Ensemble des nombres complexes

1Séquence 6 – MA02

Séquence 6

Ensemble des nombres complexes

Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble qui contient l’ensemble R des nombres réels et dans lequel les carrés peuvent être négatifs.

Sommaire

Prérequis

Définition – Forme algébrique

Forme trigonométrique Synthèse

© Cned - Académie en ligne


Équation du second degré dans Les nombres a, b et c sont des nombres réels avec a ≠ 0 et x est un nombre réel.

Tout trinôme du second degré ax bx c2 + + avec a ≠ 0 peut s’écrire sous la forme

ax bx c a xba a

22

22 4+ + = +

−

∆ où ∆ = −b ac2 4 .

Résolution dans R de l’équation ax bx c2 0+ + =

∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

Deux solutions :

xb

a2et1 = − − ∆

xb

a2 2= − + ∆

Une solution :

α = −ba2

Pas de solution

Géométrie Longueur de la diagonale d’un carré, de l’hypoténuse d’un rectangle isocèle.

A a

aa 2

B

C

Le plan est muni d’un repère orthonormé O ; u v

, .( )L’équation ax by c+ + = 0 avec a b; ;( ) ≠ ( )0 0 est une équation de droite.

La distance des points M0 x y0 0;( ) et M x y;( ) est égale à

M M0 = −( ) + −( )x x y y02

02 .

L’équation x x y y R−( ) + −( ) =02

02 2 est une équation du cercle de centre

Ω x y0 0;( ) et de rayon R.

A

Théorème

Théorème

B

1 Prérequis


4 Séquence 6 – MA02

Montrer que l’ensemble E ayant pour équation x y x y2 2 4 2 0+ − + = est un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

On transforme l’équation donnée pour faire apparaître x x−( )02 et y y−( )0

2. On a les équivalences :

x y x y x x y y2 2 2 24 2 0 4 2 0+ − + = ⇔ −( )+ +( ) =

⇔ − +( )+ + +( )− =x x y y2 24 4 2 1 5 0

⇔ − + +( ) (x y2 12 )) .2 5=

La dernière équation permet de reconnaître que l’ensemble E est le cercle de centre Ω 2 1; −( ) et de rayon 5.

Formules de trigonométrie

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O ; OI OJ),

, on considère un cercle C

orienté de centre O et de rayon 1. Soit x un réel et M le point qui lui est associé.

On appelle cosinus de x et sinus de x les coor-données de M dans le repère (O ; OI OJ).

,

On a ainsi : M (cos x ; sin x).

M

O

J

Icos x

sin x

x

+

Définition

Réel x 0π6

π4

π3

cos x 1 32

22

12

0

sin x 012

22

32

1

Propriété

Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a :

− ≤ ≤1 1cosx et − ≤ ≤1 1sinx ;

cos sin2 2 1x x+ = ;

cos cos

sin sin

( )

( )

x k xx k x

+ × =+ × =

2

2

ππ

.

Exemple A

Solution

À savoir



Propriétés

cosinus et sinus des réels associés à un réel x

cos( ) cos

sin( ) sin

− =− = −

x xx x

cos( ) cos

sin( ) sin

ππ

+ = −+ = −

x xx x

cos( ) cos

sin( ) sin

ππ

− = −− =

x xx x

cos sin

sin cos

π

π2

2

−

=

−

=

x x

x x

cos sin

sin cos

π

π2

2

+

= −

+

=

x x

x x

Propriétés

Formules d’addition

Pour tous réels a et b, on a :

cos cos cos sin sin ,

cos cos cos si

a b a b a b

a b a b

+( ) = −−( ) = + nn sin ,

sin sin cos cos sin

sin sin

a b

a b a b a b

a b

+( ) = +−( ) =

,

aa b a bcos cos sin− .

cos cos sin2 2 2a a a= −cos cos2 2 12a a= −cos sin2 1 2 2a a= −sin sin cos2 2a a a=

Fonction exponentielleC

Théorème

Relation fonctionnelle caractéristique

La fonction exponentielle est la seule fonction f non nulle et dérivable sur R telle que ′ =f ( )0 1 et, pour tous réels a et b, f a b f a f b( ) ( ) ( ).+ = ×



2 Définition – Forme algébrique

Objectifs du chapitreL’existence d’un ensemble de nombres dans lequel des carrés peuvent être néga-tifs est énoncée dans un théorème, admis en terminale.

On expérimente alors les calculs possibles.

On en donne une première interprétation géométrique.

On résout toutes les équations du second degré.

Par nécessité, la notion de nombre s’est enrichie au cours des siècles.

On connaît ensemble des entiers naturels 0 ; 1 ; 2 ; …N = .

L’ensemble Zdes entiers relatifs contient N ainsi que les opposés des entiers naturels : ; – 3 ; – 2 ; – 1; 0 ;1; 2 ; … …Z =

Les nombres fractionnaires, nécessaires pour les partages, sont de la forme ab

avec a et b entiers ; ils constituent l’ensemble des nombres rationnels.

En prenant b = 1, on voit que Z est un sous-ensemble de .

L’ensemble R des réels est constitué de l’ensemble des nombres ration-nels et aussi de l’ensemble des nombres irrationnels (qu’on ne peut pas écrire sous la forme a

b avec a et b entiers) ; nous en connaissons des exemples :

π , ,2 3…

Pour résoudre des équations (du troisième degré en particulier), les mathéma-ticiens du XVIe siècle commencèrent à entrevoir l’existence d’autres nombres qu’ils appellent nombres imaginaires. C’est le cas en particulier de Jérôme Car-dan, mathématicien italien, qui obtenait des résultats intéressants en prenant la racine carrée d’un nombre négatif.

Au milieu du XVIIIe siècle, le mathématicien suisse Leonhard Euler désigne par i le nombre imaginaire –1 ; ainsi i2 = –1 et tous les imaginaires inventés seront de la fonne a + ib avec a et b réels.

Tous ces nombres constituent l’ensemble des nombres complexes, exemple que l’on va noter . Ces ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres. Ils ont des pro-priétés différentes, en particulier dans la résolution des équations.

L’équation 7 4+ =x n’a pas de solution dans N, mais sa solution (–3) est dans Z.

L’équation 3 2x = n’a pas de solution dans Z , mais sa solution 23

est dans .

A

Remarque



L’équation x 2 2= n’a pas de solution dans , ses solutions (– )2 et 2 sont irrationnelles.

L’équation x 2 1= – n’a pas de solution dans R, mais aura 2 solutions i et (–i) dans le nouvel ensemble que l’on va étudier maintenant.

23

(–i)

(–3)

(– 2) 2

i

Pour débuter

La résolution des équations du second degré était connue des Babyloniens vers 1700 ans avant J.-C.

L’étude de la résolution des équations du troisième degré aboutit en 1545 avec la publication, dans l’Ars Magna de Jérôme Cardan, de la formule découverte par Scipione dal Ferro.

Une équation de la forme x px q3 = + a pour solution le nombre x donné par

xq q p q q p= + − + − −2

27 4108 2

27 4108

2 33

2 33 .

Dans cette formule, le symbole 3 désigne la racine cubique d’un nombre : a étant un nombre réel, a3 désigne le seul nombre réel dont le cube est égal à a. L’existence et l’unicité du nombre a3 sont prouvées à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires. Sur une calculatrice, la racine cubique du nombre a

s’obtient en élevant a à la puissance 13

.

Démontrer que toute équation de la forme x px q3 = + possède au moins une solution dans .

En utilisant la formule publiée par Cardan, trouver une valeur de x solution de l’équation x x3 2 4= + .

Mais si on essaie de faire de même avec l’équation x x3 15 4= + , on ne peut pas conclure car 27 42 3q p− est strictement négatif et on ne peut pas en prendre la racine carrée. Mais on sait qu’il y a au moins une solution d’après .

B Activité 1



Des algébristes italiens du XVIe siècle, Bombelli en particulier, eurent l’audace de continuer quand même les calculs en utilisant un nombre dont le carré est égal à −1. Ce nombre sera plus tard noté i par L. Euler en 1777.

En utilisant l’égalité i2 1= − , montrer que, dans le cas de l’équation x x3 15 4= + , on a

q q p2

27 4108

2 112 3

+ − = + i et q q p2

12

27 4108

2 112 3

− − = − i.

En utilisant l’identité remarquable ( ) ,x y x x y xy y+ = + + +3 3 2 2 33 3 vérifier que ( )2 2 113+ = +i i et ( )2 2 113− = −i i.

En déduire une solution x0 de l’équation x x3 15 4= + .

Terminer la résolution de l’équation x x3 15 4= + en montrant qu’elle est équivalente à une équation de la forme ( )( ) .x x x ax b− + + =0

2 0

Cours1. Définition

Dans , il est impossible de trouver des nombres dont le carré est négatif. Dans , cela devient possible…

On a prolongé les opérations (addition et multiplication) avec leurs propriétés, mais on a perdu une autre des propriétés de : l’ordre. Dans , deux nombres quel-conques x et y peuvent toujours être comparés : on a x y≤ ou x y> . Une des conséquences de l’ordre dans est la règle des signes, en particulier on sait qu’un carré, qui est le produit de deux nombres de même signe, est un nombre positif.

L’ordre de ne peut donc pas être prolongé dans puisque, dans , il existe des carrés négatifs. Ainsi, le nombre i ne peut pas être comparé à 0, le nombre i n’est pas positif et i n’est pas négatif.

Le symbole désigne, dans , le nombre positif dont le carré est égal au nombre positif qui est sous le radical. Comme il n’y a pas d’ordre dans , le mot « positif » n’a pas de sens pour un nombre non réel et on ne peut pas généraliser l’utilisation de ce symbole qui reste donc réservé aux réels positifs.

C

Théorème 1

(Admis) Il existe un ensemble, l’ensemble des nombres complexes, noté , tel que : contient l’ensemble des nombres réels ;

est muni d’une addition, d’une multiplication (et donc d’une soustrac-tion et d’une division) qui possèdent les mêmes règles de calcul que dans l’ensemble des nombres réels ;

il existe, dans , un nombre i tel que i2 1= − ;

tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme z a b= + i ,où a et b sont des nombres réels.

Remarque



L’écriture a b+ i , a et b étant réels, s’appelle la forme algébrique du nombre complexe z tel que z a b= + i .

Le nombre réel a s’appelle partie réelle du nombre complexe z et on écrit a z= Re( ).

Le nombre réel b s’appelle partie imaginaire du nombre complexe z et on écrit b z= Im( ).

Quand a est nul, le nombre complexe z s’écrit z b= i et on dit que z est un imaginaire pur (après leur invention, les nombres complexes étaient appelés « nombres imaginaires »).

Définitions 1

La partie réelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe z, Re( )z et Im( ),z sont des nombres réels.

Le nombre réel 0 est un imaginaire pur (0 = 0 i) !

Propriété 1

Nombre complexe nul : a b a b+ = ⇔ = =i et0 0 0.

Égalité : a b a b a a b b+ = ′ + ′ ⇔ = ′ = ′i i et (où a, b, a’ et b’ sont réels).

Caractérisation d’un nombre réel : z z∈ ⇔ = Im( ) .0

Caractérisation d’un imaginaire pur : z zest imaginaire pur Re⇔ =( ) .0

Démonstration

Ces quatre propriétés sont déduites de l’unicité de l’écriture sous forme algé-brique z a b= + i , unicité qui est énoncée dans le théorème 1.

2. Opérations

On applique les mêmes règles que dans . On a donc les mêmes identités remarquables.

Voici quelques exemples de calcul.

(2 + 3i) + (5 – 4i) = 2 + 5 + 3i – 4i = 7 – i.

(2 + 3i)(1 – i) = 2 + 3i – 2i – 3i2 = 2 + i + 3 = 5 + i, car i2 = –1.

(2 + 3i)2 = 22 + 2 2 3i + (3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = 4 + 12i – 9 = –5 + 12i.

Ici, on a utilisé une identité remarquable qui se calcule comme dans ; on a aussi utilisé le fait que i2 = –1.

Remarque

Exemples



(1 + 3i)(1 – 3i) = 12 – (3i)2 = 1 – 9i2 = 1 + 9 = 10.

Ici, c’est l’identité remarquable (x + y )(x – y ) = x 2 – y 2 qui a été utilisée en prenant x = 1 et y = 3i.

On peut remarquer que le produit de ces deux nombres complexes non réels est un nombre réel.

Propriété 2

Pour tous nombres complexes z a b= + i et ′ = ′ + ′z a bi , a, b, a’ et b’ étant des nombres réels, on a :

z z a a b b+ ′ = + ′ + + ′( ) ( )i ;

zz aa bb ab a b′ = ′ − ′ + ′ + ′( ) ( )i ;

kz ka kb= + i pour tout réel k ;1

2 2 2 2 2 2a ba b

a b

a

a b

b

a b+= −

+=

+−

+ii

i si z ≠ 0.

Démonstration

On applique les mêmes règles de calcul que dans .Pour le produit, on a

zz a b a b

aa ba ab bb

′ = + ′ + ′

= ′ + ′ + ′ + ′

( )( )i i

i i i2

i car i2= ′ − ′ + ′ + ′ = −( ) ( ) .aa bb ab a b 1

Pour l’inverse, on utilise une identité remarquable (comme on l’a fait avec des radicaux) en multipliant le numérateur et le dénominateur par a b− i :

1 12 2 2 2z a b

a ba b a b

a b

a b

a

a b=

+= −

+ −= −

− −( ) =+

−i

ii i

ii

( )( )bb

a b2 2+.

Tout nombre complexe non nul admet un inverse.

Pour tous nombres complexes z et ′z , on a : zz z′ = ⇔ =0 0 ou ′ =z 0.

Démonstration

On a trouvé un inverse pour chaque nombre complexe non nul donc si zz ′ = 0 et z ≠ 0, en multipliant par l’inverse de z (c’est-à-dire en divisant par z), on obtient

′ =z 0. Donc si zz ′ = 0 alors on a z = 0 ou ′ =z 0.

On vérifie facilement la réciproque en utilisant par exemple a b= = 0.

Déterminer la forme algébrique de l’inverse du nombre 2 3+ i et du quotient 31 2

+−

ii.

On a : 12 3

2 3

3

213

3132+

= −+

= −i

i

2i2 ;

Conséquence

Exemple 1

Solution



31 2

3 1 22

3 2 3 2 1+−

= + +−

= + + × +ii

i i)(1 i)(1+2i)

i i2( )( ( ) ( )).

1 2

1 75

15

752 2+

= + = +ii

Quelques propriétés du nombre i :

i = –1; i = i i = –i ; i = (i ) = 1; i = i… ;1i

=i

i=

i–1

= –i2 3 2 4 2 2 52× ..

Pour n ∈ , i4n = (i4)n = 1n = 1

i4n + 1 = i4n i = 1 i = i

i4n + 2 = i4n i2 = 1 (–1) = –1

i4n + 3 = i4n i3 = 1 (–i) = –i

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :

( ) ; ; ; ;11

7 42 31 4

11

11

39

+−

−+

+−

−+

i

iii

ii

ii

35.

(1 i) 1 3i 3i i 1 3i 3 i 2 2i

17 4i

7 4i(7 4i)(7 4i)

7 4i

7 4

765

465

i

2 3i1 4i

(2 3i)(1 4i)(1 4i)(1 4i)

2 3i 8i 12

1 4

1017

–1117

i

1 i1 i

(1 i)(1 i)(1 i)(1 i)

1 2i 1

1 1(i) i

3 3 2 3

2 2

2 2

9 9

2 2

99

+ = + + + = + − − = − +

−= +

− += +

+= +

−+

= − −+ −

= − − −+

= −

+−

= + +

− +

= + −

+

= =

Penser à simplifier d’abord la parenthèse et ne faire agir qu’ensuite l’exposant.

1 i1 i

(1 i)(1 i)(1 i)

1 2i 1

1 1( i) ( 1) (i) i

i (i ) i 1 i i ( i) i

35 2

2 2

3535 35 35 35

4 8 3 4 8 3 8 3 3

−+

= −

+ −

= − −

+

= − = − = −

= − = − × = − × = − = − − =× +

3. Représentation géométrique

Les nombres complexes ont longtemps été acceptés difficilement.

Peu à peu, des mathématiciens en ont donné une interprétation géométrique : Wessel en 1797 dans un texte en danois qui fut peu diffusé, Argand en 1806, Gauss en 1831. Leur existence n’a ensuite plus posé de difficultés.

Remarque

Exemple 2

Solution

Remarque



Soit O ; u v

,( ) un repère orthonormé direct du plan.

À tout nombre complexe z a b= + i (avec a et b réels), on associe le point M de coordonnées a b;( ) dans ce repère.

On dit que M est le point image de z et que OM

est le vecteur image de z.

Inversement, au point M a b;( ) du plan, on associe le nombre complexe z a b= + i .

On dit que z est l’affixe du point M et aussi du vecteur OM

.

O a

b

v

z = a + ib

M(z)

u

Notation

Le point M ayant pour affixe z peut être noté M( ).z

Définition 2

Pour éviter toute confusion, les vecteurs du repère ne s’appellent pas i

et j.

Le plan étant muni d’un repère orthonormé direct O ; u v

, ,( ) placer les points A, B, C, D et E d’affixes respectives :

zA = − +2 3 i ; zB i= −3 ; zC i= −3 ; zD = 5 et zE i.= +2 2

Lire les affixes zF , zG, zH, zK , zL et zw .

O 0,5

v

u

w

H

F

G

K

L

Remarque

Exemple 3



Représenter dans le plan :

a) l’ensemble 1 des points M d’affixe z telles que Re( )z = −1;

b) l’ensemble 2 des points M d’affixe z telles que Im( ) .z = 3

On place les points d’après leurs coordonnées : A −( )2 3; , B 3 1; ,−( ) C 0 3; ,−( )

D 5 0;( ) et E 2 2; .( ) En lisant les coordonnées, on obtient les affixes :

z 1,F = − zG i,= −3 zH i= +3 , zK i= −12

32

, zL i= +12

32

et zw = − −3 2i

(On a remarqué que les points K et L sont sur le cercle trigonométrique.)

O 0,5

v

u

w

H

B

2

E

A

DF

1

2

G

K

L

C

a) Le point M d’affixe z a b= + i (avec a et b réels) est un point de 1 si et seulement si a = −1, l’ensemble 1 est donc la droite d’équation x = −1.

b) De même l’ensemble 2 des points M d’affixe z telles que Im( )z = 3 est la droite d’équation y = 3.

Nombres complexes Vecteurs

Somme Soit z a b= + i et ′ = ′ + ′z a bi ,

alors z z a a b b+ ′ = + ′ + + ′( ) ( )i

Soit v a b

;( ) et

′ ′ ′( )v a b

; , alors

v v a a b b

+ ′ + ′ +( ); '

Produit par un réel k

En particulier k = −1

k z k a b ka i kb( i ) ( )= + = +

− = − −z a bi

k v ka kb. ;

( )− − −( )v a b

;

On observe une grande correspondance entre ces opérations pour les nombres complexes et pour les vecteurs.

Solution

Remarque



Pour l’addition et la multiplication par un nombre réel, manipuler les deux coor-données d’un vecteur revient à manipuler un seul nombre complexe.

On obtient ainsi les propriétés suivantes.

Dans le plan muni du repère orthonormé O ; u v

, ,( ) on considère le point

M de coordonnées a b;( ) et le point M’ de coordonnées ′ ′( )a b; et on pose V au bv

= = +OM , ′ = ′ = ′ + ′V a u b v

OM et w

= ′MM .

On note z z a bV = = +M i et z z a bV ′ ′= = ′ + ′

M i.

Oua’ a

M

M’

2

b

b’

a + a’ a + a’

V + V’

v

w

2b + b’

b + b’

I

Propriété 3 V V+ ′ a pour affixe z zV V

+′

, ou encore z z .M M+ ′

V V′ − a pour affixe z zV V−′ ou encore z Z .M M−′

= −′ ′z z zMM M M (affixe de l’extrémité diminuée de l’affixe de l’origine).

car

V VMM MO OM OM OM .′ = + ′ = ′ − = ′ −

Pour k réel quelconque i

k V a pour affixe k z .V×

L’affixe du milieu I d’un segment est la demi-somme des affixes des extré-mités.

(–z) est l’affixe du symétrique de M(z ) dans la symétrie centrale de centre O.

Les coordonnées du point image de z étant formées par la partie réelle et la par-tie imaginaire de z, on obtient les caractérisations suivantes.

Propriété 4

Caractérisation d’un nombre réel : z z∈ ⇔ ∈ M Ox).( ) (

Caractérisation d’un imaginaire pur : z zest imaginaire pur M Oy)⇔ ∈( ) (



L’axe des abscisses est aussi appelé l’axe des réels et l’axe des ordonnées, l’axe des imaginaires purs.

Ou

v

axe des imaginaires purs

axe des réels

4. Nombre conjugué d’un nombre complexe

Le conjugué d’un nombre complexe z a b= + i (a et b réels) est le nombre complexe noté z défini par :

z a b= − i . (z se lit « z barre »).

Définition 3

On a déjà utilisé ce nombre dans les calculs faits pour trouver la forme algébrique d’un inverse ou d’un quotient.

Si z = +2 3 i, on a z = −2 3 i ;

si z = −4 5 i, on a z = +4 5 i ;

si z = i, on a z = − i ;

si z = 7, on a z = 7.

On observe que z et z ont la même partie réelle et que leurs parties imaginaires sont opposées.

Ou

M(z)

M’(z)

v

Géométriquement, les points images d’un nombre complexe et de son conjugué sont donc symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

Vocabulaire

Remarque

Exemple

Remarque



Propriété 5

Pour tous nombres complexes z et ′z :

a) z z= ;

b) pour tout réel ,λ λ = λ et, pour tout imaginaire pur ib, i ib b= − ;

c) zz a b= +2 2, et donc zz est réel ;

d) z z a z+ = =2 2Re( ), Re( )zz z= +

2 et z z b z− = =2 2i i Im( ),

Imi

( )zz z= −

2 ;

e) z z z z+ ′ = + ′ ;

f) zz z z′ = × ′ ; cas particuliers : pour tout λ réel, λ λz z= et donc − = −z z ;

g) pour tout z ≠ 0,1 1z z

= et

′

= ′z

zzz

;

h) pour tout entier n dans , z zn n( ) = ( ) .

Démonstration

Les égalités de a) à f) incluses se démontrent directement à partir de la définition 3. En particulier la relation c) :

zz a b a b a b= + − = − =( )( ) ( )i i i2 2 a b a b− = +( ) .i2 2 2 2 2

g) On peut utiliser le conjugué d’un produit car zz

× =11. Ainsi z

z×

= =1

1 1,

d’où zz

×

=1

1 et donc 1 1z z

= . En écrivant que le quotient

′zz

est égal

au produit ′ ×zz1

, on obtient ′

= ′ ×

= ′ × = ′z

zz

zz

zzz

1 1.

h) Montrons d’abord par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n,

z zn n( ) = ( ) .

Pour n = 1, l’égalité est vraie puisqu’il s’agit du même nombre : z.

On suppose que la proposition est vraie pour un entier k strictement positif,

z zk k( ) = ( ) . Pour l’entier suivant, on a

z z z z zk k k+( ) = ×( ) = ( )× =1 z z zk k +( ) × = ( ) 1

en appliquant d’abord la propriété f) sur le conjugué du produit de deux nombres complexes, puis en utilisant l’hypothèse de récurrence. L’égalité est donc vraie au rang n k= +1. La proposition est donc héréditaire.

Initialisation :

Hérédité :



Pour tout n dans ,∗ z zn n( ) = ( ) .

On utilise les exposants négatifs comme dans et, en utilisant la pro-priété sur les inverses des nombres complexes non nuls, on obtient

zz z z

znn n n

n− −( ) =

=( )

=( )

= ( )1 1 1 pour tout entier naturel n non nul.

On pose enfin z0 1= et on peut conclure : pour tout entier n dans , z zn n( ) = ( ) .

On peut préférer retenir certaines de ces propriétés par des phrases :

a) le conjugué du conjugué d’un nombre complexe z est égal à z ;

e) le conjugué d’une somme est égal à la somme des conjugués ;

f) le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués ;

g) le conjugué d’un inverse est égal à l’inverse de son conjugué ; le conjugué du quotient de deux nombres complexes est égal au quotient des conjugués.

Les égalités d) de la propriété 5 donnent une nouvelle caractérisation des réels et des imaginaires purs.

Propriété 6

Caractérisation d’un nombre réel : z z z∈ ⇔ = .

Caractérisation d’un imaginaire pur : z z zest imaginaire pur ⇔ = − .

Sans chercher la forme algébrique, donner directement les conjugués de z et de

z’ avec z = − +( )4 5 i)(3 i et ′ = −+

z4 5 i3 i

.

z = − + = − + = + −( ) ( ) ( )4 5 4 5 4 5i)(3 i i)(3 i i)(3 i (on a utilisé la propriété f)).

′ = −+

= −+

= +−

z4 5 4 5

34 5i

3 ii

ii

3 i (on a utilisé la propriété g)).

Déterminer les nombres complexes z tels que zz z z+ −( ) = +3 13 18 i.

On pose z a b= + i (a et b réels). Nous avons vu que zz a b= +2 2 et z z b− = 2i .

L’équation de départ est donc équivalente à :

a b2 2 3 2 13 18+ + × = +ib i.

Or deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont respectivement égales d’où :

a bb

a bb

ab

136 18

133

43

2 2 2 2 2+ ==

⇔ + =

=

⇔ =

=

d’où deux solutions : z = 2 + 3i ou z = –2 + 3i.

Conclusion :

Remarque

Exemple 4

Solution

Exemple 5

Solution



3. Équation du second degré dans , à coefficients réels

On a : − = =( ) = −( )5 5 5 52 2

i i i2 ;

− = = = −9 9 3 3i i) i)2 2 2( ( .

Ces exemples montrent comment, dans , l’égalité fondamentale i2 = −1 qui dit que −1 est un carré dans entraîne que tout nombre réel négatif est aussi le carré d’un (et même deux) nombre complexe.

Propriété 7

Dans , tout nombre réel λ strictement négatif est le carré de deux nombres imaginaires purs et conjugués : i −λ et de i .− −λ

Démonstration

Si 0λ < alors 0−λ > et ( ) i ( ) i i .2 2 2( ) ( )λ = − −λ = −λ = −λ = − −λ

Dans ce qui suit, les nombres a, b et c sont des nombres réels avec a ≠ 0, z désigne un nombre complexe.

Par des calculs analogues à ceux faits dans le cours de Première, on obtient que tout trinôme du second degré az bz c2 + + , avec a ≠ 0, peut s’écrire sous la

forme az bz c a zba a

22

22 4+ + = +

−

∆ où ∆ = −b ac2 4 .

Pour résoudre l’équation az bz c2 0+ + = , on écrit que la grande parenthèse contient la différence de deux carrés. Dans le cas où le nombre réel ∆ est stricte-

ment négatif, on peut l’écrire maintenant sous la forme d’un carré ∆ ∆= −( )i2

.

On peut donc compléter les résultats déjà connus par :

Si ∆ < 0, alors ∆ ∆= −( )i2

et on a :

az bz c a zba a

a zb

22 2

22 4+ + = −

−

−( )

= −

i ∆

22 2

2

2 2

a a

a zba

− −

= −

− −

i

i

∆

∆∆ ∆

∆

2 2 2

2 2

az

ba a

a zba a

−

+ −

= − − + −

i

i

− − − −

zba a2 2

i ∆

Exemple



Alors : az bz c a zb

az

ba

22 2

+ + == − − + −

− − − −

i i∆ ∆

.

On en déduit :

az bz c zb

az

ba

2 02

02

+ + = ⇔ − − + −

= − − − −

i

oui∆ ∆

=

⇔ = − + − =

0

2i

ouzb

az

∆ −− − −bai ∆

2.

Propriété 8

Résolution d’une équation du second degré dans , les coefficients étant réels.

Soit, dans , l’équation (E) : az bz c2 0+ + = , les nombres a, b et c étant des nombres réels avec a 0.≠

On pose ∆ = −b ac2 4 et on appelle S l’ensemble des solutions de (E).

Si ∆ > 0, Sb

ab

a= − + − −

∆ ∆

2 2; .

Si ∆ = 0, Sba

= −

2

.

Si ∆ < 0, Sb

ab

a= − + − − − −

i

;i∆ ∆

2 2.

Dans le cas où ∆ < 0, les deux solutions sont des nombres complexes conju-gués.

Dans le cas où ∆ < 0, en appelant les solutions z1 et z2, on obtient az bz c a z z z z2

1 2+ + = −( ) −( ). On a vu dans le cours de Première que si ∆ > 0 ou si ∆ = 0 on peut factoriser un polynôme du second degré. On en déduit ici que, dans , un polynôme du second degré se factorise toujours.

Résoudre, dans , l’équation z z2 1 0+ + = .

On a : ∆ = − × × = − = ( )1 4 1 1 3 32 2i et donc S = − + − −

1 3

21 3

2i

;i

.

On a obtenu que tout polynôme du second degré à coefficients réels admet au moins une racine dans . On dit aussi que « tout polynôme du second degré à coefficients réels admet deux racines dans , distinctes ou confondues » (en comptant deux racines confondues dans le cas ∆ = 0).

Plus généralement, on démontre beaucoup plus loin dans la théorie des nombres complexes le théorème de D’Alembert-Gauss : « Tout polynôme de degré n à coefficients complexes admet n racines dans , distinctes ou confondues. »

Remarque

Exemple 6

Solution

Complément



Exercices d’apprentissage

Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants :

a) z = (1 + i)( 1 – 2i)

b) z = (2 – 3i)(3i)

c) z = (2i + 1)(1 + i)2(3i – 4)

d) z = (5 + 4i)(3 + 7i)(2 – 3i)

e) z1 i2i

= −

f) z3 4i7 5i

= −+

g) z(3 2i)(5 i)

5 i= − +

−

Résoudre dans les équations suivantes :

a) i z(3 )1 i1 i

− = +−

b) 4 8 3 02z zz+ − = ; montrer que les images des quatre nombres solutions for-ment un losange.

c) zz

= 4 ; quel est l’ensemble des points images des solutions ?

d) z z2i 02 − = ; pour cette question, soit O, A, B, C les images dans le plan com-plexe, muni du repère orthonormal

u vO ; ,( ) , des solutions obtenues. Montrer

que le triangle ABC est équilatéral.

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O ; u v

, .( )On pose Z z z( 2)( i).= − + Soit les écritures algébriques

z = x + iy ; x, y réels

Z = X + iY ; X, Y réels

a) Exprimer X et Y en fonction de x et y.

Trouver alors les ensembles suivants :

E1 : ensemble des points M(z) tels que Z est réel.

E2 : ensemble des points M(z) tels que Z est imaginaire pur.

b) Traduire à l’aide de Z que Z est réeI, puis que Z est imaginaire pur.

Retrouver alors les ensembles E1 et E2.

Résoudre dans l’équation (E) : z z2 2 5 0− + = . Dans un repère orthonormé direct O ; u v

, ,( ) on appelle A et B les images

des solutions de (E), l’ordonnée de A étant positive. Déterminer l’affixe c du

point C tel que le quadrilatère OCAB soit un parallélogramme.

Résoudre dans l’équation z z4 27 12 0+ + = .

D

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5



3 Forme trigonométrique

Objectifs du chapitre Dans ce chapitre, on aborde un autre point de vue sur les nombres complexes.

L’interprétation géométrique fait maintenant intervenir les longueurs et les angles.

On montre alors une propriété fondamentale de la multiplication de deux nombres complexes dont on étudie quelques conséquences.

Pour débuter

Soit O ; u v

,( ) un repère orthonormé direct du plan.

Un point M du plan est alors caractérisé par le couple de ses coordonnées a b;( ) telles que OM

= +au bv.

On dit que a b;( ) est le couple des coordonnées cartésiennes de M.

Le fait que le repère est orthonormé direct permet de mesurer les angles orientés car le repère indique le sens positif utilisé pour mesurer les angles. Si le point M est différent de l’origine O, on peut alors repérer le point M par la longueur OM et une mesure de l’angle orienté u

, .OM( )

En effet, un point donné M définit un seul couple OM, θ( ), étant défini à 2 près.

O

M

ua

b

w

v

+

Et, inversement, la donnée d’un couple r ,( )θ où r est un nombre réel strictement

A

B Activité 2



positif détermine un seul point M : M se trouve sur le cercle de centre O et de rayon r et sur la demi-droite d’origine O dirigée par un vecteur w

non nul tel que

u w

,( ) mesure .θ Le point M est déterminé de façon unique car la demi-droite et le cercle n’ont qu’un seul point commun. Le couple r ,( )θ est le couple de coordonnées polaires de M, θ étant défini à 2 près.

O A

C

G

B

DF E

u

v

Donner les coordonnées polaires des points A, B, C, D, E, F et G (le point D est le milieu du segment OB[ ]).

Placer les points suivants, donnés par leurs coordonnées polaires, et donner la forme algébrique de leurs affixes :

H 3 , ,( )π K 1,

34

,− π

L 2 ,

6.

π

Donner les coordonnées polaires des points suivants, don-nés par leurs affixes :

zM i= −1 , zN i= − −12

32

, zP = −2.

Cours

1. Module d’un nombre complexe

a) Définition

On appelle module d’un nombre complexe = +z a bi (a et b réels) le

nombre réel positif, noté z , défini par : z a b= +2 2 .

Définition 4

| |

| | | |

| | ( )

2 3 2 3 13

1 1 0 1 0 1

3 3 0

2 2

2 2

2 2

− = + =

= + = + =

− = − + =

i

i

33

1| |i =

Propriété 9

Le module d’un nombre réel est égal à sa valeur absolue.

C

Exemple



Démonstration

Si z a= (a réel), la définition du module donne a2 qui est aussi la valeur absolue de a.

Cela justifie l’emploi de la même notation.

Propriété 10

Interprétation géométrique du module

Soit un nombre complexe z a b= + i (a et b réels) et M son image dans un

repère orthonormé direct O ; u v

, ,( ) alors z = OM.

O a

b

v

z = a + ib

z = a2 + b2

M(z)

u

Démonstration

On sait que z a b= +2 2 et que OM = +a b2 2 .

Conséquence

On a : z z= ⇔ = ⇔ =0 0M O .

Propriété 11

Pour tout nombre complexe z : z z z z= = − = − .

O

v

u a

M(z)

–a –1 1

b

–b

i

–i

–z

–z

z



Démonstration

Soit z a b= + i (a et b réels), on a

a b a b a b a b2 2 2 2 2 2 2 2+ = + − = − + − = − +( ) ( ) ( ) ( ) .

b) Module et produit

Propriété 12

Pour tout nombre complexe z, on a zz z= 2.

Démonstration

Soit z a b= + i (a et b réels), on a montré dans la propriété 5 du chapitre 2 que

zz a b= +2 2 donc zz z= 2.

Cette égalité fait un lien entre z, son conjugué et son module, elle doit être bien connue. Elle va servir immédiatement à démontrer les égalités qui suivent.

Propriété 13

Pour tous nombres complexes z et ′z , on a :

a) zz z z′ = × ′ ; z zn n= pour tout entier naturel n ;

b) pour z ≠ 0, 1 1z z

= ;

c) pour z ≠ 0, ′ =′z

zzz

;

d) z z z z+ ′ ≤ + ′ .

Démonstration

a) Comme les modules sont des nombres réels positifs, il suffit de prouver l’égalité des carrés de ces quantités. En utilisant la propriété précédente, on obtient :

zz zz zz zz zz zz z z z z′ = ′( ) ′( ) = ′ ′ = ( ) ′ ′( ) = × ′2 2 2.

La propriété sur les puissances se démontre par récurrence.

b) De même : 1 1 1 1 1 12

2z z z z z z=

=

= .

c) En utilisant a) et b), on a : ′ = ′ × = ′ × =′z

zz

zz

zzz

1 1.



d) L’inégalité z z z z+ ′ ≤ + ′ est parfois appelée « inégalité triangulaire » car on peut l’interpréter géométriquement. Dans un repère orthonormé direct

O ; u v

, ,( ) soit M l’image de z, M’ l’image de ′z et ′′M l’image de z z+ ′.

O

v

u

M’’

M

M’

z

z+z’z’

On sait que, dans le triangle OMM ,′′ on a OM OM MM′′ ≤ + ′′ soit OM OM OM ,′′ ≤ + ′ c’est-à-dire z z z z+ ′ ≤ + ′ .

On peut préférer retenir les cas a), b) et c) par des phrases :

le module d’un produit est égal au produit des modules ;

le module de l’inverse d’un nombre complexe non nul est égal à l’inverse de son module ;

le module d’un quotient est égal au quotient des modules.

Conséquence

La propriété 13 montre que les calculs de modules sont aisés lorsque appa-raissent des produits ou des quotients. Par contre, les modules de sommes ne sont pas faciles à manipuler.

Calculer le module de chacun des nombres complexes suivants :

1 ; i ; –1 ; –i ; –3 ; 2i ; 1 + i ; –3 + 2i ;

( )( ) ;1 3 213 2

+ − + +− +

i ii

i.

–3 + 2i

–3 –2

–i

–1 O

i

2i

1 + i

1

Remarque

Exemple 7



1 =1 + 0i donc = + =| 1| 1 0 12 2

i = 0 + 1i donc = + =| i | 0 1 12 2

|–1| = |1| = 1

|–i| = |i| = 1

|–3| = 3

|2i| = |2| |i| = 2 1 = 2.

+ = + =| 1 i | 1 1 22 2

− = − + =| 3 2i | ( 3) 2 132 2

| ( )( ) | | | | |1 3 2 1 3 2 2 13 26+ − + = + × − + = × =i i i i

+− +

=+

− += =

1 i3 2i

| 1 i || 3 2i |

2

13

213

c) Module et géométrie

Propriété 14


, .( )Soit M le point d’affixe z et M0 le point d’affixe z0.

On a alors z z− =0 M M.0

Démonstration

En appelant x y;( ) les coordonnées de M et x y0 0;( ) celles de M0 , on obtient :

z z x y x y

x x y y

− = +( )− +( )= −( )+ −( )

0 0 0

0 0

i i

i

= −( ) + −( )x x y y02

02

Et on reconnaît l’expression de la longueur M M.0


, .( )a) Déterminer l’ensemble E1( ) des points M d’affixe z tels que z + + =3 2 2i .

b) Déterminer l’ensemble E2( ) des points M d’affixe z tels que z z− = −i 1.

a) Soit A le point d’affixe (− −3 2i) donc de coordonnées − −( )3 2; .

M E i)

AM = 21∈( ) ⇔ − − − =

⇔z ( 3 2 2

M est sur le cercle de centre A et de ray⇔ oon 2.

L’ensemble E1( ) est donc le cercle de centre A et de rayon 2.

Solution

Exemple 8

Solution



Autre méthodeCette question peut aussi être étudiée par une méthode analytique, c’est-à-dire avec les coordonnées.

On pose z x y= + i (x et y réels).

M E i i

i1∈( ) ⇔ + + + =

⇔ + + + =

x y

x y

3 2 2

3 2 2( ) ( )

i⇔ + + + =

⇔ +

( ) ( )

(

x y

x

3 2 22 2

33 2 42 2) ( ) .+ + =y

La dernière équation permet de reconnaître que l’ensemble E1( ) est le cercle de centre A et de rayon 2.

b) Soit A(i) et B(1).

M E i

AM BM2∈( ) ⇔ − = −

⇔ =⇔

z z 1

MM est sur la médiatrice du segment [AB]

O

iA

B

1

L’ensemble E2( ) est donc la médiatrice de [AB].

Autre méthode

On pose z x y= + i (x et y réels).

M E i i i

i2∈( ) ⇔ + − = + −

⇔ + − = −

x y x y

x y x

1

1 1( ) ( ))

( ) ( )

+

⇔ + − = − +

i

i i

y

x y x y1 12 2

2⇔ + − = − +⇔ =

x y x yy x

( ) ( )

.

1 12 2 2

L’ensemble E2( ) est donc la droite d’équation y x= , on retrouve ainsi la média-trice de [AB].



2. Argument d’un nombre complexe non nul

Dans tout ce qui suit, le plan est muni d’un repère orthonormé direct O ; u v

, .( ) On peut donc mesurer les angles orientés de vecteurs.

Soit z un nombre complexe non nul et M son image. On appelle argument de z, et on note arg ,z n’importe quelle mesure, exprimée en radians, de l’angle u

,OM( ) : arg , .z u k= ( )+

OM 2 π

Si V

est le vecteur image de z, on a aussi arg , .z u k= ( )+

V 2 π

O

arg z

M

u

Vv

Définition 5

Le nombre 0 n’a pas d’argument.

O

M (1 + i)

+N (–1 + i) J (i)

l (1)

4

Q (1 – i)L (– i)

K (– 1)

p (–1–i)

u

v

π= = − = = u u uarg1 ( , ) 0; arg( 1) ( , OK)

π= = u vargi ( , )

2 ;

π π− = = − uarg( i) ( , OL)

32

ou2

π+ = = uarg(1 i) ( , OM)

4;

π π− = = − uarg(1 i) ( , OQ)

74

ou4

π− + = = uarg( 1 i) ( , ON)

34

π π− − = = − uarg( 1 i) ( , OP)

54

ou34

Remarque

Exemples



Plusieurs arguments pour un nombre complexe non nul

On vient de le remarquer sur les quelques exemples précédents, un

même nombre complexe admet plusieurs arguments arg(1 i)7π4

− = ou

arg(1 i)π4

;− = − plus généralement karg(1 i)7π4

2 π− = + où k est dans ;

puisque k est quelconque dans l’ensemble des entiers relatifs, le nombre complexe 1 – i admet une infinité d’arguments.

On peut écrire arg(1 i)7π4

(modulo 2π)− = ou arg(1 i)π4

(modulo 2π)− = −

mais plus souvent on choisit l’un des arguments et on n’écrit plus « modulo 2 ».

Plus généralement, tout nombre complexe z non nul a une infinité d’argu-ments ; si est l’un d’entre eux, tout autre argument de z s’écrit + 2k où k est dans ; on note arg z = 0 (modulo 2) ou arg z = 0[2] ou arg z = 0 (2) ou encore plus simplement arg z = 0.

Ces trois notations signifient qu’un argument de z est , mesure « au tour près » sur le cercle trigonométrique.

Propriété 15

Caractérisation d’un nombre réel :

z z z k k0 ou arg 0 π, ∈ ⇔ = = + ∈

Caractérisation d’un imaginaire pur : z z z k kest imaginaire pur 0 ou arg

π2

π, .⇔ = = + ∈

On rappelle que 0 n’a pas d’argument et que 0 est considéré comme un ima-ginaire pur car 0 0= × i.

réelsstictementnégatifs

réelsstictementpositifs

O



Propriété 16

Argument du conjugué et de l’opposé d’un nombre complexe non nul

arg arg ,z z k k( ) = − + ∈2 π ;

arg( ) arg ,− = + + ∈z z k kπ π2 .

a

–b

bM(z)

P(–z) N(–z)

–

La figure permet de mémoriser facilement ces résultats.

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

Propriété 17

Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ, on a alors :

z z= +(cos sin ).θ θi

Démonstration

Le nombre complexe zzz0 = est de module 1 car z

zz

zz0 1= = = .

O

M

M0

cos

sin

u

v



Soit M l’image de z et M0 l’image de z0. On a OM0 = =z0 1 donc le point M0 est situé sur le cercle trigonométrique. Comme z est positif, les vecteurs OM

,

le vecteur image de z, et OM0

, le vecteur image de zzz0 = , sont colinéaires et

de même sens et on a ( ) ( )θ = = u u, OM , OM .0 On en déduit que le point M0

a pour coordonnée cos ; sinθ θ( ) et pour affixe z0 = +cos sin .θ θi

Et ainsi : z z z z= = +0 (cos sin ).θ θi

Lorsqu’un nombre complexe non nul z est écrit sous la forme z z= +(cos sin ),θ θi on dit que le nombre z est écrit sous forme trigo-nométrique.

Définition 6

On a : i 1 cosπ2

isinπ2

.= +

Propriété 18

Soit z un nombre complexe non nul tel que z r (cos isin ),= α+ α r étant un nombre réel strictement positif et α un nombre réel quelconque. On a alors : z r= et z karg( ) 2 π.= α+

Démonstration

Si z r (cos isin ),= α+ α alors z r r r r(cos isin ) cos isin 1= α+ α = α+ α = × = car r est positif et cos isinα+ α est de module 1.

On a alors z r z(cos isin ) (cos isin ).= α+ α = α+ α En nommant θ un argu ment de z, on obtient z z z(cos isin ) (cos isin )= α+ α = θ+ θ donc

cos isin cos isin .α+ α = θ+ θ On obtient donc cos cos

sin sin

α = θα = θ

ce qui prouve que z karg( ) 2 .= α+ π

On peut ainsi reconnaître directement la forme trigonométrique de certains nombres complexes.

5 cos

7isin

7π + π

est la forme trigonométrique du nombre complexe de

module 5 et d’argument 7

.π

z 3 cos11

isin11

= − π + π

: ce nombre z n’est pas écrit sous forme trigonomé-

trique car −3 est négatif. On transforme l’écriture :

Exemple

Commentaire



3 cos11

isin11

3 cos11

isin11

3 cos11

isin11

.

− π + π

= − π − π

= π+ π

+ π+ π

Le nombre z a donc pour module 3 et pour argument 11

.π+ π

L’écriture d’un nombre complexe non nul sous forme trigonométrique est donc unique (à 2π près pour l’argument), on en déduit la propriété suivante.

Propriété 19

Égalité de deux nombres écrits sous forme trigonométrique

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (à 2π près).

Écrire un nombre complexe non nul sous forme trigonométrique correspond géo-métriquement à repérer un point par des coordonnées polaires (activité 2), le plan étant muni d’un repère orthonormé direct.

De l’unicité de l’écriture algébrique et des définitions du module, d’un argument et de la forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul, on obtient deux systèmes qui indiquent comment passer de la forme algébrique à la forme trigo-nométrique et inversement.

O a

b

v

a = r cos b = r sin

M(z)

u

+

r

Dans la pratique, on procède comme dans l’exemple suivant.

Remarque

Conséquence

Propriété 20

Les nombres a, b, r et θ étant des nombres réels, r étant strictement positif, on a :

a b r

r a bar

br

a rb r

i (cos isin )cos et sin

cos

sin.

2 2

+ = θ+ θ ⇔= +

θ = θ =

⇔= θ= θ



Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe z = −2 2i.

Pour mettre ce nombre complexe non nul sous sa forme trigonométrique, on commence par calculer le module de z et mettre ce module en facteur :

on a : z| | 2 ( 2) 8 2 22 2= + − = =

d’où = −

= −

= + −

z 2 22

2 2

2

2 2I 2 2

1

2

1

2I 2 2

22

22

I

On cherche maintenant tel que cosθ = 22

et sin .θ = − 22

On sait que : π

−

=cos4

22

et π

−

= −sin4

22

.

D’où π π= −zarg4

(modulo 2 ) ou plus simplement π

= −zarg4

.

Conclusion : la forme trigonométrique de = −z 2 2i est

π π= −

+ −

z 2 2 cos4

isin4

4. Produit et quotient de nombres complexes donnés sous forme trigonométrique

Produit

Considérons deux nombres complexes non nuls z1 et z2 sous leur forme trigo-nométrique z z i z z1 1 1 1 2 2 2 2= + = +| | (cos sin ), | | (cos sin )θ θ θ θi ; étudions le produit z z .1 2

z z z z1 2 1 2 1 1 2 2= + +| || | (cos sin )(cos sin )θ θ θ θi i

z z z z1 2 1 2 1 2 1 2 1= + +| || | (cos cos sin cos cos sinθ θ θ θ θ θi i 222

1 2+ i sin sin )θ θ

z z z z1 2 1 2 1 2 1 2 1= − +| || | ((cos cos sin sin ) coθ θ θ θ θi(sin ss cos sin ))θ θ θ2 1 2+

car = −i 1.2

D’après les formules de trigonométrie on sait que :

cos cos sin sin cos( )θ θ θ θ θ θ1 2 1 2 1 2− = +

et sin cos cos sin sin( )θ θ θ θ θ θ1 2 1 2 1 2+ = +

d’où z z z z1 2 1 2 1 2 1 2= + + +| || | (cos( ) sin( )).θ θ θ θi

Le nombre z z| || |1 2 est un réel strictement positif puisque produit de deux réels strictement positifs.

On reconnaît donc l’écriture trigonométrique du produit z z1 2 ; on en déduit :

== +

z z z z

z z z z

| | | || |

arg arg arg

(on savait déjà que le module d’un produit est le produit des modules)

(argument d’un produit = somme des arguments)1 2 1 2

1 2 1 2

Exemple 9

Solution



Étudions la forme trigonométrique de l’inverse 1z

(z non nul).

z z z

z

z

1 1cos isin

1 cos isin

cos isin cos isin

1cos isin

1cos isin .( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

=θ+ θ

= ×θ− θ

θ+ θ θ− θ

= × θ− θ

= × −θ + −θ

On reconnaît l’écriture trigonométrique de l’inverse 1z

; on en déduit :1 1z z

= et z

zarg1

arg( ),

= − un argument de l’inverse de z est égal à l’opposé

d’un argument de z.

On peut alors obtenir le résultat pour le quotient zz

1

2 de deux nombres com-

plexes non nuls :zz

zz

1

2

1

2= et

zz

z zarg arg( ) arg( ),1

21 2

= − un argument d’un quotient est égal

à la différence d’un argument du numérateur et d’un argument du dénominateur.

On peut alors énoncer l’ensemble de ces résultats, la propriété sur les puissances se démontrant par récurrence en utilisant la propriété du produit.

Propriété 21

La forme trigonométrique : les produits, puissances et quotients

Soit trois nombres complexes non nuls z, z1 et z2, et soit n un entier naturel.

Produit : z z z z1 2 1 2= × et z z z zarg arg( ) arg( ).1 2 1 2( ) = +

Inverse : 1 1z z

= et arg1z

= −arg( ).z

Quotient : zz

zz

1

2

1

2= et

zz

z zarg arg( ) arg( ).1

21 2

= −

Puissance : z zn n= et z n zarg arg( ).n( ) =

Il est donc important de penser à utiliser la forme trigonométrique dans les calculs faisant intervenir des produits, des puissances ou des quotients.

Donner la forme trigonométrique puis la forme algébrique de z161= +( )i et de

z2

32

12

12

32

=+

+

i

i.

Pour z1, on cherche d’abord la forme trigonométrique 1+ i qui est ensuite élevé à la puissance 6.

Exemple 10

Solution



En procédant comme dans l’exemple 9 (on peut aussi s’aider de la représentation graphique), on trouve

1 24 4

+ = +

i icos sin ,

π π d’où :

z16 6

1 2 64

64

= + = ( ) ×

+ ×

( ) cos sini iπ π

, soit

z161 8

32

32

= + =

+

( ) cos sini iπ π

ce qui est la forme trigonomé-

trique de z1.

On en déduit la forme algébrique : z161 8= + = −( )i i.

Pour z2, on cherche la forme trigonométrique du numérateur et du dénomi-nateur. Grâce aux valeurs remarquables des sinus et cosinus, on reconnaît des nombres de module 1 et on obtient :

z2

32

12

12

32

6 6

3 36

=+

+=

+

+= −

i

i

i

i

cos sin

cos sincos

π π

π ππ ππ π π

3 6 3

+ −

isin .

La forme trigonométrique de z2 est donc z2 6 6= −

+ −

cos sin

π πi et on en

déduit sa forme algébrique : = −z3

212

i.2

Avec un peu d’habitude et de familiarité avec ces quantités, on reconnaît rapide-ment les valeurs remarquables et les calculs deviennent assez aisés.

3. Écriture exponentielle

Pour terminer ce chapitre, on donne une nouvelle écriture d’un nombre complexe non nul.

Par elle-même, cette écriture résume les propriétés précédentes des arguments et facilite la mémorisation des propriétés de la forme trigonométrique des nombres complexes.

Nous avons rappelé, dans les prérequis, la relation fonctionnelle caractéris-tique de la fonction exponentielle : la fonction exponentielle est la seule fonc-tion non nulle et dérivable sur telle que ′ =f ( )0 1 et, pour tous réel a et b, f a b f a f b( ) ( ) ( ).+ = ×

On remarque que les fonctions f x f xk kkx: ( ) = e sont aussi non nulles et déri-

vables sur telle que f kk′ =( )0 et, pour tous réel a et b, f a b f a f bk k k( ) ( ) ( ).+ = ×

On considère la fonction g, définie sur , à valeurs dans , telle que g g: cos sin ( ).θ θ θ θ + =i D’après les calculs faits précédemment, on a :

g gg

( ) ( ) (cos isin )(cos isin )

cos( ) isin( ) ( ).1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

θ × θ = θ + θ θ + θ= θ +θ + θ +θ = θ +θ



Admettons que l’on puisse dériver cette fonction définie sur , à valeurs dans , comme les fonctions définies sur , à valeurs dans . On obtient

′ = − +g ( ) sin cosθ θ θi et donc ′ =g ( )0 i.

Par analogie avec les fonctions fk on note donc la fonction g de la même façon :

g( )θ θ= ei soit cos sin .θ θ θ+ =i ei

La notation eiθ désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument θ :

cos sin .θ θ θ+ =i ei

Définition 7

On peut utiliser cette notation exponentielle pour écrire les nombres complexes non nuls sous forme trigonométrique : z z= eiθ.

On a :

e ii2π

= ;

e iiπ3 1

23

2= + ; 1 2 4+ =i e

iπ

puisque 1 24 4

+ = +

i icos sin .

π π

eiπ = −1

Dans cette égalité, on trouve :

–1 : un entier négatif ;

e : nombre réel qui est utilisé pour noter la fonction exponentielle, essentiel pour cette fonction et pour la fonction logarithme népérien ;

i : nombre mystérieux, imaginaire au XVIe siècle, et dont l’invention audacieuse ( )i2 = −1 ouvre tout un monde aux mathématiques ;

π : longueur d’un cercle de rayon 1 dont on trouve une valeur approchée, 25681

, dans un papyrus égyptien daté d’environ −1800 avant J.-C., dont la

recherche des décimales est devenu un test pour les ordinateurs les plus puis-sants et les programmeurs les plus compétents et que vous rencontrerez… dans le cours de statistiques !

La propriété 20 s’écrit alors :

Propriété 22

Soit trois nombres complexes non nuls z z= eiθ , z z1 1 1= eiθ et z z2 2 2= eiθ , et n un entier naturel.

Produit : z z z1 2 1 1 2= +z e2i(θ θ ) ; Puissance : z zn n n= e iθ ;

Conséquence

Exemples

À savoir

Conséquence



Propriété 22 (suite)

Inverse : 1 1z z

= −e iθ ; Quotient :

zz

zz

1

2

1

21 2= −ei(θ θ ).

C’est évidemment très agréable pour mémoriser et utiliser tous ces résultats.

Reprenons par exemple les calculs de l’exemple 10.

On a 1 i 2ei4+ =π

d’où z (1 i ) 2 e 8e 8 i.16 6 i

46 i

32= + = = = −

π× π

Et z

32

12

i

12

i3

2

e

e

e e cos6

isin6

.2

i6

i3

i6 3

i6=

+

+= = = = − π

+ − π

π

π

π−π

− π

Propriété 23

Notation exponentielle et conjugué

e ei iθ θ( ) = −

Démonstration

e cos i cos i cos( iiθ θ θ θ θ θ θ( ) = +( ) = − = − + − =sin sin ) sin( ) ee i− θ.

6. Les nombres complexes et les formules de trigonométrie

Ce sont les formules de trigonométrie démontrées en Première qui ont mené à la relation

(cos sin )(cos sin ) cos( ) sin(θ θ θ θ θ θ θ1 1 2 2 1 2 1+ + = + +i i i ++ θ2 )

et aux propriétés des arguments dans les produits et les quotients, propriétés qui sont résumées par la notation exponentielle.

En retour, les nombres complexes permettent de retenir les formules d’addition et de soustraction, ainsi que les formules de duplication. De nouvelles formules peuvent aussi être démontrées.

Il suffit pour cela d’avoir mémorisé l’égalité cos sinθ θ θ+ =i ei et d’utiliser les propriétés connues des opérations et des exposants.

Par l’égalité e e ei i i(θ θ θ θ1 2 1 2= + ) , on retrouve

(cos sin )(cos sin ) cos( ) sin(θ θ θ θ θ θ θ1 1 2 2 1 2 1+ + = + +i i i ++ θ2 ) soit (cos cos sin sin ) (cos sin sin cosθ θ θ θ θ θ θ θ1 2 1 2 1 2 1 2− + +i )) cos( ) sin( ).= + + +θ θ θ θ1 2 1 2i

Exemple



Et en utilisant l’égalité des parties réelles et des parties imaginaires, on retrouve :

cos cos sin sin cos( )θ θ θ θ θ θ1 2 1 2 1 2− = +

(cos sin sin cos sin( ).θ θ θ θ θ θ1 2 1 2 1 2+ = +

Calculons (cos isin )2α+ α par deux méthodes.

En utilisant l‘identité remarquable :

α+ α = α + α α + α

= α − α + α α

(cos isin ) (cos ) 2i(sin )(cos ) i (sin )

(cos ) (sin ) 2i(sin )(cos )

2 2 2 2

2 2

En utilisant la notation exponentielle des nombres complexes :

α+ α = = = α + αα αe e(cos isin ) ( ) (cos2 ) i(sin2 )2 i 2 i2

En identifiant les parties réelles et les parties imaginaires on arrive à :

cos2 (cos ) (sin )sin2 2(sin )(cos )

.2 2α = α − α

α = α α

On retrouve Ies formules de duplication vues en classe de Première.

D’autres formules seront démontrées en exercice.

Exercices d’apprentissage

Dans tous ces exercices, on utilisera les facilités fournies par la notation expo-nentielle.


, .( )Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants et placer leurs images dans le plan muni d’un repère orthonormé direct.

a) z1 1= − − i b) z2 1 3= + i c) z3 7= − d) z4 5= − i.

Donner la forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

a) z1 1= −( i)5 (on donnera ensuite la forme algébrique de z1)

b) z2 1 3 3 3= +( ) − +( )i i c) z3 = 1i

d) z42 2= −

+i

3 i e) z5 2

2 2=

−( )+( )

i

3 i

3

.

En calculant le produit 32

12

22

22

−

+

i i sous forme algébrique et sous

forme trigonométrique, déterminer le cosinus et le sinus de 12

.π

D

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8



En calculant (cos sin )θ θ+ i 3 de deux façons différentes, exprimer cos3θ et sin3θ en fonction de cosθ et de sin .θ

Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct O ; u v

, ,( ) on considère trois points distincts A, B et C, d’affixes zA , zB et zC.

Donner une interprétation géométrique de z zz zC A

B A

−−

.

Quel est le vecteur image du nombre complexe z zB A− ? Donner la signifi-cation géométrique de arg .z zB A−( ) En déduire la signification géométrique

de arg .z zz zC A

B A

−−

Application

Déterminer la forme algébrique puis la forme trigonométrique de z zz zC A

B A

−−

avec zA i,= 2 zB i= +1 5 et zC i.= − +3 3 En déduire la nature du triangle

ABC.

Exercice 9

Exercice 10



4 SynthèseSynthèse de la séquence

1. Définition

L’écriture a b+ i , a et b étant réels, s’appelle la forme algébrique du nombre complexe z tel que z a b= + i .

a z= Re( ) et b z= Im( ).

z b= i est un imaginaire pur (le réel 0 est aussi considéré comme un imaginaire pur).

Définitions

Propriété

Nombre complexe nul : a b a b+ = ⇔ = =i et0 0 0.

Égalité : a b a b a a b b+ = ′ + ′ ⇔ = ′ = ′i i et (où a, b, a’ et b’ sont réels).

A

Théorème 1

(Admis)

Il existe un ensemble, l’ensemble des nombres complexes, noté , tel que :

contient l’ensemble des nombres réels ;

est muni d’une addition, d’une multiplication (et donc d’une soustrac-tion et d’une division) qui possèdent les mêmes règles de calcul que dans l’ensemble des nombres réels ;

il existe, dans , un nombre i tel que i2 1= − ;

tout nombre complexe z s’écrit de façon unique sous la forme z a b= + i , où a et b sont des nombres réels.



2. Opérations

Propriété 2

Pour tous nombres complexes z a b= + i et ′ = ′ + ′z a bi , a, b, a’ et b’ étant des nombres réels, on a :

z z a a b b+ ′ = + ′ + + ′( ) ( )i

zz aa bb ab a b′ = ′ − ′ + ′ + ′( ) ( )i

kz ka kb= + i pour tout réel k1

2 2 2 2 2 2za b

a b

a

a b

b

a b= −

+=

+−

+i

i si z ≠ 0.

3. Représentation géométrique


, .( )

O a

b

v

M(z)

z = a + ib

u

4. Conjugaison

Le conjugué d’un nombre complexe z a b= + i (a et b réels) est le nombre complexe noté z défini par : z a b= − i .

Définition

Remarque

Ou

M(z)

M’(z)

v



Propriété

Pour tous nombres complexes z et ′z :

a) z z= ;

b) pour tout réel ,λ λ = λ et, pour tout imaginaire pur ib, i ib b= − ;

c) zz a b= +2 2, et donc zz est réel ;

d) z z a z+ = =2 2Re( ), Re( )zz z= +

2 et z z b z− = =2 2i i Im( ),

Imi

( )zz z= −

2 ;

e) z z z z+ ′ = + ′ ;

f) zz z z′ = × ′ ; cas particuliers : pour tout λ réel, λ λz z= et donc − = −z z ;

g) pour tout z ≠ 0,1 1z z

= et

′

= ′z

zzz

;

h) pour tout entier n dans , z zn n( ) = ( ) .

5. Équation du second degré dans

Propriété

Soit, dans , l’équation (E) az bz c2 0+ + = , les nombres a, b et c étant des nombres réels avec a ≠ 0.

On pose ∆ = −b ac2 4 et on appelle S l’ensemble des solutions de (E).

Si ∆ > 0, Sb

ab

a= − + − −

∆ ∆

2 2; .

Si ∆ = 0, Sba

= −

2

.

Si ∆ < 0, Sb

ab

a= − + − − − −

i

;i∆ ∆

2 2.



6. Module d’un nombre complexe

On appelle module d’un nombre complexe z a b= + i (a et b réels) le nombre

réel positif, noté z , défini par : z a b= +2 2 .

Définition

Propriété

Le module d’un nombre réel est égal à sa valeur absolue.

Propriété

Interprétation géométrique du module

Soit un nombre complexe z a b= + i (a et b réels) et M son image dans un repère orthonormé direct O ; u v

, ,( ) alors z = OM.

Propriété

Pour tout nombre complexe z : z z z z= = − = − .

O

v

u a

M(z)

–a –1 1

b

–b

i

–i

–z

–z

z

Propriété

Pour tout nombre complexe z, on a zz z= 2.



Propriété

Pour tous nombres complexes z et ′z , on a :

a) zz z z′ = × ′ ; z zn n= pour tout entier naturel n ;

b) pour z ≠ 0, 1 1z z

= ;

c) pour z ≠ 0, zz

zz

' '= ;

d) z z z z+ ′ ≤ + ′ .

On peut préférer retenir les cas a), b) et c) par des phrases :

Le module d’un produit est égal au produit des modules.

Le module de l’inverse d’un nombre complexe non nul est égal à l’inverse de son module.

Le module d’un quotient est égal au quotient des modules.

Propriété

Soit M le point d’affixe z et M0 le point d’affixe z0.

On a alors z z− =0 M M.0

4. Argument d’un nombre complexe non nul


, .( )

Soit z un nombre complexe non nul et M son image. On appelle argument de z, et on note arg ,z n’importe quelle mesure, exprimée en radians, de

l’angle u , OM . ( )

Définition

Remarque



O

v

u

M

+

Le nombre 0 n’a pas d’argument.

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

Lorsqu’un nombre complexe non nul z est écrit sous la forme z z= +(cos sin )θ θi , on dit que le nombre z est écrit sous forme trigonomé-trique.

Définition

Propriété

Égalité de deux nombres écrits sous forme trigonométrique

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (à 2π près).

Passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement.

z a b r r r= + = + = +i i i(cos sin ) cos sinθ θ θ θ :

et

Remarque

Conséquence

O a

b

v

a = r cos b = r sin

M(z)

u

+

rr a b

ar

br

= +

= =

2 2

cos sinθ θet

a rb r

==

cos

sin.

θθ



Propriété

La forme trigonométrique et les produits, puissances et quotients

Soit trois nombres complexes non nuls z, z1 et z2, et soit n un entier naturel.

Produit : z z z z1 2 1 2= × et z z z zarg arg( ) arg( ).1 2 1 2( ) = +

Inverse : 1 1z z

= et arg1z

= −arg( ).z

Quotient : zz

zz

1

2

1

2= et

zz

z zarg arg( ) arg( ).1

21 2

= −

Puissance : z zn n= et ( ) =z n zarg arg( ).n

9. La notation exponentielle

La notation eiθ désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument θ :

cos sin .θ θ θ+ =i ei

Définition

= −πe 1i

Propriété

La forme exponentielle et les produits, puissances et quotients

Soit trois nombres complexes non nuls z z= eiθ , z z1 1 1= eiθ et z z2 2 2= eiθ , et n un entier naturel.

Produit : z z z1 2 1 1 2= +z e2i(θ θ ) Puissance : z zn n n= e iθ

Inverse : 1 1z z

= −e iθ Quotient : zz

zz

1

2

1

21 2= −ei(θ θ ).

À savoir



Propriété

Notation exponentielle et conjugué : e ei iθ θ( ) = − .

La notation exponentielle et les formules de trigonométrie : la notation exponen-tielle permet de retenir les formules d’addition et de soustraction, ainsi que les formules de duplication, elle permet aussi d’en démontrer de nouvelles

10. Plusieurs points de vue

Dans ce nouvel ensemble de nombres, plusieurs points de vue sont utilisés, de nouveaux outils sont introduits. Vous devez vous familiariser avec chacun d’eux.

Les différentes caractérisations des nombres réels et des imaginaires purs en donnent des exemples : forme algébrique, interprétation géométrique, conjugai-son, forme trigonométrique.

Propriété

Caractérisation d’un nombre réel :

z zIm( ) 0∈ ⇔ =

∈ ⇔ ∈z z yM( ) (O ) .

z z z∈ ⇔ = .

z z z k k0 ou arg 0 , . π∈ ⇔ = = + ∈

Propriété

Caractérisation d’un imaginaire pur :

z zest imaginaire pur Re⇔ =( ) .0

z z yest imaginaire pur M( ) (O )⇔ ∈ .

z z zest imaginaire pur ⇔ = − .

z z z k kest imaginaire pur 0 ou arg2

, .⇔ = = π + π ∈



Exercices de synthèse

On considère, dans , l’équation (E) : 2 1 4 1 2 2 03 2z z z+ − + − − =( ( .i) i) i

Déterminer un nombre imaginaire pur z0 solution de l’équation (E).

Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que

2 1 4 1 2 23 20

2z z z z z az bz c+ − + − − = − + +( )( ( ( ) .i) i) i

Résoudre l’équation (E).

Soit Z un nombre complexe de module 1, montrer en utilisant l’écriture expo-

nentielle que ZZ

+ 1 est un nombre réel.

Soit z et z’ deux nombres complexes non nuls et de même module, montrer

que z z

zz+ ′( )

′

2 est un nombre réel.

Montrer que, pour tous nombres complexes z et z’, on a

z z z z z z+ + − = +( )' ' ' .2 2 2 22


, ,( ) interpréter géomé-

triquement l’égalité précédente.

Cet exercice est un QCM.

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte.

Il n’est pas nécessaire de faire beaucoup de calculs !


, .( ) Une solution de l’équation 3 2 5 2z z+ = + i est :

a) 3 b) i c) 1 2+ i.

Soit z un nombre complexe, z + i est égal à :

a) z +1 b) z −1 c) iz +1.

Soit z un nombre complexe non nul d’argument .θ Un argument de − +1 3iz

est :

a) − +π θ3

b) 23π θ+ c) 2

3π θ− .

B

Exercice I

Exercice II

Exercice III

Exercice IV

Remarque



Soit n un entier naturel. Le complexe 3 +( )i n est un imaginaire pur si et

seulement si :

a) n = 3 b) n k= +6 3 avec k entier relatif c) n k= 6 avec k entier relatif.

Soit A et B deux points d’affixes respectives i et −1. L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant z z− = +i 1 est :

a) une droite b) un cercle c) un point.

Soit Ω le point d’affixe 1+ i. L’ensemble des points d’affixe z vérifiant ( ( ))( (z z− + − − =1 1 5i i)) est :

a) une droite b) un cercle c) un point.

L’ensemble des solutions dans de l’équation zz

z−−

=21

est :

a) 1− i b) l’ensemble vide c) 1− + i ;1 i .

Trois méthodes

Soit z un nombre complexe différent de i et soit M son image dans le plan muni d’un repère orthonormé direct O ; u v

, .( ) On appelle A le point d’affixe i. On

pose Zzz

= +−

2i. On appelle (E) l’ensemble des points M du plan tels que Z soit

imaginaire pur.

Déterminer l’ensemble (E) en utilisant la forme algébrique de z et de Z.

Déterminer l’ensemble (E) en utilisant l’interprétation géométrique de la forme trigonométrique de Z (on utilisera les résultats de l’exercice 10).

Déterminer l’ensemble (E) en utilisant l’équivalence « Z Zest imaginaire pur ⇔ Z Z= − » puis en utilisant la forme algébrique de z.

Exercice V


Documents

Ensemble des nombres complexes