 6 7 12 i3 i5 27r. 012 4 7 8 12 i5 6 3 5 9 10 1 1 1 3 14 2(i

G 123 6 7 8 9 1

1

4 5 10 12 i3 i4 i5 20

7 067 8 9 I I 1 2 ï4 10 1 2 3 4 5 i3 i5 2 48 1 2 5 91012 i3 1

5

3 4 6 7 8 11 14 23

9 012 G 8 10 i2> i5 31

r> 7 9 11 i3 14 2210 oi34568 i5 «4 2 7 9

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10 11 12 i3 211

1

123 8 10 11 i3 i4 6 7 9 12 10 2()

12 2 5 6 7 S 10 i'|

2 3 4 3 G 9 1 r

i5 1 3 \ 9 1 1 1 2 1

3

T 9i3 i5 1 7 8 10 12 i3 14 18

'4 2 3 5 G 10 12 *4 1.'!

1 4 7 8 q 11 i5 l li5

;•

1 6 7 1 1 1 1 3 1

4

1.) <» 2 3 4 'S 8 9 12 16

JP N

i 96 TABLE III. — FORMES LINEAIRES.

III. — Valeur (mod. p) de a, b. x, y, z, t

dans a"2 -f- b 2 = r2— j2 = ^2_|_ rn2 = ^2_|_ nP 2 = N (suite).


N. a, b , z. X. t.

3i A + 16 3iA=ho 3 8 9 io xi i3 i5 4 I 2 5 6 7 12 i4 i5

\li 3 4 IO.II 12 i4 i5 O 2 5 6789 i3 x4

O 2 3 4 8 i3 i4 i5 n i 5 6 9 10 11 12 i3

1 9 o i 3 5 6 7 i3 i4 9 2 4 8 10 11 12 i5 12

20 O I 2 4 7 8 9 »4 12 - 3 5 6 10 11 i3 i5 1

1

21 i 4 6 8 .9 io 12 i3 2 3 5 7 11 14 i5 10

22 2 5 72 3 4

8 ii 12 i3 i5 o i 3 4 6 9 10 14 923 6 7 q io i3

9 i? i3 i4 i5

I 8 11 12 14 11 8

24 246 o i 3 5 *7 8 10

9 i3 14 i5

1

1

l25 o 3 4 6 7 io i i 12 5 I 2 8

26 i 4 5 7 g io i4 i5 2 3 6 8 11 12 i3 5

33 5 7 8 9 io 12 i5 I 2 4 6 11 i3 i4 4o 3 7 9 12 i3 i4 i5 ii I 2 4 5 6 8 10 3

29 I 2 3 5 9 ii 12 i4 o 4 6 7 8 10 i3

3 7 ç, 10

i)

3o 4 5 6 8 xi i 2 i3 i'» I 2 11 i'H-3 A

r N

N. (7, ft, .2?, , t.

37 A -4- 1 37 A- ±027

1 3 6

8 10 1

1

"4 [6 18 , 3 4 5 6 9 12 i3 i5 n 362 7 « •4 i5 [ 7 .8 2 4 5 9 10 11 12

8 10 i3 i4

.3 16 35

3 026l

95 9

1

1

12 7 [8 .5 1 3 î 5 16 34

4 1 4 i4 i5 6 7 2 3 6 8 10 11 12 i3 18 33

5 1 2 3 4 7 10 12 ?»7 5 6 8 9 n 14 i5 .6 18 32

6 3 4 6 8 9 1

1

1

2

i5 6 1 2 5 7 10 i3 14 H 18 3i

7 > 4 11 12 «4 i5 6 8 9 1 3 5 6 7 8 10 i3 »7 3o8 1 2 3 6 7 9 12 \ 6 4 5 8 10 11 i3 i5 l l 18 29

9 045 6 7 1

1

i3 6 '7 3 1 2 8 9 10 12 i4 i5 18 28

10 1 3 6 9 10 i3't

! [ 2 4 5 7 8 12 16 17 18 2 71

1

1 2 6 7 8 9 ] [3 r4 34 5 10 12 i5 16 17 18 2612 1 3 4 12 i3 i4 5 8 2 5 6 8 9 10^1 16 x 7 25

i3 1 2 3 4 ^

Â1

1

5 6.

6 8 9 10 1 2 1 3 1

4

n 18 34

14 259 10 1

1

i4 5 7 1 3 4 6 7 8 12 16 18 23i5 2 4 5 6 7 8 10 S 5 1 3 9 11 12 i3 16 '7 18 22

16 2 3 5 7 8 9 ] 8 4 1 6 1

1

12 i3 14 i5 16 17 2 I

12

1 4 8 9 IO 1

1

12 i 3 8 2 3 5 6 7 14 i5 16 l l 20

3 5 8 9 J 3 4 16 : 7 8 1 2 4 6 7 10 11

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2 3 4

9 10 1

1

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1

i3 ] 7 1 5 7 9 10 12 i5 16 18 1721 3 5 7 J1 12 i4 1

f:8 i3 1 2 î 6 8 9 fo i5 16 lé

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47 8

10 11 12 i3 i 6 2 3 4 6 8 9 i5 1/

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é

1 a 3 5 6 11 i3 i5 18 i4

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8 12 1

3

i5 i 6 1 3 4 9 ,0 lI 4 J 7 i3

25 4 6 to i3 1 6 8 5 1 7 8 9 11 12 14 i5

\l

12

26 1 4 5 6 8 11 1 ]- 10 a 3 7 9 i3 14 i5 16 1

1

S1 4 6 10 «i 16 i

2

é 8 2 3 5 7 9 11 12 i3 i5 10

1 4 5 7 8 9 1 5 18 2 3 6 10 11 12 i^ i6 H 9

_>N

TABLE III. — FORMES LINEAIRES. 19:

IJI. — Valeur (mod. p) de a. b, x t y, z, t

dans a 2+

è

2 = j? 2—^ 2 = ^ 2 -t- rn 2 =

/

2-i- «p 2 = N {suite).

r désigne un résidu quelconque et n un non-ivsidu (mod. à).

«, b, x, z.

hk *93o

3i

.H 2

33

3435

36

37/.== 1

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2

o

o

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10 12

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10 I;

i3 i5

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3i

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1 2

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19 20 iG

17 2018 19iq 20

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19 201") 18 4,8 1916 17 10

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16 17 i5

18 20 12

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H)8 TA H LE III. FORMES LINEAIRES.

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TABLE III. FORMES LINEAIRES. T 99

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TABLE III. FORMES LINEAIRES.

III. — Table abrégée des valeurs de x dans a? 2 -+- D^ 2 = N.

N. D = — 1.

4* + i

3

i6Ar-4- i

3

5

2/1 ± I

8/1 ± 1

2

3

732Â-4-564/C-4- i

256 k -4- i

I024A-

-+- I

4096 Ar -h 1

4/1-4-0i6n±3.32/1 ± 1,964n=fc2364n± 23

64n ± 2 3

128/1 + i.33

256 n ± 33

256 n ± 33

5i2n ± 1 , 1291024/1 ± 129 2048 n ± i,5i3

N. D -3E -4- 1.

4A-bi3

16* + 1

3

5

2/1 ± 1

8/i± 1

1

32ÀT-4-5

64 k -4-1

256Ar -l- 1

1024A: -f- 1

4096 k -h 1

1 6 /i ± 1

3 2 /i± 1,764 n ± 25

6^4/1 ±2564/i ± 25

128/1 ± i,3i

256/i =h 3i

256/i ± 3i

5i2/i ± 1 , 1271024/1 ± 127 20^8 n ± 1 ,5i 1

N. D = /-.

3A- + 1 3/ï ±0 1

2

qA--h 1

8 1 k -+- 1

7 29*+ ï

6n

3/?

1

9/1 ± 1

27/1+ 10,

27/? ± 10,

81ni 1

243/1 ±82, 729/1 ± 1

5À + 1 5n ±0 1

2

25 A -4- 1

625 k -+- 1

5/i

5/i

1

25/1 ± I

I25/l±4<: ,5i, 625 n ± 1

7/:+ 1

3

49A--+-)

7/ï

7"

±0121 3

±02 , 49 /i ± 1

iiA-+i 11 n ±0 1 3 5

2

121 k -f- 1 11 n1 2 3

± 3 5 , 121 /i ± 1

TABLE III. — FORMES LINEAIRES. •20I

III. — Table abrégée des valeurs de x dans t 2 h- Dj2 = N (suite).

N. D = /• (.suite).

i3A: + i

2

1 3 /i =b1

1

4

2

5

6

17 k 4- 1

3

1 7 « ±1 2

3

4

4 6

6

19A--+- 1 19/i ±1 2

2

4

3 4

697

23ÂT+ I

5

23/i =b 1

2

4 895 7

10

9

1

1

29A-+- 1

2

29 n rfc

1

1

3

5

5

6 8

6 89

i3

1

1

i4

i3

3lA: + T

3

3 1 n ±1 3

2 4

455 7 1 1 1 1

3

7 8 12 i3

37 A- -+- 1

2

3-jn ±1 3

2 76 7

8 10 11

8 14 i5

i4 16

17 18

18

4 1 A -+- 1

3

4 1 n =t

1 2

3 96 7

12 i3 14s 9 u

16 1712 i3

18 ,9

'7

43A:-+-x2

43/j=fco1

1

2

237893 6 8 10 11

11 1

3

14 i5

17 18 2016 17

47* +15

47 /» ± 1 4 G

4 5

9 10 11

6 7 9

14 18

11 1 j

19 20 22 23

3 20 21

53 A + 1

2

53n rh

1

1

34 5

7 8

8 10 12

11 12 1

5

i3 1416 18

16 19 20 21 22

21 24 25 26

39 A-+ 1 ôg « zh 1

2

3 5

4510 11 1

3

b' 710i'

(,5

12 1617 19 22 2 3 24 25 2920 22 23 24 25 2.9

61 *+ 1

2

6i n ±1 4

M6 7

7 9 i3 1

8 11 124 i5 21 22 25 26 27 29 3o3 21 23 24 25 26 27 29

TABLE II!. — FORMES LINEAIRES.

III. — Table abrégée des valeurs de x dans # 2+ Dj 2 = N (suite).

N. D =- /• (suite).

67 k 4- 1

2

67/1 + 1 2 3 7 8 9 xo 11 i3 14 17 21 26 27 28 3o 3a

1 2 3 6 9 10 11 12 16 20 22 23 24 25 27 28 3o

71 A + 1

7

71/1 + 1 6 8 10 i3 i4 i5 16 18 20 21 23 24 2.5 29 3o 33 351 2 7 10 12 14 17 18 19 22 28 29 3o 3i 32 33 34 35

7 3A-+- 1

5

73/i + o i23 5 6 7 12 14 16 17 21 24 26 27 29 3o 32 361 2 3 9 i3 i5 16 17 18 19 21 22 25 27 28 3o 3a 36

79*4- t 79/1 + 1 2 4 ^ 6 7 8 11 14 i5 18 23 25 26 27 3o 3i 3> 33 35

1 3 6 8 9 1 1 14 21 22 25 26 27 28 29 3o 33 34 35 36 39

83.*-+- 1 83/i ±0 1 3 4 5 6 9 12 i3 i5 16 17 18 20 25 3i 34 35 36 38 £0 4i

1 2 4 6 7 8 9 10 i5 16 18 20 21 22 24 25 28 3i 33 37 4 1

SqA-H- 1

3

89/^ + 1 3 9 10 i3 14 17 19 21 25 27 28 29 3o 3> 33 34 35 36 4 1 4 2 431 2 5 9 10 i5 19 22 23 24 25 26 28 3i 32 33 34 36 38 39 4° \\

ç, 7 A-f-i5

97/1 + 12 3 5 6 7 10 14 16 17 18 20 22 23 26 27 29 32 34 38 3g !\o 4» 4^1 2 3 4 6 7 10 i4 19 21 22 24 26 28 3o 32 37 38 39 40 4 1 4^ 44 '\1

N. D = //.

3* + 1 3/ï + 1

2

9*+- 1 9/1 + 1

81A-+ 1 27/1 + 8 81/1+ 1

7>(>A-+ 1 27 // + 8 243/1 + 80 729/1 + 1

5 k -H 1 bn + 1 2

9 2

25A: -+- 1 5n + 2 ion + 1

625 k -+- 1 bn + 2 25« + 24,26 625// : 1

7 A + 1 l n + 1 3

3 2

'i<jA-+i l n + 3 49 n + 1

1 1 A" -h 1 11 n + 1.,

42 4 5

I2IA-+ I 1 1 // + 2 4 1 2 1 n + 1

TABLE III. — FORMES LINEAIRES. 203

III. — Table abrégée des valeurs de x dans x2 -h Djk 2 = N#

(suite).

. N. D — /? (suite).

1 3 k -+- t 1 3 n ± i 3 4 5

o 2 3 G

17Â-+1 1 7 /? rt i 2 5 7 6-

3 3 :> 7

s

I 9 /v + I 19 Al ± I 5 6 8 9

2 3 :>7 8

-.u- + i 2 3// fc 1) 3 ô 6 1

5 3 6 S 10 11

29Vr -h i 29/î ± 1 2 3 4 7 10 12 1,4

2 2 4 7 9 11 12

3iÂ 4- i 3 1« ± 1•; 6 8 9 12 1 ') 1

')

3 2 6 9 10 11 14 i5 •

3 7Â-+- i 3-n ± i 3 4

•"> 6 9 12 i3 i"> 17

2 2 5 5 9 ii 12 1 3 16

4i A H- i \ 1 /> ~ 1.,

4 5 6 7 8 10 11 1.") 20

3 3 4 5 10 l'l

1") 16 18 19 20

43 A- -+- 1 43// ±1, 4 5 6 10 1? i4 i5 i(i 19 »i

0457 9 13 i3 18 19 >o >i

123 5 7 8 12 1 3 \\ i5 17 31

o 3 8 10 14 i5 16 17 18 19 22 a3

53 k

5q â

53« ± 1 2 367 9 11 i5 17 18 >;> >\ 25 '<>

2 'j 5 6 9 10 i3 14 17 19 20 22 a3

59/trh: 1 2 4 6 7 8 9 12 i() 18 30 21 26 37 28

o 3 8 9 11 i3 14 i5 17 18 19 21 26 27 28

204 TABLE II FORMES LINEAIRES.

III. — Table abrégée des valeurs de x dans #2-t- Dj2 = N {suite).

N. D = « (suite).

6i*+ i

2

3 5 6 8 10 11 12 16 17 18 19 20 23 24 28

2369 10 14 i5 16 17 18 19 20 22 28 3o

67 k + 1

2

67/? dz 1 4

4

5

5

6 12 i5 16 18 19 20 22 2 3 24 25 29 3i 33

7 8 i3 14 i5 17 18 19 21 26 29 3i 32 33

7 1 A H- 1

7

jïft+i 2

3

3

4

4579 11 12 17 19 22 26 27 28 3i 32 34

5 6 8 g 11 i3 i5 16 20 21 23 24 25 >6 27

73A-+ 1

5

73*.± 1 4

4

8 9 10 11 i3 i5 18 19 20 22 23 25 28 3i 33 34 35

5 6 7 8 10 11 12 14 20 >3 24 26 29 3i 33 34 35

79Â--4-1

3

79/i± 1 3

2

9

4

10 i2 i3 16 17 19 20 2i 22 24 28 29 34 36 37 38

5 7 10 12 i3 i5 16 17 18 19 20 23 24 3i 32 37 38

K3A--+-I 83 art 1 2

3

7

5

8 10 11 i4 19 21 22 23 24 26 27 28 29 3o 32 33

11 12 i3 14 17 19 23 26 27 29 3o 32 34 35 36 38

3? 3 9

3g 4o

89Â-+- 1 89/1 ±1 2

3

4

4

567 8 11 12 i5 16 18 20 22 a3 24 26 3i 37 38

678 11 12 i3 14 16 17 18 20 21 27 29 3o 35 37

39 40 44

41 4^ 43

97 k + x

5

97 n — * 4

5

8

8

9 ri 12 i3 )5 19 21 ->\ 25 28 3o 3i 33 35 36 37 42 4^ 44 4^ 4^ 47

9 11 12 i3 i5 16 17 18 20 23 21 27 29 3i 33 34 35 36 42 4^ 4^ 4^

r désigne un résidu quadratique quelconque.

n désigne un non-résidu quadratique quelconque (mod. N).

Pour avoir les solutions de x-^r Dy7 == R (mod. N), R étant un résidu quadratique, on

commencera par résoudre la congruence R = P. On obtiendra les solutions demandées en

multipliant celles qui correspondent à x"*-\- Dy3= 1 (mod. N) par t.

De même, ayant les solutions de x 2+D/2 =N' (mod. N), N' étant un non-résidu, on

obtiendra celles de x 7 -h Dy 2^ N" (mod. N), N" étant un autre non-résidu, en multipliant

les premières par s, s étant défini par la relation N"=N'.s2 (mod. N).

Ces tables remplacent donc avantageusement les tables complètes.

TABLE IV RESIDUS QUADRATIQUES. 205

IV Table de résidus.

1. — Résidus quadratiques.

MODULE RKSIDUS.

3....

5....

I

I 4

7.... I 2

11.... I 3 4 5 9

13.... 1 3 4 9 10 12

17.... I 2 4 8 9 l3 i5 16

19.... I 4 5 6 7 9 1

1

16 «7

23.... I 2 3 4 6 8 9 12 i3 16 18

29.... I 4 5 6 7 9 i3 16 20 22 a3 24 2.5 28

31.... I 2 4 5 7 8 9 10 i't 16 18 «g 20 2 5 28

37.... I 3 4 7 9 10 1

1

12 16 21 25 26 27 28 3o 33 34 36

41.... I 2 4 5 8 9 10 16 18 20 2 I •>3 25 3i 32 33 36 37 39 4o

43.... I

. i

4 6 9 10 11 i3 i \ i5 16 »7 21 23 24 25 3i 35 36 38 40

47.... 2 3 4 6 7 8 9 12 •'4 16 l l 18 >i 2f 2 5 2 7 28 32 3436 37 4^

53.... i

434

44

6

46 47

7

9

49

10

52

11 i.i i5 16 n 24 2 5 28 29 36 37 38 4o 42

59.... i

363

4x4

45

5

46 4

78 4?

12

5i

i5

5316

5?

*7 »9 20 2 1 22 2") 36 27 28 •!) 35

61.... i 3 4 5 9 12 18 i4 i5 16 T 9 20 22 25 27 35 36 3g 41 42

45 46 47 48 49 52 56 57 58 60

67.... i 4 6 9 10 •4 i5 16 17 *9 2

1

22 23 24 25 26 29 33 35 36

37 39 4o 47 49 54 55 56 59 60 62 64 65

71 .... i 2 3 4 5 6 8 9 10 12 i5 16 18 J 9 20 24 25 2 7 29 3o32 36 37 38 4o 43 45 48 49 5o 54 57 58 60 64

73.... i 2 3 4 6 8â

12 16 18 *9 2.3 24 25 27 32 35 36 3 7 384i 46 48 49 5o 54 5 7 61 64 65 67 69 70 7' 7 •

79.... i 2 4 5 8 9 10 1

1

i3 16 18 J 9 20 21 o > 23 25 26 3 r 3 2

36 38 4o 42 44 45 46 49 5o 5i 52 55 62 64 65 67 72 73 76

83.... ! 3 4 7 9 10 1

1

12 16 J 7 21 23 2.5 26 27 28 29 3o 3i 33

36

8i37 38 40 41 44 48 49 5i 59 61 63 64 65 68 69 7° 75 77 78

89.... i 2 4 5 8 9 10 1

1

16

a18 20 21 22 2.5 32 34 36 39 4o

42 44 45ïl

49 5o 53 55 57 67 68 69 7 1 72 73 78 79 80 81

84 85 87

97.... i 2 3 4 6 8

â11 12 16 18 22 24 25 27 3i 32 33 35 36

43 44 47 48 49 5o 54 61 62 64 65 66 70 7 2 73 7 5 79 81 85

86 88 89 9 1 93 94 95 96

101.... i 4 5 6 9 i3 A. 16 J 7 '9 20 21 22 23 24 25 3o 3i 33 36

• 37 43 45 47 49 52 54 56 58 64 65 68 70 7* 76 77 78 79 80 81

82 *4 85 87 88 9 2 95 96 97 100

•,>o6 TABLE IV. RESIDUS QUADRATIQUES.

IV. — Table de résidus (suites).

1. — Résidus quadratiques (suite).

MODULE. RÉSIDUS.

103.... 2 5 7 8 9 1

3

1

4

i5 16 |n 18 n>

23 20 26 28 29 Mo 32

33 34 36 38 4i 46 49 5o 52 55 56 58 :>9 60 61 63 64 66 68 7'

76 79 81 82 83 9 1 92 93 97 98 100

107.... i 3 4 9 10 11 12 i3 i4 16 J 9 2.3 25 2 7 2 9 3o 33 3,4 35 36.'!" 3o 4o 4) ia 44 47 48 V.) 52 53 56 •7 61 62 64 69 7-> 76 798i 83 85 86 87 89 9° 9 2 99 100 IOI 102 Kl.)

109.... ï 3 4 5 n 9 12 i5 16 20 21 22 25 26

%28

?3i 3'| 35

36 38 43 45 46 48 49 60 61 63 6.4 66 7 1 73 7•"> 80 81 82

83 84 87 88 89 93 94 97 100 102 104 io5 106 108

113.... ï 4 n 8 9 1

1

i.i 14 i5 16 18 22 25 26 28 3o 3i 32 36

4 1 lï $9 5o 5i 52 53 56 >7 60 61 62 63 64 69 72 77 81 82 83

85 s7 88 9 1 g5 97 9S 99 100 102 104 io5 106 109 1 1

1

112

127.... i 2 4 8 9 1

1

i3 i5 16 17 18 J 9 21 22 2 5 26 3o 3i 32 3435 36 37 38 4i 42 44 47 49 5o 52 60 61 62 64 68 6g 7° 7 1 72

7 3

12174122

76

12479 81 82 84 «7 88 94 98 99 100 io3 104 n. 7 M 3 11.) 117 120

131.... T 3 4 5 7 9 1

1

12 i3 i5 16 20 21 25 ''7 28 33 34 35 36

38 39 4i 43 44 45 46 48 49 52 53 55 58 r>9 60 61 62 63 64 65

74 7^ 77123

80 81 84 89 9 1 94 99 100 101 102 io5 107 iû8 109 112 n3 .41 17 121 125 129

137.... 1 2 4

â8 9 1

1

4 i5 16

el

18 l\)

22 25 28 3o 32 34 36

3? 38 39 49 5o 56 59 60 61 64 65 68 A 7 2 7 3 74 76 11/ y

78 81 «7 88 93 98 99 100 101 ,„:; io5 107 109 112 Il8 Il 9 120 121 122

123 126 128 129 i3o i33 i35 i36

139.... , 4 5 6 7 9 1

1

i3 16 20 A 25 28 29 3o 3i 34 35 36 3738 4i 42 44 45 46 47 49 5i 52 54 55 57 63 64 65 66 67 69 7 1

77 78 79 80 81 83 86 89 9 1 96 99 100 106 io 7 1 12 n3 116 117 118 120121 122 124 125 I2 7 129 i3i i36 i3 7

149.... T 4 5 6 7 9 16 '7 19 20 22 A 25 26 28 29 3o . 3i 33 3536

II3g 42 45 46 47 49 53 54 61 63 64 67 68 69 73 76 80 8(

82 86 88 95 96 100 102 io3 104 107 1 1

1

1 12 ri3 n4 116 118 XI 9 120 121

123 i'ï 125 I2 7 129 i3o l32 i33 i4o 42 i43 44 i45 148

151.... 1 2 4 5 8 9 10 11 16 l l 18 M) 20 21 22 25 2 9 3i 3a 3436 h 38 39 4o 42 43 44 45 47 49 5o 5 5 58 $9 62 64 68 6Q 72:'. 7 6 78 80 81 84 85 86 88 9° 9 1 94 f)5 97 98 99 100 10 3 io5 IIO

116 118 121 i>3 124 125 I2 7 128 i36 i3 7 i38 i.39 44 i45 48157.... I 3 4

&10 1 r 12 i3 lA 16 17 I(

.)2 5 2

764

3o 3i 33 35 36 37

h 4o 42 46 47 48 49 5i 52 56 ^7 58 67 68 7 1 75 76 8182 86 89 90 93 99 100 IOI io5 106 108 109 110 m n3 n5 117 118 120 121122 124 126 127 i3o l32 i38 140 141 i43 i44 i45 146 147 48 i53 i5t i56

103.... 1 4 G 9 10 i4 i5 16 21 22 24 25 26 33 34 35 36 38 •39 4o4." 43 46 47 49 5i 53 54 55 56 J 7 58 60 Ci 62 64 65 69 7 1 i\77 81 83 84 85 87

134

88 90 9 1 o3 9.5 t 97 100 104 1 11 n3 1 1.) 118 "9121

161

126 i3i l32 i33 i35 i36 i4o 43 i44 i46 i5o i)i l52 i55 i56 i58 160

TABLE IV. RESIDUS QUADRATIQUES. 207

IV. — Table de résidus (suite).

1 . — Résidus q uadratiques ( suite).

MODULE. RÉSIDUS.

167.... I o 3 4 6 7 8 9 Ir 12 «4 16 "9 21 22 2 4 25 2 7 2818

2 9 3i 32 33 36 38 42 44 47 48 49 5o 34 56 37 58 61 62 63 6465 66 72 t 76 77 81 84 85 87 88 89 93 94 96 97 98 99 100 107

108 112 114 1 15 116 121 122 124 126 127 128 i3o l32 i33 ,37 141 «44 «47 i5o IÔ2

i.Vf

i5 : 162

173.... ! 4 6 9 10 i3 "4 i5 16 21 2 2 23 2 4 25 29 3i 33 34 35 36

3 7 38 4o 4i 43 47 49 5i 52 34 55 56 37 60 64 67 73 77 78 81

83 84 85 88 89 90 92 95 96 100 106 109 n3 116 117 118 "9 121 122 12/1

126 i3o l32 i33 i35 i36 !3 7 i38 i3g 140 ,42 «44 148 1% i5o i5i l52 i5 7 ,58 i5.j

160 i63 164 167 169 172

179.... 1 3 4 5 9 l2 i3 «4 i5 16 «7 «9 20 2 2 25 2 7 "i 3i 36 39

42 43 45 46 47 48 49 5i 52 56 57 39 60 61 64 65 66 67 .68 7°

74 75 76 77 80 81 82 83 85 87 88 89 93 93 100 IOI 106 107 108 1 10

n6 117 121 r,.4 125 126 129 i35 i38 i39 i4i

^ «44 .45 146 «47 "49 i5i i53 i55

1 56 i58 l6l 168 169 171 172 i7 3 177

181.... 1 3 4 5 9 "" 12 i3 "4 1 5 16 20 >5 2" 29 33 34 36 37 38

3<) 42 43 44 45 46 48 49 5> 55 56 59 60 62 64 65 67 70 73 73

79 80 81 82 87 94 99 100 101 102 106 108 1 1

1

«"4 nfi rI 7 "9 121 122 125

126 129 l32 i33 i35 i36 x3 7 i38 ,3g 42 i43 i« i45 "47 ,48 1 5a "54 i56 161 i65

166 ,67 168 169 170 172 176 J 77 178 180

191.... 1 2 3 4 5 6 8 9 10 1

2

i3 i5 16 T 7 18 20 2 3 2 4 25 26

2 7 3o 32 34 36 39 4o 43 43 46 48 ta 5o

i:

52 34 39 60 64 65

67 68 69 "2 75 77 78 79 80 81 85 86 90 96 97 98 100 102 io3

104 107 108 IO9 1 i5 1 17 118 120 121 125 128 129 i3o i33 ,34 i35 i36 i38 ,44 «47

«49 i5o i53 ,54 i56 i58 160 162 i63 169 170 172 i77 180 ,84

193.... 1 2 3 4 6 7 s9 12 "4 16 18 21 23 <ï 25 21 28 3i 32

36 43 43 46 48 49 5o 34 55 51, 39 62 63 64 65 67 69 7 2 73 81

. 83 «4 85 86 9 2 9 3 93 ,,6 97 98 100 IO'I 107 108 109 1 10 1 1

2

118 121 y>A126 128 129 i3o i3i i34 i37 i38 i3q '43 «44 i/,5 "47 i5o i5i 157 161 162 i65 166168 169 170 172 17.5 177 "79 181 184 ,85 186 187 189 190 "9" 192

197.... 1 \ 6 n9 IO i5 16 l 9 22 23 2 4 25 26 28 2 9 33 34 36 37

h 4o 4i 42 43 47 49 5i 53 54 55 59 60 61 62 63 64 65 70 7681 83 85 88 9° 9 2 93 96 97 100 101 !04 io5 107 109 112 «4 116 121 127

i3:> i33 134 i35 i36 ï3 7 i38 142 i43 "44 146 "48 i5o 154 i55 i56 157 i58 160 161

i63 164 168 169 171 172 i 7 3 i/4 i 75 178 181 182 "&7 188 190 "9 1 19 3 196

199.... •1 2 4 5 7 8 9 10 i3 «4 16 18 20 23 25 26 28 29 3i 3233 35 36 4o 43 43 46 47 49 5o 5i 52 53 56 37 58 61 62 63 6465 66 70 7 2 79 80 81 86 89 90 9 1 9 2 94 98 100 102 103 104 106112 114 n5 116 117 121 122 123 ia4 125 126 128 i3o i3i i3a i39 »4« "H «45 i5i1 .55 x5

7 i58 160 161 162 i65 169 172 175 "77 178 180 182 184 187 188 i 9 3 196

208 TABLE IV. — RESiriIS CUBIQUES ET SIXIEMES.


(

2. -- Res idu s cub iques et sixièmes

(Les résidus sixièmes sont aussi résidus eu )iqucs.)

MODULE. RÉSIDUS CUBIQUES. RÉSIDUS SIXIÈMES.

7. . .

.

13....

6

± 5

I

± I

19.... 8 12 18 I 7 11

31.... i5 23

i4

29 3o I 2 4 8 16

37.... ± 6 8 ± h IO 1

1

43.... 2 8 22 2"!

432 39 4 2 I 4 1

1

1.6 21 35 4i

61.... =b 8 1

1

23 28 zh. 1 3

420 '•'

7

67.... 3 5 8 2 7 4 2 43 45 52 53 58 1 9 i5 22 2'f

25 4o 59 62

66 6473.... ± n 10 '7

10

21 22 3o ± 1 3 8

â24 27

79.... I 2 '4 17 >.~ 33 4t 5 7 58 61 1 8 10 21 22 38 46 52 62

^9 7 1 78 64 65 6797.... ± 19 20 28 3o 34 4 2 45 46 ± I 8 12 18 22

2?

33 47103.... 3 10 •»•> 2 4

94

3i 37 39 4 2 69 I 8 9 i3 14 3o 34 61 64

73 80 89 90 95 102 66 72 76 79 81 93 100

109.... ± 2 8 '7 '9 23 32 33 4' 54 ± 1 4 16

134 38 43 45 46

127.... 5 10 20 27 33 4o 5i 54 63 66 1 2 4 16 19 25 32 38 47

77 80 89 93 102 108 1 1

1

!'9 123 1>.") 5o 61 64 73 76 87 94 100 107 117

126 122

139.... 8 10 14 23 2 7 33 39 48 59 60 1 6 34 36 44 45 52 55 5 7 63

(r>. 74 7 J 76 82 84 87 94 95 io3 64 65 77 79 80 9 1 100 106 112 116

io5 i33 i38 125 1 29 i3i

151.... 3 24 26 2 7 28 4' 53 5 7 60 65 1 8 9 *J20

^9 44 5o 59 6498 11067 70 S 79 83 87 92 IOI 107 122 68 7 2

7?81 84 86 9» 94

i3i 132 i43 i5o 123 12^ Ii5 127 i48

157.... ± 2

63

8 23 28 29 32 4i 45 54 ± 1 4 «4 16 2 7 39 46 49 56 58

39 78 64 67 7^

163.... 5 8 i3 ii

23 2 728 3o 3i 3 7 1 6 21 22 25 36 38 40 53 58

48 ^9 78 86 98 99 T02 io5 (10 I 23 61 64 65 77 85 io4 n5 126 i32 1 33

125 127 i38 141 142 i5 7 162 i35 i36 140 146 i5o i55 i58

181 ... ± 6 8 l 9 22 26 3o 3i 35 4o rfc 1 5 25 2 7 29 36 4 2 46 48 495i 68 7 1 74 86 56 59 64 67 82

193.... ± 11 i3 20 29 33 35 39 60 68 71 ± 1 3 8 9 i4 23 A on 42 43

74 76 87 88 89 94 5o 64%

69 7 2 81

199.... 1

1

\% l 7 27 42 55

91

60 67 74 1 5 18 25 28 4o 52 61 62

76f-i3o

82 83 85 88 96 101 107 63 64 90 9? 98 io3 106 11

1

n4 1 16

109 i36 i3 7 i38 i4 7 159 171 '74 181 117 121 123 125 l32 i3g j4o i44 i57 172

*9 l i94 198 182 '1 188

211.... 8 12 Ï8 23 27 28 4o 4 2 60 63 1 11 i3 25 55 58 64 65 71

6?

I 13

68 86 88 89 90140

97 98i47

102 104 76 79 82

i4396

\ll

109 n3 I I 4 J 2I

124 129 i3a i35 i46 i53 i56 122 123 125 144 i5i 169 171 i83

l86 198 200 206 210 184 188 193 ï99 203

223 ...

.

i3 26 27 52 M ^9 ?7 9 1 f io3 1 2 4 7 8 14 i5 16 17 28

64 66104 10S 11

1

118 125 141 i55 .s,

195

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1

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TABLE IV. — RESIDUS BIQl ADRAT1QUES. 209

V. — Table de résidus (suite).

3. — Résidus biqua cira tiq les.

MODULE. RÉSIDUS.

5....

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i5g 161 i65 1G7 171 73 180 i83 l84 193 196 203 214 217 218 224 225

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2

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1

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70 73 81 88 9 2 9^ 111 117 120 12 I 123 128

1

KRAITCHIK.

TABLE IV. — RESIDUS CINQUIEMES ET DIXIEMES.


ht. — Résidas cinquièmes et dixièmes.

(Les résidus dixièmes sont, aussi résidus cinquièmes.)

MODULE. RÉSIDUS CINQUIÈMES. RÉSIDUS DIXIÈMES.

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q3 109182 i8

v,

TABLE IV. RESIDUS SEPTIEMES ET QUATORZIEMES.

IV. — Table de résidus {suite).

5; — Résidus septièmes et quatorzièmes.

(Les résidus quatorzièmes sont aussi résidus septièmes.)

MODULE. RÉSIDUS SEPTIÈMES. RÉSIDUS QUATORZIÈME s.

29....

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1

386 4oo 425 428

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3o8 3io 3i4 3i6 33o 348 366 4n 4i8 296 302 35o 353 3 75 402 419 4r

4o 44

1

426 45

1

493 5oo 5oi 507 526 536 546 445 464 475 488 5o6 5og 5i 7 5ig 521

017.... ± 10 29 46 7 3 89 IOI 104 i 3g i5o 182 ± I i5 3ï 69 100 n3 128 1.52 i.56 1.57

273 275i85 192 205 218 22S 234 262 281 282 286 175 188 '94 J 99 224 225 265 266

291 3o7 2X8 290

631.... 11 22 44 69 7 388 "9 i38 i'i? '47 I 2 4 8 16 32

I3 47 5 7 6417.') 176 2 38 255 276 287 2Q2 294 3i5 321 79 86 94 114 121 128 i55 i58 172 188

35o 35a 3 75

53 7

38q 4<>3 443 459 &î5S8

5o3 228 24a 206 279 28t 3io 3 16 337

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TAULE IV. RESIDUS HUITIEMES ET SEIZIEMES.


6. — JRésidus huitièmes et seizièmes.

Les résidus seizièmes sont aussi résidus huitièmes.)

MODULE. RESIDUS HUITIEMES.

17.... 16

41. . . i 10 16 18 3 7

73.... i 2 4 8 16 32- 37 55 64

89.... i

78

2 4 8 16 3a 39 45 64 67

97.... ± 6 16 22

113.... 4 7 64 83 85 97 112

137....

74

16

8834 38 5o 56 59 60 72 7:'.

1 15 119 122 128 i.33

193.... — / 9 12 16 43 55

233....

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2

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128

4 8 16 19 2 3 3 2 3 7 38

63 64 71 74 76 92 102 117i.)5 142 148 i52 175 i8'f 204

241... 10

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16

187

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217 226 240

257.... ± i5 r 7 3o 34 60 68 120 121

281.... 1

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i55

249

486162

252

16 35 5o 58 5g 63 64 7990 98 101 109 m 128 i4o i53

io3 i65 181 200 211 282 236 238

256 273 279

313....

337....

1

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21

258336

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4*

273

9 16 26 27 44 4^ 5o 58

81 83 98 io3 n3 119 121 102

i44 i5o 174 2o5 209 214 228 234256 277 280 294 3oi 3o2 3og

81 84 129 162 168 179 209 233

285 3o5 3n 32i 324 829 333 335

353.... ± 4 34 35 42 64 88 121 i35 146 162

401....

409....

14 16

177 2053oo 362

1 5

71 77IOl 102

197 203

309 3 18

4o5

29 3i 70 80 83 86 145 146206 223 228 276 3x3 324 329 338

376 396 4oo

6 16 17 25 3o 36 53 6980 8

:i 82 83 85 89 96 98

12.5 1 33 i3g i5o 167 179 180 184216 218 256 262 265 272 286 28934i 345 355 363 364 385 389 400

433.... 16

335

406

48 59 98 137 144 164 177 190 199272 280 283 294 352 355 367 382 383

407 4 11 4'6 4 24 43o 432

RESIDUS SEIZIEMES.

1 35 36

1 16 28 3o 49 IQ6 I09

1 49 63 81 84 85

1 i5 24 54 87 91 94 98 100 119

160 i83 2o5 225 23

1

1 2 4 8 16 3 2 64 128

1 2 4 8 i3 16 26 32 52 64

70 io4 128 i58 169 175 208 253 256 2953 16

1 16 22 58 97 122 i3i 1 36 i4o 166

169

1 5 25 3g 5r 63 72 77 88 125

173 1-8 ig5 ig6 224 2.55 256 3i5 3i8 32i

33i 36o 37 2 385 38 7

1 3 g 17 22 26 27 5o 5i 66

78 81 i3g i5o i53 161 198 234 243 256

26g 28g 296 335 3 74 385 417

TA RLE IV. RESIDUS NEUVIEMES ET DIX-HUITIEMES. 2l3


7. — Résidus neuvièmes et dix hu itièmes.

(Les résidus dix-huitièmes sont aussi résid us neuvièmes.)

MODULE

.

RÉSIDUS NEUVIÈMES. RÉSIDUS DIX-HUITIÈMES.

19.... 18 !

37.... ± 6 zb 1

73.... dz io 22 ± 1 27

109.... ± 8 33 £i ± 1 ',5 46

f127.... 63 9") III 119 123 12.) 126 1 2 \ X 16 .32 64

163.... 23 3o 09 78 io5 110 i2.3 125 162 1 38 4o 53 58 85 104 i33 x4<>

181.... d= 19 22 3i 35 7

4

± 1 (a 46 56 59

199 ...

198

60 74 78 85 96 i36 1.37 Ï38 1S1 i 18

18861 62 63 io3 «4 121 125 l3g

271.... 3

2X419 27 29 3o 84 171

243 261 262 270

1X1 18 { 190 1 9241 242

10 28 57 81

24'f

252 26X«7 90 100 1X7

307.... 3

2028 27 34 35 38 72

5o5 226 a/|3 283 298 3o69 1 192 i 9 3 • 9

235 269

24 64 81 I02

272 273 280 299

io5

3o4

n4 1 1 5 216

379.... 5 2

260

.3/8

5 7 68 i2r

ti3.3 162 i63 184

285 286 288 29.3 3o3 328 34o

24l 2.V,

354 >\1 5

lli) 123

''7

.'"> 39 5i 76i.3X 195 216 217

86

24691

2).)93 94

3ll 322

397.... ± 2

198

8 32 62 63 m") 128 i'i5 i'i'i i83 ± 1 \

167

16 3i 64 99 107 124 126 14

1

433.... 2

1

i83

45 7:; 77 91 .38 i5i

i95[65 168 172 : 1 8

*98 *99

54 6', 79 n5 1.33 .40 x4« 179

487.... 5

22812 \\ q5 12 5 126 186

2.33 255 267 296 .3oo 3>i

436 446 448 462 468 4S6

K)5

343

203 20)

344 •>',.,

1 M)166 1S7

3oi 36

1

2 5 39 1i 5i

191 220 2.32 25^362 392 \\'S 4t5

60

25g

J82

i382X2

143 144284 292

523.... 3

1-8

38g

27 33 5o 58 ()5 1 1

5

219 2 3S 2 43 297 317 332

402 424 4'f 2 4^0 4ô 5i2

129

34Q5i4

i36 1 .5.5

;\u.\ :;73

522

1 9160 174.1x7 394

11 43 7 3 81

191 206 226 28040X \i% i6"5 4 7 3

9928.)

IT

121

3o4

(g6

1 34 i5o

345 368

520

541.... ~2l(j

29 44 46 52 56 8923 1 247 266 268

120 K,I 209 fc 1 48207 228

1 10 1 1 .5 124 1292 3 4 >\\ 2.") 2

i3o 1^0 X94 x 9 8

577.... zt 20

1 55

37 42 67 78 83 97

202 2.32 258 261 26612.3 ,4. .',<; ± I 24

171 177

27 33 35 65186 209 2i5 263

<l 127 i52 i63

613.... ± 24* s 7

35 59 69 g3 101 10723i 237 246 269 27.5 281

i45 l52 176 — ï 27.

190 197

28 3o 3 7 6 7

198 220 226 227

116

287143 171 i83

631.... 6 3o 38 02 106 m) 122

igo 20^ 216 260 3ig 333 3Ô2\i2 44g 45 1 '|6i 498 5o6 526

697 606 610 626 63o

126

362

53o

i5o 16738o 4<j3

548 595

1 i5

i33 t 7o

3 12.371

525 579

21 25 34 36180 182 219 2284.5 427 441 46459.3 601 625

83

242

48

1

IOI

2695o5

io5 12.5

279 298509 5l2

739.... 8

198338

548

738

47 5o 5> 97 108 109201 244 252 261 265 296339 356 363 3 7 2 446 456588 606 609 614 633 675

3oi

462682

129 160

323 325

469 5l2

702 719

1 20

191 2274qi 4x4o4i j797.3

1

37 57 64 106

270 277 283 293416 438 443 474610 612 63b 63

1

12.5

36 7

4 7 8

642

i3o 1 33 i5i

3 7 6 3X3 400/,x

7', ()5 538

6X7 689 692

2 1 4 TABLE V. — TABLE DES INDICES.

V. — Table des indices de tous les nombres premiers inférieurs à 50

pour tous les modules inférieurs à 1000.

\.

3

5

7

11

13

17

19

23

2931

3741

434753

5961,

6771.

73,

7983

89,

97,

101.

103.

107,

109,

113,

127,

131,

137139.

149

151,

157,

163,

167,

173,

179,

181.

191.

193.

197.

199.

211,

223,

227.

229^

N — 1 rj. 2. 3. 5. 7. 11. 13. 17. 19. 23. 29. 31. 37. 41. 43. 47.

1

4 2

1

1 3

2.3 3 2 1 5 -

2.0 2 1 8 4 7-

4.3 6 5 8 9 7 1

1

-

16 10 10 1

1

7 9 i3 12 -

2.9 10 l l 5 2 1

2

6 i3 8 -

2.11 10 8 20 i5 21 3 1

2

J l 5 -

4-7 10 1

1

27 18 20 23 2 i5 24 -

2.3.5 H 12 i3 20 4 29 23 1 22 21 27 -

4-9 5 11 34 1 28 fi i3 5 25 21 i5r '~ -

8.5 6 26 i5 22 3q 3 3i 33 9 36

228 32 -

2.3.7 28 39 ll 5 6 4o 16 29 20 32 35 18 -

2.23 10 3o 18 17 38 27 3 42 29 39 43 5 24 20 37 -

4.i 3 26 2.')9 3i 38 46 28 42 4« 39 6 45 22 33 3o 8

•2. 29 10 25 32 34 44 45 23 »4 22 27 4 7 4i 2 i3 53

4.3.5 10 47 42 i4 33 45 20 49 22 39 25 i3 33 18 4i 4o

2. 3. 11 12 29 9 3Pâ

61 23 8 26 20 22 43 44 '9 63 642.5.7 62 58 18 *4 43 27 7 38 5 4 i3 3o 55 44 in

8.9 .> S 6 1 33 55 59 21 6» 46 3.» 11 64 4 01 3i

2.3.i3 29 5o

ll

34 10 7° 74 q 10 52 1 76 23 2l 47 55

2.41 5o 3 81 24 72 67 4 09 16 36 32 60 38 49 «98. 11 3o 72 87 18 7 4 6b 82 53 3i 29 •

;

>7 77 ^7

4^

3432.3 10 86 2 1

1

53 82 83 J 9 27 S 47 26 4' 7 1 60

4.25 2 1 69 24 i3 66 3o 96 9» 84 56 45 42 58

2.3.17 D 46 &7 5q 32 29 66 DO 28 90 76 99 81 9* 55 *7

2.53 63 95 -8 i3 37 7 6 5<s io5 96 60 72 21 6 9045

93 il)

4.27 10 93 28 16 88 107 7 2l 3 100 10 74 65 66 5

16.7 in 52 70 61 72 22 58 .)(, 93 io3 87 3o 29 34 ll 97

2.9.7 109 18 23 1 11 120 52 20 Il8 42 1

1

79 5o 112 nb 121 120

2.5 i3 10 83 126 48 38 98 64 59 45 89 73 & 23 58 22 5

8.17 12 i3o i3 23 2 90 53 86 54 129 93 102 5i 3 7 11

1

2.3.2.1 92 119 4q 22 16 74 26 3 7 83 39 8 40 i36 82 23 70

4.37 10 117 ii5 32 38 25 i33 4 60 i5 128 32 i36 61

ll

i4

2.3.21 i«4 70 4i 82 37 34 101 88 90 n5 54 58 76 m 86

4.3.13 l3 9 i4 7 122 II 37 l52 i3o 128 116 81 ib 58 28 7^ IDI

1602.8l 70 71 43 93 161 97 57 159 127 i53 i43 39 7h 20 106

2.83 10 86 144 81 96 IIO 43 i43 5o 5i 32 152 127 55II

08

4 43 91 i37

i63 3i 127 142 89 85 88 152 122 42 74 '44

2.89 10 73 52 106 23

146

i34 '4 26 65 70 76 19 101 144 i36

4.0.3 10 i33 68 48 i5 32 55 i35 29 84 27 38 59 l4o 109

2.5.19 i5 7 102 i48 90 i33 n5 i56 184 93 112 29 120 65 i45 '74 39

64.3 10 182 i56 1

1

184 93 1.) i4q 59 34 9 i34 1)5 125 72 127

4-49 7 3 61 65 i3 7 86 5 i53 q5 182 68 4o 173 i48 46 34 106

2 .9. 1

1

197 194 i55 6 32 * 128 D 7 n 4i58 76 121 i43 17b 9»

2.3.5.7 Ai 169 127 48 181 186 3i 196 1

1

n5 202 i43 80 ibb

2.3.3 7 10 18 l'

62

205 l32 7 i5Q 192 32 i3i 220 i34 178 198 182 190

2.1*3 2, n 179 161 220 4o 7' 9.» 222 210 76

i437 223 171 182 i5o

4.3.19 1() 27 22 4 202 18, 78 i83 12 64 227 211 44 217 120 19

TABLE V. — TABLE DES INDICES. 213

Table des indices de tous les nombres premiers inférieurs à 50

pour tous les modules inférieurs à 1000 (suite.

\.

233..

239..

241..

251..257..263..

269..271..

277..

281..

283..

293..

307.,

311..

313.,

317.,

331.

337.,

347.,

349.

353.359.367.

373.

379.

383.

389.397.

401.409.419.421.

431.433.439.

443.

449.457.461.463.467.

479.487.

491.499.503.

509.

521.523.

541.

N — 1. P- 2.

8.29 10 200

2.7.17 237 J20iU.3.5 1 12 I 10

2.120 224 195256 10 80

2 . 1 3

1

10 i56

4.67 10 1092.27.0 269 i36

4.3.23 199 078.5.7 117 442.3.47 2 7 3 195

4.73 204 472.9.17 297 2372.5.3i 3oc 848 . 3 . 1

3

10 2744-79 270

i4o2.3.5. 11 31916.3.7 10 3o42,I 73 337 i45

4.0.29 2 20 25332.11 212 12

2.179 349 2802.3.61 IO 322

4.3.31 29I i5i

2 .2" . 7 10 73

2. 191 10 200

,4-97 10 100

4. 9. 11 28 4516.25 21 I 988.3.17 235 1942. n.19 10 494.3.5.7 238 i372.5.43 421 36o16.27 10 2582.3.73 429 i5o

i.i'i.in 433 421

64.7 3 2548.3.19 38o 904.5.23 10 169

2.3.7. 11 h4 822.233 457 4o52.23q 469 2062.243 10 4422.5.49 10 i3

2.3.83 10 3

2.25l 10 320

4.127 10 678.5. i3 439 4 7é

472.9.29 5i3

4.0.27 10 I 10

3. 5.

9348^2

h87IIO

n1485i

iQ 1

79

9288

56263

493i4

3.41 3

1

346

99226i 7 3

160

i3i

I30232838o

1

33

394

5o35o

2474'4

3 70

349240453436

95201

38 7412

33

186

i38

60i 77

160s.,

83

2462292 4 722 3

7 2

39i3

«4

33

29

.,9»

258

4532.3

3o61 33

28,,55

3o4

216

3

2

286i 7 5

70243

f)6

369!9383

29534

45

478

496i83

52

21

428

11 13.

230229

4.26

1iq5,78

170

4 2

82

83

164

140123

82

93iS

39

Al2 97

294i38353358

2963o 7326

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37 3

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7 1

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144

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1i56208i461 12

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342

!»3

1.6

286

181

167

34314

212

3i6362

26927225',

286

356

435264

4432

4525

5o

M347i56502

98162

534 39 5

78

89

7i34

6

84202

i65210

H910

33

n580

214

99.7516

256

7

33q

76198

169

"172 5621

1

387

33

26623 I

3V43o

5o182

n5161

395

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2l6 TABLE Y TABLE DES INDICKS.


pour tous les modules inférieurs à 1000 (suite).

N. . N— 1. p- 2. 3. 5. 7. 11. 13. 17. 19. 23. 29. 31. 37. 41.

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TA RLE V. — TARLE DES INDICES.


pour tous les modules inférieurs à 1000 (suite).

N. N — 1.P«

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47,

2l8 TABLE VI. — DECOMPOSITION DE 2 n

VI. — Décomposition de 2"±i,

2"— 1.

//.

Diviseurs «algébriques. Diviseurs primitifs.

1

3

1

75 01

7 127

9 7 73

11 23.8g13 8191 •

15 7 . 3

1

i5i

17 131071

19 .52428721 7

2 .i27 33 7

23 47 . 17848125 3l 601 .1801

27 7-73 262657

29 233. 1 io3. 208g31 2i4t4S3647

59947933 7.23.8935 oi.i> 7 71. 122921

37 223.6i63i8i 7739 7.8191 79.121 369

41 10367. i645n 3.33

43 43 f. 9719.209983345 7.3i .78. iji 63 1.2 33 11

47 235i.4 5 1 3 . 13264529

49 1 27 4l;;.6 7 6798:><,3

51 7 .i3io7 i I()3.2l43. II1K)

53 636i .694.11 .2o3g44 ()I

55 23.31.89 881 .3191 .201961

57 7.624287 32377.1 212847

59 1799.H .020343 1780337

(il 200.58430092 1 369395

1

63....... 7^.73.^.7.337 92737. 6496.57

G5 31.819. i,45295i43558iii

67 19370721 .761838257287

69 747.178481 10032678938039

71 228479485441 2 1.2 12885833

75 7 . 3i

.

i5i .601 . 1801 1 00801. 10567201

81 7.73.262657 2.393.71 119.97685839

87 7.233. 1 107. 2089 4177.98,57737.55463

89 618970019642690137^495621 1

1

99 7. .2 3. 73. 89. 599479 199. 153649.330.57806959

105 72 .3i .71.127. 131.337 . 122921 29191

.

I 06681 . i52o4i

107 1 6225927682921 3363 3g 1.5780 10288 127

117 7.73.79.8191.121369 9.37.6,55.3.86113.7830 11 82971701411834604692317^1687303715884105727127

TABLE VI. — DECOMPOSITION DE 2 B ±I. "9

VI. — Décomposition de 2"±i {suite).

2--4-1.

n

.

*

Diviseurs algébriques. Diviseurs primitifs.

1

3

a

331

1.

5 1 1

/ 3 439 3 3 I(

>

11 3 68313 3

If1

33i15 32.11

17 3 4369119 I74763

. 21 3^3 54 t 923 3 279620325 3.n 25i-4o5i27 3*. 19 H7211

29 3 59.303316931 3 71.5827^883

33 3 2 .683 67.20A5735 3.H.43 281.8617137 3 1777. 2578108;;

39 3 2 .2 73i 2236689141 3 83. 883 14 1869743 3 2o32o3ioo74o345 3 3

. 11 . 10.33

1

1883700147 3 283.16576853752149 3.43 436395312729751 3J

. 43691 307^2857.0529107.2803981076243353 3

55 3. 11 2. 683 2971.48912491

57 32 . 174763 571 . 1604654892833. 37171. 18247260417686i43364o456465i

59 3

01 3

G3 33. 19.43.5419 77158673929

65 3. 1 1 .2731 i3i .40989 1.762 38.u

69 3 2. 2796203 1 39.168749965921

75 .'> 2. 1 1 .33 1 .25 1 .4o5i 11 3383673o4oi

617.782 33.3.5,53 2 36/

|0!|<J77 3.43.68381 3 5

. in. 87211 i63. 1 35433.2 72oio()Oi

839

499. 1 163.2657. 155077. 1345580977187 32 .59.3o33iC() 9607679 187 161 36 1

1

91 3.43.2731 224771 . 3i 26640270656 548i

97 ')ç)-: 1 . 1 553 . 3 1 S

17 . 1 1 008760 1 836 1 88>

5347 . 242099933645^7

21

99 3 3. 19.67.683.20X5-

3 2. x 1 . 43 . 2« 1 . 33 1 . 54 1 (^ . Sfi 1 7

1

105 211 . 66444 r .156492 1

111 3 2. 1777. 23781080 333i . 17539. io777.5>3i3i2oi9

135 3,Mi.iq.33i.872n.i8S370oi 8ii.i5i2i.3858386426

/,

(789 i

220 TABLE VI. — DECOMPOSITION DE 1 n ± I .

VI. — Décomposition de 2n ±\ (suite).

2^4-1= \2"

—

i 2 -4-1/ \2 B+2 2 -4-1/ w étant impair.

n +i2"— 2 * +1.

/?.

Diviseurs algébriques. Diviseurs primitifs.

1

3

55

5 2

I

"1

7 n39 i3 37

11 5 39713 5 i6i3

15 i3.4i 61

17 137.90319 5 229. 4. > 7

21 5.29 i444g23 277.3026925 4i 1 1 . 8 1 r

27 5 . 1 on 24624;29 5 107067621)

558 1.38477

3

31

33 1 3 . 2 1 1

3

ii 270935 5*. 2g 4739 2 38i

37 5 ,', ( ).'8|',Siii.",

39 i32. 53 . 1J7 3i3. 1240

41 181549. 121 1 254g43 5 17592177655N1

45 S*2

. 109. 1 32i 181 .54001

47 3761 .74840*47069

4981857697937"

49 n351 5. 263i 7 409.3061 . 1.3669

53 5 1801 43o824io465

3

55 4 1 . 2 1 T 3 4i58 7843836i

57 1 3. 52 53 1

3

2754i53o3i6959 5 1 181 .354i . 157649. 17487761 5 7 33. 1709. 368i4o58ioi363 i3.37.n3.i ;

P9 1 1870009834965 4i .53. 157 1 081 4098955868167 5 26g. 1097204 1083456992

1

69 5. ioi3. 1607 703343j28238o9

75 5 3. i32i . 268601 1201 . 1 182468601

81 13.37.279073 18012199620I277771021 .4421 .1302647724886185 5 2 .2ë3[ 7

87 1 3. 5369o368i 22170214192500421 1

1 0952

. 886 1 o851 9077400991 5.29. i6i3

99 5 109.397.432748 42373. 15975607282273io4i8i5865690i8i105 i3.4i .61 . n3.

1 429. 741 636

1

135 13.37.41 .61 .279073.292476615 2

. 3^7 . i32i .4327489.3630105520141541 .49681 .i65o4i853o6o42i

165 66i.33oi . 858i . 121 27627350301

TABLE VI. — DÉCOMPOSITION DE 2 n ±l, 221

VI. — Décomposition de in ±i (suite).

(*±» \ / l±i \

!»-f- I = ^2"— 2 2 -H 1/ \2w -l-2 2 -+-!/, « étant împair

n + 1

2" -+- 2 +1./?.

Divi.-curs algébriques. Diviseurs primitifs.

1

3

5

l3

5

7 5

4i

2 99 5 109

11 2Il313 53 . 10715 53 l32I17 5 2631719 o 5253 1

3

21

231 3 . 1 1

3

5

ii39ioi3. iG')~

25 5 3 2685oi2729

i3.3 7 2790735369o368i

31 5 8681.4947733 5.397 432748935 4i.ii3 74i636i

593.2317697773739 5.i6i3 3l2l.2l84l41 5 10169. 4324938943 173. 101653.50017745 i3.374i.iM 29247661

1407374715781134749 5.2C) *91'*9fl°Tfà3n351 i3. 137.953 1 326700741

15358129.5864776'v)5355 5'.397 363oio552oi4i57 5. 229.457 i3noi . 16096959... ...

615764607533-7 1 653 1

3

3456749. 6670553781 4<»

63 5.29.109. i44',9 4o3884 7 3i8952i.5i48i .3411070165 5». 161

3

69 13.277.30269 541562402374973 5 293.9929. 6493017 12 18220975 1 3. 41 .61 . 101 .Sioi 63901 . 1 3334701

83i 7. 760965599 1075777 1 1 3 . 2 1 1

3

81 5. 109.246241 1 80 1 609766697 1649

87 5.107567629 349.29581 .2792080768993 i3. 558i.384773 373.951088210727633

235621 .8463901912489421.146919792181

99 13.37 2113.31270955

. 29.1321 i44^9-4t39238i105..

129 5.1 75921 7765581 1 7029 . 4695-7 . 9675877 1 543686700

30241 . 16624293547 1754241135 b\ 109. 181. i32i. 54ooi. 246241

TABLE VI. — DECOMPOSITION DE 'A" ± l

.

Vf. — Décomposition de 2 n±i (suite).

21

"-f 1.

*n- Diviseurs algébriques. Diviseurs primitifs.

,

4 .-. I n

8 25 7

12 *7 24l

16 655 37

20 61681

24 257 97- c 7 3

28 l l 10790311

32 641 .6700417

36 17.241 433.38737

40 2 5 7 5.278255361

44 J 7 353.2931542417

48 65537 193.22253377

52 17 858oo1.308761441

50 257 5i53. 544*0972897

GO 17.241.61681 4562284561

64 274 177. 67280421 3 10721

72 97.257.673 577.487824887233

76 J 712 17. 1 48961 .24517014940753

80 65537 4 1 4 7

-

ï .44479 21 °368ooi

84 17.241 • i57Ç)o32[ , 3^61.88959882481

INDEX ALPHABÉTIQUE

Les numéros inscrits sont ceux des pages correspondantes.

Les noms d'auteurs sont imprimés en italique.

Associés (Nombres), 2(i.

Aurifeuille, \!\i.

Binôme (Gongruence), 109.

Calcul par congruence, 21.

Carré (Derniers chiffres d'un), 80.

Carrés (Table donnant les), 162.

Congruence binôme, 109.

— (Calcul par), 21.

— y Définition d'une), i5.

— du premier degré ( Solution

d'une), 24, 5o, 118.

— du second degré (Solution

d'une ), 85, 119.

— exponentielle, 126.

symbolique I -]— 90.

Congruences (Propriétés des), i5.

—( Système des), 41-

Criblage graphique, 34-42.

— mécanique, 43.

Cullen, 22.

Cunningham, 22, i32.

D (a,b),3.

Définition d'une congruence, iâ.

Derniers chiffres d'un carré, 80.

Dickson, 90.

Dirichlet (Lejenne-), vu.

Diviseurs linéaires des formes qua-

dratiques ( Nombre des ), 7.

— primitifs, 5o, 128.

—( Somme des), 7.

Euler, vi, vu, vin, 3, 9, 22, /f8, 182,

i4i, 160.

Équations indéterminées, io3.

Exponentielle (Congruence), 12.J.

Factorisation, 102.

Fauquemberghe, 9.

Fermât, vi, vit, 2, 3, 21, ^7, l\S,

49-

Fibonacci, \Z\.

Formes linéaires, 90, 97.

— quadratiques, 97.

cp (N), 10.

Gauss, vu, vin.

Germain (Sophie), 142.

Graphique (Procédé —de criblage),

34-42.

liermite, v, Vil, vin.

Humbert, vin.

Indicateur, 10.

Indice, n.~>.

Indices (Table des), 214.

Jacobi, vi, 78, 119.

— (Symbole de), 78.

T.agrange, vu.

Landry, 22, i3i.

Lehmer. 2, 89.

Legendre, vu, 78, 119.

— (Symbole de), 62, 78.

Lejeune-Dirichlet, vu.

Loi de réciprocité, 72.

Lucas, 22, i32.

Mécanique (Procédé — de criblage),

43.

Minimum (Résidu), 19.

Morehead, 22, 14 3.

Nombre des diviseurs, 7.

— parfait, 8.

— premier, 1.

Nombres amiables, 9.

associés, 26.

— premiers (Table des), 2.

Pervoncliinc,

INDEX ALPHABETIQUE.

Powers, 9.

Primitifs (Diviseurs), 5o, 128.

Primitive (Racine — d'une con-

gruence), m.— (Racine — d'un nombre), n5.

Quadratique (Résidu), 62.

Racine primitive d'une congruence,

m.Racine primitive d'un nombre, n5.

Résidu minimum, 19.

Résidu «'pni«, 12O.

— quadratique, 62.

Résidus (Table des), 200.

Seelhof, 22.

Sophie Germain, \!\i.

Somme des diviseurs, 7.

Symbole de Jacobi, 78.

— de Legendre, 62, 78.

Système des congruences, 41«

Table des indices, 214.

— des nombres premiers, 2.

— des résidus, 20.3.

— donnant les carres, 162.

Vilsoiu 53, 83.

Western, 22, i'p.

ERRATA.

Plusieurs erreurs typographiques se sont malheureusement glissées au cours

de l'impression de cet Ouvrage. Nous donnons ci-dessous les principales. Le

lecteur corrigera facilement de lui-même les autres.

'âges. L^ne (')• Au lieu de : Lire :

9— 10 22 V

i3 — 8 premiers avec inférieurs à î\

36 - 3 3 — 3

38 12 2 — 2

4o — 8 12 — 12

39 — 1 x = 3 ( mod 4) x = 2 ( mod 4)

4o 7 x == 586 x = 386

àl 6 les deux termes les termes

5i 3 2" —

1

a" — 1

6o - 4 z^ — p z* — z

6i 6 = ^ 1

67 9 supérieurs inférieurs

76 7il vient

( il vient

l à un multiple de p près

83 *7 x7 = ±b x = ± b

117 8 am am120 9 et 1

1

^3i3, 5353 76i3, 6353

i3o, ll 3706 3607

i 9 3 - 8 N =9. 2.3.4.7 2.4.6.7

128 Les nombres 3 et 9 du tableau doivent être permutés.

121-122 Les indices suivants doivent être corrigés :

N== 11 19 29 3i 4 1 47 ^9 61 67 73 79 83

IndN = 788i 6418 i399 6218 67 39 3622 8243 4655 8116 6823 6923 6916

(') Le trait placé devant un chiffre signifie que les lignes sont prises en

remontant.

KRAÏTCHIK.

TABLE DES MATIÈRES

Pages

.

Préface de M. d'Ocagne v

Chapitre I. — Généralités.

1 . Nombres premiers et composés i

2. La suite des nombres premiers est illimitée i

3. Nombre des nombres premiers 2

4. Formule générale des nombres premiers 2

5. Plus grand commun diviseur. Nombres premiers entre eux 3

6. Si deux nombres sont premiers avec un troisième, le produit de ces

nombres est aussi premier avec ce troisième nombre. 4

7. Décomposition en facteurs 4

8. Condition pour que la racine k u'mc d'un nombre soit rationnelle S

9. Théorème fondamental 5

10. Plus grande puissance de A qui divise n\ 6

11 . Nombre et somme de diviseurs. Applications 7

12. Nombres parfaits 8

13. Nombres amiables , 914. Nombre de décompositions en deux facteurs 10

15. Indicateur 10

1G. L'indicateur d'un produit de deux nombres premiers entre eux est égal

au produit des indicateurs de ces nombres 11

17. Formule de l'indicateur n18. Nombre des nombres ayant un plus grand commun diviseur donné

avec le nombre donné i3

19. La somme des indicateurs de tous les diviseurs d'un nombre est égale à

ce nombre 14

Chapitre II. — Congruence du premier deg\

1 . Définition d'une congruence if>

2. Propriétés des congruences i5

3. Résidu et résidu minimum 18

4. Formule donnant le signe du résidu minimum 19

5. Valeur de f{x) pour un module donné 20

6. Calcul par congruence 21

7. Nombre des congruences possibles pour un module donné 23

KRAÏTCHIK l5

Q26 TABLE DES MATIÈRES.

Pages.

8. Nombre des solutions d'une congruence donnée,

23

9. Une congruence du premier degré est toujours possible et n'admet

qu'une solution si le coefficient de l'inconnue et le module sont pre-

miers entre eux 24

10. Solution d'une congruence du premier degré par fractions continues.. 24

11

.

Symbole x == — ( mod p) 25

12. Nombres associés 26

13. Autre méthode de solution d'une congruence du premier degré 26

14. Cas quand le coefficient de l'inconnue et le module ne sont pas pre-

miers entre eux 28

15. Système de congruence 28

16. Un système des congruences est toujours compatible si les modules

sont premiers entre eux 3i

17. Criblage, procédé graphique " 34

18-20. Exemples numériques 36

21

.

Criblage mécanique 43

22. Système de congruence de même module 41

Chapitre III. — Généralités sur les congruences de degrés supérieurs.

1

.

Théorème de Fermât 47

2. Autre démonstration 4^

3. Théorème d'Euler 4$

4. Application à une congruence du premier degré '.

5p

5. Diviseurs primitifs d'un nombre de la forme a" — 1 So

6. Congruence de degrés supérieurs 5i

7. Une congruence de degré m n'admet pas plus de m solutions 5a

8. Quelques identités 53

9 . Théorème de Vilson 53

10. Tout nombre premier de la forme l\n +1 est un diviseur d'une sommede deux carrés 54

1 1

.

Relations entre les coefficients et les racines 54

12. Solutions communes à deux congruences 55

13. Cas où le module est inférieur au degré de la congruence 55

14-15. Condition pour qu'une congruence de degré m admette m solutions. 56

1. Toute congruence du second degré peut être ramenée à la forme z 1 h= q

( mod p) 5g

2. Cette congruence admet deux solutions ou est impossible 60

3-/|. Condition pour que la congruence z- = q ( mod p) admette deux solu-

tions 60

5. Symbole (£\ 61

6. Symbole(

• ) 62

TABLE DES MATIERES. 227

(q\PageS '

7. Symbole l —jquand q est composé

(33

8. Cas de p = 4 k -f- 1fi

r

9-10. Théorèmes concernant les résidus quadratiques 65

11. Formule pour déterminer l^-\ 66

12. Cas quand q est impair gg

13. Symbole(j) 6g

14. Autre formule pour la détermination de (%.\ ~

15

.

Loi de réciprocité

16. Récapitulation des formules concernant les résidus quadratiques17. Autre point de vue18. Cas d'un module =

.. 7 3

74P" .5

19. Cas de q — g20. Cas de p = 2" ............. .'

. . . . ; . . . . . . . .

.'

; .

'

21

.

Cas d'un module composé. Symbole de Jacobi ig

22. Application. Les derniers chiffres d'un carré gG

23. Solution de la congruence symbolique(-

]= +1 82

24. Résolution directe de la congruence x- = a (mod/?) 83

i° Cas de a = — 1 r>o

2° Cas de p — %k -+- 3 8/1

3° Cas de /> = 8 A + 5 ; [[ 84

25. Solution générale gc

20. Cas /> = A" ..'..'

827 « cas ^=2" y./.y/.y/.y.y.^'.;;;;";'.'.*.; 8s28. Applications

: i» Trouver les n derniers chiffres d'un nombre, connais-sant les n derniers chiffres de son carré pq

2° Trouver un nombre qui finisse avec les mêmes n chiffres queson carré

9°

29. Solution de (- \ = ,

\x) ' 90

30. Théorèmes concernant l'équation symbolique (~\ — y..'. QI

31

.

Solution de(-

J= i dans certains cas

q 3

32. Solution de (=-2) = . g6

33. Table de ces solutions (Table II)

34. Forme quadratique'

35. q= D est résidu de x"1 ± Dy 2

q836. Importance de ce résultat.

Qg37. Identité des diviseurs linéaires de x7 ± Djk 2 et z 2 ± D 0838. Tout nombre qui divise une somme de deux carrés est une somme de

deux carrésg

39. Tout nombre premier de la forme 4A + 1 est une somme de deuxcarrés

99

228 TABLE DES MATIERES.

Pages.

40. Cas d'un nombre composé 100

41 . Nombre de décomposition en somme de deux carrés ioo

42. Application à la pratique 101

43. Mêmes théorèmes pour les formes x2 -+- iy2, x2 H- 3y 2 102

44. Applications aux équations indéterminées io3

45. Equation linéaire ax -h by + c = o io4

46. Équation bilinéaire axy -+- bx -h cy -h g? = o 104

47. Equation y 1 == ax"2 -+- bx -h c ije>5

48. Équation générale /( x) = F (y) 106

49. Équation x1 zt Dy- = N 107

Chapitre Vr

. — Congruences binômes, Indices.

Congruences exponentielles.

1-5. Théorèmes concernant les congruences binômes 109

6. Racine primitive d'une congruence ni7. Congruence x?~ x == v ( mod/?). Racine primitive d'un nombre 112

8. Indice 1 i5

9. Relations invariantes d'un système d'indices 116

10. Indice d'un produit, puissance, quotient 116

11. Table d'indices 117

12. Application à une congruence du premier degré 118

13. Application à une congruence de second degré 119

14. Table d'indices jusqu'au 10000 119

15. Exemple 120

16. Usage de cette Table 122

17. Condition de possibilité d'une congruence binôme xm = A (mod/?) .... i23

18. Cas où l'on ne possède pas une Table d'indices 1^4

19. Changement de base d'un système d'indices. Invariants 12!?

20. Congruence « r =i (mod/?) 12S

21-22. Théorème concernant cette congruence 126

23. Répartitions de p — inombres (mod/?) 127

24. Diviseurs primitifs d'un nombre de la forme am — 1 128

25. Cas de p = am i3o

26. Cas de /? = 2m iîo

Chapitre VI. — Factorisation.

1. Historique i32

2. Application de la Table de diviseurs linéaires des formes quadratiques.

Application à un nombre de 8 chiffres i33

3. Factorisation indirecte par la décomposition en somme de deux carrés. i4o

4. Application de la réciproque du théorème de Fermât 142

5. Factorisation par la forme x"1 —y 2 = N. Considération sur le choix de

l'inconnue soumise au criblage i4 2

6. Introduction d'un nouveau facteur i45

7. Cas d'un nombre de la forme a'1 dr bn 146

8. Formes linéaires de x i4$

TABLE DES MATIERES. 22g

Pages

.

9. Module 2" i5o

10. Module 3" i5o

11. Module 5" i5i

12. Application à un nombre de 19 chiffres i5i

13. Conclusion . 160

Tables.

I. Tables donnant les carrés de tous les nombres inférieurs à 1 million. 162

II. Diviseurs linéaires des formes quadratiques x 1 ±: Dy 2 pour toutes

les valeurs de D inférieur à 200 164

III. Formes linéaires 187

1 . Formes linéaires de x, y, a, b dans à1 -+- b 2 — x 2 — y"1 = JN 187

2. Formes linéaires de a, b, x, y, z, t dans

a- -+- b 2 = x 2 — y 2 = z l -h zri3 = t2 + nv 2 = N 190

IV. Table de résidus , 2o5

1. Résidus quadratiques de N pour N inférieur à 200 2o5

2. Résidus cubiques et sixièmes 200 208

3. Résidus biquadratiques 260 209

4. Résidus cinquièmes et dixièmes [\Zo 210

5. Résidus septièmes et quatorzièmes 640 211

6. Résidus huitièmes et seizièmes + 44° 2l2

7. Résidus neuvièmes et dix-huitièmss 750 2i3

V. Table des indices de tous les nombres premiers inférieurs à 5o pourtous les modules inférieurs à 1000 2 14

VI. Décomposition de 2" ± 1 218

1 . Décomposition de 2" -+- 1 pour n impair :

n = 1 — 7 1.75. 81 .87.89.99.105.107. 1 17. 127 218

2. Décomposition de 2" -+- 1 pour n impair : '

n = 1 — 65.69.75.77.81 .83.87.91.97.99.105. nr ,r35 219

3. Décomposition de 2 2 " h- i pour n impair :

77-4-1 rt'-4-l

Décomposition de 2"— 2 2 +1 et an'-f-a 2 -h 1 :

n = 1 — 69.75.81.85.87.91.99. io5.i 35.i 65 220

n'= 1 — 65.69.70.75.78.81 .87.93.99. 105.129. 1 35 221

4. Décomposition de 22 " -1-1 pour n pair :

n = 2 — 32. 36. 38. 4o.44 • 222

Index alphabétique 223

FIN DE LA TABLE DES MATIERES.

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